Методика работы над свойствами арифметических действий Значение свойств

1. Знание свойств позволяет учащимся глубже осознать само арифметическое действие и дает возможность осознанно овладевать вопросами практического характера.

2. Свойства служат теоретической основой вычислительных приемов.

3. Свойства арифметических действий (в первую очередь переместительные) служат для сокращения числа табличных случаев для запоминания.

Например, ученик, выучив табличный случай 2 · 5, может не заучивать случай 5 · 2, воспользовавшись переместительным свойством умножения.

4. Хорошо усвоив свойства, учащиеся во многих случаях способны сами открывать новые вычислительные приемы.

5. Свойства необходимы для осознанности и рациональности вычислительных навыков.

При выполнении вычислений дети приучаются каждый раз внимательно разбираться в особенностях тех чисел, над которыми произведены арифметические действия и, опираясь на теоретические знания, выбирать наиболее рациональные способы действий.

Усвоить свойство – это значит усвоить, какие можно выполнять преобразования данного математического выражения, чтобы его значение не изменилось.

Например, 2 + 7 = 7 + 2

(20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4

Свойства рассматриваются в большинстве программ на уровне понятийного обобщения. Во всех программах изучаются переместительное свойство сложения, переместительное свойство умножения, сочетательное свойство сложения, сочетательное свойство умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения (умножение суммы на число), умножения, распределительное свойство деления относительно сложения (деление суммы на число).

Некоторые свойства усваиваются в виде оперативных правил. По мнению Н.А. Менчинской, младшие школьники легче усваивают те или иные математические закономерности, если они сформулированы в виде оперативных правил.

Система изучения свойств в программе м.

И. Моро

1 класс.

1) Практическое (без теоретической формулировки) знакомство с сочетательным свойством сложения. На основе действий с предметами дети убеждаются, что присоединить предметы к данной группе можно в целом или по частям, результат будет тот же.

Например, 6 + 3 = 6 + 2 + 1

6 + 3 = 6 + 1 + 1 + 1

2) Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не изменяется (1 класс, часть 2, с.14).

На основе свойства рассматривается прием перестановки слагаемых.

2 Класс.

1) Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. (2 класс, часть 1, с.38).

На этом этапе рассматривается прием перестановки слагаемых (он изучался в 1-м классе) и вводится прием группировки слагаемых. Показывается, как использование того и другого приемов дает возможность рационализировать вычисления в случае сложения нескольких слагаемых:

Используя оба свойства сложения, можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.

Например: 6 + 9 + 4 + 1 = (6 + 4) + (9 + 1)

17 + 8 + 3 + 2 = (17 + 3) + (8 + 2)

2) Из программы исключены ранее изучавшиеся (в 1 классе трехлетней начальной школы) свойства (точнее, оперативные правила – следствия из свойств): прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа. Вместо них введены правила:

— Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

— Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

3) Переместительное свойство умножения (2 класс, часть 2, с.48): от перестановки множителей произведение не изменяется.

Сочетательное и распределительное свойства умножения

• Авдохин Олег Игоревич

org/BreadcrumbList»> Разделы: Математика

Класс: 5

Ключевые слова: алгоритм, умножение, математическая задача, переместительное свойство

---

Учебник: Математика 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Тип урока: урок применения и закрепления знаний.

Целевые установки на достижение результата:

личностные: развивать навыки самостоятельной работы, ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию, умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности;

метапредметные: учить использовать приобретенные знания в практической деятельности, действовать по алгоритму, видеть математическую задачу в окружающей жизни, строить логические рассуждения и делать выводы;

предметные: закрепить навыки умножения натуральных чисел и применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел, записывать эти свойства в виде формул, углубит навыки решения задач.

Формы организации работы: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, учебник.

Этапы урока

1 этап. Организация. (3 мин.)

Приветствие, проверка готовности к уроку. Эмоциональный настрой детей на учебную деятельность. Учащиеся сдают тетради с домашними работами.

2 этап. Устный опрос (индивидуальный). (4 мин.)

— Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Записать на доске буквенную форму.

— Сформулируйте распределительное свойство умножения. Записать на доске буквенную форму.

3 этап. Закрепление теории и актуализация знаний. (Презентация. Слайд 2–6). (13 мин.)

Дополнительное прочтение/запись свойств умножения, разбор примеров для подтверждения достоверности данный свойств. Приведение жизненных примеров из личного опыта учащихся.

4 этап. Физкультминутка. (1 мин.)

5 этап. Закрепление теории практикой. (19 мин.)

Работа в парах (слайд 7). Ребята выполняют задания, после выполнения меняются тетрадями для проверки соседа. (9 мин.).

Индивидуальная работа. Номера в учебнике – 430, 432. Стр. 118. (10 мин.).

6 этап. Подведение итогов. Рефлексия. Запись домашнего задания. (5 мин.)

Ученики записывают в дневник домашнее задание. На отдельных листочках записывают продолжения высказываний (слайд 8) и оставляют на партах.

13.06.2020

Что такое числовые свойства? (коммутативный, распределительный, ассоциативный и тождественный) – BYJUS

О числовых свойствах

• Что такое числовые свойства?
• Коммутативное свойство
• Ассоциативное свойство
• Распределяющее свойство
• Идентификационное свойство
• Примеры
• Часто задаваемые вопросы

Что такое числовые свойства?

Свойства чисел задают некоторые правила, которым мы можем следовать при выполнении математических операций.

Существует четыре числовых свойства: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и тождественность. Свойства чисел связаны только с алгебраическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. Однако некоторые из этих свойств неприменимы к операциям вычитания и деления.

Коммутативное имущество

Слово «commute» означает «путешествовать туда и обратно». Если число коммутативно, значит, оно подвижно. Коммутативное свойство утверждает, что изменение порядка слагаемых или множителей не меняет ни суммы, ни произведения.

Давайте посмотрим, как это применимо к числам в выражении.

Рассмотрим выражение 3 + 5.

Мы знаем, что 3 + 5 = 8. Но 5 + 3 также равно 8.

Итак, 3 + 5 = 5 + 3

При сложении двух чисел вместе, сумма останется той же, даже если мы изменим порядок, в котором выполняется операция сложения. Это означает, что выражение дает нам тот же результат, даже если положение чисел меняется. Это известно как коммутативное свойство сложения.

Кроме того, мы видели, что свойство коммутативности применимо и к умножению.

Например, \(3\х5 = 15\)

И \(5\х3 = 15\).

Таким образом, при перемножении двух чисел произведение двух чисел остается одним и тем же независимо от порядка их умножения. Это известно как коммутативное свойство умножения.

Ассоциативное свойство

Некоторые математические выражения, содержащие более двух членов, можно легко решить, сгруппировав члены в выражении. «Связать» числа означает сгруппировать числа. Ассоциативное свойство утверждает, что изменение группировки слагаемых или множителей не меняет сумму или произведение.

Посмотрим, как можно дополнительно использовать ассоциативное свойство. Рассмотрим следующее уравнение:

5 + 7 + 6 = 18 

Всякий раз, когда мы выполняем это сложение в уме, мы обычно сначала прибавляем два числа, а затем прибавляем третье число к сумме первых двух чисел. Мы можем выполнить это добавление двумя способами.

5 + (7 + 6) = 5 + 13 = 18

И (5 + 7) + 6 = 12 + 6 = 18

В обоих случаях ответ остается одним и тем же.

Таким образом, при сложении трех чисел сумма остается неизменной независимо от того, как они были сгруппированы. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Давайте попробуем использовать ассоциативность в случае умножения.

\(1 х 2 х 3 = 6)

Это умножение можно выполнить двумя способами.

\(1 \times (2  \times 3) = 6\)

И \((1 \times 2)  \times 3 = 6\)

При умножении трех или более чисел произведение остается одинаково независимо от того, как были сгруппированы числа. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Распределительное свойство

Распределительное свойство утверждает, что умножение суммы двух или более слагаемых на число равносильно умножению каждого слагаемого по отдельности на число и последующему сложению произведений вместе. Интересно, что распределительное свойство применимо и к вычитанию. Давайте посмотрим на пример.

\(5 \times (2 + 3) = (5 \times 2) + (5 \times 3)\)

Аналогично, \(5 \times (2 – 3) = (5 \times 2) – (5 \умножить на 3)\)

Свойство идентичности

Свойство идентичности утверждает, что при сложении, вычитании, умножении или делении числа на определенное число результат будет таким же, как исходное число. Давайте узнаем больше о свойстве идентичности сложения и вычитания и свойстве идентичности умножения и деления.

Свойство тождества сложения и вычитания

0 считается аддитивным тождеством в случае сложения и вычитания. Когда мы прибавляем или вычитаем 0 к любому числу, мы получаем одно и то же число.

Например, 7 + 0 = 0, 0 + 2 = 2 и 5 – 0 = 5

Свойство тождества умножения и деления

1 рассматривается как мультипликативное тождество в случае умножения. Если мы умножим любое число на 1, мы получим то же самое число.

Например,

\(5 х 1 = 5, 1 х 7 = 7)

Это справедливо и для деления. Любое число, деленное на 1, дает одно и то же число.

Например, \(5 \дел 1 = 5\).

Примеры свойств решаемых чисел

Пример 1: Используйте свойство распределения для решения \(8\times24\).

Решение:

\ (8 \ Times24 = 8 \ Times (20+4) \) Напишите 24 в виде суммы двух чисел

\ (= (8 \ times20)+( 8\times4)\)      Распределяющее свойство

 

\(=160+32\)                                                     0005

 

Пример 2: Дополните следующие уравнения и определите свойство, используемое в каждом случае.

 

а. \(12\умножить на 5=\_\_\_\_\умножить на 12\)
b. \(15+12+9=\_\_\_\_+15+9\)

 

Решение:

 

а. Нам нужно найти пропущенное число в уравнении.

Согласно свойству перестановочности умножения, 

\(12\times5=5\times12\)

Итак, пропущенное число 5.  

 

б. Обе части уравнения равны. У нас есть 15 и 9 по обе стороны уравнения. У нас есть 12 только в левой части уравнения. Итак, пропущенное значение равно 12. 

15 + 12  + 9 = 12 + 15 + 9

Мы воспользовались коммутативным свойством сложения, чтобы найти недостающий член в этом уравнении.

 

Пример 3: Завершите уравнения и определите используемое свойство.

 

а. \(1\раз\_\_\_\_=115\)
б. \(213+\_\_\_\_=213\)

 

Решение:

 

а. В этом примере мы умножаем неизвестное число на 1, чтобы получить 115. Но мы знаем, что любое число, умноженное на 1, дает нам одно и то же число. Следовательно, число, которое отсутствует в уравнении, также равно 115.

Мы использовали тождественное свойство умножения, чтобы закончить это уравнение.

 

б. В этом случае мы добавляем неизвестное число к 213, чтобы получить 213. Мы должны добавить 0 к 213 в левой части. Согласно тождественному свойству сложения, когда мы прибавляем 0 к числу, мы получаем в результате то же самое число.

 

Пример 4 : Решите следующее уравнение, используя числовое свойство.
113 + 4 + 27 = ?

 

Решение :

 

Мы можем сгруппировать 113 и 27, потому что в сумме получается 140. Это значительно упрощает сложение.

 

113 + 4 + 27 = 113 + 27 + 4              Использование свойства перестановочности для замены чисел местами.

(113 + 27) + 4 = 140 + 4 = 144          Удобно использовать ассоциативное свойство сложения групповых чисел.

Часто задаваемые вопросы о свойствах чисел

Почему мы используем свойства чисел?

Свойства чисел помогают нам легко решать уравнения, содержащие математические операции. Числовые свойства сокращают количество шагов, необходимых для решения, и упрощают его понимание.

Применимы ли числовые свойства к вычитанию и делению?

Все свойства чисел неприменимы к вычитанию и делению. Например, коммутативные и ассоциативные свойства неприменимы к вычитанию и делению. Только распределительное свойство и тождественное свойство применимы к вычитанию и делению.

Ознакомьтесь с другими нашими курсами

Является ли модуль ассоциативным, дистрибутивным и коммутативным?

Создано Anna Szczepanek, PhD

Отзыв от Rijk de Wet

Последнее обновление: 21 ноября 2022 г.

Содержание:

• Сложение и умножение по модулю
• Является ли модульная арифметика ассоциативной?
• Доказательство ассоциативности умножения по модулю n
• Является ли арифметика по модулю коммутативной?
• Является ли функция модуля распределительной?

Обсудим алгебраических свойств целочисленных операций сложения и умножения по модулю — их ассоциативность, дистрибутивность и коммутативность . Мы также кратко объясним , что означает каждое из этих свойств в алгебре.

Сложение и умножение по модулю

Выберите ненулевое целое число n . Символ [x] будет обозначать множество всех целых чисел, конгруэнтных x mod n , т. е. чисел вида x + n*y , где y — целое число.

• Операция « сложение

  по модулю n » определяется как [a]+[b] = [a+b] . Другими словами:

  (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n .

• Операция « умножение по модулю на » определяется как [a]*[b] = [a*b] . Итак:

  (a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n .

Теперь мы обсудим различные свойства обеих этих модульных операций.

Является ли модульная арифметика ассоциативной?

Ассоциативность означает, что результат не изменится, если мы переставим скобки в выражении. Получается, что:

• Сложение по модулю является ассоциативным:

  ([х] + [у]) + [г] = [х] + ([у] + [г])

• Модульное умножение также является ассоциативным:

  ([х] * [у]) * [г] = [х] * ([у] * [г])

В следующем разделе мы покажем вам, как доказать, что модульное умножение является ассоциативным .

💡 Сначала проверьте наш калькулятор ассоциативных свойств, чтобы лучше понять эту тему.

Доказательство ассоциативности умножения по модулю n

Теперь мы докажем, что

([x] * [y]) * [z] = [x] * ([y] * [z]) .

Начнем с левой стороны. Ниже каждая строка эквивалентна предыдущей.

([x] * [y]) * [z]

По определению модулярного умножения получаем:

([x * y]) * [z]

Опять же по определению модульного умножения:

[(x * y) * z]

Используем ассоциативность умножения действительных чисел :

[x * (y * z)]

По определению модульного умножения снова, мы получаем:

[x] * ([y * z])

Опять по тому же определению:

[x] * ([y] * [z])

И вот, мы пришли к справа. Таким образом, мы доказали, что умножение по модулю на ассоциативно !

Является ли арифметика по модулю коммутативной?

Коммутативность означает, что результат не изменится, когда мы изменим порядок операндов . Легко показать, что:

• Сложение по модулю коммутативно:

  [х] + [у] = [у] + [х])

• Модульное умножение также коммутативно:

  [х] * [у] = [у] * [х]

Доказательство очень похоже на то, что мы видели выше для ассоциативности. На этот раз вам нужно будет использовать тот факт, что умножение/сложение действительных чисел является коммутативным.

Является ли функция модуля распределительной?

Распределение — это свойство, которое включает в себя одновременно и сложение, и умножение. Мы говорим, что умножение

распределяет над сложением , если вместо умножения суммы нескольких членов на множитель, мы можем умножить каждое слагаемое на этот множитель по отдельности, а затем сложить эти частичные результаты вместе, чтобы получить окончательный ответ.