0.5: Разбор формул — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

89702

• Джоэл Фельдман, Эндрю Рехницер и Элиз Йегер 92} \end{выравнивание*}

  Это пример простой рациональной функции — отношения двух многочленов. Когда мы начнем исследовать эти функции позже в тексте, важно, чтобы мы могли понять, как вычислять такие функции при различных значениях \(x\text{.}\) Например,

  \begin{align*} f(5) &= \frac{1+5}{1+10-25} = \frac{6}{-14} = -\frac{3}{7} \end{ выровнять*}

  Однако более важно то, что мы понимаем, как разложить эту функцию на более простые части. Поскольку большая часть вашего курса исчисления будет включать в себя создание и изучение сложных функций путем их построения из простых частей, важно, чтобы вы действительно понимали этот момент.

  2}\text{.}\)

  Давайте объясним здесь части.

  • Изображение состоит из прямоугольников и стрелок, которые называются «узлами» и «ребрами» соответственно.
  • Есть два типа блоков: содержащие числа и переменную \(x\text{,}\) и содержащие арифметические операции «\(+\)», «\(-\)», «\(\times \)» и «\(/\)».
  • Если мы хотим представить формулу \(3+5\text{,}\), то мы можем нарисовать ее в виде следующей вишневой конфигурации

              оценивается как            

  • Соединяя такие маленькие «вишенки», мы можем описывать более сложные формулы. Например, если мы вычисляем «\((3+5)\times 2\)», мы сначала вычисляем «\((3+5)\)», а затем умножаем результат на 2. Соответствующие диаграммы равны

              оценивается как                        оценивается как            

  Дерево, которое мы нарисовали на рис. 0.5.1 выше, представляющее нашу формулу, имеет \(x\) в некоторых клетках, поэтому, когда мы хотим вычислить функцию при определенном значении \(x\) — скажем, при \( x=5\) — затем мы заменяем эти «\(x\)» в дереве этим значением, а затем вычисляем обратно дерево. См. пример ниже 92). \конец{выравнивание*}

  Оба ²  верны, потому что сложение является «ассоциативным». А именно

  \begin{align*} a+b+c &= (a+b)+c = a+(b+c). \конец{выравнивание*}

  Умножение также ассоциативно:

  \begin{align*} a \times b \times c &= (a \times b) \times c = a \times (b \times c). \конец{выравнивание*}

  Пример 0.5.2 разбора формулы

  Рассмотрим формулу

  \begin{align*} g(t) &= \left(\frac{t+\pi}{t-\pi} \right) \cdot \sin \left( \frac{t+\pi}{2} \right). \end{выравнивание*}

  Это вводит новую идею — мы должны вычислить \(\frac{t+\pi}{2}\), а затем вычислить синус этого числа. Соответствующее дерево может быть записано как

  Если мы хотим оценить это в \(t = \pi/2\), то получим следующее…

  Начало    \(\mapsto\)    

  \(\mapsto\ )    \(\mapsto\)    

  \(\mapsto\)                    и готово.

  Крайне маловероятно, что вам когда-либо понадобится явно строить такое дерево для какой-либо проблемы в оставшейся части текста. Основная цель знакомства с этими объектами и работы с несколькими примерами состоит в том, чтобы понять, что все функции, которые мы будем изучать, состоят из более простых частей. В частности, мы построили все приведенные выше примеры из простых «строительных блоков» 9.0032

  • константы — фиксированные числа, такие как \(1, \pi\) и т. д.
  • переменные — обычно \(x\) или \(t\text{,}\), но иногда и другие символы
  • стандартных функции — например, тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс), экспоненты и логарифмы.

  Эти простые строительные блоки объединяются с помощью арифметики

  • сложение и вычитание — \(a + b\) и \(a-b\)
  • умножение и деление — \(a \cdot b\) и \(\frac{a}{b}\) 9п\)
  Композиция
  • — учитывая две функции \(f(x)\) и \(g(x)\), мы формируем новую функцию \(f(g(x))\), оценивая \(y=g(x)\ ), а затем оценивая \(f(y) = f(g(x))\text{.}\)

  В оставшейся части курса, когда мы учимся вычислять пределы и производные, наши вычисления требуют от нас понимания того, как мы строим функции, как мы только что описали.