Сложение дробей с разными знаменателями. Математика 6 класс. смотреть онлайн видео от Математика от Баканчиковой в хорошем качестве.
12+
6 месяцев назад
Математика от Баканчиковой280 подписчиков
Математика 6 класс. Сегодня мы раскроем Вам секрет успешной подготовки к экзаменам на примере рассмотрения темы «Сложение дробей с разными знаменателями». Мы расскажем Вам, что и как нужно записывать, чтобы Вы смогли запомнить изучаемый материал, а при необходимости смогли бы повторить его. Для успешного усвоения темы сложения дробей с разными знаменателями сначала мы напомним Вам сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Затем объясним на простом примере, почему нельзя сразу складывать дроби с разными знаменателями. Дадим Вам 4 правила сложения дробей с разными знаменателями. Затем мы по косточкам разберем первые 3 правила, объясняя Вам на конкретных примерах все действия, которые Вы должны выполнять. Дадим Вам определения общего знаменателя (наименьшего общего кратного), дополнительного множителя.
Затем покажем Вам, каким образом их нужно находить. Обратим Ваше внимание на особый случай нахождения общего знаменателя. Объясним Вам, почему можно и нужно умножать дополнительный множитель на числитель и знаменатель соответствующей дроби. Расскажем Вам, что может и должно получиться в итоге в результате сложения дробей с разными знаменателями. В заключении разберем пример на применение правила сложения дробей с разными знаменателями при сложении смешанных чисел. Если Вы будете соблюдать наши рекомендации, у Вас никогда не будет ошибок при сложении дробей с разными знаменателями.
00:00 Начало видео.
00:11 Секрет успешной подготовки к экзаменам.
01:35 Повторяем сложение дробей с одинаковым знаменателем.
02:38 Почему нельзя сразу складывать дроби с разными знаменателями?
03:36 4 правила сложения дробей с разными знаменателями.
04:32 Разбираем 1 правило: «Найти общий знаменатель дробей».
08:42 Разбираем 2 правило: «Определить дополнительный множитель для каждой дроби».
10:39 Разбираем 3 правило: «Умножить доп.
Сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями
Рейтинг 5.
00 из 5 на основе опроса 1 пользователя
(1 отзыв клиента)
70,00 ₽
Примеры на сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями в виде логической цепочки. С ответами. Для печати А4.
Количество товара Сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями
Артикул: i-1215 Категория: Для учебы Метка: Дроби
- Детали
- Отзывы (1)
Описание
Программа формирует примеры на сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями.
Случайным образом генерируется десять примеров. Ответ каждого предыдущего примера является первым числом следующего, что позволяет сформировать цепочку взаимосвязанных примеров.
Итоговый ответ, который печатается в правом нижнем углу страницы, позволяет проверить правильность решения всех примеров без проверки каждого из них. Это дает возможность самостоятельно проверить правильность решения без возможности посмотреть ответ в процессе работы .
Правило сложения / вычитания простых дробей с разными знаменателями:
для того, чтобы сложить / вычесть две простые дроби с разными знаменателем, необходимо
— привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
— сложить /вычесть числители дробей, а знаменатель оставить без изменений;
— при необходимости сократить полученную дробь;
— если получившаяся дробь является неправильной (числитель больше знаменателя), дробь преобразуется в смешанную.
Программа написана в Excel с помощью макросов. Примеры генерируются случайным образом
Для ознакомления с программой можно скачать образец примеров, которые получаются при использовании программы.
Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку и распечатать.
Основные виды дробей, их основное свойство, а также все операции, которые можно выполнять с дробями: сокращение, приведение, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление описаны в статье «Математические дроби – просто о сложном».
Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета с дробями:
- Основное свойство дроби
- Сложение и вычитание простых дробей с одинаковыми знаменателями
- Дроби обыкновенные (разные виды операций)
- Десятичные дроби (разные виды операций)
- Дроби смешанные
- Математический диктант 5 класс
На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам.
С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.
Вам также будет интересно…
Математический диктант 5 класс
140,00 ₽В корзинуСложение и вычитание простых дробей с одинаковыми знаменателями
60,00 ₽В корзинуЧисловые пирамиды большие (в пределах 50,100 и больше)
120,00 ₽В корзинуДроби обыкновенные
80,00 ₽В корзинуДроби смешанные
100,00 ₽В корзинуДроби десятичные
80,00 ₽В корзинуГоловоломка «Спички»
Оценка 5.00 из 5
Распродажа! 90,00 ₽ В корзинуПростые проценты
Оценка 5.00 из 5
80,00 ₽Продолжить ряд чисел
125,00 ₽В корзину
Правила дробей — объяснение, части и часто задаваемые вопросы
Дроби — это математический способ представления части чего-то целого.
Они представлены в виде числителя и знаменателя. Мы называем верхнюю часть (или часть, которая представляет, какую часть чего-то целого мы рассматриваем) числителем, а нижнюю часть (которая представляет, сколько равных частей мы сделали из чего-то целого) называем знаменателем.
Дробь = Числитель/Знаменатель
Части дроби
Частями дроби являются:
Числитель: Числитель — это число, которое находится сверху. Он показывает, сколько равных частей целого или коллекции считается.
Знаменатель: Число под чертой является знаменателем. Он показывает общие равные части, которые мы сделали из целого.
Например, у нас есть арбуз и мы сделали из него 8 равных частей, тогда в знаменателе дробей будет 8. Теперь, если мы хотим представить пять частей из них, тогда дробь будет ⅝.
Если мы хотим представить только одну часть из них, то дробь будет ⅛. Как показано на следующем рисунке.
Правила дробей
Мы изучили множество математических операций, таких как сложение, вычитание, деление и умножение, а также получили новый способ представления дробей. Можем ли мы выполнять эти математические операции и с дробями? Ответ положительный. В этом разделе мы будем выполнять различные математические операции с правилами дробей.
Правило сложения дробей
Как сложить две дроби? Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при сложении двух дробей.
Нельзя складывать дроби с разными знаменателями.
Чтобы сложить дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, то есть НОК чисел, присутствующих в знаменателе.
После того, как знаменатель станет одинаковым, соответственно изменятся и числители.
Теперь добавьте эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.
Например: Предположим, мы хотим добавить ¼ к ¼. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4. Теперь мы можем сложить числители 1 + 1 = 2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Кроме того, обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4. Поэтому его можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.
Мы также можем понять это с помощью следующей диаграммы:
Дробное правило вычитания
Вычитание почти то же самое, что и сложение.
Вместо того, чтобы складывать числители, мы будем их вычитать. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при вычитании двух дробей.
Дроби с разными знаменателями нельзя вычитать.
Чтобы вычесть дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, которое является НОК чисел, присутствующих в знаменателе.
После того, как знаменатель станет одинаковым, соответственно изменятся и числители.
Теперь вычтите эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.
Например: Предположим, мы хотим вычесть ¼ из ¾. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4.
Теперь мы можем вычесть числители, 3-1=2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Кроме того, обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4. Поэтому его можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.
Мы также можем понять это с помощью следующей диаграммы:
Правило умножения дробей
Как мы можем умножить две дроби? Будет ли это то же самое, что сложение или вычитание, когда мы должны сделать знаменатели одинаковыми? Ответ — нет. При умножении нам этого делать не нужно. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при умножении двух дробей.
Дроби с разными знаменателями можно умножать.
Числитель умножается только на числитель, а знаменатель умножается только на знаменатель.
Мы не можем умножать числители на знаменатели, однако их можно разделить.
Например: Предположим, мы хотим умножить ⅔ на 3/15. Мы знаем, что числитель будет умножаться только на числитель. Итак, 2 × 3 = 6. Следовательно, 6 будет числителем нашего желаемого результата. Для знаменателей 3 × 15 = 45. Следовательно, 45 будет знаменателем нашей искомой дроби.
Таким образом, умножение ⅔ на 3/15 будет 6/45. Также обратите внимание, что их можно еще больше упростить. После упрощения получаем 2/15.
См. Следующее:
⅔ × 3/15
= 2 × 3/3 × 15
= 6/45
= 2/15
Фракция Правило Отдели деление дробей нам нужно помнить определенные правила и выполнять несколько шагов. Нам нужно умножить первую дробь на обратную вторую. Разделение включает в себя несколько шагов, которые необходимо выполнить-
Заменить знак деления (÷) на умножение (×).
Если мы меняем знак деления на умножение, то мы должны написать обратную величину второго члена или дроби.
В конце концов, мы просто перемножаем их, чтобы получить требуемый ответ.
Вот пример деления дробей:
Предположим, нам нужно разделить 3/2 на 5/4.
3/2 ÷ 5/4
Шаг 1: Изменение знака на умножение от деления и запись обратной величины второго члена [÷5/4 =× 4/5].
= 3/2 × 4/5
Шаг 2: Умножение первой на обратную вторую дробь.
= (3 × 4)/(2 × 5)
= (3 × 2)/ (1 × 5)
= 6/5
Шаг 3: Получение упрощенного результата выражения.
Деление дробей — это умножение дробей простым преобразованием второй дроби в обратную.
Знаете ли вы?
Есть еще один способ представления дробей — десятичные. Они взаимозаменяемы друг с другом. Десятичные дроби можно разделить на конечные и неконечные. Если они не заканчиваются, то далее делятся на повторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби. Только отсюда идет определение рациональных чисел и иррациональных чисел. Если они либо заканчиваются, либо не прекращаются и повторяются, то мы называем их рациональными числами. Если они не прекращаются и не повторяются, то мы называем их иррациональными числами.
Сложение и вычитание дробей с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
С самого начала изучения математики вы много раз сталкивались с дробями. Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах. Однако арифметические дроби состоят строго из чисел. Теперь мы изучим действия над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЗНАКОВЫЕ ЧИСЛА
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Разложите числитель и знаменатель дроби на множители.
- Упростите алгебраические дроби.
Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.
При изучении арифметики вам сказали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме. Для дроби, до которой вы «уменьшили», разделив числитель и знаменатель на 4. Дробь нельзя уменьшить, потому что никакое число (кроме 1) не будет делить и числитель, и знаменатель. Упрощая дроби таким образом, вы использовали следующее определение.
Дробь в представляет собой упрощенную (или сокращенную) форму , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).
Дробь, представленная в упрощенной форме, поскольку числитель 2 и знаменатель 3 не имеют общего делителя, кроме единицы. Для получения упрощенной формы дроби применяется следующее правило.
Чтобы упростить дробь полностью умножьте числитель и знаменатель, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.
Дробь , однако, не в упрощенной форме, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 2. Затем разделите на общие делители, давая
03 9 разделенный делитель само по себе равно 1. Теперь разделите на общий множитель (x + 2) как в числителе, так и в знаменателе, чтобы получить
Мы можем делить только общие множители, но не общие термины. В таком выражении, как у некоторых студентов, возникает соблазн разделить тройки. Обратите внимание, что это неправильное , поскольку они являются терминами , а не факторами. Обратите внимание, что даже если мы смогли разложить числитель и знаменатель на множители, мы все равно не можем разделить, поскольку у них нет общих множителей.
Данная дробь уже в упрощенном виде.Тот факт, что для данной фракции может потребоваться любой из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность мастерства в факторинге.
Решение Здесь вы можете использовать «пробы и ошибки» для числителя и «группировку» для знаменателя.
Здесь (x + 2) — общий множитель, поэтому можно разделить и числитель, и знаменатель. Обратите внимание, что числитель 2x + 5 можно записать как (2x 4-5) * 1. Таким образом, при делении множителя (2x + 5) остается множитель 1. Решение Этот тип проблемы требует особого внимания, так как это частая причина ошибки. На первый взгляд множители могут быть ошибочно приняты за общие, или дробь может быть ошибочно принята за уже упрощенную. Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, поскольку знаки не позволяют им быть идентичными.
Если, однако, минус 1 факторизуется от одного из множителей, то есть подобные множители, и деление может быть выполнено.Любые множители в виде a — b и b — a являются отрицательными значениями друг друга, таким образом, 2x — 3 и 3 — 2x являются отрицательными значениями друг друга. Все это эквивалентные формы одного и того же выражения. Предпочтительной формой будет та, в которой используется наименьшее количество письменных знаков.
Всегда проверяйте свой ответ, чтобы убедиться, что он эквивалентен форме, указанной в разделе ответов.УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
- Определить и разделить на все общие множители.
- Запишите произведение в простейшей форме.
Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.
— это определение произведения двух дробей. На словах это означает «умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы использовали это правило много раз в арифметике, когда умножали дроби.
Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе. Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упрощать по мере умножения, поэтому ответ будет в упрощенной форме.
При умножении алгебраических дробей полностью разложите все числители и знаменатели, затем перед умножением разделите на все множители, общие для числителя и знаменателя.
Произведение остальных множителей числителя будет числителем ответа, а произведение остальных множителей знаменателя будет знаменателем ответа.
Опять же, помните, что общие факторы должны быть совершенно одинаковыми. Мы будем использовать точку * для обозначения умножения, поскольку использование X можно спутать с переменной x. Обратите внимание, что (x + 2) и (2 + x) одинаковы, но (x — 4) и (4 — x) являются отрицательными значениями друг друга.
Опять же, есть много возможных форм для окончательных ответов. Приведенная здесь форма предпочтительнее, поскольку она содержит наименьшее количество знаков.В этой проблеме много факторов. Будь осторожен! ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Замените задачу на деление связанной с ней задачей на умножение.
- Деление алгебраических дробей.
Деление дробей определяется с помощью умножения.
Чтобы разделить умножить на величину, обратную делителю.
Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое инвертировать делитель и изменить операцию на умножение.
Делитель следует за знаком. Не инвертируйте неправильную дробь. Если знаменатель не указан, считается, что он равен 1. Опять же, обратите внимание, что инвертируется только дробь после знака. ПОИСК НАИМЕНЬШЕГО ОБЩЕГО ЗНАМЕНАТЕЛЯ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Полностью разложить знаменатель дроби на множители.
- Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
Правило сложения и вычитания дробей требует, чтобы объединяемые дроби имели одинаковый знаменатель. В качестве подготовки к выполнению этих операций мы теперь исследуем метод нахождения наименьшего общего знаменателя для любой группы дробей.
A общий знаменатель лот двух или более дробей представляет собой выражение, содержащее все множители знаменателя каждой дроби. Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель набора дробей иногда называют наименьшим общим кратным знаменателей. Ментальная арифметика позволит вам найти наименьший общий знаменатель для небольших чисел. Если попросить прибавить , то легко получить наименьший общий знаменатель 12. Если спросить, как мы получили 12, мы просто знаем, что 12 — это наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6.
Однако необходим более сложный метод. если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель для
Решение Если бы у нас не было общего метода, эта задача потребовала бы значительного количества догадок или возможностей проверки.
Мы могли бы получить общий знаменатель этих дробей, найдя произведение
12 х 14 х 15 х 18 = 45 360.
Хотя это число является общим знаменателем, оно не является наименьшим общим знаменателем.Рассмотрим определение. Из него мы знаем, что общий знаменатель этих чисел должен содержать все множители каждого из них. Другими словами, мы ищем наименьшее число, которое делится на 12, 14, 15 и 18.
Сначала полностью разложите каждое число.Искомое число должно содержать (2)(2)(3), чтобы оно делилось на 12. Оно должно содержать (2)(7), чтобы делиться на 14, и так далее.
Действуйте следующим образом:
Запишите множители первого числа, 12.
(2)(2)(3)
Теперь посмотрите на множители следующего числа, 14, и убедитесь, что нам нужно (2)(7). Но так как у нас уже есть 2, нам нужен только множитель (7). Это дает
(2)(2)(3)(7).
Теперь это число делится и на 12, и на 14. Делители следующего числа, 15, равны (3) и (5). Поскольку у нас уже есть 3, нам нужен только множитель 5, что дает
(2)(2)(3)(7)(5).
Это число теперь делится на 12, 14 и 15. Делители следующего числа, 18, равны (2)(3)(3). У нас уже есть 2 и одна 3. Следовательно, нам нужно еще 3.
(2)(2)(3)(7)(5)(3) = 1,260
Это число, 1,260, является общим знаменателем 12, 14 , 15 и 18, потому что он содержит все множители каждого и, следовательно, делится на каждый. Это наименьший общий знаменатель, поскольку он содержит только те множители, которые необходимы для того, чтобы он делился на 12, 14, 15 и 18.Обратите внимание, что 1260 значительно меньше, чем число, полученное простым нахождением произведения всех знаменателей. Предшествующее обсуждение приводит к правилу получения наименьшего общего знаменателя для любого количества дробей, будь то числа или алгебраические выражения.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель для двух или более дробей:
1. Полностью разложить каждый знаменатель на множители.
2. Запишите знаменатель первой дроби в разложенном виде как предложенный общий знаменатель.
3. Путем проверки определить, какие факторы второго знаменателя еще не входят в предлагаемый общий знаменатель, и включить их.
4. Повторите третий шаг для каждой фракции.После освоения эта пошаговая процедура значительно упростит вашу работу. Обратите внимание, что при нахождении наименьшего общего знаменателя мы не обращаем внимания на числитель.
Это всего лишь знаменатель первой дроби.При проверке второго знаменателя нам нужен дополнительный множитель (x — 2). Наименьший общий знаменатель равен (3x — 4)(2x + l)(x — 2).
Опять же, числители не влияют на то, каким будет наименьший общий знаменатель.
Иногда наименьший общий знаменатель обозначается аббревиатурой LCD.Обратите внимание, что x 2 является множителем в знаменателе первой дроби, но не во второй фракции. Здесь у нас три знаменателя. Решение
Первый знаменатель: 3(x + 2)
Второй знаменатель: 2(2)(3)
Третий знаменатель: 2(x + 3)(x + 2)
Предлагаемый общий знаменатель: 3( x + 2)
Изучив второй знаменатель, мы видим, что нам нужно включить множители (2) и (2). Теперь у нас есть 2(2)(3)(x + 2). Изучив третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2(2)(3)(x + 2)(x + 3) или 12(x + 2)(x + 3).ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФРАКЦИИ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Понять фундаментальный принцип дробей.
- Заменить дробь эквивалентной дробью.
При дальнейшей подготовке к сложению и вычитанию дробей мы должны иметь возможность заменить данную дробь на дробь с новым знаменателем, не изменяя значение исходной дроби.
называется фундаментальным принципом дробей .
Анализируя это утверждение, мы видим две эквивалентные дроби и отмечаем, что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же ненулевое число a.
Чтобы заменить дробь эквивалентной дробью , умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.
Почему выражение должно быть ненулевым? Этот процесс можно рассматривать как процесс, обратный сокращению дробей. Решение Поскольку новый знаменатель находится в факторизованной форме, при проверке мы видим, что первоначальный знаменатель (2x + 3) был умножен на множитель (x — 4). Следовательно, исходный числитель (x + 1) необходимо также умножить на множитель (x — 4), что даст знаменатель в факторизованной форме. Это предпочтительный способ написания ответа.
Решение Поскольку исходный знаменатель (x — 3) был умножен на (2) и (x + 1), исходный числитель (2x + 1) также необходимо умножить на (2) и ( х + 1).
Опять же, обратите внимание на форму ответа. СЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Сложите дроби с одинаковыми знаменателями.
- Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
- Применить правило сложения дробей.
Теперь мы готовы складывать алгебраические дроби, используя методы, описанные в двух предыдущих разделах. Следует вспомнить следующее правило из арифметики.
Сумма двух или более дробей, имеющих одинаковый знаменатель, равна сумме числителей над их общим знаменателем.
Обратите внимание, что это правило допускает только сумму дробей с одинаковым знаменателем. Другими словами, две или более дроби могут быть сложены только в том случае, если они имеют общий знаменатель. Правило сложения любых двух или более дробей потребует навыков, полученных в последних двух разделах, в дополнение к знанию комбинирования одинаковых терминов.
Чтобы сложить две или более дроби, выполните следующие действия:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) для всех дробей, используя метод, описанный в разделе 9-4.
Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем (раздел 9-5).
Шаг 3 Найдите сумму числителей и поместите эту сумму на наименьший общий знаменатель.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.Эти четыре шага следует использовать всякий раз, когда вы добавляете дроби. Не забудьте умножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение. Этот ответ в сокращенной форме.
Опять же, не забудьте умножить числитель на то же выражение, на которое вы умножили знаменатель. Всякий раз, когда знаменатели не имеют общих множителей, LCD является произведением знаменателей. Здесь только первая дробь должна быть изменена по форме. Сумма равна
Обратите внимание, что числитель 3x — 15 можно разложить как 3(x — 5), а множитель (x — 5) соответствует множителю в знаменателе. Мы можем использовать меньше письменных шагов, если заметим, что «общий знаменатель» означает, что все дроби имеют один и тот же знаменатель, а если у всех один и тот же знаменатель, то знаменатель необходимо написать только один раз. Чтобы проиллюстрировать это, мы переработаем предыдущий пример.
Этот ярлык подходит, если вы не забываете умножать числители на необходимые коэффициенты. Опять же, знаменатели не имеют общих множителей, поэтому LCD является произведением всех трех знаменателей. ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
- Применить правило вычитания дробей с разными знаменателями.
Вычитание определяется в терминах сложения, поэтому метод вычитания алгебраических дробей будет таким же, как сложение алгебраических дробей, описанный в предыдущем разделе. Вы скоро поймете, почему мы представили их отдельно.
Разность любых двух дробей, имеющих один и тот же знаменатель, равна разнице их числителей над их общим знаменателем.
Обратите внимание, что это правило совпадает с правилом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем.
Таким образом, шаги для вычитания дробей такие же, как и для сложения дробей.
Чтобы вычесть дроби:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель двух дробей.
Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем.
Шаг 3 Найдите разность числителей и поместите этот результат над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.Возникает очевидный вопрос: «Если эти две операции одинаковы, зачем изучать их по отдельности?» Ответ заключается в том, что вычитание порождает очень распространенную ошибку, которой ученик должен быть готов избежать.
Обратите внимание, что мы вычитаем весь числитель второй дроби. Поэтому будет хорошей практикой заключать весь числитель в круглые скобки со знаком вычитания перед ним. Упомянутая ошибка часто возникает из-за того, что знак минус влияет на весь числитель второй дроби, а НЕ только на первый член.
Это произойдет, если вы не используете круглые скобки. Стрелка указывает на ошибку, наиболее часто допускаемую при вычитании дробей. Лучший способ избежать этого — всегда использовать круглые скобки
, и вы вряд ли не сможете правильно изменить знак.
Обратите внимание, что мы заключили в скобки числитель второй дроби.
Заметьте, мы сначала умножили (x — 4) (2x — 1), а затем умножили (2×2 — 9x + 4) на -l. Одновременно умножать и менять знаки значит вызывать ошибку.СЛОЖНЫЕ Дроби
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Распознавание сложной дроби.
- Упростите сложную дробь.
Дроби определяются как указанное частное двух выражений. В этом разделе мы представим метод упрощения дробей, в которых числитель, знаменатель или оба они сами состоят из дробей. Такие фракции называются сложными фракциями .
Таким образом, если числитель и знаменатель сложной дроби составлены из простых дробей, ее можно упростить, разделив числитель на знаменатель.
Как правило, более эффективный метод упрощения сложной дроби включает использование основного принципа дробей.
Умножаем и числитель, и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей сложной дроби.Напомним, что фундаментальный принцип дробей гласит Мы будем использовать фундаментальный принцип, чтобы еще раз упростить
LCD 3 и 4 равно 12. Таким образом,
Отдельные дроби: Этот ответ можно записать в виде смешанного числа Убедитесь, что каждый член является множителем и знаменателем LCD. Нужен ЖКИ отдельных дробей, y не дробь. УРАВНЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Применить метод решения дробных уравнений.
- Определите, когда дробное уравнение не имеет решения.
В главе 2 мы столкнулись с уравнениями, в которых есть дроби. Однако все эти дроби имели числовые знаменатели. Теперь обсудим уравнения, в знаменателях которых есть дроби с переменными.
Метод решения этих уравнений будет таким же, как и в главе 2, но есть некоторые дополнительные предостережения, к которым вы должны быть готовы.
Вы можете вернуться к некоторым примерам в главе 3, чтобы освежить свою память. Чтобы освежить вашу память, здесь повторяются шаги решения таких уравнений.
Первое: Исключите дроби, умножив каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Второй: упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Третье: Сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и числа арифметики с другой.
Четвертое: Разделить на коэффициент неизвестной величины.
Пятое: проверьте свой ответ.Основное отличие решения уравнений с арифметическими дробями от уравнений с алгебраическими дробями заключается в проверке. Процесс проверки будет заключаться не только в том, чтобы найти возможную ошибку, но и в том, чтобы определить, есть ли у уравнения ответ.
Последняя возможность возникает из-за того, что алгебраические дроби умножаются на неизвестную величину. Эта неизвестная величина может быть на самом деле равна нулю, что сделает всю работу недействительной.
Помните, мы можем умножать каждую часть уравнения только на ненулевую величину. Это означает, что ни (x — 1), ни (x + 1) не могут быть равны нулю.
Если x = 1, то множитель (x — 1) равен нулю и у нас проблемы!Поскольку деление на ноль невозможно, мы должны заключить, что x = 1 не является решением.
А так как мы не ошиблись в вычислениях, то должны заключить, что это уравнение не имеет решения.
Правильный ответ: «нет решения».Проверка необходима в алгебраических уравнениях. В противном случае вы могли бы проделать большую работу — не ошибитесь — и все равно упустить проблемы.
Другими словами, x = 1 не является решением, поскольку дает утверждение, не имеющее смысла.Помните, что проверка является чрезвычайно важным шагом, так как она определит, есть решение или нет. Обратите внимание, что в этих примерах, когда у нас есть x 2 членов, они сокращаются, и мы остаемся с линейным уравнением. Если бы они не сокращались, в уравнении было бы член x 2 . Уравнение этого типа (квадратное) будет рассмотрено в главе 11. Таким образом, x = -5 является решением.
Следовательно, 11 — это сумма, на которую был увеличен числитель.
ОБЗОР
Ключевые слова
- Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.
- Дробь представляет собой упрощенную форму , если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1.
- Общий знаменатель для двух или более дробей — это выражение, содержащее все множители знаменателей каждой дроби.
- наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.
- Фундаментальный принцип дробей есть
- Сложные дроби — это дроби, в которых числитель или знаменатель (или оба) содержат дробь.
Процедуры
- Чтобы упростить или сократить дроби до наименьших членов, разложите числитель и знаменатель и разделите на все подобные множители.
- Чтобы умножить дроби, перед умножением умножьте все числители и знаменатели и разделите на все одинаковые множители.
- Чтобы разделить на дробь, переверните делитель, а затем умножьте.
- Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОД), сначала факторизуйте все знаменатели, а затем найдите знаменатель, который содержит все множители каждого знаменателя, но не содержит ненужных множителей.
- Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.
- Чтобы сложить дроби, выполните следующие действия:
- Найдите наименьший общий знаменатель.
- Измените каждую дробь на эквивалентную дробь, в знаменателе которой будет ЖК-дисплей.
- Добавьте числители и поместите над ЖК-дисплеем.
- Упростите или сократите ответ.
- Чтобы вычесть дроби, действуйте как сложение, но объединяйте числители путем вычитания.
- Сложные дроби можно упростить, умножив числитель и знаменатель сложной дроби на ЖКД всех дробей в выражении.
Данная дробь уже в упрощенном виде.
Если, однако, минус 1 факторизуется от одного из множителей, то есть подобные множители, и деление может быть выполнено.
Однако необходим более сложный метод. если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.
Действуйте следующим образом: 
Теперь у нас есть 2(2)(3)(x + 2). Изучив третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2(2)(3)(x + 2)(x + 3) или 12(x + 2)(x + 3).
Умножаем и числитель, и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей сложной дроби.
А так как мы не ошиблись в вычислениях, то должны заключить, что это уравнение не имеет решения. 
