Сложение ⭐ и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: правила, примеры задач

Понятие дроби и ее основные свойства

Понятие «дроби» используют, когда характеризуют доли.

Определение 1

Доли — равные части целого.

Пример 1

Например, если разделить шоколадку на равные части, то каждая часть станет долей.

Предположим, шоколадку разделили на 10 равных частей. По одному кусочку раздали десяти ребятам. Тогда каждый получил «одну десятую долю шоколадки» или «одну десятую шоколадки». Пишут: 110 шоколадки.

Примечание 1

Существуют специальные наименования для некоторых долей:

• 12— одну вторую предмета или объекта — называют половиной;
• 13— одну третью предмета или объекта — третью;
• 14— одну четвертую предмета или объекта — четвертью.

Пример 2

Пиццу разрезали на 7 долей. Даша съела 3 доли. Осталось 4 доли пиццы. Оставшиеся четыре доли обозначают 47.

Записи числа вида 47 называют обыкновенными дробями. Их используют для описания количества долей. Число 4 — числитель, 5 — знаменатель. Черта, которая разделяет эти два числа, называется дробной чертой.

Дробную черту можно заменить знаком деления.

Иногда вместо горизонтальной черты используют наклонную.

Определение 2

Числитель — число, которое показывает, сколько долей предмета взято или используется. Пишут над чертой или слева от наклонной черты.

Определение 3

Знаменатель показывает, на сколько долей разделили предмет. Указывают под чертой или справа от наклонной черты.

С помощью обыкновенных дробей записывают результат деления двух натуральных чисел.

Пример 3

Например, 8 апельсинов разделили на 11 человек. Результат деления записывают: 711. У каждого человека оказалось семь одиннадцатых долей.

Определение 4

Обыкновенной дробью называется запись числа, которую можно свести к буквенному видуmn.

В этом буквенном выражении m и n подразумевают натуральными числами.

Примечание 2

Натуральные числа — такие количественные значения, которые используют для подсчета объектов и предметов.

Правила чтения дробей:

• числитель дроби — количественное числительное женского рода;
• знаменатель — порядковое числительное.

Читают: 47 — четыре седьмых; 110 — одна десятая; 35 — три пятых; 2745 — двадцать семь сорок пятых.

Если знаменатель обыкновенной дроби равен единице, то рассматриваемый предмет целый. Он неделим. Значит, такая дробь имеет смысл натурального числа.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби, в которой:

• в знаменателе находится единица;
• в числителе — само число.

Виды обыкновенных дробей:

1. Правильные — числитель меньше знаменателя — 23; 413; 45199.
2. Неправильные — числитель больше знаменателя —143; 2413; 1145199.

Правильные дроби всегда меньше единицы. Неправильные дроби — больше единицы.

Когда числитель обыкновенной дроби равен знаменателю дроби, то преобразуют выражение в единицу:

aa=1 — знаменатель дроби равен числителю. Значит, дробь дает единицу.

Пояснение: aa=a:a=1 — дробная черта подразумевает знак деления. Когда делим одинаковые числа друг на друга, по правилу получаем единицу.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 4

Пиццу разделили на 6 равные частей — долей. Вначале на тарелку положили 3 доли, потом еще 2 доли. На тарелке оказалось 5 долей, то есть 56 пиццы:

36+26=56.

Правило 1

Если нужно сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, а знаменатель оставляют неизменным.

Пример 5

1316+216=13+216=1516.

Этот пример можно прочитать по тем же правилам, которые используются при прочтении выражений с натуральными числами.

1316+216 — сумма тринадцати шестнадцатых и двух шестнадцатых;

1316+216 — к тринадцати шестнадцатым прибавить две шестнадцатых.  

Формула 1

Общая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями с использованием букв записывается так:

ac+bc=a+bc.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 6

Пиццу разделили на шесть долей. Мише отложили 5 долей, и он съел 4 доли. Осталось 1 доля, то есть 16 пиццы:56-46=16.

Правило 2

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя первой дроби отнять числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 7

2536-1436=25-1436=1136.

Пример читается по тем же правилам, что и соответствующие выражения с натуральными числами:

2536-1436 — разность двадцати пяти тридцать шестых и четырнадцати тридцать шестых.

2536-1436 — от двадцати пяти тридцать шестых отнять четырнадцать тридцать шестых.

2536-1436 — из двадцати пяти тридцать шестых вычесть четырнадцать тридцать шестых.

Формула 2

Общая формула вычитания дробей с одинаковыми знаменателями с помощью букв записывается так:

ac-bc=a-bc.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1

Выполните действие:37+47.

Решение.

Перед нами сумма двух обыкновенных дробей. Для выполнения сложения воспользуемся правилом: чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, складываем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений.

Получаем:

37+47=3+47=77.

Когда числитель дроби равен знаменателю, выражение можно упростить. Получаем просто единицу: 77=1.

Ответ: 1.

Задача 2

Самостоятельно выполните сложение: 213+413.

Решение.

В примере представлена сумма обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Для решения используем правило сложения дробей: числители складываем, знаменатель оставляем без изменений.

Получаем: 213+413=2+413=613.

Ответ: 613.

Задача 3

Выполните действие: 521-421.

Решение.

В примере представлена разность двух обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Для нахождения значения выражения, воспользуемся правилом: чтобы из одной обыкновенной дроби вычесть другую, нужно от числителя первой дроби отнять числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Получим: 521-421=5-421=121.

Ответ: 121.

Задача 4

Найдите значение выражения: 2649-1749.

Решение.

Чтобы найти разность двух обыкновенных дробей, воспользуемся правилом: из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, знаменатель оставляем без изменений.

Получаем: 2649-1749=26-1749=949.

Ответ:949.

Задача 5

Вычислите: 1421345-361345.

Решение.

В примере представлена разность двух дробей с одинаковыми знаменателями. Для вычисления воспользуемся правилом: чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить без изменений.

Получаем: 1421345-361345=142-361345=1061345.

Краткий ответ: 1061345.

Задача 6

Найти значения выражения: 425+225-325.

Решение.

В этом выражении нужно выполнить два действия: сложение и вычитание. Определяем порядок действий: знаки равнозначные, скобок нет, значит, действия выполняем по порядку.

Первое действие — сложение. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, складываем числители, знаменатель оставляем.

Получаем: 425+225=4+225=625.

Второе действие — вычитание. Чтобы найти разность обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, от числителя первой дроби отнимаем числитель второй дроби. Знаменатель оставляем без изменений.

Из результата первого действия вычитаем дробь 325.

Получаем:625-325=325.

Упрощенная запись решения: 425+225-325=4+2-325=6-325=325.

Ответ: 325.

Задача 7

Вычислите: 1547-347+547.

Решение.

В примере два действия: вычитание и сложение.

Чтобы найти значение выражения, определим порядок действий. В этом примере есть скобки, значит, первое действие будет в скобках.

Первое действие — сложение. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями по правилу: числители суммируем, знаменатель оставляем тем же.

Получим: 347+547=3+547=847.

Второе действие — вычитание. От дроби 1547 отнимаем результат первого действия. Действуем по алгоритму: из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, знаменатель оставляем.

Получим: 1547-847=15-847=747.

Запись решения в одну строку: 1547-347+547=1547-3+547=1547-847=15-847=747.

Ответ: 747.

Задача 8

В первый день квеста Ваня прошел  игры. Во второй день — 315игры. Какую часть квеста прошел Ваня за два дня?

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

День	Решено
1	415квеста
2	315 квеста

Чтобы найти, какую часть квеста прошел Ваня за два дня, нужно к результату первого дня прибавить итог второго дня.

Получим: 415+315=4+315=715.

Ответ: за два дня Ваня прошел 715 квеста.

Задача 9

Утром Даша съела 39 банки варенья. Вечером — на 19 банки больше. Сколько варенья съела Даша за день?

Решение.

Запишем краткое условие задачи

Время суток	Съедено
Утро	39 банки
Вечер	на 19 банки больше — ?

Всего — ?

Если Даша вечером съела больше варенья на 19 банки, то, чтобы узнать, сколько же она съела за вечер, нужно к 39 прибавить 19. 2

Как вычитать дроби с общим знаменателем

Авторы: Марк Зегарелли и

Обновлено: 26 марта 2016 г. , вычитание дробей с одинаковым знаменателем (также называемым общим знаменателем ) очень просто: просто вычтите второй числитель из первого и оставьте знаменатель прежним. В некоторых случаях вам, возможно, придется сократить ответ до минимальных условий.

Вычитание дробей с разными знаменателями требует немного больше усилий. Вам нужно увеличить члены одной или обеих дробей, чтобы обе дроби имели одинаковый знаменатель. Проще всего это сделать с помощью перекрестного умножения:

.

1. Перемножьте две дроби и создайте две дроби с общим знаменателем.

2. Вычтите результаты шага 1.

Когда один знаменатель является делителем другого, вы можете использовать быстрый трюк, чтобы найти общий знаменатель: умножьте только члены дроби с меньшим знаменателем, чтобы оба знаменателя были одинаковыми.

Примеры вопросов

1. Найти

   Оба знаменателя равны 6, поэтому вычтите числители (5 и 1), чтобы получить новый числитель, и оставьте прежним знаменатель:

   Числитель и знаменатель четные числа, поэтому дробь можно уменьшить в 2 раза:

2. Найти

   Знаменатели разные, но поскольку 28 кратно 7, вы можете использовать быстрый прием, описанный ранее. Увеличьте члены числа 6/7 так, чтобы его знаменатель был равен 28; поскольку 28 = 7 x 4, умножьте и числитель, и знаменатель на 4:

   Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычтите числители и оставьте тот же знаменатель:

   И числитель, и знаменатель делятся на 7, поэтому вы можете уменьшить эту дробь в 7 раз:

Практические вопросы

1. Вычесть

2. Найти

3. Решить

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

1. Знаменатели одинаковы, поэтому вычтите числители и оставьте тот же знаменатель:

   Числитель и знаменатель четные, поэтому уменьшите эту дробь в 2 раза:

2. Знаменатели разные, поэтому приведем их к общему знаменателю путем перекрестного умножения. Новые числители 4 x 3 = 12 и 1 x 5 = 5:

   .

   Новые знаменатели 5 x 3 = 15:

   Теперь вы можете вычесть:

3. Знаменатели разные, но 6 — это коэффициент 12, так что вы можете использовать быстрый трюк. Увеличить сроки

   так, чтобы знаменатель был равен 12, умножив и числитель, и знаменатель на 2:

   Теперь две дроби имеют одинаковый знаменатель, так что вы можете легко вычитать:

   И числитель, и знаменатель делятся на 3, поэтому дробь уменьшите в 3 раза:

Об этом артикуле

Этот артикул можно найти в категории:

• Основы математики,

Как вычитать дроби | Онлайн-калькуляторы

Дроби являются одними из многих основных математических понятий, которые часто используются в реальной жизни. Вот почему мы очень рано учим школьников понятию дробей! Не зная дробей, трудно идти по жизни, а тем более заниматься какой-либо деятельностью. Дроби также, вероятно, являются первым математическим понятием, которому обучают любого студента, которое требует использования определенного синтаксиса. В том возрасте, в котором учащихся учат этой концепции, понимание такого синтаксиса может быть невероятно сложной задачей!

Что вам нужно знать о делении в математике?

Здесь часто возникает вопрос с обучением дробям. В то время как начальное обучение дробям может быть сложной задачей, еще более проблематичным является обучение студентов действиям с дробями. Существует несколько методов сложения, вычитания, умножения и деления различных типов дробей, каждый из которых используется в разное время. Эта статья призвана ответить на несколько вопросов о дробях, особенно в контексте их вычитания. Некоторые из этих вопросов перечислены ниже.

Какие существуют виды дробей?

Какие операции можно выполнять над дробями?

Какими способами можно вычитать дроби?

Каково применение вычитания дробей?

Типы дробей

Из-за различного синтаксиса, в котором обычно записываются дроби, существует много разных типов дробей. Ниже приведены три основных типа фракций:

Правильные дроби:

Это наиболее распространенные типы дробей, с которыми вы столкнетесь в своей повседневной жизни. Правильные дроби – это такие дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Наиболее распространенное место, где вы найдете эти типы дробей, — это когда проценты выражаются в виде дробей. В любом контексте, где говорится о части целого, используются правильные дроби.

Примеры: ¾, ⅓, ⅖ 

Неправильные дроби:

Эти типы дробей обычно более редки в повседневной жизни. Дроби, у которых числитель больше знаменателя, называются неправильными дробями. Эти дроби известны как неправильные, поскольку очень необычно выражать в виде дроби количество, которое больше, чем количество частей, которые оно имеет. Например, выразить 9/7 словами означало бы сказать «9 из 7 частей», что звучит абсурдно и несколько неудобно. Вот почему использование неправильных дробей всегда будет меньше, чем использование двух других типов дробей. Эти типы фракций также известны как верхние тяжелые фракции.

Примеры: 3/2, 4/3, 9/5

Смешанные дроби:

Проще говоря, это гораздо лучший способ записи неправильной дроби. Когда вы выражаете количество в виде неправильной дроби, вы говорите, что количество больше целого. В таком случае можно вычесть из дроби целое. Затем вы можете выразить дробь в виде целого числа и правильной дроби. Эти типы фракций используются свободно и регулярно. Например, когда вы говорите «полтора», вы используете неправильную дробь. Даже когда вы используете термины времени, такие как «шесть с половиной часов», вы используете смешанную дробь.

Примеры: 1½, 3⅓, 5⅔

Операции с дробями

Дроби по своей сути тоже числа. Это означает, что все операции, которые можно выполнять с числами, такими как целые числа, целые числа и натуральные числа, также можно выполнять со смешанными дробями, неправильными дробями и правильными дробями. Отличие заключается в способе выполнения этих операций. Табличный метод, который используется для сложения, вычитания и умножения целых чисел, и метод деления в большую сторону, который используется для их деления, невозможен для дробей. Процессы проведения этих операций могут быть как простыми, так и более сложными. Это зависит от типа фракций, над которыми работают эти операции.

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Самый простой способ вычитания дробей проявляется, когда вычитаемые дроби имеют одинаковый знаменатель. Наличие одного и того же знаменателя вносит единообразие в вопрос, что значительно упрощает операцию. В реальной жизни вычитание с одним и тем же знаменателем похоже на вычитание из одного и того же пирога. Количество штук одинаковое; вы просто забираете необходимое количество деталей.

Чтобы вычесть дроби с одинаковым знаменателем, нужно вычесть один числитель из другого. Знаменатель должен оставаться постоянным. Результат будет иметь разницу между числителями в качестве результирующего числителя. Общий знаменатель будет результирующим знаменателем.

Формула: Ответ = (Числитель 1 – Числитель 2)/(Знаменатель)

Пример: 3/7 – 1/7

= (3 – 1)/7

Вычитание дробей с разными знаменателями с помощью перекрестного умножения

Метод перекрестного умножения является наиболее часто используемым методом вычитания дробей с разными знаменателями. Чтобы использовать пример из реальной жизни, когда вы вычитаете дроби с разными знаменателями, вы больше не берете куски одного и того же пирога. Вы пытаетесь вычесть часть одного пирога из части другого. Оба были разделены на разное количество частей. Это должно быть более чем немного трудным.

В методах перекрестного умножения первым шагом является умножение числителя каждой дроби на знаменатель другой. Теперь сложите получившиеся два числа. Это числитель вашей новой дроби. Теперь перемножьте знаменатели двух дробей. Это знаменатель вашей новой дроби.

Формула: ((Числитель 1 x Знаменатель 2) – (Числитель 2 x Знаменатель 1))/(Знаменатель 1 x Знаменатель 2)

Пример: 5/9 – 3/7

= ((5 x 7) – (3 x 9))/(9 x 7)

= (35 – 27)/63

= 8/63

Вычитание дробей с разными знаменателями с использованием делимости знаменателя

вычитания дробей, но этот способ применим только тогда, когда один из знаменателей кратен другому. Хотя вы, возможно, не найдете широкого применения этого метода, это быстрый метод, который имеет несколько реальных применений.

Чтобы использовать этот метод, сначала нужно проверить, делятся ли два знаменателя. Если один знаменатель кратен другому, разделите больший знаменатель на меньший. Полученное число и есть ваш множитель. Теперь возьмем дробь с меньшим знаменателем. Умножьте его числитель и знаменатель на этот коэффициент. Вы поймете, что теперь у вас есть две дроби с одинаковым знаменателем. Теперь вычтите два числителя, чтобы получить числитель ваших результатов. Пусть знаменатель тот же.

Формула: ((Числитель 1) – (Числитель 2 x (Знаменатель 1/Знаменатель 2)))/(Знаменатель 1)

Пример: 5/80 – 3/20

= ((5) – (3 x (80/20)))/(80)

= (5 – 12)/80

= -7/80

Вычитание дробей с разными знаменателями с использованием метода НОК

Использование этого метода требует знания понятие наименьшего общего кратного. Это самый старый и более традиционный метод вычитания одной дроби из другой. Чтобы выполнить эту операцию, первым шагом является проведение простой факторизации знаменателей обеих дробей, которые необходимо вычесть. Теперь найдите общие множители обоих знаменателей. Теперь возьмите необщие множители числителя 1 и умножьте их на числитель 1 и знаменатель 1, а также возьмите необщие множители числителя 2 и умножьте их на числитель 2 и знаменатель 2. Получившиеся две дроби будут иметь тот же знаменатель. Чтобы получить результат, вычтите числители друг из друга, а знаменатель пусть останется прежним.