Умножение дробей с неизвестными: Умножение алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Как решать выражения со степенями и дробями. Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

  • обучающие – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
  • развивающие – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
  • воспитывающие – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.
  • Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

    План урока:

  • Организационный момент.
  • Повторение правил
  • Устный счет.
  • Историческая справка.
  • Работа у доски.
  • Физкультминутка.
  • Работа на интерактивной доске.
  • Самостоятельная работа.
  • Домашнее задание.
  • Подведение итогов урока.
  • Ход урока

    I. Организационный момент

    Сообщение темы и целей урока.

    На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

    II. Повторение правил (устно)

    1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а .)
    2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
    3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
    4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
    5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
    6. III. Устный счет (по мультимедиа)

      IV. Историческая справка

      Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

      Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

      V. Работа у доски

      Найдите значение выражения рациональным способом:

      Вычислите значение выражения:

      VI. Физкультминутка

    7. для глаз
    8. для шеи
    9. для рук
    10. для туловища
    11. для ног
    12. VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

      Является ли корень уравнения положительным числом?

      xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

      Формулы степеней и корней.

      Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

      Число c является n -ной степенью числа a когда:

      Операции со степенями.

      1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

      2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

      3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

      (abc…) n = a n · b n · c n …

      4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

      5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

      Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

      Операции с корнями.

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

      3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

      5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

      Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

      Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

      Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

      Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

      Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

      Формулы степеней.

      6. a n = — деление степеней;

      7. — деление степеней;

      8. a 1/n = ;

      Степени правила действия со степенями

      1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

      (abc…) n = a n b n c n …

      Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

      Практически более важно обратное преобразование:

      a n b n c n … = (abc…) n

      т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

      Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

      2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

      Пример 5. Пример 6.

      Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

      3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

      Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

      4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

      Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

      5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

      Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

      www.maths.yfa1.ru

      Степени и корни

      Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

      нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

      Операции со степенями.

      1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

      a m · a n = a m + n .

      2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели

      вычитаются .

      3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

      4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

      (a / b ) n = a n / b n .

      5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

      Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

      П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

      Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

      3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень

      подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

      5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


      Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

      Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

      Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

      П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

      Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

      Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

      П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

      Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

      О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

      где a ≠ 0 , не существует.

      В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

      любое число.

      В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

      0 0 — любое число.

      Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

      1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

      2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

      что x – любое число; но принимая во внимание, что в

      нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

      Свойства степени

      Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

      Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

      Свойство № 1


      Произведение степеней

      При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

      a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4


    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
    • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    • Пример. Вычислить.
      2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
    • Пример. Вычислить.
      0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
    • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5


      Степень частного (дроби)

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
    • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    9. Разделите (h 3 — 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Определение 1

    Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

    В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Пример 1

    Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .

    Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

    Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

    Пример 2

    Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Пример 3

    Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

    Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

    Определение 2

    • a r · a s = a r + s ;
    • a r: a s = a r − s ;
    • (a · b) r = a r · b r ;
    • (a: b) r = a r: b r ;
    • (a r) s = a r · s .

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Пример 4

    Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

    Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Пример 5

    Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

    Решение

    Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

    Есть еще один способ провести преобразования:

    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Пример 6

    Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

    Решение

    Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

    Ответ: t 3 − t − 6 .

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Пример 7

    Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

    Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Пример 8

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

    a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

    Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

    Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

    Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

    Пример 9

    Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

    Получаем:

    30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

    Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Пример 10

    Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

    Вычтем числители:

    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

    Теперь умножаем дроби:

    4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

    Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

    Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

    Пример 11

    Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

    Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

    Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Пример 12

    Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

    Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

    Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

    Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

    Цели:

    • обучающие – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
    • развивающие – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
    • воспитывающие – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

    План урока:

    1. Организационный момент.
    2. Повторение правил
    3. Устный счет.
    4. Историческая справка.
    5. Работа у доски.
    6. Физкультминутка.
    7. Работа на интерактивной доске.
    8. Самостоятельная работа.
    9. Домашнее задание.
    10. Подведение итогов урока.

    Ход урока

    I. Организационный момент

    Сообщение темы и целей урока.

    На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

    II. Повторение правил (устно)

    1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведениеn множителей, каждый из которых равен а .)
    2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
    3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
    4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
    5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)

    III. Устный счет (по мультимедиа)

    IV. Историческая справка

    Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

    Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

    V. Работа у доски

    Найдите значение выражения рациональным способом:

    Вычислите значение выражения:

    VI. Физкультминутка

    1. для глаз
    2. для шеи
    3. для рук
    4. для туловища
    5. для ног

    VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

    Является ли корень уравнения положительным числом?

    а) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

    б) (10,381) 5 = (-0,012) 3 — 2x (x

    VIII. Самостоятельная работа

    IX. Домашнее задание

    Х. Подведение итогов урока

    Анализ результатов, объявление оценок.

    Полученные знания о степенях мы будем применять при решении уравнений, задач в старших классах, также они часто встречаются в ЕГЭ.

    Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c является n -ной степенью числа a когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m ·a n = a m + n .

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    (a m) n = a m n .

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

    Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

    Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

    Калькулятор дробей

    Дроби

    Что такое дроби и как их решать

    Дробь в математике – это число, являющееся частью единицы или несколькими её частями. То есть если мы хотим указать на половину части целого, то мы пишем обыкновенную дробь ½.

    Дробью необязательно мы можем указать часть целого. С помощью дроби мы можем обозначить вообще любое число. Например, дробь 4/2 будет равняться двум, то есть целому числу.

    Обыкновенная дробь представляет собой два числа, разделенных горизонтальной чертой – знаком деления. Число, которое располагается над чертой, – числитель, а число под чертой – знаменатель. Знаменатель обозначает количество равных частей, на которое делится целое, а числитель дроби – количество взятых частей данного целого для дальнейшего деления на знаменатель.

    Дробь может иметь десятичную форму. Например, обыкновенная дробь 1/10 может обозначаться как 0,1 в десятичной форме. Десятичная форма – это рациональное или иррациональное число, обозначающее дробь. Десятичная форма, может иметь бесконечный вид, например, дробь 1/3 имеет в десятично виде бесконечную форму 0,333333333…

    Дроби могут быть правильными и неправильными. Правильной называют такую дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В случае если числитель дроби больше знаменателя, она называется неправильной. Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби называется смешанной. А дробь, которая не имеет целую часть, называется простой дробью. Любую смешанную дробь можно преобразовать в неправильную простую дробь.

    Так же читайте нашу статью «Калькулятор факториалов онлайн»

    Как пользоваться калькулятором дробей?

    Воспользоваться калькулятором дробей вы всегда сможете на сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить дробное выражение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

    Деление натуральных чисел и его свойства, правила и примеры.

    Деление натуральных чисел.

    Рассмотрим понятие деление на задаче:
    В корзине лежало 12 яблок.  Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?

    Решение:
    Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
    Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.

    x⋅6=12

    Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
    Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.

    Рассмотрим подробно пример 12:6=2:

    Число 12 называется делимым. Это число, которое делят.
    Число 6 называется делителем. Это число, на которое делят.
    И результат деления число 2 называют частным. Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

    В буквенном виде деление выглядит так:
    a:b=c
    a – делимое,
    b – делитель,
    c – частное.

    Так что же такое деление?

    Деление – это действие, обратное умножению. По произведению одного множителя мы можем найти другой множитель.

    Деление проверяется умножением, то есть:
    a:b=c, проверка с⋅b=a
    18:9=2, проверка 2⋅9=18

    Неизвестный множитель.

    Рассмотрим задачу:
    В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?

    Решение:
    x – неизвестное количество упаковок шаров.
    3 – штуки в одной упаковки шаров.
    30 – всего шаров.

    x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный множитель нужно, произведение поделить на известный множитель.
    х=30:3
    х=10.

    Ответ: 10 упаковок шаров.

    Неизвестное делимое.

    Рассмотрим задачу:
    В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?

    Решение:
    x – всего карандашей,
    6 – карандашей в каждой упаковке,
    3 – упаковки карандашей.

    Запишем уравнение задачи в виде деления.
    x:6=3
    x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
    х=3⋅6
    х=18

    Ответ: 18 карандашей.

    Неизвестный делитель.

    Разберём задачу:
    Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?

    Решение:
    х – количество шаров, которое купил один покупатель,
    5 – количество покупателей,
    15 – количество шаров.
    Запишем уравнение задачи в виде деления:
    15:х=5
    х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
    х=15:5
    х=3

    Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.

    Свойства деления натурального числа на единицу.

    Правило деления:
    Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.

    7:1=7
    a:1=a

    Свойства деления натурального числа на нуль.

    Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
    Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
    Правило деления:
    Делить на нуль нельзя.

    Свойства деления нуля на натуральное число.

    0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
    0:a=0
    Правило деления:
    При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.

    Свойство деления одинаковых чисел.

    3:3=1
    a:a=1
    Правило деления:
    При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.

    Вопросы по теме “Деление”:

    В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
    Ответ: a:b и c.

    Что такое частное?
    Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

    При каком значении m запись 0⋅m=5?
    Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

    Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
    Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.

    Пример №1:
    Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
    Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41

    Пример №2:
    При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9

    а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
    х – неизвестное делимое,
    6 – делитель,
    8 – частное.
    х=8⋅6
    х=48

    б) 54 – делимое,
    х – делитель,
    9 – частное.
    Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
    х=54:9
    х=6

    Задача №1:
    У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
    Решение:
    Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
    15+15+15=45
    Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
    Второй способ:
    45:15=3

    Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.

    Умножение алгебраических дробей | Алгебра

    Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:

    1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.

    При этом многочлены нужно разложить на множители.

    2) Если можно, сократить дробь.

    Замечание.

    При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.

    Примеры умножения алгебраических дробей.

       

    При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:

       

    Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:

       

       

    Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно разложить на множители.

    В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:

       

    Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):

       

       

    Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

       

    (a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:

       

       

    При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.

    В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — неполный квадрат разности (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:

       

    Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):

       

    В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.

    Как умножать рациональные дроби с двумя переменными

    Рациональная дробь — это любая дробь, в которой знаменатель не равен нулю. В алгебре рациональные дроби имеют переменные, которые представляют собой неизвестные величины, представленные буквами алфавита. Рациональные дроби могут быть одночленами, имеющими по одному члену в числителе и знаменателе, или полиномами, имеющими несколько членов в числителе и знаменателе. Как и в случае с арифметическими дробями, большинство учащихся считают умножение алгебраических дробей более простым процессом, чем их сложение или вычитание.

    Одночлены

      Умножить коэффициенты и константы в числителе и знаменателе отдельно. Коэффициенты — это числа, присоединенные к левым частям переменных, а константы — это числа без переменных. Например, рассмотрим задачу (4×2)/(5y) * (3)/(8xy3). В числителе умножьте 4 на 3, чтобы получить 12, а в знаменателе умножьте 5 на 8, чтобы получить 40.

      Умножьте переменные и их показатели степени в числителе и знаменателе отдельно.При умножении степеней с одинаковым основанием сложите их степени. В примере в числителях не происходит умножения переменных, потому что в числителе второй дроби отсутствуют переменные. Значит, числитель остается х2. В знаменателе умножьте y на y3, получив y4. Следовательно, знаменатель становится xy4.

      Объедините результаты двух предыдущих шагов. В примере получается (12×2)/(40xy4).

      Сократите коэффициенты до наименьшего члена, вынеся и сократив наибольший общий множитель, как в неалгебраической дроби.1, обычно пишется просто x. Поместите его в числитель, так как изначально он имел больший показатель степени. Итак, ответ на пример: (3x)/(10y4).

    Многочлены

      Разложите на множители числители и знаменатели обеих дробей. Например, рассмотрим задачу (x2 + x – 2)/(x2 + 2x) * (y – 3)/(x2 – 2x + 1). Факторинг дает [(x – 1)(x + 2)]/[x(x + 2)] * (y – 3)/[(x – 1)(x – 1)].

      Отменить и перекрестно отменить любые множители, общие как для числителя, так и для знаменателя.Отмените члены сверху вниз в отдельных дробях, а также диагональные члены в противоположных дробях. В примере (x + 2) членов в первой дроби сокращаются, а (x — 1) члены в числителе первой дроби сокращаются в одном из (x — 1) членов в знаменателе второй дроби. Таким образом, единственный оставшийся множитель в числителе первой дроби равен 1, и пример становится 1/x * (y – 3)/(x – 1).

      Умножьте числитель первой дроби на числитель второй дроби и умножьте знаменатель первой дроби на знаменатель второй.Пример дает (y – 3)/[x(x – 1)].

      Раскройте все термины, оставшиеся в факторизованной форме, удалив все круглые скобки. Ответ на пример: (y – 3)/(x2 – x) с ограничением, что x не может равняться 0 или 1.

    Решение многошаговых линейных уравнений с дробями

    Нам нужно более двух операций, чтобы решить линейное уравнение . Использовать обратные операции для отмены каждой операции в обратном порядке.

    Если уравнение содержит дроби, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (ЖК-дисплей) для очистки фракций.

    Этапы решения многошагового уравнения:

    Шаг 1 Очистить уравнение дробей.

    Шаг 2 Использовать Распределительное свойство чтобы убрать скобки с каждой стороны.

    Шаг 3 Объединение подобных терминов с каждой стороны.

    Шаг 4 Отменить сложение или вычитание.

    Шаг 5 Отменить умножение или деление.

    Пример:

    Решить 2 у 3 + у 2 знак равно 7 .

    Решение

    Наименьший общий знаменатель (LCD) в этом случае равен 6 . Итак, умножьте обе части уравнения на 6 .

    6 ( 2 у 3 + у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

    Использовать распределительный закон в левой части уравнения.

    6 ( 2 у 3 ) + 6 ( у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

    Умножить.

    4 у + 3 у знак равно 42

    Соедините подобные термины.

    7 у знак равно 42

    Отменить умножение.Разделите каждую сторону на 7 .

    7 у 7 знак равно 42 7

    Упрощать.

    у знак равно 6

    Уравнения дробей: алгебраические дроби

    Всякий раз, когда я преподаю алгебраические дроби (рациональные выражения) в классе алгебры, это мой любимый раздел для преподавания. Я говорю своим ученикам, что «здесь происходит волшебство.»

    Мне не верят. Они не думают, что в дробях есть что-то волшебное.

    И они могут быть правы, но это, безусловно, волшебство, когда вы можете заставить исчезнуть все дроби . И это то, что мы собираемся сделать. Вы готовы к волшебству?

    Пример №1

    Найдите x, если + =

    Решение №1

    Как и всегда, мы собираемся проверить, не будет ли что-либо учтено и/или уменьшено.Ничего, в данном случае. Итак, теперь мы переходим к следующему шагу: поскольку у нас есть сложение дробей, мы собираемся найти ЖК-дисплей. Поскольку знаменатели равны 3, 2 и 2 · 3, ЖКД равен 2 · 3 = 6.

    Теперь, если бы это были просто рациональные выражения , мы бы каждое из них привели к общему знаменателю. Но это не 90 101, а просто 90 102 рациональных выражения; они являются частью уравнения. А в уравнении мы можем умножить обе части уравнения на одно и то же, и мы не изменим смысла уравнения.Так на что мы умножаем? Умножаем на ЖК. Смотрите, что происходит:

    6( + ) = 6()

    2х + 3х = 25

    5х = 25

    х = 5

    Вы видели, как произошло волшебство? В одной строке у нас было три дроби, и одним простым действием (умножением обеих частей уравнения на LCD) мы заставили дроби исчезнуть . Нам даже не пришлось махать волшебной палочкой! А потом мы вернулись к задачам, которые все решали в первые пару месяцев занятий по алгебре!

    Конечно, вы захотите подставить этот ответ обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно работает.

    Пример №2

    Решите для х: — = 1

    Решение №2

    Давайте перепишем это с круглыми скобками, просто чтобы напомнить себе, что дробная черта группирует эти биномы:

    — = 1

    Ничего не отменяет и не уменьшает, поэтому находим общий знаменатель. LCD = 12. Теперь наступает волшебный шаг — мы собираемся умножить обе части уравнения на 12.

    12(-) = 12(1)

    3(х + 1) — 4(х — 5) = 12

    3х + 3 — 4х + 20 = 12

    -х + 23 = 12

    х = 11

    Процесс ничем не отличается, даже если в знаменателе есть переменные.

    Пример №3

    Решите для х: + =

    Решение №3

    + =

    LCD для этих трех дробей равен 4(x + 6), так что мы умножим обе части уравнения на:

    4(х + 6)(} + ) = 4(х + 6)()

    4x + x + 6 = x 2 + 6x

    Это уравнение является квадратным, поэтому мы хотим получить все в одну сторону, чтобы мы могли факторизовать и использовать нулевое правило умножения:

    х 2 + х — 6 = 0
    (х + 3)(х — 2) = 0

    х = -3 или х = 2

    Оба этих ответа работают в исходном уравнении.

    На этом вы подошли к концу нашего раздела по алгебраическим дробям. Поздравляем! Попробуйте решить приведенные ниже задачи для практики.

    Как умножать алгебраические дроби? – idswater.com

    Как умножать алгебраические дроби?

    Чтобы умножить дроби, умножьте верхние числа (числители) вместе и умножьте нижние числа (знаменатели) вместе и при необходимости упростите ответ.

    Как умножать дроби с неизвестными переменными?

    Первым шагом к нахождению неизвестного числителя или знаменателя в дроби является перекрестное умножение числителей и знаменателей.Для перекрестного умножения умножьте каждый числитель на знаменатель противоположной дроби. Это создаст новое уравнение, которое не является дробью и его будет легче решить.

    Как умножать дроби с переменными?

    Чтобы умножать и делить дроби с переменными: множить все числители и знаменатели полностью, использовать правила умножения и деления дробей: $$ \\frac{A}{B}\\cdot\\frac{C}{D} = \\ гидроразрыв {AC}{BD} $$. (чтобы умножить дроби, умножьте «поперек») [прекрасная математика получается… отмените все общие множители; то есть избавиться от любых лишних «множителей $\\,1\\,$»

    Как умножить целое число на дробь?

    Умножение дробей на целые числа Перепишите целое число как дробь.Чтобы преобразовать целое число в дробь, просто поместите целое число над 1. Перемножьте числители двух дробей. Помните, что числители — это числа над чертами. Перемножьте знаменатели двух дробей.

    Как вы делите дроби с показателями степени?

    Чтобы разделить показатели степени по одному основанию, вычтите показатель степени по второму основанию (знаменатель дроби) из показателя степени по первому (числитель дроби). Общее правило таково: x a ÷ x b = x (a − b). Вы можете использовать это правило, только если основание одинаковое.

    Как решить X дробями?

    Как найти x в дробях. Решите для x путем перекрестного умножения и упрощения уравнения, чтобы найти x. Пример: Учитывая уравнение 4/10 = x/15, найдите x. Крест умножить дроби. 4*15=10*х. Решите уравнение относительно х. x = (4 * 15) / 10. Упростите для x.

    Понимание дробей для понимания алгебры

    Дроби говорят: «У меня есть эквивалент».

    Дроби говорят: «Посмотри на мой знаменатель, прежде чем складывать.

    Дроби говорят: «Посмотри на мой знаменатель, прежде чем вычитать».

    Дроби говорят: «Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, чтобы умножить».

    Дроби говорят: «Переверните второй член, затем следуйте правилам умножения, если вы должны разделить».

    Когда вы видите, что ваш ребенок борется с алгеброй, вы делаете все возможное, чтобы помочь ему войти в дружественную зону комфорта. Часто ребенку трудно точно определить, что заставляет его «просто не понимать».Как только он выходит из путаницы алфавитов, выдающих себя за числа, он чувствует себя уверенно на пути к пониманию алгебры. К сожалению, он постоянно натыкается на «4/5 c» или «2/3 d». Эти дроби встречаются везде, куда бы он ни повернулся; Они есть у числовых свойств, у радикалов, у полиномиальных выражений, у функций, у уравнений, у неравенств. Как он может пройти курс? В этот момент вы понимаете, что дроби сдерживают вашего ребенка от дальнейшего изучения алгебры.Он не может понять алгебру, потому что не понимает дробей. Вы говорите ему: «Понимать дроби, чтобы понимать алгебру».

    Чтобы очистить почву от сложностей фракций, вы осматриваетесь в поисках определенных областей, где могут возникнуть проблемы. Что сразу бросается в глаза, так это площадь эквивалентных дробей.

    Эквивалентные дроби — это дроби, которые переименовывают другую дробь. Это дроби, имеющие одинаковое значение. Если одну дробь уменьшить, вы получите эквивалентную ей дробь.Если вы нашли наименьший общий знаменатель для двух или более дробей при сложении или вычитании, вы выполняете операцию, превращая дроби в равнозначные дроби.

    Признание 1: Освежить изучение эквивалентных дробей, если кто-то в настоящее время занимается алгеброй и спорит с дробями.

    Посмотрите еще раз. После эквивалентных дробей взгляните на сложение или вычитание дробей и начните с полиномиальных выражений. Появляясь в начале изучения алгебры, полиномиальные выражения требуют, чтобы учащиеся группировали одинаковые термины вместе, а затем упрощали.Группировка подобных терминов означает, что вы собираете вместе все «а», все «б» и все «в» вместе; Положите все яблоки в корзину номер один, положите все бананы в корзину номер два и положите все кексы в корзину номер три.

    Теперь вы должны их добавить или вычесть:

    (5/9 а + 2/9 а) – (3/8 б + 2/8 б) = 7/9 а – 5/8 б

    Хотя группировка и упрощение подобных терминов выдвигает на первый план алгебру, учащийся может сбиться с пути из-за необходимости складывать или вычитать дроби. Здесь нужно научиться или заново научиться складывать или вычитать дроби не только ради упрощения полиномиальных выражений, но и ради уравнений, неравенств, функций, радикалов, квадратных уравнений и других понятий алгебры.

    Чаще всего знакомство с правилом для знаменателей определяет, насколько хорошо выполняется сложение и вычитание. Проще говоря, знаменатели должны быть одинаковыми для всех дробей, участвующих в сложении или вычитании. Если знаменатели не совпадают, то учащиеся должны найти LCD (наименьший общий знаменатель) и изменить дроби, прежде чем продолжить операцию.

    Признание 2: Правила сложения и вычитания дробей остаются важными в любых алгебраических выражениях, уравнениях и неравенствах.                             

    Взгляните еще раз: умножение или деление дробей занимает прочную основу в алгебраических горах уравнений, неравенств и других долин понятий.

    Если вы рассматриваете простое уравнение, которое вы решали для одной переменной, ваша стратегия, вероятно, привела вас к тому, чтобы сделать то же самое с обеими частями уравнения, чтобы изолировать переменную в одной части уравнения.Это означает, что вы прибавили, вычли, умножили или разделили одно и то же число в обеих частях уравнения. Число может быть дробью. Если учащийся уже знает, как использовать эти операции с дробями, его внимание будет направлено на поиск переменной. Он не сойдет с пути, чтобы выучить или переучить практические приемы работы с дробями.

    5Х + 3/5 = 30 3/5

    5X  +  3/5  —  3/5  =  30 3/5 —  3/5  >>>> Здесь вы вычли 3/5 из обеих частей уравнения.

    5X = 30 >>>>>>>>> Результат вычитания — простая задача на умножение.

    5X/5 = 30/5 >>>>>> Здесь обе части уравнения делятся на 5.

    X = 6 >>>>>>>>>> Здесь переменная изолирована в одной части уравнения. Уравнение решено.

    Признание 3: Умножение и деление дробей имеют решающее значение для решения задач по алгебре.

    В сущности, независимо от того, решаете ли вы, как сделать эквивалентные дроби в любой задаче по алгебре, упрощаете полиномиальные выражения посредством сложения или вычитания или решаете одну переменную в уравнении, которое может использовать умножение и деление, мы приходим к выводу, что понимание дробей улучшает наши знания. понимание алгебры.

    Copyright 2016 The Old Schoolhouse® используется с разрешения. Все права принадлежат автору. Первоначально появился в зимнем выпуске 2016 года The Old Schoolhouse® Magazine, журнала семейного образования.

    открытых учебников | Сиявула

    Математика

    Наука

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 7А

          • Класс 7Б

          • Класс 7 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 7А

          • Граад 7Б

          • Graad 7 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 8А

          • Класс 8Б

          • Класс 8 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 8А

          • Граад 8Б

          • Graad 8 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 9А

          • Класс 9Б

          • Класс 9 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 9А

          • Граад 9Б

          • Graad 9 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 4А

          • Класс 4Б

          • Класс 4 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 4А

          • Граад 4Б

          • Graad 4 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 5А

          • Класс 5Б

          • Класс 5 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 5А

          • Граад 5Б

          • Graad 5 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

      • Читать онлайн
      • Учебники

        • Английский

          • Класс 6А

          • Класс 6Б

          • Класс 6 (объединенные А и В)

        • Африкаанс

          • Граад 6А

          • Граад 6Б

          • Graad 6 (A en B saam)

      • Пособия для учителей

    Лицензирование нашей книги

    Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

    CC-BY-ND (фирменные версии)

    Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете копировать, распечатывать и распространять их столько раз, сколько захотите. Вы можете загрузить их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете каким-либо образом адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, логотипы спонсоров и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

    Узнайте здесь больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

    CC-BY (версии без торговой марки)

    Эти небрендированные версии одного и того же контента доступны для совместного использования, адаптации, преобразования, изменения или дальнейшего развития любым способом, при единственном требовании — отдать должное Сиявуле. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.

    (PDF) РАССМОТРЕНИЕ СТУДЕНТОВ С ДРОБЯМИ И НЕИЗВЕСТНЫМИ

    Список литературы

    Cobb, P.и Гравемейер, К. (2008). Эксперименты для поддержки и понимания процессов обучения

    . В AE Kelly, RA Lesh & JY Baek (Eds.), Handbook of design research

    методы в образовании: инновации в науке, технологиях, инженерии и математике

    обучение и преподавание (стр. 68-95). Нью-Йорк: Рутледж.

    Клемент, Дж. (2000). Анализ клинических интервью: основы и жизнеспособность модели. В R. Lesh

    & AE Kelly (Eds.), Справочник по дизайну исследований в области математики и естественных наук

    (стр. 547-589). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

    Хакенберг, А. Дж. (2009). Взаимосвязь между знанием дробей учащихся и решением уравнения

    . Презентация доклада на исследовательской сессии ежегодной конференции

    Национального совета учителей математики (NCTM), Вашингтон, округ Колумбия,

    , Хакенберг, А. Дж. (2010). Рассуждения студентов с обратимыми мультипликативными отношениями.

    Познание и обучение, 28(4), 1-50.

    Хакенберг, А.Дж., и Тиллема, Э.С. (2009). Мультипликативные концепции целых чисел учащихся: критический конструктивный ресурс

    для схем состава дробей. Журнал Mathematical

    Поведение, 28, 1-18.

    Килпатрик, Дж., и Изсак, А. (2008). История алгебры в школьной программе. В C. Greenes

    (Ed.), Алгебра и алгебраическое мышление в школьной математике: Ежегодник NCTM за 2008 г. (стр.3-

    18). Рестон, Вирджиния: NCTM.

    Ламон, С.Дж. (2007). Рациональные числа и пропорциональные рассуждения. В FKJ Lester (Ed.),

    Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (стр. 629-667).

    Шарлотта, Северная Каролина: век информации.

    Национальная консультативная группа по математике (NMAP). (2008с). Отчет рабочей группы по концептуальным

    навыкам и знаниям. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.

    Нортон А. и Уилкинс Дж.Л. М. (2009). Количественный анализ детских операций дробления и

    дробных схем. Журнал математического поведения, 28, 150-161.

    Смит, Дж. П., и Томпсон, П. В. (2008). Количественные рассуждения и развитие алгебраических

    рассуждений. В JJ Kaput, DW Carraher & ML Blanton (Eds.), Алгебра в начальных классах (стр.

    95-132). Нью-Йорк: Лоуренс Эрлбаум.

    Штеффе, Л. П. (1994). Детские схемы умножения.В G. Harel & J. Confrey (Eds.),

    развитие мультипликативных рассуждений в изучении математики (стр. 3-39). Олбани,

    Нью-Йорк: State University of New York Press.

    Стеффе, Л. П., и Олив, Дж. (2010). Фрагментарные знания детей. Нью-Йорк: Спрингер.

    Стеффе, Л.П., и Томпсон, П.В. (2000). Методология обучающего эксперимента: основные принципы и основные элементы

    . В R. Lesh & AE Kelly (Eds.), Справочник по исследованиям

    , дизайн в области математики и естественных наук (стр.267-306).

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.