Что в примере делается первым умножение или деление: Урок 10. порядок выполнения действий в числовых выражениях — Математика — 3 класс — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Что делать сначала умножение или деление

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

  1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
  2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
  3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами 🙂

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

  1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
  2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

  1. Все действия выполняются слева направо.
  2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) )

.

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Знаки указывающие порядок выполнения действий. Изучение правил порядка действий

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

  • При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
  • Начать следует с умножения, далее – сложение.
  • После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
  • По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
  • Завершающим этапом станет .

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления - это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 - 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 - 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 - (20 - 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 - 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие - умножение, второе - деление, третье - вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие - деление, второе - умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое - вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - деление, третье - сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - умножение, третье - вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого - вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
  1. Festival.1september.ru ().
  2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
  3. Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

  1. Все действия выполняются слева направо.
  2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Табличка на двери

Приоритет - Python

Посмотрите внимательно на выражение 2 + 2 * 2 и посчитайте в уме ответ.

Правильный ответ: 6.

Если у вас получилось 8, то этот урок для вас. В школьной математике мы изучали понятие «приоритет операции». Приоритет определяет то, в какой последовательности должны выполняться операции. Например, умножение и деление имеют больший приоритет, чем сложение и вычитание, а приоритет возведения в степень выше всех остальных арифметических операций: 2 ** 3 * 2 вычислится в 16.

Но нередко вычисления должны происходить в порядке, отличном от стандартного приоритета. В сложных ситуациях приоритет можно (и нужно) задавать круглыми скобками, точно так же, как в школе, например: (2 + 2) * 2.

Скобки можно ставить вокруг любой операции. Они могут вкладываться друг в друга сколько угодно раз. Вот пара примеров:

print(3 ** (4 - 2))  # => 9
print(7 * 3 + (4 / 2) - (8 + (2 - 1)))  # => 14

Главное при этом соблюдать парность, то есть закрывать скобки в правильном порядке. Это, кстати, часто становится причиной ошибок не только у новичков, но и у опытных программистов. Для удобства ставьте сразу открывающую и закрывающую скобку, а потом пишите внутреннюю часть. Редактор на нашем сайте (и большинство других редакторов кода) делают это автоматически: вы пишете (, а редактор сразу добавляет ). Это касается и других парных символов, например, кавычек. О них — в будущих уроках.

Иногда выражение сложно воспринимать визуально. Тогда можно расставить скобки, не повлияв на приоритет. Например, задание из прошлого урока можно сделать немного понятнее, если расставить скобки.

Было:

print(8 / 2 + 5 - -3 / 2)  # => 10.5

Стало:

print(((8 / 2) + 5) - (-3 / 2))  # => 10.5

Запомните: код пишется для людей, потому что код будут читать люди, а машины будут только исполнять его. Для машин код — или корректный, или не корректный, для них нет «более» понятного или «менее» понятного кода.

Instructions

Дано вычисление 70 * 3 + 4 / 8 + 2.

Расставьте скобки так, чтобы оба сложения (3 + 4) и (8 + 2) высчитывались в первую очередь. Выведите на экран результат.


Онлайн калькулятор: Сложность вычисления школьных примеров

Данный калькулятор пытается оценить сложность вычисления без калькулятора (на листочке) задач с использованием арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления.
Калькулятор определяет количество элементарных операций в примере, дает условную сложность выраженную в миллисекундах, требуемых для вычисления примера. Сложность складывается из суммы элементарных операций, помноженных на коэффициент сложности (время в миллисекундах, требуемое для выполнение операции). Расшифровка элементарных операций дается в таблице в нижней части калькулятора.

Оценка сложности арифметических операций

Результат вычисления

 

Количество элементарных операций

 

Сложность (время вычисления)

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Расшифровка операций с указанием сложности.
++ сложность 200, увеличение на единицу, например, при умножении 2003000 - будет одно умножение 23 и 5 раз выполнится подсчет нулей
+ сложность 500, элементарное сложение например 5+4
- сложность 500, элементарное вычитание, например 3-2
* сложность 1000, элементарное умножение, например 2*2
/ сложность 1000, деление — операция деления сводится к последовательном выполнении операций умножения и вычитания, при этом мы прикидываем всякий раз какой множитель необходимо выбрать, чтобы произведение получилось чуть меньше или равно текущего делимого. Эта элементарная операция подсчитывается в данной колонке. Необходимые умножения и вычитания подсчитываются дополнительно.
0+ сложность 100, сложение с нулем — частный случай выделен отдельно, так как это более простая операция чем сложение.
0 сложность 100, подстановка нулей
°+ сложность 700, сложение с переносом единицы, например 16+7 — содержит две операции — элементарное сложение и перенос единицы в следующий разряд.
=0 сложность 200, сокращение — операции вычитания равных величин, например 100-100
°- сложность 600, заем единицы при вычитании, например при вычитании 11-9 будет выполнен один заем и одна операция вычитания.
** сложность 400, повторное умножение. часто случается, что при выполнении элементарных ( и не только ) операций умножения выполняются одни и те же операции. Например 2533 будет содержать два элементарных умножения и один повтор, мы просто можем переписать результат умножения 253 еще один раз.
*0 сложность 100, частный случай умножения на ноль
*1 сложность 200, частный случай умножения на единицу
°* сложность 700, перенос при умножении, например 234 — два элементарных умножения плюс один перенос (1) при умножении 34
+- сложность 300, смена знака
<> сложность 500, перестановка вычитаемых, выполняется если мы пытаемся вычесть из меньшего большее
. сложность 500, операций с плавающей точкой

Рассмотрим вычисление сложности на примере (4567+987-8354)*32/25:
Пример содержит все четыре арифметических операции.

Сначала выполняется сложение 4567+987=5554
Запись сложения в столбик


Как видим, в этом примере имеется три элементарных сложения: 7+7, 6+8, 5+9, при выполнении каждого из которых осуществляется перенос единицы в старший разряд.

Затем вычитание 5554-8354=-2800
Запись вычитания в столбик


Так как из меньшего вычитается большее число, результат получается отрицательным, перед вычитанием выполняется перестановка операндов. Первые два разряда 5,4 сокращаются, затем при вычислении 3-5 осуществляется элементарное вычитание с займом единицы, затем просто вычитание 8-1-5=2.

Третьим действием выполняем умножение -2800*32=-89600
Запись умножения в столбик


Так как первый множитель заканчивается нулями, выполняем подсчет их количества, чтобы в конце умножения приписать нули к результату. Затем умножаем 2832. При умножении на 38 и 28 выполняется перенос в след. разряд. 22 и 2*3 — просто элементарные умножения. Итого 4 элементарных умножения, 2 переноса, 2 подсчета.

Последнее действие — деление -89600/25=-3584
-89600/25=-3584

На каждом шаге деления осуществляется подбор множителя таким образом, чтобы произведение его на делитель было близко к числу, составляемому первыми разрядами текущего остатка от деления. Эта операция засчитывается как элементарное деление, после чего выполняется умножение и вычитание, сложность которых рассчитывается по аналогии с предыдущими шагами.
В частности при делении первых разрядов (86) на 25 выбираем множитель = 3. Далее производится умножение 25*3-75, далее вычитание 89-75=14.
Итого при вычислении 89600/25 имеем: 4 деления и 4 вычитания, 8 произведений, 3 сокращения, два умножения с переносом, при умножении с переносом осуществляется одно сложение.

В конечном итоге в ходе вычисления всего примера произведено 52 элементарные операции — с учетом обозначенных весовых коэффициентов, общая сложность составляет 28500. Таким образом для решения данного примера понадобится примерно полминуты (28.5 секунды).

P.S. Все временные оценки и сам алгоритм вычисления сложности сделаны на основе субъективных предположений автора, комментарии и замечания приветствуются.

Двоичная арифметика : сложение, вычитание, умножение, деление


 

Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.

Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.

Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления

СложениеВычитаниеУмножение
0 + 0 = 00 — 0 = 00 ∙ 0 = 0
0 + 1= 11 — 0 = 10 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 11 — 1 = 01 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 1010 — 1 = 11 ∙ 1 = 1

Сложение двоичных чисел

Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Пример: 1011,12 + 1010,112

Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример: 111,12 + 1112 + 101,12

При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 1002. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.
Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 1012. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.

Вычитание двоичных чисел

В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример: 10110,012 — 1001,12

Умножение и деление двоичных чисел


Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.
Пример: Перевести число 1011110112 в десятичную систему счисления.
Поскольку 1010 = 10102, запишем


Полученные остатки,  10012 = 910,  =1112 = 710,  112 = 310. Искомое число 1011110112 = 37910.


Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

Должны ли мы следовать BODMAS или PEMDAS в математических вычислениях? Один говорит сначала делать умножение, а затем делить, а другой говорит обратное. Чтобы оценить выражение, такое как 6/2 * 3, какой набор правил следует соблюдать?

Вы следуете единственному набору правил:
а именно правила правильной математики!

в этом смысле бодмы и пемды - это одно и то же, и оба они правы.
если вы используете их по назначению, а не lilke большинство тупиц там.

сначала, сначала multi, затем div - это нонсенс, и ни одно из 2 правил не говорит об этом.

просто дураки забыли все о порядке операций и отчаянно пытаются снова разобраться воедино, используя различные слова.
и причина деления упоминается до умножения, эти тупицы предполагают, что между ними существует некоторый порядок ранжирования. то же самое с сложением и вычитанием.

если бы они приняли участие в школьном уроке математики, они бы знали, что эти две операции по сути одинаковы.
В университете вы потом узнаете, почему они одинаковые.

но тем не менее, вы оцениваете это как обычно:
первые скобки. они правят всем.

затем экспоненты, пазухи и все остальное, что может быть.
затем точки, затем линии. (он же mult / div, затем добавьте / subtr)

и если это все сделано, то просто слева направо.

это всегда было правдой и всегда будет.
даже если некоторые тупицы берут фразу, которая должна была помочь вам запомнить порядок операций и настолько сильно нарушить его, что они используют его совершенно неправильно, пытаясь использовать его как набор правил, которые говорят об обратном, как о.о.о.

вся дискуссия бессмысленна, и каждый человек с высшим образованием может только покачать головой в неверии. о том, как немое большинство человечества стало.

В любом случае ответ на вашу «проблему»: 6/2 * 3 = 3 * 3 = 9

это не 1, даже если некоторые придурки придумали какое-то всемогущее неявное умножение и дерьмо

Объяснение

PEMDAS - Magoosh Math

Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли или PEMDAS - это способ запомнить порядок операций в математике. Поскольку так много математики зависит от правильного порядка операций, важно понимать правила PEMDAS как внутри, так и снаружи!

Но что такое ПЕМДАС? И что сделала тетя Салли, что все равно нужно извинить?

Салли знает свой порядок действий. Ей не нужны твои глупые отговорки!

Изображение LadyBB

Правила PEMDAS

Давайте поговорим о том, что означают эти шесть букв.

  • P соответствует скобкам (или скобкам, или любому другому символу группировки).
  • E для показателей степени (или таких вещей, как корни и радикальные выражения, которые эквивалентны показателям степени).
  • MD (выполняйте умножение и деление слева направо за один шаг).
    • M для умножения .
    • D для отдела .
  • AS (на одном шаге выполняйте сложение и вычитание слева направо).
    • - это добавление .
    • S для вычитания .

Правила PEMDAS определяют, какие операции имеют приоритет.

Изображение Aha-Soft

Например, давайте разберемся 7 + 4 × 5 2 .

Скобок нет ( P ), поэтому сначала определите показатель степени ( E ).

7 + 4 × 25

Далее вам нужно умножить ( M ).

7 + 100

Наконец, остается только добавить ( A ).

107

Та-Да !!! Неплохо, правда? Что ж, все может усложняться, поэтому давайте подробно рассмотрим некоторые из сложных случаев.

Правила письма слева направо

Правила не так просты, как может показаться на первый взгляд. Видите ли, аббревиатуру PEMDAS действительно следует писать примерно так: P-E-MD-AS .

  • Умножение ( M ) и деление ( D ) имеют одинаковый приоритет.Вы должны делать все умножения и деления слева направо.
  • Сложение ( A ) и вычитание ( S ) также имеют одинаковый приоритет. Все сложения и вычитания выполняйте в выражении слева направо.

Например, чтобы вычислить 8 - 5 + 4, сначала вычтите (потому что это крайняя левая операция), а затем сложите.

8-5 + 4 = 3 + 4 = 7

Если вы не соблюдали правильный порядок операций, вместо этого вы можете получить 8 - 9 = -1! Поэтому, если вы ошибочно думали, что добавление всегда должно предшествовать вычитанию , потому что A предшествует S в PEMDAS, к сожалению, вы ошиблись с множеством проблем.

Неоднозначность умножения и деления

Правило письма слева направо работает точно так же для умножения и деления. Однако из-за того, что существует так много разных способов записи умножения и деления, это может сильно запутать. Еще хуже становится, когда вводятся переменные.

Произведение a и b может быть записано любым из следующих способов:

a × b = a × b = ab = ( a ) b = a ( b ) = ( a ) ( b ) b )

Аналогичным образом, деление может быть записано в строке, то есть не в виде дроби по вертикали, двумя способами:

a ÷ b = a / b

Независимо от того, какие обозначения отображаются, правила PEMDAS должны работать одинаково.

Например, 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8 ( MD слева направо, подразумевает, что в этой задаче сначала нужно выполнить деление). Хороший способ убедиться, что вы все делаете правильно, - это заключить дополнительные скобки, чтобы явно указать на группировку.

12 ÷ 3 × 2 = (12 ÷ 3) × 2 = 4 × 2 = 8

Теперь давайте попробуем этот трюк с группировкой, чтобы показать, как каждое из следующих эквивалентных выражений работает одинаково. Помните, что каждый раз мы должны сначала делать деление, потому что оно происходит слева от умножения!

  • 12/3 × 2 = (12/3) × 2 = 4 × 2 = 8
  • 12 ÷ (3) (2) = [12 ÷ (3)] (2) = 4 (2) = 8
  • 12/3 x , где x = 2, (12/3) x = 4 x = 4 (2) = 8

Обратите внимание: , если вы собираетесь написать ниже неприятный комментарий, объясняющий, насколько я ошибаюсь в отношении 12/3 x , пожалуйста, потерпите меня! Эти правила основаны на текущей принятой практике.Я не придумывал это. И я гарантирую, что если вы видите что-то подобное в тестах SAT или ACT, то вам лучше поверить, что они поступают так, как я объяснил выше!

Проблема с дробными столбиками

Внимание: Между 12 / (3 x ) и 12/3 x огромная разница. У студентов, которые смешивают эти вещи, может возникнуть бесконечное разочарование.

Без скобок правила PEMDAS подразумевают, что вы должны сначала выполнить деление.

С круглыми скобками 3 x теперь становится группой. Технически умножение должно происходить до деления (но вы все равно можете выполнять алгебраические упрощения, например, отменить общий множитель).

Круглые скобки и группировка

Правило P больше похоже на правило , изменяющее правила, . Круглые скобки могут изменить порядок операций выражения, потому что они заставляют выполнять одни действия раньше других.

Например, рассмотрим 5 × (18-2 3 ).

  1. Получите скобки перед умножением на 5, потому что P предшествует M в PEMDAS.
  2. Теперь внутри скобок перед вычитанием нужно ввести показатель степени ( E до S ). Это приводит нас к: 5 × (18-8).
  3. Затем (все еще в скобках) вычтите: 5 × (10).
  4. Наконец, завершите задачу, умножив, чтобы получить 50.

Если вы просто перечислите операции, которые мы выполнили в этой задаче, вы получите: P -> E -> S -> M . Хотя может показаться, что мы нарушили правило ( не должно предшествовать M перед S ?? ), мы просто следовали тому, что требовалось правилу P .

Всегда считайте круглые скобки (), квадратные скобки [], фигурные скобки {} и выражения, сгруппированные внутри корня или вверху или внизу дробной черты, как единую группу.Затем каждая отдельная группа должна быть проработана с использованием PEMDAS только внутри этой группы.

Давайте посмотрим, как это работает, на более сложном примере.

Непростой пример

Упростить:

При наличии нескольких групп всегда работайте изнутри наружу. Найдите самую внутреннюю группировку, используйте правила PEMDAS внутри этой группы, а затем повторно оцените выражение.

Прежде всего, столбик с большой дробью (называемый vinculum ; вот, это то, что вы теперь знаете) на самом деле служит для группировки числителя и знаменателя в их отдельные выражения.

Более того, радикальное выражение действует как большой набор круглых скобок для содержимого внутри него.

Итак, в некотором смысле, мы должны подумать о правиле P , даже несмотря на то, что круглые скобки вообще отсутствуют (кроме 4, но в данном случае это просто умножение)!

Начнем с радикала. 33-2 (4) = 33-8 = 25 ( M до S ).

Затем упростим знаменатель: 2 + 9 0 = 2 + 1 = 3 ( E до A ).

Ваше выражение теперь должно выглядеть так:

Теперь нам все еще нужно рассматривать числитель как отдельное выражение. Есть показатель степени, умножение и радикал. Сначала вы должны указать показатель степени и радикал ( E до M ).

Не забудьте упростить дробь в качестве последнего шага!

Порядок операций и алгебраические тождества

Я хочу закончить эту статью одной из моих любимых тем, алгебраических тождеств ! Нет, правда !! Мне нравятся алгебраические тождества, потому что они, казалось бы, позволяют нам изменять правила порядка операций.

Например, рассмотрим распределительную идентичность (или собственность, или закон):

a ( b + c ) = ab + ac

Это правило позволяет вам преобразовать продукт (из a и ( b + c )) в сумму более простых продуктов, оцениваемую с той же суммой.

Предположим, вам нужно упростить 6 ( x + 7). Что ж, согласно правилам PEMDAS, мы должны сначала выяснить, что указано в скобках.Но я не знаю, что такое x , и я никак не могу прибавить 7 к неизвестной сумме, верно?

Однако, используя Distributive Identity, я могу написать:

6 ( x + 7) = 6 x + 6 (7)

Итак, порядок операций подразумевает, что я должен умножить перед сложением. Я до сих пор не знаю x , поэтому для термина 6 x делать нечего. С другой стороны, я знаю 6 (7) = 42. Таким образом, мы получаем следующее эквивалентное выражение.

6 х + 42

На данный момент это может показаться бесполезным «трюком», но вы обнаружите, что большая часть алгебры зависит от изменения порядка операций с использованием алгебраических тождеств.

Заключение

Напомним, что правила PEMDAS определяют правильный порядок операций для упрощения математических выражений.

  • P обозначает любые виды группировки, включая круглые, квадратные и фигурные скобки, а также группы, подразумеваемые радикальными и дробными выражениями.Проработайте все группировки изнутри наружу.
  • E обозначает экспоненты и радикалы.
  • MD означает, что умножение и деление должно выполняться слева направо. Будьте особенно осторожны, когда есть переменные и альтернативные обозначения продуктов и частных.
  • AS означает, что сложение и вычитание должны выполняться в последнюю очередь слева направо.

Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с одним из тех знаменитых мемов «99% не могут решить эту проблему», связанных с порядком операций в Интернете, теперь вы можете произвести впечатление (или рассердить) своих друзей, объяснив, почему все они ошибаются. .

Между прочим, вот действительно информативная статья, которая помогает объяснить, почему существует такая путаница с, казалось бы, простыми математическими операциями. Фактически, правила PEMDAS - это всего лишь текущих соглашений для разработки сложных многооперационных выражений. Несколько лет назад правила были немного другими. Кто знает, могут ли правила измениться снова через сто лет?

Говоря об Интернете, просмотрите 8 лучших видеороликов YouTube по математике для обзора, чтобы получить обширную информацию о математике!

Распределительная собственность | Определение, использование и примеры

Определение распределительной собственности

В математике распределительное свойство говорит, что сумма двух или более слагаемых, умноженная на число, дает тот же ответ, что и распределение множителя, умножение каждого слагаемого отдельно и сложение произведений вместе.

PEMDAS в сравнении с распределительной собственностью
Порядок работы PEMDAS Использование распределительной собственности
(5 + 7 + 3) × 4 (5 + 7 + 3) × 4
= 15 × 4 = (5 × 4) + (7 × 4) + (3 × 4)
= 60 = 20 + 78 + 12
= 60

Что такое распределительная собственность?

Распределительное свойство - одно из наиболее часто используемых свойств в математике.Он используется для упрощения и решения уравнений умножения путем распределения множителя для каждого числа в скобках, а затем сложения этих продуктов вместе, чтобы получить ваш ответ.

Распределительные ступени недвижимости
Шаг
7 × 7 + 5 + 8 =? Данное уравнение
77 + 75 + 78 =? Распределить множитель
49 + 35 + 56 =? Умножить
= 140 Добавить

Распределительное свойство объединяет три основные математические операции в две пары: умножение и сложение; и умножение и вычитание.

Распределительное свойство утверждает, что для действительных чисел a, b и c всегда выполняются два условия:

  • a (b + c) = ab + ac
  • а (b - c) = ab - ac

Вы можете использовать свойство распределения, чтобы превратить одно сложное уравнение умножения в две более простые задачи умножения, а затем сложить или вычесть два ответа по мере необходимости.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство такое же, как и распределительное свойство умножения, и его можно использовать при сложении или вычитании.

Вот примеры распределительного свойства умножения в действии:

Распределительное свойство сложения и вычитания
Распределительная собственность сверх добавления Распределительная собственность за вычетом
6 × (10 + 5) 6 × (10-5)
= (6 × 10) + (6 × 5) = (6 × 10) - (6 × 5)
= 60 + 30 = 60–30
= 90 = 30

Распределительное имущество подразделения

Свойство распределения не применяется к делению на то же самое, что и в случае умножения, но идея распределения или «разрушения» может использоваться в делении.

Распределительный закон деления можно использовать для упрощения задач деления, разбивая числитель на более мелкие части, чтобы упростить решение задач деления.

Вместо того, чтобы пытаться решить 1255, вы можете использовать закон распределения, чтобы упростить числитель и превратить эту единственную задачу в три меньшие, более простые задачи деления, которые вы сможете решить намного проще.

505 + 505 + 255

10 + 10 + 5

25

Примеры распределительной собственности

Эти примеры проблем, которые могут помочь вам понять возможности Distributive Property:

  1. 11 × (10 + 5) =?
  2. 11 (10 + 5) =?
  3. 11 (10) + 11 (5) =?
  4. 110 + 55 =?

Слишком просто? Давайте попробуем решить задачу со словами, используя денежные суммы:

Вы покупаете девять упакованных ланчей для членов математического клуба по цене 7 долларов.90 каждый. Используя мысленную математику, сколько вам следует возместить за обеды? Вы заметили, что 7,90 доллара - это всего лишь 0,10 доллара от 8 долларов, поэтому вы используете свойство Distributive:

.
  • 9 (7,90 долл. США) =?
  • 9 (8 долл. США - 0,10 долл. США) =?
  • 9 (8 долларов) - 9 (0,10 доллара) =?
  • 72 - 0,90 доллара = 71,10 доллара

Казначей математического клуба должен возместить вам 71,10 доллара за обед.

Как пользоваться распределительной собственностью?

В основных операциях свойство распределения применяется к умножению множимого для всех членов в круглых скобках.Это верно независимо от того, прибавляете ли вы или вычитаете термины:

2 (3 + 4 + 5) - 6 (7 + 8) =?

Свойство распределения позволяет распределять множители или множители вне скобок (в данном случае 2 и -6) для каждого члена в скобках:

2 (3) + 2 (4) + 2 (5) - 6 (7) -6 (8) =?

6 + 8 + 10 - 42 - 48 =?

24–90 = -66

Вы можете использовать характеристики Распределительного свойства, чтобы «разбить» на части то, что тоже слишком сложно сделать в качестве мысленной математики:

9 × 1847 =?

Разверните множитель и распределите множимое на каждое значение разряда:

9 (1000) + 9 (800) + 9 (40) + 9 (7) =?

9000 + 7200 + 360 + 63 =?

Ассоциированные (групповые) дополнения для облегчения умственного сложения:

(9000 + 7200) + (360 + 63) =?

16 200 + 423 = 16 623

Алгебра распределительных свойств

В алгебре свойство распределения используется, чтобы помочь вам упростить алгебраические выражения, объединить похожие термины и найти значения переменных.Это работает с одночленами и при умножении двух двучленов:

3 (5a + 12) - (a + 8) =?

Раздайте 3 и -1:

3 (5a) + 3 (12) + (-1) (a + 8) =?

15a + 36 - a - 8 =?

Объедините похожие термины:

14a + 28 =?

Вычтем 28 с обеих сторон:

14a = -28

Разделите обе стороны на 14:

а = -2

Вот еще один пример того, как использовать свойство распределенности для упрощения алгебраического выражения:

(3x + 4) (x -7)

(3x + 4) (x + -7)

Используйте распределительную собственность:

(3x) (x) + (3x) (- 7) + (4) (x) + (4) (- 7)

Упростить:

3x2 - 21x + 4x - 28

Объедините похожие термины:

3x2 - 17x - 28

Возможно, вы знакомы с этапами решения биномов, как с методом FOIL :

  • F Умножаются первые члены каждого бинома
  • O маточных членов - умножаются первый член первого бинома и второй член второго бинома
  • I nner members - второй член первого бинома и первый член второго бинома умножаются
  • L аст-членов - последние члены каждого бинома умножаются на

Знаки отрицательные и положительные с распределительным свойством

Distributive Property работает со всеми действительными числами, включая положительные и отрицательные целые числа.В алгебре особенно нужно обращать внимание на отрицательных знаков в выражениях.

Просмотрите шаги, указанные выше, которые мы использовали для решения этой проблемы, выше:

3 (5a + 12) - (a + 8) =?

Мы добавили знак + после первого члена и распределили -1 до , и 8, вот так:

3 (5a + 12) + (-1) (a + 8) =?

Затем мы распределили знак минус для обоих терминов во вторых скобках:

15a + 36 - a - 8 =?

Мы можем показать это распределение знака минус с помощью двух общих формул, одной для сложения и одной для вычитания:

  • - (а + б) = - а - б
  • - (а - б) = - а + б

Распределительное свойство в геометрии

Мы можем применить Распределительное свойство к геометрии при работе с задачами, включающими области прямоугольников .Хотя алгебра может показаться не связанной с геометрией, эти два поля сильно связаны.

Предположим, нам представлен рисунок, на котором отсутствуют числа, но есть взаимосвязь.

Мы понятия не имеем, что такое ширина и длина, но нам сказали, что прямоугольник имеет площадь 65 квадратных метров. Как рассчитать ширину и длину?

Мы знаем, что площадь равна ширине, умноженной на длину (w × l), которая в данном случае равна x для ширины и x + 8 для длины, или (x) (x + 8).

Запишите, что мы знаем:

x (x + 8) = 65 м2

Раздать x:

x2 + 8x = 65 м2

Преобразуйте его в квадратное уравнение (вычтите, чтобы одна сторона стала 0):

x2 + 8x - 65 = 0

Разложите квадратное уравнение на множители:

(х - 5) (х + 13) = 0

x - 5 = 0 и x + 13 = 0

x = 5 и x = -13

У нас не может быть отрицательного числа для ширины или длины, поэтому правильный ответ - x, ширина, равна 5.Это означает, что длина x + 8 равна 13. Мы можем проверить нашу работу:

(5м) (8м) = 65м2

строк, целых чисел и чисел с плавающей запятой

В этом руководстве мы собираемся начать работать с основными типами Python: строки (для текста) и целые числа и числа с плавающей запятой (для числовых значений).

Обратите внимание, что в этом руководстве вы работаете в REPL (IDLE). Вы можете найти дополнительную информацию о REPL и о том, как запустить Python в вашем cmd или терминале в руководстве по установке Python.

Привет, мир!

По традиции мы начнем с печати «Hello, World!» к консоль. В Python функция для достижения этого метко названа print () . Введите следующее рядом с >>> :

REPL просто напечатает текст прямо у вас.

Теперь напечатайте свое имя и немного поэкспериментируйте!

Несколько аргументов

Еще кое-что интересное в функции print () заключается в том, что вы можете передать ее несколько аргументов для печати:

  >>> print («Привет», «До свидания»)
  

Фактически, вы можете передать в печать столько информации, сколько захотите:

  >>> print («один», «два», «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь», «восемь», «девять»)
  

Конечно, вы также можете получить такой же результат с помощью этого:

  >>> print («один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять»)
  

Вам решать, что подходит и когда.

Математика

Любимое времяпрепровождение.

Простая арифметика

Python может выполнять простую арифметику. Для начала попробуем сложить:

Теперь вы должны увидеть результат этого вычисления в REPL.

Вычитание, умножение и деление работают одинаково.

  >>> 6 - 2
>>> 8 * 4
>>> 9/3
  

Теперь попробуйте еще несколько, чтобы увидеть, какие результаты вы получите. Попробуйте свои силы во всех основные математические операторы: + , - , * (умножение), / (деление), ** (экспоненты) и % (модуль).

Объединение операций

Возможность выполнять только одну операцию за раз довольно ограничивает, поэтому Python позволяет нам комбинировать математические операции. Попробуйте это:

А теперь попробуйте еще несколько. Вы можете комбинировать столько операций, сколько захотите.

Приоритет оператора

Заметили ли вы неожиданные результаты, когда начали комбинировать операции? Если вы этого не сделали, попробуйте это:

Python следует традиционным математическим правилам приоритета, которые гласят: это умножение и деление выполняются до сложения и вычитания.(Ты может вспомнить BODMAS .) Это означает, что в В нашем примере выше сначала умножаются 2 и 4, а затем результат вычтено из 10.

Мы можем изменить порядок операций, используя круглые скобки. Что-нибудь внутри скобки выполняются первыми.

А теперь попробуйте вот так:

У вас должен быть другой ответ.

Из-за правил приоритета сложные операции, такие как наш первый пример, могут будет довольно сложно читать. Если вы поймете, что пишете более сложный выражений, нет ничего плохого в добавлении скобок для ясности.

Десятичная точка

Одна из вещей, которая сбивает с толку новичков в программировании в целом, - это концепция чисел с плавающей запятой . В основном числа с десятичной точки имеют тенденцию вести себя немного странно, когда вы выполняете математические операции на них. Причины этого сложны и коренятся в природе. вычислений, поэтому пока давайте просто понимаем, что с десятичными числами происходят странные вещи.

Чтобы увидеть пример этого, попробуйте разделить 10 на 3 :

Ответ должен длиться вечно, но это не так.А теперь попробуйте что-нибудь немного более чувствительный к точности:

  >>> 1.000000000000001 * 8
  

Наверное, не то, что вы ожидали, верно? А пока тебе просто нужно принять это в качестве ограничения, и позже вы узнаете, как другие программисты работают с Это.

Заключение

Теперь давайте объединим то, что мы узнали сегодня. Мы можем указать print () напечатать сразу несколько вещей, разделенных запятой:

  >>> print ('Результат 2 + 2 равен', 2 + 2)
  

Сохраните свою работу

В этом уроке вы кодировали REPL (IDLE), но много раз вы хотите чтобы вместо этого сохранить ваш код.В таких случаях вы можете сохранить свой код в файл с помощью текстового редактора. Мы даем некоторую информацию о текстовых редакторах в нашем Руководстве по началу работы.

Откройте текстовый редактор и напишите код из первого упражнения:

Сохраните файл как ex1.py . Вы можете называть файлы как хотите, но они должны заканчиваться на .py , чтобы питон мог их легко прочитать. Читая ваш файл в Python, вы снова будете использовать свою оболочку cmd или терминала . Вы можете прочитать свой файл с помощью следующей команды (введите без знака $):

Если перед кодом >>> , значит, вы все еще находитесь в REPL (IDLE) и вам нужно выйти. это с:

Тогда вы сможете загрузить файл.

На этом мы завершаем сегодняшнее руководство. В следующем уроке мы узнаем, как объединить результаты нескольких отдельных выражений с использованием переменных, получить ввод от пользователя и принимать решения на основе этой информации.

Дополнительная литература

В Руководстве разработчика Google есть очень хорошая вводная статья.

Вы также можете найти ресурсы для начинающих на веб-сайте Python. и обратитесь к документации Python, где объясняются основы языка.

Вернуться к обучающим материалам главная страница кодовой панели

Порядок операций - Джеймс Бреннан

Порядок действий

Когда мы сталкиваемся с таким выражением, как 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3 , имеет большое значение, как мы выбираем, какие операции выполнять в первую очередь. Нам нужен набор правил, которые направят любого к одному уникальному значению для такого рода выражений. Некоторые из этих правил просто основаны на соглашении, в то время как другие навязаны нам математической логикой. В главе о свойствах действительных чисел вы увидите, как закон распределения согласуется с этими правилами.Общепризнанный порядок вычисления математического выражения следующий:

1. Круглые скобки наизнанку

Под «круглыми скобками» мы подразумеваем все, что действует как символ группировки, включая все, что находится внутри символов, например [], {}, | | и . Любое выражение в числителе или знаменателе дроби или в показателе степени также считается сгруппированным и должно быть упрощено перед выполнением дальнейших операций.

· Если есть вложенные круглые скобки (скобки внутри скобок), вы работаете от самых внутренних скобок наружу.

2. Показатели степени

Также другие специальные функции, такие как log, sin, cos и т. Д.

3. Умножение и деление слева направо

Порядок слева направо не имеет значения, если используется только умножение, но имеет значение для деления.

4. Сложение и вычитание слева направо

Порядок слева направо не имеет значения, если используется только сложение, но он имеет значение для вычитания.

Пример: Возвращаясь к нашему исходному примеру, 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3

Дано:

3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3

Показатель степени - это подразумеваемая группировка,
, поэтому сначала нужно вычислить 2 + 3:

= 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 5

Сейчас проводится экспонента:

= 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 32

Теперь умножение и деление,
слева направо, используя 15 ¸ 3 = 5 и 5 ´ 32 = 160:

.

= 3 + 5 + 160

Теперь сложение слева направо:

= 168


Калькулятор Примечание. Большинство современных калькуляторов «знают» порядок операций, и вы можете вводить выражения практически в том виде, в каком они написаны.Некоторые старые калькуляторы будут выполнять каждую операцию при нажатии клавиши, что может привести к выполнению операций в неправильном порядке. Попробуйте несколько примеров, если вы не знаете, как ведет себя ваш калькулятор.

Например, если вы введете

3 + 4 × 5 =
Правильный ответ должен быть 23, потому что умножение должно быть выполнено до сложения, давая 3 + 20. Но если ваш калькулятор выполняет «3 + 4» до перехода к «× 5» , он покажет результат 35, потому что он будет видеть его как 7 × 5.


Калькулятор Примечание. Используйте скобки для принудительного группирования. Если вы оцениваете такое выражение, как

знаменатель необходимо упростить перед делением. Если вы введете его в свой калькулятор как 4 ÷ 3 + 5, он сначала оценит «4 ÷ 3», а затем прибавит 5 к результату, дав неправильный ответ 6.3333. Чтобы он сначала выполнил сложение, используйте круглые скобки:

4 ÷ (3 + 5) = 0,5

В нашем примере задачи, приведенном выше, «2 + 3» в показателе степени является подразумеваемой группировкой, и вам нужно будет использовать круглые скобки.», А на других -« y x »)


Начальная алгебра
Урок 4: Введение в выражения и уравнения переменных

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Вычислить экспоненциальное выражение.
  2. Упростите выражение, используя порядок операций.
  3. Вычислить выражение.
  4. Знайте, когда число является решением уравнения или нет.
  5. Перевести английское выражение в математическое выражение.
  6. Перевести английское выражение в математическое уравнение.

Введение



В этом руководстве будут рассмотрены некоторые ключевые определения и фразы, используемые, когда специально работая с алгебраическими выражениями, а также оценивая их. Также коснемся порядка операций. Это очень ВАЖНЫЙ что вы понимаете математический жаргон, который используется в алгебре учебный класс, в противном случае вам все это может показаться греческим. Зная термины и концепции на этой странице определенно помогут вам построить понимание того, что такое переменная, и вам будет удобнее работать с их. Переменные - ОГРОМНАЯ часть алгебры, поэтому для вас это очень важно. к чувствовать себя комфортно рядом с ними, чтобы добиться успеха в алгебре.Так давайте приступим и поможем вам встать на путь переменчивой смекалки.

Учебник





Показатель степени показывает, сколько раз вы пишете база в ИЗДЕЛИЕ .

Другими словами, экспоненты - это еще один способ записать УМНОЖЕНИЕ.

Давайте проиллюстрируем эту концепцию, переписав продукт (4) (4) (4) с использованием экспоненциальной записи:

В этом примере 4 представляет собой основание, а 3 - экспонента. Поскольку в продукте 4 было написано три раза, наша экспонента равна 3. Мы всегда пишем нашу экспоненту в виде меньшего скрипта, который находится в правом верхнем углу. угол основания.

Вы можете применить эту идею в другом направлении. Скажем вы запишите его в экспоненциальной записи, и вам нужно его оценить. экспонента скажет вам, сколько раз вы выписываете базу в товар. Например, если у вас было 7 в качестве основы и 2 в качестве показателя степени, и вы в розыске для оценки вы можете написать это так:




Пример 1: Вычислить

В этой задаче какая база?

Если вы сказали 5, вы правы!

Что такое показатель степени?

Если вы сказали 4, вы правы!

Давайте перепишем это как умножение и посмотрим, что мы получите за ответ:



* Перепишите основание 5, четыре раза в продукт
* Умножить





Пример 2: Вычислить

В этой задаче какая база?

Если вы сказали 7, вы правы!

Что такое показатель степени?

Если вы сказали 1, вы правы!

Давайте перепишем это как умножение и посмотрим, что мы получите за ответ:


* Перепишите основание 7, один раз в продукте




Пример 3: Вычислить

В этой задаче какая база?

Если вы сказали 1/3, вы правы!

Что такое показатель степени?

Если вы сказали 2, вы правы!

Давайте перепишем это как умножение и посмотрим, что мы получите за ответ:


* Перепишем базу 1/3, два раз в продукте

* Умножить


Обратите внимание, что когда у вас есть 2 в качестве показателя степени, также известен как квадрат основания.В этой задаче можно сказать, что мы смотрящий за 1/3 кв.


Порядок действий

Пожалуйста, скобки или символы группировки
Извините Показатели (и радикалы)
Дорогие мои умножение / деление слева направо
Тетя Салли Сложение / Вычитание слева направо


Если у вас есть более одной математической операции, вам нужно используйте порядок операций, указанный выше.Вы, возможно, уже слышали поговорки "Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли". Это просто способ чтобы помочь вам запомнить порядок, в котором вам нужно идти при применении порядок операций.




Пример 4: Упростить.


* умножить
* прибавить
* вычесть



Пример 5: Упростить


* Внутри ()

* Показатель
* Умножить
* Сложить




Пример 6: Упростить.

Обратите внимание, что символ абсолютного значения | | является причудливая группировка символ. По порядку действий это было бы в том числе в первой строке в скобках.

Итак, в этой задаче первое, что нам нужно сделать, это работать изнутри абсолютного значения. А потом идите оттуда.


* Внутри | |

* Показатель

* Добавьте кол. и вычесть в ден.





Переменная - это буква, обозначающая номер.

Не позволяйте тому факту, что это письмо, сбивает вас с толку. С это представляет число, вы относитесь к нему так же, как и к числу, когда вы делаете различные математический операции с переменными.

x - очень распространенный переменная, которая используется в алгебре, но вы можете использовать любую букву ( a , b , c , d , ....) быть переменной.




Алгебраическое выражение - число, переменная или комбинация из двух, связанных некоторой математической операцией, например сложением, вычитание умножение, деление, экспоненты и / или корни.

2 x + y , a /5, и 10 - r все примеры алгебраических выражения.



Вы оцениваете выражение , заменяя переменная с заданный номер и выполнение указанной операции.




Когда вас попросят набрать , найдите значение выражение, , что означает, что вы ищете результат, который получаете, когда оцениваете выражение.


Так что имейте в виду, что разные способы изменения - a переменная позволяет выражение может принимать разные значения в зависимости от ситуации .

Например, площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширина. Хорошо, не каждый прямоугольник будет иметь одинаковую длину и ширину, поэтому мы может используйте алгебраическое выражение с переменными для представления площади и потом вставьте соответствующие числа, чтобы оценить его.Итак, если мы позволим длина будет изменяться l и ширина будет w , мы можем использовать выражение lw . Если данный прямоугольник имеет длину 4 и ширину 3, мы бы оценили выражение путем замены l на 4 и w на 3 и умножения, чтобы получить значение 4 умноженное на 3 или 12.

Давайте рассмотрим несколько примеров, которые помогут проиллюстрировать эти идеи.



Пример 7: Вычислить выражение когда x = 4, y = 6, z = 8.

Вставка соответствующего значения для каждого переменная, а затем оценка выражение получаем:



* Заглушка в 4 для x , 6 для y и 8 для z

* Степень
* Умножить
* Сложить
* Вычесть



Пример 8: Вычислить выражение когда x = 3, y = 5 и z = 7.

Вставка соответствующего значения для каждого переменная, а затем оценка выражение получаем:


* Разъем 3 для x , 5 для y и 7 для z
* экспонента

* Умножить

* прибавить



Уравнение

Два выражения равны друг другу.


Решение

Значение, такое, что при замене переменной на это,
это делает уравнение верно.

(левая сторона выходит равной правой)


Набор решений

Комплект всех решений.


Пример 9: Является ли 2 решением проблемы?


Замена x на 2 получаем:



* Вставьте 2 для x
* Оцените обе стороны


2 - решение?

Поскольку мы получили ИСТИНА утверждение (7 на самом деле равно 7), тогда 9 · 10 · 10 2 является решением этого уравнения.




Пример 10: Является ли 5 ​​решением проблемы?


Замена x на 5 получаем:


* Вставьте 5 для x
* Оцените обе стороны


5 - это решение?

Поскольку мы получили оператор FALSE (16 не равно 14), тогда 9 · 10 · 10 5 это не решение.




Перевод английской фразы
в
Алгебраическое выражение


Иногда вам приходится выписывать собственный алгебраический выражение, основанное на формулировке проблемы.

В этой ситуации вы хотите

  1. внимательно прочтите задачу,
  2. выбрать ключевые слова и фразы и определить их эквиваленты математический значение,
  3. заменяет все неизвестные на переменные, а
  4. объединяет все это в алгебраическое выражение.
Ниже приведены некоторые ключевые слова. и фразы и их переводы:

Дополнение: сумма, плюс, прибавление более чем увеличилось на, всего


Вычитание: разность из, минус, вычтено, меньше, уменьшено на, меньше


Умножение: произведение, раз, умножить, дважды, из


Деление: частное разделить на, соотношение




Пример 11: Запишите фразу как алгебраическую выражение.

Сумма числа и 10.


В этом примере мы не оцениваем выражение, так что мы не будем придумать ценность. Однако мы хотим его переписать. как алгебраическое выражение.

Похоже, что - единственная ссылка на математический операция сумма слов. Итак, какая операция у нас будет в этом выражение?

Если вы сказали сложение, вы правы !!!

Фраза "число" указывает на то, что это неизвестное номер. Ему не придавалось особой ценности. Так что заменим фраза "число" с переменной x . Мы хотим, чтобы наша переменная представляла любое неизвестное число

Собрав все вместе, мы можем перевести данная английская фраза со следующим алгебраическим выражением:


Сумма числа и 10


* 'сумма' = +
* 'число' = переменная x



Пример 12: Запишите фразу как алгебраическую выражение.

Произведение 5 и числа.


Опять же, мы хотим переписать это как алгебраический выражение, а не оцените это.

На этот раз фраза, которая соответствует нашему операция - это «продукт» - так какую операцию мы будем выполнять на этот раз? Если вы сказали умножение , вы правы.

Опять же, у нас есть фраза «число», которая снова будет заменен с переменной, так как мы не знаем, что это за число.

Давайте посмотрим, что мы получим в ответ:


Произведение 5 и числа


* 'продукт' = умножение
* 'число' = переменная x




Перевод приговора в Уравнение

Поскольку уравнение состоит из двух выражений, равных каждому другое, мы будем использовать те же математические переводы, что и выше.В разница у нас будет знак равенства между двумя выражениями.

Ниже приведены некоторые ключевые слова и фразы что переводится в знак равенства (=):


Знак равенства (=): равно, дает, есть, урожайность, составляет, такая же, как




Пример 13: Запишите предложение как уравнение. Пусть x представляет неизвестное номер.

Частное 3 и числа равно ½.


Вы помните, что означает частное ? в? Если Вы сказали отдел , у вас все отлично.

«Is» будет заменено символом =.

Соберем все слева направо:


Частное от 3 и числа составляет ½




Пример 14: Запишите предложение как уравнение. Пусть x представляет неизвестное число.

Число меньше чем в 3 раза совпадает с 0.


Вы помните, что меньше чем переводит в? Если вы сказали вычитание , у вас все отлично.

Вы помните, что раз переводит в? если ты сказал умножение , вы правы.

«То же, что и» будет заменено символом =.

Соберем все слева направо:


7, меньшее трехкратного числа, равно 0.



Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задачи 1a - 1b: Оценить.

Практика Задачи 2a - 2b: Упростите каждое выражение.

Практика Задача 3a: Вычислить выражение, если x = 1, y = 2 и z = 3.

Практика Задачи 4a - 4b: Определите, является ли данное число решение данное уравнение.

Практика Задачи 5a - 5b: Запишите каждую фразу как алгебраическую выражение. Пусть x представляет неизвестное число.

Практика Задачи 6a - 6b: Запишите каждое предложение как уравнение. Пусть x представляет неизвестный номер.


Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Последнее изменение: Ким Сьюард, 42 июля 2011 г.
Авторские права на все содержание (C) 2001 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Почему учителям математики пора отбросить BODMAS

Что означает BODMAS?

Акроним BODMAS означает скобки, порядки, деление, умножение, сложение, вычитание.

Иногда его называют BIDMAS (с «индексами» вместо «заказов») или правилом PEMDAS в Америке (с «круглыми скобками» и «экспонентами»).

BODMAS правило

Это математическое правило диктует правильный порядок операций, которым нужно следовать, когда вы заполняете вопрос с математическим числовым предложением с различными операциями.

Первый шаг - сделать что-нибудь в скобках, затем заказать следующие (например, извлекать квадратный корень или индексы). Деление и умножение находятся на одном уровне, что означает, что им дается равный приоритет, и они должны выполняться слева направо, а не все деление, а затем все умножение. Точно так же сложение и вычитание находятся на одном уровне и должны выполняться слева направо.


Я начал свою педагогическую карьеру в средней школе. Молодой, нетренированный и еще не лысеющий, я оказался на самом крутом этапе обучения в моей жизни.

Еженедельные встречи с моим руководителем отдела были жизненно важны для обсуждения педагогики, и я строго придерживался его инструкций: «Никогда не сокращайте совокупную частоту», «Мы всегда подбрасываем монеты и получаем решку, мы никогда не подбрасываем монеты и не получаем орла», и самое важное. , «Мы никогда, никогда не используем БОДМЫ».

Отказаться от использования BODMAS было труднее, чем вы думаете.Приехали студенты, хорошо разбирающиеся в его применении.

Нам пришлось и обучать этому. Нам пришлось убедить комнаты, заполненные подростками, в том, что они должны изменить основные принципы своей арифметической системы убеждений. Это было сложно, потому что подростки ненавидят перемены и ненавидят прозелитизм взрослых.

Так зачем нам вообще беспокоиться? Что убедило весь отдел в том, что нужно приложить столько усилий для решения такого, казалось бы, тривиального вопроса?

BODMAS ошибочен.Это то что.

Неправильный ответ

Буквы обозначают скобки, порядок (что означает степень), деление, умножение, сложение, вычитание. Таким образом, предполагается, что в этой последовательности происходит упрощение любого данного математического выражения.

Например, чтобы оценить 3 + (3 + 3) 3 ÷ 3 - 3 x 3 , мы действуем в указанном выше порядке:

Это был бы действительно полезный алгоритм, если бы он работал в любой ситуации, но рассмотрим гораздо более простое выражение, 1-2 + 4 .Он не содержит скобок, степеней, деления или умножения, поэтому мы будем следовать BODMAS и выполнять сложение с последующим вычитанием:

Это ошибочно. Правильное значение - 3. BODMAS нас подвел. Позор БОДМАС!

Математические задачи

У нас не может быть волшебной мнемоники, которая не работает все время; Предположим, он решил не работать в важный момент. Представьте, что вы пытаетесь объяснить своему ученику, что причина, по которой он потерял оценку на экзамене, заключалась в том, что то, что вы сказали ему, всегда работает, на самом деле не срабатывало во всех случаях, и, фактически, один из таких случаев произошел в тот документ GCSE.

Это не новая проблема. Я не первый, кто об этом пишет. Даже Википедия решает эту проблему и предлагает несколько альтернатив. Студенты любят Википедию! Так почему же BODMAS все еще актуален?

В Хайгейте вокруг него было такое клеймо, что некоторые партии высмеивали меня более десяти лет после того, как мой коллега пережил обмен в классе, который проходил примерно так:

Учитель: Как нам упростить это выражение?
Студент: БОДМАС, сэр.
Учитель: Мы здесь не используем БОДМЫ.
Студент: Но вот чему мистер Элтон научил нас в прошлом году, сэр.

После этого мне несправедливо присвоили прозвище «БОДМАС», которое преследовало меня повсюду. У меня не было защиты; Заявление подал платный студент, так что оно должно быть правдой. По крайней мере, один человек (он знает, кто он) все еще называет меня БОДМАСом чаще, чем он использует мое настоящее имя.

Несмотря на то, что я абсолютно не виновен в том, что запятнал умы невинных студентов, я чувствую себя обязанным исправить положение, поэтому я использую эту платформу именно так.Считайте это общественными работами.

Правильный ответ

Однако нет смысла бить БОДМАС, не предлагая альтернативы. Проиллюстрированная выше ошибка вызвана тем фактом, что сложение и вычитание не обязательно должны происходить в таком порядке. Если у нас есть строка этих двух операций, она называется суммой, и мы должны работать слева направо:

Точно так же деление не более важно, чем умножение. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется продуктом, и мы снова будем работать слева направо:

Теперь у нас такой порядок: скобки, порядок, продукты, суммы.

Это дает нам BOPS, который на целый слог короче, чем BODMAS, и имеет значительное преимущество в том, что он надежен.

Я уверен, что если бы кто-то предложил BOPS до BODMAS, то последний был бы предан безвестности. Даже сейчас еще не поздно избавиться от двусложных арифметических сокращений.

Я призываю своих коллег по всему миру запретить BIDMAS и очистить PEMDAS. Не оставляйте от них никаких следов. Позвольте BOPS нанести победный удар молодым математикам во всем мире.


Оуэн Элтон - учитель математики, автор / исполнитель глупых песен и автор математических минут. Вы можете следить за ним в Твиттере по адресу @owenelton.

Что означает слово «произведение» в математике?

Обновлено 19 декабря 2020 г.

Автор: Bert Markgraf

Произведение является результатом выполнения математической операции умножения. Когда вы умножаете числа, вы получаете их произведение.Другими основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание и деление, а их результаты называются суммой, разностью и частным соответственно. У каждой операции также есть особые свойства, определяющие порядок расположения и комбинирования чисел. Для умножения важно знать об этих свойствах, чтобы вы могли умножать числа и комбинировать умножение с другими операциями, чтобы получить правильный ответ.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Значение произведения в математике является результатом умножения двух или более чисел.Чтобы получить правильный продукт, важны следующие свойства:

  • Порядок номеров не имеет значения.
  • Группировка чисел в квадратные скобки не действует.
  • Умножение двух чисел на множитель с последующим их сложением аналогично умножению их суммы на множитель.
  • При умножении на 1 число не меняется.

Значение произведения числа

Произведение числа и одного или нескольких других чисел - это значение, полученное при умножении чисел.Например, произведение 2, 5 и 7 равно

2 × 5 × 7 = 70

Хотя произведение, полученное путем умножения определенных чисел, всегда одинаково, продукты не уникальны. Произведение 6 и 4 всегда равно 24, но равно как и произведение 2 и 12 или 8 и 3. Независимо от того, какие числа вы умножаете, чтобы получить произведение, операция умножения имеет четыре свойства, которые отличают ее от других основных арифметических операций. , Сложение, вычитание и деление разделяют некоторые из этих свойств, но каждое из них имеет уникальную комбинацию.

Арифметическое свойство коммутации

Коммутация означает, что условия операции можно менять местами, и последовательность чисел не влияет на ответ. Когда вы получаете произведение путем умножения, порядок, в котором вы умножаете числа, не имеет значения. То же самое и с сложением. Вы можете умножить 8 × 2, чтобы получить 16, и вы получите тот же ответ с 2 × 8. Точно так же 8 + 2 дает 10, тот же ответ, что и 2 + 8.

Вычитание и деление не имеют свойства коммутация.Если вы измените порядок чисел, вы получите другой ответ. Например,

8 ÷ 2 = 4 \ text {but} 2 ÷ 8 = 0,25

8-2 = 6 \ text {but} 2-8 = -6

Деление и вычитание не являются коммутативными операциями.

Свойство распределения

Распределение в математике означает, что умножение суммы на множитель дает тот же ответ, что и умножение отдельных чисел суммы на множитель с последующим сложением. Например,

3 × (4 + 2) = 18 \ text {и} (3 × 4) + (3 × 2) = 18

Сложение перед умножением дает тот же ответ, что и распределение множителя по числам на добавляется, а затем умножается перед сложением.

Деление и вычитание не обладают распределительным свойством. Например,

3 ÷ (4-2) = 1,5 \ text {but} (3 ÷ 4) - (3 ÷ 2) = -0,75

Вычитание перед делением дает другой ответ, чем деление перед вычитанием.

Свойство ассоциативности для продуктов и сумм

Свойство ассоциативности означает, что если вы выполняете арифметическую операцию более чем с двумя числами, вы можете связать или заключить в квадратные скобки два числа, не влияя на ответ.Продукты и суммы обладают ассоциативным свойством, а разности и частные - нет.

Например, если арифметическая операция выполняется с числами 12, 4 и 2, сумма может быть вычислена как

(12 + 4) + 2 = 18 \ text {или} 12 + (4 + 2) = 18

(12 × 4) × 2 = 96 \ text {или} 12 × (4 × 2) = 96

\ frac {12 ÷ 4} {2} = 1,5 \ text {while} \ frac {12} {4 ÷ 2} = 6

(12 - 4) - 2 = 6 \ text {while} 12 - (4 - 2) = 10

Умножение и сложение обладают ассоциативным свойством, а деление и вычитание - нет.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *