Как перемножаются дроби: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Not Found (#404)

iHow
  • Health
  • Science
  • Home Gadgets
  • Auto
  • Tech
  • Culture
  • Money
  • Lifestyle
  • Entertainment
Tags
Новости Корень TV Film Наука Политика Культура Кинджа: лучшие предложения TV Club Сделки Netflix Виноградная лоза Music Потоковое Землянин Чудо коронавирус Резюме Дисней Звездные войны ПК ФИЛЬМЫ АВ клуб Свечение
Categories
Royals Celebrity TV Movies Music Style Fashion Beauty Awards Country Sports Theater Books Crime Human Interest Politics Health Parents Home Real Estate Pets Food
Top Topics
Health Science Home Gadgets Auto Tech Culture Money Lifestyle Entertainment Adventure Animals Electronics People Muscle Cars Computer History Food
Language
Japanese Spanish German French Thai Portuguese Russian Vietnamese Italian Korean Turkish Indonesian Polish Hindi
Copyright © 2021 — 2022 ihow.pro
About | Privacy Policy. Contact: [email protected].

Как умножать дроби на дроби Академия Хана?

Первый шаг при умножении дробей — это умножить два числителя. Второй шаг — умножить два знаменателя. Наконец, упростите новые дроби. Перед умножением дроби также можно упростить, вычленив общие множители в числителе и знаменателе.

Итак, в каком классе вы изучаете умножение дробей? Дети начинают знакомиться с дробями в первый и второй класс. К концу начальной школы многие дети понимают и могут решать базовые задачи с дробями. Другим нужно больше времени. Дроби — сложное математическое понятие, и многие дети с ними не справляются.

При умножении дробей Почему мы умножаем числители и знаменатели? В дроби знаменатель представляет собой общее количество частей, из которых состоит целое, а числитель представляет собой количество выбранных частей. Дробь умножается на другую дробь означает первая фракция далее делится на более мелкие части и эти меньшие части выбраны.

Дополнительно Как модели визуализируют дроби умножения?

Какая математика в 6 классе? Основные направления математики в программе шестого класса: числовое значение и операции, алгебра, геометрия и пространственное восприятие, измерение и функции, а также вероятность.

Почему вы скрещиваете дроби?

Причина, по которой мы скрещиваем умножение дробей: сравнить их. Перекрестное умножение дробей говорит нам, равны ли две дроби или какая из них больше. Это особенно полезно, когда вы работаете с более крупными дробями, которые вы не знаете, как уменьшить.

Что такое математика в 7 классе? В 7th класс, студенты полностью поймет, как интерпретировать и вычислять все рациональные числа. Они могут складывать, вычитать, умножать и делить все десятичные дроби и дроби, а также представлять проценты.

Как объяснить ребенку умножение дробей?

Какова цель умножения дробей?

Что значит умножить на дробь? Когда вы умножаете число на дробь, вы находите часть этого числа. Например, если вы умножаете 6 на 1/2, вы находите 1/2 от 6. Немного сложнее, если оба числа являются дробями, но идея остается той же.

Также при умножении дробей вы перекрестно умножаете?

Как умножать дроби и картинки?

Как еще можно выразить умножение дроби? Фракции могут быть умножить на целые числа точно так же, как умножаются другие дроби. Наиболее важная процедура состоит в том, чтобы преобразовать целое число в дробь, введя в знаменателе 1.

Как визуализировать смешанные дроби?

Как пропустить класс?

Требования к пропуску класса

  1. Письменный запрос. Отправьте заявление о пропуске класса в письменной форме директору школы и сохраните копию. …
  2. Эксперт по руководству. Убедитесь, что при рассмотрении вашего запроса используются законные требования. …
  3. Академическая успеваемость. …
  4. Эмоциональная готовность. …
  5. Прием студентов. …
  6. Необходимость перемен.

Что нужно знать пятикласснику? Ваш 5-классник должен уметь:

  • Найдите основные идеи и вспомогательные детали, используя более продвинутые стратегии понимания прочитанного (например, умозаключение)
  • Кратко опишите прочитанное в письменной или устной форме.
  • Синтезируйте информацию из двух текстов.
  • Думайте аналитически и приводите конкретные примеры из текста.

Что такое пятый класс в Великобритании? В Англии и Уэльсе эквивалент Год 6. В Ирландии эквивалентом является 5-й класс. В США пятиклассник считается старшеклассником, если он переходит в другую школу. В Шотландии в начальной школе обычно учатся дети 5–10 лет, а не 11 лет.

Можете ли вы перекрестно упростить При умножении дробей?

Как умножить дроби с перекрестным сокращением?

Как вы объясните перекрестное умножение?

Какой самый сложный класс в школе? Пока младший год Часто это самый трудный год в старшей школе, переход из средней школы в 9-й класс также может быть трудным. Чтобы упростить задачу, не бойтесь обращаться к своим учителям и консультантам и воспользуйтесь доступными ресурсами поддержки.

Можно ли сдавать геометрию в 8 классе?

В большинстве средних школ учащийся, изучающий алгебру I в девятом классе, имеет три оставшихся года для изучения алгебры II, геометрии, предварительной математики/тригонометрии, а затем исчисления. … Изучение алгебры в восьмом классе открывает дополнительный год для углубленной математики.

Как умножать дроби для начинающих?

Как научить умножать смешанные дроби?

Похожие страницы:

Как сложить, вычесть, умножить и разделить дроби

На данной странице калькулятор онлайн для вычисления дробей. Этот калькулятор складывает, вычитает, умножает и делит обычные дроби и десятичные. При вычислении выводится описание решения.

Вычисление дробей

Как сложить или вычесть две дроби
  1. Если в выражении одна десятичная дробь, то переведите в обычную дробь.
  2. Дроби с целой частью переведите в неправильные.
  3. Если у дробей знаменатели не равны, то приведите дроби к общему знаменателю.
  4. Сложите или вычтите числители. Не забывайте! Если при вычитании вторая дробь отрицательная, то минус на минус дает плюс. Т.е. первую дробь нужно сложить со второй! Если при сложении вторая дробь отрицательная, то от первой дроби отнимите вторую!
  5. По возможности сократите дроби.
  6. Если дробь неправильная (числитель больше знаменателя), то выделите целую часть.
Как умножить или разделить две дроби
  1. Если в выражении одна десятичная дробь, то переведите в обычную дробь.
  2. Дроби с целой частью переведите в неправильные.
  3. Если у дробей знаменатели не равны, то приведите дроби к общему знаменателю.
  4. Если одна дробь отрицательная, то в ответе отрицательное число. Если обе дроби отрицательные, то в ответе положительное число.
  5. При умножении двух дробей отдельно умножьте числители и знаменатели. При делении двух дробей числитель первой дроби умножьте на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножьте на числитель второй дроби.
  6. По возможности сократите дроби.
  7. Если дробь неправильная (числитель больше знаменателя), то выделите целую часть.

Умножение алгебраических дробей.Возведение в степень

[музыка] те часто встречаются примеры с перемножением обыкновенных дробей чтобы перемножить обыкновенные дроби необходимый перемножить их числители затем перемножить их знаменателе и первое произведение записать в числитель а второе знаменатель смотри примени этого правила на примере согласно правилу мы должны перемножить в начале числителе затем мы перемножаем знаменатели дробей получим дробь в числителе произведение числителей а в знаменателе результат перемножения знаменателей по такому же принципу перемножаются опциональные дроби чтобы перемножить рациональные дроби необходимо перемножить их числители затем перемножить их знаменателе первое произведение записать в числитель а второе знаменатель отметим что выражение действительно при условии ненулевых многочленов в знаменателе три применения этого правила на примере в условии произведения двух рациональных дробей в решении мы пишем что числитель это произведение числителей дробей а знаменатель соответственно запишем произведение знаменателей полученную дробь можно сократить сократив запишем полученный ответ знаменателе нет переменной а значит выражение действительно при любых значениях приведем еще один пример в условии нам нужно перемножить дроби содержащие стандартные многочлены строго по правилу записываем в числитель произведение числителей а в знаменатель произведение знаменателей исходных дробей знаменатели замечаем формула у квадратного трехчлена свернув ее в квадрат суммы мы можем выполнить сокращении дроби после сокращения получим искомую дробь и запишем ответ рассмотрим теперь пример когда рациональная дробь умножается на целое выражение так как любое целое выражение можно рассматривать как дробь со знаменателем равным единице перейдем к записи умножение дробей представив числитель как произведение числителей а знаменатель произведение знаменателей мы явно видим возможность сокращения для этой дроби после сокращения числителя и знаменателя на разность переменных мы опустим знаменатели равны единице чтобы перейти к записи целого выражения использование формул и разности квадратов ответ получен мы сформулировали правило умножения рациональных дробей и привели примеры теперь сформулируем правило возведения дробей в степень возведем в некоторую степень произвольную рациональную дробь из определение степени очевидно что это в сущности произведение некоторого количества равных между собой множителей количество множителей это показатель степени а каждый из равных множителей это основание степени по правилу произведения дробей это дробь с числителем равным произведению числителей и знаменателем равным произведению знаменателей следовательно степень дроби эта дробь в числителе которой степень числителя а в знаменателе степень знаменателя следующее правило чтобы возвести / степень необходимо возвести в эту степень числитель а затем возвести в эту степень знаменатель первый результат записать в числитель а 2 в знаменатель trim это правило на примере он заданную дробь в четвертую степень возведем в четвертую степень числитель дроби и получим восьмую степень переменной теперь возведем в четвертую степень знаменатель заданные дроби и получим двенадцатую степень переменной полученную дробь запишем в ответ

Умножение дробей с целым. Дроби

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем дробь;
  • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение смешанных дробей — правило и примеры решения » ГДЗ онлайн

Автор Беликова Ирина На чтение 6 мин Просмотров 1

Изучение математических отношений важно для дальнейшего понимания алгебры. Это тема не из простых, но проявив усердие и внимание, понять её сможет каждый учащийся. С дробными числами можно делать любые операции, например, деление, сложение, вычитание и умножение. Смешанные дроби позволяют упростить расчёт, избавиться от неправильного вида выражений, поэтому нужно обязательно научиться выполнять с ними действия, особенно на практических заданиях.

Общие сведения

По своей сути, дробь представляет собой какое-либо отношение, то есть разделение. Например, имеется торт, который разделён на 3 равные части. Все куски составляют одно целое — пирог. Но если из него взять один кусок, целостность будет нарушена. В математике такое действие записывают дробным отношением. В частности, для рассматриваемого случая алгебраическое выражение будет выглядеть как 1/3.

Здесь чёрточка обозначает деление. Число сверху над ней называют числителем (делимое), а снизу — знаменателем (делитель). Читается запись — «одна третья» или «одна третьей доли». Такого вида дроби принято считать обыкновенными. В них знаменатель показывает, на какое количество одинаковых частей что-либо можно поделить. Числитель же обозначает, какая часть была взята.

Обыкновенные отношения разделяют на 3 вида:

  • Правильные — в их записи значение делителя меньше числа делимого.
  • Неправильные — когда числитель больше знаменателя или равен ему.
  • Смешанные — отношение состоит из целой части и дробной.
  • С простыми дробями можно выполнять любые действия. При сложении или вычитании суть операции сводится к нахождению общего знаменателя, то есть наименьшего общего кратного и выполнения действия в числителе с учётом дополнительного множителя. Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.

    При умножении нужно числитель одного выражения умножить на делимое второго. Также поступить и со знаменателями — перемножить их. При делении в дроби, на которую уменьшают, нужно поменять местами верхнее число дроби с нижним, а после выполнить перемножение с первым отношением. Например, 2/3 * 3/6 = (2 * 3)/(3 * 6) = 6/18; 1/7: 1/7 = 1/7 * 7/1 = 7/7.

    Операции сами по себе несложные. Но часто на практике приходится иметь дело с неправильными и смешанными дробями. Правило умножения при работе с ними немного изменяется. Следует знать, что смешанную дробь всегда можно представить как неправильную. Это важное замечание, именно на него и опирается закон произведения смешанных чисел. Кроме того, при выполнении действий используют основное свойство дроби — делитель и делимое можно умножить на одно и то же любое натуральное число без изменения конечного результата.

    Преобразование смешанных чисел

    Умножение на обыкновенную дробь смешанного выражения невозможно без предварительных преобразований. Чтобы понять, как их делать, нужно чётко понимать, что собой представляет смешанное число. Состоит такая запись из двух частей:

    • целой — натуральное число;
    • дробной — простое отношение.

    Например, 3 1/3; 12 24/78; 1 ½. Другими словами, смешанная дробь — это запись числа, которая представляет сумму целой и дробной части. То есть справедливо будет записать равенство: 6 12/45 = 6 + 12/45. Это выражение всегда можно привести к неправильному виду. Для этого нужно выполнить всего два действия:

  • Целую часть перемножить со знаменателем и результат сложить с числителем.
  • Полученное значение записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.
  • Формулой эту операцию можно записать в следующем виде: a b/c = (a * c + b)/c.

    Например, нужно перевести смешанное число 3 27/34 в неправильную дробь. Используя алгоритм, знаменатель оставляют без изменения, а числитель умножают на делимое и складывают с целым: 3 27/34 = 3 + 27/34 = (3 * 34)/34 + 27/34 = (3*34 + 27)/34 = 129/34. Полученное выражение пробуют упростить, то есть разделить без остатка на одно и то же число.

    Вот немного сложнее задание. Следующее выражение нужно перевести в неправильную дробь: 3 — 27/34. Существует одна хитрость: если целая часть не содержит единицу, её приводят к такому виду, чтобы она содержала единичный член. Так, задание можно преобразовать к равенству: 2 + 1 — 27/34. Единицу в выражении можно заменить отношением, согласно свойству дробей, то есть представить её как 34/34. Теперь задание примет вид: 2 + 34/34 — 27/34.

    Используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем довольно просто выполнить действие: 2 + ((34−27) / 34) = 2 + 7/34 = 2 7/34. Полученное число уже без затруднений можно привести к виду неправильной записи: 2 7/34 = (2 * 34 + 7)/34 = (64 + 7)/34 = 75/34. При этом всегда можно выполнить и обратную операцию. Отсюда следует не менее важное правило, что натуральное число разрешено представлять как обыкновенную дробь с единичным знаменателем. Например, 33 = 33/1; 564 = 564/1.

    Решение примеров

    После изучения теории для её закрепления необходимо перейти к решению практических заданий. Начинать нужно с простых примеров, а после их освоения переходить к более сложным примерам. Существует набор типовых задач, после самостоятельного решения которых можно утверждать о понимании материала. Вот один из сборников, содержащий типовые задачи:

  • Перемножение неправильных дробей: 5/2 * 13/5 = (5 * 13)/(2 * 5) = 13/2. Полученная дробь неправильная, её нужно привести к смешанному числу: 13/2 = (1 + 6 * 2)/2 = 6 ½.
  • Задача на простое умножение с упрощением второй дроби: 2/5 * 45/5 = 2/5 * 9/1 = 18/5 = (3 + 3*5)/5 = 3 3/5.
  • Умножение смешанной дроби на целое число: 2 23/34 * 11 = ((2 * 34 + 23)/34) * 11/1 = 91/34 * 11/1 = (91 * 11)/*34 * 1) = 1001/34 = 29 15/34.
  • Нахождение результата перемножения двух смешанных выражений: 2 27/43 * 4 8/9 = ((2 * 43 +27)/43) * ((4 * 9 + 8)/9) = (113/43) * (44/9) = (113 * 44)/(43 * 9) = 4972/387 = (328 + 12*387)/387 = 12 328/387.
  • Вычисление ответа умножения числа на неправильную дробь: 2 11/18 * 5/3 = (2 * 18 + 11)/18 * 5/3 = 47/18 * 5/3 = (47 * 5) / (18 * 3) = 235 / 15 = 47/3 = (15 * 3 + 2)/3 = 15 + 2/3 = 15 2/3.
  • Для решения сложных заданий необходимо уметь комбинировать различные действия. Вот пример одного из таких заданий: (2/34 + 5 7/8) * 2 12/5 * 4 * 2/3. При решении такой задачи в первую очередь следует выполнить сложение в скобке: (2/34 + 5 7/8) = 5 + 2/34 + 7/8 = 5 + 8/136 +119/136 = 5 + (8 + 119)/136 = 5 + (127/136) = 5 127/136. Вторым действием будет приведение смешанных чисел к неправильным дробям: 2 12/5 = 2 + 12/5 = 2 + (2 * 5 + 2)/5 + 2/5 = 4 2/5.

    Теперь можно перемножить первый член со вторым, а третий с четвёртым: 5 127/136 * 4 2/5 = ((5 * 136) + 127)/136) * (4 * 5 + 2)/5) = 807/136 * 22/5 = (807/ 2 * 68) * (2 * 11/5) = (807 * 11)/(68 * 5) = 8877/340 = (37 + (26 * 340))/340 = 26 37/340; 4 * 2/3 = 4/1 + 2/3 = (4 * 2) / (1 * 3) = 8/3 = (2 + 2 * 3)/3 = 2 2/3.

    Последнее действие заключается в перемножении полученных членов: (26 37/340) * (2 2/3) = ((26 * 340 + 37)/340) * (2 * 3 + 2)/3) = (8877/340) * (8/3) = (3 * 2959)/(4 * 85) * (4 * 2/3) = (2959/85) * (2 /1) = 5918/85. Это и есть ответ на поставленную задачу. Но так как в ответе стоит неправильная дробь, её желательно преобразовать в смешанную: 5918/85 = (53 + 69 * 85) / 85 = 69 53/85. Пример решён.

    Использование онлайн-калькулятора

    На обычном калькуляторе выполнить умножение смешанных чисел возможно только путём переведения их в десятичные., то есть нужно будет представить члены выражения в виде неправильных дробей, затем разделить и найти произведение. Но если есть подключение к интернету, удобно использовать так называемые математические онлайн-калькуляторы.

    Это сайты, специализирующиеся на вычислениях. Чтобы ими воспользоваться, не нужно особой подготовки. Достаточно загрузить сервис и в предлагаемую форму ввести условия примера. После нажать кнопку «Рассчитать» и через одну-две секунды, зависит от сложности задания, получить ответ. Для этого, конечно же, понадобится подключение к интернету и гаджет, на котором установлен веб-браузер с поддержкой Flash-плеера.

    Из множества сайтов, существующих в русскоязычном секторе интернета, можно выделить:

    • onlinemschool;
    • webmath;
    • naobumium;
    • 0oq;
    • allcalc.

    Эти сервисы предлагают свои услуги бесплатно и даже не требуют регистрации или указания каких либо своих данных. Удобство их использования ещё и в том, что кроме автоматического подсчёта правильного произведения, сайты предоставляют пошаговое решение. Это удобно в процессе обучения. Можно не только проверить самостоятельно полученный ответ, но и проследить все этапы выполнения действий.

    Для новичков на сервисах предусмотрен краткий теоретический материал, так что даже неподготовленному пользователю будет понятно, как получается то или иное преобразование. А примеры с комментариями помогут понять алгоритм вычисления задач с дробями и закрепить пройденный на уроках материал.

    Онлайн-калькуляторы — это отличное подспорье учащимся при освоении материала. К тому же они будут полезны студентам и инженерам. Всё дело в том, что расчёт с их помощью занимает несколько секунд и практически исключена ошибка. В то же время самостоятельные вычисления не только требуют повышенной внимательности, но и занимают намного больше времени.

    Как умножить обыкновенные и десятичные дроби

    Редакция «Мой репетитор» Добавлено: 18 Марта в 18:10 796

    В этой статье мы обновим в памяти информацию о правилах умножения простых и десятичных дробей из школьной программы. Забывшим правила или просто интересующимся будет интересно.

    Самое простое — это перемножение дробей между собой

    Сначала разберемся с обыкновенными дробями, где правила довольно легкие: числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель. Полученный результат стоит проверить на возможность сокращения.

    Пример смотрите ниже:

    Указанное выше правило справедливо для любых простых дробей. Чтобы облегчить себе расчеты большие дроби удобно сначала сократить при помощи деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

    Смешанные числа сначала лучше перевести в неправильную дробь, а после проведения умножения выполнить перевод обратно.


    Следующее по сложности правило касается перемножения десятичных дробей

    Чтобы умножать числа в виде десятичных дробей выполняют три поэтапных действия:
    1) Исходные числа записываются столбиком, а потом умножаются как натуральные;
    2) Суммируется знаки после запятых в каждом исходном числе;
    3) В числе-результате считая справа налево отсчитывается сумма знаков из шага 2, и ставится запятая.

    Пример ниже: 

    При умножении любого десятичного числа на 0,1 или 0,01 просто переместите влево запятую в нем на количество знаков во множителе. Например: 0,25*0,01=0,0025.

    Третье правило касается перемножения дробей и натуральных чисел

    Производя вычисления с обыкновенными дробями, не трогают знаменатели, перемножая только числители. При получении результата в виде неправильной дроби из нее получают смешанное число посредством выделения целого.

    Пример ниже:

    При перемножении чисел сначала их переводят их в неправильные дроби, а дальше считают аналогичным образом.

    Например:

    Существует альтернативный способ, заключающийся в делении знаменателя на имеющееся число

    Данный метод работает в случае возможности деления знаменателя без остатка на имеющееся число.

    Пример ниже:

    Перемножение десятичных дробей похоже на способ, описанный в самом начале. После умножения столбиком в полученном результате ставят запятую, предварительно посчитав количество знаков после запятой в десятичном числе.

    Например:

    Перемножая десятичные дроби на целые числа типа 100 или 1000, перемещают запятую направо на количество нулей после единицы во множителе. 

    Пример:

    0,005 * 1000 = 5 или 0,035 * 10 = 0,35.

    Умножение дробей – Математика для торговли: Том 1

    Следующее уравнение является примером умножения дробей. На первый взгляд это может показаться сложнее, чем сложение или вычитание дробей, но на самом деле это намного проще. Что может быть сложнее понять, так это ответ, который вы получаете, когда перемножаете дроби.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=?[/latex]

    Мы посмотрим на это визуально, используя для этого круг, разрезанный на части.Для начала разделим круг на 4 равные части. Одна из этих частей будет равна одной четверти круга.

    Если бы мы умножили эту ¼ на ½, то, что мы сделали бы математически, — это взяли бы ½ части ¼ или, по сути, разделили бы эту ¼ на две равные части. В конечном итоге это будет представлять ⅛ круга.

    Математически это делается так:

    Умножить числители вместе

    [латекс]1\times1=1[/латекс]

    И

    Умножьте знаменатели вместе

    [латекс]2\times4=8[/латекс]

    В итоге мы получаем следующее:

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}[/latex]

    Вернемся к Эбигейл, Ханне и Наоми.Сейчас они прошли еще один уровень обучения и подходят к концу своего ученичества. Все трое работают над одним проектом — трехэтажным деревянным каркасным зданием, и каждый отвечает за черновую отделку 30 апартаментов. Каждую неделю они должны подключать ⅙ этих апартаментов. Однажды Ханне пришлось пропустить два дня. Таким образом, она работала только 3 из 5 дней, или ⅗ времени. Какую часть люксов она смогла бы примерить на той неделе, принимая во внимание ее отсутствие?

    Начните с записи дробей, с которыми мы будем работать в этой ситуации.

    [latex]\dfrac{1}{6}\text{ Количество комплектов, которое необходимо выполнить в течение 5-дневной рабочей недели.}[/latex]

    [latex]\dfrac{3}{5}\text{ Доля рабочего времени в течение недели, 3 из 5 дней.}[/latex]

    Затем умножьте две дроби вместе, придерживаясь нашей формулы умножения числителей вместе, а затем умножения знаменателей вместе.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{числители}1\times3=3[/латекс]

    [латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\текст{знаменатели}6\times5=30[/латекс]

    И получается ответ:

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{30}[/latex]

    Которое затем можно сократить до минимума:

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{3}{30}\стрелка вправо\dfrac{1}{10}[/латекс]

    Вот еще один пример.Давайте пройдемся по шагам в этом.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{4}=?[/latex]

    Шаг 1 : Перемножьте числители.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ5\times3=15[/латекс]

    Шаг 2 : Перемножьте знаменатели.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ8\times4=32[/латекс]

    Шаг 3 : Поместите каждый ответ на соответствующее место дроби.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{32}[/latex]

    Шаг 4 : При необходимости введите ответ в наименьшем выражении и при необходимости измените число на смешанное.В этом вопросе мы хороши с обеих сторон.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{Окончательный ответ}=\dfrac{15}{32}[/латекс]

    До сих пор вы, возможно, думали, что получили это и это легко, но теперь давайте немного повысим уровень сложности.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{2}{5}\times2\dfrac{1}{4}=?[/latex]

    Прежде чем начать, вы видите проблему? Проблема в том, что вы сейчас пытаетесь перемножить два смешанных числа. Как это работает? Можете ли вы просто пойти дальше и попытаться умножить их такими, какие они есть? Ответ НЕТ, но решение проблемы не так сложно: вам просто нужно сделать один дополнительный шаг, прежде чем пройти через процесс.

    Первое, что вам нужно сделать, это превратить каждое из смешанных чисел в неправильную дробь. С этого момента процесс такой же.

    Шаг 1 : Превратите каждое из смешанных чисел в неправильную дробь. Это единственный способ ответить на этот вопрос. Вы не можете умножать числа в том состоянии, в котором они находятся.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{2}{5}=\dfrac{22}{5}[/латекс]

    (5 × 4 + 2 = 22)

    [латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}[/латекс]

    (4 × 2 + 1 = 9)

    Шаг 2 : Перемножьте числители.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ22\times9=198[/латекс]

    Шаг 3 : Перемножьте знаменатели.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ5\times4=20[/латекс]

    Шаг 4 : Поставьте каждый ответ на соответствующее место в дроби.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{22}{5}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{198}{20}[/latex]

    Шаг 5 : При необходимости введите ответ в наименьшем выражении и при необходимости измените число на смешанное. В этом случае мы должны сделать и то, и другое.Начнем с того, что представим дробь в наименьших условиях.

    Затем возьмите это и сложите в смешанное число.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{99}{10}=9\dfrac{9}{10}\text{Смешанное число}[/latex]

    Попробуйте сами задать пару вопросов. Убедитесь, что ваш ответ представлен в самом низком выражении, и, если необходимо, превратите его обратно в смешанное число. Когда закончите, посмотрите видеоответы, чтобы убедиться, что вы на правильном пути.

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{8}=[/латекс]

    [латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{9}=[/латекс]

    [латекс]\БОЛЬШОЙ5\dfrac{1}{2}\times6\dfrac{3}{8}=[/латекс]

    [латекс]\БОЛЬШОЙ7\dfrac{5}{9}\times8\dfrac{5}{7}=[/латекс]

    Как умножать дроби — пустышки

    Почему в жизни все не может быть так же просто, как умножение дробей? Чтобы умножить две дроби, просто сделайте следующее: Умножьте два числителя на (верхние числа), чтобы получить числитель ответа; умножьте два знаменателя на (нижние числа), чтобы получить знаменатель ответа.

    Когда вы умножаете две правильные дроби, ответ всегда будет правильной дробью, поэтому вам не нужно будет превращать его в смешанное число, но, возможно, вам придется уменьшить его.

    Перед умножением проверьте, сможете ли вы исключить общие множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе. (Этот процесс подобен уменьшению дроби.) Когда вы убираете все общие множители перед умножением, вы получаете ответ, который уже сокращен до самых низких членов.

    Примеры вопросов

    1. Умножьте 2/5 на 4/9.

      Умножьте два числителя (верхние числа), чтобы получить числитель ответа. Затем умножьте два знаменателя (нижние числа), чтобы получить знаменатель ответа:

      .

      В этом случае можно не уменьшать ответ.

    2. Найти

      Перед умножением обратите внимание, что числитель 4 и знаменатель 8 четны. Итак, разделите оба этих числа на 2 так же, как при сокращении дроби:

      .

      Теперь числитель 2 и знаменатель 4 четные, поэтому повторите этот процесс:

      На данный момент ни один числитель не имеет общего делителя ни с одним из знаменателей, так что вы готовы к умножению.Умножьте два числителя, чтобы получить числитель ответа. Затем умножьте два знаменателя, чтобы получить знаменатель ответа:

      .

      Поскольку вы отменили все общие множители перед умножением, этот ответ будет самым низким.

    Практические вопросы

    1. Умножьте 2/3 на 7/9.

    2. Найти

    3. Умножить 2/9 на 3/10.

    4. Разобраться

    Ниже приведены ответы на практические вопросы:

    1. Умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

      Числитель и знаменатель четные, поэтому их можно уменьшить в 2 раза:

    2. Начните с исключения общих множителей.Числитель 2 и знаменатель 10 оба четные, поэтому разделите оба на 2:

      Далее, числитель 3 и знаменатель 9 делятся на 3, поэтому разделите оба на 3:

      Теперь умножьте прямо:

      Поскольку перед умножением вы убрали все общие множители, этот ответ уже уменьшен.

    3. Начните с исключения общих множителей. Числа 14 и 8 делятся на 2, а числа 9 и 15 делятся на 3:

      Теперь умножьте:

    Умножение дробей | Алгебра среднего уровня

    Результаты обучения

    • Умножение двух или более дробей
    • Умножить дробь на целое число

    Умножение дробей

    Подобно тому, как вы складываете, вычитаете, умножаете и делите при работе с целыми числами, вы также используете эти операции при работе с дробями.Есть много случаев, когда необходимо умножить дроби. Модель может помочь вам понять умножение дробей.

    Когда вы умножаете дробь на дробь, вы получаете «долю дроби». Предположим, у вас есть [latex]\dfrac{3}{4}[/latex] конфеты, и вы хотите найти [latex]\dfrac{1}{2}[/latex] [latex]\dfrac{ 3}{4}[/латекс]:

    Разделив каждую четвертую часть пополам, можно разделить шоколадный батончик на восьмые части.

    Затем выберите половину из них, чтобы получить [латекс]\dfrac{3}{8}[/латекс].

    В обоих вышеперечисленных случаях, чтобы найти ответ, вы можете перемножить числители вместе и знаменатели вместе.

    Умножение двух дробей

    [латекс]\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}=\dfrac{\text{произведение числителей}} {\text{произведение знаменателей}}[/latex]

    Умножение более двух дробей

    [латекс]\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{e}{f}=\dfrac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\ cdot f}[/латекс]

    Пример

    Умножить [латекс]\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}[/latex]

    Показать решение

    Умножьте числители и умножьте знаменатели.

    [латекс]\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 5}[/латекс]

    Упростите, если возможно. Эта фракция уже находится в наименьших условиях.

    [латекс]\dfrac{8}{15}[/латекс]

    Ответить

    [латекс]\dfrac{8}{15}[/латекс]

    Повторим: если дробь имеет общие делители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к упрощенной форме, удалив общие делители.

    Например,

    • Учитывая [латекс]\dfrac{8}{15}[/латекс], множители [латекс]8[/латекс] следующие: [латекс]1, 2, 4, 8[/латекс] и множители [латекс]15[/латекс] это: [латекс]1, 3, 5, 15[/латекс].[latex]\dfrac{8}{15}[/latex] упрощен, потому что нет общих множителей для [latex]8[/latex] и [latex]15[/latex].
    • Учитывая [латекс]\dfrac{10}{15}[/латекс], факторы [латекс]10[/латекс] следующие: [латекс]1, 2, 5, 10[/латекс] и факторы [ латекс]15[/латекс]: [латекс]1, 3, 5, 15[/латекс]. [latex]\dfrac{10}{15}[/latex] не упрощается, поскольку [latex]5[/latex] является общим множителем [latex]10[/latex] и [latex]15[/latex].

    Обратите внимание, что вы можете сначала упростить дроби, прежде чем перемножать их, чтобы облегчить себе работу.Это позволяет вам работать с меньшими числами при умножении.

    В следующем видео вы увидите пример как умножить две дроби, затем упростить ответ.

    Подумай об этом

    Умножить [латекс]\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{5}[/latex]. Упростите ответ.

    Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби.

    Показать решение Умножьте числители и умножьте знаменатели.

    [латекс]\dfrac{2\cdot 1\cdot 3}{3\cdot 4\cdot 5}[/латекс]

    Сначала упростите, отменив (разделив) общие множители [латекс]3[/латекс] и [латекс]2[/латекс]. [латекс]3[/латекс] разделить на [латекс]3[/латекс] равно [латекс]1[/латекс], а [латекс]2[/латекс] разделить на  [латекс]2[/латекс] равно [латекс ]1[/латекс].

    [латекс]\begin{array}{c}\dfrac{2\cdot 1\cdot3}{3\cdot (2\cdot 2)\cdot 5}\\\dfrac{\cancel{2}\cdot 1\ cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot (\cancel{2}\cdot 2)\cdot 5}\\\dfrac{1}{10}\end{массив}[/latex]

    Ответить

    [латекс]\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{5}[/latex] = [латекс]\dfrac{1}{10}[/ латекс]

    Понимание дробей: простой способ умножения дробей

    Понимание дробей и умножение дробей может быть очень пугающим, особенно если ваш ребенок видит их впервые.Хотя они (обычно) представляют значения от 0 до 1, они кажутся большими и пугающими из-за чисел внутри них. Они не похожи на другие числа и ведут себя не так, как целые числа. По сути, фракции уникальны, и работа с ними требует набора новых навыков. Они также являются огромной частью .

    Многие взрослые забывают, как умножать дроби, потому что учатся полагаться на калькуляторы или редко взаимодействуют с ними. Это не становится проблемой до тех пор, пока они не станут родителями и примерно в 3-м или 4-м классе их ребенок не попросит их помочь с домашним заданием по математике.Если событие, подобное этому, привело вас к этой статье, не беспокойтесь — вы попали в нужное место.

    Как говорится, есть не один способ содрать шкуру с кота. Существует несколько вариантов умножения дробей, и какой из них вы используете, зависит от ваших предпочтений. Хотя сами числа могут быть большими, процесс умножения дробей не так сложен, как кажется, и не должен вас пугать. Не позволяйте боязни дробей превратиться в неприязнь к математике. Вот обзор нескольких способов умножения дробей.

    Умножение дробей: краткий обзор

    Прежде чем мы поговорим о способах умножения дробей, вам нужно убедиться, что вы помните все их компоненты. Даже если вы это сделаете, может быть полезно прочитать это вместе с ребенком, чтобы убедиться, что он может следовать тому, что вы делаете.

    Обычно дробь состоит из двух чисел. Между ними есть линия, и одно число лежит над линией, а другое — под ней. Верхнее число называется числителем, а нижнее число называется знаменателем.

    Дроби обозначают соотношение. Дробь 2/3 можно прочитать как «две трети», но ее также можно назвать «два из трех». По сути, если бы вы взяли что-то одно и разделили его на 3 равные части, а затем убрали бы одну из них, вы бы увидели две трети того, с чего начали.

    Самый простой способ объяснить это детям — предложить им представить себе поднос с печеньем. Есть три печенья, ты берешь одно и съедаешь. Теперь осталось только два печенья, а у вас было три в начале — следовательно, два печенья из трех на подносе, или 2/3.Это должно помочь им понять дроби, а не просто процесс умножения самих чисел.

    Подписка на 6 месяцев Премиум

    Защита от детей
    Родительский контроль

    Премиум

     

    • Более 30 000 практических вопросов
    • 500+ видеолекций
    • Более 15 000 видео с пояснениями
    • Рабочие листы для печати

    3-дневная гарантия возврата денег

    Получите скидку до 70% на 6-месячные и пожизненные планы.

    15 минут в день держат мозг вашего ребенка в тонусе!

    6 МЕСЯЦЕВ

    Все включено. В любом месте!

    10 долларов в месяц

    Всего:

    179 долларов.99 59,99 долларов США

    • Более 30 000 практических вопросов
    • 500+ видеолекций
    • Более 15 000 видео с пояснениями
    • Рабочие листы для печати

    Если вам нужно представить дробь в «самой простой форме», это означает замену чисел в дроби наименьшими числами, представляющими то же отношение.Например, 4/10 упрощается до 2/5, потому что они представляют одно и то же значение.

    Способы умножения дробей: прямо

    Видишь? Это не так плохо. Один из самых простых способов умножения дробей — это прямое умножение чисел. Если у вас есть две дроби, возьмите числители и перемножьте их вместе. Затем возьмите знаменатели и сделайте то же самое. Поместите произведение двух числителей вверху произведения дроби, а произведение знаменателей — внизу.Это действительно так просто — вы только что умножили дробь. Осталось только привести дробь к простейшему виду.

    Понимание дробей: преобразование в десятичную

      Одним из наиболее сложных способов умножения дробей является преобразование дробей в десятичные. Это особенно полезно при работе со смешанными числами. Каждая дробь сводится к десятичной: ¾ равняется 0,75, 5/10 равняется 0,5, а 8/20 равняется 0,4. Допустим, вас попросили умножить 5¼ на 6¾.Если у вас есть калькулятор под рукой, вы можете разделить числитель на знаменатель, чтобы получить десятичное значение. Затем вы просто добавите десятичное значение ко всему числу слева и умножите суммы чисел.

    В этом случае числа становятся 5,25 и 6,75, потому что 1, деленное на 4, равно 0,25, а 3, деленное на 4, равно 0,75. Все, что вам нужно сделать сейчас, это перемножить 5,25 и 6,75 вместе, чтобы получить в сумме 35,4375. Однако после этой десятичной точки есть много чисел… что, если вам нужно преобразовать их обратно в дробь?

    Возьмите числа справа от запятой и поместите их в дробь, установив знаменатель равным 1.Для каждого числа в числителе умножьте числитель и знаменатель на 10. В этом случае в числителе 4 числа, поэтому вы должны умножить на 10 000. Упростите дробь, и вы успешно преобразовали дробь.

    Заключение

    В конце концов, понять дроби очень просто. При желании его можно усложнить, но на самом деле он не сильно отличается от умножения обычных целых чисел. Если вы сможете заставить своего ребенка понять это, с предметом дробей будет намного легче справиться.На самом деле вся дисциплина математики становится менее пугающей, когда вы понимаете, что большинство концепций пересекаются и строятся друг на друге.

    Умножение дробей и десятичных знаков – Доктора математики

    (Новый вопрос недели)

    Давайте рассмотрим короткий вопрос из середины сентября, на который было несколько разных ответов. В некотором смысле это простой вопрос; но мы пойдем немного дальше, так что продолжайте читать до конца.

    Можно ли умножить обыкновенную и десятичную дробь?

    Азраф спросил:

    Можно ли умножить дробь на десятичное число?

    Нас регулярно учат, как умножать две дроби и как умножать два десятичных числа; но что происходит, когда вы объединяете их? Пример был бы полезен, чтобы убедиться, что мы имеем дело с той проблемой, с которой имеет дело Азраф, но вопрос достаточно ясен, за исключением того факта, что его, вероятно, не следует воспринимать буквально как вопрос «да/нет»! Большой вопрос, как ? И, может быть, есть какой-то конкретный способ сделать такое умножение напрямую на ?

    Трехсторонний

    Я ответил, выбрав для начала простой пример:

    Привет, Азраф.

    Быстрый ответ: да . Дроби и десятичные дроби являются числами, поэтому их можно умножать.

    Длинный ответ: Я хочу посмотреть, что вы думаете, когда задаете вопрос. Возможно, вы действительно спрашиваете что-то вроде этого: Могу ли я умножить дробь и десятичное число без предварительного преобразования одного в другое в виде ?

    Например, мы можем умножить 1/3 × 0,75, преобразовав 1/3 в (приблизительное) десятичное число 0,3333 и умножив, чтобы получить 0.249975, что округляется до 0,25.

    Или мы можем сделать это, преобразовав 0,75 в дробь 3/4, а затем умножив 1/3 × 3/4 = 1/4. Этот ответ точен.

    Но нам не нужно явно преобразовывать. Вместо этого мы можем просто разделить 0,75 на 3, чтобы получить 0,25 (опять же точно). Здесь мы ничего не конвертировали, а использовали правила работы с дробями. Мы можем думать об этом как о переписывании 1/3 × 0,75 как дроби 0,75/3 и упрощении путем деления.

    Есть несколько других способов сделать это.

    Я хотел бы услышать, что конкретно вы имели в виду, чтобы мы могли обсудить ваши мысли.

    Мой первый предложенный метод выполняет умножение в десятичной форме : $$\frac{1}{3}\times 0,75 = 0,333…\times 0,75 = 0,249975…\примерно 0,25$$ Это создает впечатление, что ответ не обязательно точный; и это требует долгой и утомительной работы, если вы хотите умножить вручную. (Если вы используете этот метод на калькуляторе, вы просто будете рассматривать дробь как деление, которое будет автоматически выполнено как десятичное число: \(1\div 3\times 0.75 = 0,25\). Таким образом, калькулятор не будет округлять и даст более точный ответ, чем мы вручную.)

    Мой второй метод выполняет умножение в дробной форме : $$\frac{1}{3}\times 0,75 = \frac{1}{3}\times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{3\times 4} = \frac{1}{4}$$ Отсюда ясно, что наш ответ на самом деле точен. Если мы сделаем это вручную, трудная часть будет заключаться в преобразовании десятичной дроби в дробь путем деления в большую сторону (хотя в этом случае вы вполне можете просто распознать ее).Тогда мы должны упростить ответ. Но это достаточно просто. (Используя калькулятор, вы должны иметь возможность конвертировать десятичную дробь в дробь; мой TI-30X IIS делает это для 0,75 с помощью кнопки «F◄►D», но он не работает для более уродливых десятичных дробей, таких как 0,7557. .)

    В моем третьем предложении используются методы дроби с десятичным числом точно так же, как мы умножаем дробь \(\frac{1}{3}\) на целое число 75: $$\frac{1}{3}\times 0,75 = \frac{1}{3}\times \frac{0,75}{1} = \frac{1\times 0.75}{3\times 1} = \frac{0,75}{3} = 0,25$$

    Конкретная проблема

    Теперь, как и предполагалось, Азраф привел конкретный пример; как я и ожидал, он оказался немного сложнее моего намеренно простого, но ненамного:

    Я хочу сделать такой расчет: 110/100×694,44. Я изо всех сил пытаюсь это сделать.

    Пока я был занят тем утром, доктор Рик заинтересовался и ответил:

    Привет, Азраф. Доктор Петерсон, вероятно, поделится с вами своими мыслями, но пока позвольте мне указать, что все три метода, которые он упомянул, могут быть применены к вашему выражению:

    110/100 × 694.44

    Во-первых, мы можем преобразовать дробь 110/100 в десятичную; это особенно легко из-за его знаменателя. Можете ли вы сделать это, а затем завершить умножение?

    Во-вторых, мы можем преобразовать десятичное число 694,44 в дробь. Это обратный процесс, который вы использовали бы для преобразования 110/100 в десятичное; на самом деле мы получим тот же знаменатель, 100.

    В-третьих, мы можем использовать правила работы с дробями. Как бы вы умножили 110/100 на целое число 694? Вы должны быть в состоянии сделать то же самое с 694.44 вместо 694; если вы не можете понять, как это сделать, покажите нам шаги, которые вы бы использовали, и мы сможем помочь.

    На самом деле, будет полезно, если вы сможете попробовать все три метода и показать нам свою работу. Это даст нам больше тем для разговора и лучшее представление о том, где вы боретесь.

    Применим три метода, как я сделал выше:

    В виде десятичных дробей: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = 1,10\times 694,44 = 763,884$$ Поскольку десятичная дробь заканчивается (как всегда будет деление на 100), это точный ответ, несмотря на работу с десятичными дробями.

    В виде дробей: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = \frac{110}{100}\times \frac{69444}{100} = \frac{110\times 69444}{100\times 100 } = \frac{7638840}{10000} = \frac{190971}{250}$$ Если нам нужен десятичный ответ, мы можем просто разделить и получить тот же ответ, что и раньше; но работа с дробями предполагает, что нам нужен дробный ответ, а это означает упрощение. Не так просто без кнопки дроби на вашем калькуляторе!

    Суммарно: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = \frac{110}{100}\times \frac{694.44}{1} = \frac{110\times 694,44}{100\times 1} = \frac{76388,4}{100} = 763,884$$

    Я увидел ответ и немного подумал, но когда у меня было время ответить, я обнаружил, что мне нечего добавить:

    Доктор Рик сказал именно то, что я собирался сказать, так что это должен быть хороший совет!

    Я с нетерпением жду возможности увидеть вашу работу, независимо от того, сможете ли вы сделать ее успешно или нет, так как, возможно, есть что обсудить.

    Азраф ответил немного работы:

    Правильно? Перепробовав много, я пришел к этому этапу.Если не так, пожалуйста, опишите это.

    Совершенно верно; Азраф использовал мой третий метод, с некоторым упрощением, перед тем, как умножить, сначала отменив 10, а затем разделив, чтобы получить десятичную дробь.

    Я ответил одобрением плюс демонстрация других методов:

    Да, верно. Хорошая работа!

    Если бы вы преобразовали дробь в десятичную, работа была бы очень похожей. Поскольку 110/100 = 1,1, вам нужно умножить 1.1 × 694,44; делая это вручную, вы должны умножить 11 × 69444, чтобы получить 763884, а затем разделить на 1000 (передвинуть запятую на три знака), чтобы получить 763,884.

    А если вы преобразуете 694,44 в дробь, то умножаете 110/100 × 69444/100, поэтому числитель будет 110 × 69444 = 7638840, а знаменатель будет 10000. Все выглядит очень похоже.

    Азраф закрыт:

    Спасибо за помощь. В ближайшем будущем снова обсудим математические проблемы.

    Берегите себя.

    Азраф

    Старый пример

    Но не будем останавливаться на достигнутом. Задача Азрафа решалась особенно легко всеми тремя способами, потому что знаменатель был таков, что дробь была почти десятичной. Давайте сделаем еще пару примеров?

    При написании этого поста я нашел только один подобный вопрос в архиве Ask Dr. Math за 1996 год:

     Умножение дроби на десятичную
    
    Как упростить и умножить:
    
      40
     ----- х 78.5
      360 

    Доктор Майк ответил:

     Привет Гленн,
      
    Есть несколько способов сделать это. Если у вас есть калькулятор, вы можете сначала вычислить 40/360, а затем умножить на 78,5.
    
    Если вы делаете это вручную, то проще всего сначала сократить дробь до меньших членов. Числитель 40 и знаменатель 360 кратны 10, поэтому вы можете разделить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы получить эквивалент дроби 4/36. Поскольку 4 умножить на 9 равно 36, эта дробь эквивалентна 1/9.Ваша первоначальная проблема теперь
      
        1
       --- х 78,5
        9
      
    Это то же самое, что 78,5/9, что вы можете сделать на бумаге с делением в длину. В любом случае ответом является бесконечно повторяющееся десятичное число 8,722222222... . Хорошее приблизительное значение — 8,722. 

    Итак, он сначала дал то, что составляет десятичный подход , просто выполнив деление и получив десятичный результат: $$\frac{40}{360}\times 78,5 = 0,111…\times 78,5 = 8,7222…$$ это на моем калькуляторе без записи и повторного ввода промежуточного результата, так что не было никакого округления (кроме дальнего конца памяти калькулятора).Вероятно, именно так это обычно и делается в реальном мире.

    Затем он сделал то, что составляет мой смешанный метод , сначала упростив дробь (что я бы сделал, только если бы это было легко, как это), а затем обработав полученную дробь как деление: $$\frac{40} {360}\times 78,5 = \frac{1}{9}\times 78,5 = 78,5\div 9 = 8,7222…$$

    Если бы у нас была какая-то причина, чтобы получить дробный результат, мы могли бы использовать мой метод чистой дроби , умножив \(\frac{1}{9}\times 78\frac{1}{2}\).Напомним, что мы делаем такое умножение, записывая смешанное число в виде неправильной дроби: $$\frac{40}{360}\times 78,5 = \frac{1}{9}\times 78\frac{1}{2} = \frac{1}{9}\times \frac{157}{2} = \frac{157}{18} = 8\frac{13}{18}$$ Конечно, \(\frac{13} {18} = 0,7222…\).

    На шаг сложнее!

    Давайте займемся еще одним делом, которое связано с последним, что мы делали. В поисках вопросов такого типа, которые кажутся очень редкими, я нашел этот незаархивированный вопрос от 2009 года, который делает еще один шаг вперед:

     У меня проблемы с домашним заданием, и я не понимаю, как это сделать в классе, но я боюсь спросить учителя, потому что не хочу говорить перед всем классом.Мне нужно умножить неправильную дробь на десятичную, но я не знаю, как это сделать. Мне было интересно, не могли бы вы объяснить, как получить ответ.
    
         3,2 лк 10 1/3
    
    Спасибо, что нашли время, чтобы помочь мне! 

    Разобравшись со вторым вопросом, который я здесь пропустил, я сказал:

     Теперь вернемся к другому вопросу, умножению смешанного числа на десятичное. Не знаю, чему вас об этом учили! Обычно, когда вам нужно умножить два разных вида числительных, вы переписываете одно в той же форме, что и другое, так что вы можете умножать как обычно.В вашем примере
    
      3,2 л х 10 1/3
    
    мы можем либо изменить десятичное число на смешанное,
    
      3 21/100 х 10 1/3
    
    а затем умножить их, преобразовав обе в неправильные дроби, или изменить смешанное число на десятичное,
    
      3,21 х 10,333...
    
    что немного более неудобно. 

    Это, конечно же, те же методы, которые мы обсуждали. Используя дроби, мы получаем $$3\frac{21}{100}\times 10\frac{1}{3} = \frac{321}{100}\times\frac{31}{3} = \frac{321 \times 31}{100\times 3} = \frac{9951}{300} = \frac{3317}{100} = 33\frac{17}{100}$$

    Используя десятичные дроби, мы получаем неконечную десятичную дробь, которая дает $$3.21\times 10\frac{1}{3} \примерно 3,21\times 10,333 = 33,16893\примерно 33,17$$ Опять же, если я выполню умножение в своем калькуляторе без округления, он покажет ответ как 33,17.

    Не зная, была ли конкретная причина, по которой проблема связана со смешанным номером, я предложил другой метод, который, вероятно, никогда бы не сделал иначе:

     Вас чему-то другому учили? Единственный другой метод, который я могу придумать (и тот, который имеет какое-то отношение к вашему другому вопросу), - это «распространить», если вы знакомы с этим термином.Умножение на 10 + 1/3 равносильно умножению на 10 и 1/3 и сложению результатов:
    
      3,21 х (10 + 1/3) = 3,21 х 10 + 3,21 х 1/3
    
    Умножьте на 10, переместив запятую, и умножьте на 1/3, разделив на 3. Сомневаюсь, что вас этому учили. 

    Мы находим, что \(3,21\times 10 = 32,1\) и \(3,21\times\frac{1}{3} = 3,21\div 3 = 1,07\), поэтому результат равен \(32,1 + 1,07 = 33,17\). ) опять же.

     Итак, покажите мне, как, по вашему мнению, вы должны это сделать, и покажите мне вашу работу.Я помогу вам, если вы ошибетесь, так что не бойтесь показать мне, что вы пытаетесь сделать.
    
    Кстати, я учу взрослых, у которых есть проблемы с некоторыми из этих вещей, и я всегда рад, когда есть кто-то, кто задает вопросы, которые есть у всех остальных! Возможно, вы обнаружите, что ваш класс ждет, пока кто-нибудь осмелится спросить об этом, и за это вы полюбите его больше. 

    Катя ответила,

     Большое спасибо! Благодаря вам я справился со своей работой и теперь понимаю, что делать.+ = \{1,2,3,\dots\}.+$, такое что $a\cdot d = b \cdot c.$

    Обратите внимание, что на этот счет $\frac12$ и $\frac 24$ равны из-за равенства множеств: два множества равны, когда они содержат точно такие же элементы; эти два набора содержат точно такие же пары.

    Почему это определение затрагивает суть дробей? Потому что, если подумать о том, что это определение говорит о $\frac 13$, оно говорит, что это отношение между числами и их третями. Таким образом, числа в наборе равны $\{(1, 3), (2, 6), (3, 9), \dots \}$, и мы выражаем, что первое число составляет одну треть второго числа, для все целые числа, где мы можем легко решить эти вещи.

    Мы также видим, что мы можем многое понять о том, как они работают, просто взглянув на элемент множества с наименьшим первым элементом; мы можем довольно легко перейти от $(1, 3)$ обратно к $\frac13$. Это, конечно, сведение дроби к ее простейшим условиям путем удаления общих множителей с обеих сторон. Давайте быстро докажем, что это работает. Предположим, что $a = n \cdot x$ и $b = n\cdot y$ для общего множителя $n\ne 1.$ Мы хотим показать, что $\frac ab$ и $\frac xy$ — одни и те же множества.+$ в дробях, то есть как эти дроби $\frac n1 = \{(n, 1), (2n, 2), (3n, 3), \dots \}.$ Смотрим на мельчайшие элементы и находим видите, что когда мы добавляем их, мы должны выполнить $(n_1, 1) + (n_2, 1) = (n_1 + n_2, 1).$ Проблема в том, как нам сделать это четко определенным , чтобы оно не Не важно, какую пару мы выберем? Ясно, что если бы мы выбрали $(2n_1, 2) + (3 n_2, 3)$, нам пришлось бы получить $(k(n_1 + n_2), k)$ для некоторого $k$. И самый очевидный способ получить это свойство — сказать, что $k=2\cdot 3$, так что мы получим $6(n_1 + n_2)$ для этого первого члена, что мы можем сделать, умножив первый элемент первого члена со вторым элементом второго члена и вторым элементом первого члена с первым элементом второго члена, поэтому мы должны обобщить $(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) $ для полного учета добавления «подмножества натуральных чисел» рациональных чисел в случае, когда мы выбираем репрезентативный элемент, который не является наименьшим элементом.

    Ну, тогда мы просто застряли, спрашивая, "как мы можем распространить это на ненатуральные числа?" и очевидный ответ, просто самый очевидный способ! Определим , что $\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd},$, и мы получим правильное выражение для всего, что является правильным выражением для натуральных чисел. Доказательство того, что это правильно определено, состоит в том, что $\frac ab + \frac{nc}{nd} = \frac{n(ad+bc)}{n(bd)},$, поэтому "по построению" это играет хорошо с нашей способностью сократить дробь до самых низких сроков.

    Упражнение: также докажите, что при этом сохраняются ассоциативные и коммутативные свойства сложения.

    Нечто подобное происходит, когда мы хотим умножить по этой новой формуле. Предположим, мы хотим умножить $\frac 25$, многократно добавляя его к самому себе 3 раза, мы находим, что приведенное выше выражение дает сначала $\frac25 + \frac25 = \frac {20}{25}$, а затем $\frac 25 + \frac {20}{25} = \frac{50+100}{125}.$ Что мы замечаем? Очевидно, что самое нижнее число равно $5\cdot 5 \cdot 5 = 5^3,$ умножение на $3$ кубов этого знаменателя.4.$ Несложно доказать, что добавление $\frac ab$ к самому себе $n$ раз дает $\frac{na}{b}.$

    Но что мы делали в прошлый раз, когда хотели обобщить сложение дробей? Мы рассмотрели другие представления целых чисел. Мы знаем, что нам нужно $(p~n, p) \cdot (q~a, q~b)$ для получения $(r~n~a, r~b)$, потому что это шаблон самосложения для целых чисел. . Очевидным выбором является $r=p~q$, который мы можем получить, умножив первые два, а затем умножив вторые два.

    Этот предлагает правило произведения в виде $\frac ab \cdot \frac cd = \frac{ac}{bd}.$ Снова мы сразу видим, что оно хорошо определено в отношении упрощения до наименьших членов, оно еще более явно ассоциативно и коммутативно, чем сложение.

    Но что действительно делает это умножение, так это распределительное правило . Вспомните правило распределения: $a\cdot(b + c)$ должно быть точно таким же значением, как $a\cdot b + a \cdot c$, и наоборот. Если эти два новых определения для сложения и умножения не «хорошо сочетаются», то нам нужно будет исправить одно или другое!

    Короче говоря, да.+$ как повторяющиеся операции увеличения, применяемые к начальному значению $1$, когда мы доберемся до отрицательных чисел, мы должны будем повторить операций уменьшения , которые отменят повторного увеличения.Таким образом, $2$ представляет собой «двойное увеличение», тогда $-2$ должно представлять «двойное уменьшение».

    Точно так же $\frac17 \cdot \frac ab$ — это число, которое, если вы семь раз прибавите его само к себе, даст вам $\frac ab$. Это точная отмена повторяющегося самодобавления.

    Таким образом, когда мы делаем $\frac13 \cdot \frac14$, мы не складываем $\frac14$ из самого себя 3 раза, что означает, что мы пытаемся найти число, которое при 3-кратном добавлении к самому себе даст $\frac14$ . Это ровно $\frac1{12}.$

    .

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.