522. 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения… Математика 6 класс Петерсон ГДЗ.

522. 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения… Математика 6 класс Петерсон ГДЗ. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

ответы

ответ

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Психология

3 класс

5 класс

Репетитор

похожие вопросы 5

Приветик! Кто решил? № 411 Математика 6 класс Виленкин.

Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и резуль-
тат округлите до тысячных:
3,281 ∙ 0,57 + 4,356 ∙ 0,278 — 13,758 (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классВиленкин Н.Я.

377. Вставь число так, чтобы получилось истинное высказывание. Петерсон математика 6 класс ГДЗ.

(Подробнее…)

ГДЗМатематикаПетерсон Л.Г.6 класс

ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А.В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)

ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс

Помогите установить соответствие между неравенствами. Математика базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№1. Зад.№17. Под руководством Ященко И.В.

   Здравствуйте! Помогите установить соответствие между неравенствами и их решениями: (Подробнее…)

ЕГЭЭкзаменыМатематикаЯщенко И. В.

Помогите выбрать утверждения. Математика базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№1. Зад.№18. Под руководством Ященко И.В.

   Здравствуйте! Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из (Подробнее…)

ЕГЭЭкзаменыМатематикаЯщенко И.В.

Умножение в столбик. Распределительный, переставной, связующий законы умножения в 2022 году

Что такое умножение? Компоненты действия умножения

Умножение – это арифметическое действие, заключающееся в нахождении суммы одинаковых слагаемых.

Компоненты или названия чисел при умножении: множимое, множитель, произведение. Число, являющееся слагаемым, называется множимым; число, показывающее, сколько таких одинаковых слагаемых, называется множителем. Результат действия, то есть число, найденное при умножении, называется произведением. Множимое и множитель иногда называют одним словом сомножители.

Запись действия умножения:

Необходимо умножить 4 на 5. В математике запись будет выглядеть: 4×5 = 20. Знак умножения «×» или «·»

Чтобы умножить 4 на 5, необходимо 5 раз добавить число 4 или найти сумму пяти одинаковых слагаемых (числа 4).

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

В этом случае 4 будет множеным, 5 – множителем, 20 – произведением.

В буквенном выражении между множеным и множителем принято не ставить знак умножения:

Правила, свойства и законы умножения

Есть 3 основных закона умножения: переместительный, сочетательный и распределительный. Иногда их называют свойствами, например распределительное свойство умножения.

Переместительный закон умножения

От перестановки множимого и множителя произведение не меняется.

То есть, если мы переставим местами множители, то результат умножения останется без изменений. 5×6 = 6×5

В буквенном выражении переместительный закон умножения можно записать следующим образом (a, b, c – сомножители):

 

Сочетательный закон умножения

Произведение не изменится, если любую группу рядом множителей заменить их произведением.

То есть при умножении нескольких чисел можно объединять или соединять (от этого название закона) их в группы.

Распределительный закон умножения

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и образовавшиеся произведения добавить

(5 + 2 +3) × 7 = 5 × 7 + 2 × 7 + 3 × 7 = 35 + 14 +21 = 70

Распределительный закон также можно использовать при вычитании:

(9 – 6) × 5 = 9 × 5 – 6 × 5 = 45 – 30 = 15

Умножение произведения на число и числа на произведение

Чтобы умножить произведение нескольких чисел на определенное число, достаточно один из множителей произведения умножить на это число, оставив другие сомножители без изменения. Умножая число на произведение, достаточно умножить данное число на один из множителей произведения.

Например, 25 × (13 × 4) = (25 × 4) × 13 = 100 × 13 = 1300

Правило действует и для большего количества множителей: 20 × (9 × 5 × 12) = (20 × 5) × 9 × 12 = 100 × 9 × 12 = 10800

Умножение на 0: правило

Свойство умножения на нуль: При умножении любого числа на 0 произведение будет равно 0. То есть, если множимое или множитель равны нулю, то произведение также будет равно нулю.

0 × 0 = 0

5 × 0 = 0

0 × 86 = 0

0 × b = 0 при любом значении переменной b

Умножение на 1

1 × b = b при любом значении переменной b

Правило: при умножении на единицу получим второй сомножитель, который не равен 1. Если множимое равно единице, то произведение равно множителю. Если множитель равен единице, то произведение будет равно множимому.

1 × 1 = 1

1 × 47 = 47

256 × 1 = 256

Умножение на 10, на 100 и т.

д.

При умножении натурального числа на 10, 100, 1000 и т.д., необходимо приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их есть в числе, на которое умножаем.

49 × 10 = 490

325 × 1000 = 325000

Умножение многоцифровых чисел

Умножим трехзначное число на однозначное 354 × 3

Мы можем разложить 354 на следующие слагаемые: 300 + 50 + 4 и умножить каждый разряд на 3 (согласно распределительному закону умножения): (300 + 50 + 4) × 3 = 300 × 3 + 50 × 3 + 4 × 3 = 900 + 150 +12 = 1062

Второй способ – выполнение умножения, начиная с низших разрядов. 354×3 – начинаем с умножения единиц: 4×3 = 12, записываем 2, а 1 десяток запоминаем, чтобы добавить его к произведению десятков. 5 десятков умножаем на 3, получим 15 десятков + 1 десяток = 16 десятков, записываем 6, а десять десятков или 1 сотню запоминаем, чтобы добавить в разряд сотен. В разряде сотен умножаем 3 сотни на 3, получим 9 сотен и добавляем еще 1 сотню = 10 сотен. Результат умножения: 1062

Умножение в столбик: умножение трехзначного числа на трехзначное

Пример 1. Необходимо умножить 423 × 334

Выполняя умножение в столбик, сначала умножаем множимое на единицы множителя: 423×4 = 1692, данное число называется первым промежуточным произведением. Далее нам необходимо умножить множимое на десятки множителя: 423×3 = 1269 (второе промежуточное произведение). Умножим множимое на разряд сотен: 423×3 = 1269 (третье промежуточное произведение).

При записи умножения в столбик первое промежуточное произведение записываем под разрядом единиц, второй – под разрядом десятков, третий – под разрядом сотен. После этого добавляем промежуточные произведения поразрядно, начиная с разряда единиц.

Пример 2. Необходимо умножить 126 × 209.

Сначала начинаем умножение с разряда единиц: умножаем 126 на 9, получим 1134; записываем, начиная с разряда единиц. В этом примере используем правило умножения на 0 и запишем промежуточное произведение в виде трех нулей, справа налево, начиная с разряда десятков. Умножив 126 на 2, получим 252 и запишем, начиная с сотен.

Подытожим основные правила умножения в столбик:

При умножении в столбик сначала находим первое промежуточное произведение – для этого умножаем множимое на разряд единиц множителя. Промежуточное произведение следует начинать подписывать под той разрядной единицей, на которую выполняется умножение. То есть, если мы умножаем разряд единиц (9 из предыдущего примера), то промежуточное произведение записываем так, чтобы последняя цифра промежуточного произведения была под разрядом единиц. Далее умножаем множимое на разряд десяток множителя. Последняя цифра второго промежуточного произведения должна быть под разрядом десятков (в нашем примере под 0). Третий шаг – умножаемое множимое на разряд сотен множителя и записываем промежуточное произведение. После этого добавляем промежуточные произведения по правилу добавления в столбик.

Умножение в столбик на натуральные числа, оканчивающиеся нулями

Для упрощения действия следует выполнить умножение в столбик без учета нулей, а до произведения чисел справа нужно дописать столько нулей, сколько их есть во всех множителях вместе.

Например, 5600 × 230

При умножении в столбик мы записали 56×23, в результате получили 1288 и дописываем справа три нуля, результат умножения – 1288000

Проверка умножения

Чтобы проверить правильность умножения нужно:

• Переставить местами множители и выполнить действие умножения. Если результат будет одинаковым, то действие выполнено правильно.
• Разделить произведение на один из множителей. Если в результате получим второй множитель, то действие исполнено правильно. О делении натуральных чисел читайте в следующем уроке

Как быстро умножать большие числа?

Существует несколько способов быстрого умножения, рассмотрим их с помощью примеров.

Умножение на число, близкое к единице определенного разряда (до 10, 100, 1000 и т.д.).

206 × 98 = 206 × (100 – 2) = 206 × 100 – 206 × 2 = 20600 – 412 = 20188

9103 × 1004 = 9103 × (1000 + 4) = 9103000 + 36412 = 9139412

В данном типе примеров мы расписываем приближенное число к единице определенного разряда как сумму или разность чисел (98 = 100 – 2; 1004 = 1000 + 4), а также используем распределительный закон умножения.

Умножение на 9, 99, 999 и т.д.

Правило: Чтобы умножить на число, записанное девятками (9 или 99, или 999 и т.д.), нужно к множимому приписать справа столько нулей, сколько девяток в множителе, и от результата вычесть множимое.

685 × 9 = 6850 – 685 = 6165

32 × 99 = 3200 – 32 = 3168

27 × 999 = 27000 – 27 = 26973

Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11 следует учесть, сумма цифр данного числа меньше 10, больше или равна десяти.

Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, нужно между цифрами числа написать сумму его цифр.

63 × 11 = 693

25 × 11 = 275

Чтобы умножить на 11 двозначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, нужно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать избыток суммы цифр числа сверх 10.

76 × 11 = 836

7+6=13 > 10 , поэтому результат будет: цифру десятков увеличиваем на 1, записываем 7+1 = 8, между цифрами 7 и 6 прописываем 3 (7+6-10=3), цифру единиц – 6 записываем без изменений. В результате получим произведение 836

Умножение чисел до 20

Если для умножения чисел до 10 можно использовать таблицу умножения, то для выполнения расчетов с двузначными числами в пределах 20 следует воспользоваться алгоритмом, описанным ниже.

Умножим 14 на 17

• К одному из чисел добавляем количество единиц второго: 14 + 7 = 21
• Полученное число умножаем на 10: 21×10 = 210
• Добавляем произведение единиц двух чисел: 210 + 4×7 = 238

14 × 17 = (14 + 7) × 10 + 4 × 7 = 238

Правильность этого метода можно доказать и проверить: 14 × 17 =

(10 + 4 ) × (10 + 7) = 10 × 10 + 10 × 4 + 10 ×7 + 4 × 7 = 10 × (10 + 4 + 7) + 4 × 7 = 238

В этом случае число 10 считается опорным числом.

Знак умножения на клавиатуре

Чаще всего знак умножения отображают крестиком «×» или точкой «·», реже используют звездочку «*».

На клавиатуре можно набрать знак звездочки* сочетанием клавиш Shift+8

Если вам нужен знак ×, можно использовать символ Unicode (Вставка/Символы), код: 00D7. Код 00B7 — отображает знак «·»

Гельфанд: Блок 2 — Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные законы

23 ноября 2016 г.

Ассоциатив

и Коммутативные законы

Эти законы позволяют вам манипулировать числами в ваших суммах и умножениях, чтобы их было легче делать в уме, и манипулировать другими способами.

Есть ассоциативных законов для дополнения:

и умножение:

Ассоциативные законы касаются порядка, в котором вы выполняете отдельные двухэлементные суммы/умножения в большем выражении.

Есть коммутативных законов для дополнения:

и умножение:

Коммутативные законы касаются того факта, что вы можете менять порядок чисел в выражении.

Комбинированные, Ассоциативные и Коммутативные законы являются основой большинства трюков, которые вы, вероятно, знаете, но не знаете, для обработки ментальной арифметики. Подробнее о них ниже.

Несколько удобных мнемоник, взятых с сайта Onlinemathlearning.com. запомнить эти два закона таковы:

Ассоциативный закон об ассоциации или группировке — с кем вы состоите в паре?

Коммутативный закон о том, что вещи должны быть одинаковыми в любом случае — как добираться на работу и с работы

Закон о распределении

Распределительный закон — это правило удаления скобок:

От Гельфанда (стр. 15):

«Чтобы умножить две суммы, нужно умножить каждый член первой суммы на каждый член второй, а затем сложить их все вместе».

Дополнительно (из Исчисления Стюарта «Обзор алгебры») ничего не стоит, что подставив в Распределительный закон получится:

и так

Удобная мнемоника для запоминания этого закона выглядит следующим образом: Распределительный закон о распределении или «раздаче» вещей за скобками вещам внутри них. Опять же, эта мнемоника взята с сайта Onlinemathlearning.com.

Мы увидим намного больше Закона Распределения в следующих нескольких Фрагментах (и после этого тоже). Добавление и удаление скобок кажется raison d’etre для алгебраистов.

Возникновение трюков

Упрощение сложения с

Ассоциативным законом

Пример 1: когда детали уже на месте для упрощения:

Пример 2: когда вам нужно выполнить разбиение, чтобы получить простые части:

Помните, мы видели в предыдущем посте, как мы можем использовать Ассоциативный закон , чтобы упростить применение стандартного алгоритма умножения и выявить закономерности.

Во всех этих случаях мы пытаемся расположить вещи таким образом, чтобы мы могли (по-новому) сформулировать нашу задачу в терминах групп чисел, которые проще складывать/умножать. Эта «более простая» форма обычно представляет собой форму, в которой много , что в конечном итоге приводит к большому количеству простой арифметики столбцов и, следовательно, без переносов, и, следовательно, с меньшим количеством проблем в вашей рабочей памяти. И с меньшей вероятностью ошибок.

Упрощение умножения с помощью коммутативного закона

Пример 3: когда элементы уже готовы к упрощению:

Пример 4: когда вам нужно выполнить разбиение, чтобы добраться до ваших простых элементов:

Опять же, мы пытаемся упорядочить вещи, чтобы мы могли (по-новому) сформулировать нашу задачу в терминах групп чисел, которые проще складывать/умножать.

Но можем ли мы развить этот трюк с «перестановкой» и добавить еще больше в нашу сумку? Ответ «да», и это также наша первая встреча с Карлом Фридрихом Гауссом, для многих математиков математиком.

Чтобы убедиться в этом, взгляните на задачу 35 (стр. 14) по Гельфанду.

Удалить скобки с помощью

Дистрибутивного закона

Пример 5: Распределительный закон может быть применен для удаления круглых скобок во все более сложных сценариях просто:

Разделить число на два числа, которые суммируются / умножаются на один и тот же результат, если это полезно

напр.

Почему у тебя нет законов для разделения?

Помните в предыдущем посте, где мы говорили, что «умножение и деление» — это вроде как, но не одни и те же стороны медали? Помните тогда, что мы должны были следовать понятиям «неопределенных» и «действительных» и «рациональных» чисел?

Ну а теперь еще одна ложка дегтя — почему нет эквивалентов этих трех законов деления? Вещи выглядят все менее и менее простыми, не так ли?

Обратные операции и коммутативные, ассоциативные и распределительные свойства

Большая четверка математических операций — сложение, вычитание, умножение и деление — позволяет комбинировать числа и выполнять вычисления. Некоторые операции обладают свойствами, которые позволяют вам манипулировать числами в задаче, что очень удобно, особенно когда вы изучаете высшую математику, например алгебру. Важными свойствами, которые вам необходимо знать, являются коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Понимание того, что такое обратная операция, также полезно.

Обратные операции

Обратные операции — это пары операций, которые можно выполнять «в обратном направлении», чтобы компенсировать друг друга. Две пары операций Большой четверки — сложение, вычитание, умножение и деление — являются обратными друг другу:

• Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу. Когда вы начинаете с любого значения, затем добавляете к нему число и вычитаете такое же число из результата, значение, с которого вы начали, остается неизменным. Например:

  2 + 3 = 5, значит 5 – 3 = 2

  7 – 1 = 6, значит 6 + 1 = 7

• Умножение и деление являются операциями, обратными друг другу. Когда вы начинаете с любого значения, затем умножаете его на число и делите результат на то же число (кроме нуля), значение, с которого вы начали, остается неизменным. Например:

  3 × 4 = 12, значит 12 ÷ 4 = 3

  10 ÷ 2 = 5, поэтому 5 × 2 = 10

Коммутативное свойство

Операция является коммутативной , когда вы применяете ее к паре чисел в прямом или обратном направлении и ожидаете того же результата. Две большие четверки коммутативны — это сложение и вычитание.

Сложение коммутативно, потому что, например, 3 + 5 равно 5 + 3. Другими словами,

3 + 5 = 5 + 3

Умножение — это , коммутативное , потому что 2 × 7 равно 7 × 2. Другими словами,

2 × 7 = 7 × 2

Ассоциативное свойство

Операция является ассоциативной , когда вы можете применять ее, используя круглые скобки, к разным группам чисел и все равно ожидать того же результата. Две операции Большой четверки, которые являются ассоциативными, — это сложение и умножение.

Сложение ассоциативно, потому что, например, задача (2 + 4) + 7 дает тот же результат, что и задача 2 + (4 + 7). Другими словами,

(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

Независимо от того, какую пару чисел вы сложите первой, ответ один и тот же: 13.

Умножение ассоциативно, потому что, например, задача 3 × (4 × 5) дает тот же результат, что и задача (3 × 4) × 5. Другими словами,

3 × (4 × 5) = (3 × 4) × 5

Опять же, независимо от того, какую пару чисел вы умножаете первой, обе задачи дают один и тот же ответ: 60.

Распределительное имущество

Распределительное свойство связывает операции умножения и сложения. Когда умножение описывается как «распределение над сложением», вы можете разделить задачу на умножение на две меньшие задачи, а затем сложить результаты.

Например, предположим, что вы хотите умножить 27 × 6. Вы знаете, что 27 равно 20 + 7, поэтому вы можете выполнить это умножение в два этапа:

1. Первое умножение 20 × 6; затем умножьте 7 × 6.

   20 × 6 = 1207 × 6 = 42

2. Затем добавьте результаты.

   120 + 42 = 162

Следовательно, 27 × 6 = 162.

Об этой статье

Эта статья из книги:

• Базовая математика и предварительная алгебра для чайников,

Об авторе книги:

Марк Зегарелли — профессиональный писатель, получивший степень по английскому языку и математике в Университете Рутгерса.