Ментальная арифметика
Ментальная арифметика
Уважаемые родители!
Мы размещаем заключительное задание. В этом году на занятиях по ментальной арифметике дети прошли несколько тем: прямое сложение и вычитание однозначных чисел; прямое сложение и вычитание двухзначных чисел; правила (формулы) «младших товарищей» для решения примеров с однозначными числами. Правила «младших товарищей» аналогично применияются и для решения примеров с двухзначными числами:
+40 = +50 -10 -40 = -50 +10 +30 = +50 -20 -30 = -50 +20 +20 = +50 -30 -20 = -50 +30 +10 = +50 -40 -10 = -50 +40 На этом ментальная арифметика не заканчивается. Существуют также правила "старших товарищей", которые применяются для решения на соробане таких примеров: 13 – 5, 21 – 8, 27 + 14, 38 + 9 и т. п. На соробане можно складывать и вычитать трехзначные числа и даже умножать.
Кроме навыков счета на занятиях ментальной арифметикой дети развивали познавательные способности: внимательность, усидчивость, зрительную и слуховую память, мелкую моторику, образное мышление и скорость мыслительных процессов, умение слушать педагога и оценивать результат своей деятельности.
Задания с 18 по 22 мая
Задание
Аудио-диктант на соробане
Аудио-диктант на память
Аудио-диктант ментально
Правило и решение примеров «Младшие товарищи» (-1) (видео)
Задание с флеш-картами пропускаем. В бланке есть строка примеров с двухзначными числами. Их можно решить на соробане двумя руками.
Особенности диктантов на память: сначала надо послушать пример, запомнить его и только затем решать на соробане.
Особенности диктантов ментально: надо представить две спицы соробана и при решении двигать пальцами обеих рук, представляя, что передвигаешь косточки на спицах единиц и десятков.
Задания с 12 по 15 мая
Задание
Аудио-диктант на соробане
Аудио-диктант на память
Аудио-диктант ментально
Правило и решение примеров «Младшие товарищи» (+1) (видео)
Задания с 27 по 30 апреля
Задание
Аудио-диктант на соробане
Аудио-диктант на память
Аудио-диктант ментально
Правило «Младшие товарищи» (-2) (видео)
Решение примеров «Младшие товарищи» (-2) (видео)
Задания с 20 по 26 апреля
Занятие на закрепление пропускаем, поэтому сразу занятие 39.
Задание
Аудио-диктант на соробане
Аудио-диктант на память
Аудио-диктант ментально
Правило «Младшие товарищи» (+2) (видео)
Решение примеров «Младшие товарищи» (+2) (видео)
Задание с 13 по 17 апреля
Задания
Аудио-диктант на соробане
Аудио-диктант на память
Аудио-диктант ментально
Правило «Младшие товарищи» (-3) (видео)
Решение примеров «Младшие товарищи» (-3) (видео)
Счёт ментально. Двухзначные числа (видео)
Задание с 6 по 12 апреля
Задания
Аудио-диктант на соробане
Аудио- диктант на память
Аудио-диктант ментально
Особенности диктантов на память: сначала надо послушать пример, запомнить его и только затем решать.
Особенности диктантов ментально: надо представить две спицы соробана и при решении двигать пальцами обеих рук, представляя, что передвигаешь косточки на спицах единиц и десятков.
Правило «Младшие товарищи» (+3) (видео)
Решение примеров «Младшие товарищи» (+3) (видео)
Учебный видео-курс по арифметике с плавающей запятой в формате IEEE-754.
Часть I / ХабрАрифметика с плавающей запятой хорошо понятна далеко не всем программистам. Раньше я работал в разных IT-фирмах и с удивлением обнаруживал, что даже опытные программисты теряются, когда возникает задача подобрать для сравнения двух чисел с плавающей запятой в коде вроде такого:
if (abs (a-b) < EPS) . . .
Они наивно выбирали одно и то же число типа 1e-8 для всех своих проектов, создавая тем самым потенциальное место проявление суровых ошибок. Более того, они пытались сравнивать два числа типа double вот так:
if (a < b) . . .
не понимая, за что же я их ругал, когда видел подобные глупости. Я уже не говорю о том, какой ужас могла вызвать константа типа 0x400921fb54442d18 (всего лишь число ), которую можно увидеть в некоторых старых программах или на экране отладчика.
Однажды в процессе отладки коллега обнаружил, что выражение с double не меняется, когда он пытается сложить два числа, и тогда он стал грешить на ошибку в компиляторе или отладчике, пока я не объяснил, в каких случаях сумма двух чисел останется равной только одному из слагаемых.
Фокусы с перестановкой чисел также пугают многих, и на StackOverflow мне нередко приходилось видеть недоумённые вопросы пользователей о том, почему небольшое изменение выражения приводит к различным результатам и почему оптимизация кода может привести к совершенно неправильному ответу. Однажды кто-то из пользователей многозначительно заявил, что нашёл ошибку в процессоре, когда перевёл целое число из 64 битов в число удвоенной точности, затем обратно — и получил другое число. О том как при таком преобразовании теряются минимум 11 битов он, видимо, не знал. И подобное невежество встречается даже в среде тех, кто уверен, что он-то как раз знает как всё работает.
Даже на Хабре нередко попадаются статьи, в которых авторы «разоблачают» непонятное поведение чисел с плавающей запятой и выдают своё открытие за что-то новое и неизведанное, неочевидное и загадочное. Странно видеть такие статьи, написанные вроде бы профессиональными программистами. Пиарить их не буду, ищите, пожалуйста, сами.
Казалось бы, различные учебные материалы должны решить проблему, но нет. Как правило, читатель отпугивается формулами и непонятными словами, которыми его сразу закидывает автор: нормализованное число, скрытая единица, смещённая экспонента — и далее без объяснения причин, по которым появилось то или иное решение в Стандарте IEEE-754, начинается сухое изложение теории. Видеолекции на эту тему также не блещут разнообразием: все как будто разбирают один и тот же примитивный пример, где всё быстро и красиво получается… и ученик никогда не догадается, что почти 100% компиляторов работают с плавающей арифметикой с ошибками. Это и понятно, такие преподаватели сами не знают что откуда берётся и как работает, а потому и рассказывают только то, что им самим понятно, причём совершенно очевидно, что они сами только вчера открыли для себя мир арифметики с плавающей запятой, но уже спешат сбивчиво о нём рассказать. Не осуждаю, но считаю, что такое поведение на публике недопустимо.
Поэтому я решил попытаться исправить ситуацию и создал в каком-то смысле пробный учебный курс. Это видео-курс, который плавно погружает зрителя в мир арифметики с плавающей запятой. Первые четыре урока мы рассматриваем десятичную систему счисления и то, как обстоятельства вынуждают нас создавать то одну, то другую систему чисел, приходя в конце концов к системе с плавающей запятой именно в таком виде. Откуда берётся нормализация и зачем она нужна? Откуда берётся проблема ассоциативности? Как и почему теряется точность и что с этим делать? Чего делать категорически нельзя и почему? Почему в такой системе возникают денормализованные числа и что это вообще такое? Затем последующие 4 урока показывают как все эти знания красиво ложатся на двоичную арифметику и откуда там появляется идея скрытого бита. Когда на экране возникает первая «страшная формула», зритель уже имеет в голове нужный образ арифметики с плавающей запятой и легко понимает логику такой формулы… конечно, если правильно выполнял упражнения.
Почему видео, а не текст? Объяснение простое: я пробую разные форматы и убедился, что новичкам читать трудно. Кто умеет читать внимательно, тот откроет учебник и прочитает текст с формулами, разберётся и поймёт. Кому читать тяжело, кого пугают сложные вещи и кому проще изучать материал за чашечкой чая — тому подходит плавное погружение в видео формате с закадровым голосом. Много воды? Да, возможно, но курс рассчитан даже на тех людей, которые хотят программировать, но не дружили с математикой в школе. Поэтому то, что для вас «вода» — это не вода, а то, что вы уже хорошо знаете из школы, а многие мои ученики — нет. Будьте к ним снисходительными, все мы с чего-то начинали. А ещё видео можно рассматривать как подготовку к чтению серьёзных учебников. Согласитесь, приятно, когда открываешь учебник и значительно быстрее понимаешь то, что в нём написано, так как нужный образ уже в голове.
О себе: в прошлом профессиональный преподаватель, 11 лет работал в вузе, преподавал математику и программирование, в последние годы занимаюсь разработкой математических библиотек для высокопроизводительных вычислений. Я хорошо понимаю то, чего хочет моя целевая аудитория, и хорошо понимаю что по этой теме востребовано в мире программирования, а потому считаю, что вправе создавать подобные курсы, и вы можете убедиться сами, что аналогичных по качеству (в плане содержания) лекций на русском языке вы сейчас не найдёте. Проверьте!
Начать можно отсюда: youtu.be/CHP5FAb_XPc
Приятного обучения!
Урок Видео: Среднее арифметическое | Nagwa
Стенограмма видео
В этом видео мы узнаем, как найти среднее арифметическое для любых двух непоследовательных членов в арифметическом последовательность.
Начнем с определения арифметики
иметь в виду. Среднее арифметическое – это сумма
набор значений, разделенный на количество значений в наборе.
Если у нас есть два числа три и
девять и мы хотим найти их среднее арифметическое, складываем их вместе, три плюс
девять, а затем разделите на два, потому что у нас есть набор из двух чисел. А это равно шести. Здесь мы показываем, что
расстояние от трех до шести равно расстоянию от шести до девяти. Назовем это расстояние 𝑑. Мы видим, что от трех до шести
мы прибавляем три и от шести до девяти мы прибавляем три.
Если мы продолжим эту схему, девять
плюс три равно 12, а 12 плюс три равно 15. Мы могли бы назвать этот набор значений
арифметическая последовательность. Это потому, что в арифметике
последовательности, разница между любыми двумя последовательными значениями будет равна. Но мы хотим в первую очередь сосредоточиться на
это видео о средних арифметических. И в этой последовательности больше
чем одно среднее арифметическое. Мы показали, как шесть
среднее арифметическое между тремя и девятью.
Но девять это тоже среднее арифметическое
в этой последовательности. Если мы возьмем значения либо
стороны, мы можем сказать, что шесть плюс 12 разделить на два равно девять. И это делает девять вторым средним значением
в этой последовательности, что сделало бы 12 третьим средним значением. А это значит, что мы можем сказать, что
есть три средних арифметических между тремя и 15.
Используя наши знания о поведение арифметических последовательностей и что мы знаем о средних арифметических значениях внутри арифметические последовательности, давайте рассмотрим несколько примеров вопросов.
Найдите пять средних арифметических между семь и 19.
У нас есть два значения, семь и
19. И нам сказали, что есть
пять средних арифметических между ними, которые мы могли бы обозначить 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒. Наше первое среднее значение равно 𝑎. И мы знаем, что если 𝑎 первый
значит, расстояние от семи до 𝑎 должно быть равно расстоянию от 𝑎 до 𝑏.
И так можно сказать если семь плюс 𝑥
равно 𝑎, то 𝑎 плюс 𝑥 должно равняться 𝑏. Двигаемся дальше, 𝑏 — второе среднее значение,
что означает, что расстояние от 𝑎 до 𝑏 должно быть равно расстоянию от 𝑏 до
𝑐. Если 𝑎 плюс 𝑥 равно 𝑏, то 𝑏
плюс 𝑥 должен равняться 𝑐. Это должно быть верно для всех пяти
наше среднее арифметическое между 7 и 19. Они должны иметь общий
разница. И мы называем это общим
разница 𝑥.
Если есть общая разница
𝑥 между всеми пятью этими средними арифметическими тоже будет общее
разница 𝑥 между последним средним 𝑒 и концом нашей последовательности 19. Мы можем использовать эту информацию, чтобы установить
составить уравнение. Мы можем создать отношения
от семи до 19 лет, используя общие различия. Чтобы получить от семи до 19, если здесь
между ними пять средних арифметических, нужно добавить шесть 𝑥.
Итак, мы говорим семь плюс шесть 𝑥
должно быть равно 19. Это уравнение позволит нам
решить эту общую разницу.
Вычитаем семь с обеих сторон нашего уравнения и найти шесть 𝑥 равно 12, что означает 𝑥 равно двум. А если 𝑥 равно двум, 𝑎 равно девять, 𝑏 равно 11, 𝑐 равно 13, 𝑑 равно 15 и 𝑒 равно 17. И пять средних арифметических от семи до 19это девять, 11, 13, 15 и 17.
В нашем следующем примере мы рассмотрим что делать, если нам дана сумма различных средних в арифметической последовательности.
Если сумма второго среднего и четвертое среднее из арифметической последовательности равно 16, а седьмое среднее больше чем третье в среднем на восемь, то последовательность пуста.
Допустим, у нас есть некоторая последовательность
с первым членом 𝑎. Можно сказать, что второй член равен 𝑏,
третий термин — 𝑐, и продолжайте в том же духе.
Мы должны помнить, что если
первый член равен 𝑎, первое среднее значение на самом деле является вторым членом последовательности. Если второй член является первым
означает, что третий член является вторым средним значением, а пятый член является четвертым средним значением. Однако эта строка переменных
нам не очень помогает. Было бы полезнее написать
эти переменные с точки зрения нашего первого значения в последовательности.
Итак, вернемся. Если мы позволим нашему первому значению в
последовательность будет 𝑎, мы знаем, что наш второй член будет равен нашему первому члену плюс
общая разница. И это гораздо лучший способ
напишите эти значения. Наш второй член будет равен
𝑎 плюс общая разница 𝑑. И наш третий член был бы равен
к 𝑎 плюс 𝑑 плюс 𝑑. Мы можем назвать это 𝑎 плюс два
𝑑. Наш четвертый член будет равен
𝑎 плюс три 𝑑.
И нам нужно подумать о
значения, которые нас интересуют. У нас есть информация о
второе среднее, четвертое среднее, седьмое среднее и третье среднее.
Мы уже говорили, что второй среднее будет равно третьему члену, а четвертое среднее будет равно пятый срок. Мы можем заметить кое-что интересное здесь. Второе среднее имеет две единицы общая разность 𝑑 добавляется к первому члену. А четвертое среднее имеет четыре общих различия добавляются к первому члену 𝑎. Мы видим, что с третьим иметь в виду. Три общих различия добавлен. И мы можем использовать это, чтобы сказать, что седьмое среднее будет первым членом плюс семь 𝑑.
Используя эти значения, мы можем настроить
несколько одновременных уравнений для решения последовательности. Мы знаем второе среднее плюс
четвертое среднее равно 16. Это означает 𝑎 плюс два 𝑑 плюс 𝑎
плюс четыре 𝑑 равно 16.
Мы также знаем, что третье среднее
плюс восемь равно седьмому среднему. Итак, мы пишем 𝑎 плюс три 𝑑,
это третье среднее, плюс восемь равно 𝑎 плюс семь 𝑑, седьмое
иметь в виду. Слева мы можем упростить до двух
𝑎 плюс шесть 𝑑 равно 16. И для другого нашего уравнения, если мы
вычтите 𝑎 с обеих сторон, у нас есть 𝑎 минус 𝑎 с обеих сторон.
Получаем три 𝑑 плюс восемь
равно семи 𝑑. Вычитая три 𝑑 из обоих
стороны, мы можем видеть, что восемь равно четырем 𝑑. И разделив обе части на четыре,
мы узнаем, что два равно 𝑑 или 𝑑 равно двум. И тогда мы хотим взять эти два для
наше 𝑑-значение и подставляем его во второе уравнение так, чтобы у нас было два 𝑎 плюс шесть
умножить на два равно 16. Два 𝑎 плюс 12 равно 16. Вычитая 12 с обеих сторон,
мы получаем два 𝑎 равно четырем. И как только мы разделим на два,
мы видим, что 𝑎 равно двум.
Помните, что 𝑎 представляет первый член в нашей последовательности, и наше общее отличие здесь, наше 𝑑-значение, равно двум. Это означает, что наш второй член будет четыре, наш третий член будет шесть, и шаблон будет продолжаться. Описанная арифметическая последовательность вот последовательность с первым членом из двух и общей разностью двух.
Наш следующий пример немного другой. Мы хотим найти количество средств между двумя заданными значениями, если нам дана информация о некоторых арифметических означает промежуточное значение между двумя значениями.
Найти количество средних арифметических вставляется между восемью и 238, если сумма второго и шестого средних равна 96.
Давайте подумаем о том, что мы знаем. Нам дано восемь и 238. И мы пытаемся понять, как
многие средние арифметические находятся между этими двумя значениями, учитывая сумму второго и
шестое означает 96.
Мы ничего не знаем о
членов от восьми до 238, кроме этого, но мы знаем, что каждый последующий
срок будет иметь общую разницу. Наше второе среднее — это два общих
отличия от восьми. Второе среднее третье
срок. Итак, пусть 𝑎 будет равно нашему
второе среднее.
Если 𝑎 равно нашему второму среднему значению, это
будет равно восьми плюс удвоенная общая разница 𝑑. Чтобы перейти от нашего второго средства к нашему
шестое означает, что нам нужно добавить это общее различие еще четыре раза. Итак, мы позволим шестому среднему быть
равно 𝑏. Мы можем написать 𝑏 с точки зрения нашего
первый срок и наша общая разница. 𝑏 будет равно восьми плюс шесть
𝑑. Если вы начнете с восьми и попытаетесь
чтобы получить 𝑏, вам нужно добавить общую разницу шесть раз. Мы знаем, что сумма второго
и шестое означает 96. 𝑎 плюс 𝑏 должно быть равно 96.
Мы можем подставить восемь плюс два 𝑑
для 𝑎 и восемь плюс шесть 𝑑 для 𝑏.
Когда мы объединяем одинаковые термины, мы находим что 16 плюс восемь 𝑑 равно 96. Вычитание 16 с обеих сторон дает нам восемь 𝑑 равно 80. И разделив обе части на восемь, мы получаем, что 𝑑 равно 10. Это не говорит нам, сколько средние арифметические находятся между восемью и 238. Это только говорит о том, что разница в этой последовательности составляет 10,
Теперь нам нужно придумать способ
перейти от восьми к 238 с общей разницей в 10. Мы хотим знать, начнем ли мы с
восемь, сколько подходов по 10 нам нужно добавить к восьми, чтобы получить 238? Отнимаем восемь с обеих сторон,
и мы получаем 𝑥 умножить на 10 равно 230. Если мы разделим обе части на 10, мы
получить, что 𝑥 равно 23. Это означает, что мы говорим восемь плюс
В 23 раза общая разница равна 238.
И это имеет смысл. Общая разность равна 10, поэтому
восемь плюс 230 равно 238. Но вот где мы должны быть
очень осторожно. Это 23𝑑 получает нас с первого раза
срок до последнего члена, но наш вопрос хочет знать количество средних арифметических
между 238 и 8. А это значит, что нам нужно идти один к
слева от 238.
Чтобы перейти от 238 к конечному среднему, мы вычитаем 𝑑. Если мы позволим 𝑐 быть равным конечному означает между восемью и 238, он расположен в восемь плюс 23 𝑑 минус 𝑑. Это будет равно восьми плюс 22𝑑. И что 22 делает его 22-м, что означает, что между восемью и 238 вставлено 22 средних значения.
В нашем последнем примере мы снова
пытаться найти количество средних арифметических, вставленных между двумя значениями. Но на этот раз нам дано
соотношение между двумя различными наборами средств.
Найти количество средних арифметических вставляется между двумя и 254, учитывая отношение суммы первых двух средних а сумма двух последних средних равна 11 на 245.
Давайте подумаем о том, что мы знаем. У нас есть некоторая последовательность, где первый член равен двум, а последний член равен 254. В подобных последовательностях второй слагаемое равно первому среднему, а третье слагаемое равно второму среднему. Мы позволим 𝑎 быть нашим первым средним значением и 𝑏 быть нашим вторым средством. Мы знаем, чтобы получить от нашего первого срока к нашему второму члену должна быть общая разница 𝑑. То же самое верно. Чтобы перейти от нашего второго срока к нашему третий член, нам нужно добавить общую разность 𝑑. Но как мы должны обозначить наш последний два средства?
Если бы мы начали с нашего последнего семестра 254,
последнее среднее значение будет отрицательным 𝑑 вдали от последнего члена.
Мы можем позволить 𝑒 быть нашим последним средством. И если мы возьмем последнее среднее и
вычтем общую разность 𝑑, получим предпоследнее среднее. Мы напишем наши первые два средства в
отношение к первому члену. 𝑎 будет равно двум плюс
𝑑. А 𝑏 будет равно двум плюс
два 𝑑. И тогда мы можем написать 𝑒 и 𝑓 в
выражения нашего последнего значения 254. 𝑒 будет равно 254 минус
𝑑. И 𝑓, предпоследний термин,
будет равно 254 минус два 𝑑.
Теперь наше соотношение равно сумме
первых двух на сумму вторых двух. А это значит, что мы хотим добавить 𝑎
и 𝑏 и добавить 𝑒 и 𝑓. Для первых двух средних они суммируются
до четырех плюс три 𝑑. И для последних двух средств они
сумма 508 минус три 𝑑. Возьмем эти два выражения
и установим их равными нашему отношению 11 к 245. У нас есть сумма первых двух
означает, четыре плюс три 𝑑, на сумму двух последних средних, 508 минус три 𝑑,
который должен быть равен 11 больше 245.
Когда мы скрестим умножение, мы получим 245 умножить на четыре плюс три 𝑑 равно 11 раз 508 минус три 𝑑. Итак, мы распределяем, что дает нам 980 плюс 735𝑑 слева и 5588 минус 33𝑑 справа. Затем мы добавляем 33𝑑 к обеим сторонам уравнение. И тогда нам нужно вычесть 980 с обеих сторон, чтобы получить 768𝑑 равно 4608. Когда мы разделим обе стороны уравнение на 768, мы находим, что 𝑑 равно шести. Теперь мы знаем общую разницу шесть. И нам нужно будет использовать это, чтобы выяснить, сколько средних находится между двумя и 254. Это означает, что нам нужно выяснить как мы можем получить от двух до 254 с шагом шесть.
Алгебраически это можно записать как
два плюс 𝑥 умножить на шесть равно 254, а затем найти 𝑥. Когда мы это сделаем, мы обнаружим, что 𝑥
равно 42. Это означает, что мы берем 42𝑑
и добавляем его к нашему первому члену из двух, чтобы получить 254.
Но чтобы добраться до последнего среднего, мы
нужно только добавить 41𝑑. Потому что два плюс 41 𝑑 равняется
последнее среднее, между двумя и 254 имеется 41 среднее значение.
Прежде чем мы закончим, давайте рассмотрим нашу ключевые моменты. Условия между двумя непоследовательные термины в арифметической последовательности известны как средние арифметические. Для вычисления среднего арифметического возьмем сумму группы значений и разделить на количество значений. Используя эти свойства, вы можете решить для числа средних арифметических между двумя произвольными значениями.
Видеоархив Stony Brook Mathematics
Stony Brook Mathematics Video ArchiveКанал Stony Brook Mathematics на YouTubeВидео Simons CenterСеминары, коллоквиумы и лекции
| Курсы
|
Конференции
|
