(f º f)(x) = f(f(x))

Сначала мы применяем f, затем применяем f к этому результату:

(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9

Мы должны сделать это без красивой диаграммы:

(f º f)(x)= f(f(x) )

 = f(2x+3)

 = 2(2x+3)+3

 = 4x + 9

Доменов

До сих пор это было легко, но теперь мы должны рассмотреть Доменов функции.

Домен – это набор всех значений , которые входят в функцию.

Функция должна работать для всех значений, которые мы ей даем, поэтому зависит от нас, , чтобы убедиться, что мы правильно определили домен!

Пример: домен для √x (квадратный корень из x)

Мы не можем получить квадратный корень из отрицательного числа (если только мы не используем мнимые числа, но мы ими не являемся), поэтому мы должны исключить отрицательные числа:

Домен √x состоит из всех неотрицательных действительных чисел

В числовой строке это выглядит так:

Используя нотацию конструктора множеств, записывается:

{ x | x ≥ 0}

Или, используя интервальную запись, это:

[0,+∞)

Важно правильно указать Домен, иначе мы получим плохие результаты!

Домен составной функции

Мы должны получить оба домена правильно (композитная функция и первая используемая функция).

При выполнении, например, (g º f)(x) = g(f(x)):

• Убедитесь, что мы правильно получили домен для f(x) ,
• Затем также убедитесь, что g(x) получает правильный домен

Пример:

Домен f(x) = √x состоит из неотрицательных вещественных чисел

Домен

3 из

Составная функция:

(g º f)(x) = g(f(x))

 = (√x) ²

 = x

Теперь «x» обычно имеет домен всех действительных чисел …

… но поскольку это составная функция , мы также должны рассмотрим f(x) ,

Итак, все домены состоят из неотрицательных действительных чисел

Почему оба домена?

Ну представь функции машины… первая проплавляет пламенем дырку (только для металла), вторая просверливает дырку побольше (работает по дереву или металлу):

Итак, важно то, что происходит «внутри машины».

Разложение функции

Мы можем пойти другим путем и разбить функцию в состав других функций.

Пример:

Эту функцию можно составить из следующих двух функций:

f(x) = x + 1/x

g(x) = x ²

И получаем:

(g º f)(x) = g(f(x))

 = g(x + 1/x)

 = (x + 1/x) ²

Это может быть полезно, если исходная функция слишком сложна для работы.

Резюме

• «Композиция функций» — это применение одной функции к результатам другой.
• (g º f)(x) = g(f(x)) , сначала применить f(), затем применить g()
• Мы также должны учитывать домен первой функции
• Некоторые функции можно разложить на две (или более) более простые функции.

Математическое сочинение – Подведение итогов

Я близок к финишу в Gattegno Textbook 1. Уже почти два года я пишу этот учебник в блоге. Мы заканчиваем серию «Исследования чисел», написав цифру 9.0289 математическая композиция .

Что такое математическая композиция? Я обсуждал композиции раньше здесь. Короткий ответ: математическая композиция — это набор выражений, которые учащийся пишет для заданного числа или ситуации. В конце изучения числа я прошу П написать как можно больше выражений для этого числа.

 По мере того, как наши ученики приобретают опыт, их сочинения должны становиться длиннее, сложнее и креативнее. Здесь вы узнаете, что знает ваш ученик.

Рекомендации по написанию математического сочинения

• Учащиеся должны написать математическое сочинение, не используя стержни. (Мы не следовали этому правилу примерно 6 месяцев назад.)
• Мама не делает предложений.
• Вы можете установить ограничения с самого начала, но не перебивайте учащегося разговором, пока он пытается думать.
• канцелярская кнопкаНеважно, насколько длинна композиция, уж точно не в начале. Важно то, что они берут свои идеи и превращают их в символы.

Зачем писать математические сочинения

Математика в основном происходит в уме. Это не то, что происходит с жезлами или символами на бумаге, это в основном умственная деятельность. Композиции — это тоже умственная деятельность. Люди писали мне по электронной почте и говорили: «Как бы я показал это с помощью стержней…?» Это будет что-то с умножением квадратных корней, или отрицательных многочленов, или что-то в этом роде.

И я часто отвечаю: «Нет». Вы не делаете, потому что нет причин для этого. Если вы показываете, что с стержнями вам нужно сделать резервную копию.

Мы не стремимся конкретизировать каждую ситуацию. Мы хотим, чтобы учащиеся полностью владели символами, чтобы они могли трансформировать любую ситуацию во что-то другое. Иногда для развлечения мы делаем выражения более сложными, но обычно мы превращаем их в нечто более простое.

Я ищу не количество отдельных фактов, которые П. может вспомнить или какие факты он может вспомнить, а скорее его способность применять общие принципы сложения, вычитания, умножения, деления и дробей к определенному числу, начинать где угодно и преобразовывать то, что он знает, в многочисленные выражения.

Есть подсказки, которые я ищу в его письмах. Выражения на изображении ниже были взяты из композиции P.

Математическая композиция — что я замечаю и удивляюсь

Когда P диктует свою композицию, я замечаю и удивляюсь. Что меня интересует, так это мышление П. Мы говорили о добавлении 10 к 11, чтобы увеличить число. Он легко преобразовал то, что знал о сложении, в вычитание. И затем, как вы заметите, он продолжает использовать эту информацию, чтобы генерировать новые математические вычисления.

П. довольно последователен в своих композициях. Он начинает с чего-то и работает систематически. Это улучшение по сравнению с нашей работой в главе 3, где он выбрасывал идеи и факты без видимого порядка.

Здесь он начинает с  21 минус 10, затем прибавляет 10 к 21 и вычитает 20, затем прибавляет 10 и вычитает 30, затем прибавляет еще 10 и вычитает 40.  Эти преобразования исходят из нашей работы с общей разницей и лестницами.

Он знает, что 40 равно 4 x 10, так что это было легкое преобразование. Он разделил десятки пополам, а затем удвоил 4 до 8. Я нахожу это интересным, поскольку мы мало работали с делением пополам и удвоением, но поскольку он уже делает это с десятками, я знаю, что он готов. Я вытащу эту композицию, и мы сможем поговорить о его размышлениях, а затем распространим идею на более сложные деления пополам и удвоения.

Мы только что говорили о том, что пятак в квадрате = четвертак. А два пятака в квадрате = пятьдесят центов. Я также заметил, что он взял свои знания об умножении и применил их к квадратным корням.

 Он продолжает идти по этому пути, используя свои знания об операциях для создания дополнительных математических вычислений, пока не решит пойти в совершенно другом направлении с 3 x 3 + 2. 

Затем он применил свой любимый математический трюк — выполнил операцию, а затем обратный. Он умножил на 2, а затем разделил на 2. Такие вещи вызывают у него смех.

Что я знаю из этого, так это то, что P очень удобно манипулирует десятками, и у него есть хорошее представление о том, как они работают со всеми операциями. У него довольно хорошее представление о квадратах, но не о кубах, хотя мы немного поиграли с ними. Возможно, он просто не додумался использовать их в этой композиции. Он начинает использовать дробные показатели и квадратные корни, но это новинка. Я подозреваю, что ему комфортно только с 5 и 10. Мы хотим больше поиграть с языком в ближайшее время.

Подведение итогов: почему мы не используем рабочие тетради

Хотя это и конец моих постов по изучению чисел для учебника 1, это, конечно, не конец нашей работы с 11. Мы также сделали числа, кратные 11. и заметил и удивился. Я не писал об этом в блоге, потому что Gattegno еще не представил мультипликаторы.

Я также не включил игру с заменой 11. Эта игра больше связана с преобразованиями, а не с конкретным числом. У нас постоянно идет игра замен. Это требует отдельного отдельного поста.

В ходе нашего исследования у нас накопилось много бумаги по 11 исследованиям. Каждая написанная вещь была создана П. Во вступительном и заключительном упражнениях П. был допущен к творчеству. Средние упражнения больше касались изучения и изучения числа как можно больше; отслеживание этих данных; и как только у нас за плечами будет больше исследований в поисках закономерностей.

Если следовать подходу Гаттеньо, рабочие тетради просто отпадут. Учебник, конечно, не даст вам той обратной связи, которую может дать сочинение. Рабочие тетради также не позволят учащемуся серьезно изучить какое-либо конкретное число или ситуацию.

Учащиеся должны писать по математике (или диктовать для детей младшего возраста), чтобы:

• обнаруживать отношения между операциями;
• чувствуют, что обладают властью или властью над предметом;
• убедитесь, что символы имеют личное значение;
• ручная кнопканаучитесь трансформироваться;
• ручная кнопка узнайте секреты построения уравнений.