Сочетательное свойство умножения – примеры, правила (5 класс, математика)

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 144.

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 144.

Сочетательный и переместительный законы умножения о многом похожи на свойства сложения. Возможно поэтому, ученики 5 классов часто путают свойства, из-за чего допускают в теоретических вопросах. Чтобы избежать таких проблем в дальнейшем и окончательно разобраться в вопросе рассмотрим данную тему подробнее.

Умножение

На самом деле, схожесть свойств сложения и умножения появилась не на пустом месте. Умножение это сокращенный вариант сложения, где первый множитель указывает на число, которое складывалось само с собой. Второй множитель показывает количество слагаемых. На практике это выглядит так:

3*4=3+3+3+3 – число 3 складывалось с самим собой 4 раза.

Свойства умножения

Вспомнит свойства сложения. Их всего два:

• От перемены мест слагаемых сумма не меняется – переместительное свойство.
• Если складывается несколько чисел, то можно сложить два числа, результат сложить с третьим и так далее – сочетательное свойство.

В математике два основных раздела: алгебра и геометрия. В алгебре понятия свойства и закона довольно схожи, особенно на школьном уровне математики. Поэтому свойства сложения иногда зовутся законами. Та же ситуация присутствует и в умножении. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения, хотя назвать законы умножения свойствами можно. Это не будет являться ошибкой.

По аналогии с свойствами сложения выделяют два свойства умножения:

• Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется. Действительно, если подумать, то нет никакой разницы, сложить 3 раза число 4 или сложить 4 раза число 3. Результат от этого не поменяется.
• Сочетательный закон: если в произведении больше 2 множителей, то можно перемножить 2 числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. Например: 3*4*5=12*5=60

К этим двум законам добавляется третий: распределительный. Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что если число умножается на сумму, то можно умножить это число на каждое из слагаемых, а результаты сложить. Распределительный закон в математике часто используют для раскрытия скобок.

Сочетательный закон умножения

Сочетательное свойство умножения необходимо для больших вычислений.

Сочетательный закон сложения можно использовать вместе с переместительным для ускорения расчетов. С умножением все не так просто, зачастую лучше умножать числа в том виде, в каком они записаны. Исключение из этого правила только одно: если ученик уверен, что какое-то произведение точно даст число 10 или любое из его степеней, то есть числа 100, 1000 и так далее, то нужно в первую очередь перемножить эти числа.

Приведем небольшой пример сочетательного свойства умножения.

15*3*4*5+1*2*3*4*5*6 – в первом слагаемом есть возможность немного упростить расчет, во втором такой возможности нет. Вычислим каждое из слагаемых по очереди, а потом сложим результаты.

15*3*4*5=(15*3)*(4*5)=45*20=900 – за счет правильной группировки множителей получилось немного облегчить расчет. Никаких правил здесь нет, все решает только опыт. Именно для приобретения навыков правильной группировки чисел и нужно выполнять огромное количество примеров.

1*2*3*4*5*6=2*3*4*5*6=6*4*5*6=24*5*6=120*6=720

Выполним сложение и получим результат: 900+720=1620

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Провели аналогии со сложением и выделили три свойства умножения. Отдельно поговорили о сочетательном законе умножения, а также привели пример его использования.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Игорь Сайфутдинов

  8/10

• Вика Бохонова

  10/10

Оценка статьи

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 144.

---

А какая ваша оценка?

Урок математики в 4 классе «Сочетательное свойство сложения и умножения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска

Средняя общеобразовательная школа № 165

Урок математики в 4 классе Б

«Сочетательное свойство

сложения и умножения»

Учитель начальных классов

I квалификационной категории

Ренге Лариса Викторовна

2012-2013 учебный год

Тема: «Умножение на двузначное число»

Цели:

— совершенствовать умения складывать и вычитать многозначные числа, умножать на однозначное и многозначное число;

— закреплять умение находить значение числовых выражений с использованием правил порядка выполнения действий;

— развивать логическое мышление при решении арифметической текстовой задачи;

— создавать условия для развития логического мышления и зрительной памяти;

— воспитывать у учащихся интерес к математике.

Ход урока:

1. Организационный момент.

На доске «Математика-царица наук»

— Дети, согласны ли вы с этим высказыванием?

— Почему, докажите.

2. Определение темы и цели урока.

— Глядя на эту лестницу, найдите закономерность и попытайтесь сформулировать цель нашего урока.

15х32

148:2

53х4

45:15

900-726

125+384

— Молодцы! Идя по лестнице вверх, мы закрепим навыки сложения и вычитания, деления и умножения на однозначное и двузначное число.

3. Работа в парах.

Повторить правила работы в парах:

* Слушайте друг друга.

* Считайтесь с мнением партнёра.

* Умейте спорить.

* Умейте доброжелательно объяснять.

На каждой парте карточка одна на двоих.

Выполните действия, результат соотнесите с буквами, разгадайте слово.

3770 : 10

К

750

— Какое слово получилось?

— Что оно обозначает?

Экология – наука о связях между живыми существами и окружающей их средой.

— Какое значение частного получилось самое маленькое?

— Дайте характеристику этому числу.

— Как это число связано с сегодняшним днём?

Сегодня 12 апреля. Классная работа. Записать в тетрадь.

4. Минутка чистописания.

Чтобы определить какое число мы будем писать, надо решить задачу.

Число, которое получилось в ответе, запишите аккуратно до конца строки, обратите внимание на написание каждой цифры в записи этого числа.

Задача. В 1984 году в нашей стране было 143 заповедника. За последние 20 лет создано ещё 50 новых заповедников. Сколько заповедников стало в нашей стране?

— Дайте характеристику числу 193.

— Что такое заповедники?

— Для чего они нужны?

Заповедники – это участки земли, где вся природа находится под строгой охраной.

5. Основной этап урока.

В следующей задаче речь пойдёт о животных, которые также беззащитны и нуждаются в охране.

Задача. Самые трудолюбивые санитары леса-муравьи.

В среднем муравьи за минуту приносят в муравейник 2 десятка насекомых. Сколько насекомых принесут муравьи за 1 час?

— Как узнать сколько насекомых принесут муравьи за 1 час?

2. десятка – 20

1 час – 60 минут

20 х 60 = 1200 насекомых

— Можно воспользоваться устным приёмом?

— Да, так как круглые числа.

Запишите в тетрадь решение и ответ.

Физминутка

6. Вспоминаем алгоритм умножения двузначных чисел.

— Записать в столбик единицы под единицами, десятки под десятками.

— Умножить первый множитель на единицы второго множителя.

— Умножить первый множитель на десятки второго множителя, начиная записывать под разрядом десятков.

— Сложить получившиеся результаты.

Выполняем умножение с объяснением на доске и в тетради.

14 38

62 53

7. Дифференцированное задание.

Выберите для себя одно числовое выражение и найдите его значение письменно в тетради.

793 – 625 =

1426 + 465 =

320 + 34 х 14 =

915 — 29 х 12 + 258 =

На доске карточки с ответами для проверки.

Физминутка.

8. Решение задачи в парах.

На парте карточка с задачей.

Задача. Сахар разложили в 3 мешка по 50 килограммов и в 4 мешка по 20 килограммов. Придумай вопрос к условию задачи так, чтобы её можно было решить по схеме.

Вопрос. На сколько больше килограммов сахара в трёх больших мешках, чем в четырёх маленьких?

9.Составить выражение с этими числами.

650 – столько жуков-короедов съест за 1 день дятел.

35 – столько лет живёт сова.

1000 – столько полевых мышей уничтожает сова за 1 год.

10. Домашнее задание.

11. Итог урока.

— Сегодня на уроке я понял, что…

— Самым интересным для меня было…

— Мне было непонятно…

— Мне бы хотелось…

50 х 15 Э

600 : 10 О

70 х 8 Л

480 : 2 Г

500 х 10 И

800 – 70 Я

1200 : 100 О

377

60

560

12

240

5000

730

Как применять ассоциативное свойство для сложения и умножения — Криста Кинг Математика

Ассоциативное свойство относится к группировке с помощью круглых скобок

Знаете ли вы, что при сложении или умножении действительных чисел не имеет значения, как эти числа сгруппированы, и что ответ всегда будет одним и тем же? Вы, наверное, уже знали это, но сейчас вы учитесь объяснять свои рассуждения в математике, и вот тут вам пригодится термин «ассоциативное свойство».

Ассоциативное свойство сложения: ???(a+b)+c=a+(b+c)???

Ассоциативное свойство умножения: ???(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Ассоциативный происходит от слова «ассоциировать». Постарайтесь запомнить, что «ассоциировать» с точки зрения математики относится к группировке с помощью круглых скобок. Другими словами, в примере с ассоциативным свойством числа останутся в том же порядке, но скобки сдвинутся.

Несколько примеров ассоциативного свойства сложения и ассоциативного свойства умножения

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Применение ассоциативного свойства сложения

Пример

Используйте ассоциативное свойство, чтобы записать выражение по-другому. Не выполнять добавление.

???3+(6+7)???

Мы знаем, что когда мы применяем ассоциативное свойство для сложения, круглые скобки перемещаются, а числа — нет. Таким образом, мы могли бы оставить числа там, где они есть, но переместить скобки, чтобы переписать ???3+(6+7)??? как

???(3+6)+7???

Нам не нужно было выполнять сложение, чтобы решить эту задачу, но мы также можем видеть, что два выражения равны.

???3+(6+7)=(3+6)+7???

???3+(13)=(9)+7???

???16=16???

Ассоциативный происходит от слова «ассоциировать». Постарайтесь запомнить, что «ассоциировать» с точки зрения математики относится к группировке с помощью круглых скобок.

Как использовать ассоциативное свойство умножения

Пример

Уравнение ниже истинно или ложно? Объясните свои рассуждения.

???(2\cdot 3)\cdot 5=2\cdot (3\cdot 5)???

Верно, из-за ассоциативного свойства умножения. Порядок чисел оставался прежним, а скобки перемещались.

Также мы видим, что и правая, и левая часть упрощаются до ???30???.

???(2\cdot 3)\cdot 5=2\cdot (3\cdot 5)???

???(6)\cdot 5=2\cdot (15)???

???30=30???

Получить доступ к полному курсу Алгебра 1

Начать

Learn mathКриста Кинг 30 апреля 2019 г. математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, ассоциативное свойство, алгебра 1, алгебра i, ассоциативное свойство сложения, ассоциативное свойство умножения, алгебраические свойства, круглые скобки, группировка с круглыми скобками, ассоциирование , ассоциативный, перенос скобок

0 лайков

Что такое ассоциативное свойство?

В математике термин ассоциативное свойство означает, что когда выражение состоит из трех членов, их можно сгруппировать любым способом для решения этого выражения. Группировка чисел никогда не изменит результат их действия. Ассоциативность верна для случаев сложения и умножения. Ни сумма, ни произведение выражения не меняются.

Прежде чем двигаться дальше, давайте узнаем о термине «ассоциировать». Ассоциировать означает группировать или собираться вместе. Когда много людей собираются вместе для достижения общей цели, это называется ассоциацией. Математика также использует этот термин аналогичным образом. Ассоциировать в математике означает группировать или коагулировать вместе.

Используя ассоциативное свойство, вы можете группировать или связывать термины в любом порядке. В этой статье мы докажем это свойство и подробно изучим, что такое ассоциативное свойство, определение ассоциативного свойства, математику ассоциативного свойства и решим адекватные примеры ассоциативного свойства.

Понимание ассоциативного свойства

По сути, ассоциативное свойство — это закон числовой и алгебраической математики, который гласит, что при суммировании или умножении трех или более членов (целых чисел или переменных) результат всегда остается одним и тем же, независимо от того, как термины сгруппированы.

Возможно, вам интересно, как осуществляется группировка, верно? Итак, группировка осуществляется с помощью круглых скобок или круглых скобок ‘( ).’ Давайте посмотрим на выражение ниже, чтобы понять, как выполняется группировка:

• + b + c — простое выражение без какой-либо группировки.
• ( a + b ) + c — это то же выражение с сгруппированными терминами a и b.
• + + ( b + c ), то же выражение с терминами группы b и c.
• ( a + c ) + b, это то же самое выражение со сгруппированными терминами a и c.

Теперь вам должно быть ясно, как выполняется группировка. Теперь вы должны легко сгруппировать любое выражение любым количеством способов.

Возьмем числовой пример, скажем, 2 + 7 + 4

Вы можете сгруппировать это выражение как (2 + 7) + 4, 2 + (7 + 4) или (2 + 4) + 7.  

Определение ассоциативного свойства

Ассоциативное правило утверждает, что сумма или произведение из любых трех или более целых чисел не зависит от порядка, в котором числа сгруппированы скобками. Это относится только к сложению и умножению. Другими словами, результат будет одинаковым, если одни и те же числа сгруппировать различными способами для суммирования и умножения.

Мы многое узнали о том, что такое ассоциативное свойство, определение ассоциативного свойства, математические расчеты ассоциативного свойства и увидели несколько хороших примеров ассоциативного свойства. Теперь сосредоточимся на отдельных ассоциативных свойствах. Далее мы собираемся изучить ассоциативное свойство сложения, ассоциативное свойство примера сложения, ассоциативное свойство умножения и ассоциативное свойство примера умножения.

Ассоциативное свойство сложения

Согласно ассоциативному свойству сложения результат суммирования трех или более целых чисел остается одним и тем же независимо от того, как расположены числа. Допустим, у нас есть три числа: K, L и M. Для выражения ассоциативного свойства сложения в этих случаях будет использоваться следующая формула:

Формула ассоциативного свойства сложения:

K + (L + M) = (K + L )+ M.

Давайте рассмотрим пример ниже, чтобы помочь нам понять ассоциативное свойство сложения.

Пример: 10 + 3 + 7 = 20

Используя свойство ассоциативности сложения => (10 + 3) + 7 = 10 + (3 + 7) = 20.

Получаем 13 + 7 = 20 если решить левую часть. Получим 10 + 10 = 20, если решим правую часть.

Вывод: Несмотря на то, что числа распределены по разным категориям, общее количество остается прежним.

Ассоциативное свойство умножения

Точно так же результат трех или более целых чисел, согласно ассоциативному свойству умножения, остается неизменным независимо от того, как числа сгруппированы. Допустим, у нас есть три числа: K, L и M. Для выражения ассоциативного свойства сложения в этих случаях будет использоваться следующая формула:

Ассоциативное свойство формулы умножения:

K x (L x M) = (K x L ) x M.

Давайте рассмотрим пример ниже, чтобы помочь нам понять ассоциативное свойство умножения.

Пример: 10 x 3 x 7 = 210 

Используя ассоциативное свойство сложения => (10 x 3) x 7 = 10 x (3 x 7) = 210. 

При решении левой части выражения, мы получаем 30 x 7 = 210. Когда мы решим правую часть, мы получим 10 x 21 = 210. 

Вывод: Продукт остается неизменным, несмотря на то, что числа сгруппированы по-разному.

Теперь вы все должны быть хорошо знакомы с ассоциативным свойством сложения, ассоциативным свойством примера сложения, ассоциативным свойством умножения и ассоциативным свойством примера умножения. Пришло время проверить, почему эти законы универсальны.

Проверка ассоциативного свойства

До сих пор вы изучали, что ассоциативный закон верен только для сложения и умножения. Задумывались ли вы, почему этот закон не верен для двух других математических операций, то есть вычитания и деления?

Этот раздел проверит и увидит, как ассоциативное свойство действительно только для сложения и умножения.

Мы применим это свойство ко всем фундаментальным операциям в математике и сравним результаты один за другим.

• Для сложения: Мы знаем, что ассоциативный закон сложения задается как (K + L) + M = K + (L + M). Например, возьмем выражение, скажем, 11 + 4 + 6. Если мы суммируем выражение, мы получим ответ как 21.

Теперь давайте воспользуемся свойством ассоциативности, чтобы решить это:

( 11 + 4 ) + 6 => 15 + 6 = 21 

11 + ( 4 + 6 ) => 11 + 10 = 21

В обоих случаях мы получаем один и тот же результат, который равен 21. Это также равен исходному результату, который мы вычислили перед использованием свойства. Таким образом, для сложения выполняется свойство ассоциативности.

• Для умножения: Мы знаем, что ассоциативный закон умножения задается как (K x L) x M = K x (L x M). Возьмем новый экземпляр, скажем, 2 x 13 x 5. Если мы умножим выражение, мы получим ответ как 130,

Теперь воспользуемся свойством ассоциативности, чтобы решить это выражение:

( 2 x 13 ) x 5 => 26 x 5 = 130

2 x ( 13 x 5 ) => 2 x 65 = 130

In в обоих случаях мы получаем один и тот же результат, равный 130, равный исходному результату, который мы вычислили до использования ассоциативного свойства. Следовательно, свойство ассоциативности справедливо и для умножения.

• Для вычитания: Не существует определенного выражения для ассоциативного закона вычитания; поэтому скажем, что (K – L) – M = K – (L – M) будет ассоциативным законом вычитания.

Пример: Пусть наше выражение будет 18 – 5 – 10 = 3

Теперь воспользуемся ассоциативным свойством на примере:

(18 – 5) – 10 = 13 – 10 = 3       

18 – (5 – 10) = 18 – (-5) = 18 + 5 = 23

Очевидно, группируя термины по-разному, мы получаем другие ответы, которые делают ассоциативное свойство вычитания недействительным.

• Для деления: Наконец, давайте проверим, верно ли ассоциативное свойство для деления или нет. Не существует хорошо написанной формулы для ассоциативного закона деления, поэтому предположим, что (K ÷ L) ÷ M = K ÷ (L ÷ M) будет ассоциативным законом деления.

Пример: Пусть наше выражение будет 32 ÷ 4 ÷ 2 = 4

Теперь воспользуемся ассоциативным свойством на примере:

( 32 ÷ 4 ) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 

32 ÷ ( 4 ÷ 2 ) = 32 ÷ 2 = 16

Мы получаем неравные решения, группируя элементы по-разному, что указывает на то, что ассоциативный признак деления недействителен.