Сложение дробей с целой частью с разными знаменателями: Сложение смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Содержание

Калькулятор для сложения дробей онлайн

Рассмотрим разные варианты:

а) сложение с одинаковыми знаменателями.
При выполнении действия сложения дробей, имеющих одинаковые знаменатели, нужно сложить числители исходных дробей, при этом знаменатель оставить прежний, равный знаменателю обеих дробей:

а — величина числителя 1-й дроби;
b — величина второго числителя;
с — знаменатель дробей.

б) сложение с разными знаменателями.
Чтобы выполнить действие сложения дробей с разными знаменателями, следует:
1. привести дроби к одному общему знаменателю, рассчитав наименьшее общее кратное;
2. сложить дроби, как в случае с дробями с одинаковые знаменатели, т. е числители дробей складываются, а знаменатель — без изменений.
3. если у вновь полученной дроби имеются общие множители, ее надо сократить. В противном случае пример считается неоконченным;
4. неправильную дробь следует преобразовать в смешанную.

в) дроби и целого числа.
Для сложения дроби и целого числа необходимо:

1. целое число преобразовать в дробь со знаменателем которой будет 1;
2. приводим к общему знаменателю;
3. складываем дроби;
4. вновь полученную дробь, если возможно, сокращаем;
5. если в результате сложения имеем неправильную дробь, выделяем целую часть.

г) сложение смешанных дробей.
Чтобы выполнить это действие, необходимо:
1. отдельно произвести сложение целых частей;
2. отдельно — дробных частей, приведя их в случае необходимости к НОК;
3. если в дробной части вышла неправильная дробь, требуется выделить из нее целую часть и сложить с полученной целой частью.

Сложение смешанных дробей можно выразить формулой:

А, В — целые части дробей;
а, b — числители дробных частей;
с — знаменатель дроби.

С помощью онлайн калькулятора можно легко и быстро осуществить все необходимые расчеты.

Калькулятор для сложения дробей онлайн

Конспект урока «сложение и вычитание смешанных чисел». Вычитание смешанных дробей

Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.

Что это такое?

Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

Сложение минут – 1+3=4.
Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Правила сложения

Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:

Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
Теперь сложить целые части.
Далее сложить дробные.
Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.

К целой части прибавляют дробную.

Для пояснения следует привести несколько примеров:

Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.

Правила вычитания

Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:

Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.

Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.

Для пояснения следует привести следующие примеры:

Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.

В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.

>>Математика: Сложение и вычитание смешанных чисел-6 класс

12. Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют свести сложение сметанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Пример 1. Найдем значение суммы
Решение. Приведем дробные части чисел к наименьшему общему 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части:

Пример 2. Найдем значение суммы .
Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, после отдельно складываем целые и дробные части:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы .

Пример 3. Найдем значение разности .

Решение. Приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной части:

Пишут короче:

Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого.

Пример 4. Найдем значение разности

Решение. Приведем дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18:

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так:

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

? Расскажите, как сложить смешанные

числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел. Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел.

К 363. Выполните сложение:

364. Выполните вычитание:

365. Найдите значение выражения:

366. Выполните действие:

368. Найдите по формуле :

369. Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа?

370. Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая — за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть канавы осталось выкопать?

371. От ленты длиной 8 м отрезали кусок длиной м. Найдите длину оставшейся части.

372. Одна шахматная партия длилась ч, а другая ч. Сколько времени длилась третья партия, если на все три партии было затрачено 3 ч?

373. Когда от веревки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела длину 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если бы от веревки отрезали на м меньше? на м больше?

374. Запишите все числа, знаменатель дробной части которых равен 12, большие и меньшие .

375. На координатном луче отмечена точка (рис. 17). Отметьте на луче точки, координаты которых равны:

376. Найдите периметр треугольника ABC, если АВ= м, .

377. На одной машине т груза, а на другой на т меньше. Сколько тонн груза на двух машинах?

378. В одном ящике кг винограда, что на кг меньше, чем в другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках?

379. На окраску окон израсходовали кг краски. На окраску дверей пошло на кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски, если на окраску пола пошло кг?

380. Три колхозных звена вырастили горох на площади га. Первое и второе звенья вырастили горох на площади га, а второе и третье — на площади га. Найдите площадь каждого участка.

381. На сахарный завод в понедельник привезли т свеклы, во вторник — на 2 т больше, чем в понедельник, а в среду — на т меньше, чем во вторник и понедельник вместе. Из 7 т свеклы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из привезенной свеклы?

382. В трех бидонах 10 л молока. В первом и втором бидоне было л, а во втором и третьем л молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне?

383. Теплоход по течению реки проходит км за 1 ч. Скорость течения км/ч. Найдите скорость теплохода против течения.

384 Скорость катера по течению реки км/ч, а против течения км/ч. Какова скорость течения?

385. Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час расстояние между ними уменьшалось на км. Найдите скорость Феди, если скорость Васи

386. Первый велосипедист догонял второго, причем расстояние между ними уменьшалось каждый час на км. С какой скоростью ехал первый велосипедист, если второй ехал со скоростью y км/ч?

П 388. Вычислите устно:

389. Найдите пропущеные числа:

390.Найдите натуральные значения m , при которых верно неравенство:

391. На сколько процентов увеличится объем куба, если длину каждого его ребра увеличить на 20%?

392. Почтовый самолет поднялся с аэродрома в 10 ч 40 мин утра, пробыл в полете 5 ч 15 мин, а на земле во время посадок 1 ч 37 мин. Когда самолет вернулся на аэродром?

М 393. Четырехугольник с равными сторонами называют ВИЗ ромбом (рис. 18). Подумайте, является ли ромб правильным многоугольником. В чем сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0

394. Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел .

395. Выполните действие:

396. В киоск для продажи поступили марки по 3 к., по 5 к. и по 10 к. Число марок каждого вида было одинаково. Какова стоимость всех марок по 5 к., если: а) общая стоимость всех марок 21 р. 60 к., б) стоимость всех марок по 10 к. больше стоимости всех марок по 3 к. на 6 р. 30 к.?

397. Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и результат округлите до тысячных:

3,281 0,57 + 4,356 0,278 -13,758:6,83.

398. Решите задачу:

1) Для борьбы с вредителями садов приготовляется известково-серный отвар, состоящий из 6 частей серы, 3 частей негашеной извести и 50 частей воды (по массе). Сколько получится килограммов отвара, если воды взять на 8,8 кг больше, чем серы?

2) Для приготовления фарфора на 1 часть гипса берут 2 части песку и 25 частей глины (по массе). Сколько получится килограммов фарфора, если взять глины на 6,9 кг больше, чем песку?

399. Выполните действия:

1) 7225:85 + 64 2345-248 838:619;
2) 54 3465-9025:95 + 360 272:712.

Д 400. Выполните действие:

а
401. Найдите значение разности:

402. Решите уравнение:

404. Один тракторист вспахал поля, а другой того же поля. Какую часть поля осталось вспахать?

406. Бочки горючего хватает для работы одного двигателя на 7 ч, а другого на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки после 2 ч работы первого двигателя и 3 ч работы второго двигателя?

406. Для экспедиции, работающей в тайге, сбросили с вертолета упаковку с продуктами, которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она пролетела м, а в каждую следующую секунду она пролетела на м больше, чем в предыдущую?

407. Сколько времени пошло на изготовление детали, если ее обрабатывали на токарном станке ч, на фрезерном станке ч и на сверлильном станке ч?

408. Найдите значение выражения:

409. Из двух сел одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1,5 ч. Расстояние между селами 12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч. Найдите скорость другого пешехода.

410. Для приготовления варенья из вишни на 3 части сахара берут 2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара и сколько килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если при варке его уменьшится в 1,5 раза?

411. Найдите значение выражения:

а) (44,96 + 28,84: (13,7 -10,9)): 1,8;

б) 102,816:(3,2 6,3)+ 3,84.

412. Решите уравнение:

а) (х-4,7) 7,3 = 38,69; в) 23,5-(2,За+ 1,2а) = 19,3;
б) (3,6-а) 5,8 = 14,5; г) 12,98-(3,8х- 1,3х) = 11,23.

А Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел.

Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфен и другие.

Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник. Но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Например, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284. И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.

Почти 250 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Например: 21 = 3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11 и т. п.

Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя замечательный советский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983). Но утверждение «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28=11 + 17, 56 = 19+37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано.

Цели урока:

Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
Совершенствование навыков арифметических операций складывание и вычитание смешанных чисел;
Развивать смекалку, мышление, речь, память.
Воспитывать познавательный интерес к предмету, любовь к поисковым решениям.

Задачи урока:

Образовательные
– обобщение и систематизация знаний; развитие быстроты мышления; развивать умение анализировать; развивать вычислительные навыки. Развивающие
–развивать у учащихся познавательные процессы, творческую активность; приобретение опыта исследовательской деятельности, развитие коммутативных качеств. Воспитательные
– формирование навыков самоорганизации и самостоятельности; уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока:, частично поисковый с элементами дидактической игры.

Межпредметные связи: биология.

Оборудование урока:

плакат;
раздаточный материал: карточки с заданием;
презентация по теме урока.

Применение здоровьесберегающих технологий на уроке:

смена видов деятельности;
развитие слухового и зрительного анализаторов у каждого ребёнка.

План урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь.

Презентация . Слайд 1. Тема урока: “Сложение и вычитание смешанных чисел”.

Цели урока:

Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
Совершенствование навыков арифметических действий складывание и вычитание смешанных чисел, подготовка к контрольной работе.

II. Актуализация опорных знаний.

На доске плакат с словами Лауэ.

Наш урок пройдёт под девизом французского инженера – физика Лауэ: “Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто”.

Вот сейчас вы и покажете свои знания на сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, а также сложение и вычитание смешанных чисел.

1) Вспомните знаменитую басню И.Крылова “Стрекоза и муравей”.

Попрыгунья стрекоза, лето красное пропела
Оглянуться не успела, как зима катит в глаза.

Задача. Попрыгунья Стрекоза половину красного лета спала, третью часть времени – танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Какую часть лета Стрекоза готовилась к зиме?

Ответ: летом к зиме Стрекоза совсем не готовилась.

А сейчас, вспомним сокращение дробей:

Выпишите из данных дробей те, которые можно сократить, и выполните сокращение:

Вспомните какие дроби называются правильные и какие неправильные?

– Правильные дроби, те у которых числитель меньше знаменателя.
– Неправильные дроби, те у которых числитель больше либо равен знаменателю.

(Карточки: читаете дробь и называете – правильная или неправильная дробь.)

Как выделить целую часть из неправильной дроби?

– Числитель надо разделить на знаменатель.

(Устно карточки: выделить целую часть из неправильной дроби.)

III. Систематизация знаний. Карточки. Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей. Слева примеры, справа записаны ответы. Решив пример стрелкой соотнеси с ответом.

Слайды 2–7. Это удивительное дерево относится к числу деревьев – гигантов. Оно растёт в Индии и Малайзии.

Самое необычное в нём то, как растут его ветви. Многочисленные и тяжёлые, они разбегаются во всех направлениях от ствола, хотя и могучего, но, тем не менее, не способного выдержать их все самостоятельно.

Весь фокус в том, что ветви сами снимают с него часть нагрузки: на каждой из них имеются толстые отростки, отвесно свисающие до самой земли и представляющие собой не что иное, как воздушные корни дерева.

Закрепившись в земле, они не только обеспечивают ветвям дополнительную поддержку, но и поставляют в них питательные вещества и воду. Постепенно они превращаются в новые стволы и вокруг главного ствола образуются кольцеобразные “галереи”, диаметр которых иногда достигает 450 м.

Решив задачи, а также вычислив значения выражений, заменим числа соответствующими буквами и вы узнаете название этого дерева.

Решите задачу:

Вычислите значения выражения:

Ответ: БАНЬЯН.

Итог урока : Мы готовились к контрольной работе. Для этого мы с вами и повторили сложение и вычитание дробей, а также смешанных чисел. Не забывайте сокращать дроби, которые получились в результате сложения и вычитания, и не забывайте выделять целую часть.

Дом. задание: § 2,п.12 № 392.

При наличии времени выполнить дополнительные задания.

Дополнительное задание:

Решите уравнение:

Карточки:

Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей.

_________________________________________

Решите задачу:

Вычислите значения выражения:

Самоанализ урока математики в 6 “а” классе.

Тема урока: Сложение и вычитание смешанных чисел.

Тип урока: урок обобщения и систематизация знаний.

Форма урока: частично поисковый с элементами дидактической игры.

1) Это урок повторение и закрепление основного программного материала, но только выраженного в решение стандартных примеров и нестандартных задач. На данном уроке мы повторяли арифметические действия (сложения, вычитание) над обыкновенными дробями и над смешанными числами. Данные темы изучаются в курсе математики 6 класса. При изучении математики много времени приходится тратить на отработку различных навыков. В этот период ученики теряют интерес к предмету. Чтобы поддержать этот интерес, я использую различные приёмы активизации учащихся на уроке. Одним из таких приёмов является дидактическая игра. Она позволяет сделать процесс обучения увлекательным, создать высокую активность на уроке. На следующем уроке будет контрольная работа. Считаю, что данный урок “дал” позитивные эмоции у ребят, отработали арифметические действия над смешанными числами и настроились на контрольную работу.

2) В классе по списку – 19 учащихся, на уроке присутствовало – 16 учащихся. Слабоуспевающих – 4, сильных – 1.

3) Образовательные – обобщение и систематизация знаний; развитие быстроты мышления; введением игровой ситуации снять нервно – психическое напряжение; развивать умение анализировать; развивать вычислительные навыки.
Развивающие – развивать у учащихся познавательные процессы, творческую активность; приобретение опыта исследовательской деятельности, развитие коммутативных качеств.
Воспитательные – формирование навыков самоорганизации и самостоятельности; уважительного отношения друг к другу.
В играх ненавязчиво активизируется внимание ребят, прививается интерес к предмету, развивается творческая фантазия.

4) Одним из удачных этапов урока считаю решение задач и примеров, где надо было составить слово БАНЬЯН. Учащиеся, как бы занимаются математикой и в то же время расширяют свой кругозор.

5) Урок был насыщен. Урок очень логично построен.

6) На урок были изготовлены мною, как учителем много раздаточного материала, который я напечатала на компьютере.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Учитель математики Кузнецова Марина Николаевна Сложение и вычитание смешанных чисел

Домашнее задание

Астрид Линдгрен

Устный счет 1 0

На какие группы мы можем разделить данные дроби?

На какие группы мы можем разделить данные дроби? Правильные дроби Неправильные дроби

Найдите лишний пример:

Сложение и вычитание смешанных чисел. Цель урока: Научится выполнять сложение и вычитание смешанных чисел.

Справка 1. К целой части прибавить целую часть. К полученной целой части прибавить дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным. 2. К целой части прибавить целую часть. К дробной части прибавить дробную часть К полученной целой части прибавить полученную дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанных чисел. 3. Из целой части вычесть целую часть. Из дробной части вычесть дробную часть К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания смешанных чисел. 4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби. Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого. Вычитаем отдельно целые части и дробные части. К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

Чтобы сложить два смешанных числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части, сложить полученные результаты. Чтобы вычесть из смешанного числа смешанное число, нужно отдельно вычесть их целые и дробные части, сложить полученные результаты.

= (3 + 2) + () = 5 + = 5 – = (5 – 3) + ()= 2 + = 2

Физкультминутка Потрудились — отдохнём, Встанем, глубоко вздохнём. Руки в стороны, вперёд, Влево, вправо поворот. Три наклона, прямо встать. Руки вниз и вверх поднять. Руки плавно опустили, Всем улыбки подарили.

4 – В 7 – О 3 – У 4 – Е 5 – Х 4 – П 5 – С У С П Е В Х О

Решение задач Стр. 175, № 1115 Стр. 175, № 1116

Что такое смешанное число? Чему вы сегодня научились? Как сложить смешанные числа? Как вычесть смешанные числа?

Домашнее задание: П. 29 (учить правила) Стр. 178, № 1136, 1137

Спасибо за урок!

Предварительный просмотр:

Учитель математики Кузнецова М.Н.

Урок в 5 классе по теме:

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Цели:

Учебные:

Познакомить учащихся с алгоритмами сложения и вычитания смешанных чисел путем включения учащихся в практическую деятельность.
Продолжить работу по развитию вычислительных навыков.

Развивающие:

Развитие умения решать задачи изученных видов.
Создание условий для формирования мыслительных операций.

Воспитательная:

Воспитывать чувство товарищества и взаимовыручки.

Ход урока

I. Организационный момент.

Посмотрите, все ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

II. Проверка домашнего задания.

Дата, классная работа.

Дома вы выполнили задание. Вы разгадали ребус. (Слайд 1)И какой же ответ? (Астрид Линдгрен) (Слайд 2)

Д/з.

1. Выделить целую часть и расположить в порядке возрастания.

18 -И 7 -А 14 -Р 11 -Т 9 -С 21 -Д

5 5 5 5 5 5

1 2/5 1 4/5 2 1/5 2 4/5 3 3/5 4 1/5

А С Т Р И Д

2. Запиши в виде неправильной дроби и расшифруй.

41/2-Д 2 3/7-Н 4 9/10-Р 32/5-И 14/6-Г 2 2/8-Е 3 ¾ -Л 5 1/6-Н

А кто такая Астрид Линдгрен? Какую сказку написала эта шведская писательница? («Малыш и Карлсон») (Слайд 3)

Но к сожалению Карлсон улетел, но оставил письмо.

Письмо: Ребята, я полетел искать старательных, внимательных, трудолюбивых, дружных, умеющих придти на помощь ребят. Найду – вернусь.)

Ребята, давайте быстрее встретимся с другом, для этого выполним математические задания. Если мы их выполним правильно, то у нас к возвращению Карлсона — сладкоежки получится большой общий торт. И у каждого – свой маленький.

Первое задание.

III. Устный счет

1. Решение цепочек (стр. 175, № 1111).

2/5 + 1/5 + 2/5 – 3/7 – 1/7 = 3/7

5/17 + 7/17 – 12/17 + 7/9 – 4/9 = 3/9

2. На какие группы мы можем разделить данные дроби: (правильные и неправильные дроби) (Слайд 6)

9 5 8 10 24 15 7 12

8 12 11 6 13 16 7 25

Какие дроби называются правильными?

Какие дроби называются неправильными?

Как по-другому представить неправильные дроби?

Из чего состоит смешанное число?

(Кусок торта.)

IV. Актуализация знаний.

Найдите лишний пример:

2/8 + 3/8 14/12 – 7/12 7/9 + 1/9 3 1/7 + 2 3/7 18/27 -5/27

Попробуйте сформулировать тему урока (Сложение смешанных чисел) (Слайд8)

Сегодня на уроке мы научимся выполнять сложение и вычитание смешанных чисел, для достижения этой цели сформулируем правила.

V. Исследование

Учащиеся работают в группах, выполняя задания различной сложности. Все учащиеся делятся на 4 группы. На парту каждой группы раздается задание и справочный материал. Для решения задания нужно выбрать соответственное правило.

Задание 1 . Выполнение сложения 2 ½ + 3

Задание 2. Выполнение сложения 2 1/4 + 1 2/4

Задание 3 . Выполнение вычитания 3 5/6 – 3/6

Задание 4. Выполнение вычитания 5 1/4 — 3 2/4

Справка

К полученной целой части прибавить дробную часть.
Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным.

К целой части прибавить целую часть.
К дробной части прибавить дробную часть
К полученной целой части прибавить полученную дробную часть.
Сформулировать правило сложения смешанных чисел.

Из целой части вычесть целую часть.
Из дробной части вычесть дробную часть
К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть.
Сформулировать правило вычитания смешанных чисел.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби.
Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого.
Вычитаем отдельно целые части и дробные части.
К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть.
Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

VI. Обмен информацией .

Вы рассмотрели правила сложения и вычитания смешанных чисел. Что общего у них? (Действия выполняются сначала с целыми числами, затем с дробными частями.)

Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. (Слайд 9)

Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. (Слайд 10)

Стр. 174 учебника, правило

(Кусок торта.)

VII. Применение

— Вернемся к примеру:

3 1/7 + 2 3/7= (3+2)+(1/7+3/7)=5+4/7=54/7

Как убедиться, что сложение выполнено правильно? (Вычитанием). Сделать проверку.

54/7-31/7=(5-3)+(4/7-1/7)= 2+3/7= 23/7

(Кусок торта.)

VIII. Физкультминутка (Слайд)

Потрудились — отдохнём,

Встанем, глубоко вздохнём.

Руки в стороны, вперёд,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

IX. Закрепление изученного материала

1. Карлсон прислал телеграмму, но все слова перепутались. Давайте решим примеры и соотнесем их с ответами. (Слайд 11)

3 7/13 – 4/13= 4 – В

5 2/5+1/5= 7 4/6 – О

10 2/3-6= 3 3/13 – У

2 2/7+2 4/7= 4 6/7 – Е

8 5/9-3= 5 5/9 – Х

3/6+7 1/6 = 4 2/3 – П

7 4/5-3 4/5= 5 3/5 – С

(Кусок торта.)

«Охота за пятерками»

2. Работа над задачами.

а) Стр. 175, №1115.

Прочитайте задачу.
Сколько конфет в одной коробке?
Сколько конфет в другой коробке?
Как ответить на вопрос задачи?
Решите задачу. Прочитайте ответ. (В двух коробках 4 4/8 кг конфет.)

б) Стр. 175, № 1116.

Чему равна длина красной ленты?
Что сказано про длину белой?
Что значит на 2 1/5 м короче?
Как будете решать эту задачу?

Решите. Прочитайте ответ. (Длина белой ленты 1 2/5 метра.)

(Кусок торта.)

Вы – замечательные ученики: старательные, внимательные, дружные, помогаете друг другу.

(прилетел Карлсон) Карлсон увидел, что вы такие ребята, каких он искал, и вернулся. Мы дарим ему торт.

X. Итог урока (вопросы Карлосона).

Что такое смешанное число?
Чему вы сегодня научились? (Складывать и вычитать смешанные числа.)
Как сложить смешанные числа?
Как вычесть смешанные числа?

Это вам поможет справиться с домашним заданием.

XI. Домашнее задание: Стр. 178, № 1136,1137

XII. Рефлексия.

Соберите заработанные кусочки в тортик. (3-5 частей – «5»)

Учитель оценивает работу учащихся. (Мордашка). (Слайд 13)

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей $5\frac{3}{7}$ и $1\frac{1}{7}$.

$5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}$

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

$4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}$

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей $6\frac{1}{4}$ и $3\frac{3}{4}$.

У уменьшаемого $6\frac{1}{4}$ дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого $3\frac{3}{4}$. То есть \(\frac{1}{4}

$\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}$

Следующий пример:

$7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}$

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: $3-1\frac{2}{5}$

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как $3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}$

$3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}$

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями $2\frac{2}{3}$ и $1\frac{1}{4}$.

Общим знаменателем будет число 12.

$2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}$

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

$4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}$,

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

$4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}$

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) $1-\frac{8}{33}$ б) $1-\frac{6}{7}$

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим $1 = \frac{33}{33}$

$1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}$

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим $1 = \frac{7}{7}$

$1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}$

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) $21-10\frac{4}{5}$ б) $2-1\frac{1}{3}$

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так $21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}$

$21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\$

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так $2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}$

$2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\$

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) $15\frac{6}{17}-4$ б) $23\frac{1}{2}-12$

а) $15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}$

б) $23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}$

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) $1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}$

$1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\$

Пример №5:
Вычислите $5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}$

$\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}$

Сложение и вычитание смешанных чисел 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

49. Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению целых частей и сложению их дробных частей.

Напомним, что запись 216 является сокращенным вариантом записи 2+16.

Также напомним правила выделения целой части изнеправильной дроби:

136=2∙6+16=216179=9+89=189.

Чтобы сложить смешанные числа, например 216 и 189, нужно:

Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.

216+189=2318+11618.
Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и сложить эту дробь с полученной целой части.

2318+11618=2+1+318+1618=3+1918=3+1+118=4118.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то нужно эту дробь превратить в неправильную дробь, для этого нужно уменьшить на единицу целую часть.
Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

216-189=2318-11618=12118-11618=1-1+2118-1618=518.

Пример 1. Найдем значение суммы 1638+1914.

Приведем дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем запишем смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей.

1638+1928=16+38+19+28=16+19+38+28=35+58=3558.

Пример 2. Найдем значение суммы 556+334.

Сначала приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно складываем целые части и дробные части.

51012+3912=5+3+1012+912=8+1912=8+1712=9712.

Пример 3. Найдем значение разности 579-216.

Приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и запишем данные числа в виде суммы целой и дробной частей.

51418-2318=5+1418-2+318=5-2+1418-318=3+1118=31118.

Если при вычитании дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить дробь в неправильную, уменьшив на единицу целую часть.

Пример 4. Найдем значение разности 349-156.

Приведем дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18.

3818-11518=2+1818-11518=2+2618-1+1518=2-1+2618-1518=1+1118=11118.

Вычитание смешанных дробей — презентация онлайн

1. Вычитание смешанных дробей

Урок 117

2. Представьте единицу в виде дроби со знаменателем:

•2
• 5
• 7
• 10
1=
2
2
5
5
1=
7
7
1=
10
10
1=
• 17
• 28
• 36
• 73
1=
17
17
1=
28
28
1=
36
36
1=
73
73
Зачем нам нужно уметь представлять единицу в виде
дробей с разными знаменателями?
1. Вычитание дроби из единицы
(представляем единицу в виде дроби с нужным знаменателем):
3
4
1― =
4
4
3
4
― =
1
4
2. Вычитание дроби из целого числа (отделяем единицу от целого):
3
4
3
4
5 ― = (4 + 1) ― = 4 + (1 ―
Этот приём называется – занять
единицу в целой части
3
)
4
= 4+
1
4
= 4
1
4
3. Вычитание смешанной дроби из целого числа (нужно вычесть
целую часть и дробную часть):
3
4
5―2 = 5―2―
3
4
= 3―
3
4
= 2
1
4
4. Вычитание смешанной дроби из смешанной дроби, когда дробная часть
уменьшаемого больше дробной части вычитаемого
(вычесть из целой части целую часть, из дробной части дробную часть):
3
4
1
4
5 ― 2 = (5 ― 2) + (
3
1
― )
4
4
= 3+
2
4
2
4
= 3 =3
1
2
5. Вычитание смешанной дроби из смешанной дроби, когда
дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого
(заняв единицу у целой части, превратить дробную часть уменьшаемого в
неправильную дробь):
1
4
3
4
1
4
3
4
1
4
3
4
5 ― 2 = (4 + 1) + ― 2 = 4 + ( 1 + ) ― 2 =
=4+
5
4
3
4
―2 = 4―2+
5
4
―
3
4
= 2+
2
4
2
4
= 2 = 2
1
2
6. А если знаменатели у дробных частей разные?
— Нужно привести дробные части к общему знаменателю, а
затем вычитать по одному из предыдущих правил.

6. Правило вычитания смешанных дробей:

• Если дробные части с разными знаменателями – привести дроби
к наименьшему общему знаменателю
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
вычитаемого – уменьшить на единицу целую часть уменьшаемого
и записать дробную часть в виде неправильной дроби
• Вычесть отдельно целые и дробные части.

7. Найдите разность:

8. Решите:

582 (а, в, д)
583 ( б, г, д)
584 (в, д)
• задачи 585 (а)
591

9. Домашнее задание:

• 1) стр. 160-161 – читать полностью, пример 4 разобрать;
• 2) № 582 (б, г, е), 583 (а, в), 584 (а, б, г), 585 (б), 591*;
• 3) решить примеры на листочке (в 1 и 2 заданиях буквы в,
г, д; задания 3 и 4 полностью), по желанию можно решить
всё
• 4) в понедельник будет большой тест по теме
«Смешанные дроби». Нужно знать – как представить
смешанную дробь в виде неправильной, неправильную в
виде смешанной, уметь складывать и вычитать
смешанные дроби.

Умножение и деление смешанных дробей. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

разделить числитель на имеющийся знаменатель;
в конкретном примере неполное частное — целое;
и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
полученное произведение прибавляется к числителю;
результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
найти произведение числителей;
найти произведение знаменателей;
записать получившийся результат;
максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
найти произведение, несмотря на запятую;
в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

19. Как сложить ( вычесть ) 2 дроби с разными знаменателями. 20. Расскажите , как…

19. Чтобы сложить (вычесть) 2 дроби с разными знаменателями,надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями, то есть:сложить (вычесть) их числители,а знаменатели оставить без изменения.

20. Чтобы сложить два смешанных числа, надо по отдельности сложить их целые и дробные части.

Чтобы найти разность двух смешанных чисел,надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

21. Чтобы умножить дробь на натуральное число,надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби.

22. Чтобы найти произведение смешанных чисел, надо смешанные числа преобразовать в неправильные дроби (целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель данной дроби), а затем воспользоваться правилом умножения дробей(то есть, числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель).

23. Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

24. Чтобы найти несколько процентов числа, надо проценты выразить дробью,а затем найти дробь от данного числа (то есть умножить число на дробь)

25. Чтобы умножить смешанное число на натуральное, надо смешанное число представить в виде неправильной дроби, а затем натуральное число умножить на числитель полученной неправильной дроби.

26. Взаимно обратные числа-это те числа, произведение которых равно 1.

27. Если n — натуральное число, то обратным ему является число 1/n.

Чтобы записать обратное число смешанному, надо представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем перевернуть дробь, то есть числитель и знаменатель поменять местами.

28. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо деление заменить умножением, и ту дробь,на которую делим-перевернуть.

29. Чтобы выполнить деление смешанных чисел, надо их представить в виде неправильной дроби, а затем применить правило деление дробей(то есть делимое умножить на число обратное делителю).

30. Чтобы найти число по заданному значению его дроби, надо данное значение разделить на эту дробь.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сегодня на уроке мы научимся складывать и вычитать смешанные числа.

Напомним, сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака «+». Такую сумму называют смешанным числом. То есть «смешали» натуральное число и правильную дробь, и назвали эту запись смешанным числом.

Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа.

То есть запись является сокращённым вариантом записи .

Складывать смешанные числа помогают свойства сложения: переместительное и сочетательное.

Пример

Найдём сумму чисел и .

При выполнении записи в тетрадях, не нужно записывать смешанное число как сумму натурального числа и дроби, затем подробно расписывать, как вы складываете целые и дробные части смешанных чисел.

Пример

Найдём сумму смешанных чисел и .

Таким образом, если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяют целую часть этой дроби и добавляют к уже имеющейся целой части.

Пример

Теперь найдём сумму чисел и .

Задача

На столе лежало пиццы. Если принести ещё пиццы. Сколько пицц окажется на столе?

Чтобы решить задачу, надо сложить числа и .

Чтобы найти разность смешанных чисел, нужно найти отдельно разность целых частей и отдельно разность дробных частей.

Пример

Вычтем из дроби дробь .

Есть в вычитании «коварные» примеры.

Пример

Запомните! Не начинайте выполнять вычитание, пока не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби.

А вот если вычесть нельзя, «занимаем» у целой части уменьшаемого одну целую единицу.

Иногда в примерах нужно вычесть из натурального числа смешанную дробь.

Пример

Найдём значение выражения .

Итоги

Чтобы сложить смешанные числа, надо: привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Сложение и вычитание дробей с отрицательными числами

Как только вы научились складывать и вычитать положительные дроби , вы можете расширить метод, включив в него отрицательные дроби.

Обратите внимание, что:

− 2 3 такой же как − 2 3 а также 2 − 3

− 2 − 3 упрощает до 2 3

Когда вы добавляете или вычитаете отрицательную дробь, вы обычно хотите учитывать числитель как отрицательный.Метод точно такой же, за исключением того, что теперь вам может понадобиться добавить отрицательные или положительные числители.

Пример 1:

Найдите сумму.

9 5 + ( − 4 3 )

LCM 5 а также 3 является 15 .

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

9 5 знак равно 9 × 3 5 × 3 знак равно 27 15 − 4 3 знак равно − 4 × 5 3 × 5 знак равно − 20 15

Так,

9 5 + ( − 4 3 ) знак равно 27 15 + ( − 20 15 )

Так как знаменатели одинаковые, складываем числители.

знак равно 27 + ( − 20 ) 15 знак равно 7 15

Пример 2:

Найдите разницу.

− 7 10 − 2 15

LCM 10 а также 15 является 30 .

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

− 7 10 знак равно − 7 10 × 3 3 знак равно − 21 30 2 15 знак равно 2 15 × 2 2 знак равно 4 30

Так,

− 7 10 − 2 15 знак равно − 21 30 − 4 30

Так как знаменатели одинаковые, вычтите числители.

− 21 30 − 4 30 знак равно − 21 − 4 30

Упрощать. Мы получили:

− 25 30 или − 5 6

Как складывать дроби с переменными — видео и расшифровка урока

Дроби и переменные

Теперь, когда мы разобрались с основами, мы можем углубиться.Итак, как переменные могут быть с дробями? Есть два разных пути! Переменные могут быть частью фактической дроби, такой как x /3, или дроби могут быть коэффициентами для переменных. Коэффициенты — это числа, присоединяемые к переменным путем умножения. Например, в термине 5 x 5 будет коэффициентом.

Часть дроби

Допустим, мы хотим сложить 5/ x и 3/ x . Обе эти дроби имеют так называемый общий знаменатель , что означает, что термины внизу одинаковы.Поскольку обе дроби имеют размер x внизу, мы можем просто добавить 5 и 3 сверху. Таким образом, наш окончательный ответ будет 8/ x .

Однако не всегда все будет так просто. Иногда нам будут давать неодинаковые знаменатели, и нам придется найти общий знаменатель. Давайте посмотрим на сложение 1/4 x и 3/2 y , чтобы получить пример этого. Сразу видно, что знаменатели не совпадают. Таким образом, мы должны сделать их одинаковыми, как и при сложении обычных дробей без переменных.

Добавление необычных знаменателей

Наименьший общий знаменатель здесь будет 4 xy . Чтобы получить 4 xy для первой дроби, нам нужно умножить на y / y . Это даст нам y /4 xy .

Помните, на что вы умножаете знаменатель, вы должны умножать и числитель. Для второй дроби мы умножим на 2 x /2 x , чтобы получить 6 x /4 xy .

Теперь, когда у нас есть одно и то же в нижней части обеих дробей, мы можем добавить числители. Окончательный ответ будет 6 x + y / 4 xy . Числитель больше нельзя упростить, потому что два члена имеют разные переменные. Кроме того, помните, что переменные записываются в алфавитном порядке, поэтому терм и стоит последним.

Переменные могут быть в любом месте дроби. Они не просто находятся в знаменателе, и их может быть больше, чем просто x и y .Просто помните, что когда вы видите проблемы, которые выглядят иначе, чем в этом примере, вы должны сосредоточиться на поиске общего знаменателя, и все будет готово!

Дроби в качестве коэффициентов

Если вам нужно добавить переменные с дробями в качестве коэффициентов, следуйте тем же правилам. Переменная должна быть одинаковой для любых добавляемых терминов. Например, нельзя добавить 3 x и 4 z , поскольку переменные не совпадают. Но 3 x и 4 x можно добавить, чтобы получить 7 x .

Например:

В этой задаче можно сложить только первые два члена, потому что они имеют одни и те же переменные, x и y . Чтобы сложить их, мы должны получить общий знаменатель 21. Таким образом, мы должны умножить первый член на 3/3, а второй член на 7/7. Когда мы это сделаем, мы получим

6/21 + 7/21, что = (13/21) xy . Следовательно:

Итоги урока

Мы победили сложение дробей с переменными! Помните, что переменные или буквы, обозначающие неизвестные значения, могут быть частью дроби или разделяться с дробью в виде коэффициента или чисел, присоединенных к переменным путем умножения.В любом случае важно убедиться, что у нас есть общий знаменатель , то же самое число в нижней части дробей, чтобы иметь возможность их складывать. Если дроби являются коэффициентами, их можно складывать только тогда, когда переменные одинаковы.

Математика 1010 онлайн — Дроби

Кафедра математики — Колледж науки — Университет Юты

Дроби

Дробь это выражение где и находятся целые числа и .На этой странице мы рассмотрим некоторые основные факты про дроби. Мы также увидим, почему эти факты верны. Путь мы будем подходить к вопросам будет типичным для подхода к виду математики вы узнаете очень глубоко в этом классе.

Вы знакомы с этими фактами :

Число над дробной чертой — это . числитель , а число внизу знаменатель дроби.
Целое число можно считать дробью со знаменателем, равным до 1.
Умножение числителя и знаменателя дроби на тот же ненулевой множитель не меняет дробь. (в начальной В школе используется термин , эквивалентный дробям, но более зрелый взгляд состоит в том, что эквивалентные дроби обозначают одно и то же действительное число, и, следовательно, не нужно различать, кроме как для ясности и простоты.)
Дроби с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) по добавить (или вычесть) числители (с сохранением знаменателя).
Сначала обращаются дроби с различными знаменателями на дроби с одинаковыми знаменателями, умножая числители и знаменатели с подходящими множителями, а затем сложены по правилу над.
Дроби умножаются путем умножения числителей и умножение знаменателей.
обратная дроби получается путем переключения числители и знаменатели.
Деление дроби на другую эквивалентно умножение на обратную вторую дробь.

Обратите внимание, как мы объясняем сложение дробей с различными знаменатели в виде сложения дробей с одинаковыми знаменатель, а деление дробей по умножение дробей.

Они предоставляют экземпляры принцип, утверждение которого обманчиво простой, но чьи приложения и последствия имеют далеко идущие последствия:

Сведите свою проблему к той, которую вы уже решали раньше.

Что такое дробь?

Фракция, такая как просто способ обозначить результат деления 3 на 4. В общем, дробь обозначает результат деления на . (Это верно, даже если и не являются целыми числами, иллюстрацией принцип, что мы давать определения в простых контекстах, а затем обобщать их так, чтобы все соответствующие правила остаются в силе. Однако, если и не целое, то выражение называется отношением или частным.)

Деление определяется как решение умножения проблема.Таким образом, дробь

является решением уравнения В более общем случае дробь является решением уравнение .

Важно понять это основное определение, поскольку все вышеперечисленные правила могут быть выведены из него.

Но нам нужен другой принцип

Если сделать то же самое с обеими частями уравнения, будет создано другое правильное уравнение. :

Умножение числителя и знаменателя на один и тот же множитель

Решение уравнения не изменится, если умножаем слева и справа на один и тот же коэффициент, чтобы получить эквивалентное уравнение .Мы имеем как непосредственное следствие приведенное выше тождество:

Конечно, это уравнение так же легко можно читать и справа налево. как слева направо, что обеспечивает основу для отмены общие множители или , приводящие к наименьшим условиям.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Предположим, нам даны две дроби

Как мы обсуждали, эти дроби определяются уравнениями

Теперь складываем обе части первого уравнения.Это даст другое правильное уравнение. Однако слева мы не будем использовать число , а вместо выражения . Мы можем сделать это, потому что второе уравнение утверждает, что равно . Отныне мы будем просто скажем, что мы добавляем второе уравнение к первому , но основное рассуждение состоит в том, что мы добавляем одно и то же с обеих сторон первое уравнение, мы просто даем ему разные имена с двух сторон уравнения. Эта операция дает новое уравнение

Его можно переписать как По определению дробей это сводится к утверждению, что

Понятно, как это рассуждение применимо к обычным дробям с тот же знаменатель, и к вычитание (в отличие от сложение ) дробей.

Сложение дробей с разными знаменателями

При сложении двух дробей типа а также мы сначала преобразовать их в дроби с одинаковым знаменателем, применив правило номер 3 выше. Таким образом, мы должны найти общих знаменатель . На практике чем меньше знаменатель, тем легче манипулировать числами, и поэтому мы любим использовать наименьший общий знаменатель . Однако произведение двух знаменатели всегда работают, и часто, как в этом случае, наименьший общий знаменатель.Итак, в этом примере мы используем

Таким образом

Умножение дробей

Предположим, нам даны две дроби

Это означает, что и удовлетворяют уравнениям

Продолжая, как описано выше, и умножая на обе стороны от первого уравнение с , но вызывая его слева, получаем

Это можно переписать как

это другой способ сказать Конечно, мы можем упростить эту дробь, разделив числитель на знаменатель на 3:

Деление дробей

Предположим, мы хотим разделить те же дроби, что и выше.Поэтому мы просим что

Деление является обратным процессом умножения, поэтому удовлетворяет уравнение

или Ответ можно получить, умножив обе части этого уравнение с обратной величиной , т. е. с . Это становится что упрощает до

Наибольшие общие факторы и наименьшие общие Мультипликаторы

Число , кратное натурального числа, равно произведение этого числа на другое натуральное число. Для например, 12, 15, и 333333 кратны 3 .Фактор натурального число n — другое натуральное число, которое делит n без остатка. Например, (все) множители 12 равны 1, 2, 3, 4, 6, 12 . обыкновенный Множитель двух натуральных чисел m и n есть число, которое является коэффициентом m , а также n . Для например, 8 является общим делителем 32 и 48 . Другими общими факторами являются 1, 2, 4, 8, 16 .Наибольший общий делитель — это именно то, что называется предполагает, поэтому наибольший общий делитель 32 и 48 равно 16. Аналогично, обычный кратное двух чисел кратно обоим, и наименьшее общее кратное наименьшее общее кратное. Например, 24, 120, 180 являются общими. кратные 4 и 6 , а 12 встречается реже всего несколько.

Актуальность всего этого в том, что общий знаменатель двух дробей является общим кратным двух знаменатели, и наименьший общий знаменатель наименьший общее кратное двух знаменателей.

Наименьшее общее кратное НОК и наибольшее общее кратное фактор GCF двух чисел m и n связаны тем, что

 НОК = m*n/GCF

Например, GCF 4 и 6 равен 2 , их наименьшее общее кратное 12 и действительно

 12 = 4*6/2

Подумай об этом и пришли мне свое объяснение этого факта!

Смешанные номера

Смешанные числа — это дроби, записанные как натуральное число плюс дробь, у которой знаменатель больше числителя.Для пример,

Смешанные числа популярны, потому что целая часть дает указание их размера, но в остальном они мало что могут порекомендовать их. Они составляют исключение (единственное исключение) из правила, согласно которому отсутствующий оператор означает умножение, и они делают арифметику операции выполнять труднее. Мы не будем использовать их в этом классе и я рекомендую вам игнорировать их существование.

Правила делимости

При работе с дробями удобно исключить общие делители в числителе и знаменателе, чтобы сохранить числители и знаменатели как можно меньше.

Для больших числителей и знаменателей наиболее практичный способ нахождение общих множителей является евклидовым Алгоритм описан в другом месте, но для многих мелких факторов там доступны простые правила. Они перечислены в следующей таблице. Это хорошее упражнение, чтобы подумать, почему эти правила остаются в силе. если ты не могу понять, напишите мне!

фактор			Примеры
2	2	Последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8	2, или 127174
3	сумма цифр делится на 3	111 (с.р.д. = 1 + 1 + 1 = 3.) 111 = 3 * 37, или 212 319 231 (s.o.d. = 24), 212 319 231 = 3*70 773 077.
4	последние две цифры образуют число, которое делится на 4.	1 232 или 12 135 432 196
5	последняя цифра 0 или 5	58 213 475
6	Применить тесты для 2 и 3	228 или 5,832
7	нет хорошего теста, делим на 7	2,443
8	последние три цифры образуют число, которое делится на 8.	25 432 или 2 942 600
9	сумма цифр делится на 9	111 (s.o.d. = 3+3+3=9.) 333= 937. 242 319 231 (s.d. = 27), или 242 319 231 = 926 924 359.
10	последняя цифра 0	20 или 123 456 780

Существует также хорошо известное правило делимости на 11. Вы образуете один сумму, добавляя первую, третью, пятую и т. д. цифру, а другую — добавление второго, четвертого, шестого и т. д.Число делится на 11 разница сумм. Например, предположим, что мы хотим чек об оплате

м = 5 123 456 789.

Сумма цифр в нечетных позициях равна 9+7+5+3+1 = 25. Сумма цифр в четных позициях равно 8+6+4+2+5 = 25. Разница 25-25 = 0. 0 делится на 11, поэтому м . Конечно,

5 123 456 789 = 11*465 768 799.

Проверьте это!

дробей — Рациональные числа — Python 3.10.2 документация

Исходный код: Lib/fractions.py

Модуль дробей обеспечивает поддержку арифметики рациональных чисел.

Экземпляр Fraction может быть создан из пары целых чисел, из другое рациональное число или из строки.

класс фракции. Дробь ( числитель=0 , знаменатель=1 )

класс фракции. Фракция ( other_fraction )

класс фракции. Дробь ( с плавающей запятой )

класс фракции. Дробь ( десятичная )

класс фракции. Дробь ( строка )

Первая версия требует, чтобы числитель и знаменатель были экземплярами из номера.Rational и возвращает новый экземпляр Fraction . со значением числитель/знаменатель . Если знаменатель равен 0 , то вызывает ошибку ZeroDivisionError . Вторая версия требует, чтобы other_fraction является экземпляром numbers.Rational и возвращает Дробный экземпляр с тем же значением. Следующие две версии принимают либо с плавающей запятой , либо decimal.Decimal экземпляр, и вернуть Дробный экземпляр с точно таким же значением.Отметим, что из-за обычные проблемы с двоичными числами с плавающей запятой (см. Арифметика с плавающей запятой: проблемы и ограничения), аргумент Fraction(1.1) не точно равен 11/10, и поэтому Fraction(1.1) возвращает , а не Fraction(11, 10) , как можно было бы ожидать. (Но см. документацию для метода limit_denominator() ниже.) Последняя версия конструктора ожидает строку или экземпляр Unicode. Обычная форма для этого экземпляра:

 [знак] числитель ['/' знаменатель]

, где необязательный знак может быть либо «+», либо «-» и числитель и знаменатель (если есть) представляют собой строки десятичные цифры.Кроме того, любая строка, представляющая конечный значение и принимается конструктором float также принимается конструктором Fraction . В любой форме входная строка также может иметь начальные и/или конечные пробелы. Вот несколько примеров:

 >>> из импорта фракций Фракция
>>> Дробь(16, -10)
Дробь (-8, 5)
>>> Дробь(123)
Дробь(123, 1)
>>> Дробь()
Фракция (0, 1)
>>> Дробь('3/7')
Фракция (3, 7)
>>> Дробь('-3/7')
Дробь (-3, 7)
>>> Дробь('1.414213 \т\п')
Дробь(1414213, 1000000)
>>> Дробь('-.125')
Дробь (-1, 8)
>>> Дробь('7e-6')
Дробь(7, 1000000)
>>> Дробь (2,25)
Дробь(9, 4)
>>> Дробь(1.1)
Дробь(2476979795053773, 2251799813685248)
>>> из десятичного импорта Decimal
>>> Дробь (десятичная ('1.1'))
Дробь(11, 10)

Класс Fraction наследуется от абстрактного базового класса numbers.Rational и реализует все методы и операции из этого класса. экземпляров Fraction можно хэшировать, и следует рассматривать как неизменяемый. Кроме того, Дробь имеет следующие свойства и методы:

Изменено в версии 3.9: Функция math.gcd() теперь используется для нормализации числителя и знаменатель . math.gcd() всегда возвращает тип int . Раньше тип НОД зависел от числителя и знаменателя .

числитель: Числитель младшей дроби.

знаменатель: Знаменатель младшей дроби.

as_integer_ratio (): Возвращает кортеж из двух целых чисел, отношение которых равно к дроби и с положительным знаменателем.

from_float ( этаж )

Этот метод класса создает дробь , представляющую точную значение ft , которое должно быть числом с плавающей запятой .Остерегайтесь этого Fraction.from_float(0.3) не совпадает со значением Fraction(3, 10) .

Примечание

Начиная с Python 3.2, вы также можете создать Экземпляр фракции непосредственно из числа с плавающей запятой .

from_decimal ( дек ): Этот метод класса создает дробь , представляющую точную значение dec , которое должно быть десятичным числом .Десятичный экземпляр .

предельный_знаменатель ( максимальный_знаменатель=1000000 )

Находит и возвращает ближайшую дробь к себе , которая имеет знаменатель не больше max_denominator. Этот метод удобен для нахождения рациональные приближения к данному числу с плавающей запятой:

 >>> из импорта фракций Фракция
>>> Дробь('3.14155897932').limit_denominator(1000)
Дробь(355, 113)

или для восстановления рационального числа, представленного в виде числа с плавающей запятой:

 >>> из математического импорта pi, cos
>>> Дробь(cos(pi/3))
Дробь(4503599627370497, 940992)
>>> Дробь (cos (pi/3)).предел_знаменатель()
Фракция (1, 2)
>>> Дробь(1.1).limit_denominator()
Дробь(11, 10)

__этаж__ ()

Возвращает наибольшее значение int <= self . Этот метод может также можно получить через функцию math.floor() :

 >>> с этажа импорта математики
>>> пол(Дробь(355, 113))
3

__ceil__ (): Возвращает наименьшее int >= self .Этот метод может также можно получить через функцию math.ceil() .

__круглый__ ()
__round__ ( ndigits ): Первая версия возвращает ближайший int к self , округление половины до четного. Вторая версия округляет до до ближайшее кратное Fraction(1, 10**ndigits) (логически, если ndigits отрицательное число), снова округляя половину до четного.Этот Доступ к методу также можно получить с помощью функции round() .

См. также

Модуль чисел: Абстрактные базовые классы, составляющие числовую башню.

Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Кроме того, дроби можно сравнивать друг с другом. По сути, все, что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с общим знаменателем

Сложение дробей:

Сложение с общими знаменателями;
Сложение с разными знаменателями.

Сначала научимся складывать дроби с общими знаменателями. Это просто.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, сложите их числители и оставьте знаменатель без изменений.

Например, давайте сложим дроби и .Складываем числители и оставляем знаменатель без изменений:

Этот пример легко понять, если представить себе пиццу, разделенную на четыре части. Если вы добавите пиццу к пицце, вы получите пиццу:

Пример 2. Сложить дроби и .

Снова складываем числители и оставляем знаменатель без изменений:

Ответ — неправильная дробь.. Если наступает конец задачи, от неправильных дробей принято избавляться.Чтобы избавиться от неправильной дроби, нужно выделить ее целую часть. В нашем случае вся часть проста — два разделить на два равно одному:

Этот пример легко понять, если представить себе пиццу, разделенную на две части. Если к пицце добавить еще одну пиццу, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби и .

Снова складываем числители и оставляем знаменатель без изменений:

Этот пример легко понять, если представить себе пиццу, разделенную на три части.Если вы добавите еще одну пиццу к пицце, вы получите пиццу:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Числители нужно сложить, а знаменатель оставить без изменений:

Попробуем изобразить наше решение картинкой. Если вы добавите пиццу к пицце и добавите еще одну пиццу, вы получите 1 целую пиццу и еще одну пиццу.

Как видите, ничего сложного в сложении дробей с общими знаменателями нет.Достаточно понять следующие правила:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, сложите их числители и оставьте знаменатель без изменений;
Если ответом является неправильная дробь, нужно выделить всю ее часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь давайте научимся складывать дроби с разными знаменателями. При сложении дробей знаменатели этих дробей должны совпадать.Но они не всегда одинаковы.

Например, дроби и можно складывать вместе, потому что у них одинаковые знаменатели.

Но дроби и нельзя складывать сразу, потому что у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби необходимо привести к одному (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одному знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, так как остальные могут показаться новичку сложными.

Суть этого метода в том, что сначала ищем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем LCM делится на знаменатель первой дроби и получается первый дополнительный множитель. Проделайте то же самое со второй дробью — LCM разделите на знаменатель второй дроби и получите второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на их дополнительные множители.В результате дроби с разными знаменателями преобразуются в дроби с одинаковыми знаменателями. И мы уже умеем складывать такие дроби.

Пример 1. Добавить дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому их нужно привести к одному (общему) знаменателю.

Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. В знаменателе первой дроби число 3, а в знаменателе второй дроби число 2.Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

.
НОК (2 и 3) = 6
Теперь вернемся к дробям и . Сначала разделите НОК на знаменатель первой дроби и получите первый дополнительный множитель. НОК равен 6, а знаменатель первой дроби равен 3. Разделив 6 на 3, получим 2.
Полученное число 2 является первым дополнительным множителем. Запишите это в первую дробь. Для этого над дробью проведите небольшую диагональную черту и над ней напишите найденный дополнительный множитель:
Проделайте то же самое со второй дробью.Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК равно 6, а знаменатель второй дроби равен 2. Разделив 6 на 2, получим 3.
Полученное число 3 является вторым дополнительным множителем. Запишите это во вторую дробь. Снова проведите маленькую диагональную черту над второй дробью и запишите над ней найденный дополнительный множитель:
.
Теперь все готово для добавления. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители:
Посмотрите внимательно, к чему мы пришли.Мы пришли к тому, что дроби с разными знаменателями превратились в дроби с одинаковыми знаменателями. И мы уже умеем складывать такие дроби. Решим этот пример до конца:
Это завершает пример. Добавьте и получите.
Попробуем изобразить наше решение картинкой. Если добавить пиццу к пицце, получится одна целая пицца и одна шестая часть пиццы:
Также можно показать приведение дроби к одному (общему) знаменателю.Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Две фракции будут представлены одними и теми же кусочками пиццы. С той лишь разницей, что на этот раз они будут разделены на одинаковые дроби (приведены к одному знаменателю).
Первая картинка представляет дробь (четыре штуки по шесть), а вторая картинка представляет дробь (три штуки по шесть). Складывая эти кусочки, получаем (семь штук по шесть). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили всю ее часть.Получилось (одна целая пицца и еще шестая часть пиццы).
Обратите внимание, что мы расписали этот пример слишком подробно. В школах не принято так подробно писать. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительных множителей к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на их числители и знаменатели. Если бы мы были в школе, нам пришлось бы написать этот пример следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали.Если вы не будете делать подробные записи на первых этапах изучения математики, вы начнете получать вопросы вроде : «Откуда взялось это число?» , «почему дроби вдруг превращаются в совсем другие дроби?»
Поэтому на первых этапах желательно прописывать каждую мелочь. Похвастаться можно только в будущем, когда освоены азы.
Чтобы упростить сложение дробей с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
Найти НОК знаменателей дробей;
Разделите НОК на знаменатель каждой дроби и получите дополнительный множитель для каждой дроби;
Умножить числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители;
Сложите дроби с одинаковыми знаменателями;
Если ответ представляет собой неправильную дробь, выберите всю ее часть;
Пример 2. Найдите значение выражения .
Воспользуемся приведенными выше инструкциями.
Шаг 1. Найдите НОК знаменателей дробей
Найдите НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей — числа 2, 3 и 4.
Шаг 2: Разделите НОК на знаменатель каждой дроби и получите дополнительный множитель для каждой дроби
Разделите НОК на знаменатель первой дроби.НОК равно 12, а знаменатель первой дроби равен 2. Разделим 12 на 2, получим 6. Получим первый дополнительный множитель 6. Запишем его над первой дробью:
Теперь разделите НОК на знаменатель второй дроби. НОК равно 12, а знаменатель второй дроби равен 3. Делим 12 на 3 и получаем 4. У нас есть второй дополнительный множитель 4. Запишем его над второй дробью:
Теперь разделите НОК на знаменатель третьей дроби. НОК равно 12, а знаменатель третьей дроби равен 4.Делим 12 на 4 и получаем 3. У нас есть третий дополнительный множитель 3. Запишем его над третьей дробью:
Шаг 3: Умножьте числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители
Умножить числители и знаменатели на их дополнительные множители:
Шаг 4. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями
Мы обнаружили, что дроби с разными знаменателями превращались в дроби с одинаковыми (общими) знаменателями.Осталось сложить эти дроби. Складываем их:
Добавление не помещалось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это разрешено в математике. Когда выражение не помещается на одной строке, оно переносится на следующую строку, и вы должны поставить знак равенства (=) в конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства во второй строке указывает на то, что это продолжение выражения, которое было в первой строке.
Шаг 5. Если ответ представляет собой неправильную дробь, выберите всю ее часть
Наш ответ — неправильная дробь. Мы должны изолировать всю его часть. Делаем:
Мы получили ответ
Вычитание дробей с общим знаменателем
Вычитание дробей бывает двух видов:
Вычитание дробей с общими знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала мы научимся вычитать дроби с общими знаменателями.
Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь, вычтите числитель первой дроби из числителя второй дроби и оставьте знаменатель без изменений.
Например, найдем значение выражения . Чтобы решить этот пример, вычтите числитель первой дроби из числителя второй дроби и оставьте знаменатель без изменений. Сделаем так:
Этот пример легко понять, если представить себе пиццу, разделенную на четыре части.Если отрезать пиццу от пиццы, получится пиццы:
Пример 2. Найдите значение выражения .
Снова вычитаем числитель второй дроби из числителя первой дроби и оставляем знаменатель без изменений:
Этот пример легко понять, если представить себе пиццу, разделенную на три части. Если отрезать пиццу от пиццы, получится пиццы:
Пример 3. Найдите значение выражения
Этот пример решается так же, как и предыдущие. Из числителя первой дроби вычесть числители остальных дробей:
Ответ — неправильная дробь. Выделим целую часть дроби:
Как видите, ничего сложного в вычитании дробей с равными знаменателями нет. Достаточно понять следующие правила:
Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь, вычтите числитель второй дроби из числителя первой дроби и оставьте знаменатель без изменений;
Если ответом является неправильная дробь, нужно выделить всю ее часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь давайте научимся вычитать дроби с разными знаменателями. При вычитании дробей их знаменатели должны совпадать. Но они не всегда одинаковы.
Например, вы можете вычитать из дроби, потому что у этих дробей одинаковые знаменатели. Но вычитать из дроби нельзя, потому что у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби необходимо привести к одному (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находится по тому же принципу, который мы использовали при сложении дробей с разными знаменателями. Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Затем делим НОК на знаменатель первой дроби и получаем первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Точно так же LCM делится на знаменатель второй дроби, чтобы получить второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на их дополнительные множители. В результате этих операций дроби с разными знаменателями преобразуются в дроби с одинаковыми знаменателями. И мы уже умеем вычитать такие дроби.
Пример 1. Найдите значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому их нужно привести к одному (общему) знаменателю.
Сначала найдите НОК знаменателей обеих дробей.В знаменателе первой дроби число 3, а в знаменателе второй дроби число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь вернемся к дробям и
.
Найдите дополнительный множитель для первой дроби. Для этого НОК разделите на знаменатель первой дроби. НОК равно 12, а знаменатель первой дроби равен 3. Делим 12 на 3 и получаем 4. Четверку записываем над первой дробью:
Проделайте то же самое со второй дробью.Разделите НОК на знаменатель второй дроби. НОК равно 12, а знаменатель второй дроби равен 4. Разделим 12 на 4, и получим 3. Запишем тройку над второй дробью:
Теперь мы готовы к вычитанию. Осталось умножить дроби на их дополнительные множители:
Мы обнаружили, что дроби с разными знаменателями превращались в дроби с одинаковыми знаменателями. И мы уже умеем вычитать такие дроби.Решим этот пример до конца:
Мы получили ответ.
Попробуем изобразить наше решение картинкой. Если отрезать пиццу от пиццы, получится пицца
Это подробная версия решения. Если бы мы учились в школе, нам пришлось бы решать этот пример в более короткой форме. Решение будет выглядеть так:
Приведение дробей и к общему знаменателю также можно представить с помощью рисунка.Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут представлены одинаковыми кусочками пиццы, но на этот раз они будут разделены на одинаковые дроби (приведенные к одному знаменателю):
На первом рисунке изображена дробь (восемь кусочков из двенадцати), а на втором рисунке дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав три ломтика от восьми ломтиков, мы получим пять ломтиков из двенадцати. Фракция и описывает эти пять частей.
Пример 2. Найти значение выражения
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нам нужно привести их к одному (общему) знаменателю.
Найдите НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели равны 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь найдите дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделите НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдите дополнительный множитель для первой дроби. НОК равно 30, а знаменатель первой дроби равен 10. Разделим 30 на 10, и получим первый дополнительный множитель 3. Запишем его над первой дробью:
Теперь найдите дополнительный множитель для второй дроби. Разделите НОК на знаменатель второй дроби. НОК равно 30, а знаменатель второй дроби равен 3. Разделив 30 на 3, получим второй дополнительный множитель 10. Запишем его над второй дробью:
Теперь найдите дополнительный множитель для третьей дроби.Разделите НОК на знаменатель третьей дроби. НОК равно 30, а знаменатель третьей дроби равен 5. Разделим 30 на 5, и получим третий дополнительный множитель 6. Запишем его над третьей дробью:
Теперь все готово для вычитания. Осталось умножить дроби на их дополнительные множители:
Мы обнаружили, что дроби с разными знаменателями превращались в дроби с одинаковыми (общими) знаменателями. И мы уже умеем вычитать такие дроби.Закончим этот пример.
Продолжение примера не помещается на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забывайте знак равенства (=) в новой строке:
Ответ — правильная дробь, и вроде бы нас это устраивает, но это слишком громоздко и некрасиво. Мы должны сделать это проще. Что мы можем сделать? Мы могли бы сократить дробь.
Чтобы сократить дробь , разделите ее числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь вернемся к нашему примеру и разделим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Мы получили ответ
Умножение дробей на целые числа
Чтобы умножить дробь на число, умножьте числитель дроби на это число и оставьте знаменатель без изменений.
Пример 1. Умножить дробь на число 1.
Умножить числитель дроби на число 1.
Запись можно понимать как занимающую половину 1 раза. Например, если вы возьмете пиццу один раз, вы получите
пиццы.
Из законов умножения мы знаем, что если поменять местами множитель и множитель, произведение не изменится. Если написано как , то товар по-прежнему . Опять срабатывает правило умножения целого числа на дробь:
Эту запись можно понимать как получение половины единицы.Например, если есть 1 целая пицца и мы возьмем ее половину, у нас будет пицца:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножить числитель дроби на 4
Ответ — неправильная дробь. Выделим целую часть дроби:
Выражение можно понимать как взятие двух четвертей четыре раза. Например, если взять пиццу 4 раза, получится целых две пиццы
.
А если поменять местами множитель и множитель, то получится выражение .Оно также равно 2. Это выражение можно понимать как взятие двух пицц из четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби допускается сокращать, если они имеют общий делитель больше единицы.
Например, выражение можно вычислить двумя способами.
Первый метод . Умножьте 4 на числитель дроби и оставьте знаменатель без изменений:
Второй способ. Перемножить четверку и четверку в знаменателе дроби можно сокращением. Эти четверки можно уменьшить на 4, потому что наибольшим общим делителем двух четверок является четверка:
.
Получаем тот же результат 3. После сокращения четверок на их месте образуются новые числа: две единицы. Но умножение одного на три и последующее деление на один ничего не меняет. Следовательно, решение можно записать в более короткой форме:
.
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы выбираем использовать первый метод, но на этапе умножения числа 4 и числителя 3 мы выбираем использование сокращения:
А вот, например, выражение можно вычислить только первым способом — умножив число 7 на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений:
Это связано с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя больше единицы, а потому не сокращаются.
Некоторые учащиеся ошибочно сокращают умноженное число и числитель дроби. Этого делать не следует. Например, следующая запись неверна:
.
Сокращение дроби означает, что и числитель , и знаменатель будут делиться на одно и то же число. В случае делится только числитель, потому что писать то же самое, что писать . Мы видим, что деление производится только в числителе, а в знаменателе деления нет.
Умножение дробей
Чтобы умножить дроби, умножьте их числители и знаменатели. Если ответом является неправильная дробь, выберите целую часть дроби.
Пример 1. Найдите значение выражения .
Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Ответ .Желательно уменьшить эту фракцию. Дробь можно уменьшить на 2. Тогда окончательное решение будет выглядеть так:
Выражение можно понимать как взятие пиццы из половины пиццы. Предположим, у нас есть половина пиццы:
.
Как взять две трети этой половины? Сначала вы должны разделить эту половину на три равные части:
И возьми из этих трех штук два:
У нас будет пицца.Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок этой пиццы и два куска, которые мы взяли, будут одного размера:
Другими словами, речь идет об одинаковом размере пиццы. Следовательно, значение выражения равно
.
Пример 2. Найти значение выражения
Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Ответ — неправильная дробь.Выделим целую часть дроби:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Ответ — правильная дробь, но было бы хорошо, если бы она была сокращена. Чтобы уменьшить эту дробь, разделите числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдем НОД 105 и 450:
Теперь разделим числитель и знаменатель нашего ответа на найденный нами НОД, то есть на 15
Представление целого в виде дроби
Любое целое можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . Это не изменит значения числа пять, т.к. означает «число пять, деленное на один», а это, как мы знаем, равняется пяти:
.
Обратные числа
Сейчас мы будем изучать очень интересную тему по математике.Это называется «обратные числа».
Определение. Обратное к а — это число, которое при умножении на а дает единицу.
Подставим цифру 5 вместо переменной a в это определение и попробуем прочитать определение:
Число, обратное 5, — это число, которое при умножении на 5 дает единицу.
Можно ли найти число, которое при умножении на 5 дает единицу? Возможно. Представим пять в виде дроби:
.
Затем умножьте эту дробь саму на себя, но поменяйте местами числитель и знаменатель.Другими словами, умножьте дробь саму на себя, только инвертированную:
.
Что из этого получится? Если мы продолжим решать этот пример, мы получим один:
Таким образом, число, обратное числу 5, является числом , потому что умножение 5 на дает единицу.
Обратное можно найти и для любого другого целого.
Примеры:
обратная цифре 2 дробь
обратная цифре 2 дробь
обратная цифре 2 дробь
Также можно найти обратное число для любой другой дроби.Для этого все, что вам нужно сделать, это перевернуть его.
Примеры:
Деление дроби на целое число
Допустим, у нас есть половина пиццы:
Разделите его поровну между нами двумя. Сколько пиццы каждый из нас получит?
Вы видите, что после разделения половины пиццы на два равных куска, каждый из которых принадлежит пицце. Так что каждый человек получает по пицце.
Деление дробей производится с помощью обратных чисел.Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, умножьте дробь на число, обратное делителю.
Используя это правило, запишем деление половины нашей пиццы на две части.
Итак, вы хотите разделить дробь на число 2. Здесь делитель — дробь , а делитель — число 2.
Чтобы разделить дробь на 2, умножьте дробь на величину, обратную делителю 2.Обратное значение делителя 2 равно . Так умножьте на .
Ответ . Итак, если вы разделите половину на два, вы получите четверть.
Попробуем разобраться в механизме этого правила. Для этого рассмотрим следующий простой пример. Предположим, у нас есть одна целая пицца:
.
Умножим на 2. То есть повторим дважды (или возьмем дважды). В итоге у нас будет две пиццы:
Теперь давайте подадим эти пиццы двум друзьям.То есть разделить две пиццы на два. Тогда каждый получает по одной пицце:
Разделить две пиццы на 2 — это все равно, что взять половину этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь от
.
В обоих случаях результат был одинаковым.
То же самое произошло, когда мы разделили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. И обратное делителю 2 равно .
Пример 2. Найдите значение выражения
Умножить первую дробь на число, обратное делителю:
Допустим, у вас есть четверть пиццы и вам нужно разделить ее между двумя людьми:
Если разделить эту четвертинку на две части, каждая полученная часть будет одной восьмой части всей пиццы:

Замена деления умножением возможна не только при работе с дробями, но и с обычными числами.Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 равно 5.
10 : 2 = 5
В этом примере вместо деления используется умножение. Чтобы разделить число 10 на число 2, вы можете умножить число 10 на число, обратное числу 2. А число, обратное числу 2, составляет дробь
.
Как видите, результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.
Можно сделать вывод, что деление можно заменить умножением при условии, что вместо делителя подставлено обратное число.
Пример 3. Найти значение выражения
Умножить первую дробь на число, обратное делителю. Обратное значение делителя — это дробь
.
Допустим, пиццы было:
Как разделить такую пиццу между шестью людьми? Если каждый из трех ломтиков разделить пополам, получится шесть равных
ломтиков.
Эти шесть частей составляют шесть частей из двенадцати. И одна из этих частей.Следовательно, при делении на 6 получится
.
Деление целого числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, умножьте число на дробь, обратную делителю.
Например, разделите число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно умножить число 1 на дробь, обратную дроби.И обратная дробь дробь .
Выражение можно понимать как определяющее количество половинок в одной целой пицце. Допустим есть одна целая пицца:
Если мы зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», ответ будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце дважды
Пример 2. Найти значение выражения
Умножить 2 на дробь, обратную делителю.А обратная делителю дробь
Допустим, у нас есть целых две пиццы:
Если мы зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», ответ будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Разделение дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, умножьте первую дробь на дробь, обратную второй дроби.
Например, разделить на
Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби .А обратная дробь это дробь
Допустим, есть половина пиццы:
Если мы зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», ответ будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы дважды:
Пример 1. Найти значение выражения
Умножьте первую дробь на дробь, обратную второй дроби. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевернутую вторую дробь:
Пример 2. Найдите значение выражения
Умножить первую дробь на обратную вторую дробь:
Здесь вы должны остановиться и попрактиковаться. Решите несколько примеров ниже. Вы можете использовать материалы сайта в качестве справочной информации. Это позволит вам научиться работать с литературой.
Каждая следующая тема будет сложнее, поэтому нужно практиковаться.
Упражнения:
Задача 1. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 3. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 4. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 5. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 6. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 9. Найти значение выражения:
Решение:
Задача 10. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 11. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 12. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 13. Найдите значение выражения:
Решение:
Задача 14. Найдите значение выражения:
Решение:
Видеоурок

1.4: Дроби — Математика LibreTexts
Сокращение
Дробь — это действительное число, записанное как частное или отношение двух целых чисел $a$ и $b$, где $b \neq 0$.
Рисунок $\PageIndex{1}$
Целое число над дробной чертой называется числителем , а целое число под ним называется знаменателем . Числитель часто называют «частью», а знаменатель — «целым». Равные дроби — это два равных отношения, выраженные с использованием разных числителей и знаменателей. Например,
$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
Пятьдесят частей из $100$ — это то же отношение, что и $1$ часть из $2$, и представляет собой то же действительное число.Рассмотрим следующие факторизации $50$ и $100$:
\[
\begin{align*}
50 &= 2 \cdot 25 \\
100 &= 4 \cdot 25
\end{align*}
\]
Числа $50$ и $100$ делят делитель $25$. Общий фактор называется общим фактором. Мы можем переписать соотношение $\frac{50}{100}$ следующим образом:
$\frac{50}{100} = \frac{2 \cdot 25}{4 \cdot 25}$
Используя свойство мультипликативной идентичности и тот факт, что $\frac{25}{25} = 1$, мы имеем
Рисунок $\PageIndex{2}$
Деление $\frac{25}{25}$ и замена этого множителя на $1$ называется отменой .Вместе эти основные шаги по нахождению эквивалентных дробей определяют процесс уменьшения числа из числа . Поскольку множители делят свое произведение поровну, мы получаем тот же результат, разделив и числитель, и знаменатель на $25$ следующим образом:
Рисунок $\PageIndex{3}$
Нахождение эквивалентных дробей, в которых числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме $1$, называется приведением к наименьшим членам . Изучая, как сводить к наименьшим терминам, полезно сначала переписать числитель и знаменатель как произведение простых чисел, а затем отменить.Например,
Рисунок $\PageIndex{4}$
Мы получаем тот же результат, разделив числитель и знаменатель на наибольший общий множитель (GCF). GCF — это наибольшее число, на которое числитель и знаменатель делятся поровну. Один из способов найти GCF для $50$ и $100$ состоит в том, чтобы перечислить все факторы каждого и определить наибольшее число, которое появляется в обоих списках. Помните, что каждое число также является фактором само по себе.
\[
\begin{align*}
&\{1,2,5,10,25,50\} && \color{Cerulean}{Factors\ of\ 50} \\
&\{1,2, 4,5,10,20,25,50,100\} && \color{Cerulean}{Factors\ of\ 100}
\end{align*}
\]
Общие множители выделены жирным шрифтом, и мы видим, что наибольший общий множитель равен $50$.Мы используем следующие обозначения для обозначения НОД двух чисел: НОД$(50, 100) = 50$. После определения GCF уменьшите путем деления числителя и знаменателя следующим образом:
Рисунок $\PageIndex{5}$
Пример $\PageIndex{1}$
Сократить до меньших значений: $\frac{105}{300}$.
Раствор
Перепишите числитель и знаменатель как произведение простых чисел, а затем сократите.
Рисунок $\PageIndex{6}$
В качестве альтернативы мы получим тот же результат, если разделим и числитель, и знаменатель на GCF$(105, 300)$.Быстрый способ найти GCF двух чисел требует, чтобы мы сначала записали каждое из них как произведение простых чисел. GCF является произведением всех общих простых множителей.
Рисунок $\PageIndex{7}$
В этом случае общие простые делители равны $3$ и $5$, а наибольший общий делитель чисел $105$ и $300$ равен \ (15\).
Рисунок $\PageIndex{8}$
Ответ:
$\frac{7}{20}$
Пример $\PageIndex{2}$
Попробуйте это! Сократить до меньших значений: $\frac{32}{96}$.
Решение для видео:
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Смешанное число — это число, которое представляет собой сумму целого числа и дроби. Например, $5 \frac{1}{2}$ — это смешанное число, представляющее сумму $5+\frac{1}{2}$. Используйте длинное деление, чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число; остаток является числителем дробной части.
Пример $\PageIndex{3}$
Запишите $\frac{23}{5}$ как смешанное число.
Раствор
Обратите внимание, что $5$ делится на $23$ четыре раза с остатком $3$.
Рисунок $\PageIndex{9}$
Тогда мы можем написать
\[
\begin{align*}
\frac{23}{5} &= 4 + \frac{3}{5} \\
&= 4 \frac{3}{5}
\end{align *}
\]
Обратите внимание, что знаменатель дробной части смешанного числа остается таким же, как знаменатель исходной дроби.
Ответить
$4 \фрак{3}{5}$
Чтобы преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, умножьте целое число на знаменатель, а затем добавьте числитель; запишите этот результат над исходным знаменателем.
Пример $\PageIndex{4}$
Запишите $3 \frac{5}{7}$ как неправильную дробь.
Раствор
Получите числитель, умножив $7$ на $3$, а затем прибавив $5$.
\[
\begin{align*}
3 \frac{5}{7} &= \frac{7 \cdot 3 + 5}{7} \\
&= \frac{21+5}{7} \\
&= \frac{26}{7}
\end{align*}
\]
Ответить
$\frac{26}{7}$
Важно отметить, что преобразование в смешанное число не является частью процесса сокращения.Мы считаем, что неправильные дроби, такие как $267$, сводятся к младшим терминам. В алгебре часто предпочтительнее работать с неправильными дробями, хотя в некоторых приложениях больше подходят смешанные числа.
Пример $\PageIndex{5}$
Попробуйте это! Преобразовать $10 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь.
Раствор
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Умножение и деление дробей
В этом разделе предполагается, что $a, b, c$ и $d$ — все ненулевые целые числа.Произведением двух дробей называется дробь, образованная произведением числителей и произведением знаменателей. Другими словами, чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Пример $\PageIndex{6}$
Умножить: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$
Раствор
Умножьте числители и умножьте знаменатели.
\[
\begin{align*}
\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} &= \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} \\
&= \frac{10}{21}
\end{align*}
\]
Ответ:
$\frac{10}{21}$
Пример $\PageIndex{7}$
Умножить: $\frac{5}{9}\left(-\frac{1}{4}\right)$
Раствор
Напомним, что произведение положительного числа на отрицательное число отрицательно.
\[
\begin{align*}
\frac{5}{9}\left(-\frac{1}{4}\right) &= -\frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 4 } \\
&= -\frac{5}{36}
\end{align*}
\]
Ответ:
$-\frac{5}{36}$
Пример $\PageIndex{8}$
Умножить: $\frac{2}{3} \cdot 5 \frac{3}{4}$
Раствор
Начните с преобразования $5 \frac{3}{4}$ в неправильную дробь.
Рисунок $\PageIndex{10}$
В этом примере мы заметили, что можем уменьшить до того, как перемножим числители и знаменатели.Сокращение таким образом называется перекрестным сокращением и может сэкономить время при умножении дробей.
Ответить
$3 \фрак{5}{6}$
Два действительных числа, произведение которых равно $1$, называются обратными . Таким образом, $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ обратны, потому что $ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1$. Например,
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$
Поскольку их произведение равно $1$, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ являются обратными величинами.Некоторые другие обратные связи перечислены ниже:
$\frac{5}{8}\ \text{and}\ \frac{8}{5} \qquad 7\ \text{and}\ \frac{1}{7} \qquad -\frac{ 4}{5}\ \text{и}\ -\frac{5}{4}$
Это определение важно, поскольку для деления дробей необходимо умножить делимое на обратную величину делителя.
$\frac{a}{b} \div \color{Cerulean}{\frac{c}{d}} \color{Black}{=} \frac{a}{b} \cdot \color{Cerulean }{\frac{d}{c}} \color{Black}{=} \frac{ad}{bc} $
Пример $\PageIndex{9}$
Разделить: $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$
Раствор
Умножьте $\frac{2}{3}$ на обратную величину $\frac{5}{7}$.
\[
\begin{align*}
\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} &= \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} \ \
&= \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5 } \\
&= \frac{14}{15}
\end{align*}
\]
Ответ:
$\ гидроразрыва{14}{15$
Также необходимо знать о других формах обозначения, обозначающих деление: / и —. Например,
$5/(1/2) = 5*(2/1)=(5/1)*(2/1)= 10/1=10$
или
$\frac{\frac{7}{8}}{\color{Cerulean}{\frac{2}{3}}} \color{Black}{=} \frac{7}{8} \div \color{Cerulean}{\frac{2}{3}} \color{Black}{=} \frac{7}{8} \cdot \color{Cerulean}{\frac{3}{2}} \color {Черный}{=} \frac{21}{16}$
Последнее является примером сложной дроби , которая представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются дробями.
Примечание
Студенты часто спрашивают, почему деление эквивалентно умножению на обратную величину делителя. Математическое объяснение исходит из того факта, что произведение обратных величин равно $1$. Если мы применим свойство мультипликативной идентичности и умножим числитель и знаменатель на обратную величину знаменателя, то мы получим следующее:
Рисунок $\PageIndex{11}$
Прежде чем умножать, найдите общие множители, которые нужно отменить; это избавляет от необходимости уменьшать конечный результат.
Пример $\PageIndex{10}$
Разделить: $\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{4}}$.
Раствор
Рисунок $\PageIndex{12}$
Ответ
$\frac{10}{7}$
При делении на целое число полезно переписать его как дробь над $1$.
Пример $\PageIndex{11}$
Разделить: $\frac{2}{3} \div 6$
Раствор
Перепишите число 6 как $\frac{6}{1}$ и умножьте на его обратное значение.
Рисунок $\PageIndex{13}$
Ответ:
$\frac{1}{9}$
Также обратите внимание, что мы отменяем только при работе с умножением. Перепишите любую задачу на деление как произведение перед отменой .
Пример $\PageIndex{12}$
Попробуйте это! Разделить: $5 \div 2 \frac{3}{5} $
Решение для видео:
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Сложение и вычитание дробей
Отрицательные дроби обозначаются знаком минус перед дробной чертой, в числителе или в знаменателе.Все такие формы эквивалентны и взаимозаменяемы.
$\frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} = \frac{3}{-4}$
Для сложения или вычитания дробей требуется общий знаменатель . В этом разделе предполагается, что общий знаменатель c является целым числом, отличным от нуля.
Рекомендуется использовать положительные общие знаменатели, выражая отрицательные дроби с отрицательными числителями. Короче говоря, избегайте отрицательных знаменателей.
Пример $\PageIndex{13}$
Вычесть: $\frac{12}{15} — \frac{3}{15}$
Раствор
Две дроби имеют общий знаменатель $15$.Поэтому вычитаем числители и записываем результат над общим знаменателем:
\[
\begin{align*}
\frac{12}{15} — \frac{3}{15} &= \frac{12-3}{15} && \color{Cerulean}{Вычесть\ \ числители.} \\
&= \color{Black}{\frac{9}{15}} \\
&=\frac{9 \color{Cerulean}{\div 3}}{\color{Black} {15} \color{Cerulean}{\div 3}} &&\color{Cerulean}{Reduce.} \\
&= \frac{3}{5}
\end{align*}
\]
Ответ
$\frac{3}{5}$
Большинство проблем, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, будут иметь число , а не знаменатель .В этом случае сначала найдите эквивалентные дроби с общим знаменателем, прежде чем складывать или вычитать числители. Один из способов получить эквивалентные дроби — разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Теперь рассмотрим технику нахождения эквивалентных дробей путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. Должно быть ясно, что $5/5$ равно $1$ и что $1$, умноженное на любое число, равно этому числу:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{1} \color{Black}{=} \frac{1}{2} \cdot \color {Cerulean}{\frac{5}{5}} \color{Black}{=} \frac{5}{10}$
У нас есть эквивалентные дроби $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$.Используйте эту идею, чтобы найти эквивалентные дроби с общим знаменателем, чтобы складывать или вычитать дроби. Шаги описаны в следующем примере.
Пример $\PageIndex{14}$
Вычесть: $\frac{7}{15} — \frac{3}{10}$
Раствор
Шаг 1: Определите общий знаменатель. Для этого используйте наименьшее общее кратное (НОК) данных знаменателей. НОК $15$ и $10$ обозначается НОК$(15, 10)$.Попробуйте придумать наименьшее число, на которое оба знаменателя делятся поровну. Список кратных каждому числу:
Общие кратные выделены жирным шрифтом, а наименьшее общее кратное равно $30$.
НОК$(10,15)=30$
Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на значения, которые дают эквивалентные дроби с определенным общим знаменателем.
\[\begin{align*}
\frac{7}{15} — \frac{3}{10} &= \frac{7 \color{Cerulean}{\cdot 2}}{15 \color{Cerulean }{\cdot 3}} — \frac{3\color{Cerulean}{\cdot 3}}{10 \color{Cerulean}{\cdot 3}} \\
&= \frac{14}{30} — \frac{9}{30}
\end{align*}\]
Шаг 3: Сложите или вычтите числители, запишите результат над общим знаменателем и затем уменьшите, если возможно.
\[\begin{align*}
\frac{14}{30} — \frac{9}{30} &= \frac{14-9}{30} \\
&= \frac{5}{ 30} \\
&= \frac{5 \color{Cerulean}{\div 5}}{30 \color{Cerulean}{\div 5}} \\
&= \frac{1}{6}
\ конец{выравнивание*}\]
Ответ:
$\frac{1}{6}$
Наименьшее общее кратное знаменателей называется наименьшим общим знаменателем (LCD). Поиск ЖК-дисплея часто является трудным шагом. Его стоит найти, потому что если используется любое общее кратное, кроме наименьшего, то при сокращении будет задействовано больше шагов.
Пример $\PageIndex{15}$
Добавить: $\frac{5}{10} + \frac{1}{18}$
Раствор
Сначала определите, что НОК$(10, 18)$ равно $90$, а затем найдите эквивалентные дроби со $90$ в знаменателе.
\[\begin{align*}
\frac{5}{10} + \frac{1}{18} &= \frac{5 \color{Cerulean}{\cdot 9}}{10 \color{Cerulean }{\cdot 9}} + \frac{1 \color{Cerulean}{\cdot 5}}{18 \color{Cerulean}{\cdot 5}} \\
&= \frac{45}{90} + \frac{5}{90} \\
&= \frac{45+5}{90} \\
&= \frac{50}{90} \\
&= \frac{50 \color{Cerulean} {\div 10}}{90 \color{Cerulean}{\div 10}} \\
&= \frac{5}{9}
\end{align*}\]
Ответить
$\frac{5}{9}$
Пример $\PageIndex{16}$
Попробуйте это! Добавить: $\frac{2}{30} + \frac{5}{21}$
Решение для видео:
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Пример $\PageIndex{17}$
Упростить: $2 \frac{1}{3} + \frac{3}{5} — \frac{1}{2}$
Раствор
Начните с преобразования $2 \frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
Ответ:
$2 \frac{13}{30}$
Вообще предпочтительнее работать с неправильными дробями. Однако если в исходной задаче используются смешанные числа, при необходимости представьте свои ответы в виде смешанных чисел. Кроме того, смешанные числа часто предпочтительнее при работе с числами на числовой прямой и в реальных приложениях.
Пример $\PageIndex{18}$
Попробуйте это! Вычесть: $\frac{5}{7} — 2 \frac{1}{7}$
Решение для видео:
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Пример $\PageIndex{19}$
Сколько $\frac{1}{2}$ дюймовых книг в мягкой обложке можно сложить так, чтобы они поместились на полке высотой $1 \frac{1}{2}$ футов?
Раствор
Сначала определите высоту полки в дюймах.Для этого используйте тот факт, что в $1$ футе $12$ дюймов и умножьте следующим образом:
Затем определите, сколько ноутбуков поместится, разделив высоту полки на толщину каждой книги.
Ответить
$36$ книг можно поставить на полку.
Ключевые выводы:
Дроби не уникальны; есть много способов выразить одно и то же отношение. Найдите эквивалентные дроби, умножив или разделив числитель и знаменатель на одно и то же действительное число.
Эквивалентные дроби в наименьшем выражении обычно предпочтительнее. Это хорошая практика, чтобы всегда уменьшать.
В алгебре обычно предпочитают неправильные дроби. Однако в реальных приложениях часто предпочтительны смешанные числовые эквиваленты. Мы можем представить ответы в виде неправильных дробей, если исходный вопрос не содержит смешанные числа или это ответ на реальное или геометрическое приложение.
Умножение дробей не требует общего знаменателя; умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение.Перед умножением рекомендуется исключить любые общие множители в числителе и знаменателе.
Обратные числа — это рациональные числа, произведение которых равно $1$. Если дробь $\frac{a}{b}$, ее обратная часть равна $\frac{b}{a}$.
Разделите дроби, умножив делимое на обратную величину делителя. Другими словами, умножьте числитель на обратную величину знаменателя.
Перепишите любую задачу деления как произведение перед отменой .
Для сложения или вычитания дробей требуется общий знаменатель. Когда знаменатели любого количества дробей совпадают, просто сложите или вычтите числители и запишите результат над общим знаменателем.
Прежде чем складывать или вычитать дроби, убедитесь, что знаменатели совпадают, найдя эквивалентные дроби с общим знаменателем. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующее значение, чтобы найти эквивалентные дроби.
Как правило, лучше преобразовать все смешанные числа в неправильные дроби перед началом процесса сложения, вычитания, умножения или деления.
Упражнение $\PageIndex{1}$
Сократите каждую дробь до минимального значения.
1. $\frac{5}{30}$
2. $\frac{6}{24}$
3. $\frac{30}{70}$
4. $\frac{18}{27}$
5. $\frac{44}{84}$
6. $\frac{54}{90}$
7.$\frac{135}{30}$
8. $\frac{105}{300}$
9. $\frac{18}{6}$
10. $\frac{256}{16}$
11. $\frac{126}{45}$
12. $\frac{52}{234}$
13. $\frac{54}{162}$
14. $\frac{2000}{3000}$
15. $\frac{270}{360}$
Ответить
1: $1/6$
3: $3/7$
5: $11/21$
7: $9/2$
9: $3$
11: $14/5$
13: $1/3$
15: $3/4$
Упражнение $\PageIndex{2}$
Перепишите как неправильную дробь.
$4\frac{3}{4}$
$2\фракция{1}{2}$
$5\разрыв{7}{15}$
$1\фракция{1}{2}$
$3\фракция{5}{8}$
$1\фракция{3}{4}$
$−2\frac{1}{2}$
$−1\frac{3}{4}$
Ответить
1: $5/2$
3: $3/2$
5: $7/4$
7: $−7/4$
Упражнение $\PageIndex{3}$
Переписать как смешанное число.
$\frac{15}{2}$
$\ гидроразрыва {9}{2}$
$\ гидроразрыва{40}{13}$
$\frac{103}{25}$
$\ гидроразрыва {73}{10}$
$\ гидроразрыва{−52}{7}$
$\ гидроразрыва{−59}{6}$
Ответить
2: $4\frac{1}{2}$
4: $4\frac{3}{25}$
6: $−7\frac{3}{7}$
Упражнение $\PageIndex{4}$
Умножение и сокращение до наименьшего значения.
$\frac{2}{3}⋅\frac{5}{7}$
$\frac{1}{5}⋅\frac{4}{8}$
$\ frac{1}{2}⋅\frac{1}{3}$
$\ гидроразрыва {3} {4} ⋅ \ гидроразрыва {20} {9} $
$\frac{5}{7}⋅\frac{49}{10}$
$\frac{2}{3}⋅\frac{9}{12}$
$\frac{6}{14}⋅\frac{21}{12}$
$\frac{44}{15}⋅\frac{15}{11}$
$3 \frac{3}{4} \cdot 2 \frac{1}{3}$
$2\разрыв{7}{10}⋅5\разрыв{5}{6}$
$\ гидроразрыва{3}{11}(-\гидроразрыва{5}{2})$
$-\frac{4}{5}(\frac{9}{5})$
$(−\frac{9}{5} (−\frac{3}{10}) $
$\ гидроразрыва {6}{7}(-\ гидроразрыва{14}{3})$
$(−\frac{9}{12})(−\frac{4}{8})$
$-\frac{3}{8}(-\frac{4}{15})$
$\frac{1}{7}⋅\frac{1}{2}⋅\frac{1}{3}$
$\frac{3}{5}⋅\frac{15}{21}⋅\frac{7}{27}$
$\frac{2}{5}⋅3\frac{1}{8}⋅\frac{4}{5}$
$2\frac{4}{9}⋅\frac{2}{5}⋅2\frac{5}{11}$
Ответить
1: $10/21$
3: $1/6$
5: $7/2$
7: $3/4$
9: $834$
11: $−15/22$
13:$27/50$
15: $3/8$
17: $1/42$
19: $1$
Упражнение $\PageIndex{5}$
Определите обратную величину следующих чисел.
$\frac{1}{2}$
$\ гидроразрыва{8}{5}$
$−\frac{2}{3}$
$−\frac{4}{3}$
$10$
$−4$
$2\фракция{1}{3}$
$1\фракция{5}{8}$
Ответить
1: $2$
3: $−3/2$
5: $1/10$
7: $3/7$
9: $3/4$
Упражнение $\PageIndex{6}$
Разделить и свести к минимуму.
$\frac{1}{2} \div \frac{2}{3}$
$\frac{5}{9} \div \frac{1}{3}$
$\ frac{5}{8} \div (−\frac{4}{5})$
$(−\frac{2}{5})÷\frac{15}{3}$
$\dfrac{-\frac{6}{7}}{-\frac{6}{7}}$
$\dfrac{−\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$
$\dfrac{-\frac{10}{3}}{-\frac{5}{20}}$
$\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{9}{2}}$
$\dfrac{\frac{30}{50}}{\frac{5}{3}}$
$\dfrac{\frac{1}{2}}{2}$
$\dfrac{5}{\frac{2}{5}}$
$\dfrac{−6}{\frac{5}{4}}$
$2 \frac{1}{2} \div \frac{5}{3}$
$4 \frac{2}{3} \div 3 \frac{1}{2}$
$5 \дел 2\разрыв{3}{5}$
$4\frac{3}{5} \div 23$
Ответить
1: $3/4$
3: $−25/32$
5: $1$
7: $40/3$
9: $9/25$
11: $25/2$
13: $1 \frac{1}{2}$
15: $1 \frac{12}{13}$
Упражнение $\PageIndex{7}$
Сложите или вычтите и уменьшите до минимума.
$\frac{17}{20}-\frac{5}{20}$
$\frac{4}{9}-\frac{13}{9}$
$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}$
$\frac{11}{15}+\frac{9}{15}$
$\frac{5}{7}-2\frac{1}{7}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}-\frac{5}{2}$
$\frac{3}{8}+\frac{7}{16}$
$\frac{7}{15}-\frac{3}{10}$
$\frac{3}{10}+\frac{2}{14}$
$\frac{2}{30}+\frac{5}{21}$
$\frac{3}{18}-\frac{1}{24}$
$5 \разрыв{1}{2}+2\разрыв{1}{3}$
$1 \фракция{3}{4}+2 \фракция{1}{10}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}-\frac{2}{9}$
$\frac{7}{3}-\frac{3}{2}+\frac{2}{15}$
$\frac{9}{4}-\frac{3}{2}+\frac{3}{8}$
$\frac{2}{3}-4\frac{1}{2}+3\frac{1}{6}$
$1-\frac{6}{16}+\frac{3}{18}$
$3-\frac{1}{21}-\frac{1}{15}$
Ответить
1: $3/5$
3: $4/5$
5: $−1 \frac{3}{7}$
7: $5/6$
9: $−7/4$
11: $1/6$
13: $32/105$
15: $7 \frac{5}{6}$
17: $1$
19: $29/30$
21: $2 \frac{2}{3}$
23: $19/24$
Упражнение $\PageIndex{8}$
Выполнение операций.Сократите ответы до минимальных условий.
$\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{3} \div \frac{1}{8}$
$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{5}) \div \frac{14}{15}$
$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}$
$-\frac{5}{9} \div \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2}$
$\frac{4}{5} \div 4 \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{5}{3} \div 15 \cdot \frac{2}{3}$
Чему равно произведение $\frac{3}{16}$ и $\frac{4}{9}$?
Чему равно произведение $−\frac{24}{5}$ и $\frac{25}{8}$?
Чему равно частное между $\frac{5}{9}$ и $\frac{25}{3}$?
Чему равно частное между $−\frac{16}{5}$ и $32$?
Вычтите $\frac{1}{6}$ из суммы $\frac{9}{2}$ и $\frac{2}{3}$.
Вычтите $\frac{1}{4}$ из суммы $\frac{3}{4}$ и $\frac{6}{5}$.
Какова общая ширина, когда $3$ досок, каждая шириной $2 \frac{5}{8}$ дюймов, склеены вместе?
Осадки в дюймах за определенные 3 дня выходных были опубликованы как $\frac{3}{10}$ дюймов в пятницу, $1\frac{1}{2}$ дюймов в субботу и \ (\frac{3}{4}\) дюймов в воскресенье. Рассчитайте общее количество осадков за этот период.
Доска длиной $5\frac{1}{4}$ футов должна быть разрезана на $7$ кусков одинаковой длины.Какова длина каждого куска?
Сколько $\frac{3}{4}$ дюймовых ноутбуков можно сложить в коробку высотой $2$ футов?
В классе математики, состоящем из $44$ учеников, четверть учеников записались на специальную субботнюю учебную сессию. Сколько студентов записалось?
Определите длину ограждения, необходимого для ограждения прямоугольного загона с размерами $35\frac{1}{2}$ футов на $20\frac{2}{3}$ футов.
Длина каждого круга по трассе составляет $\frac{1}{4}$ мили.Сколько кругов требуется для прохождения $2\frac{1}{2}$ мили?
Пенсионер получил пенсию, составляющую три четверти его обычной месячной зарплаты. Если его обычная месячная зарплата составляла $$5200$, то какую ежемесячную выплату пенсионер может ожидать от пенсионного плана?
Ответить
1: $4$
3: $2/15$
5: $9/28$
7: $1/10$
9: $1/12$
11: $1/15$
13: $5$
15: $7 \frac{7}{8}$ дюймов
17: $\frac{3}{4}$ футов
19: $11$ студентов
21: $10$ кругов
Упражнение $\PageIndex{1}$
Темы форума
Имеет ли $0$ обратное значение? Объяснять.
Объясните разницу между LCM и GCF. Привести пример.
Объясните разницу между LCM и LCD.
Почему необходимо найти ЖК-дисплей, чтобы складывать или вычитать дроби?
Объясните, как определить, какая дробь больше: $\frac{7}{16}$ или $\frac{1}{2}$.
Сложение дробей со знаменателем — точка назначения
Сложение дробей со знаменателем
Дробь представляет собой часть целого или, в более общем случае, любое количество равных частей.При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, необходимо найти общий знаменатель. Это самый важный (и, возможно, самый сложный) шаг в сложении или вычитании дробей. Общий знаменатель всегда можно найти, перемножив знаменатели.
Сложение дробей с одинаковым знаменателем
Дроби состоят из двух чисел. Верхнее число называется числителем. Нижнее число называется знаменателем.
числитель / знаменатель
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, сложите числители и поместите эту сумму над общим знаменателем.
Сложение дробей с разными знаменателями
Как складывать дроби с разными знаменателями:
Нахождение наименьшего общего знаменателя (НОД) дробей
Упростите дробь
Пример: Найдите сумму 2/9 и 3/12
Определите наибольший общий делитель 9 и 12, который равен 3
Либо умножьте знаменатели, либо разделите на GCF (9* 12=108, 108/3=36)
ИЛИ – Разделите один из знаменателей на GCF и умножьте результат на другой знаменатель (9/3=3, 3*12=36)
Переименуйте дроби для использования наименьший общий знаменатель (2/9=8/36, 3/12=9/36)
Результат: 8/36 + 9/36
Сложите числители и поместите сумму на ЖК-дисплее = 17/36
Упростите дробь, если это возможно.В этом случае невозможно
Сложение смешанных чисел с одинаковым знаменателем
Смешанные числа состоят из целого числа, за которым следует дробь.
Как сложить два смешанных числа, дроби которых имеют одинаковый знаменатель:
Сложить числители двух дробей
Поместить эту сумму над общим знаменателем.

Калькулятор для сложения дробей онлайн

Калькулятор для сложения дробей онлайн

Конспект урока «сложение и вычитание смешанных чисел». Вычитание смешанных дробей

Что это такое?

Полноценный разбор примера

Правила сложения

Правила вычитания

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Сложение и вычитание смешанных чисел 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Вычитание смешанных дробей — презентация онлайн

1. Вычитание смешанных дробей

2. Представьте единицу в виде дроби со знаменателем:

6. Правило вычитания смешанных дробей:

7. Найдите разность:

8. Решите:

9. Домашнее задание:

Умножение и деление смешанных дробей. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

Умножение дробей с разными знаменателями

Как происходит перемножение

Что такое дробь?

Разновидности дробей

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Умножение дробей обыкновенных

Умножение дробей десятичных

Умножение смешанных дробей

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Сокращение дробей «на лету»

19. Как сложить ( вычесть ) 2 дроби с разными знаменателями. 20. Расскажите , как…

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей с отрицательными числами

Как складывать дроби с переменными — видео и расшифровка урока

Дроби и переменные

Часть дроби

Дроби в качестве коэффициентов

Итоги урока

Математика 1010 онлайн — Дроби

Кафедра математики — Колледж науки — Университет Юты

Дроби

Что такое дробь?

Умножение числителя и знаменателя на один и тот же множитель

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с разными знаменателями

Умножение дробей

Деление дробей

Наибольшие общие факторы и наименьшие общие Мультипликаторы

Смешанные номера

Правила делимости

дробей — Рациональные числа — Python 3.10.2 документация

Действия с дробями

Сложение дробей с общим знаменателем

Сложение дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с общим знаменателем

Вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение дробей на целые числа

Умножение дробей

Представление целого в виде дроби

Обратные числа

Деление дроби на целое число

Деление целого числа на дробь

Разделение дробей

Упражнения:

Видеоурок

1.4: Дроби — Математика LibreTexts

Сокращение

Умножение и деление дробей

Сложение и вычитание дробей

Ключевые выводы:

Сложение дробей со знаменателем — точка назначения

Добавить комментарий Отменить ответ