17/12 = 15/12
121212 = 15/12
12 1212 = 15/12
12 1212 вошел в 17 один раз с 5 в остатке.
Мы можем поставить 5 над 12 для получения смешанного числа 1 и 5/12 или 15/12
Моделирование Добавление дробей на сетку
модель 3/4 + 1/5. Сначала нужно создать сетку со сторонами 4 и 5. Почему четыре и пять? Это два знаменателя.
Следующий шаг — заполнить 3/4 доски. Ниже вы заметите, что мы заполнили 3 из 4 строк этой сетки. Вы также можете визуализировать это как заполнение 3 из каждых 4 блоков в каждом столбце.
Над синими фишками представлены три из четырех рядов.
Далее мы собираемся заполнить 1/5 сетки. Ниже мы заполняем одну из 5 колонок. Вы также можете визуализировать это как один из 5 квадратов в каждой строке.
Над четырьмя красными фишками представлена 1/5 сетки.
Далее мы собираемся переставить фишки так, чтобы в каждом квадрате было не более одной фишки.
Вверху мы располагаем доску так, чтобы у каждой фишки был свой квадрат
После того, как мы объединили наши фишки, вы видите, что у нас всего 19 фишек.
Итак, наш ответ на вопрос 3/4 + 1/5: 19/20
Добавление дробей от Кейтлин Шаг первый: что означают знаки — и +?
Знаки — и + означают, что вы будете либо вычитать из числа, либо добавлять к числу. Эти знаки называются знаками сложения и вычитания. Знак сложения +, а знак вычитания -. Если и когда вы вычитаете из числа (-), вы вычитаете эту сумму из другого числа. Давайте возьмем пример, например 2-1, вы должны начать с двух и вернуться (или вычесть) один в числовой строке. Числовые линии — отличная модель для сложения и вычитания. Итак, как показано здесь. Фиолетовая точка представляет собой начальный номер (2), а синяя точка представляет ответ (1). Этот ответ меньше, чем 2, с которых мы начали. Но когда вы складываете два числа вместе, ответ будет больше, чем числа, с которых вы начали. Например, если бы у вас была задача 3+2, вы бы начали с трех и продвигались вперед (добавляли) два, которые затем давали бы вам ответ пять.
Теперь есть больше шагов для сложения или вычитания дробей. Если вы хотите узнать об этих шагах, читайте дальше.
Шаг второй: что такое дробь?
Дробь — это то, что не является целым числом, дробь состоит из двух частей — числителя и знаменателя. Дробь находится между двумя целыми числами (числами) на числовой прямой, поэтому, если бы она была прямо посередине, если бы один и два, это было бы 1/2. вот и пример. Теперь ½ не единственная дробь, их сотни, некоторые примеры могут быть ⅙ или ⅕ или ⅛ и многие другие. Дроби никогда не являются одним числом сами по себе. Под этим я подразумеваю, что число 2 не является дробью, но если вы поместите его над единицей, потому что единиц две, оно станет дробью 2/1. Вы бы сделали числитель 2 и знаменатель 1. Это может быть другая дробь, например 1/7, это означает, что они равны одной седьмой, и то же самое относится и к другим дробям. Теперь, когда вы, надеюсь, понимаете, что такое дроби, переходите к следующему шагу.
Шаг третий: как изменить дроби, чтобы они имели одинаковый знаменатель.
Если вы хотите изменить дроби, чтобы они имели одинаковый знаменатель, вы должны сначала начать с двух дробей с разными знаменателями. Давайте использовать ⅓ и ⅙ . Теперь, если вы хотите сложить или вычесть эти две дроби и любые дроби, они ДОЛЖНЫ иметь общий (один и тот же) знаменатель. Это означает, что вам придется найти их наибольший общий делитель (GCF). Вы бы сделали это, найдя все числа, кратные шести и трем (знаменатели), в таблице, подобной этой, теперь вам нужно пройтись по списку и найти первое число, которое появляется в обоих столбцах. Теперь вы должны обнаружили, что 6 было одним из их кратных, поэтому следующее, что вы собираетесь сделать, это взять 6 и три и умножить их, чтобы получить шесть. Мы начнем с 6, 6×1=6, хорошо, теперь нам нужно сделать три 3×2=6, и теперь, когда у нас тот же знаменатель, нам нужно умножить и числители.
Сначала вы взяли ⅓, а затем изменили знаменатель на шесть, умножив его на два, теперь вы возьмете числитель и умножите его на два, потому что вы тоже умножили его на два. 1×2=2 просто так, поэтому наш конечный результат будет 2/6. После того, как вы сделаете это с одной из фракций, сделайте это с другой. Знаменатель умножается на единицу, чтобы получить шесть, поэтому мы возьмем и умножим его также на единицу, в результате чего у нас останется ⅙. Теперь, когда вы научились составлять общие знаменатели, читайте следующий шаг.
Шаг четвертый: неправильные дроби
Когда вы складываете две дроби, например 8/10 и 3/10, и получаете произведение, например 11/10, это называется неправильной дробью. Неправильная дробь – это когда числитель оказывается больше знаменателя. Мы исправляем неправильные дроби, превращая их в целые числа с дробями рядом с ними, чтобы они выглядели так: 2 ⅓ (нет, это не ответ). Сначала вы возьмете числитель и вычтете количество раз, которое вписывается в знаменатель.
Таким образом, это будет выглядеть примерно так. (Числитель) 11-10 (Знаменатель), где десять входит только один раз, так что мы получаем одно целое число и получаем произведение единицы, так что в качестве окончательного ответа мы получим 1 1/10. Если вы хотите превратить целое число в дробь, вы должны взять число, подобное 2, и умножить его на знаменатель на 2 (потому что целое число равно 2), что даст 20/10.
Заключение
В заключение я надеюсь, что эти шаги по сложению и вычитанию целых чисел помогли вам узнать, как складывать/вычитать дроби, и что вы сможете использовать эти шаги для будущих проблем, с которыми вы можете столкнуться. .Но помните, что есть много разных способов и примеров, чем то, что я вам предоставил, поэтому убедитесь, что вы не полагаетесь только на них, найдите другие способы сложения/вычитания дробей и найдите лучший, который вам подходит. Вот мои шаги для сложение и вычитание дробей, и я надеюсь, что они помогли вам.
Ключевым моментом при вычитании дробей, как и при сложении, является наличие «общих» знаменателей. Например, 5/7 — 2/7 = 3/7 работает, потому что оба знаменателя одинаковы (7). Обратите внимание, что знаменатель не меняется (7 остается прежним), но мы вычитаем числители.
Выше приведен пример вычитания дробей с общими знаменателями
Но что произойдет, если знаменатели разные? Если мы вычитаем дроби от 2/3 до 1/4, некоторые учащиеся могут подумать, что ответ равен 1/1, но это неверно. Мы не можем вычесть эти две дроби, пока у нас не будет общего знаменателя. В приведенном ниже примере вы можете увидеть, как мы получаем общие знаменатели для этих двух дробей. Под картинкой шаги решения проблемы
выше приведен пример сложения двух дробей с разными знаменателями
Этапы решения задачи 2/3 — 1/4:
Сложите две дроби (это не обязательно, но многим студентам это полезно)
Найдите общий знаменатель.
Вы можете сделать это двумя способами:
Вы можете найти кратные 4 (4,8,12,16,20,24,28 и т.д.) и 3 (3,6,9,12,15,18, 21,24,27). Первое число, которое они разделяют, является общим знаменателем. В данном случае 12.
Вы можете умножить знаменатели
Это не всегда лучший вариант, потому что иногда вы получаете знаменатель, который не всегда является наименьшим общим знаменателем.
Найдите новые числители
В примере с 2/3 тройка становится 12. Тройка увеличилась в четыре раза, поэтому в результате 2 также должна увеличиться в 4 раза до 8. Четверка также стало 12. Четыре увеличились в три раза, поэтому 1 становится в три раза больше.
Теперь, когда у вас есть общие знаменатели и новые числители, вы можете вычитать дроби.
8/12 + 3/12 = 5/12
Моделирование вычитания дробей на доске с сеткой
Ниже приведен пример использования доски с сеткой для моделирования 3/4 — 1/5.
Сначала нужно создать сетку со сторонами 4 и 5. Почему четыре и пять? Это два знаменателя.
Следующим шагом будет заполнение 3/4 доски. Ниже вы заметите, что мы заполнили 3 из 4 строк этой сетки. Вы также можете визуализировать это как заполнение 3 из каждых 4 блоков в каждом столбце.
Выше мы настраиваем нашу сетку, чтобы показать, что 3/4 сетки заполнены.
Далее мы собираемся заполнить 1/5 сетки. Ниже мы заполняем 1 из 5 столбцов. Вы также можете визуализировать его как 1 из пяти квадратов в каждом ряду.
Выше мы заполнили один из 5 столбцов красными фишками, чтобы представить 1/5
Далее мы собираемся соединить как можно больше синих фишек с красными фишками. Вы заметите, что мы можем создать четыре пары.
выше мы объединили синие фишки с красными фишками
Далее удаляем пары из сетки. Почему? Каждая пара вместе равна нулю (1 — 1). Поскольку они ничему не равны, мы можем удалить их, чтобы окончательный ответ было легче увидеть.
После того, как мы удалили пары (см.
выше), у нас осталось 11 синих фишек. Итак, наш ответ на вопрос 3/4 — 1/5 будет 11/20.
Умножение дробей
Умножение дробей очень простое. Просто умножьте числители, а затем умножьте знаменатели, и вуаля, у вас есть ответ. Сложнее для студентов понять, что происходит на самом деле.
Основное умножение
У вас есть задача 2/7 x 1/5. Что вы делаете? Сначала умножьте числители (2 х 1 = 2), затем умножьте знаменатели (7 х 5 = 35). Итак, ваш ответ 2/35.
Другой пример: 3/5 x 6/7. Умножьте числители (3 х 6 = 18) и знаменатели (5 х 7 = 35), и вы получите ответ 18/35.
Понимание того, что происходит
Если у вас есть проблема 1/2 x 1/2, вы отвечаете 1/4. Но как? Да, 1 х 1 = 1 и 2 х 2 = 4, но почему это ответ? На самом деле вопрос в том, что такое половина половины.
Представьте, что у вас есть шоколадный батончик Kit Kat, и вы ломаете его пополам (здесь я напеваю песню «Отломи мне кусочек этого батончика Kit Kat»). Теперь у вас есть две равные части шоколадного батончика Kit Kat.
Если вы возьмете одну из половинок и сломаете ее пополам, у вас получится половина половины.
Важно помнить, что все детали должны быть одинакового размера. Некоторые люди подумают, что ответ равен 1/3. Но не все 3 части одинакового размера. Если мы сломаем другую половину нашего батончика Kit Kat пополам, у нас будет в общей сложности 4 части.
Итак, если вы съели половину одной из половинок шоколадного батончика, вы на самом деле съели 1/4 от общего количества.
Моделирование умножения дробей
Допустим, вы умножаете 1/4 x 2/3. Это все равно, что сказать, что вы найдете 2/3 от 1/4 предмета.
Сначала нужно найти 1/4 предмета (другими словами: разделить его на 4 равные части).
Выше объект, разделенный на четверти
Затем возьмите одну из этих четырех частей и разделите ее на 3 равные части. 2 из этих трех частей — это то, что вы пытаетесь получить. Некоторые люди могут подумать, что ответ равен 2/6 (остальные три исходные части плюс четвертая часть, которую вы только что разделили на три части).
Но это было бы неправильно.
выше берем левую четвертую и делим ее на 3 части и заполняем 2 из 3 частей.
Помните, что все части (доли оригинала) должны быть одинаковыми. Итак, представьте, что вы берете три другие исходные части и также делите их на три.
Чтобы сделать все части одинакового размера, мы можем разделить каждую из четвертей на три части
Теперь у вас есть 12 частей. Таким образом, 2/3 от 1/4 равно 2/12 (упрощенно 1/6).
Деление дробей
Деление дробей очень похоже на умножение дробей, но с небольшим отличием. Если вы помните, ранее в этом году мы говорили о том, что деление на 2/5 равносильно умножению на 5/2. Почему это важно? Преобразование задачи деления в задачу умножения позволяет нам использовать различные свойства умножения, такие как свойство перестановочности. Кроме того, умножение намного проще.
Когда мы берем 2/5 и «переворачиваем» и делаем его 5/2, мы находим его обратное . Что такое обратное ? Одно число является обратным другому, когда произведение (ответ на задачу умножения) двух чисел равно единице.
Итак, 2/5 x 5/2 = 10/10 или 1.
Другой пример: обратная величина 3/8 равна 8/3. 3/8 x 8/3 = 24/24 или 1
Мы нашли обратную величину. Что теперь?
Умножить. Прелесть нахождения обратной величины в том, что мы создали задачу на умножение, которую уже (см. тему №16) знаем, как решать.
Несколько примеров:
2/7 ÷ 3/5. Поскольку мы делим 2/7 на 3/5, мы можем найти обратную величину 3/5 (5/3) и умножить
3/8 ÷ 7/10 = 3/8 x 10/7 = 30/56 (15 /28 упрощенно)
5/6 ÷ 1/4 = 5/6 x 4/1 = 20/6 (3 1/3 преобразовано в смешанное число и упрощено)
Предостережение
Если вы заметили, что мы находим обратное число, на которое мы делим. В нашем первом примере выше (2/7 ÷ 3/5) мы нашли обратную величину 3/5. Если бы мы попытались найти обратную величину только 2/7 или обеих дробей, мы не получили бы правильного ответа.
Факторизация простых чисел
Простые числа
Простое число:
целое число больше 1, которое можно
не получить путем умножения других целых чисел Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23,
и у нас есть диаграмма простых чисел, если вам нужно больше.
Если мы можем составить путем умножения других целых чисел, то это составное число .
Так:
2 — Prime, 3 — Prime, 4 — Composite (=2×2), 5 — Prime и так далее…
Факторы
«Коэффициенты» — это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить
другой номер:
Простая факторизация
«Факторизация простых чисел» находит , какие простые числа перемножаются, чтобы получить исходное число.
Вот несколько примеров:
Пример: Каковы простые делители числа 12?
Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое
равно 2, поэтому давайте проверим:
12 ÷ 2 = 6
Да, оно делится ровно на 2. Мы сделали первый шаг!
Но 6 не простое число, поэтому нужно идти дальше. Давайте еще раз попробуем 2:
6 ÷ 2 = 3
Да, это тоже сработало. А 3 — это — простое число, поэтому у нас есть ответ:
12 = 2 × 2 × 3
Как видите, каждый делитель является простым числом , поэтому ответ должен быть правильным.
Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием показателей степени как 12 = 2 2 × 3
Пример: Какова простая факторизация числа 147?
Можем ли мы разделить 147 точно на 2?
147 ÷ 2 = 73½
Нет, не может. Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.
Давайте попробуем следующее простое число
число, 3:
147 ÷ 3 = 49
Это сработало, теперь попробуем разложить 49 на множители.
Следующее простое число 5 не работает. Но 7 подходит, поэтому мы получаем:
49 ÷ 7 = 7
И это все, что нам нужно сделать, потому что все множители
простые числа.
147 = 3 × 7 × 7
(или 147 =
3 × 7 2 с использованием показателей)
Пример: Какова простая факторизация числа 17?
Подожди… 17 — простое число .
Вот и все, что мы можем сделать.
17 =
17
Другой метод
Мы показали вам, как разложить на множители, начав с наименьшего простого числа и продвигаясь вверх.
Но иногда проще разбить число на любые множители , которые вы можете … затем разложить эти множители на простые числа.
Пример: Каковы простые делители числа 90?
Разбить 90 на 9 × 10
- Простые множители числа 9 3 и 3
Простые делители числа 10 равны 2 и 5
Итак, простые делители числа 90 равны 3, 3, 2 и 5
Факторное дерево
И «Дерево множителей» может помочь: найти любых множителей числа, затем множители этих чисел и т.д., пока мы не сможем больше множить.
Пример: 48
48 = 8 × 6 , поэтому запишем «8» и «6» ниже 48
Теперь мы продолжаем и делим 8 на 4 × 2
Затем 4 на 2 × 2
И, наконец, 6 на 3 × 2
Мы не можем найти больше
основные факторы.
Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
(или 48 =
2 4 × 3 с использованием показателей)
Зачем искать Prime Factors?
Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может
учитываться дальше!
Любое другое целое число можно разбить на простые множители.