Дробь вычесть дробь с разными знаменателями: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Содержание

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить.

Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

найти НОК всех знаменателей;
проставить к каждой дроби дополнительные множители;
умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Например:

Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычитание, дробь, знаменатель, сложение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Вычитание дробей с разными, одинаковыми знаменателями

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.

Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дробей

1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.

2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c.

4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Правило вычитания дробей

Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.

Свойства вычитания:

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое:
a — (b + c) = (a — b) — c,
a — (b + c) = (a — с) — b.

Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить:
(a — b) — c = a — b — c.

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся:
(a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с,
(a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.

Если из числа вычесть нуль, получится оно же:
a — 0 = a.

Если из числа вычесть его само, получится нуль:
a — a = 0.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.

Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.

Рассмотрим это правило на примере:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.

Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.

Как решаем:

Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45

Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

45 : 9 = 5,

45 : 15 = 3.

Полученные числа умножим на соответствующие дроби:

Перейдем к вычитанию заданных чисел:

Ответ:

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.

Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.

Как решаем:

Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:

3 = 2 * 7/7.

Произведем разность:

Ответ: две целых одна седьмая.

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.

Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.

Как решаем:

3 = 3/1.

А еще можно вот так:

Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:

83/21 = 3 * 20/21.

Произведем вычитание:

3 * 20/21 — 3 = 20/21

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.

Вычитание дробей, формулы и примеры решений

Содержание:

Определение

Вычитание дробей является действием, обратным к сложению. Вычесть из одной дроби другую — это означает найти такую третью дробь, которая в сумме со второй дробью дает первую.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя первой дроби отнять числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

Пример

Задание. Найти разность дробей $\frac{10}{11}$ и $\frac{7}{11}$

$$\frac{10}{11}-\frac{7}{11}=\frac{10-7}{11}=\frac{3}{11}$$

Ответ. $\frac{10}{11}-\frac{7}{11}=\frac{3}{11}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы вычислить дроби с разными знаменателями, нужно вначале привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем отнимать их как дроби с одинаковым знаменателем.{2}}{11}-\frac{1}{22}\right)=$$ $$=4+\frac{7 \cdot 2-1 \cdot 1}{22}=4+\frac{14-1}{22}=4+\frac{13}{22}=4 \frac{13}{22}$$

Ответ. $6 \frac{7}{11}-2 \frac{1}{22}=4 \frac{13}{22}$

В случае, когда дробь вычитаемого больше, чем дробь уменьшаемого, поступают следующим образом: берут одну единицу (целое) из целого числа уменьшаемого, записывают его как неправильную дробь, числитель и знаменатель которой равны между собой и равны знаменателю дробной части, и прибавляют к дробной части, далее отнимают две смешанные дроби, как описано выше.

Пример

Задание. Выполнить вычитание $5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}$

Решение. Дробь $\frac{4}{9}$ меньше ( сравнение дробей ), чем дробь $\frac{11}{12}$ (так как $4 \cdot 12 = 36 < 9 \cdot 11 = 99$ ), тогда

$$5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=5+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=4+1+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=$$ $$=4+\frac{9}{9}+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=4 \frac{9+4}{9}-1 \frac{11}{12}=4 \frac{13}{9}-1 \frac{11}{12}=$$ $$=(4-1)+\left(\frac{13^{4}}{9}-\frac{11^{3}}{12}\right)=3+\frac{13 \cdot 4-11 \cdot 3}{36}=$$ $$=3+\frac{52-33}{36}=3+\frac{19}{36}=3 \frac{19}{36}$$

Ответ. $5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=3 \frac{19}{36}$

Аналогичным образом поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.

Пример

Задание. Найти разность $4-3 \frac{3}{5}$

Решение. Выполним вычитание дробей по описанному выше правилу

$$4-3 \frac{3}{5}=3+1-3 \frac{3}{5}=3+\frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=3 \frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=$$ $$=(3-3)+\left(\frac{5}{5}-\frac{3}{5}\right)=0+\frac{5-3}{5}=\frac{2}{5}$$

Ответ. $4-3 \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$

Замечание. Производить операции со смешанными числами можно и иначе: записать смешанное число в виде неправильной дроби и уже работать далее как с обыкновенными дробями.

Читать следующую тему: умножение дробей.

Урок 40. сложение и вычитание дробей — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 40

Сложение и вычитание дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

обобщение и систематизация знаний по теме «Сложение и вычитание дробей».

Тезаурус

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей.

Разностью двух дробей называют такую дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.

Наименьшее общее кратное двух чисел – наименьшее натуральное число, которое делится на заданные числа без остатка.

Обязательная литература:

Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлых уроках мы с вами рассматривали, как выполняют сложение и вычитание дробей любого знака. Сегодня вспомним и закрепим эти правила.

Вспомним основные правила сложения и вычитания дробей любого знака.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Правило сложения дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть две дроби с одинаковым положительными знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Разность дробей a и b равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Дроби можно складывать и вычитать по тем же правилам, что и целые числа, то есть сначала определять знак результата, потом выполнять действия с модулями.

Иногда сложение и вычитание дробей выполняется проще, если привести их к наименьшему общему положительному знаменателю.

Дополнительный материал

Решим задачу.

Какую часть пути прошли туристы за три дня?

Решение.

Найдём, какую часть пути туристы прошли в третий день.

Найдём, какую часть пути туристы прошли за три дня.

Для этого сложим все части.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Варианты ответов:

Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.

Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для ответа на вопрос задания вспомним действия с рациональными числами и внимательно посмотрим на знаки между предложенными дробями.

Правильный ответ:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.
Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Чтобы сложить две дроби с разными …, надо привести их к общему положительному … и … полученные дроби.

Варианты слов для вставки:

знаменателями

числителями

знаменателю

числителю

сложить

вычесть

Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.

Правильный ответ:

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.

Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе, всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

Найти НОК знаменателей дробей;
Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь на число 1.

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

обратным числа 2 является дробь

обратным числа 3 является дробь

обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь

Допустим, имелось пиццы:

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении на 6 получается

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражение

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим на

Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

Пример 1. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 13. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 14. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Как складывать дроби с разными знаменателями

Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:

1) Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) данных дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый.

3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.

4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой.

В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

Решение:

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.

2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.

3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби.

4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая.

1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби.

4) полученную дробь надо сократить на 5.

1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Обыкновенные дроби
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы уже умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь рассмотрим сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример:

Сравним дроби .

Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю 10, получим:

Примеры:

1) Найдем сумму .

Наименьший общий знаменатель дробей равен 15. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 15. Этой заменой мы сложение дробей с разными знаменателями сведем к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, получим:

2) Найдем разность .

Наименьший общий знаменатель дробей равен 35. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 35. Этой заменой мы вычитание дробей с разными знаменателями сведем к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, получим:

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства сложения:

1) Переместительное свойство:

2) Сочетательное свойство:

Сложение и вычитание смешанных чисел

Пример:

Обычно, примеры такого вида, как пример 2, записывают коротко:

Обратите внимание: если в результате сложения или вычитания дробей получается сократимая дробь, то нужно выполнить сокращение.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 255, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 273, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 281, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 299, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 304, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 599, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 364, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 365, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1486, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Пользовательское соглашение

Урок по вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1:	Ник был на вечеринке и увидел пиццу, разделенную на восемь равных частей (ломтиков). К тому времени, как он подошел к столу с едой, там было всего 7 кусочков пиццы. Если Ник съел 2 таких ломтика, то какую часть пиццы оставили другим гостям?
Анализ:	Нам нужно найти разницу между 7 и 2 восьмыми.Знаменатель дроби обозначает единицу измерения. Числитель показывает, сколько их.
Решение:
	Пять восьмых пиццы были оставлены для других гостей.

На прошлом уроке мы узнали, как складывать дроби с общим знаменателем. То же самое и для вычитания дробей. Чтобы вычесть дроби, знаменатели должны быть одинаковыми — у них должен быть общий знаменатель .

Это приводит нас к следующей процедуре вычитания дробей с общим знаменателем.

Порядок действий: Чтобы вычесть две или более дробей с одинаковыми знаменателями, вычтите числители и поместите полученную разницу над общим знаменателем. При необходимости упростите результат.

Применяя эту процедуру к примеру 1, получаем:

Давайте рассмотрим несколько примеров вычитания дробей с помощью этой процедуры.

Пример 2:
Анализ:	Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем, 4.
Решение:

В примере 2 нам нужно было упростить результат: мы сократили две четверти до наименьших членов.

Пример 3:
Анализ:	Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем 6.
Решение:

В примере 4 мы упростили результат, преобразовав неправильную дробь в смешанное число. Затем мы сократили дробную часть смешанного числа до наименьших членов.

Избегайте этой распространенной ошибки!

Напомним, что черта дроби разделяет числитель и знаменатель дроби. Это указывает на то, что будет выполнено деление числителя на знаменатель.Математически неверно вычитать знаменатели и числители. Чтобы понять, почему это неправильно, посмотрите на пример ниже.

Пример 5:
Анализ:	Вычитание числителей и ошибочное вычитание знаменателей дает следующий результат:
Результат:
Пояснение:	Мы получаем ноль в знаменателе нашего результата. Это означает, что нам нужно разделить на ноль. Но деление на ноль не определено!

Чтобы понять, почему деление на ноль не определено, давайте посмотрим на взаимосвязь между умножением и делением. Если x — любое число, то:

12 разделить на 6 равно 2	потому что	6 умножить на 2 равно 12.	Истинно
20 разделить на 4 равно 5	потому что	4 умножить на 5 будет 20.	Истинно
3 разделить на 1 равно 3	потому что	1 умножить на 3 будет 3.	Истинно
3 разделить на 0 равно x	будет означать, что	0 умножить на x равно 3.	Ложь

Свойство умножения нуля утверждает, что произведение нуля и любого числа равно нулю.Поскольку 0 раз любое число равно 0, нет значения x, которое сделало бы это последнее утверждение истинным. Следовательно, деление на ноль не определено, и мы не вычитаем знаменатели!

Поскольку деление на ноль не определено, вы можете понять, почему определение дроби указывает ненулевой знаменатель, как показано ниже:

Рассмотрим еще несколько примеров:

Пример 6:
Анализ:	Если на тарелке 7 ломтиков пиццы, а 7 съедены, то (0) ломтиков не осталось.
Решение:

В примере 6 обе дроби имеют одинаковый числитель . Вычитая числители, мы получаем 7 минус 7 = 0. Это имеет смысл, поскольку любое число за вычетом самого себя равно нулю. Если мы поместим эту разницу над общим знаменателем, наш результат будет 0 восьмых. Однако вам может быть интересно, почему 0 восьмых равно 0. Помните, что знаменатель дроби указывает единицу измерения, а числитель указывает, сколько там.Итак, если у нас 0 восьмых, то это просто 0. Короче говоря, мы упростили результат до нуля. Посмотрите на примеры с 7 по 9 ниже.

В каждом приведенном выше примере мы упростили результат до нуля путем деления числителя (0) на знаменатель. Вспомните, что черта дроби говорит нам разделить числитель на знаменатель, а ноль, деленный на любое ненулевое число, равняется нулю. Следовательно, любая дробь с нулем в числителе и ненулевым числом в знаменателе равна нулю. Это кратко излагается ниже.

До сих пор мы вычитали только две дроби за раз. Мы можем вычесть более двух дробей, используя описанную выше процедуру. Это показано в примере 10.

Пример 10:
Анализ:	Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем, 5.
Решение:

Резюме: Чтобы вычесть две или более дробей с одинаковыми знаменателями, вычтите числители и поместите полученную разницу над общим знаменателем.При необходимости упростите результат.

Упражнения
Указания: вычтите дроби в каждом упражнении ниже. Обязательно упростите ваш результат, если необходимо. Щелкните один раз в ОКНО ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ENTER. После того, как вы нажмете ENTER, в БЛОКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, правильный или неправильный ваш ответ. Чтобы начать заново, нажмите ОЧИСТИТЬ.
Примечание: чтобы записать дробь в три четверти, введите в форму 3/4.Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел и затем 2/3 в форму.
1.
2.
3.
4.
5.
Интерактивный урок математики | Сложение дробей с разными знаменателями
Математическая онлайн-игра: сложение дробей с разными знаменателями
Сложите дроби с разными знаменателями в этой интерактивной математической игре для детей.У студентов будет возможность попрактиковаться в сложении дробей с разными знаменателями. Студенты должны будут найти общие знаменатели, чтобы сложить дроби. Их попросят упростить дроби, если это возможно. Вот типы вопросов, с которыми студенты могут столкнуться на этом онлайн-уроке математики:
* Решите задачу со словами, содержащую дроби с разными знаменателями.
* Решите задачи сложения дробей в вертикальном формате.
* Решение задач дробного сложения в горизонтальном формате. Используйте дробные полосы для визуализации математической задачи.
Математическая практика в форме игры
Ученикам младшего возраста нравятся уроки математики на iKnowit.com, потому что каждый урок похож на увлекательную математическую игру. Интерактивные практические занятия по математике представлены в динамичном, удобном для детей формате. Дети находят наши математические игры интересными и интересными.
Каждый раз, когда ученик правильно отвечает на вопрос, милый анимированный персонаж отправляет положительный отзыв, исполняя забавный танцевальный трюк.Когда учащийся отвечает на вопрос неправильно, появляется страница объяснения с легко читаемой графикой, в которой разбиты этапы решения проблемы, чтобы учащийся мог извлечь уроки из своей ошибки.
Если ученик обнаруживает, что ему или ей нужен толчок в правильном направлении, в левом нижнем углу экрана есть кнопка «Подсказка», на которую можно ссылаться по желанию учителя или родителей. Когда учащийся щелкает значок «Подсказка», он получает подсказку, которая поможет решить математическую задачу.Учителя или родители могут решить, сколько подсказок за урок должен получить ученик.
Зарегистрируйтесь, чтобы получить доступ ко всем функциям
Участники iKnowit.com, у которых есть учетная запись у нас, будут иметь неограниченный доступ ко всем полезным административным функциям на iKnowit.com. Учителя могут составлять список классов, добавлять в него учащихся, назначать уроки отдельным учащимся и отслеживать их успеваемость.
Каждый раз, когда студент входит в iKnowit.com, вы сможете отслеживать его успеваемость и наблюдать, какие задачи ему сложнее.Страница входа для учащихся удобна для детей. Учащиеся легко найдут вкладку «Задания учителя» вверху страницы. Им также будут предложены различные математические темы для изучения.
Учащиеся не смогут видеть уровень оценки заданий, которые им дает учитель, поэтому преподаватели могут при необходимости назначать более высокий или более низкий класс.
Другие административные функции включают возможность включать и выключать анимированных персонажей и режим подсказок.Учителя также могут выбрать, хотят ли они, чтобы учащиеся использовали функцию чтения вслух.
iKnowit.com постоянно растет! На нашем сайте есть сотни уроков математики, и их количество регулярно добавляется! Просмотрите нашу коллекцию математических игр для детей и найдите широкий спектр тем для всех ваших потребностей в обучении математике! Чтобы увидеть больше игр для четвертого класса, посетите нашу страницу по математике для четвертого класса.
Уровень
Этот урок обозначен как Уровень D и предназначен для четвероклассников.
Стандартное выравнивание общего ядра
5.NF.2
Число и операции — дроби
Использование эквивалентных дробей в качестве стратегии для вычитания и сложения дробей: учащиеся должны уметь решать задачи со словами, требующие сложения или вычитания дробей, относящихся к одно и то же целое, включая сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Учащиеся будут использовать наглядные пособия, такие как дробные полоски, чтобы помочь им решать математические задачи.
Возможно, вас заинтересует…
Площадь прямоугольников (уровень D)
Используйте формулу A = lw, чтобы найти площадь прямоугольника.
Периметр (уровень D)
Найдите периметр многоугольников, сложив стороны. Найдите длину недостающей стороны, когда указаны периметр и другие стороны.
Вычитание дробей с разными знаменателями
При вычитании дробей с разными знаменателями мы следуем тому же процессу , который мы использовали для сложения непохожих дробей. Но поскольку не все начинают с сложения, мы обеспечиваем одинаковый уровень детализации для вычитания.
Прежде всего, при вычитании дробей с разными знаменателями, первый шаг в Правиле говорит, что мы должны изменить эти дроби так, чтобы они имели « тот же знаменатель ».
Вот шаги для вычитания дробей с разными знаменателями. Мы разберем каждый шаг так же, как и до , чтобы убедиться, что вы его поняли. Затем мы вычтем более жесткие числа. И наконец, мы поможем вам все собрать воедино. Хорошо!
Итак, вот шаги.
Постройте каждую дробь так, чтобы оба знаменателя были равны. Помните , при вычитании дробей знаменатель должен быть равен . Итак, мы должны сначала завершить этот шаг. На самом деле это означает, что вы должны найти то, что называется общим знаменателем. Большую часть времени вам придется решать задачу, используя так называемый наименьший общий знаменатель (ЖКД). В любом случае вы превратите каждую дробь в эквивалентную дробь.
Перепишите каждую эквивалентную дробь , используя новый знаменатель
Теперь вы можете из вычесть из числителей и оставить знаменатель эквивалентных дробей.
Перепишите ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби, если необходимо.
Но имейте в виду , если вы делаете домашнее задание, обязательно ответьте на вопросы в форме , запрошенной в задании.
Хорошо, начнем с…
Основы вычитания дробей с разными знаменателями
Вычесть: 1/2 — 1/3
–
Обратите внимание, что общий размер нашей точки отсчета
(весь) равен ТОЧНО то же самое.
Шаг № 1 в нашем правиле говорит нам, что знаменатели должны быть равны . И самый простой способ найти общий знаменатель — это просто умножить на знаменатели.
Итак, займемся этим сейчас…
2 x 3 = 6
Общий знаменатель 1/2 и 1/3 равен 6
Шаг 2 — Перепишите каждую эквивалентную дробь, используя этот новый знаменатель.
С…
1/2 эквивалентно 3/6
А…
1/3 эквивалентно 2/6
Мы переписываем наше уравнение так, чтобы оно читалось…
Вычесть: 3/6 — 2/6
Теперь мы готовы выполнить Шаг № 3 — Вычтите из числителей и сохраните знаменатель эквивалентных дробей (который равен 6).
Итак, получаем…
3/6 — 2/6 = (3 — 2) / 6 = 1/6
—
=
Наконец, Шаг №4 — Перепишите свой ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби, если необходимо.
В нашем примере ответ ( 1/6 ) уже имеет простейшую форму . Итак, никаких дополнительных действий не требуется!
Вот и все!
быстрый и простой способ вычитания дробей с разными знаменателями.
Помните, всегда показывайте свой ответ в форме , запрошенной в ваших инструкциях.
Помощники по домашнему заданию
Эти отличные советы действительно упростят вам домашнее задание по дробям . Нажмите здесь>
Как вычислить дроби
Учебники о том, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби! Нажмите здесь, чтобы добавить>
Калькулятор дробей
Узнайте, как решать задачи с дробями, а затем проверьте свою работу с помощью нашего онлайн-калькулятора дробей .Нажмите здесь>
Рабочие листы с дробями
Бесплатные загружаемые рабочие листы дадут вам массу практических навыков, чтобы научиться решать задачи с дробями. Нажмите здесь>
Вычитание дробей: 3 важных шага, которые вам абсолютно необходимы
Вычитание дробей: 3 важных шага, которые вам абсолютно необходимы | Prodigy Education
Категория
Ресурсы для учителей
Стратегии преподавания
Вычитание — это противоположность сложению, чему ваши ученики хорошо усвоили, прежде чем изучать мир дробей. Вычитание дробей немного сложнее, чем обычное вычитание, но есть стратегия обучения, которая делает процесс столь же простым, как один, два, три! В этой статье мы рассмотрим несколько тем, в том числе: Проверить следующие статьи по теме для получения дополнительной информации о дробях:
Что такое дроби?
Дроби представляют собой частей целого . Когда целое число разбивается на части, дробь показывает, сколько из них у вас есть.Например, дробь ¾ указывает на то, что для образования целого числа необходимы три из четырех частей. Дроби состоят из двух частей, числителя и знаменателя , которые разделены горизонтальной линией. нижнее число дроби и показывает, на сколько частей разбито целое число. Дробь ¾ разбита на четыре части. https://www.instagram.com/p/BtuP1F5lKek/ В числителе указывается верхнее число дроби.Он показывает, сколько у вас частей целого числа. Итак, дробь ¾ означает, что у вас есть три части из четырех.
Что такое вычитание?
Вычитание подразумевает удаление значения одного числа от другого. Вычитание обозначается дефисом (-) или знаком минус. Число перед символом минуса — это значение, из которого вычитается. Число, которое появляется после символа минуса, — это то, из чего вычитается первое число. Давайте посмотрим на пример:
8 - 3 =?
В этом уравнении три убирается из восьми.Отсчет трех чисел из восьми дает решение пять.
8 - 3 = 5
3 простых шага для вычитания дробей
Вычитание дробей можно выполнить в три простых шага:
Сделайте знаменатели одинаковыми
Вычтите числители, положив ответ на тот же знаменатель
Упростите, если возможно (и если требуется)
Как и в большинстве уравнений с дробями, студентам придется проделать небольшую дополнительную работу, прежде чем найти решение.
1. Сделайте знаменатели одинаковыми.
Чтобы вычесть дроби, знаменатели в уравнении должны быть одинаковыми. При вычитании дробей с разными знаменателями научите своих студентов сначала находить наименьший общий знаменатель . Думайте о дроби как о части круга. Изменение знаменателей меняет не количество кружков, которые имеют учащиеся, а количество частей, на которые они делятся. Когда у учащихся равные знаменатели или части, становится намного легче увидеть, как они могут вычитать дроби.Рассмотрим эту задачу:
В этом примере учащимся нужно отнять шестую часть от половины. Первый шаг — найти общий знаменатель, чтобы эти дроби были разделены на одинаковое количество частей. Чтобы найти наименьший общий знаменатель, умножьте знаменатели вместе. Помните, что : все, что делается со знаменателем, нужно делать и с числителем. 1/2 умножается на шесть, а ⅙ умножается на два.
Теперь ученики могут видеть, что ½ — это то же самое, что сказать ⁶⁄₁₂, а ⅙ — это то же самое, что сказать ²⁄₁₂.
2. Вычтите числители, поместив ответ над одним и тем же знаменателем.
Теперь, когда знаменатели совпадают, попросите своих учеников положить оба числителя над одним знаменателем и просто вычесть их друг из друга. Это нужно для того, чтобы увидеть, сколько частей двенадцати вычитается из исходной дроби.
В примере уравнения ученики отнимают две части от двенадцати от шести частей от двенадцати, оставляя четыре части от двенадцати.
3. Упростите, если возможно (и если необходимо).
Упрощение означает уменьшение дроби до минимально возможного кратного.Помните: то, что делается со знаменателем, также делается и с числителем. Обязательно сообщите учащимся, требуется ли им упрощать решения. Некоторые учителя не требуют упрощения решений, в то время как другие не считают вопрос завершенным до тех пор, пока решение не будет приведено в его простейшую форму. https://www.instagram.com/p/BuUAVYZDiBP/ При обучении дробям убедитесь, что учащиеся понимают, чего вы ожидаете. Чтобы упростить дробь, вычислите ее наименьшее общее кратное .Один из быстрых способов сделать это — посмотреть, можно ли разделить знаменатель на числитель. В этом примере четыре действительно превращается в двенадцать. Чтобы упростить это уравнение, разделите числитель и знаменатель на четыре.
После выполнения всех расчетов студентам остается одна треть.
Различные типы дробей
Ваши ученики будут сталкиваться с несколькими различными типами дробей на протяжении всего обучения, но процесс решения этих задач остается почти одинаковым.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Уравнения дробей с одинаковыми знаменателями уже содержат первый шаг трехэтапного процесса.
Скажите студентам, что они могут сразу перейти ко второй ступени и поставить оба числителя над одним знаменателем.
Вычитание неправильных дробей
Неправильная дробь — это когда числитель больше знаменателя. Это означает, что дробь состоит более чем из одного целого числа. Попросите своих учеников представить это как полный круг вместе с неполным кругом.К счастью, нет никаких изменений в том, как решаются эти типы уравнений.
Раствор можно оставить как неправильную фракцию или превратить в смешанную фракцию.
Вычитание дробей со смешанными числами
Смешанное число или смешанная дробь состоит как из целого числа, так и из дроби. Чтобы решить уравнения со смешанными числами, научите своих учеников сначала преобразовать его в неправильную дробь. Для этого умножьте целое число на знаменатель, а затем прибавьте его к числителю.
После того, как вы показали учащимся, как создать неправильную дробь, они могут продолжить трехэтапный процесс вычитания дробей.
Вычитание дробей с целыми числами
Уравнения с целыми числами необходимо преобразовать в дроби. Чтобы превратить целое число в дробь, сделайте целое число числителем, а затем поставьте его над знаменателем, равным единице. Например:
Затем учащиеся могут решить уравнение с помощью трехэтапного процесса.
Как Prodigy может помочь в обучении вычитанию дробей
Вы ищете идеальное занятие, которое могло бы дополнить ваши уроки? Не ищите ничего, кроме Prodigy ! Наша игра улучшает процесс обучения учащихся за счет увлекательного контента, индивидуальных уроков и веселых занятий, которые заставят их захотеть продолжать играть после уроков! Prodigy может помочь вам преподавать все виды уроков математики, отслеживать, как вы учащиеся изучают материалы в режиме реального времени и задают конкретные вопросы, чтобы помочь классу подготовиться к предстоящим тестам.Панель учителя дает вам доступ к подробной статистике о вашем классе. Оценка выставляется мгновенно, поэтому вы можете видеть, где учащиеся преуспевают, а где у них проблемы. С помощью этой актуальной статистики вы можете быстро обновить игровой опыт различных учеников, чтобы помочь им изучить предметы, с которыми они борются. Prodigy согласован с учебной программой, поэтому вы можете чувствовать себя комфортно, используя его в тандеме с уроками. Используйте инструменты учителя для создания заданий, практических тестов и составления планов уроков. Посетите Prodigy сегодня, чтобы узнать, подходит ли он для вашего класса — бесплатно !
Рабочие листы сложения и вычитания дробей
Рабочие листы — отличный обучающий инструмент, позволяющий увидеть, как учащиеся понимают уроки.Единственный недостаток — это может занять много времени, чтобы отметить рабочие листы всего класса и дать учащимся надлежащую обратную связь. Вот несколько мест, где вы можете найти рабочие листы (с ответами) для своего класса:
K5 Learning K5 Learning предложения широкий выбор рабочих листов для разных областей математики. Рабочие листы по математике подходят только для пятого класса, но они являются подробными и охватывают многие области учебной программы. Все они бесплатны и оснащены ключом для ответа.
DadsWorksheets.com На DadsWorksheets.com вы можете найти рабочие листы практически на все, что вам нужно. Рабочие листы могут быть загружены или распечатаны с веб-страницы и снабжены ключом ответа.
Math Drills Помогите учащимся овладеть математическими навыками с помощью рабочих листов из Math Drills. Эти рабочие листы содержат ключ для ответов и охватывают несколько предметов, которые вы можете преподавать в классе. Рабочие листы бесплатны и могут быть загружены и / или распечатаны прямо с их веб-сайта.
Заключение: вычитание дробей
Процесс вычитания дробей очень похож на сложение дробей.Научите своих учеников решать эти типы уравнений в три этапа:
Сделайте знаменатели одинаковыми
Вычтите числители, поместив их над одним знаменателем
Упростите, если возможно
Визуализируйте дроби как частично заполненные фигуры, такие как круг, может помочь учащимся понять, чего они пытаются достичь. Думайте о вычитании дробей, как об отделении кусочка пирога от остальной части пирога. Имея в своем распоряжении эту стратегию, учащиеся будут готовы решать дроби в классе и по мере их появления на протяжении всей своей жизни.
Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и ученикам. Он соответствует учебным планам англоязычного мира, его любят более 1,5 миллиона учителей и 50 миллионов студентов.
4.8: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 1)
Найдите наименьший общий знаменатель
В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем.Но как мы можем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?
Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить четверть и одну копейку? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно. Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс одна копейка, вы меняете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна \ (25 \) центов, а одна десятицентовая монета равна \ (10 \) центам, поэтому сумма составляет \ (35 \) центов. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): вместе четверть и десять центов стоят 35 центов, или \ (\ dfrac {35} {100} \) доллара.
Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовывать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем. Что касается монет, когда мы конвертируем их в центы, знаменатель равен \ (100 \). Так как в одном долларе \ (100 \) центов, \ (25 \) центов равно \ (\ dfrac {25} {100} \), а \ (10 \) центов равно \ (\ dfrac {10} {100} \). Итак, мы добавляем \ (\ dfrac {25} {100} + \ dfrac {10} {100} \), чтобы получить \ (\ dfrac {35} {100} \), что составляет \ (35 \) центов.
Вы попрактиковались в сложении и вычитании дробей с общим знаменателем.Теперь давайте посмотрим, что вам нужно делать с дробями с разными знаменателями.
Во-первых, мы будем использовать дробные плитки для моделирования поиска общего знаменателя для \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \). Начнем с одной плитки \ (\ dfrac {1} {2} \) и плитки \ (\ dfrac {1} {3} \). Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать для точного сопоставления как \ (\ dfrac {1} {2} \), так и \ (\ dfrac {1} {3} \). Если мы попробуем части \ (\ dfrac {1} {4} \), \ (2 \) из них точно совпадут с частью \ (\ dfrac {1} {2} \), но они не точно совпадут с \ (\ dfrac {1} {3} \) кусок.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)
Если мы попробуем кусочки \ (\ dfrac {1} {5} \), они не будут точно покрывать кусок \ (\ dfrac {1} {2} \) или \ (\ dfrac {1} {3} \) кусок.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)
Если бы мы попробовали кусочки \ (\ dfrac {1} {12} \), они также работали бы.
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)
Даже меньшие плитки, такие как \ (\ dfrac {1} {24} \) и \ (\ dfrac {1} {48} \), также точно покрывают \ (\ dfrac {1} {2} \) кусок и кусок \ (\ dfrac {1} {3} \).Знаменатель наибольшего куска, покрывающего обе дроби, равен наименьшему общему знаменателю (LCD) двух дробей. Итак, наименьший общий знаменатель для \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \) равен \ (6 \).
Обратите внимание, что все плитки, покрывающие \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \), имеют нечто общее: их знаменатели являются общим кратным \ (2 \) и \ (3 \), знаменатели \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \). Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей равно \ (6 \), поэтому мы говорим, что \ (6 \) — это наименьший общий знаменатель (НОК) дробей \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \).
Определение: наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
Чтобы найти ЖКД двух дробей, мы найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК-дисплея мы используем только знаменатели дробей, а не числители.
Пример \ (\ PageIndex {1} \): lcd
Найдите ЖК-дисплей для дробей \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \).
Раствор
Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
Перечислите простые числа 12 и 18, выровняв их по столбцам, когда это возможно.
Обрушить колонны.
Умножьте множители. Продукт — LCM. НОК = 36
НОК 12 и 18 равно 36, поэтому ЖКД \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36. ЖК-дисплей \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {11} {15} \).
Ответ
\ (60 \)
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {13} {15} \) и \ (\ dfrac {17} {5} \).
Ответ
\ (15 \)
Чтобы найти ЖКД двух дробей, найдите НОК их знаменателей. Обратите внимание на то, что шаги, показанные ниже, аналогичны шагам, которые мы предприняли для поиска LCM.
КАК: НАЙТИ НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (ЖКД) ДВУХ ФРАКЦИЙ
Шаг 1. Разложите каждый знаменатель на простые числа.
Шаг 2. Составьте список простых чисел, по возможности сопоставив простые числа в столбцах.
Шаг 3.Обрушьте колонны.
Шаг 4. Умножьте множители. Произведение — это НОК знаменателей.
Шаг 5. НОК знаменателей — это ЖКД дробей.
Пример \ (\ PageIndex {2} \):
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \).
Раствор
Чтобы найти ЖКД, находим НОК знаменателей. Найдите НОК \ (15 \) и \ (24 \).
НОК \ (15 \) и \ (24 \) равно \ (120 \).Итак, ЖК-экран \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \) равен \ (120 \).
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {13} {24} \) и \ (\ dfrac {17} {32} \).
Ответ
\ (96 \)
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {9} {28} \) и \ (\ dfrac {21} {32} \).
Ответ
\ (224 \)
Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея
Ранее мы использовали дробные плитки, чтобы увидеть, что ЖК-экран \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) равен \ (12 \).Мы видели, что три части \ (\ dfrac {1} {12} \) точно покрыли \ (\ dfrac {1} {4} \) и две \ (\ dfrac {1} {12} \) части точно покрыли \ ( \ dfrac {1} {6} \), поэтому
\ [\ dfrac {1} {4} = \ dfrac {3} {12} \ quad и \ quad \ dfrac {1} {6} = \ dfrac {2} {12} \ ldotp \ nonumber \]
Мы говорим, что \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {3} {12} \) эквивалентные дроби, а также что \ (\ dfrac {1} {6} \) и \ ( \ dfrac {2} {12} \) эквивалентные дроби.
Мы можем использовать свойство Equivalent Fractions Property, чтобы алгебраически преобразовать дробь в эквивалентную.Помните, что две дроби эквивалентны, если имеют одинаковое значение. Свойство эквивалентных дробей повторяется ниже для справки.
Определение: Свойство эквивалентных дробей
Если \ (a, b, c \) — целые числа, где \ (b ≠ 0 \), \ (c ≠ 0 \), то
\ [\ dfrac {a} {b} = \ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} \ quad и \ quad \ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} = \ dfrac {a } {b} \]
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала нужно преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.Давайте посмотрим, как заменить \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) на эквивалентные дроби со знаменателем \ (12 \) без использования моделей.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): преобразование
Преобразуйте \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) в эквивалентные дроби со знаминателем \ (12 \), их ЖКД.
Раствор
Найдите ЖК-дисплей. ЖК-дисплей \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) равен 12.
Найдите число, чтобы умножить 4, чтобы получить 12. \ (4 \ cdot \ textcolor {красный} {3} = 12 \)
Найдите число, которое нужно умножить на 6, чтобы получить 12. \ (6 \ cdot \ textcolor {красный} {2} = 12 \)
Используйте свойство «Эквивалентные дроби» для преобразования каждой дроби в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. \ (\ begin {split} \ dfrac {1} {4} \ qquad & \ dfrac {1} {6} \\ \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {4 \ cdot \ textcolor {красный} {3}} \ qquad & \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {6 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \ end {split} \)
Упростите числители и знаменатели. \ (\ dfrac {3} {12} \ qquad \ dfrac {2} {12} \)
Полученные дроби не уменьшаем. Если бы мы это сделали, мы бы вернулись к нашим исходным дробям и потеряли бы общий знаменатель.
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {3} {4} \) и \ (\ dfrac {5} {6} \), \ (LCD = 12 \)
Ответ
\ (\ dfrac {9} {12}, \ dfrac {10} {12} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (- \ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {11} {15} \), \ (LCD = 60 \)
Ответ
\ (- \ dfrac {35} {60}, \ dfrac {44} {60} \)
КАК: ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДВЕ ФРАКЦИИ В ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФРАКЦИИ С ИХ ЖКИ В КАЧЕСТВЕ ОБЩЕГО ДЕНОМИНАТОРА
Шаг 1.Найдите ЖК-дисплей.
Шаг 2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖК-дисплей.
Шаг 3. Используйте свойство Equivalent Fractions Property, чтобы умножить числитель и знаменатель на число, которое вы нашли на шаге 2.
Шаг 4. Упростим числитель и знаменатель.
Пример \ (\ PageIndex {4} \): преобразование
Преобразуйте \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \) в эквивалентные дроби со знаминателем \ (120 \), их ЖКД.
Найдите число, на которое нужно умножить 15, чтобы получить 120. \ (15 \ cdot \ textcolor {красный} {8} = 120 \)
Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120. \ (24 \ cdot \ textcolor {красный} {5} = 120 \)
Используйте свойство «Эквивалентные дроби». \ (\ dfrac {8 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} \ qquad \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростите числители и знаменатели. \ (\ dfrac {64} {120} \ qquad \ dfrac {55} {120} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {13} {24} \) и \ (\ dfrac {17} {32} \), ЖК-дисплей \ (96 \)
Ответ
\ (\ dfrac {52} {96}, \ dfrac {51} {96} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {9} {28} \) и \ (\ dfrac {27} {32} \), ЖК-дисплей \ (224 \)
Ответ
\ (\ dfrac {72} {224}, \ dfrac {189} {224} \)
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
После того, как мы преобразовали две дроби в эквивалентные формы с общими знаменателями, мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители.
КАК: ДОБАВИТЬ ИЛИ ВЫЧИТАТЬ ФРАКЦИИ С РАЗЛИЧНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ
Шаг 1. Найдите ЖК-дисплей.
Шаг 2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
Шаг 3. Сложите или вычтите дроби.
Шаг 4. Запишите результат в упрощенном виде.
Пример \ (\ PageIndex {5} \): добавить
Добавить: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} \).
Раствор
Найдите ЖК-дисплей 2, 3.
Преобразовать в эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем 6. \ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {3 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \)
Упростите числители и знаменатели. \ (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {2} {6} \)
Доп. \ (\ dfrac {5} {6} \)
Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ.Поскольку \ (5 \) и \ (6 \) не имеют общих делителей, дробь \ (\ dfrac {5} {6} \) не может быть уменьшена.
Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)
Добавить: \ (\ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {3} \).
Ответ
\ (\ dfrac {7} {12} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)
Добавить: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {5} \).
Ответ
\ (\ dfrac {7} {10} \)
Пример \ (\ PageIndex {6} \): вычесть
Вычесть: \ (\ dfrac {1} {2} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \).
Раствор
Найдите ЖК-дисплей 2 и 4.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея 4. \ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {2}} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \)
Упростим первую дробь. \ (\ dfrac {2} {4} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \)
Вычесть. \ (\ dfrac {2 — (-1)} {4} \)
Упростить. \ (\ dfrac {3} {4} \)
Одна из дробей уже имела наименьший общий знаменатель, поэтому нам оставалось только преобразовать другую дробь.
Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)
Вычесть: \ (\ dfrac {1} {2} — \ left (- \ dfrac {1} {8} \ right) \).
Ответ
\ (\ dfrac {5} {8} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)
Вычесть: \ (\ dfrac {1} {3} — \ left (- \ dfrac {1} {6} \ right) \).
Ответ
\ (\ dfrac {1} {2} \)
Пример \ (\ PageIndex {7} \): добавить
Добавить: \ (\ dfrac {7} {12} + \ dfrac {5} {18} \).
Раствор
Найдите ЖК-дисплей 12 и 18.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. \ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {12 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {5 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {18 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \)
Упростите числители и знаменатели. \ (\ dfrac {21} {36} + \ dfrac {10} {36} \)
Доп. \ (\ dfrac {31} {36} \)
Поскольку \ (31 \) является простым числом, у него нет общих множителей с \ (36 \). Ответ упрощен.
Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)
Добавить: \ (\ dfrac {7} {12} + \ dfrac {11} {15} \).
Ответ
\ (\ dfrac {79} {60} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)
Добавить: \ (\ dfrac {13} {15} + \ dfrac {17} {20} \).
Ответ
\ (\ dfrac {103} {60} \)
Когда мы используем свойство Equivalent Fractions Property, есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить ЖК-дисплей. Запишите множители знаменателей и ЖК-дисплей так же, как вы это делали, чтобы найти ЖК-дисплей. «Недостающие» факторы каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.
ЖК-дисплей, \ (36 \), имеет \ (2 \) множители \ (2 \) и \ (2 \) множители \ (3 \). Двенадцать имеет два множителя \ (2 \), но только один из \ (3 \) — поэтому он «пропускает» один \ (3 \).Мы умножили числитель и знаменатель \ (\ dfrac {7} {12} \) на \ (3 \), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \ (36 \). В восемнадцати отсутствует один множитель \ (2 \) — поэтому вы умножаете числитель и знаменатель \ (\ dfrac {5} {18} \) на \ (2 \), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \ (36 \). Мы применим этот метод при вычитании дробей в следующем примере.
Пример \ (\ PageIndex {8} \): вычесть
Вычесть: \ (\ dfrac {7} {15} — \ dfrac {19} {24} \).
Раствор
Найдите ЖК-дисплей.
15 «не хватает» трех множителей 2
24 ‘отсутствует’ коэффициент 5
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. \ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} — \ dfrac {19 \ cdot \ textcolor {red} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростим каждый числитель и знаменатель. \ (\ dfrac {56} {120} — \ dfrac {95} {120} \)
Вычесть. \ (- \ dfrac {39} {120} \)
Перепишите, показывая общий множитель 3. \ (- \ dfrac {13 \ cdot 3} {40 \ cdot 3} \)
Удалите общий множитель для упрощения. \ (- \ dfrac {13} {40} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)
Вычесть: \ (\ dfrac {13} {24} — \ dfrac {17} {32} \).
Ответ
\ (\ dfrac {1} {96} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)
Вычесть: \ (\ dfrac {21} {32} — \ dfrac {9} {28} \).
Ответ
\ (\ dfrac {75} {224} \)
Пример \ (\ PageIndex {9} \): добавить
Добавить: \ (- \ dfrac {11} {30} + \ dfrac {23} {42} \).
Раствор
Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. \ (- \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {red} {7}} {30 \ cdot \ textcolor {red} {7}} + \ dfrac {23 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {42 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростим каждый числитель и знаменатель. \ (- \ dfrac {77} {210} + \ dfrac {115} {210} \)
Доп. \ (\ dfrac {38} {210} \)
Перепишите, показывая общий множитель 2. \ (\ dfrac {19 \ cdot 2} {105 \ cdot 2} \)
Удалите общий множитель для упрощения. \ (\ dfrac {19} {105} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)
Добавить: \ (- \ dfrac {13} {42} + \ dfrac {17} {35} \).
Ответ
\ (\ dfrac {37} {210} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)
Добавить: \ (- \ dfrac {19} {24} + \ dfrac {17} {32} \).
Ответ
\ (- \ dfrac {25} {96} \)
В следующем примере одна из дробей имеет переменную в числителе. Мы выполняем те же действия, что и в случае, когда оба числителя являются числами.
Пример \ (\ PageIndex {10} \): добавить
Добавить: \ (\ dfrac {3} {5} + \ dfrac {x} {8} \).
Раствор
У дробей разные знаменатели.
Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. \ (\ dfrac {3 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {5 \ cdot \ textcolor {red} {8}} + \ dfrac {x \ cdot \ textcolor {red} {5}} {8 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростите числители и знаменатели. \ (\ dfrac {24} {40} + \ dfrac {5x} {40} \)
Доп. \ (\ dfrac {24 + 5x} {40} \)
Мы не можем складывать \ (24 \) и \ (5x \), поскольку они не похожи на термины, поэтому мы не можем дальше упрощать выражение.
Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)
Добавить: \ (\ dfrac {y} {6} + \ dfrac {7} {9} \).
Ответ
\ (\ dfrac {3y + 14} {18} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)
Добавить: \ (\ dfrac {x} {6} + \ dfrac {7} {15} \).
Ответ
\ (\ dfrac {5x + 14} {30} \)
Как вычесть дроби
Поделитесь этой страницей!
Резюме:
У всех дробей есть числитель и знаменатель.
Первый шаг при вычитании 2 дробей — проверить, являются ли оба знаменателя одним и тем же числом (как знаменатели) или разными числами (в отличие от знаменателей).
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Проще всего вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.Вам просто нужно вычесть числители и оставить знаменатель неизменным.
Пример:
Еще примеры:
Подробнее:

Вычитание дробей с отличными знаменателями

Когда дроби имеют разные знаменатели, мы должны изменить их, чтобы у них был одинаковый знаменатель.
Мы делаем это, находя наименьшее общее кратное двух чисел.Мы используем эквивалентные дроби.
Пример:
В этом примере знаменатели 3 и 2.
Шаг 1:
Мы выписываем первые несколько кратных (временные таблицы) 3 и 2.
Мы видим, что 6 — это наименьшее число, которое встречается в обеих таблицах (наименьшее общее кратное).
Шаг 2:
Теперь мы можем изменить обе дроби так, чтобы они имели одинаковый знаменатель.Мы меняем каждую дробь на ее эквивалентную дробь.
6 — второе кратное 3, поэтому нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2.
6 является третьим кратным 2, поэтому нам нужно умножить числитель и знаменатель на 3.
Давайте соберем все вместе.
Вот альтернативный способ взглянуть на это:
Мы не можем вычесть дроби с разными знаменателями, потому что каждая часть дроби имеет разный размер.Нам нужно изменить их на одинаковый размер.
После перехода на эквивалентные дроби:
Каждая часть эквивалентных фракций теперь имеет равный размер. Мы легко можем вычесть 3 порции из 4 порций.
Вы нашли эту страницу полезной? Поделиться!
Далее: Вычитание дроби из смешанного числа или целого числа
Руководство по вычитанию дробей (с одинаковыми или разными знаменателями)
Математически, когда мы хотим сослаться только на часть чего-либо, мы используем дроби.Например, когда кто-то говорит, что выпил полстакана молока, математически они говорят, что выпили долю стакана молока (½ стакана). Теперь только половина стакана наполнена молоком. Это простой пример вычитания дробей, которому посвящена данная статья. Давайте посмотрим на другую историю, чтобы попрактиковаться в этом важном навыке.
Майк пригласил своих друзей поиграть в настольные игры. Он заказал пиццу для всех троих, и каждый взял по одному из восьми кусочков.
Голодная младшая сестра Майка, Ким, прошла мимо и умоляла их разделить с ней пиццу! Когда осталось 3 ломтика, осталось только 5/8 пиццы, и Майк сказал своей младшей сестре взять столько, сколько она хочет.
Она взяла 3 куска, или 3/8 оригинальной пиццы. Какая часть пиццы осталась?
Когда у вас есть изображение, довольно легко увидеть, что осталось два фрагмента. Но обычно у нас нет таких простых историй, с которыми можно было бы работать.Прежде чем мы погрузимся в математическую процедуру вычитания дробей, давайте начнем с этого обучающего видео.

Для получения дополнительной помощи обратитесь к нашим статьям об упрощении дробей и сложении дробей и, конечно же, всегда свободно используйте наш калькулятор дробей .
Как вы видели из видео, концепции сложения и вычитания дробей практически одинаковы до самого последнего шага.Следует помнить две вещи: перед сложением или вычитанием
1) знаменатели дробей должны быть одинаковыми, и
2) сложение и вычитание производятся только с числителями дробей.
Давайте еще раз посмотрим на наш пример с пиццей, помня об этом.
Когда пицца была доставлена впервые, нужно было разделить восемь ломтиков, поэтому «целую» пиццу можно представить дробью \ (\ frac {8} {8} \). Мальчики и Ким съели в общей сложности шесть кусков, или \ (\ frac {6} {8} \) пиццы.Поскольку обе эти дроби имеют знаменатель 8, вычитание можно выполнить простым вычитанием числителей, как показано:
\ (\ frac {8} {8} — \ frac {6} {8} = \ frac { 8-6} {8} = \ frac {2} {8} \), который можно упростить до \ (\ frac {1} {4} \)
Вычитание дробей с разными знаменателями:
Что делать, если дроби имеют разные знаменатели? Что ж, это потребует дополнительной работы. Необходимо будет определить наименьшее общее кратное (НОК), и одну или обе дроби необходимо будет скорректировать так, чтобы их знаменатели «совпадали» с НОК.
Это может показаться сложным, но после нескольких примеров все станет более понятным!
Пример 1:
Упростить: \ (\ frac {7} {9} — \ frac {3} {16} \)
В инструкциях по «упрощению» предлагается вычесть две дроби. Вы можете видеть, что знаменатели не совпадают, поэтому давайте поработаем над корректировкой одной или обеих дробей, чтобы их знаменатели «совпадали».
Шаг 1: Определите НОК знаменателей 9 и 16.{4} = 144 \)
LCM = 144
Шаг 3: При необходимости скорректируйте фракции.
Как только мы узнаем НОК, нам нужно скорректировать одну или обе исходные дроби, если их знаменатели не равны этому значению. Просто задайте вопрос: «Соответствует ли знаменатель НОК?»
В этом примере обе дроби необходимо будет алгебраически скорректировать, поскольку их знаменатели 9 и 16 не соответствуют НОК 144.
Регулировка проста: разделите НОК на исходный знаменатель. В этом случае \ (144 \ div 9 = 16 \).
Теперь исходную дробь можно скорректировать, умножив числитель и знаменатель на этот множитель 16, как показано:
\ ((\ frac {16} {16} \ times \ frac {7} {9}) = \ frac {16 \ times 7} {16 \ times 9} = \ frac {112} {144} \)
Помните, что при умножении дробей выполняйте операцию «прямо поперек», то есть (числитель x числитель) и (знаменатель знаменатель x).
Обратите внимание, что это умножение на \ (\ frac {16} {16} \) не меняет значение исходной дроби, потому что \ (\ frac {16} {16} \) = 1! В результате получается дробь, которая равна , что эквивалентно исходной.
Теперь давайте проделаем тот же процесс для второй дроби, \ (\ frac {3} {16} \). Ясно, что 16 не равно НОК 144. Коэффициент, который нам нужен для необходимой корректировки, равен \ (144 \ div 16 = 9 \)
Отрегулируйте вторую дробь, как показано:
\ ((\ frac {9} {9} \ times \ frac {3} {16}) = \ frac {9 \ times 3} {9 \ times 16} = \ frac {27} {144} \)
Теперь знаменатели эквивалентных дробей совпадение, поэтому мы готовы вычесть.
\ (\ frac {112} {144} — \ frac {27} {144} = \ frac {112-27} {144} = 85 \)
Вычитание более двух дробей
Как и В случае сложения вычитание более двух дробей включает ту же процедуру.
Пример 2:
Упростить: \ (\ frac {3} {4} — \ frac {1} {3} — \ frac {1} {10} \)
Шаг 1: Определите НОК знаменателей 4, 3 и 10.
Мини-шаг 1.1: Перечислите простые множители каждого числа.{2} \ times 3 \ times 5 = 60 \)
НОК = 60
Шаг 3: Отрегулируйте каждую дробь так, чтобы знаменатели совпадали с НОК
Разделите НОК на знаменатель первая дробь: 60 ÷ 4 = 15. Отрегулируйте первую дробь, как показано:
\ ((\ frac {15} {15} \ times \ frac {3} {4}) = \ frac {45} {60} \)
Повторите процедуру для второй дроби: 60 ÷ 3 = 20
\ ((\ frac {20} {20} \ times \ frac {1} {3}) = \ frac {20} {60} \)
Наконец, третья дробь должна быть скорректирована с коэффициентом 60 ÷ 10 = 6.
\ ((\ frac {6} {6} \ times \ frac {1} {10}) = \ frac {6} {60} \)
Теперь мы готовы вычесть эквивалентные дроби: \ (\ frac {45-20-6} {60} = \ frac {19} {60} \)
Итак, окончательный ответ — \ (\ frac {19} {60} \).
Вычитание дробей и целых чисел
Итак, мы узнали все о вычитании дробей. Однако бывают случаи, когда вам необходимо найти разность дроби и целого числа. В этом разделе объясняется, как это сделать.
Сначала давайте рассмотрим различные классификации системы вещественных чисел. Это изображение показывает, что целые числа, которые являются целыми числами, являются подмножеством чисел Rational. Как следует из названия, рациональные числа — это числа, которые можно записать как «отношение», что является просто другим словом для обозначения дроби. Это важно, поскольку показывает, что целое число может быть записано как дробь со знаменателем 1.
Вот несколько примеров целых чисел, записанных как дроби:
8 = \ (\ frac {8} {1} \); 5 = \ (\ frac {5} {1} \); 20 = \ (\ frac {20} {1} \)
Используя эту информацию, теперь вы можете использовать описанные нами шаги для вычитания дробей из целых чисел.
Пример 3:
Упростить: \ (4 — \ frac {7} {15} \)
Это выражение можно переписать как: \ (\ frac {4} {1} — \ frac {7} {15} \)
Шаг 1: Определите НОК знаменателей, 1 и 15.
Мини-шаг 1.1: Определите простые множители знаменателей
1 = 1
15 = 1 × 3 × 5
Mini-Step 1.2: Коэффициенты степеней отсутствуют.
1 = 1
15 = 1 × 3 × 5
Мини-шаг 1.3: Выберите множители каждого знаменателя.
1 × 3 × 5
Шаг 2: Умножьте эти множители для НОК.
1 × 3 × 5 = 15
НОК = 15
Шаг 3: Отрегулируйте дробь (доли) так, чтобы знаменатели совпадали с НОК
Разделите НОК на знаменатель первого дробь: 15 ÷ 1 = 15
Отрегулируйте первую дробь: \ ((\ frac {15} {15} \ times \ frac {4} {1}) = \ frac {60} {15} \)
вторую дробь, \ (\ frac {7} {15} \), корректировать не нужно, поэтому мы готовы к вычитанию.

Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
Перечислите простые числа 12 и 18, выровняв их по столбцам, когда это возможно.
Обрушить колонны.
Умножьте множители. Продукт — LCM.	НОК = 36
НОК 12 и 18 равно 36, поэтому ЖКД \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36.	ЖК-дисплей \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36.

Найдите ЖК-дисплей.	ЖК-дисплей \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) равен 12.
Найдите число, чтобы умножить 4, чтобы получить 12.	\ (4 \ cdot \ textcolor {красный} {3} = 12 \)
Найдите число, которое нужно умножить на 6, чтобы получить 12.	\ (6 \ cdot \ textcolor {красный} {2} = 12 \)
Используйте свойство «Эквивалентные дроби» для преобразования каждой дроби в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число.	\ (\ begin {split} \ dfrac {1} {4} \ qquad & \ dfrac {1} {6} \\ \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {4 \ cdot \ textcolor {красный} {3}} \ qquad & \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {6 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \ end {split} \)
Упростите числители и знаменатели.	\ (\ dfrac {3} {12} \ qquad \ dfrac {2} {12} \)

Найдите число, на которое нужно умножить 15, чтобы получить 120.	\ (15 \ cdot \ textcolor {красный} {8} = 120 \)
Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120.	\ (24 \ cdot \ textcolor {красный} {5} = 120 \)
Используйте свойство «Эквивалентные дроби».	\ (\ dfrac {8 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} \ qquad \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростите числители и знаменатели.	\ (\ dfrac {64} {120} \ qquad \ dfrac {55} {120} \)

Найдите ЖК-дисплей 2, 3.
Преобразовать в эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем 6.	\ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {3 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \)
Упростите числители и знаменатели.	\ (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {2} {6} \)
Доп.	\ (\ dfrac {5} {6} \)

Найдите ЖК-дисплей 2 и 4.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея 4.	\ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {2}} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \)
Упростим первую дробь.	\ (\ dfrac {2} {4} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \)
Вычесть.	\ (\ dfrac {2 — (-1)} {4} \)
Упростить.	\ (\ dfrac {3} {4} \)

Найдите ЖК-дисплей 12 и 18.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем.	\ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {12 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {5 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {18 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \)
Упростите числители и знаменатели.	\ (\ dfrac {21} {36} + \ dfrac {10} {36} \)
Доп.	\ (\ dfrac {31} {36} \)

Найдите ЖК-дисплей. 15 «не хватает» трех множителей 2 24 ‘отсутствует’ коэффициент 5
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем.	\ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} — \ dfrac {19 \ cdot \ textcolor {red} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростим каждый числитель и знаменатель.	\ (\ dfrac {56} {120} — \ dfrac {95} {120} \)
Вычесть.	\ (- \ dfrac {39} {120} \)
Перепишите, показывая общий множитель 3.	\ (- \ dfrac {13 \ cdot 3} {40 \ cdot 3} \)
Удалите общий множитель для упрощения.	\ (- \ dfrac {13} {40} \)

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем.	\ (- \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {red} {7}} {30 \ cdot \ textcolor {red} {7}} + \ dfrac {23 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {42 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростим каждый числитель и знаменатель.	\ (- \ dfrac {77} {210} + \ dfrac {115} {210} \)
Доп.	\ (\ dfrac {38} {210} \)
Перепишите, показывая общий множитель 2.	\ (\ dfrac {19 \ cdot 2} {105 \ cdot 2} \)
Удалите общий множитель для упрощения.	\ (\ dfrac {19} {105} \)

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем.	\ (\ dfrac {3 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {5 \ cdot \ textcolor {red} {8}} + \ dfrac {x \ cdot \ textcolor {red} {5}} {8 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \)
Упростите числители и знаменатели.	\ (\ dfrac {24} {40} + \ dfrac {5x} {40} \)
Доп.	\ (\ dfrac {24 + 5x} {40} \)

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными, одинаковыми знаменателями

Понятие дроби

Основные свойства дробей

Правило вычитания дробей

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

Вычитание дробей, формулы и примеры решений

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Урок 40. сложение и вычитание дробей — Математика — 6 класс

Действия с дробями

Умножение дроби на число

Деление дроби на число

Деление числа на дробь

Деление дробей

Задания для самостоятельного решения:

Навигация по записям

Как складывать дроби с разными знаменателями

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание смешанных чисел

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Урок по вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями

Интерактивный урок математики | Сложение дробей с разными знаменателями

Математическая онлайн-игра: сложение дробей с разными знаменателями

Математическая практика в форме игры

Зарегистрируйтесь, чтобы получить доступ ко всем функциям

Уровень

Стандартное выравнивание общего ядра

Возможно, вас заинтересует…

Вычитание дробей с разными знаменателями

Итак, вот шаги.

Основы вычитания дробей с разными знаменателями

Вычесть: 1/2 — 1/3

–

Помощники по домашнему заданию

Как вычислить дроби

Калькулятор дробей

Рабочие листы с дробями

Вычитание дробей: 3 важных шага, которые вам абсолютно необходимы

Что такое дроби?

Что такое вычитание?

3 простых шага для вычитания дробей

1. Сделайте знаменатели одинаковыми.

2. Вычтите числители, поместив ответ над одним и тем же знаменателем.

3. Упростите, если возможно (и если необходимо).

Различные типы дробей

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание неправильных дробей

Вычитание дробей со смешанными числами

Вычитание дробей с целыми числами

Как Prodigy может помочь в обучении вычитанию дробей

Рабочие листы сложения и вычитания дробей

Заключение: вычитание дробей

4.8: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 1)

Найдите наименьший общий знаменатель

Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Как вычесть дроби

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с отличными знаменателями

Руководство по вычитанию дробей (с одинаковыми или разными знаменателями)

Добавить комментарий Отменить ответ