Что первое делить или умножать: Что идёт первым плюс минус умножить или делить

admin

Умножение столбца чисел на одно и то же число

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel для Windows Phone 10 Еще…Меньше

Предположим, нужно умножить столбец чисел на одно и то же число в другой ячейке. Для этого перед копированием формулы ее нужно изменить, добавив в адрес ячейки множителя символы $.

В нашем примере ниже требуется умножить все числа в столбце A на число 3 в ячейке C2. Формула =A2*C2 даст правильный результат (4500) в ячейке B2. Однако копирование формулы в последующие ячейки столбца B не будет работать, поскольку ссылка на ячейку C2 изменяется на C3, C4 и т. д. Так как в этих ячейках нет данных, результат в ячейках от B3 до B6 будет равен нулю.

Чтобы умножить все числа в столбце A на ячейку C2, добавьте символы $ в ссылку на ячейку следующим образом:

$C$2, как показано в следующем примере.

Символ$ $ Excel, что ссылка на ячейку C2 является «абсолютной», поэтому при копировании формулы в другую ячейку она всегда будет ссылаться на ячейку C2. Чтобы создать формулу:

  1. В ячейке B2 введите знак равенства (=).

  2. Щелкните ячейку A2, чтобы добавить ее в формулу.

  3. Введите символ «звездочка» (*).

  4. Щелкните ячейку C2, чтобы добавить ее в формулу.

  5. org/ListItem»>

    Введите символ $ перед C и еще один перед 2: $C$2.

  6. нажмите клавишу ВВОД.

Совет:  Вместо символа $ можно разместить точку вставки до или после ссылки на ячейку, которую вы хотите сделать «абсолютной», и нажать клавишу F4, которая добавляет символы $.

Теперь вернемся немного назад и рассмотрим простой способ скопировать формулу в последующие ячейки столбца после нажатия клавиши ВВОД в ячейке B2.

  1. Выберите ячейку B2.

  2. Дважды щелкните маленький зеленый квадрат в правом нижнем углу ячейки.

Формула автоматически копируется на последующие ячейки столбца до ячейки B6.

После копирования формулы в столбце B появляются правильные результаты.

Как решить один и тот же пример разными способами: китайский метод умножения, египетский, метод решетки — 20 января 2023

Привычные нам способы решения примеров далеко не единственно верные

Поделиться

Складывать, вычитать, умножать и делить мы все научились еще в школьные годы. Многие даже неплохо сохранили эти навыки и до сих пор могут что-нибудь да умножить. В уме. Но что, если приходится умножать многозначные числа? Понятно, что проще всего воспользоваться калькулятором. Но мы не ищем легких путей — вместо них мы нашли несколько способов решить одни и те же примеры. Ими до сих пор пользуются в разных странах, и это не привычное нам умножение столбиком.

В качестве примера, решить который мы попробуем семью разными методами, мы взяли не самый сложный, но и не самый простой: 223 х 304. Произведение этих множителей равняется 67 792. Нам было важно, чтобы числа были не двузначные и чтобы хотя бы в одном из них был ноль (потом объясним зачем). А теперь давайте посчитаем.

Чтобы решить наш пример этим способом, сперва запишем множители. После этого нужно представить число 223 в виде суммы степеней двоек — начинаем с единицы и умножаем на два, пока не получим число, которое будет больше, чем 223. Получится 256. Это уже много. А раз много, значит нам это не нужно. Остается 128.

Поделиться

Дальше нужно число 304 умножить на все получившиеся числа. Но понадобятся нам не все. Из чисел левого столбца нам нужно собрать число 223. Идем снизу вверх. Берем 128, прибавляем к нему 64. Получается 192. Если прибавить к этой сумме 32, получится 224, а это уже перебор. Поэтому 32 пропускаем и прибавляем все остальные. Выйдет наше 223. На те числа, что остались (а это все, кроме 32), мы и будем умножать наше 304. Теперь суммируем всё, что у нас получилось. Сумма этих чисел окажется 67 792.

Поделиться

Если вам кажется, что умножать 304 на 128 в такой ситуации будет полнейшим безумием, воспользуйтесь хитростью и просто умножайте каждое предыдущее число на два — так будет проще.

Всё, что вам понадобится, чтобы решить любой пример с умножением этим крестьянским методом, — это уметь умножать и делить на два.

Для начала будем последовательно делить на два первое число, пока оно не превратится в единицу. Думаете, не получится в случае с числом 223? Только не в древнерусском способе! Если в результате будет получаться число с остатком, отбрасываем эти остатки куда подальше — они нам не пригодятся.

Поделиться

После этой нехитрой процедуры беремся за второй множитель — его будем на два умножать. Столько же раз, сколько делили первый множитель, пока он не достиг единицы. Умножили? Теперь вычеркивайте все строчки, в которых в левом столбце есть четное число. У нас такая строчка одна — с цифрой шесть.

Поделиться

Дальше — самая нелегкая задача этого метода: суммировать все числа, что стоят справа (включая 304). Сложно, но у древнерусских счетоводов не было другого выбора, и им приходилось всё считать вручную. У нас, к счастью, есть калькуляторы, так что мы с удовольствием воспользуемся этой возможностью. И калькулятор покажет 67 792. Если вы хотите проверить, действительно ли работает этот метод, можете поменять множители местами и всё пересчитать, но, забегая вперед, мы вам скажем, что от перестановки мест множителей произведение не меняется даже в этом случае.

Первым дело запишем наши числа одно над другим и подведем под ними черту. И умножим каждую цифру верхнего числа на каждую цифру нижнего. Если будут получаться двузначные числа, пишем их как есть, а вот однозначные пишем в виде «ноль и цифра» — например, 08 вместо просто 8.

Поделиться

Получив эту хитрую комбинацию, умножаем соседние цифры (2 на 0, 2 на 4) и в обратную стороны (2 на 3 и 3 на 0). Идем еще дальше и стараемся не запутаться — перемножаем первую верхнюю цифру на третью нижнюю, а третью верхнюю — на первую нижнюю. Умножение закончилось.

Поделиться

Давайте складывать то, что у нас получилось. А получилось у нас 67 792.

Выписываем наших героев и подводим под ними черту, как делали это в методе треугольника. Затем перемножим крайние цифры — 2 и 4. Результат (его мы записываем как 08) будет первой строкой нашего решения. Следом за ними умножаем вторую цифру левого множителя на первую и третью — правого. Запишем их во вторую строку. Начало ромбу положено.

Поделиться

Ну а дальше умножаем друг на друга цифры из разряда сотен, десятков и единиц и так же записываем их в одну строку. Результат заносим в третью строчку.

Теперь берем вторую цифру во втором множителе и умножаем на первую и третью из первого. Четвертая строка решения готова. Последней, пятой строкой записываем произведение последней цифры первого множителя и первой цифры второго. Наш ромб готов. Осталось только суммировать цифры, расположенные друг над другом. Метод, конечно, красивый, но совсем не простой в применении.

Поделиться

Вот мы и добрались до того момента, где объясним, зачем нам понадобились трехзначные числа, да еще и с нулем. В китайском методе нам придется считать, чертить и рисовать. Так что для начала разберем принцип его работы на простом примере и умножим 34 на 62. Для этого нарисуем черты. Сперва три горизонтальные, потом, через промежуток, еще четыре. Это три десятка и четыре единицы нашего первого числа. А число 62 по такому же принципу превращается в шесть и две вертикальные черты. Теперь нам нужно разграничить зоны единиц, десятков и сотен.

Поделиться

После этого считаем точки пересечения всех черточек. В зоне единиц их восемь, в зоне десятков — 30, в зоне сотен — 18. Теперь нужно это сложить: 1800+300+8 = 2 108. На калькуляторе, умножая 34 на 62, получится тот же результат.

Переходим к нашему изначальному примеру и умножим 223 на 304. Рисуем две, две и три горизонтальные линии, три вертикальные слева и четыре справа. Место посередине оказывается пустым, поэтому здесь у нас будет воображаемая линия. (Цифры у нас стали крупнее, поэтому и зон будет больше.) И считаем точки пересечения.

Поделиться

Складываем, начиная с единиц. Там, где получились двузначные числа, оставляем единицы, а десятки перекидываем в соседнюю область. То есть там, где стояли рядом 8 и 12, оказались 9 и 2, а соседство 6 и 17 превратилось в 7 и 7. Считаем, что у нас получилось, справа налево: 67 792.

Чтобы решить наш пример методом решетки (его еще называют древнеиндийским методом), первым делом надо нарисовать таблицу, у которой будет три столбца и три строки — по количеству цифр в умножаемых числах. Потом делим каждую ячейку по диагонали на две части. Решетка готова.

Теперь по горизонтали выписываем цифры числа 223, а по вертикали — числа 304. И перемножаем каждое число сверху на каждое число справа. Результат вписываем в наши ячейки таким образом: сверху — десятки, снизу — единицы (если десятков нет, пишем ноль).

Поделиться

Теперь складываем цифры, которые получились в наших диагоналях. По периметру, начиная с правого нижнего угла и поднимаясь до левого верхнего. Если число вышло двузначным, оставляем только единицу, а десятки плюсуются к единицам числа предыдущего — совсем как в сложении, к которому мы привыкли.

Поделиться

Выписываем ответ, начиная с левой стороны: 67 792. Что и требовалось доказать.

Этот метод похож на метод решетки, но есть отличия. Здесь мы снова рисуем таблицу на три столбца и три строки, но ни на какие ячейки не делим. А наши числа записываем не в виде отдельных цифр, а сотнями, десятками и единицами.

Поделиться

Дальше начинаем умножать те цифры, что сверху, на те, что справа.

Поделиться

Умножили? Осталось только всё сложить: 60 000 + 6000 + 900 + 800 + 80 + 12 = 67 792. Тот результат, который и получится, если умножить 223 на 304.

Разные способы решить один и тот же пример, к слову, далеко не единственная математическая причуда. На днях одна несложная на первый взгляд задачка рассорила весь интернет — скандал разгорелся из-за простого примера для 6-классников. И мы попробовали решить его с математиком.

Зачем инвертировать и умножать? – The Math Doctors

На прошлой неделе мы рассмотрели, как визуализировать деление дробей; в процессе мы увидели, что первую дробь (делимое) можно умножить на обратную вторую (делитель): «перевернуть и умножить». Здесь я хочу рассмотреть несколько из многих случаев, когда нас спрашивали, как это сделать или почему это работает, когда мы не отвечали картинкой.

Как вы делите дроби?

Мы можем начать с этого вопроса от Карен в 1996:

 Деление дробей
Привет! Я учусь в 6 классе, в следующем году перейду в 7 класс. Я всегда застреваю на делении дробей. Пожалуйста, помогите мне!

Доктор Энтони ответил, начав с правила:

 Простое правило, которое следует помнить при делении дробей, состоит в том, что вы  берете дробь в нижней строке (знаменатель), переворачиваете ее и умножаете  .
Таким образом, 5/(1/2) равно 5*(2/1) = 10.
Вы заметите, что (1/2) в нижней строке было перевернуто до 2/1 или просто 2, а затем умножено.

Стоит отметить, что он рассматривает деление \(5\div\frac{1}{2}\) как дробь, \(\frac{5}{\frac{1}{2}}\). Таким образом, «верхняя строка» и «нижняя строка» относятся к числителю и знаменателю, которые совпадают с делимым и делителем. Об этом говорится в постах «Как преобразовать дробь в десятичную и почему».

$$5\div\frac{1}{2} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5\times\frac{2}{1} = \frac{5}{1 }\times\frac{2}{1} = \frac{5\times 2}{1\times 1} = \frac{10}{1} = 10$$

Поскольку в старые времена нам приходилось использовать «/» для деления, часто было трудно сказать, что имелось в виду; поскольку в конечном счете они означают одно и то же (как мы увидим), на самом деле это не имеет значения, но для студентов, которые еще не знакомы с дробями, это может сбить с толку. В дальнейшем я буду заменять косую черту «/» на обелус «÷», когда это явно означает деление.

Но мы не хотим слепо следовать правилам; должно быть «почему»:

  Причина, по которой этот метод работает , заключается в том, что умножение верхней и нижней строк на нижнюю строку, перевернутую вверх ногами, приводит к тому, что нижняя строка становится равной 1, и нам нужно только тогда рассмотреть, что происходит в верхней строке. 
Пример Упростить 5/8 (5/8)(4/3) 5/6
                     --- = ---------- = ----- = 5/6
                     3/4 (3/4)(4/3) 1

Идея здесь в том, что дробь не изменится, если обе части умножить на одно и то же количество. Это описано в сообщениях Как работают эквивалентные дроби?

Если мы умножим оба числа на обратную величину делителя, делитель станет равным 1 и не будет иметь никакого значения; в то время как новый дивиденд — это продукт с этим обратным. Здесь мы увидим одно и то же объяснение, повторяющееся несколько раз с разными деталями.

Стоит также отметить, что мы используем ту же идею при делении на десятичную дробь: чтобы разделить \(12,3\) на \(4,56\), мы «передвигаем запятую», умножая оба числа на 100 подразумеваемый знаменатель делителя, \(4,56 = \frac{456}{100}\)), и получаем \(1230\div 456\), что проще сделать вручную: $$12,3\div 4,56 = (12,3 \умножить на 100)\дел (4,56\умножить на 100) = 1230\дел 456 = 2,697…$$

 На практике нет необходимости выполнять все шаги, показанные выше.

  

  
  Мы просто делаем  «инвертируем и умножаем» , которую я описал в начале.
    5/8
    --- = 5/8 * 4/3 = 5/6
    3/4

То есть $$\require{cancel}\frac{5}{8}\div\frac{3}{4} = \frac{5}{8}\times\frac{4}{ 3} = \frac{5\times \cancel{4}}{\underset{2}{\cancel{8}}\times 3} = \frac{5}{6}$$

Просто «как» , пожалуйста

Карен ответила,

 Привет, еще раз! Я до сих пор не понимаю, что вы имели в виду. Пожалуйста, пришлите мне более подробную информацию о делении дробей.

На этот раз доктор Роберт ответил, стараясь не усложнять задачу, сосредоточившись на том, «как», а не на «почему», и начав с умножения:

 Если вы знаете, как  умножать дроби  , делить довольно легко. Вы умножаете дроби, перемножая числители вместе, чтобы получить числитель ответа, и перемножая знаменатели вместе, чтобы получить знаменатель ответа.
Например, 2/3 умножить на 4/5 = 8/15.

То есть $$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3\times 5}=\frac{8}{15}$ $

 Чтобы  разделить  одну дробь на другую, вы просто  инвертируете делитель  (инвертировать означает сделать числитель знаменателем, а знаменатель сделать числителем) и умножить. 
Например, 2/3 разделить на 4/5 — это то же самое, что 2/3 умножить на 5/4, что равно 10/12 или 5/6 при уменьшении.

То есть $$\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{2\ умножить на 5}{3\times 4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$

Опять же, перед умножением это можно было упростить: $$\frac{2}{3 }\div\frac{4}{5}=\frac{\cancel{2}}{3}\times\frac{5}{\underset{2}{\cancel{4}}}=\frac{1 \times 5}{3\times 2}=\frac{5}{6}$$

Сохранить – Изменить – Перевернуть?

Пока мы смотрим на вопрос «как», вот вопрос 2007 года о различных способах сказать, что мы делаем:

 Комментарии к делению дробей
Я читал ваши посты о том, как делить дроби, и мне потребовалось некоторое время, чтобы понять. Это в основном 
 
 умножить и найти обратное  верно? Мой учитель сказал мне, что вы можете использовать  KCF , чтобы помочь. KCF означает « Сохранить  это.  Изменить  это.  Перевернуть  это». 
бывший. 4/5 разделить на 1/5
 К С Ф
4/5 ÷ 1/5
4/5 х 5/1 = 4
Мы все еще можем использовать это, верно?

Идея состоит в том, что мы превращаем деление в умножение, оставляя первое число как есть, изменяя операцию с умножения на деление и переворачивая второе число (делая его обратным). Это способ избежать громкого слова «взаимный», точно так же, как «инверсия» и «вверх ногами» были использованы выше! Все они означают одно и то же.

Я ответил:

 Привет, Тиффани.
Вы не сказали, какие страницы вы читали; иногда мы долго объясняем, чтобы поговорить о 
  почему  мы что-то делаем, а не просто говорим вам быстро  что  делать. Обычно мы избегаем просто давать мнемонические обозначения, такие как ваш KCF, но в этом нет ничего плохого. Это просто очень короткий способ сказать то же самое, что мы говорим.

Я решил не говорить ничего плохого о том, чему учили Тиффани (этому учат даже на коррекционных занятиях по арифметике в моем колледже, где студенты нуждаются в простоте). Но мы предпочитаем понимание механическим методам и учим полезные слова, а не избегаем их, где это возможно.

 Моя собственная «быстрая версия», которая больше соответствует тому, как любят думать математики, такова: «деление определяется как умножение 
 
 на обратное ». То есть,
  а ÷ б = а * 1/б
Итак, чтобы разделить a на b, мы умножаем a на обратную величину b, что означает именно то, что говорит ваш учитель: мы «заменяем» операцию деления на умножение и «переворачиваем» делитель, чтобы использовать его обратную величину.

Начинающие ученики могут не понять, что когда b является дробью, «\(\frac{1}{b}\)» означает перевернуть дробь; Здесь я рассматриваю более продвинутую точку зрения. Это действительно означает разделить 1 на б . И почему это производит обратное? Поскольку любая дробь, умноженная на обратную ей, равна 1, поэтому 1, деленная на любую дробь, переворачивает ее.

 Точно так же я слышал, что вычитание объясняется как  KCC  , или « Keep Change Change Change  », что означает, что вы меняете вычитание  на добавление  , а  изменяет знак  второго числа (вычитаемое) .  Математическая версия этого состоит в том, что вычитание определяется как  сложение отрицательного (аддитивного обратного)  . То есть,
  а - б = а + -б
Так что на самом деле вычитание и деление - это просто сложение и умножение со вторым операндом, «инвертированным» соответствующим образом. Я редко слышу, чтобы кто-нибудь указывал на сходство двух правил (или определений), но я думаю, что это очень полезно увидеть.

И деление, и вычитание являются обратными функциями , и обе выполняются путем применения прямой операции к соответствующему обратному второго операнда.

Почему мы так делаем?

Вот вопрос из 1997 года, посвященный «почему»:

 Деление дробей
Я читал объяснение о делении дробей и почему мы должны перевернуть вторую дробь, и я все еще в замешательстве. Я понимаю, что мы должны сделать это, чтобы решить проблему, но я хочу знать причину , почему мы должны перевернуть это .  Я хочу более простого объяснения.

Доктор Роб ответил, начав с иллюстрации, совершенно отличной от наших картинок на прошлой неделе:

 В дроби его значение представляет собой количество вещей размера, измеряемого знаменателем, которое вы складываете, чтобы получить одну вещь размера, измеряемого числителем. Например, 31/11 — это количество 11-фунтовых предметов, которые вы соединили, чтобы получить один 31-фунтовый предмет. Когда знаменатель сам является дробью, как в вашей ситуации, это не меняется.

Хотя он пишет это как дробь и называет это дробью, с точки зрения вопроса это деление: сколько 11-фунтовых золотых слитков можно переплавить, чтобы сделать 31-фунтовую статую? Это вопрос: «Какое число, умноженное на 11, дает 31?» \(31\div 11 = \frac{31}{11}\), потому что \(\frac{31}{11}\times 11 = 31\).

Теперь разделим на дробь:

 Например, (14/3)÷(2/5) — это количество предметов, каждый из которых весит 2/5 фунта, которые сложены вместе, чтобы получить вес 14/3.  фунтов стерлингов.
  Сколько нужно, чтобы сделать один фунт?  Ответ: 5/2, каждая из которых весит 2/5 фунта, составит один фунт. Как мы получили 5/2? Перевернув 2/5, или, другими словами, найдя его «обратное». Почему это правильный ответ? Потому что (5/2)*(2/5) = (5*2)/(2*5) = 10/10 = 1.
Затем , чтобы получить 14/3 фунта  потребуется (14/3)*(5/2) объектов, каждый из которых весит 2/5 фунта. (Конечно, это равно 35/3, поэтому вам понадобится 11 и 2/3 объектов весом 2/5 фунта каждый, чтобы получить 14/3 фунта.)
В числах 14, 3, 2 и 5 нет ничего особенного. Их можно заменить любыми четырьмя числами, кроме нуля: помните, на ноль делить нельзя!

Ключевая идея здесь заключается в том, что число, умноженное на его обратное число, равно 1. Если каждый брусок весит \(\frac{2}{5}\) фунтов, тогда \(\frac{5}{2}\) брусков будет весить \(\frac{5}{2}\times\frac{2}{5} = \frac{10}{10} = 1\) фунтов, а \(\frac{14}{3}\) фунтов равно \(\frac{14}{3}\) раз больше тактов. Итак, мы умножаем на обратную величину: $$\frac{14}{3}\div\frac{2}{5} = \frac{14}{3}\times\frac{5}{2} = \frac{ \overset{7}{\cancel{14}}\times 5}{3\times \cancel{2}} = \frac{35}{3} = 11\frac{2}{3}$$

Мы может делать то же самое абстрактно, используя идею умножения числителя и знаменателя на одно и то же число, а именно на обратную величину знаменателя:

 Другой способ посмотреть на это — начать с исходной сложной дроби и умножить числитель и знаменатель дроби на 5/2. Вы получаете:
   14 14 5 14 5
   -- -- * -- -- * --
    3 3 2 3 2 14 5
  ---- = -------- = -------- = -- * -
    2 2 5 1 3 2
    - - * -
    5 5 2
Почему мы выбрали 5/2? Потому что 5/2 является обратной величиной 2/5, знаменателя, и когда вы умножаете любое число на его обратную величину, вы получаете 1, что мы и хотим создать в знаменателе.

Создание эквивалентной дроби

Мы подойдем к концу с вопросом 2008 года о том, «как», который получил ответ «почему»:

 Умножение на обратное для деления двух дробей
Я не могу понять  как вы делите дроби, например 2/9 на 7/45  . 
Я не получаю обратных чисел и , как вы меняете его с деления на умножение .

Доктор Ян ответил:

 Привет, Аманда!
«Правило» состоит в том, что вы  инвертируете нижнюю дробь  и вместо этого умножаете на нее. Вот объяснение того, почему это работает:
  Умножение и деление дробей
  http://mathforum.org/library/drmath/view/58080.html

Вскоре мы рассмотрим этот длинный ответ. На данный момент, однако, он дал тот же самый ответ, который мы видели, но с немного другим поворотом, рассматривая деление как большую дробь:

 Более короткое объяснение состоит в том, что вы можете просто  использовать эквивалентную дробь  s, чтобы получить результат. То есть, если у нас есть дробь вида
  2
  -
  9
мы можем умножить его на n/n, где n — любое число, кроме нуля; и мы получаем дробь с тем же значением, например,
  2 5 10
  - * - = -- 2/9и 10/45 имеют одинаковое значение
  9 5 45

Это общий принцип. Теперь применим его к делению двух дробей, а не одной дроби:

 Знакомо? Если да, то считайте, что мы можем начать с этого,
    2
    -
    9
  ----
    7
   --
   45
и  умножьте и верхнюю, и нижнюю часть на 45/7  , т.  е. обратную величину нижней дроби:
    2 45
    - * --
    9 7
  ----------
    7 45
   -- * --
   45 7
Чему будет равняться дно? Должно быть 1, верно? Так что все равно
    2 45
    - * --
    97
  ----------
      1
или просто
    2 45
    - * --
    9 7
Другими словами, оно равно произведению числителя  на обратную величину знаменателя  .

Аманда ответила:

 СПАСИБО..... Я надеюсь, что моя оценка повысится. Я понимаю это СЕЙЧАС..... БОЛЬШОЕ СПАСИБО.

Некоторые ученики нашли это объяснение полностью удовлетворительным, а другие нет. Вот почему взаимодействие имеет важное значение, и несколько ответов — это хорошо.

Дроби как две операции вместе

Вот вопрос 2001 года, на который ссылался доктор Ян, который касается как умножения, так и деления. Я думал включить его на прошлой неделе, но не стал, потому что он использует изображения только для части умножения. Кажется, здесь это подходит, потому что он придерживается совершенно другой точки зрения:

 Умножение и деление дробей
Мы просто пытались понять, как понимать  деление дробей и умножение дробей .  Это странно, потому что, когда я разделил 1/2 на 1/2 на калькуляторе, я получил 1, но когда я их умножил, я получил 1/4....
я хочу уметь  пояснить на чертеже  . ПОМОЩЬ!
Адом и Джейми

Нередко ученики обнаруживают подобные факты, играя с калькулятором, и им становится любопытно. Это одна из хороших ролей, которую калькуляторы могут сыграть в образовании!

Умножение на дробь

Доктор Ян ответил, начиная с картинок умножения:

 Привет, ребята!
Начнем с самого начала. Когда вы  умножаете на целое число  , вы повторяете что-то несколько раз:
    * * * х 4 = * * *
                    * * *
                    * * *
                    * * *
И когда ты  разделить на целое число  , вы разрезаете что-то на некоторое количество частей и выбрасываете все, кроме одной:
    * * * ÷ 4 = * * *
    * * *
    * * *
    * * *
Когда вы  умножаете на дробь  , вы делаете ОБЕ эти вещи. Например, чтобы умножить на 3/4, нужно разделить на 4, а затем умножить на 3:
  * * * * * х (3/4) = * * * * * х 3 = * * * * *
  * * * * * * * * * *
  * * * * * * * * * *
  * * * * *
или вы умножаете на 3, а затем делите на 4:
  * * * * * х (3/4) = * * * * * ÷ 4 = * * * * *
  * * * * * * * * * * * * * * * *
  * * * * * * * * * * * * * * * *
  * * * * * * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
                         * * * * *
В любом случае вы получите тот же результат.

Здесь мы думаем о дроби как о двухэтапном процессе, объединяющем умножение и деление. Таким образом, умножение на 3/4 означает умножение на 3 и деление на 4. Это одно из преимуществ записи: \(\frac{3}{4} = 3\times\frac{1}{4}\).

 Итак, здесь нет новых идей, только пара старых идей, собранных вместе.
  Если дробь меньше 1  , вы теряете больше при делении, чем получаете при умножении. (Например, когда вы умножаете доллар на 3/4, вы разбиваете доллар на 4 четверти и утраиваете одну из них, в результате чего у вас остается 3 четверти.)
  Если дробь больше 1  , вы получите больше при умножении, чем потеряете при делении. (Например, когда вы умножаете доллар на 5/4, вы разбиваете доллар на 4 четверти и увеличиваете одну из них в пять раз, и у вас остается 5 четвертей.)
  Если дробь равна 1  , умножение и деление компенсируют друг друга, и вы окажетесь там, где начали.

И мы можем думать о самой дроби как об умножении и делении, начиная с 1:

 Если это поможет, вы можете подумать о
    1/4*1/4 
как то же самое, что
  1*1/4*1/4
Итак, вы  начинаете с чего-то целого ; разрежьте его на четыре части и оставьте одну; затем разрежьте _that_ на четыре части и оставьте одну.  Подумайте о том, чтобы сделать это с пиццей. Сколько кусков окончательного размера вам понадобится, чтобы сделать целую пиццу? Вам нужно 16 из них, не так ли?
Удобно,
  1/4 * 1/4 равно 1/16.

Делим на 4 дважды, что равносильно делению на 16.

 Как насчет  2/3 * 3/2  ? Опять же, вы начинаете с чего-то целого; разрежьте его на три части и сложите одну из них вдвое. Затем вы берете эти две части, разрезаете каждую пополам и утраиваете каждую из них. Чем вы закончили? Шесть штук, каждая из которых составляет 1/6 часть оригинальной вещи. То есть  вы окажетесь там, где начали .
На самом деле вы можете сделать это с помощью бумаги и ножниц, и это неплохая идея, если еще не ясно, как это работает. Если вы не совсем понимаете, что значит умножить что-то на дробь, у вас будут большие трудности на каждом уроке математики, который вы посещаете.

Он этого не говорил, но пример, который он выбрал здесь, продемонстрировал идею обратной величины, которая необходима для деления: \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{2} = 1 \) потому что оно и умножает, и делит на 2, и одновременно делит и умножает на 3.

Деление 

 Хорошо, а как насчет деления  на дробь  ? Ну, я не знаю хорошего способа проиллюстрировать это теми видами картинок, которые вы можете использовать для умножения. Но, возможно, это не так уж и важно, потому что 9Деление 0013 — это просто еще один способ взглянуть на умножение . То есть, как только мы узнаем что-то вроде
  24 = 6 * 4
это действительно точно такая же информация, как
  24 ÷ 6 = 4 и 24 ÷ 4 = 6
не так ли? На самом деле, мы ОПРЕДЕЛЯЕМ деление таким образом. Мы говорим, что
  a ÷ b = c НИКОГДА c * b = a

Это общее определение деления, которое работает, даже если обратные числа не существуют (например, когда вы ограничены только целыми числами). Деление — операция, обратная умножению; это отменяет это.

 Это определение деления. Вот что ЗНАЧИТ деление. Так как же это относится к дробям? Ну, теперь, когда вы знаете, как умножать дроби, вы понимаете, почему
  9 * 2/3 = 6
верно? Мы делим 9 на 3, чтобы получить 3, и умножаем на 2, чтобы получить 6; или мы умножаем 9 на 2, чтобы получить 18, и делим на 3, чтобы получить 6.  В любом случае, это не удивительный факт.
Ну, из-за того, как мы ОПРЕДЕЛИЛИ деление, если мы говорим
  9 * 2/3 = 6
это действительно точно такая же информация, как
   6 ÷ 9= 2/3 и 6 ÷ (2/3) = 9

Таким образом, знание произведения двух чисел также говорит нам о паре делений, а именно произведение, деленное на один из множителей, дает другой множитель. В частности, поскольку \(9\times\frac{2}{3} = 6\), мы знаем, что \(6\div\frac{2}{3} = 9\). Задержите эту мысль…

 Убедитесь, что вы понимаете, почему это так. Если это поможет, посмотрите на эти шаблоны еще раз и сопоставьте буквы с цифрами:
  b * c = a <-------> a ÷ b = c, и a ÷ c = b
            
Итак, что нам нужно сделать, чтобы получить 6 из 9? Что ж, мы могли бы сократить его вдвое, а затем утроить полученное; или мы могли бы утроить его и взять половину того, что получаем. Другими словами, мы получаем от 6 до 9 таким образом:
  6 * (3/2) = 9
Но мы также знаем, что
  6 ÷ (2/3) = 9
А когда две вещи равны одной и той же вещи, они должны быть равны друг другу, верно? Это значит
    6 * (3/2) = 6 ÷ (2/3) 
Поэтому, когда вы хотите разделить на дробь, вы  инвертируете дробь и вместо этого умножаете .

Поскольку деление отменяет умножение, деление на дробь делит на числитель и умножает на знаменатель; то есть он умножается на обратную величину.

 Это действительно все, что происходит. Обратите внимание, что я использовал некоторые конкретные числа: 6, 9, 2/3 и т. д., но вы можете вычислить их, используя только буквы, и вы увидите, что, пока мы принимаем ОПРЕДЕЛЕНИЕ деления, мы должны инвертировать и умножать, чтобы разделить на дробь. Если бы мы сделали что-то еще, то получили бы сумасшедшие результаты.
В некотором смысле это дурацкое правило деления на дроби — цена, которую мы платим за то, чтобы остальная математика работала гладко.

Это суть доказательства, которое можно было бы сформулировать алгебраически, но вместо этого оно сделано на примере.

Как делить дроби | Как работает

«» Делить дроби легко, если вы просто не забываете сохранять, изменять и переворачивать. Как это работает

Слова «деление дробей» могут вызвать беспокойство практически у любого — нужно переворачивать дроби и знать такие слова, как делитель и делимое и обратное . Шаги, связанные с делением дробей, могут показаться трудными для запоминания, но они легко справятся с небольшой практикой. Потому что математика — это запоминание правил и терминов, и если вы можете это сделать, деление дробей станет легкой задачей.

Деление — это действие, обратное умножению, поэтому при делении дробей нужно помнить одну вещь: ответ всегда будет больше, чем любой из компонентов задачи. По сути, вы пытаетесь выяснить, сколько делителя (второго числа в задаче) можно найти в делимом (первом числе). Если вы знаете, как умножать дроби, вам не составит труда научиться делить дроби .

Реклама

Содержание

  1. Как разделить две дроби?
  2. Как разделить смешанные дроби?
  3. Как делить дроби с разными знаменателями?

Как разделить две дроби?

Шаг 1. Сохраняйте числители и знаменатели

Прежде чем начать, посмотрите на обе дроби, сделайте глубокий вдох и скажите себе, что если шестиклассник научился делить дроби, то и вы сможете научиться делить дроби. .

Первый шаг к делению дробей так же прост, как и эта небольшая ободряющая речь. Допустим, вы пытаетесь найти ответ на 2/3 ÷ 1/6 . Ничего не делай! Оставьте числитель и знаменатель обоих чисел такими, какие они есть.

Реклама

Шаг 2. Изменение знака деления

Вторым шагом деления дробей является умножение двух дробей. Итак, вам просто нужно изменить знак деления (÷) на знак умножения (x): 2/3 ÷ 1/6 становится 2/3 x 1/6 .

Шаг 3. Переверните вторую дробь

Третий шаг деления дробей – это нахождение обратной величины делителя, но не паникуйте! Разделить две дроби — это то же самое, что умножить первую дробь на обратную вторую дробь.

Это просто означает, что вам нужно поменять местами числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число) дроби справа от знака деления, который называется делителем.

Например, если вы делите 2/3 на 1/6, вы должны начать с переворачивания делителя: 2/3 x 6/1 = 12/3 .

Теперь у вас неправильная дробь

Вы могли заметить, что дробь больше не имеет правильной формы, в которой числитель меньше знаменателя; это неправильная дробь.

Неправильные дроби — это те, в которых число, которое представляет дробь, больше 1.

Шаг 4: Это ваш окончательный ответ? Нет. Упростите дробь

Это близко, но не совсем ваш окончательный ответ.

Все, что вам нужно сделать дальше, это упростить дробь 12/3. Вы делаете это, находя наибольшее число, которое делится поровну как на числитель, так и на знаменатель, что в данном случае равно 3, что означает, что дробь упрощается до 4/1 или просто до 4. Это ваш окончательный ответ.

«» Фракции просто представляют все части, составляющие целое.

Чекыраваа/Шаттерсток

Реклама

Как разделить смешанные дроби?

Деление дробей со смешанными числами немного отличается. Сначала вам нужно преобразовать смешанные дроби (целые дроби) в неправильные дроби, а затем разделить их так же, как вы делили две дроби. Вот пример: 3/4 ÷ 1 1/2 .

Шаг 1. Преобразуйте смешанную дробь в неправильную

Итак, первый шаг — преобразовать 1 1/2 в неправильную дробь. 1 1/2 равно 3/2. Теперь задачу можно решить так: 3/4 ÷ 3/2 .

Реклама

Шаг 2: Измените знак деления

Итак, вам просто нужно заменить знак деления (÷) на знак умножения (x): 3/4 ÷ 3/2 становится 3/4 x 3/ 2 .

Шаг 3. Переверните вторую дробь

Оставьте первую дробь как есть, но переверните вторую дробь, так что 3/4 x 3/2 станет 3/4 x 2/3 = 6/12 .

Шаг 4. Упростите дробь

Отсюда вам просто нужно упростить: 6/12 = 1/2 .

Следовательно, ответ на задачу 3/4 ÷ 1 1/2 = 1/2 .

Итак, чтобы разделить смешанное число на дробь, сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь и выполните шаги, показанные выше.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *