Умножение дробей с неизвестными: Умножение алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

admin

Содержание

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1.

Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.  Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
    Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями.
    После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби.

Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4
         является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

Форма урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

  • Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
  • Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
  • Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся,  интерес к математике.

Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.

Этапы урока

 Время (мин)

Слайды
Организационный момент. 2 Слайд 1
Устная работа и повторение ранее изученного 8 Слайды 2, 3, 4, 5,6
Формирование новых знаний и умений 10 Слайды 7, 8
Физкультминутка 2 Слайды 9, 10
Закрепление нового материала 5 Слайд 11
Проверка знаний (с/р) 10 Слайд 12
Постановка домашнего задания 1 Слайд 13
Подведение итогов урока 2  

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по теме «Деление дробей в уравнених». Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
Целью нашего урока является закрепление и проверка умений умножать и делить обыкновенные дроби, а также повторить навыки решения задач и уравнений.

II. Устный опрос учащихся

Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать

1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)

2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)

3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)

– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)

– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

III. Формирование новых знаний и  умений

– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)

– Чтобы решить уравнение необходимо определить какой компонент в уравнении является неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель, что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление. Выполним проверку и запишем ответ.

– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.

№ 597 (Приложение 1, слайд 7)

– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день?  (неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день?  (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.

– 14 км лыжник прошел во второй день

26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.

№  598 (Приложение 1, слайд 8)

– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.

200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок

IV. Физкультминутка

– Встаем и выполняем несколько упражнений.

А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.

V. Закрепление нового материала

№ 594

– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?

28 грибов собрал Митя

64 – 28 = 36 грибов собрал Коля

VI. «Математический выбор»

Уравнения, оцениваемые в 3 балла:                           Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:

1)                                                                      1)

2)                                                                       2)

3)                                                                    3)  

4)                                                                  4)

Уравнения, оцениваемые в 6 баллов:

1)

2)

3)

4)

Оценки: 5 – 12 баллов; 4 – 9 баллов; 3 – 6 баллов.

Каждый выбирает себе уравнения по «плечу».
Учитель во время работы оценивает учеников.

VII. Итог урока

– С каким настроением вы сегодня работали на уроке?
– Какая задача для вас была самой интересной?
– Ребята чему мы научились на сегодняшнем уроке?
– Как найти часть от числа?
– Как найти неизвестный множитель?

Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание

– С листов решить любые три уравнения, из тех которые не решали в классе.

MathOnWeb — Электронная книга по алгебре — Дробные выражения и уравнения

В этой главе мы рассмотрим дроби в четвертый и последний раз. Давайте просмотрите наши предыдущие три встречи:

  • Обыкновенные дроби. В разделе 1.2 мы представили обозначение дроби, a / b , где a и b были целыми числами для описать часть или часть целого объекта. Например, ¾ означало, что мы разбили объект на 4 равные части. части и у нас было 3 из тех частей. Обратите внимание, что a / b было числом; обозначения а / б не имели ничего общего с делением. В разделе 1.2 мы также узнали, как преобразовать дробь в самые низкие условия, как складывать и вычитать дроби, умножить дроби, разделить дроби и как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь с помощью длинного деления.
  • Разделение номеров. В разделе 2.4 мы определили деление двух чисел в терминах умножения. Мы сказали, что разделив a с помощью b произвел число c такое, что c умножить на b вернули a . Мы использовали то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда деление на / b дало обыкновенную дробь a / b . Однако в любом другом случае деление давало действительное число. В разделе 2.4 мы также узнали, что деление a на b может быть заменяется умножением на на обратное b . Наконец, мы узнали правила деления с участием знаки минус.
  • Раздел выражений. В разделе 3.5 мы видели, что существует три различных способа разделения выражений в зависимости от были ли числитель a и знаменатель b мономами, полиномами или полиномами.
    • Если бы они были мономами, затем деление a на b просто равносильно записи алгебраическая дробь, a / b , и уменьшив его до наименьших значений, как обыкновенную дробь.
    • Если бы это были многочлены, то a можно разделить на b с использованием длинного деления, точно так же, как неправильная обыкновенная дробь может быть преобразована в смешанную дробь с помощью длинного деления.
    • Если a было многочленом и b был одночленом, то мы разместили в каждом члене а над б так, чтобы результатом деления была сумма алгебраические дроби.

Осталось обсудить алгебраических дробей , то есть дробей, числитель и знаменатель являются алгебраическими выражениями. В этой главе обсуждаются алгебраические дроби и дробные уравнения. Он содержит следующие разделы:

  • раздел 11.1 — В этом разделе мы говорим о упрощение алгебраических дробей. Главный новый результат состоит в том, что поскольку теперь мы знаем, как разложить выражение на множители, мы можем разложить числитель или знаменатель, и это открывает новый способ уменьшить алгебраическая дробь до младших членов.
  • раздел 11.2 — В этом разделе мы Расскажите об умножении и делении алгебраических дробей.
  • раздел 11.3 — В этом разделе мы Расскажите о сложении и вычитании алгебраических дробей.
  • раздел 11.4 — В этом разделе мы покажем, как решать уравнения, содержащие алгебраические дроби.


11.1 — Упрощение алгебраических дробей

Некоторые определения

  • Обыкновенная дробь форма или а / б , где a , числитель , и b , знаменатель , оба являются целыми числами. Обыкновенная дробь используется для описания части или доли целого объекта. Обозначение означает, что мы разбиваем объект на b равные части, и у нас есть этих частей. Часть или часть объекта, который у нас есть это а / б .
  • Раздел определяется с точки зрения умножения. Деление числа a на число b дает число c такое, что c умножить на b дает обратно a . Мы используем то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда подразделение а / b дает обыкновенную дробь a / b .
  • Алгебраическая дробь — это дробь, у которой числитель или знаменатель являются алгебраическими выражения. Два примера алгебраических дробей:
     и .
  • рациональная алгебраическая дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель являются полиномами. Первый пример выше — это рациональная алгебраическая дробь; второй нет.
  • A правильная обыкновенная дробь обыкновенная дробь, числитель которой меньше ее знаменатель и неправильная обыкновенная дробь это тот, числитель которого больше или равен его знаменателю. Смешанная дробь — это сумма целого числа и правильной дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную дробь в смешанную дробь.
  • A правильная алгебраическая дробь — рациональная алгебраическая дробь чей числитель младше степени чем его знаменатель, а неправильная алгебраическая дробь равна единице. числитель которого больше или равен знаменателю. Смешанное выражение представляет собой сумму многочлена и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную алгебраическую дробь к смешанному выражению.

Деление на ноль

Эта операция не допускается в математике. Нажмите здесь, чтобы узнать, почему. Это означает, что в алгебраической дроби

,

x не может равняться 1 или −3, потому что эти значения x вызовут дробь, чтобы знаменатель был равен нулю.

Приведение алгебраической дроби к наименьшим членам

Посмотрите на алгебру, которую мы делаем здесь:

  • Начнем с дроби a / b .
  • Умножаем на 1. Это не изменит его значение.
  • Запишем «1» как дробь d / d .
  • Перемножаем две дроби. Числитель новой дроби равен ad и знаменатель bd .
  • Последняя дробь равна эквивалентно в первой дроби.

Если мы пойдем в обратном направлении, то мы скажем, что сводим дробь к ее простейшая эквивалентная дробь или низшая дробь . Для этого находим любой множитель, который содержится и в числителе, и в знаменателе. и зачеркнуть или зачеркнуть , например:


Пример: Сократите обыкновенные дроби 10/6 и 10/5 до меньших значений.

Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 2.
Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 5. Результат деления — целое число. Мы говорим, что знаменатель делит без остатка . в числитель.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны мономов , то выполните все следующие шагов, чтобы сократить дробь до наименьшего члена :

  • Получите знак, используя правила для знаков.
  • Уменьшить коэффициент до минимума.
  • Отмена идентичных множителей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе.
  • Объедините экспоненты с одинаковым основанием, используя свойство деления экспонент.


Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Перед результатом ставится знак − или перед числителем; никогда не стоит перед знаменателем.

Уменьшить коэффициент 6/9к самые низкие условия.



Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Два знака — заменены знаком +, который нам не нужно отображать. Коэффициент снижается до ¼. Числитель содержит другие множители, поэтому 1 в числителе можно опустить.

Объедините экспоненты с основанием x с использованием свойств экспоненты.



Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Знак − ставится впереди. Коэффициент снижается до 1/3. одинаковых множителей из x 3 в числителе и знаменателе сокращаются. Числитель не содержит других множителей, поэтому на этот раз должна отображаться 1.


Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

После проведения всех упрощений знаменатель равен 1, поэтому нам не нужно его отображать. Таким образом, результатом является обычное выражение, не алгебраическая дробь.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны многочленов , тогда в дополнение к шагам, перечисленным выше, попробуйте выполнить следующие шагов, чтобы сократить дробь до минимального значения :

  • Разложите на множители числитель, знаменатель или оба. Иногда это вызывает новые появляются аннулирующие факторы.
  • Множитель a − знак вне числителя или знаменателя. Иногда это приводит к появлению нового фактора отмены.

В следующих примерах мы будем предполагать, что вы уже знаете как сделать факторинг поэтому мы просто покажем, как использовать множители для сведения алгебраических дробей к самые низкие условия.

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Разложите числитель и знаменатель на множители.

Отменить общий делитель x .


Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Разложить числитель на множители.

Отменить общий делитель x − 2.


Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.

Решение: Это та же алгебраическая дробь, что и в предыдущем примере, за исключением что знаменатель отличается знаком -.

Разложить на множители числитель и фактор a − выйти знаменателя.

Отменить общий делитель x − 2.

Подставить знак − к числителю и распространять его.




11.2 — Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение алгебраических дробей

Порядок умножения алгебраических дробей такой же, как и порядок умножения алгебраических дробей. умножение обыкновенных дробей.


Умножение двух алгебраических дробей дает новую алгебраическую дробь. Умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель, и умножьте два знаменателя, чтобы получить новый новый знаменатель:
Затем упростите, сократив новую дробь до наименьших членов.

Примеры:

Деление алгебраических дробей

Порядок деления алгебраических дробей такой же, как и порядок деления алгебраических дробей. деления обыкновенных дробей.


Замените деление на дробь на умножение на обратную дробь , например:
Затем выполните умножение двух дробей как описано выше.

Обратите внимание, что вы берете обратную дробь внизу!


Вот почему эта процедура работает:
Суть в том, что вместо того, чтобы видеть дробь, деленную на дробь, ищите одну дробь, числитель и знаменатель которой являются дробями. На первом шаге мы умножили эту дробь на UFOO числитель и знаменатель которого являются дробями. НЛО был выбран так, чтобы дроби в знаменателе сокращались и давали 1. После другого упрощение, оставившее только окончательное умножение дробей.

Примеры: Найдите следующие три шага: (1) инвертируйте нижнюю дробь, (2) умножить дроби, (3) упростить.



11.3 — Сложение и вычитание алгебраических дробей

Процедура сложения или вычитания алгебраических дробей такая же, как и процедура сложение или вычитание обыкновенных дробей.


Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Фракции, имеющие равные знаменатели, также называются , как и дроби .


Чтобы сложить или вычесть две одинаковые дроби, просто сложите или вычтите числители и поднесите результат к общему знаменателю, так:

Пример:  


Сложение дробей с неравными знаменателями


Чтобы сложить или вычесть дроби, у которых знаменатели не равны, их нужно сначала преобразовать к эквивалентным дробям, которые делают имеют общий знаменатель. Вот шаги:
  1. Найдите наименьшее общее кратное знаменатели. Применительно к дробям это число называется наименьшим общим числом. знаменатель (ЖК) дробей.
  2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую LCD как его знаменатель. Для этого умножьте числитель на знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель, благодаря которому это происходит.
  3. Сложите числители и поместите над общим знаменателем.
  4. Упростите результат, сократив его до минимума.

Пример: . Чтобы вычесть эти дроби, выполните следующие действия:

  1. Найдите ЖК, это 10.
  2. Так как в знаменателе первой дроби уже есть LCD, нам нужно только умножьте вторую дробь на 5/5, чтобы преобразовать ее в эквивалентную дробь с знаменатель 10.
  3. Вычтите числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
  4. Упростите, сократив дробь до меньших членов.

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:

  1. Найдите ЖК-дисплей, который имеет размер (4 x  − 1)( x  + 3).
  2. Умножить числитель и знаменатель первой дроби на ( x + 3) и числитель и знаменатель второй дроби на (4 x  − 1):
  3. Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
  4. Упростите, распределив числитель.


Сложение дробей с факторизуемыми знаменателями


Вы должны всегда факторизовать знаменатели. Это единственный способ определить, является ли фактор появляется более чем в одном знаменателе.

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:

  1. Разложите знаменатель первой дроби на множители. Тогда мы видим, что факторы x — 2 и x — 3 появляются более чем в одном знаменателе:
  2. Найдите ЖК-дисплей, который равен ( x − 2)( x − 3).
  3. Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на ( x − 3) и числитель и знаменатель третьей дроби на ( x — 2):
  4. Теперь обе дроби имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
  5. Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

Сложение дробей и не дробей (смешанные выражения)


Чтобы сложить или вычесть дроби и не дроби, преобразуйте не дроби в дроби со знаменателем 1.

Пример: . Чтобы добавить эту дробь и не дробь, выполните следующие действия:

  1. Запишите не дробь в виде дроби со знаменателем 1:
  2. Найдите ЖК-дисплей, который, конечно же, ( x − 2).
  3. Умножить числитель и знаменатель первой дроби на ( х — 2):
  4. Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
  5. Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.


11.4 — Дробные уравнения

Прежде чем читать этот раздел, вы можете рассмотреть следующие темы:

  • Основы решения уравнений.
  • Техника очистки фракций для решение линейных уравнений.
  • Как найти наименьший общий знаменатель (ЖК) алгебраических дробей.

Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены. В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , содержащее дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:

  • Посмотрите на знаменателей всех дробей и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (LCD) дробей).
  • Умножьте обе части уравнения на LCM.
  • Распределите LCM по обеим частям уравнения.
  • Уравнение больше не содержит дробей, и вы можете продолжить его решение с помощью основных процедур решения уравнений.
  • Проверьте решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там две возможные проблемы:
    • Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то LCM будет также содержат x , и умножение обеих частей уравнения на LCM даст увеличьте степень x в уравнении. Это часто приводит к посторонним решениям.
    • При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, в результате которого любой член дроби имеет нулевой знаменатель, должно быть отброшено. потому что деление на ноль запрещено в математике.

Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Члены дробей имеют знаменатели 3, 2 и 6. НОК этих чисел равен 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим частям уравнения:

4 х — 3 = 6 x + 7.

Фракции теперь очищены, так что это больше не дробное уравнение. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части. Это дает:

−2 x = 10.

Разделите обе части на −2. Это дает решение:

х = −5.

Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23/6 = -23/6, так что решение проверено.

Пример 2: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Члены дробей имеют знаменатели x  2 + x − 2,   x + 2,   и   x  – 1. Может показаться, что LCM является продуктом всех трех, но поскольку x  2 + x − 2 можно разложить на множители как ( x + 2)( x — 1), LCM на самом деле просто ( x + 2)( x — 1). Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим частям уравнения:

9 = 3 ( х — 1) + 7 ( х + 2).

Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите ее, используя обычные методы. Распределите еще раз на правой стороне:

9 = 10 x + 11.

Соберите постоянные члены в левой части:

−2 = 10 х .

Разделите обе части на 10. Это дает решение:

х = −1/5.

Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -25/6 = -25/6, так что решение проверено.

Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно быть отклонено, потому что оно вызывает деление на ноль . Уравнение идентично один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного термина. Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в приведенном выше примере. Умножьте обе части уравнения на LCM, что снова равно ( х + 2)( х — 1):

Распределите по обеим частям уравнения:

9 = −3 ( x  – 1) + 7 ( x + 2).

Распределите еще раз на правой стороне:

9 = 4 x + 17.

На этот раз решение x = -2.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *