Сложение и вычитание смешанных чисел, дробная часть с одинаковыми знаменателями

Тему «Сложение и вычитание смешанных чисел» рассмотрим в два этапа для более лучшего восприятия. В данной статье рассмотрим как складываются и вычитаются смешанные числа с дробной частью, которая имеет дроби с одинаковыми знаменателями (как правило, данная тема изучается в 5 классе). Как складываются смешанные числа с дробной частью, имеющей дроби с разными знаменателями, рассмотрим отдельно, в другой статье (изучается в  6 классе). Все правила наизусть!!!  Тема не сложная, но напрячься чуть надо… Ну что, набираемся терпенья и поехали…

Для сложения данных смешанных чисел  действует следующее правило.

Правило. При сложении (вычитании) смешанных чисел целые части складываем (вычитаем) отдельно, а дробные отдельно. (Т.е. «целые с целыми», «дробные с дробными»).

Как применяется правило?

Рассмотрим пример на сложение.

Выполнить действие.

Решение.

Определяем, где целые и где дробные части. Целые части — это 5 и 3, дробные части — это . А дальше начинаем складывать по правилу: целые с целыми, дробные с дробными. Как сложить целые числа, думаю, проблем не возникнет. Сложение дробных частей представляет собой сложение дробей с одинаковыми знаменателями, для тех, кто не знает как выполнить такое сложение можно посмотреть здесь. Т.е.

Следуя рекомендации по записи ответа (рекомендации можно посмотреть здесь), получаем: дробь не сокращается, выделять целую часть из дробной не надо, поэтому полученное число число пойдет в ответ.

На первых этапах решения таких примеров лучше все расписывать, после, когда уже «рука набьется», можно записывать короче:  

Рассмотрим примеры на вычитание.

Случай I. Дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого

Рассмотрим следующий пример.

Выполнить действие.

Решение.

Начинаем решение примера с определения целых и дробных частей. Целые части — это 6 и 3, дробные части это . А дальше начинаем вычитать по правилу. Как вычитать целые числа, думаю, проблем не возникнет. Вычитание дробных частей представляет собой вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, для тех, кто не знает как выполнить такое сложение можно посмотреть здесь. Т.е.

Не забываем про рекомендации по записи ответа (рекомендации можно посмотреть здесь), получаем: дробь не сокращается, выделять целую часть из дробной не надо, поэтому полученное число пойдет в ответ.

На первых этапах решения таких примеров лучше все расписывать, после, когда уже «рука набьется», можно записывать короче:

Случай II. Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

При решении примеров на вычитание смешанных чисел может встретиться случай, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Как поступать в этом случае?

Рассмотрим на примере.

Выполните действие.

Решение.

Смотрим на пример и видим, что перед нами вычитание смешанных чисел. Как обычно поступаем со сложением (вычитанием) смешанных чисел: «складываем (вычитаем) целое с целым, дробное с дробным». Но не тут — то было: (7-3) – сможем вычесть, а вот из   — не сможем. Как поступить с вычитанием дробных частей? Рассуждаем. Когда мы сможем вычесть? Когда первая дробь будет больше второй, поэтому наша задача состоит в том, чтобы увеличить первую дробь. Каким же образом будем увеличивать? Очень просто, будем у 7 «забирать» единицу и добавлять ее к дроби  и затем «превратим» ее в неправильную… Ну что, поехали…

 

Следуя рекомендации по записи ответа (рекомендации можно посмотреть здесь), получаем: дробь не сокращается, выделять целую часть из дробной не надо, поэтому полученное число пойдет в ответ.

Случай III. Вычитание дроби из натурального числа, смешанного числа из натурального.

Что же делаем в данном случае, когда будем вычитать дробь из натурального числа, и если будем вычитать смешанное число из натурального числа.

Рассмотрим примеры.

Выполнить действие.

Решение.

 

В данном примере надо выполнить действие на вычитание дроби из целого числа. Что же делаем? У 3 «забираем» единицу, почему же единицу, чем она хороша в данном случае? Да потому, что ее можно представить в виде дроби с одинаковым числителем и знаменателем, т.е.  и т.д.

В нашем случае будем ориентироваться на дробь , точнее на ее знаменатель. У нее знаменатель равен 8, тогда и нашу 1 будем представлять в виде дроби . А далее выполняем нужное нам действие: вычитание смешанных чисел.

Следуя рекомендации по записи ответа (рекомендации можно посмотреть здесь), получаем: дробь не сокращается, выделять целую часть из дробной не надо, поэтому полученное число пойдет в ответ.

Таким же образом поступаем и в следующем примере на вычитание смешанного числа из целого.

Выполнить действие.

 

 

 

Решение.

Не забываем про рекомендации по записи ответа (рекомендации можно посмотреть здесь), получаем: дробь не сокращается, выделять целую часть из дробной не надо, поэтому полученное число пойдет в ответ.

Что осталось сделать по данной теме, так это отработать навыки решения.

 

 

Большую проблему вызывает вычитание смешанных чисел. Поэтому, у кого есть вопросы, смотрим внимательно видео и пытаемся разобраться. Рекомендую посмотреть разбор всех примеров, каждый из которых хорош по — своему.

P.S. Есть второй способ вычитания (сложения), который, по моему мнению хорош, когда мы работаем с маленькими числами. Если его применять для сложения и вычитания любых смешанных чисел, то можно в результате получить «работу» с большими числами, что может привести к арифметическим ошибкам. Поэтому в видео его не рассматриваю. Применять можно, если ориентироваться, где и когда он будет рационален.

 

 

 

Просто и доступно о сложении смешанных чисел. Рассматриваем примеры на применение правила сложения смешанных чисел, при этом обращаем внимание на то, каким должен быть ответ, т.е. пример должен быть до конца решенным.

P.S. Есть второй способ вычитания (сложения), который, по моему мнению, хорош, когда мы работаем с маленькими числами. Если его применять для сложения и вычитания любых смешанных чисел, то можно в результате получить «работу» с большими числами, что может привести к арифметическим ошибкам. Поэтому в видео его не рассматриваю.

 

Сложение смешанных чисел – правило (5 класс, математика)

4

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 201.

4

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 201.

Смешанные числа представляют собой особую категорию дробей. Складывать такие числа достаточно проблематично для учеников 5 класса, поэтому чаще смешанные дроби переводят в неправильные. Это занимает время, поэтому лучше складывать смешанные числа сразу, это не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Что такое смешанная дробь?

Смешанной дробью зовут дробь, которая содержит целую и дробную часть. Такая дробь может быть записана как с помощью дробной черты, так и с помощью запятой. Но если смешанные десятичные дроби можно складывать и вычитать, умножать и делить, то смешанные дроби с дробной чертой куда более сложны в работе.

Смешанная дробь и смешанное число – это одно и то же.

Запомните, для умножения и деления смешанных дробей с дробной чертой необходимо перевести смешанное число в неправильную дробь и выполнить действие. При необходимости после всех вычислений, в результате выделяют целую часть, превращая дробь обратно в смешанное число.

Для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь выполняют следующие действия:

• Целую часть умножают на знаменатель
• Полученное число прибавляют к числителю. Результат сложения – числитель неправильной дроби
• Знаменатель неправильной дроби будет тот же, что и у дробной части правильной дроби.

Приведем пример такого перевода.

$3 {7\over{13}}$

3*13+7=39+7=46

$3 {7\over{13}}={46\over{13}}$

Сложение смешанных чисел

Складывать и вычитать смешанные числа можно и без перевода в неправильную дробь. Для этого отдельно складываются целые части и отдельно дробные. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, следует выделить целую часть и прибавить ее к уже сложенным целым частям.

Приведем пример сложения смешанных чисел. Решим пример:

$3 {15\over{16}}+ 4 {20\over{21}}$

Сложим целые части:

3+4=7

Сложим дробные части. Для этого дроби следует привести к одному знаменателю. Для этого следует найти наименьшее общее кратное чисел.

НОК(20;16)=4*5*4=80

${15\over{16}}+{20\over{21}}={{15*5}\over{80}}+{{20*4}\over{80}}={{75+80}\over{80}}={155\over{80}}=1 {75\over{80}}=1 {15\over{16}}$

Прибавим еще 1 к сумме целых частей:

7+1=8

Теперь соберем результат в одно целое:

$$3 {15\over{16}}+ 4 {20\over{21}}= 8 {15\over{16}}$$

Сложение смешанных десятичных дробей

Сложение смешанных десятичных дробей выполняется по другому алгоритму.

Можно пользоваться уже приведенным правилом, но проще и эффективнее использовать общий для десятичных дробей алгоритм сложения и вычитания.

Сложение смешанных чисел выполняется по следующему алгоритму:

• Передвигается запятая у обоих слагаемых на одно и то же число знаков вправо. Запятая передвигается так, чтобы оба слагаемых стали целыми числами.
• Получившиеся числа складываются в столбик или в уме
• Запятая возвращается на место. Для этого отсчитывается справо налево количество знаков, на которое вначале сдвинули запятую.

Приведем пример:

3,6+5,7

Передвинем запятую

36+57=93

А теперь вернем запятую обратно: 9,3

3,6+5,7=9,3

Что мы узнали?

Мы поговорили о сложении смешанных чисел. Разделили сложение смешанных чисел с дробной чертой и сложение смешанных десятичных дробей. Рассказали о правиле сложения смешанных чисел. Привели примеры для каждого из видов сложения.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 201.

---

А какая ваша оценка?

Сложение смешанных чисел с разными знаменателями

Сложение смешанных чисел

Смешанное число — это дробь, состоящая из двух частей: целое число и правильная дробь. Он также известен как смешанная фракция.   

Обычно смешанное число представляет собой число между любыми двумя целыми числами. Мы часто сталкиваемся с примерами смешанных чисел в нашей повседневной жизни.

Рассмотрим дробь $3\frac{5}{8}$. Он состоит из целого числа 3 и дробной части $\frac{5}{8}$. Поскольку дробная часть $\frac{5}{8}$ имеет числитель 5, что меньше знаменателя 8, она представляет собой правильную дробь.

Итак, дробь $3\frac{5}{8}$ представляет собой смешанное число.

Родственные игры

Как складывать смешанные числа?

Для сложения смешанных чисел (или сложения смешанных дробей) мы берем целые числа и дроби и складываем их отдельно. Затем мы соединяем их.

Давайте разберемся с этим на примере.

Пример. Найдите сумму  $2\frac{1}{8}$ и $3\frac{3}{8}$.

Здесь мы должны сложить два смешанных числа.

Первое число: $2\frac{1}{8}$.

Второе число $3\frac{3}{8}$.

Визуально две дроби при сложении будут выглядеть так:

Теперь давайте посмотрим, как мы можем сложить числа $2\frac{1}{8}$ и $3\frac{3}{8}$ без помощь моделей.

Сначала складываем целые части обоих смешанных чисел.

Здесь целые числа равны 2 и 3. Давайте сначала сложим их.

2 + 3 = 5

А теперь добавим дробные части.

Дробные части: $\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{8}$. Складываем их так, как мы складывали бы две одинаковые дроби, прибавляя числитель к числителю и знаменатель к знаменателю.

$\frac{1}{8} + {3}{8}$

$= \frac{1 + 3}{8}$

$= \frac{4}{8}$

Сейчас что у нас есть отдельные суммы целых и дробей, мы сложим их вместе.

Итак, мы получаем $2\frac{1}{8} +3\frac{3}{8} =5\frac{4}{8}$    

Теперь рассмотрим пример сложения двух смешанных чисел. где наша результирующая дробь не является правильной дробью.

Например, предположим, что в одной корзине $2\frac{4}{5}$ фунтов яблок, а в другой — $3\frac{3}{5}$ фунтов. Сколько всего яблок в обеих корзинах?

Здесь, чтобы найти количество яблок в обеих корзинах, мы складываем смешанные числа $2\frac{4}{5}$ и  $3\frac{3}{5}$. Знаменатели обеих дробных частей одинаковы. Итак, чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, мы складываем целые части вместе и дробные части вместе, а затем объединяем сумму двух, как показано ниже:

Сложить целую часть с целой частью и дробную часть с дробной частью.

Если сумма дробных частей является неправильным числом, преобразуйте его в другое смешанное число.

Объединить сумму целых и дробей.

Следовательно, имеется $6\frac{2}{5}$ фунтов яблок.

Математически это сложение будет выглядеть так:

$2\frac{4}{5} +3\frac{3}{5} = 2 + 3 + \frac{4}{5} + \frac{3 {5}$

$= 5 + \frac{7}{5}$

$= 5 + 1\frac{2}{5}$

$= 6\frac{2}{5}$

Связанные рабочие листы

Сложение смешанных чисел с разными знаменателями

Теперь давайте посмотрим на пример, чтобы понять сложение смешанных чисел с разными знаменателями.

Предположим, что у Сьюзен есть $1\frac{4}{7}$ унций апельсинового сока, а у Кита  $2\frac{2}{5}$ унций апельсинового сока. Сколько апельсинового сока у них всего?

Здесь мы найдем ответ, сложив смешанные числа $1\frac{4}{7}$ и  $\frac2{2}{5}$. Здесь знаменатели обеих дробных частей разные.

Чтобы сложить смешанные числа с разными знаменателями, лучше всего преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби, а затем сложить их точно так же, как мы складываем две разные дроби.

Шаг 1: Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.

и

Шаг 2. Сложите неправильные дроби.

Здесь нужно сложить разные дроби $\frac{11}{7}$ и $\frac{12}{5}$

Кратные 7: 14, 21, 28, 35 , 42

Кратность 5: 5, 10, 15, 20, 25, 20, 35 .

Таким образом, НОК равно 35.

Теперь мы преобразуем дроби в эквивалентные дроби со знаменателем в виде НОК.

$\frac{11}{7} = \frac{11}{7}  × \frac{5}{5} = \frac{55}{35}$

$\frac{12}{5} = \frac{12}{5}  × \frac{7}{7} = \frac{84}{35}$

Итак,

$\frac{11}{7} + {12}{5} = \frac{55}{35} + 8435 = 55 + 8435 = 13935

Шаг 3: Преобразуйте окончательный результат в неправильную дробь.

$\frac{139}{35}=3\frac{34}{35}$

Решенные примеры

Пример 1. Дэвид съел 3 ½ куска пиццы, а Джей съел 5 ⅔ кусочков пиццы. Сколько кусков пиццы они съели всего?

Решение : Проблема сводится к сложению смешанных чисел. Мы добавим 3 ½ + 5 ⅔.

Пример 2: Рон прошел $3\frac{2}{7}$ миль во время лесной прогулки, в то время как его друг прошел $2\frac{4}{7}$ миль. Какое расстояние они оба преодолели за время пути?

Решение : Мы найдем ответ, сложив смешанные числа, $3\frac{2}{7}$ и   $2\frac{4}{7}$.

Здесь целые числа равны 2 и 3. Давайте сначала сложим их.

$2 + 3 = 5$

А теперь добавим дробные части.

Дробные части: $\frac{2}{7}$ и $\frac{4}{7}$.

$\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7}$

Итак, мы получаем $3\frac {2}{7} +  2\frac{4}{7}=5\frac{6}{7}$

Итак, Рон и его друг преодолели за поездку $5\frac{6}{7}$ миль.

Практические задачи

1

Найдите сумму двух смешанных дробей $4\frac{2}{6}$ и $5\frac{1}{6}$.

$6\frac{2}{6}$

$9\frac{1}{6}$

$4\frac{2}{6}$

$9\frac{3}{6}$

Правильный ответ: $9\frac{3}{6}$
$4\frac{2}{6} +5\frac{1}{6} = 4 + 5 + \frac{2}{6} + \frac {1}{6}$
$= 9 + \frac{3}{6}$
$= 9\frac{3}{6}$

2

Сэм пробежал $3\frac{1}{5}$ миль во время марафона, а его друг пробежал $2\frac{1}{5}$ миль. Какое расстояние они преодолели в общей сложности?

$5\frac{2}{5}$

$5\frac{1}{5}$

$2\frac{2}{5}$

$1\frac{1}{25}$

Правильный ответ: $5\frac{2}{5}$
Мы найдем ответ, сложив смешанные числа, $3\frac{1}{5}$ и $2\frac{1}{5}$.
$3\frac{1}{5} +2\frac{1}{5} = 3 + 2 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$
$= 5 + \frac {2}{5}$
$= 5\frac{2}{5}$

3

Найдите сумму $5\frac{2}{5}$ и $6\frac{4}{5}$.

$5\frac{2}{3}$

$12\frac{1}{5}$

$13\frac{1}{5}$

$12\frac{1}{7}$

Правильный ответ: $12\frac{1}{5}$
$5\frac{2}{5} +6\frac{4}{5} = 5 + 6 + \frac{2}{5} + \frac {4}{5} = 11 + \frac{6}{5} = 11 + 1\frac{1}{5} = 12\frac{1}{5}$

Часто задаваемые вопросы

Сколько частей имеет смешанное число?

Смешанное число состоит из 2 частей. У него есть целое число и правильная дробь.

Может ли правильная дробь быть больше 1 по значению?

Нет, правильная дробь всегда будет меньше 1 по значению.

Изменяется ли знаменатель при сложении двух смешанных чисел с одинаковым знаменателем?

Нет, знаменатель остается прежним при сложении двух смешанных чисел с одинаковым знаменателем.

Сложение и вычитание смешанных дробей

Смешанная дробь представляет собой
целое число и дробь вместе:

1 3 4
(одна и три четверти)

Чтобы их было проще складывать и вычитать, сначала преобразуйте их в неправильные дроби:

Неправильная дробь имеет
старшее число больше или равное
нижний номер:

7 4
(семь четвертей или семь четвертей)

Видите ли вы, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?

Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что и «семь четвертей».