Переместительное свойство умножения и сложения
Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.
Содержание
- 1 Переместительный закон умножения
- 2 Сочетательный закон
- 3 Распределительный закон
Переместительный закон умножения
Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей. Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:
3 + 2 = 5;
2 + 3 = 5.
Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.
Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:
Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:
a · b = b · a.
Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:
a · b · c = b · a · c
Применение переместительного закона умножения на практике
Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.
6 · 251 = ?
Записав пример столбиком, получим:
Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.
Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:
Быстро и просто. Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.
Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:
2 · 3 = 2 + 2 + 2
3 · 2 = 3 + 3.
Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506.
Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.
Сочетательный закон
Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:
- получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
- раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения. На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.
Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.
Распределительный закон
На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров. Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:
Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:
2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у
5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.
Распечатать памятку «Свойства умножения»
Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности. Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел. В этом случае распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания позволяет намного быстрее получить итог произведения натурального числа на смешанную дробь. Для этого нужно:
- целую часть умножить на натуральное число;
- дробную часть умножить на него же;
- сложить получившиеся числа и записать результат.
Правила умножения и деления
Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления. Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.
«Переместительное свойство умножения» | ||||||
Класс | 2 | |||||
УМК | «Школа России» | |||||
Планируемые результаты | Предметные: познакомить с переместительным законом умножения, его формулировкой и записью в общем виде; уметь применять переместительный закон умножения, формировать умение решать задачи, раскрывающие конкретный смысл умножения; закрепить смысл умножения УУД Познавательные: строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его свойствах и связях; развивать мыслительные операции сравнения, классификации Регулятивные: принимать и сохранять учебную задачу и активно включаться в деятельность, направленную на её решение в сотрудничестве с учителем и одноклассниками; осознавать возникающие трудности и искать способы их преодоления. Коммуникативные: выражать в речи свои мысли и действия; строить понятные высказывания Личностные: проявлять познавательный интерес к изучаемому материалу; понимать поставленные цель и задачи на занятии и стремиться их выполнить; оценивать свои достижения на уроке; формирование таких личностных качеств как любознательность, трудолюбие, умение слушать и слышать собеседника, обосновывать свою позицию, высказывать свое мнение | |||||
Оборудование | Для обучающихся: карточки с выражениями, свойства сложения и умножения, карточки для групповой и дифференцированной работы, тетради на печатной основе, справочники. | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Формируемые УУД | ||
Мотивирование к учебной деятельности | Включает обучающихся в деятельность на личностно – значимом уровне 1) Объясните значение выражения «Математика – гимнастика ума» (А. 2) Чему мы учимся на уроках математики? 3) Назовите главные условия успеха на уроке. Организует совместное составление плана урока: 1.Обобщать имеющиеся знания 2.Совершать открытия 3.Сравнивать 4.Применять свои знания (проверять их на прочность) 5.Оценивать (знания и работу на уроке) | Формулируют правила поведения на уроке, аргументируют их Составляют план достижения цели | Личностные: самоорганизация Регулятивные: принимать и сохранять учебную задачу и активно включаться в деятельность, направленную на её решение в сотрудничестве с учителем и одноклассниками. | |||
Актуализация опорных знаний | Организует подготовку обучающихся к сознательному усвоению нового материала Активизирует знания обучающихся -Над какой темой мы работаем на уроке? Умножение — Что такое умножение? Сумма одинаковых слагаемых. — Какой цели мы добиваемся по данной теме? Понять смысл умножения. — Для чего нужно понять смысл умножения? Чтобы легко и быстро усвоить таблицу умножения. | Выполняют устный счёт: присчитывают по 2, по 3, по 5(по рядам, по цепочке) Ставят цели, формулируют (уточняют) тему урока | ||||
Решение учебной задачи | Организует обучающихся по исследованию учебной задачи Посоветуйтесь в парах, распределите выражения на две группы и найдите их значения: 1вариант: выражения, которые можно заменить умножением 2 вариант: выражения, которые нельзя заменить умножением 5+52 5+5+2+5+2 8+8 5+5+5+5 12+12+12 8+8+6 52+5 2+2+2+2+2+2+2+2 | Практическая работа в парах, самостоятельное решение учебной задачи: выводят переместительный закон умножения, записывают с помощью букв: (а+в=в+а) Сравнивают собственные выводы с выводами учебника | Познавательные: строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его свойствах и связях; развивать мыслительные операции сравнения, классификации | |||
Первичное закрепление | Устанавливает осознанность восприятия. | Решают типовые задания с устным объяснением стр.48 (учебник) Решают задачи (строят самостоятельно схему задачи, записывают решение). Для обучающихся с низким уровнем обученности предложить готовые схемы-опоры. стр.48 (учебник) Проверка осуществляется индивидуально, результаты оцениваются в оценочных листах (приложение 3) | ||||
Творческое применение знаний и умений | Организует деятельность обучающихся по применению знаний в нестандартной ситуации — Вспомните, с какими свойствами умножения мы ещё знакомы? — В случае затруднения можно обратиться в справочник. — Применяя переместительный закон умножения, выведите следующие свойства умножения: 0·а=0 1·а=1 Вывод: –С каким свойством вы работали? (а·в=в·а) | На основе переместительного закона умножения выводят новые свойства умножения Формулируют и записывают свойства с помощью букв. а·0=0 а·1=1 По данным формулам составляют 4 выражения и находят их значения. 1 ряд – к первому столбику 2 ряд – ко 2 столбику 3 ряд – стр.43 (печ.основа) №27 (низкий уровень) Осуществляют проверку фронтально, фиксируют достижения в оценочных листах. | Регулятивные: осознавать возникающие трудности и искать способы их преодоления | |||
Создаёт проблемную ситуацию через задания «ловушки» | Работают в трёх группах. Не вычисляя значения выражений, выстраиваются по классу в порядке увеличения значений, находят выражения – «ловушки», в которых необходимо применить знания новой темы, объясняют свой выбор. 1 группа | 2 группа | 3 группа | |||
4·4 4·3 4·8 9·4 0·4 4·1 2·4 | 2·6 6·1 6·0 7·6 6·9 6·4 3·6 | 5·7 6·5 5·4 1·5 5·3 0·5 5·2 | Регулятивные: высказывать свое предположение на основе работы с предложенным материалом; проявлять инициативу в учебном сотрудничестве. Коммуникативные: учиться подтверждать аргументы фактами; делать выводы; организовывать учебное взаимодействие в группе. | |||
Самостоятельная работа | Организует самостоятельную (индивидуализированную) работу по применению новых знаний Минитест «Крестики – нолики» (см. приложение 1) Карточки (низкий уровень) с типовыми заданиями (см. приложение 2) | Самостоятельная работа. Осуществляют взаимоконтроль по ключу Фиксируют результаты работы в оценочных листах. Проверка работ консультантами. | ||||
Итог урока | Организует деятельность обучающихся по систематизации знаний — Сформулируйте тему урока. — Чему учились на уроке? — В каких случаях следует применять переместительный закон умножения? Организует рефлексию Оцените, полученные знания. | Систематизируют полученные знания Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия | Личностные: оценивать собственные достижения | |||
Карточка №4 Составь и запиши выражения, вычисли их значения
Найди выражения с одинаковыми значениями, подчеркни их | Контролируемые элементы: | Даты контроля | ||||
1 | Знаю смысл умножения | |||||
2 | Знаю названия компонентов при умножении | |||||
3 | Знаю свойства и законы умножения | |||||
4 | Умею применять законы и свойства умножения | |||||
5 | Умею решать задачи на умножения | |||||
6 | Умею находить значения произведений | |||||
7 | Знаю таблицу умножения |
.………………………..17
В. Суворов)
Все, что вам нужно знать — Mashup Math
Что такое коммутативное свойство в математике и как оно выглядит?
Добро пожаловать в это бесплатное руководство, которое сопровождает это Объяснение коммутативного свойства! видеоурок, где вы узнаете ответы на следующие ключевые вопросы и информацию:
Что такое коммутативность сложения?
Что такое коммутативное свойство умножения?
Примеры коммутативной недвижимости
Коммутативная недвижимость
Это , а также бесплатный рабочий лист и ключ ответа.
*Это руководство к уроку сопровождает наш анимированный учебник по коммутативным свойствам на YouTube.
Хотите больше бесплатных уроков математики и видео? Подпишитесь на наш канал бесплатно!
Коммутативное свойство сложения утверждает, что для любых действительных чисел a и b:
Обратите внимание, что термины расположены в обратном порядке!
Если вы замените члены a и b действительными числами, например, a = 2 и b = 8 , как показано ниже:
Из этого примера видно, что хотя члены расположены в обратном порядке по обе стороны от знака равенства, каждая сторона равна 10.
Это пример того, почему является коммутативным свойство держится при добавлении!
Работает ли коммутативное свойство с вычитанием?Теперь, когда вы понимаете свойство коммутативности сложения , как насчет вычитания?
Это правда???
Например, если вы замените члены a и b действительными числами, например, a = 2 и b = 8 , как показано ниже:
Из этого примера видно, что, хотя члены расположены в обратном порядке по обе стороны от знака равенства, каждая сторона НЕ равна (-6 не равно 6)
Это пример того, почему коммутативный свойство НЕ сохраняется при добавлении!
Резюме: Сложение коммутативно, а вычитание — нет!Коммутативное свойство умножения утверждает, что для любых действительных чисел a и b:
Например, если вы замените члены a и b действительными числами, например a = 4 и b = 8 , как показано ниже:
Из этого примера видно, что хотя слагаемые расположены в обратном порядке с каждой стороны знака равенства, каждая сторона равна 32.
Это пример того, почему свойство коммутативности выполняется при умножении!
Работает ли коммутативное свойство с делением?Теперь, когда вы понимаете свойство перестановочности умножения , как насчет деления?
Это правда???
Например, если вы замените члены a и b вещественными числами, например, a = 4 и b = 8 , как показано ниже:
Из этого примера видно, что, хотя члены находятся в обратном порядке по обе стороны от знака равенства, что каждая сторона НЕ равна (половина не равна 2)
Это пример того, почему свойство коммутативности НЕ выполняется при делении!
Вывод: Умножение коммутативно, а деление — нет! Таким образом, свойство коммутативности работает только при сложении и умножении. Не работает с вычитанием и делением.
Для всех действительных чисел a и b:
Коммутативное свойство сложения Определение: a + b = b + a
Коммутативное свойство умножения0047 а)(б) = (б)(а)
Условия те же, но порядок обратный!
Все еще запутались? Посмотрите анимированный видеоурок ниже:Посмотрите видеоурок ниже , чтобы узнать больше о коммутативном свойстве и увидеть больше примеров коммутативного свойства:
Вы ищете дополнительную практику? Нажмите на ссылки ниже, чтобы загрузить бесплатные рабочие листы и ключ ответа:
Определение коммутативного свойства:
НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, ЧТОБЫ СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНУЮ РАБОЧУЮ ТАБЛИЦУ
Есть мысли? Поделитесь своими мыслями в разделе комментариев ниже!
(Никогда не пропустите блог Mashup Math — нажмите здесь, чтобы получать нашу еженедельную рассылку!)
Автор: Энтони Персико0048 . Вы часто можете увидеть, как я с удовольствием разрабатываю анимированные уроки математики, которыми я делюсь на моем канале YouTube . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.
Комментарий
Алгебраические выражения Переместительное свойство
- Home /
- Algebra /
- Алгебраические выражения /
- Темы /
- Экспрессии и уравнения /
- Commutative Property
- Экспрессия и уравнения / 9009 Commutative.
- Введение
- Темы
- Переменные
- Выражения и уравнения
- Перестановление выражений
- Commutative Property
- Ассоциативная свойство
- Дистрибутивное свойство
- Уравнение (распределительное свойство в обратном)
- , такие как термины
- , уравнения, функция, и формал
- , такие как термины
- , и уравнение, и формал.
- Геометрические формулы
- Преобразование единиц измерения
- В реальном мире
- Примеры
- Упражнения
- Задачи Math Shack
- Условия
- Лучшее из Интернета
- Викторины
- Раздаточный материал
- Содержание
- НАЗАД
- СЛЕДУЮЩИЙ
Это правило перестановки почти настолько очевидно, что не стоит даже упоминать. Но мы любители излишеств, так что поехали.
x + y = y + x
xy = yx
Этот ход, изменяющий порядок наших терминов при сложении или умножении, является одним из самых основных способов изменить выражение. Обратите внимание, что мы не говорим, что вы также можете делать это движение с вычитанием или делением. Это потому, что ты не можешь. Сложение и умножение немного более плывут по течению; вычитание и деление не так просты и, вероятно, могут немного расслабиться.
Пример задачи
Рассмотрим выражение -4 y 2 x + x 3 . Мы можем использовать коммутативное свойство сложения, чтобы переписать все это как x 3 – 4 y 2 x.
Мы также можем использовать свойство перестановочности умножения, чтобы переписать -4