Компоненты сложения, вычитания, умножения и деления
Просмотр содержимого документа
«Компоненты сложения, вычитания, умножения и деления»
1.Компоненты сложения +
СЛАГАЕМОЕ + СЛАГАЕМОЕ = СУММА
Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ надо из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.
2.Компоненты вычитания —
УМЕНЬШАЕМОЕ — ВЫЧИТАЕМОЕ = РАЗНОСТЬ
Чтобы найти неизвестное УМЕНЬШАЕМОЕ надо к РАЗНОСТИ прибавить ВЫЧИТАЕМОЕ.
Чтобы найти неизвестное ВЫЧИТАЕМОЕ надо из УМЕНЬШАЕМОГО вычесть РАЗНОСТЬ.
3.Компоненты умножения ·
МНОЖИТЕЛЬ · МНОЖИТЕЛЬ = ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Чтобы найти неизвестный МНОЖИТЕЛЬ надо ПРОИЗВЕДЕНИЕ разделить на известный МНОЖИТЕЛЬ.
4.Компоненты деления :
ДЕЛИМОЕ : ДЕЛИТЕЛЬ = ЧАСТНОЕ
Чтобы найти неизвестное ДЕЛИМОЕ надо ЧАСТНОЕ умножить на ДЕЛИТЕЛЬ.
Чтобы найти неизвестный ДЕЛИТЕЛЬ надо ДЕЛИМОЕ разделить на ЧАСТНОЕ.
1.Компоненты сложения +
СЛАГАЕМОЕ + СЛАГАЕМОЕ = СУММА
Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ надо из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.
2.Компоненты вычитания —
УМЕНЬШАЕМОЕ — ВЫЧИТАЕМОЕ = РАЗНОСТЬ
Чтобы найти неизвестное УМЕНЬШАЕМОЕ надо к РАЗНОСТИ прибавить ВЫЧИТАЕМОЕ.
Чтобы найти неизвестное ВЫЧИТАЕМОЕ надо из УМЕНЬШАЕМОГО вычесть РАЗНОСТЬ.
3.Компоненты умножения ·
МНОЖИТЕЛЬ · МНОЖИТЕЛЬ = ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Чтобы найти неизвестный МНОЖИТЕЛЬ надо ПРОИЗВЕДЕНИЕ разделить на известный МНОЖИТЕЛЬ.
4.Компоненты деления :
ДЕЛИМОЕ : ДЕЛИТЕЛЬ = ЧАСТНОЕ
Чтобы найти неизвестное ДЕЛИМОЕ надо ЧАСТНОЕ умножить на ДЕЛИТЕЛЬ.
Чтобы найти неизвестный ДЕЛИТЕЛЬ надо ДЕЛИМОЕ разделить на ЧАСТНОЕ.
Быстрая арифметика / Статьи — Математическая составляющая
Одной из вершин «арифметической премудрости» является таблица умножения. Мы учим её в начальной школе и должны помнить всю жизнь — или уже больше не должны, доверившись калькуляторам и компьютерам?
Даже простейший калькулятор легко перемножает шестизначные числа. Этого вполне достаточно не только для бытовых нужд, но и для большинства инженерных расчётов. В научных исследованиях приходится иметь дело и с более «длинными» числами — с десятками и сотнями десятичных знаков. Однако и в нашей повседневной жизни есть области, в которых совершаются арифметические действия с такими числами, хотя большинство людей об этом и не подозревает.
Пример — криптография. Когда мы делаем покупку в интернете, то, естественно, не хотим, чтобы передаваемые нами данные банковской карты стали известны ещё кому-либо, и поэтому весь обмен информацией с банком шифруется. Многие другие сетевые сервисы также используют защищённый протокол https, вместо обычного http. Шифры же часто основаны на больших простых числах.
Степень защиты информации напрямую зависит от величины используемых простых чисел. Ещё лет десять назад $128$-битные (т. е. имеющие 128 цифр в двоичной записи) простые числа обеспечивали достаточную надёжность. Сейчас, с прогрессом как вычислительной техники, так и математических методов, такие коды успешно «взламываются» и для надёжного шифрования приходится использовать $512$- и даже $1024$-битные простые числа.
Ясно, что работа с большими числами — дело компьютеров. Кажется, что нетрудно «обучить» компьютер арифметическим действиям, однако нам важно, чтобы он выполнял их не только правильно, но и быстро.
Из четырёх действий сложение и вычитание представляются более простыми, чем умножение и деление, но как сравнить их сложность (трудоёмкость) математически? Для этого можно посмотреть, как увеличивается количество выполняемых элементарных шагов с ростом длины чисел, над которыми производится действие. Шаг можно считать элементарным, если его трудность не зависит от длины чисел. Мерой трудоёмкости операции будем считать количество выполняемых элементарных шагов.
Для операции сложения элементарным шагом можно считать сложение двух цифр в одном разряде вместе с учётом переноса из предыдущего разряда и переноса в следующий разряд (представьте зрительно сложение «в столбик»). Количество таких элементарных шагов пропорционально длине складываемых чисел и, скажем, при удвоении этой длины трудоёмкость тоже удваивается.
Для операции умножения мерой трудоёмкости можно считать количество обращений к таблице умножения для цифр. При «школьном» методе перемножения двух чисел «в столбик» количество обращений к таблице умножения будет равно произведению длин чисел (каждую цифру первого числа необходимо умножить на каждую цифру второго). При удвоении длин сомножителей количество обращений к таблице увеличивается в 4 раза.4(a_1b_2+a_2b_1)+a_2b_2. $$ Заметим, что произведения $a_1b_2$ и $a_2b_1$ нам нужны не сами по себе, а только в сумме. Эту сумму можно вычислить, если мы уже знаем произведения $a_1b_1$ и $a_2b_2$, ценой только одного дополнительного перемножения двух четырёхзначных чисел и нескольких «лёгких» операций сложения-вычитания, ибо $$ a_1b_2+a_2b_1=a_1b_1+a_2b_2-(a_1-a_2)(b_1-b_2). $$ Вот пример вычисления по описанной выше схеме. Пусть $$ a=63511377\quad\mbox{и}\quad b=81026989,$$ тогда $$ a_1=6351,\ a_2=1377,\quad b_1=8102,\ b2=6989. $$ Последовательно вычисляем: $$a_1−a_2=6351−1377=4974,$$ $$b_1−b_2=8102−6989=1113,$$ $$a_1b_1=6351\times 8102=51455802,$$ $$a_2b_2=1377\times 6989=9623853,$$ $$(a_1−a_2)(b_1−b_2)=4974\times 1113=5536062,$$ $$a_1b_2+a_2b_1=51455802+9623853−5536062=55543593.$$ По приведённой выше формуле произведение $a\times b$ равно $$ 5145580200000000 + 555435930000 + 9623853 = 5146135645553853 $$
Сравним на примере перемножения восьмизначных чисел трудоёмкость нового метода с трудоёмкостью традиционного.m$ обращений к таблице умножения. Следовательно, при удвоении длин сомножителей трудоёмкость увеличивается лишь в 3 раза, а не в 4, как при «школьном» способе. Общий выигрыш тем больше, чем длиннее перемножаемые числа.
Выше длина числа измерялась по его представлению в десятичной системе счисления. При переходе к двоичному представлению длина записи чисел возрастает примерно в $3,3$ раза. По этой причине в двоичной системе счисления, в которой работают современные компьютеры, преимущества метода Карацубы проявляются начиная с меньших по значению чисел, чем в десятичной системе. Этот метод реализован во многих программах компьютерной алгебры и даёт большyю экономию времени вычислений.
В 1961 году метод Карацубы был революционным прорывом. После того, как стало ясно, что школьный метод не оптимален, многие математики задумались — а нельзя ли перемножать большие числа ещё быстрее, чем методом Карацубы? Оказалось, что можно. Например, разбивая каждый сомножитель на три части вместо двух, можно обойтись пятью перемножениями втрое более коротких чисел (найдите этот способ и оцените требуемое при этом количество элементарных шагов). Ещё эффективнее использовать меняющееся количество частей, а именно, разбивать $n$‐значное число на примерно $\sqrt{n}$ чисел такой же длины.
Удивительно, но исследование такого древнего арифметического действия, как умножение, продолжается и в наши дни. Когда же математики получат «моральное право» остановиться в поиске всё более и более быстрых способов умножения?
Давно считается правдоподобной гипотеза, что любой метод $M$ перемножения $n$‐значных чисел требует выполнения не менее, чем $C_M n \log n$ шагов, где $C_M$ — постоянная, зависящая от метода, но не от значения $n$.
Эту гипотезу пока никому доказать не удалось. Подобные результаты, называемые нижними оценками (сложности вычисления), обычно гораздо труднее верхних оценок. Для получения последних достаточно предъявить один конкретный алгоритм и оценить его трудоёмкость, в то время как для получения нижней оценки нужно суметь обозреть все мыслимые способы вычислить искомую величину.
Когда будет найден метод умножения за $C_M n \log n$ шагов (а математики к этому сейчас очень близки), а также будет доказана указанная выше гипотеза, то останется только борьба за уменьшение множителя $C_M$. С теоретической точки зрения эта задача считается малоинтересной, хотя для практического применения алгоритма значение этого множителя может оказаться критическим.
Читатель вправе спросить — а что с делением? Можно ли делить быстрее, чем учат в школе? Оказалось, что деление ненамного сложнее умножения. А именно, всякий метод перемножения $n$‐значных чисел, требующий $M(n)$ элементарных операций, можно преобразовать в метод для деления чисел такой же длины за $5 M(n)$ операций.
Презентация «КОМПОНЕНТЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ» — математика, презентации
библиотека
материалов
Содержание слайдов
Номер слайда 1Основные понятия Компоненты арифметических действий и нахождение неизвестных компонентов — при сложении — при вычитании — при умножении — при делении Контрольные вопросы Проверь себя!
Номер слайда 2
Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число. Корень уравнения – найденное значение неизвестного числа. Решить уравнение – значит найти все его корни.
Номер слайда 3
слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. X +55 = 95 X = 95 – 55 X = 40
Номер слайда 4
При вычитании: уменьшаемое, вычитаемое, разность Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. Y – 67 = 33 Y = 67 +33 Y=100. 86 –Z = 36 Z = 86 – 36 Z =50.
Номер слайда 5
При умножении: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. 9 * m =108 m =108 : 9 m =12. C * 3 =183 C =183 : 3 C = 61.
Номер слайда 6
При делении: делимое, делитель, частное. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. X : 12 = 5 X = 5*12 X =60. 64 : y = 14 y = 64 : 14 y = 4.
Номер слайда 7
Что такое уравнение? Что значит решить уравнение? Что такое корень уравнения? Как найти компоненты при сложении? Как найти компоненты при вычитании? Как найти компоненты при умножении? Как найти компоненты при делении?
Номер слайда 8
Реши уравнение X +256 = 905 638 + z = 806 Y –2901 = 468 6703 – c = 303 X * 45 = 945 80 : y =16 Y: 23 = 23 ( 91 – 3 z ) : 4 = 16 75 🙁 69 – 4 x ) = 15
Номер слайда 9
Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах: учебное пособие
%PDF-1.5 % 1 0 obj > /Metadata 2 0 R /Pages 3 0 R /StructTreeRoot 4 0 R /Type /Catalog >> endobj 5 0 obj /CreationDate (D:20190523102012+05’00’) /ModDate (D:20190523102012+05’00’) /Producer /Title >> endobj 2 0 obj > stream
ВСЕ ПРОГРАММЫ
Математика
Рабочие листы для 4 класса
1 цикл: Космос
Сложение, вычитание, умножение и деление в пределах 100 (устно и письменно). Название компонентов действия при сложении, вычитании, умножении и делении. Алгоритм решения текстовых задач. Значение переменной. Простейшие виды письменного сложения и вычитания в пределах 10 000. Скобки и порядок действий. Вычитание суммы и разности из числа. Умножение и деление суммы на число.
1. Сложение и вычитание в пределах 100
2. Решение текстовых заданий
3. Значение переменной
4. Письменное сложение и вычитание
5. Переместительный закон сложения
6. Сочетательный закон умножения
7. Вычитание суммы из числа
8. Умножение в пределах 100
9. Деление в пределах 100
10. Деление — действие, обратное умножению
11. Переместительный закон умножения
12. Законы умножения
13. Умножение суммы на число
14. Умножение суммы на число
15. Деление суммы на число
16. Деление суммы на число
17. Вычисление удобным способом. Порядок действий
18. Вычисление удобным способом. Порядок действий
19. Повторение
2 цикл: Было время…
Величины (единицы длины, массы, времени, площади) и их соотношения. Периметр квадрата и прямоугольника. Числа до 1 000 000 и их состав.
1. Деление с остатком
2. Повторение
3. Единицы длины
4. Периметр прямоугольника
5. Единицы массы
6. Денежные единицы
7. Единицы времени
8. Скорость, время и расстояние
9. Повторение
10. Разряды числа. Сумма разрядных слагаемых.
11. Разряды. Сумма разрядных слагаемых.
12. Разряды тысяч
13. Десятки тысяч
14. Сотни тысяч
3 цикл: Земля в огненном кольце
Сравнение площадей предметов, вычисление площади квадрата и прямоугольника. Письменное сложение и вычитание 5- и 6-значных чисел. Проверка суммы и разности при письменном сложении и вычитании. Порядок действий и скобки. Письменное сложение и вычитание именованных величин.
1-1. Сравнение площадей фигур. Равные по площади фигуры
1-2. Квадратный сантиметр. Площадь прямоугольника
2. Площадь квадрата
3. Единицы площади
4. Повторение
5. Повторение
6. Алгоритм устного счета
7-1. Алгоритм письменных вычислений
7-2. Алгоритм письменных вычислений
8-1. Сравнение алгоритмов устного и письменного вычислений
8-2. Сравнение алгоритмов устного и письменного вычислений
9-1. Повторение
9-2. Повторение
10. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
11-1. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
11-2. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
12. Сложение нескольких чисел
13. Сложение нескольких чисел
14. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
15-1. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
15-2. Письменное значение пяти- и шестизначных чисел
16. Закрепление
18. Проверка письменного сложения и вычитания
19. Повторение
20. Повторение
4 цикл: Кукольный театр
Анализ и решение задач до трех действий. Устное умножение с числами 10, 100, 1000. Умножение однозначного числа на числа, оканчивающиеся на 0. Письменное умножение на однозначное число.
1-1. Значение выражений. Скобки и порядок действий
1-2. Значение выражений. Скобки и порядок действий
2-1. Значение выражений. Скобки и порядок действий
2-2. Значение выражений. Скобки и порядок действий
3-1. Письменное сложение и вычитание величин
3-2. Письменное сложение и вычитание величин
4-1. Письменное сложение и вычитание величин
4-2. Письменное сложение и вычитание величин
5-1. Повторение
5-2. Повторение
6-1. Решение текстовых заданий
6-2. Решение текстовых заданий
7-1. Решение текстовых заданий
7-2. Решение текстовых заданий
8-1. Повторение
8-2. Повторение
9-1. Повторение
9-2. Повторение
10. Сложение в уме
11. Умножение в уме
12. Деление в уме
13. Деление в уме
14-1. Повторение
14-2. Повторение
15-1. Повторение
15-2. Повторение
5 цикл: Секреты энергии
Повторение письменного умноженияна на однозначное число. Решение выражений (порядок действий). Письменное деление на однозначное число.
1-1. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
1-2. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
2. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
3. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
4. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
5-1. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
5-2. Письменное умножение многозначного числа на однозначное число
6. Значение выражений. Порядок действий
7. Повторение
8. Письменное деление многозначного числа на однозначное число
9. Письменное умножение многозначных чисел с 0 на однозначное число
10. Письменное умножение многозначных чисел с 0 на однозначное число
11. Письменное деление многозначного числа на однозначное число
12. Письменное деление многозначного числа на однозначное число
13. Письменное деление многозначного числа на однозначное число
14. Письменное деление многозначного числа на однозначное число
15-1. Повторение
15-2. Повторение
6 цикл: Кем быть?
Решение выражений (порядок действий). Письменное умножение и деление на двузначное число.
1-1. Решение выражений (порядок действий)
1-2. Значение выражений (порядок действий)
2-1. Письменное умножение на двузначное число
2-2. Письменное умножение на двузначное число
3-1. Письменное умножение множителей, оканчивающихся на ноль
3-2. Письменное умножение множителей, оканчивающихся на ноль
4-1. Письменное умножение на двузначное число
4-2. Повторение
5-1. Значение выражений
5-2. Значение выражений
6-1. Значение выражений
6-2. Значение выражений
7-1. Письменное деление на двузначное число
7-2. Письменное деление на двузначное число
8-1. Письменное деление на двузначное число с 0 в частном
8-2. Письменное деление на двузначное число с 0 в частном
9-1. Письменное деление на двузначное число с 0 в частном
9-2. Письменное деление на двузначное число с 0 в частном
10-1. Письменное деление на двузначное число
10-2. Письменное деление на двузначное число
11. Письменное деление на двузначное число
12-1. Письменное деление на двузначное число в случае, когда делимое и делитель оканчиваются на 0
12-2. Письменное деление на двузначное число в случае, когда делимое и делитель оканчиваются на 0
13. Письменное деление на двузначное число в случае, когда делимое и делитель оканчиваются на 0
7 цикл: Государство сквозь века
Повторение умножения на двузначное число. Решение выражений (порядок действий). Письменное деление с остатком. Письменное умножение на трехзначное число. Умножение именных величин на одно- и двузначное число. Решение текстовых заданий путем составления выражений и уравнений.
1-1. Письменное деление на двузначное число
1-2. Письменное деление на двузначное число
2. Значение выражения и порядок действий
3. Значение выражения и порядок действий
4. Письменное деление с остатком
5. Письменное деление с остатком
6. Повторение письменного деления и умножения
7. Умножение на трехзначное число
8. Умножение на трехзначное число
9. Письменное умножение множителей, содержащих 0
10. Письменное умножение множителей, содержащих 0
11. Повторение письменного умножения на трехзначное число
12. Умножение величин
13. Деление величин
14. Составление и решение уравнений
15. Решение текстовых заданий
16. Решение текстовых заданий
17. Повторение
18-1. Дроби
18-2. Дроби
18-3. Дроби
8 цикл: Рука об руку в политике
Решение текстовых заданий путем составления выражений и уравнений. Дроби (числительное, знаменательное, дробная черта; деление фигур на равные части; 1/2, 1/3 и 1/4 фигуры). Нахождение половины, трети и четверти числа. Нахождение части заданных величин. Нахождение дроби по закрашенной или незакрашенной части фигуры. Решение текстовых задач с дробями. Повторение и углубление: счет, составление и чтение чисел до миллиона, сравнение чисел, устное и письменное сложение и вычитание.
1. Нахождение части величин
2. Нахождение дроби по раскрашенной части
3. Текстовые задания с дробями
4. Повторение
5. Повторение
6. Счет
7-1. Состав, чтение и запись чисел до миллиона
7-2. Сравнение чисел
8. Письменное и устное сложение в пределах миллиона
9. Устное и письменное вычитание в пределах миллиона
10. Связь сложения и вычитания
11. Устное и письменное умножение
12. Письменное умножение на двузначное число
13-1. Устное и письменное деление на однозначное число
13-2. Письменное деление на двузначное число
9 цикл: Классифицируем природу
Связь сложения и вычитания. Устное и письменное умножение на одно- и двузначное число в пределах миллиона. Письменное умножение на двузначное число в пределах миллиона. Устное и письменное деление на одно- и двузначное число в пределах миллиона. Письменное деление на двузначное число в пределах миллиона. Связь умножения и деления. Выражения и равенства. Буква в равенстве. Числа 0 и 1 и действия с ними. Порядок действий и скобки. Измерение величин (длина, вес, скорость, время, вычисление площади). Различение, называние и черчение геометрических фигур — точка, отрезок, ломаная, треугольник, четырехугольник, квадрат, прямоугольник. Вычисление периметра треугольника и четырехугольника. Решение текстовых задач до трех действий. Задачи на самоконтроль и смекалку.
1. Связь деления и умножения
2. Выражение и равенство. Переменная в равенстве.
3. Числа 0 и 1
4. Скобки и порядок
5. Измерение длины
6. Измерение массы
7. Измерение времени
8. Измерение скорости
9. Измерение стоимости
10. Измерение площади
11. Геометрические фигуры
12. Периметр прямоугольника и четырехугольника
13. Периметр и площадь треугольника и четырехугольника
14. Решение текстовых заданий
15. Задания на повторение и смекалку
| Класс | Название урока | Ссылка на учебные материалы |
| 1 | Подготовка к изучению чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5088/start/119972/ |
| 1 | Сравнение групп предметов | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4071/start/122720/ |
| 1 | Пространственные и временные представления | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5194/start/121548/ |
| 1 | Число 1. Цифра 1 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4072/start/155410/ |
| 1 | Число 2. Цифра 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5090/start/161583/ |
| 1 | Число 3. Цифра 3 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4058/start/188096/ |
| 1 | Знаки «+», «-», «=» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5217/start/272700/ |
| 1 | Число 4. Цифра 4. Длина | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4073/start/121772/ |
| 1 | Число 5. Цифра 5 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5195/start/121797/ |
| 1 | Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч. Ломаная линия. Многоугольник | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4070/start/155485/ |
| 1 | Равенство. Неравенство. Знаки «>», «<», «=» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5196/start/122006/ |
| 1 | Число и цифра 6. Число и цифра 7 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4021/start/122031/ |
| 1 | Число и цифра 8. Число и цифра 9 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5197/start/122056/ |
| 1 | Число и цифра 0. Свойства 0. Число 10 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4074/start/122081/ |
| 1 | Состав чисел от 2 до 10. Числа в загадках, пословицах, поговорках | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5999/start/148926/ |
| 1 | Единица длины – сантиметр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3971/start/270212/ |
| 1 | Итоговый урок по разделу «Числа от 1 до 10. Число 10. Нумерация» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3547/start/122340/ |
| 1 | Прибавление к числу 1. Вычитание числа 1 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3536/start/155510/ |
| 1 | Прибавление к числу числа 2. Вычитание числа 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5089/start/122390/ |
| 1 | Слагаемые. Сумма | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4059/start/270187/ |
| 1 | Задача. Структура задачи | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4060/start/161634/ |
| 1 | Решение задач. Таблица сложения и вычитания с числом 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4085/start/131814/ |
| 1 | Прибавление к числу числа 3. Вычитание числа 3 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5218/start/270237/ |
| 1 | Таблица сложения и вычитания с числом 3. Сравнение длин отрезков | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5199/start/161659/ |
| 1 | Решение задач | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4095/start/272725/ |
| 1 | Итоговый урок по разделу «Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5200/start/272750/ |
| 1 | Прибавление к числу по 1, 2, 3. Вычитание из числа 1, 2, 3. Решение задач: повторение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5984/start/122695/ |
| 1 | Прибавление к числу 4. Вычитание из числа 4 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5213/start/122770/ |
| 1 | Таблица сложения и вычитания с числом 4 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5985/start/270262/ |
| 1 | Решение задач на разностное сравнение. Решение текстовых задач, содержащих отношения «больше на …», «меньше на …» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4050/start/122845/ |
| 1 | Переместительное свойство сложения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5986/start/161684/ |
| 1 | Таблица сложения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3959/start/132559/ |
| 1 | Решение текстовых задач | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4097/start/132613/ |
| 1 | Связь между суммой и слагаемыми. Подготовка к решению задач в 2 действия | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5201/start/131839/ |
| 1 | Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность. Использование этих терминов при чтении записей | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5202/start/132726/ |
| 1 | Состав чисел 6. Вычитание вида «6 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5203/start/132783/ |
| 1 | Состав чисел 7. Вычитание вида «7 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4107/start/132839/ |
| 1 | Состав числа 8. Вычитание вида «8 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5204/start/132949/ |
| 1 | Состав числа 9. Вычитание вида «9 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4109/start/131864/ |
| 1 | Вычитание вида «10 – ». Таблица сложения и соответствующие случаи вычитания | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5220/start/131918/ |
| 1 | Килограмм | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4098/start/131972/ |
| 1 | Литр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4111/start/132895/ |
| 1 | Итоговый урок по разделу «Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание (продолжение)» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5183/start/132087/ |
| 1 | Названия и последовательность чисел второго десятка | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4127/start/272775/ |
| 1 | Образование, запись и чтение чисел от 11 до 20 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4137/start/161709/ |
| 1 | Дециметр. Соотношение между дециметром и сантиметром |
https://resh.edu.ru/subject/lesson/5189/start/161734/ https://mosobr.tv/release/7991 |
| 1 | Случаи сложения и вычитания, основанные на знании нумерации | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5205/start/161759/ |
| 1 | Подготовка к изучению таблицы сложения в пределах 20 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5206/start/161784/ |
| 1 | Преобразование условия и вопроса задачи | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4138/start/161809/ |
| 1 | Решение задач в 2 действия | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4139/start/161834/ |
| 1 | Итоговый урок по теме «Числа от 11 до 20. Нумерация» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5207/start/161859/ |
| 1 | Общий приём сложения однозначных чисел с переходом через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5219/start/186305/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+2» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5221/start/161909/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+3» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6197/start/161934/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+4» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6196/start/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+5» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4006/start/161959/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+6» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6198/start/161984/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+7» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5208/start/162009/ |
| 1 | Приём сложения с переходом через десяток: «+8», «+9» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4198/start/162034/ |
| 1 | Таблица сложения однозначных чисел в пределах 20 с переходом через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5209/start/162059/ |
| 1 | Сложение однозначных чисел с переходом через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4169/start/162084/ |
| 1 | Приём сложения однозначных чисел с переходом через десяток | https://mosobr.tv/release/7949 |
| 1 | Общий приём вычитания с переходом через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5210/start/162109/ |
| 1 | Приёмы вычитания: «11 – », «12 – », «13 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5211/start/76933/ |
| 1 | Приёмы вычитания: «14 – », «15 – », «16 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4199/start/82249/ |
| 1 | Приёмы вычитания: «17 – », «18 – », «19 – » | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5212/start/162134/ |
| 1 | Сложение и вычитание в пределах 20 | https://mosobr.tv/release/7862 |
| 1 | Итоговый урок по курсу математики в 1 классе | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4007/start/272800/ |
| 2 | Числа от 1 до 20: повторение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5666/start/162184/ |
| 2 | Сумма и разность отрезков | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6204/start/162215/ |
| 2 | Счёт десятками. Образование и запись чисел от 20 до 100 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6206/start/162246/ |
| 2 | Поместное значение цифр в записи числа | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6205/start/210489/ |
| 2 | Однозначные и двузначные числа. Миллиметр. Закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6207/start/210520/ |
| 2 | Число 100 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3557/start/210551/ |
| 2 | Метр. Таблица единиц длины | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4268/start/210582/ |
| 2 | Сложение и вычитание вида 30 + 5, 35 – 5, 35 – 30 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5667/start/162370/ |
| 2 | Рубль. Копейка. Повторение и закрепление пройденного по разделу «Числа от 1 до 100. Нумерация» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3567/start/162401/ |
| 2 | Задачи, обратные данной | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6209/start/162432/ |
| 2 | Модели задачи: краткая запись задачи, схематический чертёж | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5669/start/210644/ |
| 2 | Час. Минута. Определение времени по часам | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6210/start/162494/ |
| 2 | Длина ломаной. Закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4269/start/272949/ |
| 2 | Числовые выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Скобки. Сравнение числовых выражений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5668/start/162556/ |
| 2 | Периметр многоугольника | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4270/start/162587/ |
| 2 | Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6208/start/210675/ |
| 2 | Повторение пройденного материала. Проект «Математика вокруг нас. Узоры на посуде» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3588/start/210706/ |
| 2 | Подготовка к изучению устных приёмов сложения и вычитания чисел в пределах 100 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5688/start/210737/ |
| 2 | Приёмы вычислений для случаев вида 36 + 2, 36 + 20; 36 ‒ 2, 36 ‒ 20 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4293/start/210768/ |
| 2 | Приёмы вычислений для случаев вида 26 + 4, 30 ‒ 7 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3577/start/272980/ |
| 2 | Приёмы вычислений для случаев вида 60 ‒ 24 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5670/start/271121/ |
| 2 | Решение текстовых задач. Запись решения выражением | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5676/start/270287/ |
| 2 | Приёмы вычислений для случаев вида 26 + 7, 35 ‒ 7. Закрепление изученного по теме | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5671/start/270349/ |
| 2 | Повторение пройденного по разделу «Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4285/start/210923/ |
| 2 | Буквенные выражения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5672/start/210954/ |
| 2 | Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5674/start/210985/ |
| 2 | Проверка сложения. Проверка вычитания | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3640/start/211016/ |
| 2 | Решение задач. Проверка решения задачи | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5673/start/211047/ |
| 2 | Повторение и обобщение пройденного по разделу «Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3598/start/211141/ |
| 2 | Письменные приёмы сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3608/start/211330/ |
| 2 | Письменные вычисления. Вычитание вида 57 – 26 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5675/start/211423/ |
| 2 | Проверка сложения и вычитания | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4294/start/272825/ |
| 2 | Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5679/start/211672/ |
| 2 | Решение задач. Часть 1 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5677/start/211703/ |
| 2 | Письменные приёмы сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3630/start/211797/ |
| 2 | Прямоугольник | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4295/start/211859/ |
| 2 | Сложение вида 87 + 13 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3619/start/211890/ |
| 2 | Решение задач. Часть 2. | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4296/start/211921/ |
| 2 | Письменные вычисления: сложение вида 32 + 8, вычитание вида 40 – 8 |
https://resh.edu.ru/subject/lesson/5678/start/212065/ |
| 2 | Вычитание вида 50 – 24. Повторение пройденного | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4297/start/212096/ |
| 2 | Вычитание вида 52 – 24 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4298/start/212127/ |
| 2 | Решение задач, подготовка к умножению | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3650/start/212158/ |
| 2 | Свойство противоположных сторон прямоугольника | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3696/start/212189/ |
| 2 | Квадрат | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4299/start/212314/ |
| 2 | Итоговый урок по разделу: «Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5680/start/212408/ |
| 2 | Конкретный смысл действия умножение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3662/start/212439/ |
| 2 | Приём умножения с использованием сложения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5681/start/212470/ |
| 2 | Задачи, раскрывающие смысл действия умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3673/start/212532/ |
| 2 | Периметр прямоугольника | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3685/start/212835/ |
| 2 | Приёмы умножения единицы и нуля | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4300/start/270380/ |
| 2 | Названия компонентов и результата действия умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5682/start/213021/ |
| 2 | Переместительное свойство умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5685/start/213336/ |
| 2 | Конкретный смысл действия деление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4302/start/213367/ |
| 2 | Задачи, раскрывающие смысл действия деления | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3706/start/213398/ |
| 2 | Название чисел при делении | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4303/start/213460/ |
| 2 | Повторение пройденного материала темы «Умножение и деление чисел от 1 до 100» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5683/start/213745/ |
| 2 | Связь между компонентами и результатом действия умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5684/start/213838/ |
| 2 | Приёмы умножения и деления на 10 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4304/start/213931/ |
| 2 | Решение задач, в том числе задачи с величинами: цена, количество, стоимость | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3717/start/213962/ |
| 2 | Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3727/start/66060/ |
| 2 | Закрепление изученного по разделу «Числа от 1 до 100. Умножение и деление». Контроль и учёт знаний | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6211/start/214024/ |
| 2 | Табличное умножение и деление. Умножение числа 2 и на 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6213/start/214086/ |
| 2 | Приёмы умножения числа 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6212/start/214179/ |
| 2 | Деление на 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3981/start/214489/ |
| 2 | Закрепление изученного «Табличное умножение и деление с числом 2» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3737/start/214520/ |
| 2 | Умножение числа 3 и на 3 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4305/start/214551/ |
| 2 | Деление на 3 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6214/start/214582/ |
| 2 | Таблица умножения и деления на 3. Решение выражений и задач изученного вида | https://mosobr.tv/release/7895 |
| 2 | Итоговый урок по курсу математики во 2 классе | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4306/start/214613/ |
| 2 | Длина, единицы измерений: сантиметр, дециметр, метр | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/4010196 |
| 2 | Сравнение величин длины | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/58332 |
| 2 | Периметр прямоугольника | https://mosobr.tv/release/7844 |
| 2 | Периметр многоугольника | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/2539305 |
| 2 | Измерение, сравнение масс | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/1431870 |
| 2 | Единица массы: килограмм | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/1660900 |
| 2 | Преобразование единиц времени: минута, час | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/4590324 |
| 2 | Сравнение величин времени | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/4292246 |
| 3 | Повторение: сложение и вычитание, устные и письменные приёмы сложения и вычитания | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5686/start/270411/ |
| 3 | Решение уравнений способом подбора неизвестного. Буквенные выражения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4413/start/214799/ |
| 3 | Решение уравнений с неизвестным уменьшаемым. Решение уравнений с неизвестным вычитаемым | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5687/start/273011/ |
| 3 | Обозначение геометрических фигур буквами | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5126/start/214954/ |
| 3 | Конкретный смысл умножения и деления. Связь умножения и деления | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5693/start/215140/ |
| 3 | Чётные и нечётные числа. Таблица умножения и деления с числом 2 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5123/start/215233/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 3 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5124/start/215264/ |
| 3 | Связь между величинами: цена, количество, стоимость. Решение задач | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5692/start/215326/ |
| 3 | Связь между величинами: масса одного предмета, количество предметов, масса всех предметов | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5694/start/215357/ |
| 3 | Порядок выполнения действий в числовых выражениях | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3747/start/215388/ |
| 3 | Связь между величинами: расход ткани на одну вещь, количество вещей, расход ткани на все вещи | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5125/start/215419/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 4. Таблица Пифагора | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5699/start/215450/ |
| 3 | Задачи на увеличение числа в несколько раз | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5696/start/215481/ |
| 3 | Задачи на уменьшение числа в несколько раз | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4438/start/215543/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 5 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4439/start/272856/ |
| 3 | Задачи на кратное сравнение чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4436/start/215636/ |
| 3 | Задачи на кратное и разностное сравнение чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5695/start/215667/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 6 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4437/start/215698/ |
| 3 | Задачи на нахождение четвёртого пропорционального | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3759/start/216008/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 7. Проект «Математические сказки» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5697/start/216039/ |
| 3 | Площадь. Способы сравнения фигур по площади. Единица площади — квадратный сантиметр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3771/start/216070/ |
| 3 | Площадь прямоугольника | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5698/start/270442/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 8 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4440/start/216132/ |
| 3 | Таблица умножения и деления с числом 9 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3781/start/216163/ |
| 3 | Единица площади – квадратный дециметр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5701/start/216194/ |
| 3 | Сводная таблица умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3791/start/216225/ |
| 3 | Решение задач | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4441/start/216256/ |
| 3 | Единица площади – квадратный метр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5700/start/216287/ |
| 3 | Умножение на 1. Умножение на 0 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4442/start/216318/ |
| 3 | Деление вида а : а, 0 : а | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3814/start/216380/ |
| 3 | Задачи в 3 действия | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3801/start/216411/ |
| 3 | Доли. Образование и сравнение долей | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3825/start/216442/ |
| 3 | Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр) | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4443/start/216473/ |
| 3 | Задачи на нахождение доли числа и числа по его доле | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5702/start/216504/ |
| 3 | Единицы времени – год, месяц, сутки | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4445/start/216535/ |
| 3 | Приёмы умножения и деления для случаев вида 20 ∙ 3, 3 ∙ 20, 60 : 3, 80 : 20 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3838/start/216566/ |
| 3 | Умножение суммы на число. Приёмы умножения для случаев вида 23 ∙ 4, 4 ∙ 23 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5703/start/273135/ |
| 3 | Решение задач несколькими способами | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3859/start/273166/ |
| 3 | Решение задач на нахождение четвёртого пропорционального | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5704/start/273197/ |
| 3 | Выражение с двумя переменными | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3846/start/216752/ |
| 3 | Деление суммы на число. Закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4444/start/216814/ |
| 3 | Связь между числами при делении. Проверка деления умножением | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5708/start/216876/ |
| 3 | Приём деления для случаев вида 87 : 29, 66 : 22 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5705/start/216938/ |
| 3 | Проверка умножения с помощью деления | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4446/start/217000/ |
| 3 | Решение уравнений на основе связи между результатами и компонентами умножения и деления | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3872/start/ |
| 3 | Деление с остатком | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4447/start/217559/ |
| 3 | Приёмы нахождения частного и остатка | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3883/start/217590/ |
| 3 | Деление меньшего числа на большее | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5707/start/217621/ |
| 3 | Проверка деления с остатком | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4448/start/217683/ |
| 3 | Устная нумерация. Письменная нумерация | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5706/start/217714/ |
| 3 | Разряды счётных единиц. Натуральная последовательность трёхзначных чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3904/start/217776/ |
| 3 | Увеличение (уменьшение) числа в 10, в 100 раз | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3894/start/217838/ |
| 3 | Замена числа суммой разрядных слагаемых. Сложение (вычитание) трёхзначных чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5709/start/217869/ |
| 3 | Сравнение трёхзначных чисел. Определение общего числа единиц (десятков, сотен) в числе | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6230/start/217900/ |
| 3 | Величины. Единицы массы – килограмм, грамм |
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4414/start/218179/ https://mosobr.tv/release/7937 |
| 3 | Приёмы устных вычислений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6231/start/218210/ |
| 3 | Приёмы устных вычислений вида 260+310, 670-140 | https://mosobr.tv/release/7959 |
| 3 | Разные способы вычислений. Проверка вычислений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5710/start/218241/ |
| 3 | Приёмы письменных вычислений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6232/start/218303/ |
| 3 | Алгоритм письменного сложения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5711/start/218334/ |
| 3 | Алгоритм письменного вычитания | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5713/start/218365/ |
| 3 | Виды треугольников (по соотношению сторон). Закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5712/start/218396/ |
| 3 | Приёмы устных вычислений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6233/start/218427/ |
| 3 | Виды треугольников по видам углов. Закрепление изученного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6234/start/218613/ |
| 3 | Приём письменного умножения на однозначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3916/start/218644/ |
| 3 | Алгоритм письменного умножения на однозначное число. Закрепление изученного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6236/start/218675/ |
| 3 | Приём письменного деления на однозначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5714/start/218706/ |
| 3 | Проверка деления умножением. Знакомство с калькулятором | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6235/start/218737/ |
| 3 | Длина, единицы измерений: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/2525471 |
| 3 | Сравнение фигур по площади (наложение, сопоставление числовых значений) | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/2500182 |
| 3 | Приёмы устных вычислений вида 450+30, 620+200 | https://mosobr.tv/release/7882 |
| 3 | Итоговый урок за курс математики в 3 классе | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3938/start/271151/ |
| 4 | Нумерация. Счёт предметов. Разряды | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6069/start/273228/ |
| 4 | Числовые выражения. Порядок выполнения действий. Сложение нескольких слагаемых | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3926/start/213807/ |
| 4 | Вычитание вида 903 – 574 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4540/start/25164/ |
| 4 | Умножение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4541/start/213869/ |
| 4 | Деление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4542/start/213993/ |
| 4 | Диаграммы | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5233/start/214055/ |
| 4 | Новые счётные единицы. Класс единиц и класс тысяч | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3949/start/214117/ |
| 4 | Чтение и запись многозначных чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6237/start/214148/ |
| 4 | Разрядные слагаемые. Сравнение многозначных чисел | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5232/start/214210/ |
| 4 | Увеличение и уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз. Выделение в числе общего количества единиц любого разряда | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5234/start/214241/ |
| 4 | Класс миллионов. Класс миллиардов. Повторение пройденного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3960/start/214272/ |
| 4 | Единица длины – километр. Таблица единиц длины | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5222/start/214303/ |
| 4 | Единицы площади – квадратный километр, квадратный миллиметр. Таблица единиц площади | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3983/start/214334/ |
| 4 | Измерение площади фигуры с помощью палетки | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4577/start/ |
| 4 | Единицы массы – центнер, тонна. Таблица единиц массы | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3972/start/270473/ |
| 4 | Единицы времени. Сутки. Задачи на нахождение начала, продолжительности и конца события | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5235/start/214427/ |
| 4 | Единицы времени – секунда, век. Таблица единиц времени | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4578/start/214644/ |
| 4 | Повторение пройденного по теме «Величины» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5236/start/214675/ |
| 4 | Устные и письменные приёмы вычислений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4010/start/270504/ |
| 4 | Вычитание с переходом через несколько разрядов вида 30 007 – 648 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/3992/start/214768/ |
| 4 | Решение уравнений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4580/start/214830/ |
| 4 | Нахождение нескольких долей целого. Задачи разных видов | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4022/start/214923/ |
| 4 | Сложение и вычитание значений величин | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5238/start/270535/ |
| 4 | Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, выраженных в косвенной форме | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5237/start/215016/ |
| 4 | Письменные приёмы умножения | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4579/start/215047/ |
| 4 | Умножение чисел, оканчивающихся нулями | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5239/start/215078/ |
| 4 | Решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 |
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6239/start/215109/ |
| 4 | Деление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6240/start/215171/ |
| 4 | Деление многозначного числа на однозначное | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4042/start/215202/ |
| 4 | Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, выраженные в косвенной форме | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4032/start/85761/ |
| 4 | Деление многозначного числа на однозначное число с записью в частном нулей | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6238/start/215605/ |
| 4 | Письменное деление на двузначное число | https://mosobr.tv/release/7971 |
| 4 | Задачи на пропорциональное деление. Закрепление изученного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5240/start/215729/ |
| 4 | Повторение пройденного материала по теме «Алгоритмы письменного умножения и деления» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4061/start/215760/ |
| 4 | Решение текстовых задач на пропорциональное деление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5242/start/215791/ |
| 4 | Понятие скорости. Единицы скорости | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4581/start/215822/ |
| 4 | Связь между скоростью, временем и расстоянием | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5243/start/272887/ |
| 4 | Умножение числа на произведение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5241/start/273259/ |
| 4 | Письменные приёмы умножения вида 243 ∙ 20, 532 ∙ 300 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4076/start/272918/ |
| 4 | Задачи на встречное движение | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6242/start/215946/ |
| 4 | Перестановка и группировка множителей | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6241/start/216721/ |
| 4 | Повторение и закрепление пройденного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5245/start/216783/ |
| 4 | Деление числа на произведение. Деление с остатком на 10, на 100, на 1000 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5244/start/109937/ |
| 4 | Задачи на нахождение четвёртого пропорционального, решаемые способом отношений | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5249/start/216845/ |
| 4 | Письменное деление на число, оканчивающееся нулями | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6243/start/216907/ |
| 4 | Задачи на движение в противоположных направлениях | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5248/start/216969/ |
| 4 | Повторение и закрепление пройденного материала | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4620/start/217031/ |
| 4 | Умножение числа на сумму. Устные приёмы умножения вида 12 ∙ 15, 40 ∙ 32 | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5246/start/217062/ |
| 4 | Алгоритм письменного умножения на двузначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5247/start/217466/ |
| 4 | Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4621/start/217497/ |
| 4 | Умножение на трёхзначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5250/start/217528/ |
| 4 | Алгоритмы письменного умножения на двузначное и трёхзначное число: закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4086/start/270566/ |
| 4 | Повторение пройденного по разделу «Числа, которые больше 1000. Умножение и деление (продолжение)» | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5252/start/217745/ |
| 4 | Письменное деление на двузначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4099/start/217807/ |
| 4 | Письменное деление на двузначное число с остатком | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4622/start/217931/ |
| 4 | Деление на двузначное число (цифра частного находится способом проб) | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4110/start/217962/ |
| 4 | Деление на двузначное число (в записи частного есть нули) | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6264/start/217993/ |
| 4 | Приёмы деления многозначных чисел на двузначное число: закрепление | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4582/start/218024/ |
| 4 | Алгоритмы письменного деления многозначного числа на двузначное число | https://mosobr.tv/release/7871 |
| 4 | Деление на трёхзначное число | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5251/start/218086/ |
| 4 | Проверка умножения делением | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4583/start/218117/ |
| 4 | Проверка деления умножением | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6265/start/218489/ |
| 4 | Готовимся к олимпиаде | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4624/start/218272/ |
| 4 | Куб | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4623/start/218458/ |
| 4 | Прямоугольный параллелепипед | https://resh.edu.ru/subject/lesson/5253/start/218520/ |
| 4 | Пирамида | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4129/start/218551/ |
| 4 | Конус | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4625/start/218582/ |
| 4 | Цилиндр | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4141/start/218799/ |
| 4 | Шар | https://resh.edu.ru/subject/lesson/4120/start/ |
| 4 | Итоговый урок по курсу математики в 4 классе | https://resh.edu.ru/subject/lesson/6409/start/218830/ |
| 4 | Задачи в несколько действий. Использование при решении задач единицы массы (грамм, килограмм, тонна) | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/2579334 |
| 4 | Измерение, сравнение величин. Единица вместимости (литр) | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/1645204 |
| 4 | Задачи на покупки | https://www.youtube.com/watch?v=a-Uqh5y7JL4 |
| 4 | Сравнение величины, выраженные долями, сравнение долей одной величины | https://www.youtube.com/watch?v=a-Uqh5y7JL4 |
| 4 | Периметр и площадь фигур, составленных из двух-трёх прямоугольников (квадратов) | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/3330073 |
| 4 | Геометрические фигуры: окружность, круг | https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/3095830 |
Загадка элементарной арифметики / Хабр
Математика — царица всех наук,арифметика — царица математики.
К.Ф.Гаусс
Как связаны между собой четыре арифметических действия? Вы будете смеяться, но отсутствие всестороннего ответа на этот вопрос существенно замедляет развитие физики, химии и связанных с ними наук. Ученые, к сожалению, могут только догадываться об этом торможении. Если бы этот вопрос был своевременно исследован, у нас не возникло бы проблем с развитием идей Д.И. Менделеева, а по результатам работы адронного коллайдера, вероятнее всего, создавались бы компьютерные модели элементарных частиц и ядер атомов.
В статье английской Википедии, посвященной арифметике, кратко характеризуются арифметические действия, приводятся их свойства, но об их взаимосвязи информации практически нет. В русскоязычном варианте указывается, что у всех действий арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, и в дополнение приводятся только идеи Непера, которые будут рассмотрены далее. В англоязычном описании арифметики и для такой скудной информации не нашлось места, при этом арифметика снисходительно характеризуется как старейшая и наиболее элементарная часть математики. Даже в литературе, посвященной истории арифметики, трудно найти информацию об исследованиях взаимосвязи арифметических действий. Сама история арифметики в основном посвящена теории чисел, которую иногда называют высшей арифметикой.
Поиски взаимоотношений арифметических действий шли в эпоху Возрождения [1]. В 1515 году в первом немецком учебнике арифметики, составленным Якобом Кёбелем, подчеркивается равноценность всех четырех действий. В 1518 г. Г. Грамматеус в сочинении «Новая легкая и точная книга о счете, о решении разных вопросов по тройному правилу и проч.» отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. В «Книге числа» Э. Мизрахи, вышедшей в Стамбуле в 1533 году, умножение рассматривается как частный случай сложения и не включается в число арифметических действий. В книге «Логистическое искусство», изданной в 1839 году по заметкам Непера 70-х годов XVI века, арифметические действия различаются по ступеням: умножение и деление характеризуются как действия более высшего порядка относительно сложения и вычитания.
Указанные идеи были началом исследования проблемы взаимосвязи арифметических действий. Но, вероятно, из-за недостаточного внимания к элементарной арифметике, решение не было найдено. Продолжим же поиски давно ушедшей эпохи и подсчитаем число солдат в колонне. Решение задачи сложением заключается в последовательном увеличении на единицу числа учтенных воинов до получения результирующей суммы. Подсчет можно ускорить, сосчитав число солдат в шеренге и умножив его на число шеренг в колонне. Теперь давайте разделим колонну на половины. При помощи вычитания можно последовательно отделять по одному солдату в каждую из двух новых колонн. Для ускорения счета можно разделить число шеренг пополам и пересчитать отделяемые шеренги.
Решение этих двух задач позволяет предположить, что умножение и деление при определенных условиях (в нашем случае это организация объектов счета в матрицу) являются обобщением соответственно сложения и вычитания. Обычно обобщения (назовем их обобщениями A) связываются с расширением какой-либо математической операции на ранее не используемую область. Следует ли говорить об обобщениях, если единственным результатом их использования является убыстрение вычислений (обобщения B)? Давайте скажем да и проанализируем результат.
Обобщения B проще обнаружить и их известно достаточно много. Предполагается, что изучение их свойств позволит предсказывать существование и свойства связанных с ними еще неизвестных обобщений A. Здесь можно использовать аналогию с геохимическими поисками месторождений. Рудные тела небольших размеров (тела A) включены в достаточно обширные тела повышенных содержаний химических элементов относительно фона. Первоначально задача нахождения тела A заменяется более легкой задачей нахождения тела B, в пределах которого и проводятся дальнейшие поиски.
В качестве обобщения умножения известен факториал натурального числа n, который интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Факториал определен в комбинаторике, но широко используется в математике. Существует также обобщение факториала для положительных вещественных чисел – гамма-функция, известная в математической статистике. Гамма-функция определена как расширения факториала для всех комплексных чисел, исключая отрицательные целые числа. Обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является также пи-функция. Перечень можно продолжить двойным факториалом, суперфакториалом и др.
А как же деление? На его основе обобщения неизвестны, но один случай просто нельзя оставить без внимания. Это деление одного числа на другое, когда они имеют одинаковую размерность или безразмерны. Случай разной размерности хорошо интерпретируются. Например, если путь в 6 км преодолен за 1 час, то, разделив путь на время, можно утверждать, что скорость движения равна 6 км/ч. Перейдем далее к пропорциональным величинам.
Принято считать, что две взаимозависимые величины являются пропорциональными, если отношение их значений не изменяется. Результат деления называется коэффициентом пропорциональности. Отношение содержаний золота и серебра в золотосеребряных месторождениях может служить примером коэффициента пропорциональности для величин одной размерности. Это важная геологическая информация. Руды мексиканского месторождения Пачука на 1 т золота содержат примерно 200 т серебра, то есть соотношение золота к серебру на этом месторождении составляет 1:200. Почему содержание золота необходимо делить на содержание серебра, а не наоборот? Потому что так принято и устраивает многих, но не автора статьи. Причина несогласия с принятым правилом деления кроется в необходимости как дальнейшего перехода к изучению пропорциональности безразмерных величин, так и увеличения числа величин, для которых вычисляется коэффициент пропорциональности.
В этих случаях результат деления чисел не понравится уже всем без исключения. Коэффициент пропорциональности атомной массы водорода и гелия можно вычислить по-разному: в виде дробей 1.008/4.0026 и 4.0026/1.008. Результат по степени неопределенности превосходит старый анекдот об умножении, в котором полковник утверждает, что дважды два примерно равно пяти и точнее для данных расчетов не надо. Фантазируйте с коэффициентами нашего примера! Воображения явно не хватит для вычисления одного коэффициента пропорциональности для трех и более чисел, например, атомных масс водорода, гелия и лития.
Более того, представляется необоснованным требование постоянства значения для коэффициента пропорциональности. Взаимозависимость величин тоже является отдельной проблемой. Распространение вычислений коэффициентов пропорциональности на множества из одного и более чисел было получено при помощи информационного коэффициента пропорциональности [2],[3],[4]. Его роднит с обычным коэффициентом пропорциональности важнейшее свойство сохранять свое значение при умножении исходных чисел на одно и то же число. Для вычислений используются уравнения теории информации и квадратная матрица 3×3, подобная полю для игры в крестики-нолики.
Если три исходных числа a, b и c взять по три раза и расположить в такой матрице так, чтобы все они присутствовали в каждой строке и столбце, то можно избавиться от необходимости «назначать» числители и знаменатели для расчетов. Например, три строки могут быть представлены как a, b, c; b, c, a и c, a, b. При перемене мест любых двух триад одних и тех же чисел информационный коэффициент пропорциональности не изменится. Вычисления коэффицента можно выполнить при помощи калькулятора пропорциональности, доступного для свободного использования в Интернете.
По аналогии для четырех чисел необходима матрица 4×4, для пяти – 5×5 и т.д. При этом возникает проблема: при использовании разных матриц невозможно совместно обрабатывать результаты расчетов. Универсальные расчеты можно делать с матрицей 3×3, вычисляя большое множество информационных коэффициентов пропорциональности. Числа в матрице распологаются случайно, а в качестве девятого элемента используется сумма восьми других. Исходные числа вместо одного коэффициента характеризуются распределением вероятностей множества информационных коэффициентов пропорциональности. Это привычно для математической статистики, в которой рассматриваются подобные распределения.
Две статьи, посвященные практическим приложениям информационных коэффициентов пропорциональности, вышли на русском языке в 2008 году в научном журнале Сибирского федерального университета и с момента выхода доступны в интернете для свободного ознакомления. Научные статьи на английском языке можно найти на сайте Корнельского университета (www.arxiv.org).
Насколько важны коэффициенты пропорциональности? Без них наше общение было бы невозможным, так как гравитационная постоянная Ньютона представляет собой коэффициент пропорциональности, обеспечивающий наше присутствие на Земле. Коэффициенты пропорциональности можно рассматривать и как важную характеристику химических соединений. Число химических элементов, встречающихся в природе, предельно возможные числа минералов, неорганических и органических химических соединений, вероятно, определяются соответственно как сочетания по 1, 2, 3 и 4 из 95 природных химических элементов. Предложена гипотеза, что распределения информационных коэффициентов пропорциональности для атомных масс химических элементов минералов и других химических соединений соответствуют распределениям указанных множеств для сочетаний по 2, 3 и 4 атомных масс 95 природных химических элементов [2],[3].
Такое странное соотношение химических элементов и химических соединений иначе невозможно объяснить. Минералы, например, содержат в своем составе до 12 химических элементов без учета примесей. Почему можно говорить об их количестве как о сочетании по 2 из 95? Объяснение такой закономерности связано с тем, что распределение вероятностей информационных коэффициентов пропорциональности атомных масс более двух химических элементов совпадают с таковым распределением для каких-то двух химических элементов.
Ответ на вопрос о важности использования информационных коэффициентов пропорциональности дает также представление структуры ядра атома любого химического элемента в виде куба, состоящего из 27 элементарных кубов [5], в сущности – кубика Рубика. В таком кубе содержатся целые числа от 1 до 8, в сумме составляющие 9. Эта структура подводит нас к объяснению числа изотопов каждого химического элемента и разной встречаемости изотопов в природе. Она также объясняет причины совместного нахождения химических элементов в природе, появления самородков одних химических элементов, например, золота и практического отсутствия других, например, олова. Программа, предназначенная для таких расчетов, также является доступной для любого исследователя.
Потенциал прикладного использования информационных коэффициентов пропорциональности громаден. С их помощью получены данные о возможном существовании в кварцевой жиле Васильевского месторождения золота Енисейского кряжа двойной спиральной структуры — возможного аналога ДНК [2]. Открытая программа Agemarker может быть использована для классификации горных пород и руд по результатам их химического анализа с одновременным определением их относительного возраста [6] (важнейшая задача в геологии).
При помощи этой программы минералы могут быть также объединены в пакеты периодической системы химических соединений [7]. Такое объединение минералов является ключом к аналогичной периодической систематизации всех неорганических и органических соединений в пакеты численностью по 95. Классификационный показатель вычисляется только на основе атомных масс химических элементов, а атомные массы в свое время позволили создать и Периодическую систему химических элементов.
Я заканчиваю статью утверждением, что в математике необходимы как практические, так и теоретические исследования информационных коэффициентов пропорциональности и разработка теории математических обобщений. Стартовой площадкой указанной теории может стать арифметика с проблемой обобщения действий сложения и вычитания. В математике известны обобщенные функции — возможно, пришло время определять обобщённые и обобщающие математические действия. Если обойти молчанием эти вопросы, то загадка арифметических действий может обернуться нарастающими проблемами, так как предлагаемые расчеты показателей пропорциональности, вероятно, незаменимы в медицине и экологии, как, впрочем, и в других естественных науках.
Литература
- Депман И.Я. История арифметики. 2-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1965. 416с.
- Лабушев, М.М. Борзых О.С. Использование информационных коэффициентов пропорциональности для анализа распределения золота в рудном теле Васильевского месторождения. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 1 (2008) 40-46
- Лабушев, М.М. О предельно возможном числе минералов, неорганических и органических химических соединений. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 3 (2008) 221–233
- Labushev, M. M. (2011). The Periodic Table as a Part of the Periodic Table of Chemical Compounds, 18. Retrieved from arxiv.org/abs/1103.3972
- Labushev, M. M. (2012). Computer Simulation of Atoms Nuclei Structure Using Information Coefficients of Proportionality, 14. Retrieved from arxiv.org/abs/1207.4671
- Labushev, M. M., Khokhlov A.N. (2012). Relative Dating and Classification of Minerals and Rocks Based on Statistical Calculations Related to Their Potential Energy Index, 19. Retrieved from arxiv.org/abs/1212.2628
- Labushev, M. M. (2013). Three Packets of Minerals of the Periodic Table of Chemical Elements and Chemical Compounds, 15. Retrieved from arxiv.org/abs/1304.1280
Основные математические определения
| На этой странице мы собрали некоторые основные определения. Для получения большего количества определений, объяснений и т. д. используйте поиск выше. |
| Или найдите свое слово в: |
| Иллюстрированный математический словарь |
Основные операции
В основах математики есть много способов сказать одно и то же:
Символ | Используемые слова |
|---|---|
+ | Сложение, Добавить, Сумма, Плюс, Увеличение, Всего |
− | Вычитание, Вычитание, Минус, Меньше, Разница, Уменьшение, Отнять, Вычесть |
× | Умножение, Умножение, Продукт, На, Раз, Много |
÷ | Деление, Делить, Частное, Переходить, Сколько раз |
Дополнение …
… объединение двух или более чисел (или вещей) для получения новой суммы.
Числа, которые нужно сложить вместе, называются « Addends «:
Вычитание равно …
… отнять одно число от другого.
Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность
Minuend : Число, из которого нужно вычесть.
Вычитаемое : Число, которое необходимо вычесть.
Разница : Результат вычитания одного числа из другого.
Умножение равно …
… (в простейшей форме) повторяющееся сложение .
Здесь мы видим, что 6+6+6 (три шестерки) дают 18:
Можно также сказать, что 3+3+3+3+3+3 (шесть троек) дают 18
Но мы также можем умножать дроби или десятичные дроби, что выходит за рамки простой идеи многократного сложения:
Пример: 3.5 × 5 = 17,5
, что составляет 3,5 лота по 5 или 5 лотов по 3,5
Отдел — это…
… разбиение на равные части или группы. Это результат «справедливого распределения».
Отдел имеет свои особые слова, которые нужно запомнить.
Возьмем простой вопрос 22 разделить на 5 . Ответ: 4 , осталось 2 .
Здесь мы видим важные слова:
Который также может быть в такой форме:
Дробь …
… часть целого.
Верхняя часть (числитель) говорит , сколько частей у нас есть .
Нижняя часть (знаменатель) говорит на сколько частей делится целое .
Подробнее см. в разделе «Дроби».
Десятичное число равно …
… число который содержит десятичную точку.
Подробную информацию см. в разделе «Десятичные числа».
Процент равен …
… частей на 100. Символ %
Пример: 25% означает 25 на 100 (25% этого поля выделено зеленым цветом)
Подробнее см. Проценты.
Среднее (среднее) равно …
… сумма деленная на количество .
Мы вычисляем среднее по суммируя все значения , затем делим на сколько значений .
Пример: Чему равно среднее 9, 2, 12 и 5?
Сложите все значения: 9 + 2 + 12 + 5 = 28
Разделить на сколько значений (их четыре): 28 ÷ 4 = 7
Таким образом, среднее значение равно 7
.Дополнительные сведения см. в разделе Среднее значение.
Арифметика комплексных чисел | Комплексные числа
Поскольку комплексные числа являются законными математическими объектами, как и скалярные числа, их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат, инвертировать и т. д., как и любые другие числа.
Некоторые научные калькуляторы запрограммированы на прямое выполнение этих операций над двумя или более комплексными числами, но эти операции также можно выполнять «вручную». В этом разделе показано, как выполняются основные операции.
Настоятельно настоятельно рекомендуется вооружиться научным калькулятором, способным легко выполнять арифметические операции над комплексными числами. Это сделает ваше изучение цепи переменного тока намного более приятным, чем если бы вы были вынуждены выполнять все расчеты более длинным путем.
Сложение и вычитание комплексных чисел в прямоугольной форме
Сложение и вычитание комплексных чисел в прямоугольной форме очень просто. Кроме того, просто сложите действительные компоненты комплексных чисел, чтобы определить действительную составляющую суммы, и сложите мнимые составляющие комплексных чисел, чтобы определить мнимую составляющую суммы:
При вычитании комплексных чисел в прямоугольной форме просто вычтите действительную составляющую второго комплексного числа из действительной составляющей первого, чтобы получить действительную составляющую разности, и вычтите мнимую составляющую второго комплексного числа из мнимой составляющей из первых прибывших мнимая составляющая разности:
Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме
Для умножения и деления от руки предпочтительной является полярная запись.При умножении комплексных чисел в полярной форме просто умножьте на полярные величины комплексных чисел, чтобы определить полярную величину произведения, и добавьте углов комплексных чисел, чтобы определить угол произведения:
Деление комплексных чисел в полярной форме также легко: просто разделите полярную величину первого комплексного числа на полярную величину второго комплексного числа, чтобы получить полярную величину частного, и вычтите угол второго комплексного числа. из угла первого комплексного числа получить угол частного:
Чтобы получить обратное или «инвертированное» (1/x) комплексное число, просто разделите число (в полярной форме) на скалярное значение 1, которое представляет собой не что иное, как комплексное число без мнимой составляющей (угол = 0):
Это основные операции, которые вам необходимо знать, чтобы манипулировать комплексными числами при анализе цепей переменного тока.Однако операции с комплексными числами отнюдь не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и обращением.
Практически любую арифметическую операцию, которая может быть выполнена со скалярными числами, можно выполнить с комплексными числами, включая степени, корни, решение одновременных уравнений с комплексными коэффициентами и даже тригонометрические функции (хотя это включает в себя совершенно новую перспективу в тригонометрии, называемую гиперболическими функциями что выходит далеко за рамки этого обсуждения).
Убедитесь, что вы знакомы с основными арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения, деления и инверсии, и у вас не возникнет проблем с анализом цепи переменного тока.
ОБЗОР:
- Чтобы сложить комплексные числа в прямоугольной форме, добавьте действительные компоненты и добавьте мнимые компоненты. Вычитание аналогично.
- Чтобы умножить комплексные числа в полярной форме, умножьте величины и сложите углы.Чтобы разделить, разделите величины и вычтите один угол из другого.
СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:
Концепция умножения плюс умножение и сложение
Это полный урок для третьего класса с обучением и упражнениями по основному понятию умножения и по связи между умножением и сложением. Умножение определяется как означающее, что у вас есть определенное количество групп одинакового размера.Затем можно решить повторным сложением. Учащиеся заполняют пропущенные части в предложениях на умножение и сложение, чтобы соответствовать данным наглядным моделям (картинкам). Они также рисуют картинки, соответствующие данным умножениям.
Символ × указывает на умножение на . Умножение |
Здесь у нас есть пять групп, и в каждой группе два слона. 5 × 2 = 10
| |||||||||||||||
Здесь три группы, и в каждой группе четыре собаки. 3 × 4 = 12
|
1. Нарисуйте точки в группах, чтобы соответствовать умножениям.
а. 2 × 6 |
|
2. Заполните недостающие части.
| а. ____ групп, по ____ ножниц в каждой. ____ × ____ ножницы = ____ ножницы _____+ _____ + _____ + _____ | б. ____ × ____ баранов = ____ баранов _____+ _____ + _____ |
| в. ____ групп, ____ собаки в каждом. ____ × ____ собака = ____ собак _____+ _____ + _____ | д. ____ группа, в ней ____ морковок. 1 × ____ моркови = ____ моркови |
3. Напишите предложение сложения и умножения для каждой картинки.
| а. ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______ | б. ___ + ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______ | ||
| с. ___ + ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______ | д. ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______ |
4. Теперь ваша очередь рисовать. Нарисуй шары или палочки. Запишите предложение на умножение.
а. Нарисуйте 3 группы по семь палочек.
_____ × _____ = ______ | б. Нарисуйте 2 группы по восемь шаров.
_____ × _____ = ______ |
с. Рисовать 4 группы по четыре мяча.
_____ × _____ = ______ | д. Нарисуйте 5 групп по два шара.
_____ × _____ = ______ |
5. Розыгрыш группы для решения умножения.
|
б. 4 × 6 = _______ |
6. Эти проблемы связаны с группами. Напишите умножение. Рисование может помочь.
| а. Сколько ног у пяти коров? _____ × _____ = ______ | б. Сколько
колеса есть у шести велосипедов? _____ × _____ = ______ |
| с. Сколько
палочки в трех группах по пять палочек? _____ × _____ = ______ | д. В одной грозди винограда 11 виноградин. Сколько виноградин в трех таких гроздях?
_____ × _____ = ______ |
Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора.Авторское право © Мария Миллер.
Комплексные числа: обратные, сопряженные и деление
Комплексные числа: обратные, сопряженные и деление Мы изучали сложение, вычитание и умножение. Теперь пришло время деления. Точно так же, как вычитание может быть составлено из сложения и отрицания, деление может быть составлено из умножения и взаимного обмена. Итак, мы поставили перед собой задачу найти 1/ z по данным z. Другими словами, по заданному комплексному числу z = x + yi, найдите другое комплексное число w = u + vi , теперь мы можем сделать 4w , 0, такое, что 0 что и алгебраически, и геометрически. Во-первых, алгебраически. Мы будем использовать формулу продукта, которую мы разработали в разделе об умножении. Он сказал ( x + yi )( u + vi ) = ( xu – yv ) + ( xv + yu ) i .Теперь, если два комплексных числа равны, то их действительные части должны быть равны, и их мнимые части должны быть равны. Чтобы zw = 1, нам понадобится
( xu – yv ) + ( xv + yu ) i = 1.Это дает нам два уравнения. Первый говорит, что действительные части равны:
сю – yv = 1,а второй говорит, что мнимые части равны:
xv + ю = 0.Теперь, в нашем случае, х было задано, а х было неизвестно, поэтому в этих двух уравнениях х и y даны, а х и х являются неизвестными для решения. Вы можете довольно легко решить для u и v в этой паре одновременных линейных уравнений. Когда вы это сделаете, вы найдете
Таким образом, обратное число z = x + yi равно числу w = u + vi , где u имеют только что найденные значения и .Таким образом, мы имеем следующую формулу взаимного обмена:
Обратные числа, сделанные геометрически, и комплексные сопряжения.
Из того, что мы знаем о геометрии умножения, мы можем определить обратные геометрически. Если z и w обратны, то zw = 1, поэтому произведение их модулей равно 1, а сумма их аргументов (углов) равна 0.Это означает, что длина 1/ z является обратной величиной длины z. Например, если | с | = 2, как на схеме, то |1/ z | = 1/2. Это также означает, что аргумент для 1/ z является отрицанием аргумента для z. На диаграмме arg( z ) составляет около 65°, а arg(1/ z ) составляет около –65°.
Вы можете видеть на диаграмме еще одну точку, отмеченную чертой над z. Это называется комплексным сопряжением числа z. Имеет ту же действительную составляющую x, , но мнимая составляющая инвертирована.Комплексное сопряжение сводит на нет мнимую составляющую, поэтому при преобразовании плоскости C все точки отражаются на действительной оси (т. е. точки выше и ниже действительной оси меняются местами). Конечно, точки на действительной оси не меняются, потому что комплексное сопряжение действительного числа есть само.
Комплексно-сопряженные числа дают нам еще один способ интерпретировать обратные числа. Вы можете легко проверить, что комплексное число z = x + yi , умноженное на его сопряженное x – yi , является квадратом его абсолютного значения | с | 2 .
Таким образом, 1/ z является сопряженным z , деленным на квадрат его абсолютного значения | с | 2 .
На рисунке видно, что 1/| с | и сопряженные z лежат на том же луче от 0, но 1/| с | составляет только одну четвертую длины сопряжения z (а | z | 2 равно 4).
Кстати, комплексное сопряжение — удивительно «прозрачная» операция.Он коммутирует со всеми арифметическими операциями: сопряжение суммы, разности, произведения или частного есть сумма, разность, произведение или частное соответственно сопряженных. Такая операция называется изоморфизмом поля .
Отдел.
Собрав воедино нашу информацию о произведениях и обратных величинах, мы можем найти формулы для частного деления одного комплексного числа на другое. Во-первых, у нас есть строго алгебраическая формула в терминах действительной и мнимой частей.Далее у нас есть выражение в комплексных переменных, в котором используется комплексное сопряжение и деление на действительное число.
Обе формулировки полезны и их стоит знать и понимать.
операций с массивами и матрицами — MATLAB & Simulink
Операции с массивами и матрицами
Введение
MATLAB ® имеет два разных типа арифметических операций: операции с массивами и матричные операции.Вы можете использовать эти арифметические операции для выполнения числовых операций. вычисления, например, сложение двух чисел, возведение элементов массива в заданной мощности или умножение двух матриц.
Операции с матрицами следуют правилам линейной алгебры. Напротив, массив
операции выполняют поэлементные операции и поддерживают многомерные
массивы. Символ точки ( . ) отличает массив
операции из матричных операций.Однако, поскольку матрица и массив
операции сложения и вычитания одинаковы, пары символов .+ и .- не нужны.
Операции с массивами
Операции с массивами выполняют поэлементные операции над соответствующими элементами векторов, матриц и многомерных массивов. Если операнды одинаковы размер, то каждый элемент в первом операнде сопоставляется с элементом в то же самое место во втором операнде.Если операнды имеют совместимые размеры, то каждый вход неявно расширяется по мере необходимости, чтобы соответствовать размеру другого. Для большего информацию см. в разделе Совместимые размеры массивов для основных операций.
В качестве простого примера можно добавить два вектора одинакового размера.
Если один операнд является скаляром, а другой нет, то MATLAB неявно расширяет скаляр до того же размера, что и другой операнд. Например, вы можете вычислить поэлементное произведение скаляра и матрица.
Неявное расширение также работает, если вы вычитаете вектор 1 на 3 из матрицы 3 на 3 потому что эти два размера совместимы. Когда вы выполняете вычитание, вектор неявно расширяется, чтобы стать матрицей 3 на 3.
А = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]
инс =
-1 -3 -5
0 -2 -4
1 -1 -3 Вектор-строка и вектор-столбец имеют совместимые размеры. Если вы добавите вектор 1 на 3 в вектор 2 на 1, то каждый вектор неявно расширяется в матрицу 2 на 3 перед MATLAB выполняет поэлементное сложение.
Если размеры двух операндов несовместимы, вы получите ошибку.
А = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
Размеры матрицы должны совпадать.
В следующей таблице приводится сводка арифметических операций с массивами в МАТЛАБ. Для получения информации о конкретной функции щелкните ссылку на функцию справочная страница в последнем столбце.
Оператор | Назначение | Описание | Ссылка Страница | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Дополнение | | плюс | ||
| Унарный плюс | UPLUS | |||
| Вычитание | | минус | ||
| Unary Minus | | мощность | ||
./ | Правое деление массива | | разделить | ||
| Левое деление массива | | lразделить | ||
| Транспонирование массива | | транспонировать |
Операции с матрицами
Операции с матрицами следуют правилам линейной алгебры и несовместимы с многомерные массивы. Требуемый размер и форма входов по отношению к друг друга зависит от операции. Для нескалярных входов матричные операторы обычно вычисляют разные ответы, чем их аналоги оператора массива.
Например, если вы используете оператор деления матрицы вправо, /,
чтобы разделить две матрицы, матрицы должны иметь одинаковое количество столбцов.Но если
вы используете оператор умножения матриц, * , чтобы умножить два
матриц, то матрицы должны иметь общий внутренний размер .
То есть количество столбцов в первом входе должно быть равно количеству
строки во втором входе. Оператор умножения матриц вычисляет произведение
двух матриц с формулой
C(i,j)=∑k=1nA(i,k)B(k,j).
Чтобы убедиться в этом, вы можете вычислить произведение двух матриц.
Произведение предыдущей матрицы не равно следующему по элементам продукт.
В следующей таблице представлен обзор матричных арифметических операций в МАТЛАБ. Для получения информации о конкретной функции щелкните ссылку на функцию справочная страница в последнем столбце.
Оператор | Назначение | Описание | Ссылка Страница | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Умножение матриц | | MTIME | ||
| Матрица левого деления | | MLDIVIDE | ||
| Матрица правый деление | | MPOWER | ||
| ‘ Комплексное сопряженное соединение | | ctranspose |
Связанные темы
Умножение матриц и многое другое в Swift [Accelerate Framework]
Операционные системы Apple, такие как iOS и macOS, содержат оптимизированную по производительности структуру под названием Accelerate для быстрых операций с матрицами. В этом посте представлены примеры сложения, вычитания, умножения и деления матриц:
- Подготовка матриц
- Умножение матриц
а.Умножение матриц одинарной точности
b. Умножение матриц двойной точности
c. Транспонирование, умножение матриц по строкам и по столбцам с использованием CBLAS
d. Поэлементное умножение матриц - Поэлементное деление матрицы
- Добавление матрицы
- Матричное вычитание
- Сумма всех значений в матрице
Немедленно получите доступ к коду с комментариями для этих анимаций, если вы будете следовать Advanced Swift.
Подготовка матриц
Для подготовки к матричной арифметике с использованием Accelerate матрицы необходимо преобразовать в формат, который может принять Accelerate. Двумерные матрицы сначала необходимо сгладить (превратить в одномерные векторы, представляющие двумерные матрицы).
Примеры умножения матриц в этом посте оценивают A * B = C .
импорт Ускорить
// Определяем размеры строк и столбцов матрицы
пусть M = Int32(3)
пусть N = Int32(1)
пусть K = Int32(2)
// Матрица A, матрица размера MxK
пусть A: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5],
[8, 0]
].плоская карта {$0}
// Матрица B, матрица размера KxN
пусть B: [Плавающая] = [
[2],
[6]
].flatMap {$0}
// Матрица C, матрица размера MxN
переменная C: [Плавающая] = [
[0],
[0],
[0]
].flatMap {$0}
Умножение матриц
Инфраструктура Accelerate содержит несколько интерфейсов для одинарного, двойного и поэлементного умножения матриц в Swift.
Умножение матриц одинарной точности
Используйте функцию vDSP_mmul для выполнения умножения матриц одинарной точности:
// Использование A, B, C и M, N, K согласно определению
// Шаг — это расстояние между элементами для чтения.// Чтобы использовать все последовательные элементы, установите шаг равным 1.
пусть aStride = vDSP_Stride(1)
пусть bStride = vDSP_Stride(1)
пусть cStride = vDSP_Stride(1)
vDSP_mmul(
А, аСтрайд,
Б, бСтрайд,
&C, cStride,
vDSP_Длина (М),
vDSP_длина (N),
vDSP_длина (К)
)
// C будет [42.0, 32.0, 16.0]
Умножение матриц с двойной точностью
Процесс умножения матриц с двойной точностью с использованием vDSP такой же, как и с одинарной точностью, за исключением:
a. vDSP_mmulD используется вместо vDSP_mmul
b. A , B и C должны быть типа [Double] вместо [Float]
Транспонирование, умножение матриц по строкам и по столбцам с использованием CBLAS
Accelerate включает еще один оптимизированный по производительности интерфейс для умножения матриц, поддерживающий умножение одинарной точности ( cblas_sgemm ) и двойной точности ( cblas_dgemm ).
Функции cblas_sgemm и cblas_dgemm включают дополнительные параметры конфигурации для форматов данных по строкам и по столбцам, преобразование матриц A и/или B и коэффициенты масштабирования.Функции cblas позволяют выполнить следующую операцию умножения матриц: αAB + βC = C
// Использование A, B, C и M, N, K согласно определению
// Строка-мажор указывает, что строка непрерывна в
// объем памяти. Другой вариант — упорядочение по столбцам.
пусть Порядок = CblasRowMajor
// Если матрица A должна быть транспонирована
пусть TransposeA = CblasNoTrans
// Если матрица B должна быть транспонирована
пусть TransposeB = CblasNoTrans
// Коэффициент масштабирования для A * B
пусть альфа = с плавающей запятой (1.0)
// Масштабный коэффициент для матрицы C
пусть бета = с плавающей запятой (1.0)
// При упорядочении по строкам количество элементов
// в строке матрицы A (K)
пусть lda = K
// При упорядочении по строкам количество элементов
// в строке матрицы B (N)
пусть ldb = N
// При упорядочении по строкам количество элементов
// в строке матрицы C (N)
пусть ldc = N
cblas_sgemm(
Заказ,
Транспонировать А, Транспонировать Б,
М, Н, К,
альфа,
А, лда,
б, лдб,
бета,
&С, ООО
)
// C будет [42.0, 32.0, 16.0]
Процесс умножения матриц с двойной точностью с использованием CBLAS такой же, как и с одинарной точностью, за исключением:
a. cblas_dgemm используется вместо cblas_sgemm
b. alpha и beta должны быть типа Double
c. A , B и C должны быть типа [Double] вместо [Float]
Поэлементное умножение матриц
Чтобы умножить каждый элемент матрицы на постоянное значение, используйте vDSP.multiply и передайте константу в качестве первого аргумента:
пусть матрица: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5]
].плоская карта {$0}
пусть результат = vDSP.multiply(2, матрица)
Поэлементное деление матрицы
Чтобы разделить каждый элемент в матрице с постоянным значением, используйте vDSP.divide и передайте константу в качестве первого аргумента:
пусть матрица: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5]
].flatMap {$0}
пусть результат = vDSP.divide (2, матрица)
Добавление матрицы
Используйте vDSP.add для добавления двух матриц:
пусть матрица: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5]
].плоская карта {$0}
пусть результат = vDSP.add (матрица, матрица)
Matrix Subtraction
Используйте vDSP.subtraact для вычитания двух матриц:
пусть матрица: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5]
].flatMap {$0}
пусть результат = vDSP.subtract (матрица, матрица)
Сумма всех значений в матрице
Используйте vDSP.sum для суммирования всех значений в матрице:
пусть матрица: [Плавающая] = [
[3, 6],
[1, 5]
].flatMap {$0}
пусть matrixSum = vDSP.сумма (матрица)
Оптимизация производительности матричных операций в Swift
Вот и все! Используя Accelerate и vDSP, вы можете умножать, делить, вычитать и складывать матрицы в Swift с оптимизацией производительности.
Как научить сложению, вычитанию, умножению, делению и дробям за один простой урок
Когда мой старший был маленьким, я понятия не имел, что делаю, и использовал ту же математическую программу, что и все другие умные люди, которых я знал.
Поскольку математика представляла для меня все эти несвязанные части: дроби, сложение и вычитание, умножение и деление, мы так и не увидели, как они связаны между собой.
Мой младший получает совершенно другое образование. Без слез и весело.
И ваш тоже.
Слева у нас есть два изображения числа 8. Вверху находится блок 8. У нас есть одна восьмерка (1 x 8), и мы можем посчитать и узнать, что это 8. У нас также есть 2 четырех кубика, и это тоже дает 8. 4 + 4 = 8.Что еще мы можем увидеть?
- 2 x 4 = 8 Две группы по 4 равны 8.
- Если бы на изображении было 8 единиц, мы могли бы видеть, что 8 x 1 равно 8.
- число 8. Или 8, разделенное на 4, равно 2.
На этом изображении мы можем легко увидеть, что:
- Если у вас есть 8 и вы удаляете 4, у вас остается 4. 8 — 4 то же самое. как 4.
- Если мы разделим 8 пополам, мы получим 4 с каждой стороны. 4 это 1/2 от 8.
Теперь у нас есть 4 двойки. И это тоже то же самое, что 8 или 4 х 2 = 8. А что еще мы можем увидеть?
- 2 + 2 + 2 + 2 = 8
- В числе 8 содержится четыре двойки. Или 8 разделить на 2 равно 4. осталось 6. А что еще мы знаем?
- В числе 8 четыре двойки. Одна двойка — это 1 блок из 4. Или 1/4 числа 8.
- 6 равно 3 двойкам. Это 3 блока из 4 общих блоков. Или 6 равно 3/4 числа 8.
- 2/4 от 8 точно такое же, как 1/2 от 8.
Если вы начинаете с дошкольником не используйте этот язык.
Я бы задал много вопросов :
- Сколько двойок будет 8?
- Если убрать двойку, сколько двоек останется?
- Из двойки получилось 8.
- Из каких еще кубиков можно составить восьмерку?
- У нас есть 8 в этом прямоугольнике.