Распределительное сочетательное и переместительное свойства: Переместительное свойство умножения – определение (5 класс, математика)

Содержание

Свойства действий с рациональными числами

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Рациональные числа
  5. Свойства действий с рациональными числами

Свойства сложения рациональных чисел

Из приведенных свойств сложения чисел следует, что в сумме нескольких рациональных чисел слагаемые можно менять местами и расставлять скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнения действий.

Примеры:

1) 9 + 4 = (9 4) = 4 и 4 + (9) = (9 4) = 5;

    2 + (6) = (2 + 6) = 8 и 6 + (2) = (6 + 2) = 8;

2) (5 + 2,5) + 1,5 = (5 2,5) + 1,5 = 2,5 + 1,5 = (2,5 1,5) = 1 и 5 + (2,5 + 1,5) = 5 + 4 = (5 4) = 1;

3) 3 + 0 = 3.

Свойства умножения рациональных чисел

Примеры:

1) (2)3 = (23) = 6 и 3(2) = 6;

    (5)(2) = 10 и (2)(5) = 10;

2) (23)4 = 64 = 24 и 2(34) = 212 = 24;

3) 5(3 + 2) = 53 + (5)2 = 15 + (10) = 15 10;

4) 41 = 4;

5) ;

6) 70 = 0.

Из приведенных свойств умножения следует, что в произведении нескольких рациональных чисел множители можно менять местами, расставлять и раскрывать скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнения действий.

Коэффициент

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом или просто коэффициентом.

Примеры:

1) В выражении коэффициентом является число 0,5.

2) В выражении коэффициентом является число .

3) В выражении коэффициентом является число 1, т.к. .

4) В выражении коэффициентом является число 1, т.к. .

5) В выражении ни одно из чисел 3 и 5 не является коэффициентом. Но данное выражение можно преобразовать, используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получим новое выражение , в котором коэффициентом является число 15.

Обратите внимание, в выражении коэффициентом является число 3, но, как правило, коэффициент записывают перед буквенными множителями: .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой

Модуль числа

Рациональные числа

Сравнение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел

Вычитание рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Раскрытие скобок

Решение уравнений

Рациональные числа

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Задание 1206, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1208, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1226, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1253, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1256, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1260, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1261, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1295, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1334, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1506, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Свойства умножения натуральных чисел: переместительное, сочетательное, распределительное

В данной публикации мы рассмотрим 4 основных свойства умножения натуральных чисел, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала.

Свойства умножения чисел

Свойство 1: переместительный закон

От перестановки мест сомножителей их произведение не меняется.

a ⋅ b = b ⋅ a

Примеры:

  • 5 ⋅ 8  = 8 ⋅ 5
  • 14 ⋅ 29 = 29 ⋅ 14

Примечание: количество сомножителей может быть любым. Например, вот произведение трех чисел:

26 ⋅ 101 ⋅ 7 = 26 ⋅ 7 ⋅ 101 = 101 ⋅ 26 ⋅ 7 = 101 ⋅ 7 ⋅ 26 = 7 ⋅ 26 ⋅ 101 = 7 ⋅ 101 ⋅ 26

Свойство 2: сочетательный закон

Результат умножения одного числа на произведение других (например, второго и третьего) равен произведению первого и второго числа, умноженному на третье.

a ⋅ (b ⋅ с)  = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c

Т.е. соседние (и не только) сомножители (их может быть любое количество) можно заменять их произведением.

a ⋅ b ⋅ с ⋅ d = (a ⋅ b) ⋅ (c ⋅ d) = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ c) ⋅ (b ⋅ d)

Примеры:

  • 25 ⋅ 4 ⋅ 10 = (25 ⋅ 4) ⋅ 10 = 25 ⋅ (4 ⋅ 10)
  • 50 ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ 5 = (50 ⋅ 2) ⋅ (30 ⋅ 5)
  • 20 ⋅ 6 ⋅ 15 ⋅ 4 ⋅ 11 = (20 ⋅ 4) ⋅ (6 ⋅ 15) ⋅ 11

Свойство 3: распределительный закон

Умножение на сумму чисел

Для умножения числа на сумму требуется это число отдельно умножить на каждое слагаемое, затем полученные результаты сложить.

a ⋅ (b + с)  =  a ⋅ b + a ⋅ c

Сомножители можно поменять местами (согласно переместительному свойству, рассмотренному выше):

(b + с) ⋅ a = a ⋅ b + a ⋅ c

Примеры:

  • 54 ⋅ (13 + 17) = 54 ⋅ 13 + 54 ⋅ 17
  • 16 ⋅ (4 + 22 + 78) = 16 ⋅ 4 + 16 ⋅ 22 + 16 ⋅ 78

Умножение на разность чисел

Чтобы число умножить на разность, нужно его отдельно умножить на уменьшаемое и вычитаемое, затем из первого результата вычесть второе.

a ⋅ (b – с)  =  a ⋅ b – a ⋅ c

Меняем сомножители местами и получаем:

(b – с) ⋅ a = a ⋅ b – a ⋅ c

Примеры:

  • 9 ⋅ (18 – 5) = 9 ⋅ 18 – 9 ⋅ 5
  • (63 – 48 – 20) ⋅ 3 = 63 ⋅ 3 – 48 ⋅ 3 – 20 ⋅ 3

Свойство 4: умножение на ноль

Если число (произведение чисел) умножить на ноль, в результате получится ноль.

a ⋅ 0 = 0

Примеры:

  • 12 ⋅ 0  = 0
  • 24 ⋅ 36 ⋅ 51 ⋅ 0 = 0

Урок для 4 класса по теме: «Распределительное свойство умножения относительно сложения»

1.Проверка домашнего задания (Слайд№4)

Решение задач на нахождение неизвестного по двум разностям

  • В первом куске 3 м ткани, во втором 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит больше первого на 240 р. Сколько стоит каждый кусок ткани?

  • С одного участка собрали  25 мешков лука, а с другого 19 таких же мешков. Причём со второго участка собрали на 360 кг меньше, чем с первого. Сколько кг лука собрали с каждого участка?

-С какими трудностями встретились при выполнении домашнего задания?

— Как записали условие задачи?

— Кто научился решать задачи данного вида?

2. Игра молчанка, математический диктант.

1) Устный счёт (Слайд№5), (Слайд№6)

2500 + 60 + 8 100: 25 1 000 : 100

7 + 100 + 1000 100 • 5 72 : 3

9600 + 400 6 • 40 720 : 30

3 000 + 9 000 11 • 9 91 : 7

84 : 42 910 : 70

2) Арифметический диктант (Слайд№7) проверка

— 736 увеличить на 20.
– 31.214 уменьшить на одну сотню.
– 31 увеличить в 3 раза.
– Какое число меньше 926 на 100?
– Чему равна сумма чисел 420 и 26?
– Из 540 вычесть 5 единиц.
– 85.602 увеличить в 10 раз.
– Чему равна сумма чисел 61.000 и 405?
– На сколько 1000 больше 65?

2)- Повторение переместительного и сочетательного законов умножения и сложения (Слайд №8)

— Посмотрите на равенства. Прежде чем мы с ними начнём работать, обратите внимание на математические действия. Какие действия встречаются в этих выражениях?

3)- Распределите выражения в два столбика. По какому признаку мы это сделаем? (Слайд№9)

(248 + 7309) + 96 = 248 + (7 309 + 96) 269 + 1050 = 1050 +269

(105 х 2) х 3 =105 х (2 х 3) 13 х 25 = 25 х 13

Сочетательное свойство Переместительное свойство

— Сформулируйте переместительное свойство сложения, умножения; Сочетательное свойство сложения, умножения.

— Зачем нужно знать свойства в математике?

Почему последнее выражение не вошло ни в один столбик?

— Как нашли результат? (Сначала выполнили действие в скобках, затем умножение).

— Давайте выпишем его отдельно. Как по-другому можно решить это выражение?

Выполните у доски.

— Может, вы вспомните, как это свойство называется в математике?

Тема урока (Слайд №10)

— Чему будем учиться на уроке?

— Давайте посмотрим, как ученики лесной школы выполнили умножение суммы на число.

Откройте учебники на стр. 89, прочитайте ещё раз распределительное свойство умножения относительно сложения

(№379 с.89)

— Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, запишите выражения, равные данным (по вариантам)

1 в. 2в.

(112 + 44) х3; (7 +4) х 132

(16 + 18) х 25; (36+ 24) х 9

— Так как умножить сумму на число?

Чтобы умножить сумму двух чисел на какое-нибудь число, можно каждое слагаемое умножить на это число и сложить полученные результаты.

(№ 380 с.90)

— Найдите значение выражения двумя способами. (Слайд №11)

(50 +19) х 2 = 69х2=138

(50 +19) х 2 = 50х2 + 19х2=100 + 38 =138

(72 + 28) х 7 = 100х7=700

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7= 504 + 196 = 700

— В каком случае пользоваться при вычислении распределительным свойством неудобно?

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7

3 . Физкультминутка (слайд №12)

А)Вычислите удобным способом. Поработайте в группах.

(13 + 17) х 5 (14 + 16) х 9 (12 + 18) х 7

  1. 3) х 6 (7 + 8) х 4 (4 + 7) х 5

В) Решение задач (слайд №13)

— Двое рабочих изготавливают одинаковые детали. Один рабочий делает за час 27 деталей, а другой – 32 детали. Сколько всего деталей они изготовят за 8 часов?

— Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов. Скорость первого поезда 85 км/ч, а второго – 65 км/ч. Через 4 часа они встретились. Каково расстояние между пунктами, из которых выехали поезда?

Проверка (Слайд№14)

Итог урока (Слайд№15)

  • сегодня я узнал…

  • было интересно…

  • было трудно…

  • я выполнял задания…

  • я понял, что…

  • теперь я могу…

  • я почувствовал, что…

  • я приобрел…

  • я научился…

  • у меня получилось …

  • я смог…

  • я попробую…

  • меня удивило…

  • урок дал мне для жизни…

  • мне захотелось…

9. Самооценка (слайд№16)

— Какая была проблема?

— Какой способ умножения многозначного числа на однозначное мы использовали сегодня?

— Какое свойство произведения нам помогло?

— О каких способах поговорим на следующем уроке?

Методика работы над свойствами арифметических действий Значение свойств

1. Знание свойств позволяет учащимся глубже осознать само арифметическое действие и дает возможность осознанно овладевать вопросами практического характера.

2. Свойства служат теоретической основой вычислительных приемов.

3. Свойства арифметических действий (в первую очередь переместительные) служат для сокращения числа табличных случаев для запоминания.

Например, ученик, выучив табличный случай 2 · 5, может не заучивать случай 5 · 2, воспользовавшись переместительным свойством умножения.

4. Хорошо усвоив свойства, учащиеся во многих случаях способны сами открывать новые вычислительные приемы.

5. Свойства необходимы для осознанности и рациональности вычислительных навыков.

При выполнении вычислений дети приучаются каждый раз внимательно разбираться в особенностях тех чисел, над которыми произведены арифметические действия и, опираясь на теоретические знания, выбирать наиболее рациональные способы действий.

Усвоить свойство – это значит усвоить, какие можно выполнять преобразования данного математического выражения, чтобы его значение не изменилось.

Например, 2 + 7 = 7 + 2

(20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4

Свойства рассматриваются в большинстве программ на уровне понятийного обобщения. Во всех программах изучаются переместительное свойство сложения, переместительное свойство умножения, сочетательное свойство сложения, сочетательное свойство умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения (умножение суммы на число), умножения, распределительное свойство деления относительно сложения (деление суммы на число).

Некоторые свойства усваиваются в виде оперативных правил. По мнению Н.А. Менчинской, младшие школьники легче усваивают те или иные математические закономерности, если они сформулированы в виде оперативных правил.

Система изучения свойств в программе м.И. Моро

1 класс.

1) Практическое (без теоретической формулировки) знакомство с сочетательным свойством сложения. На основе действий с предметами дети убеждаются, что присоединить предметы к данной группе можно в целом или по частям, результат будет тот же.

Например, 6 + 3 = 6 + 2 + 1

6 + 3 = 6 + 1 + 1 + 1

2) Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не изменяется (1 класс, часть 2, с.14).

На основе свойства рассматривается прием перестановки слагаемых.

2 Класс.

1) Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. (2 класс, часть 1, с.38).

На этом этапе рассматривается прием перестановки слагаемых (он изучался в 1-м классе) и вводится прием группировки слагаемых. Показывается, как использование того и другого приемов дает возможность рационализировать вычисления в случае сложения нескольких слагаемых:

Используя оба свойства сложения, можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.

Например: 6 + 9 + 4 + 1 = (6 + 4) + (9 + 1)

17 + 8 + 3 + 2 = (17 + 3) + (8 + 2)

2) Из программы исключены ранее изучавшиеся (в 1 классе трехлетней начальной школы) свойства (точнее, оперативные правила – следствия из свойств): прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа. Вместо них введены правила:

— Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

— Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

3) Переместительное свойство умножения (2 класс, часть 2, с.48): от перестановки множителей произведение не изменяется.

Сочетательное и распределительное свойства умножения — Знания.org

Пошаговое объяснение:

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a — b) = m · a — m · b

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a — b) · m = a · m — b · m

Переход от умножения:

m · (a + b) и m · (a — b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b и m · a — m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b и m · a — m · b

к умножению:

m · (a + b) и m · (a — b)

§17. Сочетательное и распределительное свойства умножения

ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте сочетательное свойство умножения.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

2. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство умножения?

3. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения.

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

4. Как записывают в буквенном виде распределительное свойство умножения относительно сложения? Вычитания?



РЕШАЕМ УСТНО

1. Заполните цепочку вычислений:

2.  Произведение чисел 3 и 8 умножьте на 100.

(3•8)•100=2400

3. Число 3 умножьте на произведение чисел 8 и 100.

3•(8•100)=2400

4. Найдите произведение суммы чисел 8 и 7 и числа 6.

5. Найдите сумму произведений чисел 8 и 6 и чисел 7 и 6.

6. Можно ли представить число 6 в виде произведения 100 множителей?

7. В инкубаторе было 1 000 яиц. Из каждых 100 яиц вылупилось 95 цыплят. сколько всего вылупилось цыплят?



УПРАЖНЕНИЯ

420. Вычислите удобным способом:

421. Вычислите удобным способом:

422. Упростите выражение:

423. Упростите выражение:

424. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

425.  Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

426. Раскройте скобки:

427. Раскройте скобки:

428. Упростите выражение:

429. Упростите выражение:

430. Упростите выражение и найдите его значение:

431. Упростите выражение и найдите его значение:

432. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения:

433. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения:

434. Упростите выражение и найдите его значение:


435. Упростите выражение и найдите его значение:

436.  Вычислите удобным способом:

437. Вычислите удобным способом:

438. Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

439. Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

440. Выполните умножение:


441. Выполните умножение:



442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел: 1) от 1 до 10 включительно; 3) от 10 до 30 включительно; 2) от 15 до 24 включительно; 4) от 1 до 100 включительно.



УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

443. Угол АВС — прямой, луч ВР — биссектриса угла АВК, луч ВМ — биссектриса угла СВК (рис. 145). Какова градусная мера угла МВР?

444. По двору бегали котята и цыплята. Вместе у них было 14 голов и 38 ног. Сколько котят и сколько цыплят бегало по двору?

445. Семья из двух взрослых и ребенка может поехать на отдых поездом или на автомобиле. Билет на поезд для одного взрослого стоит 1 440 р., а для ребенка в два раза меньше. Автомобиль расходует 12 л бензина на 100 км, а цена одного литра бензина 40 р. Расстояние до места отдыха равно 600 км. Каким видом транспорта этой семье дешевле доехать до места отдыха?



ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ

446. В пятом классе учатся трое друзей: Миша, Дима и Саша. Один из них занимается футболом, второй — плаванием, а третий — боксом. У футболиста нет ни брата, ни сестры, он самый младший из друзей. Миша старше боксера и дружит с сестрой Димы. Каким видом спорта занимается каждый из друзей?

Миша — плаванием.
Дима — боксом.
Саша — футболом.

сочетательное и распределительное свойство умножения | План-конспект урока по математике (5 класс):

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формирование УУД

Дидактические средства

1.Организационный этап-1мин

Эмоциональный настрой на урок.

Сегодня нам предстоит подвести итог тому, чем мы занимались несколько последних уроков. 

Известный учёный  Ал — Бируни: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

 Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

Включаются в деловой ритм урока

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности

Личностные: мотивация учения

2.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся -2мин

Перед вами карточки самооценивания, которые вы будете заполнять по мере выполнения заданий.

Я желаю вам всем достичь своей цели. Для этого нужно работать дружно, уметь слушать друг друга.

Наш маршрут действий сегодня:

Учащиеся ставят перед собой цель, формулируют тему урока.

Маршрут отражен  в карточках самооценивания

Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме.

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

слайд№1

приложение

3.Устная работа-2мин

Повторение законов умножения-2мин

Вычислите удобным способом, назовите закон, на который опирались при вычислениях :

а)    2 ∙ 438∙5

б)    125∙63∙8

в)42∙86 + 86∙58

г) 954∙97 -854 ∙97

А теперь давайте вспомним законы умножения, работаем с сигнальными карточками.

Сформулировать  переместительный  закон  умножения, показать его математическую запись.    Сформулировать  сочетательный закон умножения, показать  его математическую запись.

Сформулировать  распределительный  закон  умножения  относительно сложения, показать его математическую  запись.

Сформулировать  распределительный  закон  умножения  относительно вычитания, показать его математическую запись.

Учащиеся отвечают устно

 

Формулируют законы умножения, работают с сигнальными карточками

           

Познавательные: структурирование собственных знаний.

Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Личностные:  оценивание усваиваемого материала.

4.Математический

диктант на применение свойств умножения (с взаимопроверкой в парах)-5мин

Буквы

m,n,с -1вариант,

x,y,в- 2вариант

1. Записать переместительное свойство умножения m,n-1вариант, x,y -2 вариант

2. Записать сочетательное свойство умножения

3. Записать распределительное свойство умножения относительно сложения

Выполняется на листках

Проверка 

1вариант                          2вариант

 

mn = nm                                  xy = yx

(mn)с =  m(nс)                     (xy)в = x(yв)                

m(n+с)   = mn+mс            x(y+в) =  xy +xв    

Готовые  ответы  проецируются  на  экран

слайд№2

5.Физкультминутка -2мин

Давайте немного отдохнем.

Поднимает руки класс – это «раз».
Повернулась голова – это «два».
Руки вниз, вперед смотри – это «три».
Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,
С силой их к плечам прижать – это «пять».
Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу.

6.Самостоятельная работа -12мин

1.Вычисли удобным способом:

а)  2*426*5=

б) 25*343*4=

2.Упрости:

а) 16*3а=

б) 5х*7у=

3. Раскрой скобки:

а) 3(х+2)=

б) (а-в)4=

4.Упрости:

а) 3х+2х=

б) с+5с=

Ребята выполняют задания, затем меняются тетрадями и проверяют.

«5»-за 8 верно выполненных заданий;

«4»- за 7-6 верно выполненных заданий;

«3»- за 5-4 верно выполненных заданий;

«2»- за 3-0 верно выполненных заданий;

Взаимопроверка

ответы 

  1. а)4260;    б) 34300;
  2. а)48а;      б) 35ху
  3. а)3х+6;   б) 4а-4в
  4. а) 5х;      б) 6с

Познавательные: формирование интереса к данной теме.

Личностные: формирование готовности к самообразованию.

Коммуникативные: слушать и понимать речь других.

Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

слайд №3

7.Индивидуальная работа (по уровням)-6мин

Выбираем задания

Стр. 10, 35

№123-«3»

№124-«4»

№125-«5»

Учащиеся выбирают свой уровень задания и выполняют в рабочей тетради

Познавательные: структурирование собственных знаний.

Личностные:  оценивание усваиваемого материала

дидактический материал по математике для 5класса  А.С.Чесноков

8.Практическая работа-8мин

Составление карточек с заданиями на применение свойств умножения по образцу.

На отдельных карточках составляют задания по образцу, сдают учителю.

Познавательные: формирование интереса к данной теме.

Личностные: формирование готовности к самообразованию.

Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в письменной форме;

Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата

образец на доске

приложение

9.Информация о

домашнем задании-2мин

Учитель комментирует задания

д/з (на доске)

 «3» — №423 (5;6) +

«4» — № 425 (3)  +

«5» — № 427 (5;6)

Ребята записывают в дневники домашнее задание

10.Подведение  итогов  урока. Рефлексия учебной

Деятельности-3мин

Вся работа фиксируется в сводной таблице

Комментирует результаты работы учащихся, выставляет оценки, отмечает, как были достигнуты цели урока.

Подведение итогов:

Если у вас:  

13-12  «+»  -ставим оценку «5»;

                     

11- 9 «+»  — ставим оценку «4»;

                     

8-6  «+»   — ставим оценку «3».

Рефлексия учебной деятельности на уроке

Я предлагаю вам изобразить смайлики на своих карточках:

Мне показалось трудным…

Мне на уроке понравилось…

Я бы ещё хотел выполнить …

☹ ☺ •

Ребята подводят итог работы, подсчитывают количество «+», ставят предварительную оценку, сдают карточки учителю, изобразив перед этим на карточке выбранный смайлик.

Личностные: формирование позитивной самооценки

Коммуникативные: 

Регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы.

Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке

приложение

Распределительная собственность | Определение, использование и примеры

Определение распределительной собственности

В математике распределительное свойство говорит, что сумма двух или более слагаемых, умноженная на число, дает тот же ответ, что и распределение множителя, умножение каждого слагаемого отдельно и сложение произведений.

PEMDAS в сравнении с распределительной собственностью
Порядок работы PEMDAS Использование распределительной собственности
(5 + 7 + 3) × 4 (5 + 7 + 3) × 4
= 15 × 4 = (5 × 4) + (7 × 4) + (3 × 4)
= 60 = 20 + 78 + 12
= 60

Что такое распределительная собственность?

Распределительное свойство — одно из наиболее часто используемых свойств в математике.Он используется для упрощения и решения уравнений умножения путем распределения множителя для каждого числа в скобках, а затем сложения этих продуктов вместе, чтобы получить ваш ответ.

Ступеньки распределительной собственности
Шаг
7 × 7 + 5 + 8 =? Данное уравнение
77 + 75 + 78 =? Распределить множитель
49 + 35 + 56 =? Умножить
= 140 Добавить

Распределительное свойство объединяет три основные математические операции в две пары: умножение и сложение; и умножение и вычитание.

Распределительное свойство утверждает, что для действительных чисел a, b и c всегда выполняются два условия:

  • a (b + c) = ab + ac
  • a (b — c) = ab — ac

Вы можете использовать свойство распределения, чтобы превратить одно сложное уравнение умножения в две более простые задачи умножения, а затем сложить или вычесть два ответа по мере необходимости.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство такое же, как и распределительное свойство умножения, и его можно использовать при сложении или вычитании.

Вот примеры распределительного свойства умножения в действии:

Распределительное свойство сложения и вычитания
Распределительная собственность сверх добавления Распределительная собственность за вычетом
6 × (10 + 5) 6 × (10-5)
= (6 × 10) + (6 × 5) = (6 × 10) — (6 × 5)
= 60 + 30 = 60–30
= 90 = 30

Распределительное имущество дивизии

Свойство распределения не применяется к делению на то же самое, что и при умножении, но идея распределения или «разрушения» может быть использована при делении.

Распределительный закон деления можно использовать для упрощения задач деления путем разбиения или распределения числителя на меньшие количества, чтобы упростить решение задач деления.

Вместо того, чтобы пытаться решить 1255, вы можете использовать распределительный закон деления, чтобы упростить числитель и превратить эту единственную задачу в три меньшие, более простые задачи деления, которые вы сможете решить намного проще.

505 + 505 + 255

10 + 10 + 5

25

Примеры распределительной собственности

Эти примеры проблем, которые могут помочь вам понять возможности Distributive Property:

  1. 11 × (10 + 5) =?
  2. 11 (10 + 5) =?
  3. 11 (10) + 11 (5) =?
  4. 110 + 55 =?

Слишком просто? Давайте попробуем решить задачу со словами, используя денежные суммы:

Вы покупаете девять упакованных ланчей для членов математического клуба по цене 7 долларов.90 каждый. Используя мысленную математику, сколько вам следует возместить за обеды? Вы заметили, что 7,90 доллара — это всего 0,10 доллара от 8 долларов, поэтому вы используете свойство Distributive:

.
  • 9 (7,90 долл. США) =?
  • 9 (8 долларов — 0,10 доллара) =?
  • 9 (8 долларов) — 9 (0,10 доллара) =?
  • 72 доллара — 0,90 доллара = 71,10 доллара

Казначей математического клуба должен возместить вам 71,10 доллара за обед.

Как пользоваться распределительной собственностью?

В основных операциях свойство распределения применяется к умножению множимого для всех членов в круглых скобках.Это верно независимо от того, прибавляете ли вы или вычитаете термины:

2 (3 + 4 + 5) — 6 (7 + 8) =?

Свойство распределения позволяет распределять множимые или множители вне скобок (в данном случае 2 и -6) для каждого члена в скобках:

2 (3) + 2 (4) + 2 (5) — 6 (7) -6 (8) =?

6 + 8 + 10 — 42 — 48 =?

24–90 = -66

Вы можете использовать характеристики Распределительного свойства, чтобы «разбить на части» то, что тоже слишком сложно сделать в качестве мысленной математики:

9 × 1847 =?

Разверните множитель и распределите множимое на каждое значение разряда:

9 (1000) + 9 (800) + 9 (40) + 9 (7) =?

9000 + 7 200 + 360 + 63 =?

Ассоциированные (групповые) дополнения для облегчения умственного сложения:

(9000 + 7200) + (360 + 63) =?

16 200 + 423 = 16 623

Алгебра распределительных свойств

В алгебре свойство распределенности используется, чтобы помочь вам упростить алгебраические выражения, объединить похожие термины и найти значения переменных.Это работает с одночленами и при умножении двух двучленов:

3 (5a + 12) — (a + 8) =?

Раздайте 3 и -1:

3 (5a) + 3 (12) + (-1) (a + 8) =?

15a + 36 — a — 8 =?

Объедините похожие термины:

14a + 28 =?

Вычтем 28 с обеих сторон:

14a = -28

Разделите обе стороны на 14:

а = -2

Вот еще один пример того, как использовать свойство распределенности для упрощения алгебраического выражения:

(3x + 4) (x -7)

(3x + 4) (x + -7)

Используйте распределительную собственность:

(3x) (x) + (3x) (- 7) + (4) (x) + (4) (- 7)

Упростить:

3×2 — 21x + 4x — 28

Объедините похожие термины:

3×2 — 17x — 28

Возможно, вы знакомы с этапами решения биномов, как с методом FOIL :

  • F Умножаются первые члены каждого бинома
  • O uter members — первый член первого бинома и второй член второго бинома умножаются
  • I nner members — второй член первого бинома и первый член второго бинома умножаются
  • L аст-членов — последние члены каждого бинома умножаются на

Знаки отрицательные и положительные с распределительным свойством

Distributive Property работает со всеми действительными числами, включая положительные и отрицательные целые числа.В алгебре особенно нужно обращать внимание на отрицательных знаков в выражениях.

Просмотрите шаги, указанные выше, которые мы использовали для решения этой проблемы, выше:

3 (5a + 12) — (a + 8) =?

Мы добавили знак + после первого члена и распределили -1 до , и 8, вот так:

3 (5a + 12) + (-1) (a + 8) =?

Затем мы распределили знак минус для обоих терминов во вторых скобках:

15a + 36 — a — 8 =?

Мы можем показать это распределение знака минус с помощью двух общих формул, одной для сложения и одной для вычитания:

  • — (а + б) = — а — б
  • — (а — б) = — а + б

Распределительное свойство в геометрии

Мы можем применить Распределительное свойство к геометрии при работе с задачами, включающими области прямоугольников .Хотя алгебра может показаться не связанной с геометрией, эти два поля сильно связаны.

Предположим, нам представлен рисунок, на котором отсутствуют числа, но есть взаимосвязь.

Мы понятия не имеем, что такое ширина и длина, но нам сказали, что прямоугольник имеет площадь 65 квадратных метров. Как рассчитать ширину и длину?

Мы знаем, что площадь равна ширине, умноженной на длину (w × l), которая в данном случае равна x для ширины и x + 8 для длины, или (x) (x + 8).

Запишите, что мы знаем:

x (x + 8) = 65 м2

Раздать x:

x2 + 8x = 65 м2

Преобразуйте его в квадратное уравнение (вычтите, чтобы одна сторона стала 0):

x2 + 8x — 65 = 0

Разложите квадратное уравнение на множители:

(х — 5) (х + 13) = 0

x — 5 = 0 и x + 13 = 0

x = 5 и x = -13

У нас не может быть отрицательного числа для ширины или длины, поэтому правильный ответ — x, ширина, равна 5.Это означает, что длина x + 8 равна 13. Мы можем проверить нашу работу:

(5м) (8м) = 65м2

Размещение, смещение и отклонение преступления на JSTOR

Abstract

Модели преступности следует рассматривать как результат политики борьбы с преступностью и распределения возможностей. Часто утверждается, что такая политика контроля над преступностью имеет ограниченный эффект вытеснения преступлений, то есть замены предотвращенных преступлений новыми преступлениями. Само по себе перемещение — это неадекватная концепция; лучшая формулировка сосредотачивается на отклонении преступления от цели.Некоторые модели отклоненных преступлений можно рассматривать как «мягкое» вытеснение, а другие — как «злонамеренные». Задуманное таким образом отклонение может быть использовано в качестве политического инструмента для достижения более «желательной» модели преступности. Он уже используется, в частности, страховыми компаниями с коммерческими мотивами. Требуются более совершенные информационные системы, чтобы показать смещение или отклонение и помочь в мониторинге распространения преступности в пространстве и времени. Модели преступной деятельности и виктимизации можно концептуализировать как результат сознательных и бессознательных решений общественности, политиков и полиции.Эти модели не являются неизменными, и альтернативные стратегии, включающие понимание отклонения от преступности, могут привести к новым, более справедливым моделям виктимизации.

Информация о журнале

Текущие выпуски теперь находятся на веб-сайте Chicago Journals. Прочтите последний выпуск. Начиная с 1979 года, серия «Преступление и правосудие» представляет собой обзор последних международных исследований, предоставляющих экспертные знания для улучшения работы социологов, психологов, уголовных юристов, ученых-юристов и политологов.В сериале исследуется полный спектр проблем, касающихся преступности, ее причин и способов лечения. И в обзоре, и в тематических томах «Преступность и правосудие» предлагается междисциплинарный подход к решению основных проблем криминологии.

Информация об издателе

С момента своего основания в 1890 году в качестве одного из трех основных подразделений Чикагского университета, University of Chicago Press взяла на себя обязательство распространять стипендии высочайшего стандарта и публиковать серьезные работы, способствующие образованию, содействию развитию образования. общественное понимание и обогащение культурной жизни.Сегодня Отдел журналов издает более 70 журналов и сериалов в твердом переплете по широкому кругу академических дисциплин, включая социальные науки, гуманитарные науки, образование, биологические и медицинские науки, а также физические науки.

Свойства преобразования Фурье

На этой странице мы немного лучше познакомимся с нашим новым другом — преобразованием Фурье. Некоторые простые свойства преобразования Фурье будут представлены еще более простые доказательства.На следующей странице будет представлен более полный список свойств преобразования Фурье. с меньшими доказательствами:

Линейность преобразования Фурье

Во-первых, преобразование Фурье — это линейное преобразование. То есть, допустим, у нас есть две функции g (t) и h (t) с преобразованиями Фурье. заданные G (f) и H (f) соответственно. Тогда можно легко найти преобразование Фурье любой линейной комбинации g и h:
[Уравнение 1]

В уравнении [1] c1 и c2 — любые константы (действительные или комплексные числа).Уравнение [1] может быть легко показано с помощью определение преобразования Фурье:

Свойство сдвигов преобразования Фурье

Еще одно простое свойство преобразования Фурье — это сдвиг во времени: что такое преобразование Фурье для g (t-a), где a — действительное число?
[Уравнение 2]

На втором этапе [2] обратите внимание, что для вычисления интеграла используется простая подстановка переменной u = t-a.

Уравнение [2] должно иметь некоторый интуитивный смысл.Если исходная функция g (t) сдвинута во времени на постоянную величину, она должна иметь та же величина спектра G (f). То есть временная задержка вообще не вызывает изменения частотного содержания G (f). Это должно сделать смысл. Поскольку комплексная экспонента всегда имеет величину 1, мы видим, что временная задержка изменяет фазу G (f), но не ее величину.

Обратите внимание, что если мы берем преобразование Фурье пространственной функции (функция, которая изменяется в зависимости от положения, а не времени), тогда наша функция g (x-a) будет вести себя так же, с x вместо t .

Пусть g (t) имеет преобразование Фурье G (f). Если функция g (t) масштабируется во времени ненулевой константой c , она пишется g (ct). Результирующее преобразование Фурье будет равно:

Свойство масштабирования преобразования Фурье

[Уравнение 3]

Доказательство уравнения [3] можно найти, используя определение:

Теперь, если c положительный, результат очень простой:

Если c отрицательно, пределы интегрирования меняются, что приводит к дополнительному знаку минус:

Следовательно, вы можете видеть, что для общего случая масштабирования с действительным числом c мы получаем уравнение [3].

(Чтобы увидеть свойства 2 и 3 в действии вместе, эта ссылка использует свойство масштабирования и сдвига по Гауссу.)

Производное свойство преобразования Фурье (дифференцирование)

Преобразование Фурье производной g (t) дается выражением:

[Уравнение 4]

Свойство свертки преобразования Фурье

Свертка двух функций по времени определяется как:

[Уравнение 5]

Преобразование Фурье свертки g (t) и h (t) [с соответствующими преобразованиями Фурье G (f) и H (f)] имеет вид Выдано:

[Уравнение 6]

Свойство модуляции преобразования Фурье

Функция «модулируется» другой функцией, если они умножаются во времени.Преобразование Фурье продукта:

[Уравнение 7]

Теорема Парсеваля

Мы обсудили, как преобразование Фурье дает нам уникальное представление исходного базового сигнала, g (t). То есть G (f) содержит все информация о g (t), только что просмотренная по-другому. Чтобы еще больше укрепить эквивалентность, в этом разделе мы представляем тождество Парсеваля для Фурье Преобразует.

Пусть g (t) имеет преобразование Фурье G (f).Тогда верно следующее уравнение:

[Уравнение 8]

Интеграл от квадрата величины функции известен как энергия функции. Например, если g (t) представляет собой напряжение на резистора, то энергия, рассеиваемая в резисторе, будет пропорциональна интегралу квадрата g (t). Уравнение [8] утверждает, что энергия g (t) такая же, как энергия, содержащаяся в G (f). Это впечатляющий результат, который играет ключевую роль в понимании эквивалентности функций и их преобразований Фурье.

Двойственность

Предположим, что g (t) имеет преобразование Фурье G (f) . Тогда мы автоматически знаем преобразование Фурье функция G (t) :

[Уравнение 9]

Это известно как свойство двойственности преобразования Фурье.


Все эти свойства могут быть подтверждены с помощью определение преобразования Фурье. На На следующей странице мы рассмотрим свойство интеграции преобразования Фурье.


Далее: Свойство интеграции

Предыдущая: Преобразование Фурье прямоугольной функции

Преобразование Фурье Содержание

Преобразование Фурье (начало)

Эта страница свойств преобразований Фурье защищена авторским правом. Никакая часть не может быть воспроизведена без разрешения. форма автора. Авторские права thefouriertransform.com, 2010, свойства преобразования Фурье.

Анализ потока жидкости и распределительного перемешивания в смесителе для переноса полости

% PDF-1.4 % 1 0 obj > >> эндобдж 4 0 obj > эндобдж 2 0 obj > поток 2015-08-18T08: 05: 36 + 05: 302016-06-21T14: 17: 29-04: 002016-06-21T14: 17: 29-04: 00Acrobat Distiller 9.0 (Windows) 10.1002 / маты.20170007510.1002 / (ISSN ) 1521-39193VoR10.1002 / mats.201700075application / pdf

  • Анализ потока жидкости и распределительного перемешивания в смесителе для переноса полости
  • uuid: 5d7b018f-b509-37ba-9f23-4071440aa465uuid: bf6fabcb-ae2a-350a-8f0a-5db4da67ec20 конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > / XObject> >> / Аннотации [24 0 R 25 0 R 26 0 R] / Родитель 5 0 R / MediaBox [0 0 595 842] >> эндобдж 8 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0.0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 9 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 10 0 obj > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 11 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0.0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 12 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 13 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 14 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0.0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 15 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 16 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 17 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0.0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 18 0 объект > / ExtGState> / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / Свойства> / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 19 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 20 0 объект > / Шрифт> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject> >> / Повернуть 0 / TrimBox [0,0 0,0 595,276 782,362] / Тип / Страница >> эндобдж 21 0 объект > поток xY [kGЛIJh2j $ iWRJYI + YX {W iI (O ڗ 4 # ij \ 懶 v מ} fMi} 3t / 뵧 bLU Ջ ڑ C = 7 ߎ ܶ oǦ 4t [wWbZFX4ĄWbD˘db-RR5 ފ, G.aK \ c5F (ʓ ‘

    Yǩ5- \ 45y 9S% n VL [#_ n] r {m97! s_36! ԑe [밿 ʔb + M? T $ + / Q2 «Ud8 ~ @% D0) {B’ kT̤i5gOkLRm & aO

    2.3 Точечное произведение — Объем исчисления 3

    Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение, будь то в двух измерениях или трех измерениях, они образуют угол между ними (рис. 2.44). Точечное произведение позволяет найти Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.

    Проба

    Поместите векторы u и v в стандартное положение и рассмотрите вектор v − uv − u (рисунок 2.45). Эти три вектора образуют треугольник с длинами сторон ‖u‖, ‖v‖ и v − u‖.‖u‖, ‖v‖ и v − u‖.

    Рис. 2.45 Длины сторон треугольника задаются модулями векторов, образующих треугольник.

    Вспомните из тригонометрии, что закон косинусов описывает соотношение между длинами сторон треугольника и углом θ .Применение закона косинусов дает

    ‖V − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ.‖v − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖ cosθ.

    Скалярное произведение позволяет переписать левую часть этого уравнения:

    ‖V − u‖2 = (v − u) · (v − u) = (v − u) · v− (v − u) · u = v · v − u · v − v · u + u · u = v · v − u · v − u · v + u · u = ‖v‖2−2u · v + ‖u‖2.‖v − u‖2 = (v − u) · (v − u) = ( v − u) · v− (v − u) · u = v · v − u · v − v · u + u · u = v · v − u · v − u · v + u · u = ‖v‖ 2−2u · v + ‖u‖2.

    Подставляя в закон косинусов, получаем

    ‖V − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ‖v‖2−2u · v + ‖u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖ u‖‖v‖cosθ − 2u · v = −2‖u‖‖v‖cosθu · v = ‖u‖‖v‖cosθ.‖V − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ‖v‖2−2u · v + ‖u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖ u‖‖v‖cosθ − 2u · v = −2‖u‖‖v‖cosθu · v = ‖u‖‖v‖cosθ.

    Мы можем использовать эту форму скалярного произведения, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами. Следующее уравнение преобразует уравнение 2.3 для определения косинуса угла:

    cosθ = u · v‖u‖‖v‖.cosθ = u · v‖u‖‖v‖.

    2,5

    Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами. Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем, что 0 ° ≤θ≤180 ° 0 ° ≤θ≤180 ° (или 0≤θ≤π0≤θ≤π, если мы работаем в радианах).Обратный косинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла θ.θ.

    Пример 2.23

    Определение угла между двумя векторами

    Найдите угол между каждой парой векторов.

    1. i + j + k и 2 i j — 3 k
    2. 〈2,5,6〉 〈2,5,6〉 и 〈−2, −4,4〉 〈- 2, −4,4〉
    Решение
    1. Чтобы найти косинус угла, образованного двумя векторами, подставьте компоненты векторов в уравнение 2.5:
      cosθ = (i + j + k) · (2i − j − 3k) ‖i + j + k‖ · ‖2i − j − 3k‖ = 1 (2) + (1) (- 1) + (1) ( −3) 12 + 12 + 1222 + (- 1) 2 + (- 3) 2 = −2314 = −242. Cosθ = (i + j + k) · (2i − j − 3k) ‖i + j + k ‖ · ‖2i − j − 3k‖ = 1 (2) + (1) (- 1) + (1) (- 3) 12 + 12 + 1222 + (- 1) 2 + (- 3) 2 = −2314 = −242.
      Следовательно, θ = arccos − 242θ = arccos − 242 рад.
    2. Начните с определения значения косинуса угла между векторами:
      cosθ = 〈2,5,6〉 · 〈−2, −4,4〉 ‖ 〈2,5,6〉 ‖ · 〈−2, −4,4〉 ‖ = 2 (−2) + (5) (−4) + (6) (4) 22 + 52 + 62 (−2) 2 + (- 4) 2 + 42 = 06536 = 0. cosθ = 〈2,5,6〉 · 〈−2, −4 , 4〉 ‖ 〈2,5,6〉 ‖ · ‖ 〈−2, −4,4〉 ‖ = 2 (−2) + (5) (- 4) + (6) (4) 22 + 52 + 62 (−2) 2 + (- 4) 2 + 42 = 06536 = 0.
      Теперь cosθ = 0cosθ = 0 и 0≤θ≤π, 0≤θ≤π, поэтому θ = π / 2.θ = π / 2.

    КПП 2.23

    Найдите меру угла в радианах, образованного векторами a = 〈1,2,0〉 a = 〈1,2,0〉 и b = 〈2,4,1〉. B = 〈2,4, 1〉. Округлить до сотых.

    Угол между двумя векторами может быть острым (0 Рисунок 2.46 (a) У острого угла 0 Теорема 2.5

    Ортогональные векторы

    Ненулевые векторы u и v являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда u · v = 0.и · v = 0.

    Проба

    Пусть u и v ненулевые векторы, и пусть θθ обозначает угол между ними. Сначала предположим, что u · v = 0. u · v = 0. Тогда

    ‖U‖‖v‖cosθ = 0.‖u‖‖v‖cosθ = 0.

    Однако u‖ ≠ 0‖u‖ ≠ 0 и ‖v‖ ≠ 0, ‖v‖ ≠ 0, поэтому мы должны иметь cosθ = 0. cosθ = 0. Следовательно, θ = 90 °, θ = 90 °, и векторы ортогональны.

    Теперь предположим, что u и v ортогональны. Тогда θ = 90 ° θ = 90 ° и имеем

    u · v = u‖‖v‖cosθ = ‖u‖‖v‖cos90 ° = ‖u‖‖v‖ (0) = 0. u · v = ‖u‖‖v‖cosθ = ‖u‖‖v ‖Cos90 ° = ‖u‖‖v‖ (0) = 0.

    Каждый член ортогональный , перпендикуляр и нормальный обозначают, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом. Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Термин нормаль чаще всего используется при измерении угла, образованного плоскостью или другой поверхностью.

    Пример 2.24

    Идентификация ортогональных векторов

    Определите, являются ли векторы p = 〈1,0,5〉 p = 〈1,0,5〉 и q = 〈10,3, −2〉 q = 〈10,3, −2〉 ортогональными векторами.

    Решение

    Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:

    p · q = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0. p · q = 1 (10) + (0) (3) + (5 ) (- 2) = 10 + 0−10 = 0.

    Поскольку p · q = 0, p · q = 0, векторы ортогональны (рисунок 2.47).

    Рис. 2.47 Векторы p и q образуют прямой угол, когда их начальные точки совмещены.

    КПП 2.24

    , для которого значение x равно p = 〈2,8, −1〉 p = 〈2,8, −1〉, ортогонально q = 〈x, −1,2〉? Q = 〈x, −1, 2〉?

    Пример 2.25

    Измерение угла, образованного двумя векторами

    Пусть v = 〈2,3,3〉 .v = 〈2,3,3〉. Найдите размеры углов, образованных следующими векторами.

    1. v и i
    2. v и j
    3. v и k
    Решение
    1. Пусть α будет углом, образованным v и i:
      cosα = v · i‖v‖ · ‖i‖ = 〈2,3,3〉 · 〈1,0,0〉 22 + 32 + 321 = 222.cosα = v · i‖v‖ · ‖i‖ = 〈2,3,3〉 · 〈1,0,0〉 22 + 32 + 321 = 222.
      α = arccos222≈1,130рад. α = arccos222≈1,130рад.
    2. Пусть β представляет угол, образованный v и j :
      cosβ = v · j‖v‖ · ‖j‖ = 〈2,3,3〉 · 〈0,1,0〉 22 + 32 + 321 = 322. cosβ = v · j‖v‖ · ‖j‖ = 〈 2,3,3〉 · 〈0,1,0〉 22 + 32 + 321 = 322.
      β = arccos322≈0,877рад. β = arccos322≈0,877рад.
    3. Пусть γ представляет угол, образованный v и k :
      cosγ = v · k‖v‖ · ‖k‖ = 〈2,3,3〉 · 〈0,0,1〉 22 + 32 + 321 = 322. cosγ = v · k‖v‖ · ‖k‖ = 〈 2,3,3〉 · 〈0,0,1〉 22 + 32 + 321 = 322.
      γ = arccos322≈0,877рад. γ = arccos322≈0,877рад.

    КПП 2.25

    Пусть v = 〈3, −5,1〉 .v = 〈3, −5,1〉. Найдите меру углов, образованных каждой парой векторов.

    1. v и i
    2. v и j
    3. v и k

    Угол, который вектор образует с каждой из координатных осей, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в такой области, как инженерия.Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто вычисляются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами. Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.

    Определение

    Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления вектора (рисунок 2.48). Косинусы для этих углов называются направляющими косинусами.

    Рис. 2.48 Угол α образован вектором v и единичным вектором i . Угол β образован вектором v и единичным вектором j . Угол γ образован вектором v и единичным вектором k .

    В примере 2.25 направляющие косинусы v = 〈2,3,3〉 v = 〈2,3,3〉 равны cosα = 222, cosα = 222, cosβ = 322, cosβ = 322 и cosγ = 322.cosγ = 322. Углы направления v составляют α = 1,130рад, α = 1,130рад, β = 0,877рад, β = 0,877рад и γ = 0,877рад. Γ = 0,877рад.

    До сих пор мы сосредоточились в основном на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно. Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В определенный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он может использовать вектор количества q = 〈30,12,18〉, q = 〈30,12,18〉, чтобы представить количество фруктов, которые он продал в тот день.Точно так же он может захотеть использовать вектор цен, p = 〈0.50,0.25,1〉, p = 〈0.50,0.25,1〉, чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 ¢ каждое, бананы по 25 ¢ каждый и апельсины по 1 доллару за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальные представления положения в физическом мире. Мы просто используем векторы, чтобы отслеживать отдельные фрагменты информации о яблоках, бананах и апельсинах.

    Эта идея может показаться немного странной, но если мы просто будем рассматривать векторы как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть довольно мощным инструментом.Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении q · p.q · p. Мы вычисляем его, умножая количество проданных яблок (30) на цену за яблоко (50 центов), количество проданных бананов на цену за банан и количество проданных апельсинов на цену за апельсин. Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт сообщает нам, сколько денег продавец фруктов имел от продаж в этот конкретный день.

    Когда мы используем векторы в более общем смысле, нет причин ограничивать количество компонентов тремя.Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфрут? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цен для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их удельных цен. Как и следовало ожидать, для вычисления скалярного произведения четырехмерных векторов мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но в сумме четыре члена вместо трех.

    Пример 2.26

    Использование векторов в экономическом контексте

    AAA Party Supply Store продает приглашения, сувениры для вечеринок, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки.Когда AAA покупает свой инвентарь, он платит 25 центов за упаковку за приглашения и вечеринки. Украшения стоят 50 центов AAA каждое, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку. AAA продает приглашения по цене 2,50 доллара за пакет, а сувениры для вечеринок по цене 1,50 доллара за пакет. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания — по 1,25 доллара за упаковку.

    В течение мая AAA Party Supply Store продает 1258 приглашений, 342 праздничных подарка, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и точечные произведения, чтобы подсчитать, сколько денег AAA заработало на продажах в мае.Какую прибыль принес магазин?

    Решение

    Векторы затрат, цены и количества равны

    . c = 〈0,25,0,25,0,50,0,20〉 p = 〈2,50,1,50,4,50,1,25〉 q = 〈1258,342,2426,1354〉. c = 〈0,25,0,25,0,50,0,20〉 p = 〈2.50, 1,50,4,50,1,25〉 q = 〈1258,342,2426,1354〉.

    продаж AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения p · q.p · q. У нас

    p · q = 〈2,50,1,50,4,50,1,25〉 · 〈1258,342,2426,1354〉 = 3145 + 513 + 10917 + 1692,5 = 16267,5.p · q = 〈2,50,1,50,4,50,1,25〉 · 〈1258 , 342,2426,1354〉 = 3145 + 513 + 10917 + 1692.5 = 16267,5.

    Итак, AAA заработала 16 267,50 долларов в течение мая.

    Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько AAA заплатило за проданные товары. Мы используем скалярное произведение c · qc · q, чтобы получить

    . c · q = 〈0,25,0,25,0,50,0,20〉 · 〈1258,342,2426,1354〉 = 314,5 + 85,5 + 1213 + 270,8 = 1883,8.c · q = 〈0,25,0,25,0,50,0,20〉 · 〈1258 , 342,2426,1354〉 = 314,5 + 85,5 + 1213 + 270,8 = 1883,8.

    Итак, AAA заплатила 1883,80 доллара за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна

    p · q − c · q = 16267,5−1883,8 = 14383,7.p · q − c · q = 16267.5−1883,8 = 14383,7.

    Таким образом, магазин AAA Party Supply в мае заработал 14 383,70 долларов.

    КПП 2.26

    1 июня магазин AAA Party Supply решил повысить цену, которую они взимают за праздничные сувениры, до 2 долларов за упаковку. Они также сменили поставщиков для своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку. Все остальные затраты и цены остаются прежними. Если AAA продает 1408 приглашений, 147 сувениров для вечеринок, 2112 украшений и 1894 предмета общественного питания в июне, используйте векторы и точечные продукты для расчета их общих продаж и прибыли за июнь.

    типов окислительно-восстановительных реакций | Введение в химию

    Цель обучения
    • Объясните процессы, участвующие в окислительно-восстановительной реакции, и опишите, что происходит с их различными компонентами.

    Ключевые моменты
      • В комбинированных реакциях объединяются два элемента. [латекс] A + B \ rightarrow AB [/ латекс].
      • В реакциях разложения соединение распадается на составные части.[латекс] AB \ rightarrow A + B [/ латекс].
      • В реакциях замещения один или несколько атомов заменяются другим. [латекс] AB + C \ rightarrow A + CB [/ латекс].
      • В реакциях горения соединение реагирует с кислородом с образованием диоксида углерода, воды и тепла.
      • В реакциях диспропорционирования молекула восстанавливается и окисляется; эти типы реакций редки.

    Условия
    • сгорание: процесс, в котором топливо соединяется с кислородом, обычно при высокой температуре, выделяя CO 2 , H 2 O и нагреваясь
    • .
    • сокращенный термин редокса, обозначающий «восстановление-окисление», два метода переноса электрона, которые всегда происходят вместе

    Окислительно-восстановительные реакции происходят повсюду.Фактически, большая часть наших технологий, от огня до аккумуляторов для ноутбуков, в значительной степени основана на окислительно-восстановительных реакциях. Окислительно-восстановительные реакции (окислительно-восстановительные) — это реакции, при которых изменяется степень окисления реагентов. Это происходит потому, что в таких реакциях электроны всегда передаются между частицами. Окислительно-восстановительные реакции протекают либо посредством простого процесса, такого как сжигание углерода в кислороде с образованием диоксида углерода (CO 2 ), либо посредством более сложного процесса, такого как окисление глюкозы (C 6 H 12 O 6 ) в организме человека посредством серии процессов переноса электронов.

    Термин «окислительно-восстановительный потенциал» происходит от двух концепций, связанных с переносом электронов: восстановления и окисления. Эти процессы определены следующим образом:

    • Окисление — это потеря электронов или увеличение степени окисления молекулой, атомом или ионом.
    • Восстановление — это увеличение количества электронов или уменьшение степени окисления молекулой, атомом или ионом.

    Простая мнемоника для запоминания этих процессов — «НЕФТЯНАЯ ШКАФА» — окисление теряется (электроны), восстановление увеличивается (электроны).

    Окислительно-восстановительные реакции — это согласованные наборы: если в реакции окисляется один вид, другой должен быть восстановлен. Помните об этом, когда мы рассмотрим пять основных типов окислительно-восстановительных реакций: комбинация, разложение, смещение, горение и диспропорция.

    Комбинация

    Комбинированные реакции «объединяют» элементы в химическое соединение. Обычно окисление и восстановление происходят вместе.

    Общее уравнение: [латекс] A + B \ rightarrow AB [/ латекс]

    Образец 1.уравнение: 2 H 2 + O 2 → 2 H 2 O

    Сумма степеней окисления реагентов равна сумме степеней окисления продуктов: 0 + 0 → (2) (+ 1) + (-2)

    В этом уравнении и H 2 , и O 2 являются молекулярными формами своих соответствующих элементов и, следовательно, их степени окисления равны 0. Продукт представляет собой H 2 O: степень окисления -2 для кислорода и + 1 для водорода.

    Разложение

    Реакции разложения противоположны реакциям комбинации, то есть они представляют собой разложение химического соединения на составляющие его элементы.

    Общее уравнение: AB → A + B

    Пример 2. Уравнение: 2 H 2 O → 2 H 2 + O 2

    Расчет: (2) (+ 1) + (-2) = 0 → 0 + 0

    В этом уравнении вода «разлагается» на водород и кислород, оба из которых нейтральны. Подобно предыдущему примеру, H 2 O имеет общую степень окисления 0, причем каждый H принимает состояние +1, а O a -2; таким образом, разложение окисляет кислород от -2 до 0 и восстанавливает водород от +1 до 0.

    Рабочий объем

    Реакции замещения, также известные как реакции замещения, включают соединения и «замену» элементов. Они протекают как реакции одинарного и двойного замещения.

    Общее уравнение (одинарное перемещение): A + BC → AB + CA

    Однократная реакция замещения «заменяет» элемент в реагентах на другой элемент в продуктах.

    Образец 3. Уравнение: Cl 2 + 2 NaBr → 2 NaCl + Br 2

    Расчет: 0 + [(+1) + (-1) = 0] [латекс] \ rightarrow [/ latex] [(+1) + (-1) = 0] + 0

    В этом уравнении Cl восстанавливается и замещает Br, в то время как Br окисляется.

    Общее уравнение (двойное смещение): AB + CD → AD + CB

    Реакция двойного замещения аналогична реакции одиночного замещения, но включает «замену» двух элементов в реагентах двумя элементами в продуктах.

    Образец 4. уравнение: Fe 2 O 3 + 6 HCl → 2 FeCl 3 + 3 H 2 O

    В этом уравнении местами заменяются Fe и H, а также O и Cl.

    Сгорание

    В реакциях горения всегда участвует кислород и органическое топливо.На следующем изображении мы видим, как метан сгорает с выделением энергии.

    Реакция горения метана Это пример реакции горения, окислительно-восстановительного процесса. Метан ([латекс] \ text {CH} _4 [/ latex]) реагирует с кислородом ([латекс] \ text {O} _2 [/ latex]) с образованием диоксида углерода ([латекс] \ text {CO} _2 [ / latex]) и две молекулы воды ([латекс] 2 \ text {H} _2 \ text {O} [/ latex]).

    Общее уравнение реакции горения:

    [латекс] \ text {C} _x \ text {H} _y + \ left (x + \ dfrac {y} {4} \ right) \ text {O} _2 \ rightarrow x \ text {CO} _2 + \ dfrac {y} {2} \ text {H} _2 \ text {O} [/ latex]

    Диспропорционирование

    В некоторых окислительно-восстановительных реакциях вещества могут как окисляться, так и восстанавливаться.Они известны как реакции диспропорционирования. Одним из реальных примеров такого процесса является реакция с перекисью водорода H 2 O 2 , когда она заливается на рану. Сначала это может показаться простой реакцией разложения, потому что перекись водорода распадается с образованием кислорода и воды:

    2 H 2 O 2 (водн.) → 2 H 2 O (л) + O 2 (г)

    Однако ключ к этой реакции лежит в степени окисления кислорода.Обратите внимание, что кислород присутствует в реагенте и оба продукта . В H 2 O 2 кислород имеет степень окисления -1. В H 2 O его степень окисления -2, и он был восстановлен. Однако в O 2 его степень окисления равна 0, и он был окислен. Кислород в реакции окисляется и восстанавливается, что делает ее реакцией диспропорционирования. Общая форма этой реакции следующая:

    2A → A ’+ A”

    Показать источники

    Boundless проверяет и курирует высококачественный контент с открытой лицензией из Интернета.Этот конкретный ресурс использовал следующие источники:

    Страница не найдена | MIT

    Перейти к содержанию ↓
    • Образование
    • Исследовать
    • Инновации
    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT
    • Подробнее ↓
      • Прием + помощь
      • Студенческая жизнь
      • Новости
      • Выпускников
      • О MIT
    Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
    Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

    Предложения или отзывы?

    .

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.