Сначала сложение потом умножение правило: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками

Содержание

Умножение | Математика

Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

7 + 7 + 7

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

письменно:

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

словесно:

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

21 = 7 + 7 + 7

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

3 = 1 + 1 + 1

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.

Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых

следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.

При этом ход вычислений выражают словесно:

Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).
Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.
Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.
Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.

Это действие выразится письменно:

Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:

Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.
Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.
Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.
Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.

Этого достигают, приписывая к числу два нуля.

Отсюда заключаем:

Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.

Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:

Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.

Умножение на число с нулями в конце

Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.

Ход вычисления выразится письменно:

Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

Умножая 3029 на 9, находим:

 3029
×   9 
27261 первое частное произведение

Умножая 3029 на 20, находим:

 3029
×   20 
 60580 второе частное произведение

Умножая 3026 на 400, находим:

 3029
×   400 
1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило.

Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.
Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.
Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.
Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

В первую очередь умножение или сложение. Порядок выполнения действий, правила, примеры

При расчётах примеров нужно соблюдать определённый порядок действий. С помощью правил ниже, мы разберёмся в каком порядке выполняются действия и для чего нужны скобки.

Если в выражении скобок нет, то:

сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления;

а потом слева направо все действия сложения и вычитания.

Рассмотрим порядок действий в следующем примере.

Напоминаем вам, что порядок действий в математике расставляется слева направо (от начала к концу примера).

При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.

Первый способ

Каждое действие записывается отдельно со своим номером под примером.
После выполнения последнего действия ответ обязательно записывается в исходный пример.

При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.

Второй способ

Второй способ называется запись «цепочкой». Все вычисления проводятся в точно таком же порядке действий, но результаты записываются сразу после знака равно.

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

Порядок действий и возведение в степень

Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

Сначала выполняем все действия внутри скобок
Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени, слева направо (от начала к концу примера).
Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,
причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2:3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

cleverstudents.ru

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

Если в примере нет скобок , мы выполняем все действия по порядку, слева направо.
Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, и лишь потом все остальные действия, начиная слева направо.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Если в примере нет скобок , сначала выполняем действия умножения и деления по порядку, слева направо. Затем — действия сложения и вычитания по порядку, слева направо.
Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и затем — сложение и вычитание начиная слева направо.

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 — 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Порядок действий в математике 4 класс

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
Начать следует с умножения, далее – сложение.
После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
Завершающим этапом станет вычитание.

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

detskoerazvitie.info

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Цель: 1.

3. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 – 6, понятия делителя и

4. Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование * : + — (), геометрический материал.

Раз, два – выше голова.

Три, четыре – руки шире.

Пять, шесть – всем присесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

Но сначала придется узнать его название. Для этого нужно выполнить несколько заданий:

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 дм 5 см… 4 дм 5 см

Пока мы вспоминали о порядке действий в выражениях, с замком происходили чудеса. Мы были только что у ворот, а теперь попали в коридор. Смотрите, дверь. А на ней замок. Откроем?

1. Из числа 20 вычесть частное чисел 8 и 2.

2. Разность чисел 20 и 8 разделить на 2.

— Чем отличаются результаты?

— Кто сможет назвать тему нашего урока?

(на массажных ковриках)

По дорожке, по дорожке

Скачем мы на правой ножке,

Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,

Наше предположение было полностью правильно7

Где выполняются действия сначала, если в выражении есть скобки?

Смотрите перед нами «живые примеры». Давайте «оживим» их.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k: b + (a – c) * t

6. Работа в парах.

Для их решения вам понадобиться геометрический материал.

Учащиеся выполняют задания в парах. После выполнения проверка работы пар у доски.

Что нового вы узнали?

8. Домашнее задание.

Тема: Порядок действий в выражениях со скобками.

Цель: 1. Вывести правило порядка действий в выражениях со скобками, содержащих все

4 арифметических действия,

2. Формировать способность к практическому применению правила,

4.Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование : учебник, тетради, карточки со знаками действий * : + — (), геометрический материал.

1 .Физминутка.

Девять, десять – тихо сесть.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы с вами отправляемся в очередное путешествие по стране Знаний городу математика. Нам предстоит посетить один дворец. Что-то я забыла его название. Но не будем расстраиваться, вы сами сможете мне подсказать его название. Пока я переживала, мы подошли к воротам дворца. Войдем?

1. Сравните выражения:

2. Расшифруй слово.

3. Постановка проблемы. Открытие нового.

Так как же называется дворец?

А когда в математике мы говорим о порядке?

Что вы уже знаете о порядке выполнения действий в выражениях?

— Интересно, нам предлагают записать и решить выражения (учитель читает выражения, учащиеся записывают их и решают).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Молодцы. А что интересного в этих выражениях?

Посмотрите на выражения и их результаты.

— Что общего в записи выражений?

— Как вы думаете, почему получились разные результаты, ведь числа были одинаковые?

Кто рискнет сформулировать правило выполнения действий в выражениях со скобками?

Правильность этого ответа мы сможем проверить в другой комнате. Отправляемся туда.

4. Физминутка.

И по этой же дорожке

До горы мы добежим.

Стоп. Немножко отдохнем

И опять пешком пойдем.

5. Первичное закрепление изученного.

Вот мы и пришли.

Нам нужно решить еще два выражения, чтобы проверить правильность нашего предположения.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Для проверки правильности предположения откроем учебники на стр. 33 и прочитаем правило.

Как нужно выполнять действия после решения в скобках?

На доске написаны буквенные выражения и лежат карточки со знаками действий * : + — (). Дети выходят к доске по одному, берут карточку с тем действием, которое нужно сделать сначала, потом выходит второй ученик и берет карточку со вторым действием и т. д.

а + (а –в)

а * (в +с) : d – t

m – c * ( a + d ) + x

k : b + ( a – c ) * t

(a – b) : t + d

6. Работа в парах. Автономная некоммерческая организация Бюро судебных экспертиз Судебная экспертиза. Несудебная экспертиза Рецензия на экспертизу. Оценка Автономная некоммерческая организация «Бюро судебных экспертиз» в Москве – центр […]

Особенности бухгалтерского учета субсидий Государство стремится поддержать малое и среднее предпринимательство. Такая поддержка наиболее часто выражается в форме предоставления субсидий – безвозмездных выплат из […]
Жалоба на педиатра Жалоба на педиатра — официальный документ, устанавливающий требования пациента и описывающий суть возникновения таких требований. Согласно статье 4 Федерального закона «О порядке рассмотрения […]
Ходатайство об уменьшении размера исковых требований Один из видов уточнения иска — ходатайство об уменьшении размера исковых требований. Когда истец неправильно определил цену иска. Или ответчик частично исполнил […]
Черный рынок доллара в Киеве Валютный аукцион по покупке доллара в Киеве Внимание: администрация не несёт ответственности за содержание объявлений на валютном аукционе. Правила публикации объявлений на валютном […]

Видеоурок «Порядок выполнения действий» подробно поясняет важную тему математики — последовательность выполнения арифметических операций при решении выражения. В ходе видеоурока рассматривается, какой приоритет имеют различные математические операции, как это применяется в вычислении выражений, приводятся примеры для усвоения материала, обобщаются полученные знания в решении заданий, где имеются все рассмотренные операции. С помощью видеоурока учитель имеет возможность быстрее достичь целей урока, повысить его эффективность. Видео может применяться в качестве наглядного материала, сопровождающего объяснение учителя, а также в качестве самостоятельной части урока.

В наглядном материале используются приемы, которые помогают лучше достичь понимания темы, а также запомнить важные правила. С помощью цвета и разного написания выделяются особенности и свойства операций, отмечаются особенности решения примеров. Анимационные эффекты помогают подавать последовательно учебный материал, а также обратить внимание учеников на важные моменты. Видео озвучено, поэтому дополняется комментариями учителя, помогающими ученику понять и запомнить тему.

Видеоурок начинается с представления темы. Затем отмечается, что умножение, вычитание являются операциями первой ступени, операции умножения и деления названы операциями второй ступени. Данным определением нужно будет оперировать дальше, выведено на экран и выделено цветным крупным шрифтом. Затем представляются правила, составляющие порядок выполнения операций. Выводится первое правило порядка, которое указывает, что при отсутствии скобок в выражении, наличию действий одной ступени, данные действия необходимо производить по порядку. Во втором правиле порядка утверждается, что при наличии действий обеих ступеней и отсутствии скобок, производятся первыми операции второй ступени, потом производятся операции первой ступени. Третье правило устанавливает порядок выполнения операций, для выражений, включающих скобки. Отмечается, что в этом случае сначала производятся операции в скобках. Формулировки правил выделены цветным шрифтом и рекомендованы к запоминанию.

Далее предлагается усвоить порядок выполнения операций, рассматривая примеры. Описывается решение выражения с содержанием только операций сложения, вычитания. Отмечаются основные особенности, которые влияют на порядок вычислений — отсутствуют скобки, присутствуют операции первой ступени. Ниже расписано по действиям, как выполняются вычисления, сначала вычитание, затем два раза сложение, а затем вычитание.

Во втором примере 780:39·212:156·13 требуется вычислить выражение, выполняя действия согласно порядку. Отмечается, что в данном выражении содержатся исключительно операции второй ступени, без скобок. В данном примере все действия производятся строго слева направо. Ниже поочередно расписываются действия, постепенно подходя к ответу. В результате вычисления получается число 520.

В третьем примере рассматривается решение примера, в котором есть операции обеих ступеней. Отмечается, что в данном выражении отсутствуют скобки, но есть действия обеих ступеней. Согласно порядку выполнения операций, производятся операции второй ступени, после этого — операции первой ступени. Ниже — по действиям расписывается решение, в котором выполняются сначала три операции — умножение, деление, еще одно деление. Затем с найденными значениями произведения и частных производятся операции первой ступени. В ходе решения фигурными скобками объединены действия каждой ступени для наглядности.

В следующем примере содержатся скобки. Поэтому демонстрируется, что первые вычисления производятся над выражениями в скобках. После них производятся операции второй ступени, следом — первой.

Далее представлено замечание о том, в каких случаях можно не записывать скобки при решении выражений. Замечено, что это возможно только в случае, когда устранение скобок не изменить порядок выполнения операций. Примером служит выражение со скобками (53-12)+14, которое содержит только операции первой ступени. Переписав 53-12+14 с устранением скобок, можно отметить, что порядок поиска значения не изменится — сначала выполняется вычитание 53-12=41, а затем сложение 41+14=55. Ниже отмечается, что менять порядок операций при нахождении решения выражения можно, используя свойства операций.

В конце видеоурока изученный материал обобщается в выводе, что каждое выражение, требующее решения, задает определенную программу для вычисления, состоящую из команд. Пример такой программы представляется при описании решения сложного примера, представляющего собой частное (814+36·27) и (101-2052:38). Заданная программа содержит пункты: 1) найти произведение 36 с 27, 2) добавить к 814 найденную сумму, 3) поделить на 38 число 2052, 4) отнять из числа 101 результат деления 3 пункта, 5) поделить результат выполнения пункта 2 на результат пункта 4.

В конце видеоурока представлен перечень вопросов, на которые предлагается ответить ученикам. В их числе умение отличить действия первой и второй ступеней, вопросы о порядке выполнения действий в выражениях с действиями одной ступени и разных ступеней, о порядке выполнения действий при наличии скобок в выражении.

Видеоурок «Порядок выполнения действий» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для повышения эффективности урока. Также наглядный материал будет полезен для проведения дистанционного обучения. Если ученику необходимо дополнительное занятие для освоения темы или он изучает ее самостоятельно, видео может быть рекомендовано для самостоятельного изучения.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
Начать следует с умножения, далее – сложение.
После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
Завершающим этапом станет .

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Математика и гармония: Математические алгоритмы

Алгоритмы арифметических действий:
Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Алгоритм вычитания суммы
Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно вначале вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое;
Алгоритм вычитания числа из суммы
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить второе слагаемое.
Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Алгоритм умножения суммы на число (распределительное тельное свойство умножения относительно сложения)
Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.
Алгоритм умножения разности на число (распределительное тельное свойство умножения относительно вычитания)
Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
Алгоритмы при решении уравнений:
Алгоритм нахождения неизвестного слагаемого
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо их суммы вычесть известное слагаемое.
Алгоритм нахождения неизвестного уменьшаемого
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
Алгоритм нахождения неизвестного вычитаемого
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть и разность.
Алгоритм нахождения неизвестного множителя
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Алгоритм нахождения неизвестного делимого
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Алгоритм нахождения неизвестного делителя
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Алгоритм решения задач с помощью уравнения
1. Прочитать внимательно условие задачи;
2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости между ними;
3.Выбрать неизвестное задачи;
4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;
5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;
6. Решить уравнение;
7. Сделать проверку;
8. Выписать ответ.
Алгоритм выполнения порядка действий
1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Алгоритмы для обыкновенных дробей
Алгоритм сравнения дробей с одинаковыми знаменателями
а) Выбрать наибольшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой больше числитель;
б) Выбрать наименьшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой меньше числитель.
Алгоритмы сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
а) При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатели оставляют тот же;
б) При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатели оставляют тот же.
Алгоритмы представления смешанного числа в виде неправильной дроби
1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Алгоритмы для десятичных дробей
Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Алгоритм округления десятичных дробей
а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.
а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.
Алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;
2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби.
Алгоритм умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоят в множителе после единицы.
Алгоритм деления десятичных дробей на натуральные числа
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
Алгоритм деления десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Алгоритм умножения десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе;
3. если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.
Алгоритм умножения числа на 0,1; 0,01, 0,001 …
Для того чтобы умножить число на 0,1; 0,01, 0,001 надо:
1. разделить его на 10,100, 1000;
2. перенести запятую на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Алгоритм деления числа на десятичную дробь
Для того чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:
1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2. после этого выполнить деление на натуральное число.
Алгоритм деления числа на 0,1; 0,01, 0,001
Для того чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01, 0,001…, надо:
перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( то есть умножить её на 10, 100, 1000.
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо:
1.найти сумму этих чисел;
2. разделить полученную сумму на число слагаемых;
3. выписать частное в ответ.
Алгоритм обращения десятичной дроби в проценты:
Чтобы обратить десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100.
Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Признаки делимости
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Например:
100; 1000; 100000 и т.п.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится без остатка на 5.
Например:
45; 55; 15; 10; 10000 и т.п.
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится без остатка на 2.
Например:
32; 12; 224; 2098 и т. п.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.
Например:
15; 273; 474; 765; и т.п.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.
783; 549; 1233; 27954; и т.п.

Разложение на простые множители
Алгоритм нахождения НОД (наибольшего общего делителя)
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить их на простые множители;
2. из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3. найти произведение оставшихся множителей.
Например:
48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОД(48;36)= 2*2*3 = 12.

Алгоритм нахождения НОК (наименьшего общего кратного)
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить их на простые множители;
2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3. добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4. найти произведение оставшихся множителей.
Например:
48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОК(48;36)= 2*2*2*2*3*3 = 144.

Алгоритмы для обыкновенных дробей
Алгоритм сокращения дробей
Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, отличный от 1.

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю надо:
1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
2. разделить наименьший общий множитель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель;

Алгоритм сравнения, сложения, вычитания
дробей с разными знаменателями
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями надо:
1. привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. сравнить, сложить, вычесть полученные дроби.

Алгоритм сложения смешанных чисел
Чтобы сложить смешанные числа надо:
1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
2. отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Алгоритм вычитания смешанных чисел
Чтобы вычесть смешанные числа надо:
1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;
2. отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Алгоритм умножения дроби на натуральное число
Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Алгоритм умножения дроби на дробь
Чтобы умножить дробь на дробь надо:
1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;
2. первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Алгоритм умножения смешанных чисел
Чтобы умножить смешанные числа надо:
1.их записать в виде неправильных дробей;
2.воспользоваться правилом умножения дробей.

Алгоритм нахождения дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на эту дробь.

Алгоритм умножения смешанного числа на натуральное число
(применение распределительного свойства умножения)
Чтобы умножить смешанное число на натуральное число надо:
1. умножить целую часть на натуральное число;
2. умножить дробную часть на это натуральное число;
3. сложить полученные результаты.

Алгоритм деления обыкновенных дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую надо:
1. делитель представить в виде обратной дроби;
2. провести умножение делимого и преобразованного делителя.

Алгоритм нахождения числа по его дроби
Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.
Арифметические действия с положительными и отрицательными числами
Алгоритм сложения отрицательных чисел
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
1. сложить их модули;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: — 8,7 + (- 3.5) = — (8,7 +3.5) = — 12,2.

Алгоритм сложения чисел с разными знаками
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
1. из большего модуля слагаемых вычесть меньший;
2. поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.
Например: 6,1 + (- 4,2) = + (6,1 — 4,2) = 1,9.

Алгоритм нахождения длины отрезка на координатной прямой
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Алгоритм умножения чисел с разными знаками
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:
1.перемножить модули этих чисел;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: (-1,2) * 0,3 = — (1,2 * 0,3) = — 0,36.

Алгоритм умножения отрицательных чисел
Чтобы перемножить два числа с отрицательными знаками, надо перемножить их модули.
Например: (-3,2) * (-9) = 3,2 * 9 = 28,8.

Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
Например: — 4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.

Алгоритм деления чисел с разными знаками
При делении чисел с разными знаками, надо:
1. разделить модуль делимого на модуль делителя;
2. поставить перед полученным числом знак « — ».
Например: 3,6 : (-3) = — (3,6 : 3) = — 1,2.

Алгоритмы раскрытия скобок
а) Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».
Например: — 2,87 + (2,87 – 7,639) = — 2,87 + 2,87 – 7,639 = 0 -7,639 = -7,639.
б). Если перед скобками стоит знак « — », то надо заменить этот знак на « + »,
поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
Например: 16 – (10 – 18 + 12) = 16 + ( — 10 + 18 – 12) = 16 — 10 + 18 — 12 = 12.

Действия записанные скобках умножение. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
Начать следует с умножения, далее – сложение.
После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
Завершающим этапом станет .

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 — 1 — 1, 6 — 2 — 1, 6 — 2 — 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 — 2 + 4, 9 — 3 — 1 , 4 +3 — 2; во 2 классе, например: 70 — 36 +10, 80 — 10 — 15, 32+18 — 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы «Порядок действий» учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе — опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а — (в+с) и а — (в — с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 — 36 +10=24, 60:10 — 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 — (26 — 14), 50:(30 — 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

36:6+3-2
36:(6+3-2)
36:(6+3)-2
(36:6+3)-2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72-24:6+2=66
72-24:6+2=6
72-24:6+2=10
72-24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
25-17:4=2 3*6-4=6
24:8-2=4
2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:
38*3*7=34
38*3*7=28
38*3*7=42
38*3*7=48
3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
12*6*2=4
12*6*2=70
12*6*2=24
12*6*2=9
12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90*8- (240+170)+190,
469148-148*9+(30 100 — 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Что такое действия первой и второй ступени

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Определение 3

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

an * am = (a)(n+m),
an : am = (a)(n-m),
(ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

33 + 24 = 27 + 16 = 43,
52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

при наличии скобок – начинать нужно с них,
затем возведение в степень,
потом выполнять действия умножения, деления,
после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
А˃1.
Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3,
r2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1π = 1.
А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

где a – начальное значение,
e – константа, равная 2,718;
k – коэффициент роста;
t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Источник: https://BBF.ru/calculators/73/

Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет — это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются — как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети — ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды — ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

умножить на 4 — это дважды умножить на 2;
умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;
умножить на 8 — это трижды умножить на 2;
умножить на 9 — это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

разделить на 4 — это дважды разделить на 2;
разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;
разделить на 8 — это трижды разделить на 2;
разделить на 9 — это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 — 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.

Устный счёт на автомате

Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.
Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Числовые и буквенные выражения. Формула

Числовые и буквенные выражения.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем «плюс«) — знак операции сложения,

— (читаем «минус«) — знак операции вычитания,

∙ (читаем «умножить«) — знак операции умножения,

: (читаем «разделить«) — знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b – 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными.

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a – b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b : 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой. Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g, то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «:» (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m, выраженными в м
Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
Сумма двух чисел больше второго числа на 15
Разность меньше уменьшаемого на 7
Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

ТО:

Значение данного выражения
Буквенное выражение для периметра имеет вид
Периметр, выраженный в сантиметрах
Формула пути s, пройденного автомобилем
Формула скорости v, движения туриста
Формула времени t, движения туриста
Путь, пройденный автомобилем в километрах
Скорость туриста в километрах в час
Время движения туриста в часах
Первое число равно…
Вычитаемое равно….
Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
Буквенное выражение для возраста Кати
Возраст Кати
Координата точки В, если координата точки С равна t
Координата точки D, если координата точки С равна t
Координата точки А, если координата точки С равна t
Длина отрезка BD на числовом луче
Длина отрезка CА на числовом луче
Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1; б) s=b ∙d; в) 9; г) 40; д) b + c + d + m; е) 7; ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел; з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k; и) (m + n) – k; к) 6; л) 15; м) 3760; н) t – 3; о) фигура не может быть треугольником; п) 22; р) t – 3 ∙ 7; с) 0; т) 32; у) 59600; ф) 6019; х) 2880; ц) 10378; ч)1440; ш) на ноль делить нельзя; щ) 13; ы) 1800; э) 496; ю) 2; я) 12; аа) 14; бб) 5; вв) 35; дд) 79200; ее) 1900; жж) 118; зз) 18; ии) 12800; кк) 98; лл) 1458; мм) v = c : m; нн) 100; оо) 19900; пп) t = b : m; рр) 2520; сс) c + d + m; тт) x; уу) 1579; фф) t + 2; хх) 10206; цц) 135; чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x; щщ) x – 2; ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7; ээ) t + x ∙ 7; юю) 10192; яя) t + x; ааа) 123; ббб) 1456; ввв) 10327.

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70, время выполнения 2 – 3 часа, сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать следующую шкалу оценок.

Блок 4. Давайте поиграем

Блок 5. Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

Для учителя приводим ответы к блокам параграфа 6

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8. Западня 2. 12, 2, 13 5. Западня 3. 6

Западня 4. 15. Западня 5. 396

Блок 1. Словарь

Блок 2. Установите соответствие.

Вариант 1: 1и, 2з, 3е, 4б, 5м, 6л, 7а, 8ж, 9в, 10д, 11г, 12к, 13т, 14н, 15ф, 16о, 17у, 18с, 19р, 20п

Вариант 2: 1д, 2е, 3к, 4а, 5г, 6з, 7и, 8б, 9ж, 10в

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения (ответы под заданиями)

Ответы к игре «Сокровища»

Деревянный – 10250. Оловянный – 21640. Медный – 50400. Серебряный – 191000. Золотой – 289800.

Неоднозначно PEMDAS

14.04.2014: ссылки

Пример форума hpmuseum
Пример физического форума: 48/2 (9 + 3)
защитников Разделяйте и умножайте ранжируйте поровну и идите слева направо. и есть другие мемноники, такие как «Ешьте, пожалуйста, вкусные яблочные штрудели мамы».

В этом научном блоге упоминается статья Тара Хэлле что довольно хорошо уже говорит о том, что происходит (если бы я видел эту статью, написанную 12 марта 2013 г., Я бы не стал записывать это, потому что в этой статье очень четко говорится, что первоначальная оценка того, что нет договоренность о порядке умножения или деления верна).Тем не менее, эта тема побудила меня сказать что-то новое о порядке операций одного и того же типа, например, D или E в PEMDAS, что выходит за рамки споров о BEDMAS. Вот интересная цитата из той статьи

      "Интернет-слухи утверждают, что Американское математическое общество написало" умножение, указанное сопоставлением, осуществляется
      до деления ", но в сети больше не существует оригинального источника AMS (если он вообще когда-либо существовал). Тем не менее, некоторые ранние учебники по математике
      также учил студентов делать все умножения, а затем все деления, но большинство из них, такие как эта алгебра средней школы 1907 года
      учебник, этот учебник 1910 года и этот учебник 1912 года рекомендовали выполнять все умножения и деления в
      порядок, в котором они появляются первыми, затем следуют сложения и вычитания.(Это соглашение имеет смысл также и с канадским
      и британские версии PEMDAS, такие как BEDMAS, BIDMAS и BODMAS, которые все перечисляют деление перед умножением на
      (аббревиатура). Самый разумный совет, содержащийся в «Mathematical Gazette» за 1917 год, рекомендовал использовать круглые скобки для
      избегать двусмысленности. (Да!) Но даже известный историк математики Флориан Каджори написал в «Истории математических обозначений»
      в 1928-1929 гг .: «Если арифметический или алгебраический член содержит / и х, в настоящее время нет согласия относительно того, какой
      знак должен использоваться первым."

В статье есть ссылки на источники учебников. Вот запись 242 в книге Флориана Каджориса «История математической записи» (стр. 274), которая упоминается в этой цитате. Я не вижу никаких указаний на рекомендации, данные в цитируемых учебниках для старших классов, например здесь, здесь, но упомянутая запись в книге Вебстера Уэллса об этом ясно сказано на странице 18:

Обновление от 18 мая 2017 г .: В последнее время загадки вроде ниже появились, которые упускают из виду, что количество картофеля фри изменилось или что используется одна вишня) всплыли Эти головоломки успели стать вирусными не из-за PEMDAS, а потому что люди не смотрят на варианты (3 вместо 4 банана, 2 часа, а не 3 часа).Поначалу почти все ошибаются. Но есть еще и проблема PEMDAS. Некоторые получают 88. Но для того, чтобы набрать 88, нужно было написать скобка (2 + 3 + 3) * 11. (спасибо Абите Сукумаран за то, что поделилась этим).

Обновление от 2 августа 2017 г .: Преш Талвалкар пишет

«Я делаю математические видео на YouTube на канале« MindYourDecisions ».
Некоторые из самых популярных видео - это неоднозначные выражения, связанные с порядком действий.
В ходе исследования я наткнулся на ваш веб-сайт и обнаружил проблему:
Что такое 2x / 3y - 1, если x = 9 и y = 2?
Я бы ответил 11, как сказал учитель 5-го класса.Я был ошеломлен тем, что ни один из 60 студентов вашего гарвардского курса математики
ответил 11 (вы объяснили, что 58 получил ответ 2; а затем 2 получил ответ 18/5).

Мой ответ:

«да, это интересная вещь. Конечно, ни один из ответов не« правильный »
поскольку мы знаем, что интерпретации BEDMAS и PEMDAS могут
использоваться без нарушения каких-либо полномочий. Как указано на странице, ответ
11 - это то, что есть у большинства компьютерных языков. Вас явно этому учили.
Было бы интересно узнать, какой процент людей говорит 11.Мои эксперименты говорят, что это очень
редкий. Большинство делают умножение перед делением, так как PEMDAS кажется более
популярны и больше преподают в школах. БЕДМЫ PE (MD) AS, кажется, преподают
значительно меньше. Единственное, что мы знаем, это то, что утверждение, что одним из ответов является
единственный правильный ответ - это неправильно ".

Обновление от 5 августа 2017 г .: Джейкоб Пошоланн Кефоед Кристенсен посылает другой пример и замечание по обелу.

"Проблема в том, что изображение мобильного телефона получает 9 из уравнения: 6 ÷ 2 (2 + 1)
что, по их мнению, будет 1.В своем споре вы определяете obelus и разделительную косую черту как имеющие разные значения.
Ну да, на самом деле они имеют два разных значения, и поэтому обычно
никогда не используйте обелус. Только американец может по-прежнему использовать его, но этот знак был удален
в использовании уравнений научных работ из-за его исторической проблемности.
Первое слово obelus в Северной Европе означает вычитание.
Во-вторых, обелус рекомендуется убрать в научном обороте в связи с тем, что
у нас уже есть знак для любого из них (разделительная косая черта («/») и вычитание («-»)).Хотя, по вашему мнению, обелус и косая черта деления должны означать два
разные значения У вас часто есть только одна опция на калькуляторе, чтобы сделать знак деления ".

Мой ответ:
«Спасибо за пример 6 ÷ 2 (2 + 1). Он тоже показывает неоднозначность. Да, в зависимости от того, кто входит в команду PEMDAS или PEDMAS, получает 1 или 9. Это тоже прекрасный пример, когда можно вижу жаркие дебаты. Как указывалось, а также ранее указывалось другими в список литературы, есть нет правильного ответа .3 / (3 + у). Я был удивлен и должен был написать на доске пояснение: Экзамен по-прежнему прошел хорошо. На этой фотографии, сделанной незадолго до экзамена, вы можете увидеть, что все были счастливы уйти: Урок очень ясен: как учитель, даже если вы знаете лучше, вы должны быть очень четкий, даже избыточный. Даже если нет двусмысленности, лучше быть на всякий случай.

Кстати, статья в Википедии упоминает пример

1 + 2x3 = 9 Калькулятор Microsoft в стандартном виде
1 + 2x3 = 7 Калькулятор Microsoft в представлении программистов

Он показывает, что один и тот же поставщик в рамках, где нет двусмысленности (никто никогда не сомневается, что умножение должно предшествовать сложению), двусмысленность в том же продукт.В другом примере из этой статьи упоминаются калькуляторы Texas Instruments.

1 / 2x = 1 / (2x) в калькуляторе TI-82
1 / 2x = (1/2) x в калькуляторе TI-83

Самопровозглашенные правила вроде это вряд ли поможет.

Обновление от 19 января 2018 г .: Тимоти Масгроув любезно обратил мое внимание на глупую дискуссию о youtube в котором вопрос of 6 ÷ 2 (1 + 2) снова появляется (см. выше). Также эта история показывает, насколько богословские дебаты может стать уже тем фактом, что часть зрителей, которым нравится видео и неприязнь к видео примерно одинакова, показывает, что ответ на эту проблему должен быть неоднозначным.Выше я привел (частично вслед за Тарой Хэлле, которая написала этот Slate article), исторические указатели, показывающие, насколько неоднозначны вещи. Вот лагеря:

PEMDAS (умножение предшествует делению)
ПЕДМА (деление предшествует умножению)
PE (MD) AS (деление и умножение имеют одинаковый вес, зависит от того, что осталось)
Неоднозначно (нет установленного правила)

Компьютеры в основном следуют за вторым или третьим.Большинство людей и особенно студенты (экспериментально) склонны следовать правилу PEMDAS. Литература указывает на неоднозначность.

	PEMDAS	BEDMAS	PE (MD) AS
6/2 * (1 + 2)	1	9	9	(1 + 2) * 6/2	9	9	9

Есть причина, по которой лагерь «PE (MD) AS» чувствует себя намного лучше.У нас в обоих случаях одинаковые отвечать. Также компьютеры часто следуют «PE (MD) AS» и придерживаются точки зрения «слева» на «право».
Еще хуже, вероятно, спорят, когда спрашивают, что такое 8 ÷ 2/2 (некоторая средняя школа Учитель подтвердил мне, что деления (знаки обелуса и обратной косой черты) в некоторых учебниках трактуются по-разному, см. замечание "obelus" выше, сделанное Якобом Пошоланом Кефоедом Кристенсеном. Некоторые скажут, что ответ - 8, потому что / стоит перед ÷. Если двигаться слева направо, мы получаем 2.

Обновление от 4 сентября 2018 г. :

Я получил следующее приятное письмо:

Как, черт возьми, можно сказать, что это двусмысленно, когда это АКСИОМАТИЧЕСКОЕ, что умножение и деление являются обратными операциями? Как можно сказать, что это неоднозначно, когда ЛЮБОЕ деление может быть выражено как умножение на обратное? Позор вам за увековечивание ерунды.

Единственное, что немного беспокоит, так как писатель на самом деле кажется учителем. Независимо от аргумента, писатель, вероятно, должен перейти в профессию, где требуется как можно меньше человеческого взаимодействия. Я ответил

Уважаемый ...,

вы, вероятно, ссылаетесь на http://www.math.harvard.edu/~knill/pedagogy/ambiguity/

Дело не в том, является ли деление обратным умножению. Это определение.2/3. Теперь, если вы посмотрите на литературу и историю, то оказывается, что нет однозначного ответа, что правильно. И если это так, мы назовем это неоднозначным.

Есть лагерь, который защищает PE (MD) AS, где MD равны и где порядок имеет значение, если умножение используется вместе. Но это только усложняет ситуацию, поскольку теперь у нас есть три разных интерпретации.

Итак, если кто-то напишет такое выражение, как x / 3x, он должен быть осторожно и поставил кронштейны.Все остальное может вызвать недопонимание.

Вы не единственный, кто чувствует себя очень сильным и эмоционально из-за этого.

Обновление от 2 октября 2018 г. :

Мне прислали ссылку на следующий YouTube видео. На данный момент это один из лучших материалов на YouTube. Хорошо видно, что в реальном мире выражения используется по-другому: например, в опубликованных статьях mn / rs обычно в публикациях интерпретируется как (mn) / (rs) или лекций Фейнмана, можно увидеть, что 1 / 2N ^1/2 интерпретируется как 1 / (2 N ^1/2).В инженерии можно прочитать W = PVMg / RT. Еще один замечательный момент, сделанный в этом видео, заключается в том, что можно написать x / 2 если 1 / 2x интерпретируется как (1/2) x. Никто бы не написал 1 / 2x, если бы они означает x / 2. Итак, на практике интерпретируется выражение как 1 / (2x), которое является PEMDAS, но отличается от BEDMAS или интерпретация, что умножение и деление лежат в одном и том же опора. Также упоминается, что в руководстве AMS есть PEMDAS (умножение предшествует делению). Также следует руководство Американского физического общества. ПЕМДАС.Видео еще раз демонстрирует, что единственный способ избежать двусмысленность заключается в использовании скобок.

24 октября 2018 г. : Изначально я планировал опубликовать на YouTube версию несколько слайдов от 28 апреля 2018 г. Harvard Extension STEM Club, но на это не было времени. Спасибо Ане Каролине Смит за возможность выступить. Вот часть слайдов:
СЛАЙДЫ PDF (76 стр.)

26 октября 2018 г. : Другой хороший пример от кого-то: Вот письмо:

Мне сказали, что когда вы умножаете и делите
(так как порядок работы значения не имеет)
вам никогда не нужно использовать круглые скобки, верно?
Потому что 2 * 3/4 * 6 на моем калькуляторе дают мне 9,
и я ожидал 0.25! Для меня это должно быть
эквивалентно 2 * 3 / (4 * 6), потому что, поскольку мы не
нужны круглые скобки, это единственный способ набрать его без них.
Если я хочу вычислить 2 * 3/4 * 6, как мой калькулятор
да, я должен набрать 2 * 3 * 6/4, это правильно?

Мой ответ:

Порядок операций имеет значение. Вам нужно поставить
скобка. Мне нравится ваш пример. Это
уже хорошо это иллюстрирует. Большинство людей получат
6/24 = 1/4, как и вы. Большинство языков программирования
(компьютеры) дают 9. Компьютер следует PEDMAS
(деление перед умножением)

  2 (3/4) 6 = 9

или используйте правило (MD), которое означает «все, что будет первым»

 ((2 * 3) / 4) * 6 = 9

Люди (и большинство рекомендаций, таких как профессиональные
такие общества, как AMS, следуют PEMDAS, что означает
вы сначала делаете умножение, а затем деление

 (2 * 3) / (4 * 6) = 1/4

Но следовать рекомендации не имеет смысла
если существуют разные интерпретации и компьютеры это делают
разные.3)) = 7625597484987

компьютер идет справа налево.
Также здесь необходимы скобки.

4 ноября 2018 г. : С.А. добавил в историю интересный ракурс: Рекомендуется сначала упростить, а затем удалить скобки.

Я читал ваш блог по вопросам программирования на MD или DM.
Проблема в том, что все они противоречат первому закону алгебры.
Упростите, а затем УДАЛИТЬ круглые скобки.
Все эти соглашения нарушают это, говоря только упрощать скобки ВНУТРИ.

Итак, сначала мне нравится, что вы сказали AMBIGUOUS на 6/2 (1 + 2)
1 или 9

Однако я вздремнул, астрально переместился к старому Евклиду, и он засмеялся.Доказательство 1 и 9.

6 / x = 1 или 6 / x = 9
Когда x = 2 (1 + 2)

2 (1 + 2) = 2 (3) = 6

6/6 = 1

Таким образом, не учить студентов убирать скобки в новой математике, это противоречит первому закону алгебры.
Все эти условные обозначения аббревиатур необходимо исправить, чтобы они соответствовали 1-му закону алгебры.
Итак, согласны ли вы, что новые математические соглашения должны согласовываться с первым правилом алгебры Евклида?
Думаю, да.

Вот мой ответ:

Это интересный ракурс. Но учтите, что рекомендация "упростить"
здесь находится проблема неоднозначности:
Да, можно упростить 6/2 (1 + 2), введя x = 2 (1 + 2) = 6, а затем получить 6/6 = 1
Но можно также упростить, определив x = 6/2, а затем получить x (1 + 2) = 9.Собственно, это тоже исторически интересно. Вы упомянули Евклида.
Евклид не использовал известную нам алгебру. Символическая алгебра появилась только с
Вите в 16 веке. Насколько нам известно, только в ХХ веке реализовали
что действительно есть двусмысленность. Об этом ясно сказано в книге Каджори о
математическая нотация, которая является авторитетом в этом вопросе.
Это тоже стало педагогической проблемой:
студентов сегодня в основном обучают правилу PEMDAS, которое формально ставит
умножение перед делением и рекомендовал бы результат
6/2 (1 + 2) = 1.Если дать выражение системе компьютерной алгебры, они все
дают 6/2 (1 + 2) = 9. Все эти обсуждения были вызваны такими примерами.

Первое правило алгебры по-прежнему остается хорошим правилом. Это хороший совет. к несчастью
это не устраняет двусмысленность. Но я согласен, что это помогает писателю избегать
двусмысленность. Но вы знаете, проблема возникла в основном в образовательных учреждениях.
Если учитель спрашивает ученика, что такое 6/2 (1 + 2), учитель не хочет
упростите это, так как это уже решит проблему.Если сегодня учитель спросит
студенты, что такое 6/2 (1 + 2), то это просто напрашивается на неприятности. Правильно
do - это уточнить и написать либо (6/2) (1 + 2), либо 6 / (2 (1 + 2)).
Каджори уже было ясно, что отказ от скобок не дает
четко определенные математические выражения.

Оливер

3 декабря 2018 г. : Atmos добавил еще один интересный ракурс

Потенциальным решением этого противоречия может быть то, что когда у вас есть
коэффициенты и переменные, записанные вместе без операторов между
тема.грамм. 5ab, мы можем рассматривать это как вложенную операцию.
Другими словами, отсутствие символа оператора означает, что оператор
отношения между ними имеют приоритет над любыми внешними операциями,
т.е. 5ab представляет собой (5 * a * b).

Итак, если у вас был / bc, записан только один оператор (разделение
символ), а часть "bc" будет подразумеваться вложенной из-за
упущение оператора внутри. Так что это все равно будет "a over bc",
как именно это выглядит и сколько из нас учили.А потом, если
нам нужно указать, что операция между a и b фактически занимает
приоритет над отношениями между b и c, тогда мы просто
вместо этого напишите a / b * c. Ни суеты, ни суеты.

Разве это не более эффективный способ общения с
математический язык здесь? И разве не в этом суть математического
язык, чтобы эффективно передавать концепции? В противном случае этот вид
путаница никогда не исчезнет, и нам придется написать намного больше
круглые скобки в наших уравнениях (и никто не хочет этого делать).Некоторый
людям нравится "новая математика" сверхстрогой интерпретации PEMDAS
особенно потому, что это простой способ обмануть людей и сделать математику
более запутанно, чем должно быть. Тем не менее, это, кажется, побеждает все
Дело в том, почему мы вообще это делаем.

У меня есть оба способа сделать это, но строгий метод PEMDAS кажется
контрпродуктивен, потому что он вызывает так много проблем и делает вещи
например, превратить якобы простую дробь вроде 2x / 3y в фактическую
вместо этого имеется в виду 2xy / 3, что кажется совершенно безумным.Но если вместо этого
мы просто используем PEMDAS, когда операторы на самом деле написаны, тогда все
такого рода проблемы исчезли бы буквально в мгновение ока. «Старая математика»
и "новая математика", наконец, согласится, и мы сможем все это сделать
с одним очень простым правилом.

Что ты об этом думаешь?

Я ответил

Привет, Атмос,
отказ от знаков умножения уже обычно делается.
На самом деле большую часть времени. Однако может возникнуть дополнительная проблема.
при использовании чисел, а не переменных вроде 3/45 не то же самое, что 3/4 5
Но вы вносите интересный момент, потому что теперь их стало еще больше.
двусмысленность:

             3/45 = 3 больше 45 = 1/15
             3 / (4 * 5) = 3 больше 20 = 3/20
             (3/4) 5 = 3/4 умножить на 5 = 15/4

Проблема PEMDAS - это не «проблема, которую нужно решать».Это вопрос
Дело в том, что существуют разные интерпретации и что человек для
пример читает x / yz с x = 3, y = 4 и z = 5 как 3/20, в то время как машина
(практически все языки программирования) дают другой результат.
Есть органы, которые установили правила (большинство учеников учат
PEMDAS), что является одной из причин, по которой многие люди спрашивали о 3/4 * 5, давая 3/20
которые большинство машин просили дать 15/4:
 
Я набираю это в Mathematica
       х = 3; у = 4; z = 5; x / y z и получаем 15/4

Это лингвистическая проблема, а не математическая.В случае
лингвистическая проблема, ее нельзя решить путем введения нового правила.
Единственный способ решить проблему - избежать ее. Можно избежать этого, чтобы
поставить скобки.

Оливер

Обновление от 14 декабря 2018 г. :

В новейшем гайде по мультфильмам из серии Ларри Гонника (которые фантастические), есть еще кое-что о Порядок операций. Но далеко не идёт. "Если без скобок присутствуют, умножьте и разделите перед сложением и вычитанием ". Это очень грубое правило, но оно имеет то преимущество, что он не попадает в войны PEMDAS.

Обновление от 18 января 2019 г. :

Учитель математики прислал мне следующий пример. Здесь не только присутствует двусмысленность PEMDAS. Также вопрос "96 разделить на 6 из 4" появляется, что может означать "96/6 умножить на 4" или затем «96 / (6 * 4)». Это особенно интересный случай, потому что того, что:

Вопрос:

Я учитель математики и недавно столкнулся с конкретным вопросом
на PEMDAS (пожалуйста, проверьте приложение), где ученики получили два разных ответа (6 и 66).Причиной получения двух разных ответов было то, как студенты решили последнюю часть вопроса:
96 ÷ 6 из 4 
 Метод 1: Некоторые ученики решили это следующим образом: 96 ÷ 24 
 Метод 2: Остальные решили это как: 16 x 4 
 Мне нужна ваша помощь, чтобы определить, какой метод правильный, или оба являются правильными. методы приемлемые.

Мой ответ: в этой проблеме есть две двусмысленности, и да, все ответы даны. студентами должны быть оценены как правильные.

1) Первое выражение: похоже, что ученики истолковали 57 ÷ 19 * 2 выражение равно 6, даже если это может быть 3/2, если используется PEMDAS (и официальные рекомендации AMS или физического общества и используется в большинстве научных работ, особенно если выражения являются переменными). Что происходит, так это то, что если бы вопрос был задан как 57/19 * 2, то многие интерпретировали бы его. как 57/38.
2) Третье выражение - новая вещь, поскольку "of" как "умножение" необычно.Также здесь нет определенных правил. Оба ответа 6 и 66 в целом верны.
Я бы даже считал 3/2 правильным, так как это то, что получается, если использовать правило PEMDAS и не правила PEDMAS или PE (MD) AS. Итак, вот четыре возможных ответа. Слева мы теперь всегда есть однозначные выражения:

57 / (19 * 2) -64 * 2/32 + 96 / (6 * 4) = 3/2
(57/19) * 2-64 * 2/32 + 96 / (6 * 4) = 6
(57/19) * 2-64 * 2/32 + (96/6) * 4 = 66
57 / (19 * 2) -64 * 2/32 + (96/6) * 4 = 123/2

Пример снова показывает, что скобки нужно ставить всегда.Но это также показывает, что может произойти, если для описания арифметических операций используется "разговорный язык", так как это может может привести к другим двусмысленностям. «Что составляет две трети от 9» должно быть ясно как (2/3) * 9, а 2 ÷ 3 из 9 тоже можно интерпретировать как 2 / (3 * 9). Этот пример снова указывает на то, что люди могут интерпретировать знак обелуса ÷ иначе, чем знак деления /.

Обновление от 2 мая 2019 г. :

В швейцарской газете 20 Min задача 6/2 (1 + 2) = ??? тоже упоминается.К статье уже добавлено 1384 комментария. Как и в течение многих лет в социальных сетях, борьба продолжается там. Самое интересное, насколько большинство уверены в своей правоте со всех сторон. Что снова указывает на двусмысленность.

Название статьи: «Миллионы не справляются с этим математическим уравнением!» В качестве «доказательства» есть видео на YouTube, которое дает ответ 9. Автор этого видео, Преш Талуокер дает в своем блог ссылка Леннес, Н. Дж. "Дискуссии: Относительно порядка операций в алгебре."The American Mathematical Monthly 24.2 (1917): 93-95 ..." Лучше прочитать эту статью.
В этой статье 1917 г. действительно утверждается, что «большинство учебников» используют правило слева направо, если деление и умножение кажутся смешанными. Но в нем также указано «установленное правило»

«Все умножения должны быть выполнены в первую очередь, а затем деления».

Итак, у нас есть это: это просто нонсенс, что 12 миллионов человек, которые делают это по-другому, не были «неспособны решить задачу».Мы определенно имеем дело с ситуацией, которую следует считать неоднозначной. Статья 1917 года - хорошая ссылка. Это уже подтверждает. Но с 1917 г. Правилу PEMDAS научили миллионы людей. Поразительно только то, как многие утверждают, что знают правильный ответ. Может быть, это просто человеческая природа.

Прочтите в конце статью Леннеса, который писал уже в 1917 году:

"Когда способ выражения получил широкое распространение, его нельзя изменить по желанию.Это дело лексикографа и грамматик записывать, а не то, что, по его мнению, должно означать выражение но что на самом деле понимают те, кто его использует. Язык алгебры содержит определенные идиомы, и при формулировании грамматики языка мы должны обратите внимание на них. Например, 9a ² ÷ 3a означает 3a и not 3a ³ - такая идиома. Дело не логическое, а историческое.

Лучше не скажешь! Значит, идиоты не 12 миллионов человек.Те, кто так утверждает, есть.

Обновление от 5 августа 2019 г. : Стивен Строгац уступает а New York Times пишет новый поворот и обвиняет несоответствие между оценкой и средняя школа: взят пример 8 ÷ 2 (2 + 2), где каждый компьютер дает 16, а люди обычно дают ответ 1. В статье снова очень четко говорится, что вопрос неоднозначный. Нет правильного или неправильного, если есть разные противоречивые правила. Единственные, кто утверждает, что существует одно правило, ошибаются!

Это досадное математическое уравнение? Вот дополнение. Путаница (скорее всего
преднамеренно) сводится к несоответствию используемых математических правил
в начальной и средней школе.8 ÷ 2 (2 + 2) =?

Проблема заключалась в том, что он дал два разных ответа, 16 или 1,
в зависимости от порядка, в котором выполнялись математические операции.
выполненный. В юном возрасте студенты-математики обучаются особым навыкам.
соглашение о «порядке операций», которое диктует порядок следующим образом:
круглые скобки, показатели, умножение и деление (подлежат рассмотрению
на равных, с разрывом галстуков, работая слева направо), и
сложение и вычитание (также равного приоритета, со связями аналогично
сломанный).Я утверждал, что строгое соблюдение этой элементарной конвенции PEMDAS:
приводит только к одному ответу: 16.

Тем не менее, многие читатели (включая моего редактора), одинаково приверженные тому, что
они рассматривали в качестве стандартного порядка операций, усиленно настаивал
правильный ответ был 1. Что происходило? Прочитав
много комментариев к статье, я понял, что большинство из этих респондентов были
используя другое (и более сложное) соглашение, чем элементарное
Конвенция PEMDAS, которую я описал в статье.В этом более сложном соглашении, которое часто используется в
алгебры, неявному умножению дается более высокий приоритет, чем явному
умножение или явное деление, в котором записываются эти операции
явно с такими символами, как x * / или ÷. Под этим более изощренным
соглашение, неявное умножение на 2 (2 + 2) дано выше
приоритет, чем явное деление на 8 ÷ 2 (2 + 2). Другими словами,
2 (2 + 2) следует оценить в первую очередь. Это дает 8 ÷ 2 (2 + 2) = 8 ÷ 8 =
1. По тому же правилу многие комментаторы утверждали, что выражение 8 ÷ 2 (4)
не было синонимом 8 ÷ 2x4, потому что круглые скобки требовали немедленного
разрешение, что снова дает 8 ÷ 8 = 1.Это соглашение очень разумно, и я согласен, что ответ - 1.
если мы будем его придерживаться. Но это не принято повсеместно. Калькуляторы
встроенные в Google и WolframAlpha используют более элементарное соглашение;
они не делают различия между явным и неявным умножением
при указании вычислить простые арифметические выражения.

Подпишитесь на Science Times Мы расскажем вам истории, отражающие
чудеса человеческого тела, природы и космоса.
Более того, после того, как Google и WolframAlpha оценивают все, что находится внутри
набор круглых скобок, они эффективно удаляют круглые скобки и не
больше расставляйте приоритеты по содержанию.В частности, интерпретируют 8 ÷ 2 (2 + 2)
как 8 ÷ 2x (2 + 2) = 8 ÷ 2x (4), и обрабатываем это как синоним 8 ÷ 2x4. Потом,
согласно элементарному PEMDAS, деление и умножение имеют
равный приоритет, поэтому работаем слева направо и получаем 8 ÷ 2x4 = 4x4
и получили ответ 16. В своей статье я решил сосредоточиться на этом
более простое соглашение.

Другие комментаторы возражали против самого исходного вопроса. Посмотри как
они отметили, что это было плохо поставлено. Это можно было бы сделать намного яснее
если бы в нужном месте был вставлен только другой набор круглых скобок,
записав его как (8 ÷ 2) (2 + 2) или 8 ÷ (2 (2 + 2)).Верно, но это упускает из виду: вопрос не был задан
ничего ясно. Напротив, его безвестность кажется почти
умышленно. Это, безусловно, искусно извращенное, будто построенное для
причинить шалость.

В выражении 8 ÷ 2 (2 + 2) используются круглые скобки - обычно это инструмент для сокращения
путаница - в манере джиу-джитсу, чтобы усилить мутность. Оно делает
это путем сопоставления цифры 2 и выражения (2 + 2), что означает
неявно, что они предназначены для умножения, но не помещая
явный знак умножения между ними.Зритель остается в недоумении
следует ли использовать сложное соглашение для неявного умножения
из класса алгебры или вернуться к элементарному соглашению PEMDAS
из средней школы.

Выбирает: "Итак, проблема в том, как она поставлена, смешивает обозначения начальной школы.
с обозначениями средней школы, что не имеет смысла. Люди, которые
хорошо помните математику в начальной школе, скажите, что ответ - 16. Люди
кто помнит свою алгебру, с большей вероятностью ответит 1. "

Как бы мы ни предпочли четкий ответ на этот вопрос, здесь
не один.Вы говорите помидор, я говорю томахто. Некоторые электронные таблицы и программное обеспечение
системы категорически отказываются отвечать на этот вопрос - они упираются в его искаженную
состав. Это тоже мой инстинкт, как и большинство математиков, которых я
говорил с. Если вы хотите получить более четкий ответ, задайте более четкий вопрос.

5 августа 2019 г. . Только что появилась еще одна сокровищница Дженни Горхэм на ютубе: 8 августа 2019 г. . Грег Макканн любезно указал эта ссылка на заархивированная копия руководящих принципов AMS.{-1} dt $.

17 августа 2019 г. Другой вопрос:

Мне любопытно, какие, по вашему мнению, ответы на это уравнение.
8 ÷ 2 (4). Для меня самый простой порядок действий - это умножение 2 * 4
во-первых, потому что мне еще нужно разобраться со скобками.
Я просто верю, что нам нужно провести какую-то математику, чтобы избавиться от скобок.
Некоторые люди просто бросают их, не делая никаких вычислений.
Я имею в виду, зачем они вообще, если их можно просто уронить в любой момент
без каких-либо математических вычислений, чтобы их очистить.С.
-------------------------------------------------- ---------------------------------

Мой ответ:

Да, это одна из последних загадок PEMDAS. Подобный
Также Строгац обсуждал в New York Times. Вы упомянули, что
2 + 2 уже оценивается, но это не меняет ситуацию на
8 ÷ 2 (2 + 2), который теперь раздается. Но это
та же история. Причина, по которой ставится скобка вокруг 4, заключается в том, что она не читается
как 24. Но это не проясняет двусмысленность.Да, хочется сначала сделать 2 * 4 и
получить результат 1. Большинство компьютерных программ оценивают его как 16. Пример:

Ядро Mathematica 12.0.0 для Linux x86 (64-бит)
Авторские права 1988-2019 Wolfram Research, Inc.
В [1]: = 8/2 (4)
Из [1] = 16

Почти все люди оценили бы его как 1.
Мнения здесь не имеют значения, поскольку теперь хорошо задокументировано, что там
просто нет консенсуса (ни авторитетом, ни историческим ростом,
это лингвистический феномен, о котором так поздно осознали необходимость его точного определения).Вещи можно интерпретировать по-разному, и так останется.
Чтобы прояснить ситуацию, необходимо разместить скобки.

17 сентября 2019 г. . Ответ на некоторые вопросы проверки фактов из Нью-Йорк Таймс. Я ответил:

Резюме:
-------------------------------------------------- ------------------------------------------
На вопрос 8/2 (2 + 2) есть разные ответы в зависимости от используемого правила.
Его можно интерпретировать как (8 / (2 (2 + 2))) = 1 или (8/2) (2 + 2) = 16 в зависимости от
правило.Общепринятого правила не существует, их несколько: PEMDAS, BEDMAS, PE (MD) AS.
Невозможно сказать, что правильно, а что нет. Есть
разные правила, приводящие к разным результатам. Выражение не очень хорошо определено.
Похоже, что большинство людей естественным образом дает ответ 1 и большинство
компьютеры и языки программирования возвращают ответ 16.
Чтобы выражение было однозначным, нужно поставить скобки.
Лишь сравнительно поздно (около 100 лет назад) стало ясно, что существует двусмысленность.Нет
С тех пор был достигнут консенсус, так что нет альтернативы для уточнения выражения.
Литература по этому поводу - Флориан Каджори, «История математической записи», Лондон, 1928 год.
Н. Дж. Леннес, Относительно порядка операций в алгебре, Amer. Математика. Ежемесячно, 24 1917
-------------------------------------------------- ----------------------------------------------

Вот ответы на ваши вопросы:

- Точно сказать, что согласно PEMDAS, «2 + 2» должны быть односторонне
первая операция выполнена?

Да! Но это не PEMDAS.Операция 2 + 2 выполняется первой, потому что
вокруг него были установлены скобки.

- Согласно математике нижнего уровня, решение этого уравнения должно быть 16?

Нет. Существует правило PEMDAS, которое широко распространено.
(дети выучивают «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли»), и при их следовании спрашивает
делать умножение перед делением. Это дает 8 / (2 (2 + 2)) = 1.
Как и сегодня, большинство детей, занимающихся математикой более низкого уровня, также имеют доступ к калькуляторам или
онлайн-инструментов, они могут дать ответ 16. Причина утверждения, что это
часть математики нижнего уровня, вероятно, то, что большинство учителей теперь используют калькулятор для проверки
вещи, и компьютер сообщает им, что ответ - 16.Как студенты и их
родители получают разные результаты (если они не используют компьютер) есть разногласия.

- Справедливо сказать, что в алгебре или высшей математике операция 2 (4) имеет приоритет?

Нет. Также здесь это зависит от используемого правила. Если использовать PEMDAS по назначению, то
ответ - 1, что означает сначала вычислить 2 (2 + 2), поскольку M стоит перед D.
Вопрос не в том, какой уровень или предмет использовать. Ответ зависит от того, какой
правило используется.

- Согласно высшим математическим стандартам, решение этого уравнения 1?

Нет.Также это зависит от используемого правила. При проведении теста со студентами большинство дает
ответ 1. На самом деле, большинство людей дают ответ 1, если они не используют компьютер.
Большинство людей читают такие выражения, как 1. Однако компьютеры, которые относятся к умножению
и деление часто находится на одном уровне и почти всегда дает ответ 16.
В 2014 году я спросил у поступающих первокурсников (еще не старших математиков) во вступлении
курс исчисления и все, кроме одного, использовали правило PEMDAS. Большинство людей отвечает 1.

- В статье утверждается, что способ написания этого математического выражения вводит в заблуждение.Вы согласны с этим утверждением?

Нет. Это не вводит в заблуждение, это неоднозначно. Было бы заблуждением, если бы
правильный ответ, и выражение приведет к неправильному ответу. Это не тот случай.
Нет правильного или неправильного ответа. Выражение неоднозначно и зависит от
правило, которое используется.

- Справедливости ради стоит сказать, что по мере продвижения к более высокому уровню математики (уровень после начальной школы),
деление вообще обозначается как дробь?

Нет. В высшей математике используются всевозможные выражения.Разделение на математику более низкого уровня
и математика более высокого уровня менее важна (по моему опыту)
чем вычислить, как человек читает математику естественно (и большинство учебников это делают)
или если вычислить выражение на компьютере. Это может быть психологическое, это может быть
быть лингвистом, это может быть благодаря тому, что его так учат, это может быть чтение текстов, но большинство людей
умножение перед делением в ситуациях, подобных рассмотренной.

- Как бы записать это уравнение в дробной форме?

В недвусмысленных выражениях используются скобки типа 8 / (2 (2 + 2)).
Другая возможность - использовать выражение

8
----------------
2 (2 + 2)

Это дает 1.При этом важно, чтобы была четкая
длинная линия деления дроби, убедившись, что 2 (2 + 2)
сделано до разделения. Другая версия была бы
(8/2) (2 + 2), что дает ответ 16, как и большинство компьютеров.

2 ноября 2019 г.: На этом сайте есть онлайн-калькулятор упоминание BODMAS BODMAS также является аббревиатурой от Bracket, Order / Of, Деление, умножение, сложение и вычитание. Веб-сайт и калькулятор полностью упускают из виду суть определения выражений. что можно понимать по-разному.Тем более, что сайт называется Калькулятор PEMDAS предполагает использование правила PEMDAS, в котором умножение перед сложением. Таким образом, калькулятор оценивает 2 * 9/3 * 2-1 как 11, как и большинство калькуляторов или программистов. языки делают, но это отличается от того, что на самом деле предлагает PEMDAS (2 * 9) / (3 * 2) — 1 = 2 и которые большинство людей оценивают, когда их спрашивают. Итак, калькулятор, а не помогает чтобы прояснить присутствующую двусмысленность, это просто калькулятор. Есть современные калькуляторы, которые предупреждают учащегося о двусмысленности выражения и заключаются в круглые скобки, поэтому что пользователь может, если эти круглые скобки не соответствуют тому, что имелось в виду, может их изменить.

6 апреля 2020 г. Другой вопрос:

Надеюсь, что все в порядке, я пишу тебе по электронной почте. Я наткнулся на вашу страницу во время
дебаты по проблеме Facebook. Я в отпуске, так что у меня много
времени в моих руках. Эта версия была 6/2 (1 + 2). Мне ответ на
выше - 1 и только 1. Но я не хотел обсуждать это. Я хотел добавить
что-то, чего я не видел на вашем сайте, что, по-моему, обсуждается
больше промахов PEMDAS. Математику часто называют универсальным языком. Это
позволяет общаться людям из разных культур.Когда вы читаете
первый пример 2x / 3y - 1, когда x = 9 и y = 2, как вы это читаете? Ты
прочитать два раза x разделить на три раза y минус один? Ты читаешь это
два x больше трех y минус один? Подобно тому, как в английском языке есть правила,
в математике тоже есть правила. Английский не идеален и не всегда следует
правила. Математика такая же. Иногда умножение и группирование могут
подразумевается.

Мой ответ:

да, математика - универсальный язык, позволяющий общаться между
разные культуры.Но языки также были созданы людьми и
не всегда идеальны. Двусмысленность PEMDAS на самом деле просто упущение
дизайна. Не было авторитета, который раз и навсегда сказал бы, что это
это необходимо указать. Причина исторически ясна. Только один
осознал проблему слишком поздно. Вы говорите, что для вас 6/2 (1 + 2) равно 1, да,
почти все люди предполагают это. Если вы отдадите его компьютеру,
это дает вам 9, почти все языки программирования. Да вроде английский,
В математике есть правила. Но они далеки от совершенства.Языки меняются и
со временем совершенствоваться. В ходе обсуждения PEMDAS выяснилось, что
слишком поздно принимать правила. Некоторые пробовали, и многие из них фанатичны
и думают, что их путь правильный. Например, в случае 6/2 (1 + 2)
мы видим сторонников (например, на YouTube), которые спорят,
только 9 - правильный ответ. Но, как вы говорите, читать как 6/2 (1 + 2) - это
укоренились и изменились, что многих расстроило бы. Последние несколько слайдов в
эта презентация [PDF] немного показывает, что говорят лингвисты.
На самом деле это не математическая проблема, это лингвистическая проблема.То, что хорошо
об обсуждении заключается в том, что теперь все учителя и ученики знают о
двусмысленность и запишите уточненные выражения.

9 апреля 2020 г. Из другого электронного письма:

Я не математик. STEM всегда был моей сильной стороной, но
Я предпочитаю применение теории, поэтому я техник по оборудованию
в полупроводниковой промышленности (я чиню роботов, которые делают компьютер
фишки). Я упоминаю об этом, чтобы сказать, что я, возможно, не эксперт, но и не
мирянин.Мой первый опыт с этим вопросом возник, когда я пытался
для программирования квадратной формулы в моем калькуляторе TI-83 + почти 20
много лет назад. Чтобы уравнение работало правильно, дополнительные скобки
являются обязательными. Это потому, что стандартная алгебра обозначена неявным
пути, а компьютеры никогда не улавливают подразумеваемых значений или только начинают
совсем недавно. Об этом говорится в цитируемой вами статье NYT, но это
высказанное в некотором смысле я считаю ошибочным. В нем говорится "просто или элементарно"
математика 8/2 (4) такая же, как 8/2 * 4, и только в алгебре 8/2 (4) становится
8 / (2 * 4).Калькуляторы подвержены ошибкам, как вы указали на калькулятор MS.
решает 1 + 2 * 3 как 9, а не 7, что никогда не бывает правильным. Распределительный закон
умножения и деления »доказывает понятие двух правильных ответов
инвалид. 8/2 (2 + 2) = 16 - полное нарушение закона распределения,
таким образом недействителен. Если уравнение записано (8/2) * (2 + 2), то порядок
операции будут диктовать, что деление происходит первым, а затем результат
будет распределен во вторых скобках, как если бы он
были написаны 8/2 * (2 + 2).Однако в любом уравнении, где написано
8/2 (2 + 2), то неявно (не явно) закон распределения
должен применяться как часть круглой скобки до того, как произойдет разделение,
в явном виде это будет 8 / (2 * (2 + 2)). Дело в том, что компьютеры
(или калькуляторы) не понимают, что мы подразумеваем, не означает
значение неверно, это означает, что компьютеры могут понимать только явные
инструкции. Явное решение уравнения с подразумеваемыми факторами
обычно приводит к неправильному ответу.2-4ac) / 2a, но оба дают совершенно неверные
ответы с калькулятора. Очевидно, что квадратичная формула - это константа
и не должны получать разные результаты, независимо от того, чему вас учили,
это доказывает, что мы должны быть достаточно умными, чтобы правильно пользоваться нашим калькулятором,
не то, чтобы калькуляторы безошибочны.
Другой пример - уравнение «ab * cd». Решение этого выражения
явно бы вы сделали «a * b * c * d = x», когда мы знаем, что это на самом деле
(a * b) * (c * d), потому что () подразумеваются, как указано выше. Ваш алгебраический
пример использования 2x / 3y-1 глуп.3
как указал Леннес в своей статье 1917 года. Причина 2x / 3y-1 = 11
на калькуляторе, потому что калькулятор не понимает, что
неявная группировка. Каждый родитель понимал неявную группировку, что
(2x) / (3y) -1 - подразумеваемое уравнение, хотя явно не записано как
такой. Только когда вы введете в калькулятор 2 * 9/3 * 2-1, вы получите 11. Но
2 * 9/3 * 2-1 будет записано как 2 * x / 3 * y-1, что сильно отличается от 2x / 3y-1,
но калькулятор считает их одинаковыми. Это было доказано, когда у вас
ваш класс по математике сделает это, двое из ваших учеников вбили это в свои
калькуляторы, остальные 58 подсчитали правильно.Что это значит - это ты
нужно научить этих двух учеников правильно пользоваться своими калькуляторами,
не то чтобы есть некоторая универсальная двусмысленность. При программировании четырехугольной формы
вы должны явно заключить в скобки всю неявную группировку, иначе это не сработает,
это ограничение программного обеспечения, а не недостаток математики. Если здесь
была ли какая-либо фактическая двусмысленность в результатах вашего класса исчисления
были разделены ближе к 50 на 50, статистически очевидно, что
устойчивый консенсус среди студентов, изучающих математику, относительно правильного метода.В
Учитель математики, получивший 2x / 3y-1 = 11, должен работать в другой области.

Мой ответ

спасибо за вашу заметку. Да, это очень интересная тема, особенно
в связи с компьютерами. Вы правы, что с калькуляторами один
нужно быть еще осторожнее и поставить больше скоб. Один из
Причины, по которым калькуляторы HP имели большой успех, заключаются в том, что они использовали
обозначение обратной полировки, позволяющее пропустить многие скобки. Я никогда не был
в том лагере HP, но, как и вы, использовали калькуляторы TI.Пример 2x / 3y
-1 не так уж и глупо. На самом деле это очень интересно. Да, вы
правильно, что каждый человек читает это как (2x) / (3y) - 1, но компьютер дает
что-то другое. Я рассчитываю это здесь с помощью Mathematica, одного из
самые продвинутые системы компьютерной алгебры, и это дает -1+ 2xy / 3 не -1+
(2x) / (3y) (см. Прикрепленный снимок экрана). Я также согласен с тем, что PEMDAS
двусмысленность не является недостатком математики, как ее часто представляют, это
просто некоторые выражения нуждаются в большей ясности (значение
скобки), чтобы иметь смысл.Немного компенсирует то, что там
вокруг так много людей, которые верят, что есть определенный путь и только
их путь правильный. В примере 2x / 3y -1 большинство людей просто естественно
предположим, что это означает (2x) / (3y) - 1, но, по мнению некоторых фанатиков,
есть только один способ увидеть это правильно, и это то, что дают компьютеры
тебе нравится -1+ 2xy / 3. Также удивительно, как долго длится это обсуждение.
продолжается. Но от этого становится еще интереснее. Нет
только математическая или лингвистическая сторона, есть также социальный аспект
к рассказу.И, как вы упомянули как инженер, это может иметь решающее значение. Если
кто-то пишет программу, управляющую роботом, и упускает из виду что-то подобное,
это просто не работает. Я рано понял, что программирование
окончательный тест понимания. Это сложнее, чем читать или писать
или учите предмет. Если процедура не работает, это доказательство того, что есть
это то, чего еще не понимаешь.

После другого вопроса о распределении, ведущем от главный пункт:

Я пытался подчеркнуть, что
в неоднозначной ситуации нет правильного или неправильного
нравиться

8/2 (2 + 2)

Есть ответы 1 или 16, в зависимости от того, какое правило вы
использовать.Это причина, по которой люди продолжают спорить
об этом. Ответ 1 - это ответ, который получает большинство людей.
Ответ 16 - это то, что получают большинство компьютеров.

Я пытался подчеркнуть это с самого начала в
http://www.math.harvard.edu/~knill/pedagogy/ambiguity

В своем последнем письме я указал, что это не проблема.
с распределением. 2 (2 + 2) всегда равно 8, есть
никаких споров нет. Опять же: вопрос в том, является ли (8/2)
сначала вычисляется, а затем умножается на (2 + 2), чтобы получить
16 или сначала вычисляется 2 (2 + 2) = 8 и 8/8 = 1
получается в результате.Это вопрос о том,
деление или умножение выполняется в первую очередь. Это
собственно говоря (наблюдение, глядя, какие люди
напишите в сети), что есть те, кто верит одному
из ответов правильный.

Здесь нет правильного или неправильного. Вопрос тоже не в
вводящие в заблуждение. Есть двусмысленность. Напрашивается вывод, что
нужно более четко записывать, используя скобки.

И еще одно электронное письмо:

Думаю, я мог прорваться. Я принял это на данный момент
умножение через сопоставление преподавалось как высший порядок
умножения или равно всем порядкам умножения.Таким образом, 5 / 2x
учили означать (5/2) * x или 5 / (2x) в зависимости от вашего учителя.
Таким образом, единственное решение - четкое правило, определяющее умножение через
сопоставление. Как определить, является ли умножение путем сопоставления
это высший порядок или нет? Я думаю (хотя мне и больно) этот язык
и грамматика может держать ключ.
Но сначала я должен спросить о x * 2xy? Я никогда не видел, чтобы кто-нибудь писал
что-то вроде этого, как x2xy или 2xyx или что-то еще, было бы это
правильно сделать так? Если нет, то почему? Когда я вижу что-то подобное со мной
показывает, что группировка подразумевает скобки, а не просто умножение, мысль
на результат они бы не повлияли.

на что я ответил

Некоторую двусмысленность можно избежать путем сопоставления, некоторые могут быть
делается по заказу, но остается неоднозначным, особенно если набирать.
Похоже, вы все еще думаете, что двусмысленность PEMDAS - открытая проблема.
который необходимо решить. Это не открытая проблема. Было решено
100 лет назад, когда осознал, что нужно просто написать больше скобок в
Генеральная. Это была лингвистическая оплошность. При написании грамматики
правил для арифметики, сначала не понимали, что были
детали, требующие большего количества кронштейнов, чем предполагалось.При использовании только умножения проблемы нет. В
причина в том, что существует ассоциативность и коммутативность продукта
операция. Уже деление не ассоциативное и не коммутативное

   (3/3) / 3 = 1/3 не равно 3 / (3/3) = 3
    3/5 не 5/3

13 июля 2020 г. : Учитель средней школы указал мне на статью Переосмысление порядка операций в Журнал «Учитель математики» с октября 2017 года.2 или выражения типа 2x / 3y-1, если x = 9 и y = 2. Кроме того, приведенная выше статья «Переосмысление порядка операций» делает вещи более сбивает с толку. Это другое мнение. Нет необходимости в переосмыслении, если человек остается ясным. Указывая на то, что порядок умножения, деления или возведения в степень должен быть уточнил письменно умнейший больше. Каждый студент должен знать того факта, что такие выражения, как 18/3 * 2, часто оцениваются людьми как 3 (века математических писаний закрепили это), в то время как компьютеры оценивают это как 12.2 оценивается компьютерами справа налево. Также GEMA не дает любые направляющие линии здесь. Он просто остается неоднозначным без дополнительных разъяснение. Никакого «переосмысления» не исправить. Просто используйте скобки и все проблемы решены.

4 августа 2020 г. :

Только что дочитали на вашей веб-странице о неоднозначных уравнениях.
Каково же мое удивление, узнав, что математическая конвенция не лечит
умножение и деление одинаково. Я изучал математику уже 3+
лет (прежде чем прийти в себя) и преподавал на уровне колледжа.(1 / n), x ÷ n = x * (1 / n) и x - n = x + (-n). Однажды они поймали
после этого они были поражены тем ловушкам, которых они избегали.

Несмотря на это, раскрывая давние соглашения, интересно ...
неоднозначность разрешается так, чтобы решение уравнения 8 ÷ 2 (2 + 2)
можно найти?

Я должен сказать, что я горячо утверждал, что ответ был
16, хотя я проигнорировал двусмысленность. Прочитав вашу веб-страницу,
двусмысленность очевидна. Однако мой брат, инженер на пенсии,
Ханиуэлл, чье понимание математики превосходит даже мое собственное, тоже пришло к нам.
вверх с ответом 16.Интересно, что его первый инстинктивный ответ был 1.

Однако ваша ссылка на ISO 31-0 и ссылка на видео YouTube
(«ПЕМДАС ошибается») отправил меня в кроличью нору. Между прочим, я
обнаружил, что ISO 80000-1 теперь заменяет ISO 31-0, fyi. К несчастью,
ISO 80000-1 недоступен бесплатно, поэтому мне пришлось прибегнуть к ISO 31-0.
для уточнения.

Возможное (?) Решение этого неоднозначного уравнения требует знания
правила и условности Я подозреваю, что большинство людей не знают.
В частности ... что обелус (÷) нарушает ISO 31-0.-1 "
(альтернативно «a * 1 / b»). (товар записывается как "а б",
«ab», «a * b» или «a x b». ), что при применении правил AMS и
APS, умножение предшествует делению. (что "/ xy" условно
математики понимают как "/ (xy)" _

Решение 1: 8 ÷ 2 (2 + 2) = 8/2 (2 + 2) (в соответствии с ISO 31-0) 8/2 (4) (на
порядок операций) 8/8 (в соответствии с правилами AMS и APS, которые умножают
предшествует делению) 1

Решение 2: 8/2 (2 + 2) можно переписать как 8 / [2 (2 + 2)] [на математическое
соглашение о том, что "/ xy" = "/ (xy)", а также из-за сопоставления, посредством чего
«2 (2 + 2)» можно было бы увидеть как «2y», используя замену, и «8 / 2y» = «8 / (2y)»]
8 / [2 (4)] 8/8 1

Многие люди заявляют, что проблема связана с лингвистикой и / или грамматикой.я
рассматривают это как проблему перевода и что это входит в компетенцию
математик, чтобы перевести задачу на общий язык. это
аналогично тому, как иммигрант впервые слышит разговорный язык.
Это напоминает мне русского комика Якова Смирнова, который немного
где он говорил о странных идиомах. Он слышал, как кто-то сказал, что бросили курить
холодная индейка. Он сказал: "Что ты куришь сейчас, ветчина?"

Итак, я теперь верю, что математик, применяющий международную
стандарты, а также соглашения AMS, могут переводить
уравнение и разрешить двусмысленность.Как вы думаете? Моя логика верна?

-------------------------------------------------- -----------------

Мой ответ:


Ваш пример - типичный пример, когда люди и машины получают
разные вещи. Если скармливать в компьютер, получается 16

[knill @ knill11:] математика
Ядро Mathematica 12.1.1 для Linux x86 (64-бит)
Авторские права 1988-2020 Wolfram Research, Inc.
В [1]: = 8/2 (2 + 2)
Из [1] = 16

Я думаю, что большинство людей получают 1 из-за обучения, PEMDAS и потому, что по математике
и физическая литература, есть неявное предположение, что 2 (2 + 2)
вместе сначала особенно с обелусом.Двусмысленность не может быть решена
путем поиска правил, руководств AMS или стандартов ISO (особенно если
они не доступны в открытом доступе) это факт (и вы подтверждаете
что), что мы можем получить разные ответы. Многие люди в Интернете пытаются
спорите так или иначе. Это бесполезно. Чем это поможет, если 99 из
люди рассуждают так, а 99 компьютеров дают ответы наоборот?
Да, и обелус даже немного запутывает, как вы указываете. Там
нет логического способа решить двусмысленность.Это определение неоднозначно.
Нет четкого стандарта, и если он будет, то он еще не принят.
повсеместно. Единственный способ решить проблему - поставить скобки.

8 августа 2020 г. : Вот проницательный комментарий Элиаса Мартенсона от Швеция:

Я читал вашу статью о порядке операций, или как вы это называете
«правило PEMDAS».

Одна вещь, которая, если упомянуть, не сразу очевидна, - это то, что когда
вы говорите, что «правилу пемдаса научили миллионы студентов»,
вы конкретно имеете в виду студентов в США.Меня учили математике в Швеции, и там нас учили, что есть
три уровня приоритета:

Возведение в степень
Умножение и деление
Сложение и вычитание

Скобки на самом деле не упоминаются, потому что
здесь нет двусмысленности. Кроме того, чтобы объяснить, что их можно использовать
, чтобы переопределить правила по умолчанию.

Сейчас я живу в Сингапуре, и мои дети ходят здесь в местную школу. я просто
проверил с ними, и они действительно узнали так же, как я
учили.

На всех языках программирования, которые я знаю, а также на математических
Программное обеспечение, которое я тестировал, отмечу, что они следуют именно этому правилу.Правило "PEMDAS" кажется способом превратить что-то довольно тривиальное в
что-то сложное. В дополнение к этому, он также преподает
это неправильно, так как если кто-то настаивает на его использовании, ему придется написать
что-то вроде: PE [M / D] [A / S], чтобы уточнить эквивалентность в
группы. Простое прочтение этого документа создает у студента впечатление, что
умножение должно как-то выполняться перед делением во всех случаях,
что редко бывает правдой.

Я говорю «редко» здесь, потому что я согласен с вами в том, что, безусловно, есть
случаях имеет смысл сначала выполнить умножение, например, ваш
пример 1 / ху.Тем не менее, если вы напишете это как 1 / x y, это не так ясно
anymore, что означает, что пробелы значительны.

Как инженер-программист, который в свободное время изучает физику], я
часто раздражают нечеткие обозначения в математике. Не только проблемы
с горизонтальным написанием (как тема вашей статьи), но также правильным
набирать уравнения с помощью LaTeX. Авторы склонны использовать сокращенные обозначения,
повторно использовать символы и т. д., что означает, что вы должны иметь в виду контекст, когда
выясняя, что происходит.Это тип проблемы, с которой я бы столкнулся
надеялись, были ограничены областью лингвистики, а не математики,
единственная научная область, где что-то можно доказать с уверенностью.

Наконец, я хотел бы добавить, что причина, по которой я потратил слишком много времени
думаю об этом, потому что я работал над новым интерфейсом
для Maxima (символьная математическая система), которая представляет собой программную
формы в математической нотации, а это значит, что я должен полностью
однозначный. Если вам интересно, вот демонстрационное видео.

Мой ответ:

спасибо за содержательные комментарии. Для меня это похоже, из Швейцарии,
где нас не учили явному правилу PEMDAS. Тем не менее, я бы все равно
утверждают, что миллионы людей были обучены PEMDAS. Я со всем согласен.
Особенно при работе с математическим программным обеспечением
потребность в точности и недвусмысленности становится все более важной.
Тема не только педагогическая, здесь можно сделать серьезные ошибки. Не только
делать неправильные вычисления, но также используя результаты, которые были
сказано неоднозначно.Было бы интересно узнать, сколько
студенты в Сингапуре или Швеции читают, скажем, 8/2 (2 + 2) как 16 и как
многие прочитали бы это как 1, особенно если разделение дано как обелус. я
предсказал бы, что большинство из них дадут ответ 1. Это потому, что я учу
часто студенты со всех концов света (Этим летом также двое из Сингапура
кстати) и что вопросы о PEMDAS часто всплывают, если не
супер четкость при написании (даже при написании выражений типа 1 / x + 3 есть
все еще студенты, которые читают это как 1 / (x + 3) или сбиты с толку и спрашивают.я начал
чтобы даже прояснить такие вещи, написав (1 / x) + 3 или используя горизонтальный
обозначение дробей \ frac {1} {x}, чтобы убедиться, что оно правильно прочитано.

Добавлено 24 августа 2020 г. :

Добрый день! Надеюсь, у тебя все хорошо.
Совсем недавно у нас с коллегами было несколько жарких споров.
о проблеме 8 ÷ 2 (2 + 2)
или тому подобное. Как и следовало ожидать, есть люди, которые отвечают
это как 16, а люди, которые отвечают на это как 1. Что касается нас, мы находимся в
неоднозначный стан.Люди, у которых был однозначный ответ на проблему, продолжают цитировать
PEMDAS, или BEDMAS, или PE (MD) (AS). И мы сказали им, что
условность не универсальна. Итак, мы попытались найти документы
чтобы поддержать нашу сторону. И вот мы нашли вашу статью. я прочел
все. Я поражен тем, что вы так терпеливо отвечаете
людям, которые отправляют вам электронные письма и дают им одинаковые ответы,
повторяя ваши объяснения снова и снова.

Во всяком случае, я только что написал вам по электронной почте, чтобы вы знали (на случай, если вы
еще не видел) Раздел 7.1.3, стр.23 ISO 80000-1: 2009 "

«Эти процедуры могут быть распространены на случаи, когда числитель или знаменатель, или оба они сами являются продуктами или частными. В таком сочетании солидус (/) не ставится. знаком умножения или деления на той же строке если не вставлены круглые скобки, чтобы избежать двусмысленности «.

Кроме того, пример 1, следующий за абзацем, должен разрешить все эти споры.
Спасибо, что нашли время прочитать мое письмо.

Мой ответ

Большое спасибо за отзыв.
Ссылка ISO очень ценна!
На это уже указывалось ранее, но, к сожалению,
эта часть ISO не является общедоступной. Нужно
купить стандартный.

У меня действительно был доступ к соответствующие страницы из Раздела 7.1.3 ISO 80000-1: 2009:

Добавлено 16 января 2021 г. : Электронная почта:

После бурного онлайн-обсуждения меня перенаправили на ваш сайт
http: // люди.math.harvard.edu/~knill/pedagogy/ambiguity/index.html.
Судя по тому, что я там читал, вы, кажется, вините путаницу в использованных
обозначение. Хотя я согласен с тем, что это может сбить с толку людей, я хотел бы
представить более универсальное объяснение этой проблемы, основанное на использовании
(или не используя) простые аксиомы алгебраических структур. Обозначения тогда
становится более или менее неуместным.

У данного уравнения 6: 2 (2 + 1) есть несколько ответов, которые
на первый взгляд кажется нелогичным. Но я думаю, что некоторые люди просто забывают
чтобы определиться с набором определений, над которыми они работают.С простым
арифметика, умножение и деление одинаково упорядочены и имеют
просто для выполнения перед сложением / вычитанием, но после вычисления
скобки и показатели. Вот где появляются PEMDAS или другие мнемоники
из. Это работает слева направо и правильно само по себе
простой контекст. Калькуляторы последовательного ввода делают это таким образом.

Но если принять контекст формальных алгебраических структур, в
В этом случае поле рациональных чисел, применяются дополнительные аксиомы. Сейчас,
«распределенность» и «ассоциативность сложения и умножения»
(среди прочего) определены как основные аксиомы в контексте этой области.При этом порядок операций теперь гораздо более ограничен теми, кто
характеристики.

В этом контексте уравнение 6: 2 (2 + 1) можно преобразовать следующим образом:

6: 2 (2 + 1) = 6: (2 + 1) 2 // Ассоциативное свойство умножения
(просто чтобы доказать свою точку зрения с помощью этой аксиомы поля): ab = ba; разделение
неассоциативен

= 6: (4 + 2) // Распределительное свойство: ab + ac = a (b + c)

= 6: 6 // Порядок операций (теперь тривиальный),
"скобки перед показателями перед умножением / делением перед
сложение / вычитание "

= 1


Соблюдая все аксиомы полевой структуры, разделение теперь должно быть
решается путем вычисления сначала делимого и стороны делителя отдельно, затем
частное.Любой другой способ нарушает одну из основных аксиом поля и
будет недействительным с точки зрения этого поля. Более сложные калькуляторы
запрограммированы уважать это.

Однако, если не ограничиваться контекстом этих аксиом, другие результаты
также может быть действительным (т.е. 6: 2 (2 + 1) = 9, с последовательным вычислением на
базовый арифметический уровень).

Так что, на мой взгляд, проблема не в нотации, а в предоставлении контекста.
и, таким образом, определяющие аксиомы. Знание используемых инструментов и их предположений
соответствующие способности / ограничения - как всегда - важны.Кстати, в Германии студенты изучают мнемонику «KLAPPS» (KLAmmer,
Potenz, Punkt, Strich) перед высшей алгеброй, которая, к счастью, игнорирует
любое предлагаемое предпочтение умножения / деления ("Punktrechnung"
= "точечные вычисления" на основе "точечных" символов, используемых в немецком языке
вычисление '.' = Unicode U + 22C5 для умножения и ':' для деления)
и сложение / вычитание ("Strichrechnung" = "вычисления строк", из
символы «линия / перечеркнутая линия» '+' и '-'). Это отсутствие последовательности
предложение, кажется, предотвращает путаницу в высших классах, по крайней мере,
немного.Большое спасибо за то, что уделили время, прочитав это. Я был бы признателен услышать
от вас, особенно если вы не согласны с моими выводами. Математика
конечно не моя сильная сторона, но я просто учусь этому снова
с домашним обучением моего сына (благодаря карантину COVID19) и
до сих пор помню некоторые из моих прежних лекций по информатике и математике
давно.

С наилучшими пожеланиями из Баварии / Германии! Бернхард Новотны, M.Eng.

Мой ответ:

Это интересный ракурс. Мне особенно приятно слышать о
немецкое правило KLAPPS.Я ходил в школу в Швейцарии и еще не
видел это. Правила также должны соблюдаться со студентами, и KLAPPS - это
хорошее имя. Интересно, что он не решает двусмысленность PAMDAS.
Ваше предложение устранить двусмысленность вполне может сработать, но
проблема более социолингвистическая, чем математическая. Уже есть
разные стандарты вокруг. Я не знаю, как вводить новый
XKCD сказал это лучше всего.

22 февраля 2021 г .: Вик:

Вы писали, что PEMDAS и BODMAS неоднозначны. Я не согласен.У меня есть степень магистра математики и
преподаю математику 30 лет. Вы задали вопрос с помощью символа разделения /.
Я нахожу этот символ разделения непонятным и никогда не использую его.
Мне интересно, что хотя все калькуляторы дали ответ 11 на ваш
начальная проблема вы, кажется, думаете, что они должны что - выдать сообщение об ошибке?
Ответ - 11. Здесь нет скобок, и я не понимаю, почему вы думаете
вы можете вставлять скобки волей-неволей.
Люди ошибаются, потому что они вычисляют по шаблонам, а не думают.
«Какие здесь правила».

Мой ответ:

Спасибо за ответ. Вы, конечно, можете не согласиться. Я дал много
причины на моей странице, почему есть двусмысленность. Многие студенты дают
ответ 2, а не 11 в исходном примере. Если вы прочитаете мой текст, вы увидите
эта двусмысленность не означает наличие сообщения об ошибке. В большинстве случаев,
несогласие происходит из-за отсутствия стандарта. Профессиональные ссылки
приведенные на моей странице подтверждают, что нет стандарта. Ставить скобки нельзя
помещенные «волей-неволей», они размещены, чтобы прояснить ситуацию и устранить двусмысленность.Во время обучения почему бы вам не провести эксперимент и не спросить студентов, что они
подумайте, когда им нужно вычислить 2x / 3y -1 для x = 9 и y = 2. Большинство людей дает
ответ 2, поскольку они заключают в скобки 3y как неразделимые (многие учителя подтвердили
что). Это также стандарт, которому следуют многие книги (особенно если они придерживаются
к более ранним профессиональным стандартам, таким как AMS, или правилам, таким как PEMDAS, которые
часто учили и ставили умножение перед делением. Коджори, сегодня по-прежнему самый
Авторский деятель по математике примечания написал еще в 1928 г.
"Если арифметический или алгебраический член содержит / и х, в настоящее время
нет соглашения о том, какой знак должен использоваться первым. 2.Ты
скажем, вы делите торт на 2 человек, имея в виду торт / (2 человека), а не
(торт / 2) чел. Часто, особенно для установленных формул,
мы естественно берем их вместе. Популярный пример - 1 / 2pi, потому что
2pi часто сам по себе является стандартным устройством. Большинство людей читают это как 1 / (2pi)
но компьютер читает это как пи / 2. Бывший 1 / (2pi) соглашается с написанием
руководящие стандарты, выдвинутые AMS или APS.

Снова Вик:

Если 2x / 3y означает 2x / (3y), как нам написать выражение 2 раза x
затем разделить на 3, а затем умножить на y?

Мой ответ:

Пример 2x / 3y - типичный пример, который большинство людей читают как (2x) / (3y).Компьютер читает это как 2xy / 3. Можно написать (2xy) / 3 или (2/3) xy или просто 2xy / 3
если бы кто-то хотел, чтобы это было написано так, как это читает компьютер.
Это не является двусмысленным и в целом, и никто не может его неправильно истолковать.

23 февраля 2021 года, Джеймс:

Мне очень нравится ваша статья (я бы назвал ее так). Это
привлекла мое внимание, потому что я начала видеть работы студентов
которые вставляют в свои калькуляторы целые выражения, отражающие
несоответствия, обсуждаемые в вашей статье.Одна вещь, которую я отмечу, касается примера 18/3 * 2, чтобы
в котором вы утверждаете, что большинство людей придут к решению 3,
а компьютеры - 12. Сразу после того, как увидели выражение,
Я рассчитал, что решением будет 12. Я считаю, что прочитал это.
как восемнадцать третей умножить на два. Я списываю это на то, что часто работаю
с четвертями, третями и половинами вне работы и, когда я вижу
"/" Я сразу думаю о дроби, а не об операции. Более
доказательства в поддержку вашего аргумента о двусмысленности в математике и
необходимость ясности в выражениях.Еще раз спасибо за приятное чтение. я в предвкушении
исследуя остальную часть вашего сайта.

Мой ответ:

Спасибо за ответ. Да, это очень интересная история. Это
кажется, также во многом зависит от того, как это писать. Часто в
научная литература (а также некоторые руководства от AMS или APS),
указано, что такие вещи, как a / bc, следует читать как a / (bc)
а не (a / b) * c. Причина также в том, что часто товары читают
люди должны принадлежать друг другу. Если взять 18 / 2π, то большинство людей
прочтите это как 9 / π, а не как 9π (как это делает компьютер).Только можно
догадываюсь, но я подозреваю, что это было причиной создания PEMDAS (наиболее
часто используемое сокращение), а не PEDMAS или PE (MD) AS (которые должны быть
со сноской, что MD эквивалентны и читаются слева).
Последнему вряд ли можно научить. PEMDAS уже трудно продать
(многие студенты Гарварда неправильно понимают базовые PEMDAS и читают +
перед *. В педагогических вопросах всегда переоценивают то, что
сложности, которым люди могут научиться. Устанавливаем новый стандарт, такой как PE (MD) AS
(они появляются уже в школах) также имеет проблему, которая
многие тексты будут прочитаны неправильно.Если выражение принадлежит друг другу
как RT в термодинамике или mc ² в физике. Вернемся к вашему примеру:
18/3 * 2, да, думаю, многие прочитали бы это как 12, но если вы напишете
18 / ab с a = 3, b = 2, большинство прочитало бы это как 3. Забавно, как по-человечески
Здесь сочетаются психология, лингвистика и история, а также математика.
Это делает тему такой интересной.

28 февраля 2021 г. : новый хороший пример:

Я учитель математики в небольшой католической школе.Недавно я столкнулся с прикрепленной проблемой (# 12)
в моей программе спирального обзора в шестом классе. Это похоже на вопрос, который вы задаете, но в нем используется знак деления
вместо  "/". Я разместил его в группе учителей математики, в которую я участвую, для средней и старшей школы по математике и СВЯТОЙ КОРОВЕ!
Это привело к дебатам / спорам. Есть те, кто непреклонен, что ответ - 6, те, кто непреклонен.
что ответ 24, и те, кто непреклонен, что ответ может быть любым.
Конечно, каждая группа думает, что они правы!
Ваша статья была размещена в ветке несколько раз.Я прочитал подавляющее большинство из них. Мне любопытно, если
вы видите разницу в неоднозначности прилагаемой проблемы с разницей в использовании символов или
если это останется такой же загадкой, как и проблема, которой вы поделились.
Большое вам спасибо за ваше время!

Мой ответ:

Спасибо. Это очень ценно, потому что это подтверждает, что
единственный способ избежать таких обсуждений - это быть предельно ясным и добавить
кронштейны. Добавил в коллекцию.Хорошо то, что все
в вашей группе учителей правы. Есть веские аргументы в пользу группы 2c
вместе, потому что это часто используется в литературе, там
являются вескими аргументами в пользу разделения в первую очередь, потому что это то, что большинство компьютеров
делать. Кроме того, есть веские аргументы в пользу того, что оба правы. Но кто когда-нибудь выиграет
аргумент все равно столкнется с дилеммой оценить это ...
буря расстроенных учеников, родителей и других учителей. Я просто буду
охватываю алгебру в моем учебном курсе по математике и могу упомянуть об этом

4 марта 2021 г. : обсуждения в социальных сетях, похоже, все еще продолжаются: Я получил следующее электронное письмо:

Мне было интересно узнать об этом уравнении.2. Если это так, ПЕМДАС ГОВОРИТ «Экспоненты» 2-е место. Так что мой
вопрос действительно в том, что экспоненты также являются формой умножения, так почему это
теперь M такое же, как D в уравнении, где оно теперь заменено на PE (M или D
слева направо) (A или S слева направо)? В мои математические годы умножение
в-третьих, потому что экспонента и умножение одинаковы. Также когда мы
упрощать 6/9 упрощается как 2 (3) / 3 (3), мы не можем упростить это как ответ
6, когда должно быть 2/3. Вот новинка в социальных сетях: 24/4 (8/4)
и мой ответ = 3.Некоторые говорят, что это 12. После того, что я объяснил
выше. Каков твой ответ? Заранее спасибо.

Мой ответ:

Корпус 6/2 (1 + 2) теперь классический. Большинство людей получают 1. Это не потому, что
это целое число, но потому что 2 (1 + 2) рассматривается как единица. Большинство
компьютеры получают 9, потому что (M и D) оцениваются на одном уровне.

Новых 24/4 (8/4) не видел. У вас есть 3, что получает большинство людей.
Миллионы из них, потому что это закреплено в правилах PEMDAS (M перед D)
и потому, что это часто пишется в книгах как таковых.Большинство компьютеров получают 12.

Здесь нет правильного или неправильного ответа. Вопрос только что поставлен
неоднозначно. Это известно уже 100 лет. это
Интересно, что соцсети до сих пор об этом гудят. Но это делает это
интересно и осведомленно. Я написал краткое резюме с источниками в
этот документ
для курса, который я преподаю прямо сейчас

Очевидно, что на гораздо более базовом уровне все неясно. Следующее электронное письмо иллюстрирует замешательство, которое может возникнуть даже у звездных студентов. Кажется, сложно даже достать через фундаментальные свойства PEMDAS, такие как возведение в степень перед умножением и разделение и скобка, перед которыми не оспариваются.2 = 1, то это однозначно, поскольку возведение в степень предшествует другим операциям. Если написать 9/3 (3), то это неоднозначно, потому что его можно прочитать как (9/3) (3) = 3 * 3 = 9 или 9 / (3 (3)) = 9/9 = 1. Случай 6/1 (1 + 2) — неоднозначный случай, потому что его можно читать как (6/1) (1 + 2) = 18 или 6 / (1 (1 + 2)) = 2. Это та ситуация, о которой мы говорили. Нет, 6 / (1 + 2) не является неоднозначным. Ясно, что 6/3 = 2. Нет обсуждения об этом случае, потому что скобки сделаны раньше.

13 марта 2021 г .:

По профессии я технический писатель, поэтому лаконичное, точное общение - это то,
моей страсти.Я также изучал математику в бакалавриате, так что это
обсуждение было прямо моим союзником. Спасибо за поддержку этой страницы. Это было приятное путешествие.

Как упомянул один из рассылающих по электронной почте, где это возможно, я предпочитаю наборные движки, например Латекс.
Почему бы никому не написать $ \ frac {2x} {3y} - 1 $ (или что-то подобное), если бы они
наличие выбора утомительно для меня, но это часть философии моей профессии.
Я беру время и когнитивные усилия, чтобы четко объяснить что-то, чтобы свести к минимуму
усилия, которые читатели должны приложить, чтобы понять это.В отдельном электронном письме упоминалось использование знака деления или обелуса: (LaTeX: $ \ div $),
что заставило меня понять, что я не оцениваю и / так же. Назначаю разные психические
вероятности к разным интерпретациям. Если бы мне вручили документ,
содержит ab (c), я бы сначала проклял автора и начал поиск контекстных подсказок. Если я
не нашли никаких подсказок, я бы отметил, что они нашли время, чтобы использовать персонажа вне основного
Набор ASCII. Это говорит мне, что они, возможно, а может быть, намеренно избегали
пресловутый, очевидно неоднозначный слэш.Поэтому я думаю: «Что бы наиболее распространенное,
Самая ленивая интерпретация этого уравнения была бы, если бы автор использовал косую черту? "
Вероятно, это то толкование, которого они пытались избежать.

Иногда мне доступен один кусочек контекста, когда я могу решить, сколько усилий они приложили.
Чтобы избежать косой черты, они используют то устройство, которое они используют. Ввод текста в macOS
тривиально (Alt + /), но для набора текста на iPhone требуется либо копирование и вставка, либо
переход на отдельную клавиатуру стороннего производителя.

Так что это мой вклад! Это больше ориентированный на поведение подход: количество усилий, которые он
потребовалось, чтобы автор напечатал что-то, что может предложить их предполагаемое значение.С уважением,
Ник

Мой ответ:

Привет, Ник,
приятные моменты. Для меня также это то, что когда я пишу латексные формулы
в тексте и не отображается, я склонен использовать a / bc вместо \ frac {a} {bc}
потому что он лучше вписывается в страницу. Поскольку я знаю об этих войнах PEMDAS, я
Я больше не сомневаюсь в том, чтобы жертвовать красотой, если она может повысить ясность. Этот
для меня как учителя особенно важно на экзаменах.

Повсюду используются знак деления, обелус и косая черта. Я также узнал,
особенно от учителей, что для них обелус используется иначе и
что это более сильное подразделение.Я сам стараюсь избегать обелуса.
Я знаю только, что видел это в начальной школе и не трогал
поскольку.

Да, ясность требует некоторых усилий, иногда также требуется жертва некоторых
элегантность. Но мы знаем это и по языку. Есть много выражений
которые становятся понятными только в контексте. Ответ однозначно - избыточность.
Даже язык нашего генома использует избыточность, чтобы избежать
ошибки связи.

Оливер

Объяснение

PEMDAS — Magoosh Math

Пожалуйста, извините, дорогая тетя Салли или PEMDAS , это способ запомнить порядок операций в математике.Поскольку так много математики зависит от правильного порядка операций, важно понимать правила PEMDAS как внутри, так и снаружи!

Но что такое PEMDAS? И что сделала тетя Салли, что все равно нужно извинить?

Салли знает свой порядок действий. Ей не нужны твои глупые отговорки!

_{Изображение LadyBB}

Правила PEMDAS

Давайте поговорим о том, что означают эти шесть букв.

P соответствует скобкам (или скобкам, или любому другому символу группировки).
E предназначен для показателей степени (или таких вещей, как корни и радикальные выражения, которые эквивалентны показателям степени).
MD (выполняйте умножение и деление слева направо за один шаг).
M для умножения .
D для подразделения .
AS (на одном шаге выполняйте сложение и вычитание слева направо).
A для добавления .
S предназначен для вычитания .

Правила PEMDAS определяют, какие операции имеют приоритет.

_{Изображение Aha-Soft}

Например, давайте поработаем 7 + 4 × 5 ².

Нет скобок ( P ), поэтому сначала определите показатель степени ( E ).

7 + 4 × 25

Далее вам нужно умножить ( M ).

7 + 100

Наконец, остается только добавить ( A ).

107

Та-Да !!! Неплохо, правда? Что ж, все может быть сложно, поэтому давайте подробно рассмотрим некоторые из сложных случаев.

Правила письма слева направо

Правила не так просты, как может показаться на первый взгляд. Видите ли, аббревиатуру PEMDAS действительно следует писать примерно так: P-E-MD-AS .

Умножение ( M ) и деление ( D ) имеют одинаковый приоритет. Вы должны делать все умножения и деления слева направо.
Сложение ( A ) и вычитание ( S ) также имеют одинаковый приоритет. Все сложения и вычитания выполняйте в выражении слева направо.

Например, чтобы вычислить 8 — 5 + 4, сначала вычтите (потому что это крайняя левая операция), а затем сложите.

8-5 + 4 = 3 + 4 = 7

Если вы не соблюдали правильный порядок операций, вместо этого вы можете получить 8 — 9 = -1! Так что, если вы ошибочно думали, что сложение должно быть всегда, должно предшествовать вычитанию, потому что A предшествует S в PEMDAS, к сожалению, вы ошиблись с множеством проблем.

Неоднозначность умножения и деления

Правило письма слева направо работает точно так же для умножения и деления. Однако из-за того, что существует так много разных способов записи умножения и деления, это может сильно запутать. Еще хуже, когда вводятся переменные.

Произведение a и b может быть записано любым из следующих способов:

a × b = a × b = ab = ( a ) b = a ( b ) = ( a ) ( b )

Точно так же деление может быть записано в строке, то есть не в виде дроби по вертикали, двумя способами:

a ÷ b = a / b

Независимо от того, какие обозначения отображаются, правила PEMDAS должны работать одинаково.

Например, 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8 ( MD слева направо, подразумевает, что в этой задаче сначала нужно выполнить деление). Хороший способ убедиться, что вы все делаете правильно, — это заключить дополнительные скобки, чтобы явно указать на группировку.

12 ÷ 3 × 2 = (12 ÷ 3) × 2 = 4 × 2 = 8

Теперь давайте попробуем этот трюк с группировкой, чтобы показать, как каждое из следующих эквивалентных выражений работает одинаково. Помните, что каждый раз мы должны сначала делать деление, потому что оно происходит слева от умножения!

12/3 × 2 = (12/3) × 2 = 4 × 2 = 8
12 ÷ (3) (2) = [12 ÷ (3)] (2) = 4 (2) = 8
12/3 x , где x = 2, (12/3) x = 4 x = 4 (2) = 8

Обратите внимание: , если вы собираетесь написать ниже неприятный комментарий, объясняющий, насколько я ошибаюсь в отношении 12/3 x , пожалуйста, потерпите меня! Эти правила основаны на текущей принятой практике.Я не придумывал это. И я гарантирую, что если вы видите что-то подобное в тестах SAT или ACT, то вам лучше поверить, что они поступают так, как я объяснил выше!

Проблема с дробными столбиками

Внимание: Между 12 / (3 x ) и 12/3 x огромная разница. Студенты, которые смешивают эти вещи, могут испытывать бесконечное разочарование.

Без скобок правила PEMDAS подразумевают, что вы должны сначала выполнить деление.

С круглыми скобками 3 x теперь становится группой. Технически умножение должно происходить до деления (но вы все равно можете выполнять алгебраические упрощения, например, отменить общий множитель).

Круглые скобки и группировка

Правило P больше похоже на правило , изменяющее правила, . Круглые скобки могут изменить порядок операций выражения, потому что они заставляют выполнять одни действия раньше других.

Например, рассмотрим 5 × (18-2 ³).

Найдите скобки перед умножением на 5, потому что P предшествует M в PEMDAS.
Теперь внутри скобок перед вычитанием нужно указать показатель степени ( E перед S ). Это приводит нас к: 5 × (18-8).
Затем (все еще в скобках) вычтите: 5 × (10).
Наконец, завершите задачу, умножив, чтобы получить 50.

Если вы просто перечислите операции, которые мы выполнили в этой задаче, вы получите: P -> E -> S -> M . Хотя может показаться, что мы нарушили правило ( не должен предшествовать M S ?? ), мы просто следовали тому, что требовалось правилу P .

Всегда считайте круглые скобки (), квадратные скобки [], фигурные скобки {} и выражения, сгруппированные внутри радикала или вверху или внизу дробной черты, как единую группу.Затем каждая отдельная группа должна быть проработана с использованием PEMDAS только внутри этой группы.

Давайте посмотрим, как это работает, на более сложном примере.

Непростой пример

Упростить:

Когда есть несколько групп, всегда работайте изнутри наружу. Найдите самую внутреннюю группировку, используйте правила PEMDAS внутри этой группы, а затем повторно оцените выражение.

Прежде всего, столбик с большой дробью (называемый vinculum ; вот, это то, что вы теперь знаете) на самом деле служит для группировки числителя и знаменателя в их собственные отдельные выражения.

Более того, радикальное выражение действует как большой набор круглых скобок для содержимого внутри него.

Итак, в некотором смысле, мы должны думать о правиле P , даже несмотря на то, что круглые скобки вообще отсутствуют (кроме 4, но в данном случае это просто умножение)!

Начнем с радикала. 33-2 (4) = 33-8 = 25 ( M до S ).

Затем упростим знаменатель: 2 + 9 ⁰ = 2 + 1 = 3 ( E до A ).

Ваше выражение теперь должно выглядеть так:

Теперь нам все еще нужно рассматривать числитель как отдельное выражение. Есть показатель степени, умножение и радикал. Сначала вы должны указать показатель степени и радикал ( E перед M ).

Не забудьте упростить дробь в качестве последнего шага!

Порядок операций и алгебраические тождества

Я хочу закончить эту статью одной из моих любимых тем, алгебраических тождеств ! Нет, правда !! Мне нравятся алгебраические тождества, потому что они, казалось бы, позволяют нам изменять правила порядка операций.

Например, рассмотрим распределительную идентичность (или собственность, или закон):

a ( b + c ) = ab + ac

Это правило позволяет вам преобразовать продукт (из a и ( b + c )) в сумму более простых продуктов, которая оценивается с той же суммой.

Предположим, вам нужно упростить 6 ( x + 7). Что ж, согласно правилам PEMDAS, мы должны сначала выяснить, что указано в скобках.Но я не знаю, что такое x , и я никак не могу прибавить 7 к неизвестной сумме, верно?

Однако, используя Distributive Identity, я могу написать:

6 ( x + 7) = 6 x + 6 (7)

Итак, порядок операций подразумевает, что я должен умножить перед сложением. Я до сих пор не знаю x , поэтому для термина 6 x делать нечего. С другой стороны, я знаю 6 (7) = 42. Таким образом, мы получаем следующее эквивалентное выражение.

6 x + 42

На данный момент это может показаться бесполезным «трюком», но вы обнаружите, что большая часть алгебры зависит от изменения порядка операций с использованием алгебраических тождеств.

Заключение

Напомним, что правила PEMDAS определяют правильный порядок операций для упрощения математических выражений.

P обозначает любые виды группирования, включая круглые, квадратные и фигурные скобки, а также группы, подразумеваемые радикальными и дробными выражениями.Проработайте все группировки изнутри наружу.
E обозначает экспоненты и радикалы.
MD означает, что умножение и деление должно выполняться слева направо. Будьте особенно осторожны, когда есть переменные и альтернативные обозначения для продуктов и частных.
AS означает, что сложение и вычитание должны выполняться в последнюю очередь слева направо.

Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с одним из тех знаменитых мемов «99% не могут решить эту проблему», связанных с порядком операций в Интернете, теперь вы можете произвести впечатление (или рассердить) своих друзей, объяснив, почему все они ошибаются. .

Между прочим, вот действительно информативная статья, которая помогает объяснить, почему существует такая путаница с, казалось бы, простыми математическими операциями. Фактически, правила PEMDAS — это всего лишь текущих соглашений для разработки сложных многооперационных выражений. Несколько лет назад правила были немного другими. Кто знает, могут ли правила измениться снова через сто лет?

Говоря об Интернете, просмотрите 8 лучших видеороликов YouTube по математике для обзора, чтобы получить обширную информацию о математике!

Порядок операций | ПЕМДАС, БОДМАС

Вы когда-нибудь задумывались об этих раздражающих головоломках типа « Решите, если вы гений » или «, 90% ошибетесь, » головоломки, которые наводняют ваши страницы в Facebook и LinkedIn?

Часто на одном и том же изображении у них также есть сбитый с толку Эйнштейн, смотрящий на вас, недоумевая, почему его втягивают в эту легкомысленную гонку за господство в социальных сетях.

Большинство этих головоломок уровня «гения» представляют собой базовые математические задачи, которые вы чувствуете себя обязанными решить и поделиться только потому, что 5 ваших друзей сделали то же самое.

Помимо небольшого пинка, который вы получаете от их взлома, есть еще кое-что.

Некоторые из концепций представляют собой строительные блоки, на основе которых создаются более сложные задачи в тестах на определение способностей, таких как GMAT, GRE, CAT и т. Д. Самым основным правилом среди них является порядок выполнения операций.

Порядок операций в математике | ПЕМДА, ПЕДМА, БОДМА

Как известно, основными математическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

В алгебре эти операции используются с числами, буквами или их комбинацией.

Число, переменная или число, умноженное на переменную, называется «термином».

Комбинация таких терминов с операторами приводит к «выражению».

Например: В 2a + b, 2a и b называются терминами, а 2a + b называется выражением.

Вот некоторые типичные примеры алгебраических выражений

1) 2 + 3 (8-4) -6/3

2) 10 + 7 (3-1) * 8/2 ²-1

3) х + 2 (4х-5) +3 (2 (х + 6))

Определение: Порядок операций определяется как последовательность, в которой операции выполняются с данным математическим выражением.

Вы когда-нибудь задумывались, зачем нам нужно следовать последовательности при вычислении?

Почему важен порядок операций?

Рассмотрим выражение: 2 + 3 (8-4) -6/3

Какой из них является правильным способом решения?

Метод 1:

2 + 3 (8-4) -6/3 → 5 ( 8-4 ) -6/3 → 5 (4) -6/3 → 20-6 /3 → 14 / 3 → 4.6666

Метод 2:

2 + 3 ( 8-4 ) -6/3 → 2+ 3 (4) -6/3 → 2 + 12 -6/3 → 14-6 /3 → 8/3 → 2,6666

Метод 3:

2 + 3 ( 8-4 ) -6/3 → 2+ 3 (4) — 6/3 → 2 + 12-2 → 12

Каждое выражение может быть вычислено более чем одним способом и может привести к более чем одному ответу.Конечно, не все ответы верны. Вот где и почему нам нужно применять «порядок действий».

Порядок работы правил

Порядок операций для любого данного выражения регулируется следующим правилом:

P arentheses → E xponent → D ivision → M ultiplication → A ddition → S ubtraction
ИЛИ
B ракетки → O rders → D ivision → M ultiplication → A ddition → S ubtraction

Согласно американской системе обучения, это «PEDMAS» (некоторые также помнят его как «PEMDAS»).Согласно британской системе обучения, это «BODMAS».
Круглые или квадратные скобки всегда первыми разрешаются в данном выражении и оцениваются, начиная с самых внутренних.
Экспоненты или заявки имеют следующий приоритет.
Деление и умножение являются следующими и рассматриваются как находящиеся на том же уровне приоритета.
Сложение и вычитание являются последними и обрабатываются как имеющие одинаковый уровень приоритета.
При обнаружении операторов с одинаковым уровнем приоритета мы, как правило, работаем слева направо.
Примеры порядка операций
Нет ничего лучше, чем несколько смехотворно простых примеров для большей ясности.
1. Круглые или квадратные скобки всегда решаются первыми в данном выражении и оцениваются, начиная с самых внутренних.
Рассмотрим такое выражение:
4 (2+ (7 (5-3)))
Здесь в самых внутренних скобках стоит (5-3).Это первое, что нужно оценить.
4 (2+ (7 (2)))
Затем следует 7 (2) в скобках
4 (2 + 14)
Далее в скобках 2 + 14
4 (16)
Результат: 64
2. Экспоненты или заявки получают следующий приоритет.
Рассмотрим такое выражение
5 (2 ² +3) + (2 ³) ²
Выражение в скобках — 2 ² +3 (начиная слева направо).Следуя PEDMAS, нам нужно сначала оценить экспоненту, прежде чем выполнять сложение, которое приводит к (4 + 3).
Здесь важно отметить, что 2 ² +3 отличается от (2 + 3) ².
Теперь наше выражение выглядит так:
5 (4 + 3) + (2 ³) ²
Далее мы видим (4 + 3) в круглых скобках.
5 (7) + (2 ³) ²
Перед выполнением дальнейшей операции необходимо оценить показатель степени.
5 (7) +8 ²
5 (7) +64
Далее идет умножение.
35 + 64
И, наконец, дополнение.
Результат: 99
3. Следующими являются деление и умножение, которые рассматриваются как имеющие одинаковый уровень приоритета.
Рассмотрим выражение
6 * 2 + 5 * 1 + 4 / 2-1
Применяя наше правило большого пальца для работы слева направо,
6 * 2 + 5 * 1 + 4/2 -1
результатов
12 + 5 + 2-1
Теперь все, что осталось, это сложение / вычитание
18 — это наш ответ.
Обратите внимание, что выполнение сложения / вычитания перед выполнением любого умножения / деления приведет к неправильному ответу.
4. Сложение и вычитание являются последними и рассматриваются как имеющие одинаковый уровень приоритета.
Рассмотрим выражение:
1+ (2 (4-3 + 1) +7) -2
Вычисляем сначала круглые скобки,
1+ (2 (2) +7) -2
Далее идет умножение
1+ (4 + 7) -2
Вычисление выражения в круглых скобках.
1 + 11-2
Наконец, сложение / вычитание.
Наш ответ — 10.
Иногда операции, выполняемые в любом порядке, дают одинаковый результат.
Например, в приведенном выше примере вычисление 1+ (4 + 7) -2 даст тот же результат при выполнении в любом порядке.
Однако, выполняя операцию справа налево, важно обращать внимание на знак «-» перед 2, забывая о котором, вы получите ошибочный ответ.
Порядок действий Примеры
Пример 1: 2 + 3 (8-4) -6/3
Применение PEDMAS слева направо, сначала скобки
2 + 3 (4) -6/3
Здесь нет экспонентов.Выполнение умножения / деления
2 + 12-2
И, наконец, дополнение
12 — результат.
Пример 2: 10 + 7 (3-1) * 8/2 ²-1
Идя слева направо, в скобках стоит первый
10 + 7 (2) * 8/2 ² -1
Далее следует оценить показатель степени
10 + 14 * 8 / 4-1
Далее идет умножение / деление
10 + 28-1
Последним идет сложение / вычитание
37 это результат.
Пример 3: x + 2 (4x-5) +3 (2 (x + 6))
Работаем сначала с внутренними скобками, а затем с внешними,
х + 2 (4x-5) +3 (2x + 12)
Нет экспонентов и нет делений.
Выполнение умножения
х + 8x-10 + 6x + 36
И, наконец, сложение / вычитание
Результат
15x + 26.
Тест: порядок выполнения задач
Решите их, чтобы проверить, правильно ли вы поняли концепции и правила.
Задача 1
Упростите это выражение: (20-18) ³/8 * 3-1
Выберите свой ответ:
A. 1/2
B. 2
C. 8
D. 8/23
Задача 2
Упростите это выражение: (2.3 + 1.9 + 3 + 3.7 + 4.1) 2-1 * 4 ²
Выберите свой ответ:
A. 464
B. 240
C. 14
D. Нет
Правило BIDMAS — Порядок работы — KS3 Maths Revision
В математике существует согласованный порядок операций, называемый BIDMAS.2 \).
«Индексы» также известны как «заказы», что дает нам термин BODMAS ( B ракеток, O rders, D ivision и M ultiplication, A ddition и S ubtraction). .
Итак, порядок, в котором вы должны выполнять свои вычисления:
Скобки
Индексы
Деление и умножение (начните слева и выполняйте их в том порядке, в котором вы их найдете)
Сложение и вычитание (когда только сложение и вычитание оставлены в сумме, обработайте их в том порядке, в котором вы их найдете — начиная слева от суммы и двигаясь вправо)
Пример 1
Что такое \ (4 + 2 \ times 3 \ )?
Если вы сначала вычислите часть \ (4 + 2 \), вы получите:
\ [4 + 2 \ times 3 = 6 \ times 3 = 18 \]
Если вы вычислите \ (2 \ times 3 \ ) сначала вы получите:
\ [4 + 2 \ times 3 = 4 + 6 = 10 \]
Это два очень разных ответа, но только один правильный.
В BIDMAS умножение предшествует сложению, поэтому сначала умножьте \ ({2} \) на \ ({3} \):
\ (4 + 2 \ times 3 = 4 + 6 = 10 \), так что это это правильный ответ.
Пример 2
Что такое \ (9-4 + 3 \)?
В этой сумме есть только сложение и вычитание. Так что работайте с ними слева направо:
\ [9-4 + 3 = 5 + 3 = 8 \]
Обратите внимание, что если вы не перейдете слева направо, вы получите другой ответ:
\ [9 — 4 + 3 = 9 — 7 = 2 \]
Это было бы неправильно, поэтому мы обрабатываем их слева направо.
Определение порядка операций | Помощь с математикой
Урок «Использование групповых символов» показывает, когда использовать круглые, квадратные и фигурные скобки в выражениях. Эти группирующие символы — первый шаг в правилах, давно разработанных математиками.
Наличие стандартного порядка решения математических задач позволяет всем получить одинаковый результат. На этом уроке вы будете изучать и практиковать остальные правила порядка работы.
Результаты обучения
К концу этого урока ваши дети смогут следовать правилам порядка действий, чтобы правильно оценивать математические выражения и уравнения.
Если вы еще этого не сделали, просмотрите вместе с детьми урок «Использование групповых символов в выражениях». Он охватывает символы группировки: круглые, квадратные и фигурные скобки, которые используются в выражениях и уравнениях.
Разминка
Когда нет специальных группирующих символов, математические задачи решаются слева направо. Правила порядка операций говорят вам порядок, в котором вы должны выполнять операции (сложение / вычитание / умножение / деление) в математическом выражении (математические предложения, в которых не , включают знак равенства) или уравнение (математическое предложения, которые от до включают знак равенства).В уроке «Использование символов группировки в выражениях» были рассмотрены символы группировки: круглые скобки, квадратные скобки и фигурные скобки. Вы знаете, что математика, заключенная в один из этих символов группировки, выполняется перед математикой, которая не находится внутри пары символов группировки. Вы также знаете, что скобки — это наиболее часто используемые символы группировки.
По мере того, как вы начинаете изучать и практиковать применение правил порядка операций, вам необходимо уметь быстро определять символы группировки и знаки операций. Пройдите следующий предварительный тест, чтобы узнать, готовы ли вы к этому уроку.
Рабочий лист для предварительной оценки
Попросите ваших детей пройти предварительный тест, чтобы проверить, готовы ли они к этому уроку. Если они наберут 5 или меньше правильных ответов, просмотрите введение вместе с ними или вернитесь к уроку о группировке символов, прежде чем продолжить урок.
— Порядок операций в выражениях — Предварительная оценка
Основной урок: порядок действий
Некоторые люди используют PEMDAS или « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally », чтобы запомнить порядок операций.
P = круглые скобки (и другие символы группировки)
E = показатели (введены в 6-м классе)
M = умножить
D = разделить
A = добавить
S = вычесть
Когда математики со всего мира давно встретились, чтобы решить стандартный порядок выполнения математических операций, они пришли к такому порядку:
Сначала выполните любые вычисления внутри символов группировки: круглые, квадратные и фигурные скобки.
Оценивайте числа с показателями: Показатели целых чисел будут объяснены на уроках 6-го класса. Они не включены в этот урок, кроме как знать правильный порядок.
Умножение или деление: умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Когда вы читаете слева направо, делайте то, к чему вы придете раньше. Пропустите сложение и вычитание, пока не будут выполнены все умножение и деление.
Сложение или вычитание: сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет.Когда вы читаете слева направо, делайте то, к чему вы придете раньше.
Попросите детей поработать над этими задачами, чтобы попрактиковаться в применении правил порядка действий. После этих модельных задач ваши дети могут попробовать еще несколько практических задач.
Практика использования порядка операций
14 — (7 + 6)
Сначала идут круглые скобки, поэтому 7 + 6 = 13.
Подключите 13, где было (7 + 6), так: 14 — 13
В этом уроке нет экспонентов, переходите к операциям.
Эта задача содержит только вычитание, поэтому вычитайте.
14–13 = 1
(8-4) + 5 x 8
Сначала идут круглые скобки, поэтому 8-4 = 4.
Вставьте 4, где было (8-4), так: 4 + 5 x 8.
В этом уроке нет экспонентов, переходите к операциям.
Эта задача содержит сложение и умножение. Умножение предшествует сложению, поэтому 5 x 8 = 40.
Остается 4 + 40.Наконец, прибавляем 4 + 40 = 44.
Дети часто не справляются со сложными математическими выражениями или уравнениями. Напомните им, чтобы они сосредотачивались только на одном шаге за раз. Если разбить большие задачи на мелкие, их легче решать и решать.
Попробуйте оценить эти выражения, следуя правилам порядка операций, а затем проверьте свои ответы, щелкнув ссылку «Показать / скрыть ответ».
4 + (3 — 1) x 6
Нажмите, чтобы показать / скрыть ответ
Сначала идут круглые скобки, поэтому 3 — 1 = 2.
4 + 2 х 6
Умножение предшествует сложению, поэтому 2 x 6 = 12
4 + 12
Сложение — это все, что осталось, поэтому 4 + 12 = 16.
(11 + 9) — 5 х 2
Нажмите, чтобы показать / скрыть ответ
Сначала идут круглые скобки, поэтому 11 + 9 = 20
20-5 x 2
Умножение предшествует вычитанию, поэтому 5 x 2 = 10
20–10
Вычитание — это все, что осталось, поэтому 20-10 = 10
[17 — (2 + 8) + 2] ÷ 3
Нажмите, чтобы показать / скрыть ответ
Сначала идут символы группировки, а перед скобками — скобки, поэтому 2 + 8 = 10.
Остается: [17-10 + 2] в скобках. 17-10 = 7,
7 + 2 = 9.
Итоговое значение в скобках — 9.
Остается только деление: 9 ÷ 3 = 3
Резюме
Математики согласовали определенные правила решения математических задач, которые называются порядком операций.
Сначала идут символы группировки. Если имеется более одного символа группировки, они идут в следующем порядке: круглые скобки, скобки, фигурные скобки.
Далее следуют
экспоненты.Вы будете использовать их в будущих уроках. Для этого урока вам просто нужно знать, что они идут после группировки символов по порядку.
Далее идет
Умножение или Деление. У них одинаковый приоритет, поэтому то, что идет первым, слева направо, идет первым.
Далее идет
Сложение или Вычитание. У них одинаковый приоритет, поэтому то, что идет первым, слева направо, идет первым.
Не перегружайте себя сложными проблемами. Выполняйте их шаг за шагом, по одному, и вы сможете их решить!
Контрольные вопросы
Просмотрите приведенные выше пункты резюме вместе со своими детьми, а затем распечатайте Таблицу оценки, приведенную ниже.
Как минимум 7 из 10 правильных ответов покажут, что ваши дети готовы перейти к следующему уроку: «Написание простых выражений».
Какие четыре основные операции в математике
ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ
Сложение
Сложение двух или более чисел дает нам другое число. Сложенные числа называются слагаемыми, а полученное таким образом новое число называется суммой. Например,
34670 + 12345 = 47015
Здесь 34670 и 12345 называются слагаемыми, а 47015 — суммой 34670 и 12345.Большие числа добавляются так же, как и маленькие числа.
Сложение путем группировки
Когда мы складываем три числа, мы можем сначала сложить любые два числа, а затем добавить третье число к сумме. Другими словами, мы можем сгруппировать любые два из трех чисел, чтобы найти сумму трех чисел. Если нам нужно сложить более трех чисел, мы можем аналогичным образом сгруппировать любые два из заданных чисел несколькими способами и сложить их. Например, предположим, что мы хотим сложить 234523, 123098, 555623 и 876543.Сумму можно найти любым из следующих способов:
[(234523 + 123098) + 555623] + 876543
= (357621 + 555623) + 876543
= 4 + 876543 = 1789787
[(234523 + 123098) + 876543] + 555623
= (357621 + 876543) + 555623
= 1234164 + 555623 = 1789787
Итак, мы можем сложить три или более чисел, сгруппировав их любым удобным для нас способом.
Вычитание
Вычитание одного числа из другого числа дает нам третье число.Полученное таким образом новое число называется разностью двух чисел. Например,
70000 — 67429 = 2571
Здесь 2571 — это разница между 70000 и 67429. Большие числа вычитаются так же, как и маленькие числа.
Подробнее:
Умножение
Умножение двух или более чисел дает нам другое число. Полученное таким образом новое число называется произведением этих чисел. Например, 11 × 13 = 143.
Здесь 143 — это произведение 11 и 13.11 и 13 называются / действующими лицами 143. Обратите внимание, что 1 всегда является множителем любого числа.
Давайте возьмем другой пример, скажем, 855 × 73 = 62415. Здесь 855 и 73 являются множителями 62415, а 62415 — это произведение 855 и 73.
Большие числа умножаются так же, как маленькие числа.
Умножение с использованием нулей
Когда мы умножаем число на 10,100,1000 и т. Д., Мы просто помещаем это множество нулей справа от этого числа. Например, если мы хотим умножить 15 на 10, то ответ будет 150.Точно так же, если мы хотим умножить 15 на 100, ответ будет 1500 и так далее. В правой части 15 добавлены нули.
Деление
Деление числа на другое дает два новых числа — частное и остаток . Число, которое делится, называется делителем , а число, которое делит, называется делителем . Например,

Здесь 7 — делитель ; 66 — это
дивидендов ; 9 — это частное , а 3 — это остаток .
Разделите 69205 на 432 и найдите частное и остаток.

Здесь частное равно 160, а остаток равен 85.
Смешанные операции с участием +, -, × и ÷
До сих пор мы решали проблемы, связанные только с одним типом операций, то есть с одним из следующих : сложение, вычитание, деление и умножение. Но что нам делать, если проблема связана с двумя или более операциями вместе? Рассмотрим следующую задачу:
Пример: Упростить: 16 — 6 + 2 — 3

В первом случае ответ — 9, а во втором — 5.Мы получаем разные ответы в зависимости от того, в каком порядке выполняются операции. Но один из двух полученных нами ответов неверен. Чтобы избежать такой двусмысленности, была принята международная конвенция.
Если в каком-либо математическом выражении есть символы сложения и вычитания, мы сначала складываем, а затем вычитаем. Например, рассмотрим следующий случай: 16-3 + 4-5
= 20-3-5 (сложение: 16 + 4 = 20)
= 17-5 (вычитание: 20-3 = 17)
= 12 (вычитание : 17 — 5 = 12)
Если в трех операциях [(+, — и ×) или (+, — и ÷)], то есть помимо сложения и вычитания, задача включает умножение или деление, мы сначала умножить или разделить, а затем перейти к сложению и вычитанию соответственно.Например, рассмотрим следующие случаи.
(a) Упростить: 7 + 3 × 4 — 3
В приведенном выше примере задействованы три операции: +, — и ×. Чтобы решить эту проблему, мы сначала умножаем числа, затем складываем, а в конце вычитаем.
7 + 3 × 4 — 3
= 7 + 12 — 3 (Умножение: 3 × 4 = 12)
= 19 — 3 (Сложение: 7 + 12 = 19)
= 16 (Вычитание: 19 — 3 = 16)
(b) Упростить: 16 — 6 ÷ 2 + 8
В приведенном выше примере задействованы три операции: +, — и ÷.Чтобы решить эту проблему, мы сначала делим, затем складываем, а в конце вычитаем число. 16-6 ÷ 2 + 8
= 16-3 + 8 (Деление: 6 ÷ 2 = 3)
= 24-3 (Сложение: 16 + 8 = 24)
= 21 (Вычитание: 24-3 = 21)
Когда задача включает в себя все операции, а именно +, -, × и ÷, тогда существует согласованная формула, обозначаемая «DMAS», которой следуют математики. В DMAS D означает деление, M — умножение, A — сложение и S — вычитание. DMAS представляет порядок операций.Например, рассмотрим следующие случаи.
(a) Упростить: 5 + 4 × 3 — 9 ÷ 3
В приведенном выше примере присутствуют все четыре операции, поэтому мы должны использовать правило DMAS, как показано ниже: 5 + 4 × 3 — 9 ÷ 3
= 5 + 4 × 3 — 3 (Деление: 9 ÷ 3 = 3)
= 5 + 12 — 3 (Умножение: 4 × 3 = 12)
= 17 — 3 (Сложение: 5 + 12 = 17)
= 14 (Вычитание: 17 — 3 = 14)
(b) Упростить: 7 × 3 — 4 + 60 ÷ 10
В этом примере также присутствуют все четыре операции, поэтому для упрощения мы должны использовать DMAS правило.7 × 3 — 4 + 60 ÷ 10
= 7 × 3 — 4 + 6 (Деление: 60 ÷ 10 = 6)
= 21 — 4 + 6 (Умножение: 7 × 3 = 21)
= 27 — 4 (Сложение : 21 + 6 = 27)
= 23 (Вычитание: 27 — 4 = 3)
Использование операции ‘Of’
Иногда нам нужно найти значение ‘\ (\ frac {1} {2 } \) Из 16 или 3 из 5.
Это означает, что нам нужно найти значение \ (\ frac {1} {2} \) × 16 или 3 × 5.
Итак, «of» означает умножение.
Следовательно, \ (\ frac {1} {2} \) из 16 = \ (\ frac {1} {2} \) × 16
= 8
и 3 из 5 = 3 × 5
= 15.
Когда операция «of» встречается в каком-либо математическом выражении, она должна выполняться перед любой другой операцией. Чтобы решить такой вид выражения, мы используем правило ODMAS, в котором O означает of, D для деления, M для умножения, A для сложения и S для вычитания.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1: Упростить 36 ÷ 2 из 3 + 6 × 2.
Решение: Чтобы решить эту проблему, мы сначала решаем операцию «of».
36 ÷ 2 из 3 + 6 × 2
= 36 ÷ 6 + 6 × 2 (Оф.2 из 3 = 2 × 3 = 6)
= 6 + 6 × 2 (Деление: 36 ÷ 6 = 6)
= 6 + 12 (Умножение: 6 × 2 = 12)
= 18 (Сложение: 6 + 12 = 18)
Пример 2: Упростить 42 ÷ 6 × 2 + \ (\ frac {1} {7} \) из 35 × 2.
Решение: 42 ÷ 6 × 2 + \ (\ frac {1 } {7} \) из 35 × 2
= 42 ÷ 6 × 2 + 5 × 2 (Of: \ (\ frac {1} {7} \) из 35 = \ (\ frac {1} {7} \ ) × 35 = 5)
= 7 × 2 + 5 × 2 (Деление: 42 ÷ 6 = 7)
= 14 + 10 (Умножение: 7 × 2 = 14 и 5 × 2 = 10)
= 24 (Сложение: 14 + 10 = 24)
Использование скобок и правила BODMAS
Давайте рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать использование скобок.
Римма купила 35 конфет и съела 5 из них. Оставшиеся шоколадные конфеты она распределила поровну между 6 своими друзьями. Сколько конфет она дала каждому из них?
В этой задаче мы должны вычесть 5 конфет, которые ела Рима, из 35 конфет, которые у нее были, прежде чем разделить их между 6 своими друзьями. Итак, мы должны сначала выполнить операцию вычитания, а затем выполнить деление. В таких случаях мы используем скобки вокруг той части, которая должна быть выполнена в первую очередь, то есть
(35-5) ÷ 6 (Сначала решите скобку, т.е.е., 35-5 = 30)
= 30 ÷ 6 (Деление: 30 ÷ 6 = 5)
= 5
Рассмотрим другой пример.
Пример 3: Решите 2 из 3 × (5 + 2).
Решение: 2 из 3 × (5 + 2)
= 2 из 3 × 7 (Первая скобка: 5 + 2 = 7)
= 6 × 7 (Of: 2 из 3 = 2 × 3 = 6)
= 42 (Умножение: 6 × 7 = 42)
Следовательно, когда задачи связаны со скобками, ×, ÷, + и — затем
Чтобы упростить запоминание этого порядка, мы запоминаем слово BODMAS , где B обозначает скобки, O обозначает of ‘, D обозначает деление, M обозначает умножение, A обозначает сложение и S обозначает вычитание.Это называется правилом « BODMAS ».
Иногда в числовых выражениях могут использоваться скобки разных типов. Эти скобки:
Винкулум или стержень —
Круглые или маленькие скобки ()
Скобки или фигурные скобки {}
Квадратные скобки или большие скобки []
Мы упрощаем выражения, начиная с самой внутренней скобки. Обычно винкулум является самой внутренней скобкой, затем идут круглые скобки, затем фигурные скобки и, наконец, квадратные скобки.Давайте теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример 4: Упростить \ (25- [20 — \ {10- (7- \ overline {5-3}) \}] \).
Решение:
ПРАВИЛА УПРОЩЕНИЯ
1. Порядок работы: Использование скобок выводит нас на новый порядок работы. Операция в скобках предшествует ODMAS. Здесь уже упоминались различные типы скоб.
2. Если между числом и скобкой нет знака, то подразумевается, что выполняемая операция — это умножение.
Примеры
3. Если перед скобкой стоит знак «+», вы можете просто снять скобку.
Примеры:

4. Если перед скобкой стоит знак «-», то при снятии скобки все знаки внутри скобки меняются.
Примеры:
Математика
Правило BODMAS: порядок операций в математике
Правило BODMAS: Простое арифметическое выражение, состоящее из двух чисел и одной операции, легко решить.Но как насчет выражений с множеством чисел и множеством символов операций? Как мы узнаем, какую конкретную операцию нужно решить в первую очередь? Вот где нас спасает правило BODMAS. BODMAS также известен как BIDMAS (скобки, индексы, деление, умножение, сложение и вычитание) или BEDMAS (где E означает экспоненты).
Полная форма BODMAS: Скобки, порядки, деление, умножение, сложение и вычитание . Как следует из полной формы, первое предпочтение в работе BODMAS отдается скобкам i.е. «[, {, (),},]». После этого второе предпочтение отдается порядкам или экспонентам (ⁿ). После этого идут операции деления, умножения, сложения и вычитания, обозначенные как ÷, x, + и — соответственно.
В этой статье мы расскажем, что такое правило BODMAS в математике и каков порядок решения арифметических операций. Кроме того, вы можете загрузить полный PDF-файл с правилами BODMAS на этой странице.
Правило BODMAS в математике: порядок арифметических операций
Арифметические операции включают математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.Решая выражения, включающие несколько операций, мы не можем просто случайным образом выбирать и решать различные операции. Это не даст правильных ответов.
Существует определенный порядок, в котором арифметические операции должны выполняться, чтобы прийти к правильному ответу. Здесь на сцену выходит правило BODMAS. С помощью этого правила мы можем решить выражение со скобками и несколькими операциями. Правило BODMAS также говорит нам, как упростить скобку и какая скобка должна быть решена в первую очередь.
Проверьте другие важные статьи по математике:
Полная форма BODMAS: что такое правило BODMAS?
BODMAS — это аббревиатура, обозначающая:
Это означает, что при решении арифметических выражений с несколькими операциями разных типов:
Во-первых, выражения в квадратных скобках (), {}, [] должны быть решены независимо от операторов внутри скобок.
Затем нужно решить квадратные корни и числа со степенями.Буква O в BODMAS означает Of или Order.
Затем мы должны решить операцию деления, за которой следует умножение, сложение и, наконец, вычитание.
Обратите внимание, что «()» — это первая скобка, а «{}» и «[]» — вторая и третья скобки соответственно. При решении выражений с разными скобками сначала следует решать выражения внутри первой скобки, затем — второй, а затем третьей.
Разберемся на примере.
Рассмотрим следующее выражение:
a — (b — c) + d x e ÷ f
Мы должны решить это выражение в следующем порядке или последовательности:
я. Кронштейн: Сначала мы должны найти значение (b — c) , которое находится внутри скобки. Скажем, это A, то есть (b — c) = A .
ii. Деление: Затем нам нужно найти значение e ÷ f. Допустим, это B, i.e e ÷ f = B.
iii. Умножение: Результирующее значение B нужно умножить на d. Скажем, B x d = C .
iv. Дополнение: Теперь мы должны добавить результат (b — c), который является A, к C. Пусть результат будет D.
v. Вычитание: Теперь мы должны вычесть D из a, чтобы получить правильный ответ.
Получите формулы алгебры снизу:
Примеры правил BODMAS: Примеры правил BODMAS
Давайте теперь рассмотрим некоторые примеры правила BODMAS:
Пример 1: Решить: 5-6 x 4
Решение: Поскольку умножение (M) предшествует вычитанию (S), мы должны сначала найти значение 6 x 4, а затем вычесть его из 5.
Итак,
5-6 x 4
= 5-24
= -19
Пример 2: Решить: 10 ÷ (5 + 5)
Решение: Согласно Правилу BODMAS, выражения в квадратных скобках должны быть решены в первую очередь. Итак, в этой задаче мы должны сначала найти добавление 5 и 5 в скобках. Затем мы должны разделить 10 на результат сложения.
10 ÷ (5 + 5)
= 10 ÷ 10
= 1
Пример 3: Решить: 10 ÷ 5 + 5
Решение: Эта проблема может выглядеть так же, как в Примере 2, но здесь нет скобки.Итак, согласно правилу BODMAS, здесь мы должны сначала решить деление, а затем сложение.
10 ÷ 5 + 5
= 2 + 5
= 7
Итак, как видите, результаты полностью зависят от порядка, в котором вы решаете операции.
Пример 4: Решить: 10 ÷ [(5 + 5) x {(4 x 2) — (5 — 2)}]
Решение: 10 ÷ [(5 + 5) x {(4 x 2) — (5 — 2)}] Решая выражения в первых скобках, получаем
= 10 ÷ [10 x {8 — 3}] Решая выражение во второй скобке, мы получаем
= 10 ÷ [10 x 5]
Теперь, решая выражение в третьей скобке, получаем
= 10 ÷ 50
= 0.2
Итак, теперь вы знаете, как решать арифметические выражения с помощью более чем одной операции. Решите другие вопросы, связанные с правилом BODMAS из вашего учебника, и вы научитесь этому.
Правило BODMAS PDF: Часто задаваемые вопросы, связанные с Правилом BODMAS
Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с BODMAS:
Q1: Какое правило BODMAS?
A: Правило BODMAS гласит, что в выражении, содержащем несколько арифметических операций, есть порядок, в котором вычисляются все операции.Операциям отдается предпочтение в следующем порядке: скобки, порядок (показатели), деление, умножение, сложение и вычитание.

Умножение | Математика

Определение умножения

Основное свойство произведения

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножение на число с нулями в конце

Умножение многозначного числа на многозначное

Степени

В первую очередь умножение или сложение. Порядок выполнения действий, правила, примеры

Первый способ

Второй способ

Порядок действий и возведение в степень

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Действия первой и второй ступени

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Post navigation

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 — 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

Порядок действий в математике 4 класс

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Что такое действия первой и второй ступени

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Математика и гармония: Математические алгоритмы

Действия записанные скобках умножение. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Что такое действия первой и второй ступени

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

среда, 4 июля 2018 г.

воскресенье, 18 марта 2018 г.

правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Что такое степень числа

Таблица степеней от 1 до 10

Свойства степеней

Степень с отрицательным показателем

Степень с натуральным показателем

Дробная степень

Степень с иррациональным показателем

Заключение

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Что представляют собой степенные выражения?

Основные виды преобразований степенных выражений

Возведение в степень

Основные действия со степенями

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Школьная задача

Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Секреты устного счёта

Прибавляем числа 7,8,9

Быстро складываем двузначные числа

Складываем в уме трехзначные числа

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаем в уме трехзначные числа

Умножить и разделить

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Как умножать и делить на 5

Умножение на 9

Счет на пальцах

Устный счёт на автомате

Числовые и буквенные выражения. Формула

Неоднозначно PEMDAS

PEMDAS — Magoosh Math

Правила PEMDAS