Как правильно умножать дроби: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Умножение дробей с разными знаменателями и целыми. Правила умножения и деления дробей на целое число

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ:

$\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.

В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .

Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Правило 1.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Правило 2.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей

2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.

Правило 3.

Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Правило 4.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример 1.

Вычислите

Пример 2.

Вычислите

Пример 3.

Вычислите

Пример 4.

Вычислите

Математика. Другие материалы

Возведение числа в рациональную степень. (
Возведение числа в натуральную степень. (
Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Признаки делимости (Лунгу Алена)

Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Деление дроби на число

    Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.

    Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число — дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

    Отсюда делаем вывод:

    чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:

    при делении дроби на число число идет в знаменатель.

    Выполнить деление дроби на число:

    Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.

    При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.

    При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.

    Умножение и деление дробей

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.
    3. До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    4. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
    5. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Деление дробей.

    Деление дроби на натуральное число.

    Примеры деления дроби на натуральное число

    Деление натурального числа на дробь.

    Примеры деления натурального числа на дробь

    Деление обыкновенных дробей.

    Примеры деления обыкновенных дробей

    Деление смешанных чисел.

      Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
    • преобразовать смешанные дроби в неправильные;
    • умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
    • сократить полученную дробь;
    • если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
    • Примеры деления смешанных чисел

      1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

      2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

      Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

      Добро пожаловать на OnlineMSchool .
      Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

      Дроби. Умножение и деление дробей.

      Умножение обыкновенной дроби на дробь.

      Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

      Формула умножения дробей:

      Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

      Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

      Деление обыкновенной дроби на дробь.

      Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

      Формула деления обыкновенных дробей:

      Умножение дроби на натуральное число.

      Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

      Деление дробей с участием натурального числа.

      Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

      Умножение смешанных дробей.

      Правила умножения дробей (смешанных):

      • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
      • перемножаем числители и знаменатели дробей;
      • сокращаем дробь;
      • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
      • Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

        Второй способ умножения дроби на натуральное число.

        Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

        Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

        Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

        Многоэтажные дроби.

        В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

        Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

        Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

        Обратите внимание, например:

        При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

        Практические советы при умножении и делении дробей:

        1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

        2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

        3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

        4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

      • Недо- и не до- Переделанная песня «Весеннее танго» (Приходит время — птицы с юга прилетают) — муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
      • Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
      • Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
      • Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
      • ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30.12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
      • Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины — хором для юбиляра женщины — посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    Как правильно умножать смешанные дроби. Дробь. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

    Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

    Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

    Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

    Умножение дробей с разными знаменателями

    Изначально стоит определить разновидности дробей :

    • правильные;
    • неправильные;
    • смешанные.

    Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

    При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

    a/ b * c/ d = a*c / b*d.

    Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

    Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

    • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
    • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

    В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

    Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

    1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

    Как происходит перемножение

    Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

    2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

    В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

    a * b/ c = a*b / c.

    По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

    4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

    Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

    d * e/ f = e/ f: d.

    Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

    Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

    1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

    В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

    a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

    Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

    Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

    В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

    Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

    В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

    В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

    Что такое дробь?

    Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

    Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

    Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

    Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

    Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

    Разновидности дробей

    Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

    Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

    Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

    Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

    Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

    Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

    Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

    Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

    • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
    • в конкретном примере неполное частное — целое;
    • и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

    Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

    Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

    Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

    • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
    • полученное произведение прибавляется к числителю;
    • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

    Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

    Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

    Ответ : 98 / 10.

    Умножение дробей обыкновенных

    Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

    Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

    Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

    Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

    Умножение дробей десятичных

    Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

    • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
    • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
    • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
    • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
    • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

    Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

    Решение .

    Умножение смешанных дробей

    Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

    • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
    • найти произведение числителей;
    • найти произведение знаменателей;
    • записать получившийся результат;
    • максимально упростить выражение.

    Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

    Умножение числа на дробь (дроби на число)

    Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

    Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

    • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
    • найти произведение, несмотря на запятую;
    • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

    Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

    Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

    Ответ : 7 1 / 2.

    Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

    Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

    Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

    Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

    Ответ : 88 1 / 2.

    Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

    Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

    Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

    Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

    Ответ : 65.

    Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

    Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

    Ответ : 3900.

    Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

    Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

    Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

    Ответ : 0,56.

    Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

    Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

    Ответ : 0,004.

    Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

    Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

    Умножение обыкновенной дроби на дробь.

    Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

    \(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

    Рассмотрим пример:
    Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

    \(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

    Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

    Умножение дроби на число.

    Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

    Воспользуемся этим правилом при умножении.

    \(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

    Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

    Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

    \(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

    Умножение смешанных дробей.

    Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

    Пример:
    \(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

    Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

    Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
    Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
    \(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

    Пример:
    \(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

    Вопросы по теме:
    Как умножить дробь на дробь?
    Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

    Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
    Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

    Как умножать смешанные дроби?
    Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

    Как умножить число на дробь?
    Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

    Пример №1:
    Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

    Решение:
    а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
    б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

    Пример №2:
    Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

    Решение:
    а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
    б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

    Пример №3:
    Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
    Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

    Пример №4:
    Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

    Решение:
    а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

    Пример №5:
    Могут ли взаимно обратные дроби быть:
    а) одновременно правильными дробями;
    б) одновременно неправильными дробями;
    в) одновременно натуральными числами?

    Решение:
    а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

    б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

    в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

    Пример №6:
    Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

    Решение:
    а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
    б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

    Пример №7:
    Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

    Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    Урок по теме «Умножение дробей»

    Тема урока: Умножение дробей

    Математика 6 класс.

    Учитель: Антонова Н.М.

    Цели урока:

    • повторить и закрепить знания и умения, связанные с правилами умножения дробей и применением их для решения задач;

    • сформировать знания и умения выполнять умножения смешенного числа на натуральное число рациональным способом.

    Задачи урока:

    • отработать навыки умножения дробей, применяя методы самоконтроля, самоанализа своей учебной деятельности;

    • подвести обучающихся к самостоятельному формулированию правила умножения смешенного числа на натуральное число и отработать навык его применения;

    • выявить пробелы в знаниях учащихся по данной теме с целью их дальнейшей коррекции;

    • способствовать расширению кругозора путем введения новых терминов из других предметов;

    • развивать логическое мышление путем составления модели правил умножения дробей, логических цепочек, и т. д.;

    • развивать самостоятельную деятельность учащихся через выполнения индивидуальных заданий.

    Тип урока: комбинированный.

    По завершении урока учащийся должен:

    Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь, умножение смешанных чисел, умножения смешанного числа на натуральное число рациональным способом.

    Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь, умножать смешанные числа, умножать смешанное число на натуральное число рациональным способом.

    Оборудование:

    • учебник математики 6-й класс, автор Н.Л. Виленкин;

    • презентация;

    • раздаточный материал;

    • мультимедийный экран, проектор;

    • оценочные листы.

    Ход урока

    I

    Орг. момент

    Цель: психологическая установка на урок.

    — Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит серьезно потрудиться, мне хочется, чтобы от работы на уроке вы получили удовлетворение. Ведь успех – это состояние души. Девизом сегодняшнего урока я предлагаю слова: (слайд 2) «Человеческий ум, «растянутый» новой идеей, никогда не сможет вернуться к своим прежним размерам».

    — А сейчас не будем больше терять времени, оглядываться назад и будем вместе, двигаться только вперед!

    1 мин

    II

    Сообщение темы, целей

    — Откройте тетради, запишите число и тему нашего урока… (слайд 3)

    — Ой, что случилось с презентацией? Все буквы рассыпались. Помогите определить тему нашего урока. ( Ребята называют тему из рассыпанных букв «Умножение дробей»)

    — Спасибо. Запишем ее в тетрадь.(слайд 4) Для вас эта тема новая?

    — Нет. Мы ее уже изучали на прошлых уроках.

    — А как по вашему, зачем мы ее опять записали?

    — Что бы ни забыть и закрепить.

    — Тогда скажите, какую цель мы перед собой поставим?

    — Отработать (закрепить) правила умножения дробей.
    — Молодцы, давайте немного уточним нашу цель урока. (слайд 5)

    Отработать знания и умения, связанные с правилами умножения дробей:

    • дроби на натуральное число;

    • дроби на дробь;

    • умножение смешанных чисел.

    — А также – Внимание!

    — Ребята, у вас на столах лежат оценочные листы (слайд 6), где записаны все этапы нашего урока. Ваша задача оценить свою работу на каждом этапе урока и поставить себе баллы, по одному за каждый правильный ответ. Оценка за урок будет зависеть от набранных баллов.

    2 мин

    III

    Проверка домашнего задания.

    1.Проверка

    домашнего задания и задание на дом

    — Начнем с актуализации знаний. (слайд 7)

    Если вы правильно решите примеры, то сможете назвать фамилию ученого-математика. А, внимательно послушав сообщение Олега, сказать, что нового он ввел в математику.

    — Перед вами карточки с числами, среди которых есть ответы примеров, если ответы ваши совпали с данными числами и правильные, то с обратной стороны карточки будет буква, а в углу стоять цифра на какое место ее нужно вам поставить в зашифрованное слово.

    — И так, какая фамилия у нас получилась? (Пеануд)

    — Поставьте себе в оценочный лист баллы. И послушаем сообщение из истории дробей. Из которого вы должны будете сказать, что же нового Пеануд ввел в математику.

    — Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Пеануд. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.
    — Задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

    — Кто может сказать, что же нового ввел в математику Максим Пеануд?

    — Название “числитель” и “знаменатель”.

    5мин

    IV

    Работа по теме урока.

    Цель: отработка и систематизация знаний по теме.

    2. Индивидуальная работа

    — У меня на столе лежат карточки с заданиями разных цветов (слайд 9). Решив правильно красную карточку, сможете набрать 4 балла, синюю –3балла, а зеленую — 2 балла. Эти баллы вы занесете в оценочный лист. Ваша задача выбрать себе карточку по своим возможностям и решить предложенные в ней задания. После, вы получите карточку – информатор, в которой будет записан верный ответ и приведено решение. Т.о. вы сможете проверить себя, а так же проверить правильность записи решения.

    2 балла (зеленая карточка)

    3 *

    +

    *

    — 3балла (синяя карточка)

    1. * 21

    2. *

    3. * 2

    4. — 2

    — 4балла ( красная карточка)

    * 2 * 1

    ()2

    — Кто справился с заданиями, проверяет себя по карточке-информатору. И выставляет себе баллы в оценочный лист следующим образом (слайд 10):

    у кого красная карточка — ставят себе столько баллов, сколько правильных заданий было решено; у кого синяя – на 1 балл меньше от правильно решенных заданий; у кого зеленая – в 2 раза меньше правильно решенных заданий.

    6мин

    V

    Физкультминутка

    — Ребята, улыбнитесь. Передайте своему товарищу мысленно положительные эмоции, поделитесь капелькой теплоты, добра.

    Быстро встали, улыбнулись.
    Выше – выше потянулись.
    Ну – ка, плечи распрямите,
    Поднимите, опустите.
    Вправо, влево повернитесь,
    Рук коленями коснитесь.
    Сели, встали. Сели, встали.
    И на месте побежали.

    1мин

    VI

    Работа по теме урока (продолжение)

    3. Найти ошибку.

    — И так, приступим к следующему этапу, на котором нам предстоит вспомнить правила, с помощью которых выполнялись предложенные задания (слайд 11).

    — На экране вы видите записанные правила, которые содержат ошибки. Ваша задача найти их и исправить.

    1). Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений.

    2). Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению знаменателей, а знаменатель – произведению числителей. (слайд 12)

    3).Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде правильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. (слайд 13)

    4). Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют умножением дробей. (слайд 14)

    — Молодцы, нашли все ошибки.

    — Выставляем себе по одному баллу за каждую найденную ошибку.

    3мин

    4.Изучение нового Цель: изучить правило умножения N числа на смешанное.

    — ( слайд 15 а). А сейчас, ребята, я хочу предложить вам немного подумать как же проще (рациональней) можно умножить натуральное число на смешанное число, попытаться смоделировать это правило, найдя закономерность при умножении этих чисел.

    — Например, нам нужно умножить следующие числа: 2* 4

    — Как бы вы стали их умножать?

    — Перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем умножить.

    — Верно, по изученным правилам это возможно. Давайте найдем это значение:

    = 2 * = = = 8

    — Может еще, кто предложит свой способ умножения?

    — …

    — Посмотрите внимательно на пример и ответ. (слайд 15б)

    — Что было, а что стало с целой частью, с числителем и знаменателем?

    — Целую часть и числитель умножили на N число, а знаменатель не изменился.(слайд 15 в)

    Правильно заметили, но перед тем, как сформулировать правило, давайте еще раз проверим, выполняется ли эта закономерность при других числах. Умножив двумя способами числа… которые предложите вы сами. Одно – N число, др. – смешанное число. Будут ли у нас одинаковые результаты?

    Учащиеся придумывают числа и двое выполняют решение у доски каждый своим способом. Приходят к выводу, что ответы получились одинаковые, но вторым способом намного быстрее и проще, т.е.- рациональней. Формулируют правило, (слайд 16 ) и один записывает его модель на доске. (слайд17 )

    — Чтобы умножить смешанное число на N число, надо его целую часть и числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

    — Оказывается, есть и научное обоснование этому правилу. С помощью распределительного закона умножения, который мы повторяли на прошлом уроке. Давайте это разберем устно. Может, у кого-то из вас получиться обосновать это правило с помощью распределительного закона умножения?

    ( слайд 18)

    (Ребята с учителем доказывают правило с помощью распределительного закона умножения)

    — Молодцы! Поставьте себе по баллу за каждое верное задание выполненное у доски или верный устный ответ.

    7мин

    5.Угадай слово

    — Приступим к закреплению полученных знаний. А помогут нам в этом, уникальные животные.

    — На островах Тихого океана живут черепахи – гиганты. Они такой величины, что дети могут кататься, сидя у них на панцире. Узнать название самой крупной в мире черепахи поможет нам следующие задание. (слайд 19)

    -Выполните умножение дробей.

    — Из волшебной коробочки вы должны достать букву и перемножив соответствующие числа из таблицы, определить на какое место ее вписать. (По одному примеру обучающиеся решают у доски с комментариями, а оставшиеся примеры делят между собой, выбирая из коробочки буквы).

    — Итак, как называется самая крупная в мире черепаха?

    — Дермохелис. (слайд 20)

    — Вы ребята хорошо справились со всеми примерами. Поставьте баллы в свой оценочный лист.

    6. Проверка знаний

    — В завершении нашего урока проведем небольшой контроль знаний, что позволит понять достигли мы поставленной в начале урока цели.

    — Каждому из вас будет предложена карточка, где выполнив задания по цепочке нужно ответить на вопрос. А после поделиться с классом тем, что нового вы узнали, выполняя это задание.

    — Решаем прямо в карточке и вставляем пропущенные числа.

    Карточка 1.

    Карточка 2

    Карточка 3

    1. Какой кошке поклонялись древние индейцы?

    — Поменяйтесь карточками и проверьте решение друг у друга. Ответы записаны на доске. За каждый верный ответ – 1 балл. (слайд 22)

    — Выставляем баллы в оценочные листы. Карточки с решением сдаем.

    — Послушаем, что вы узнали о животных выполняя задание. (слайд 23,24, 25)

    (Ребята делятся своими ответами)

    2мин

    VII

    Н Д А а, б, д, е)

    + Составить решение для задачи.

    — Запишем домашнее задание (слайд 8), вы уже заметили, что оно зашифровано. А узнать его можно заменив буквы из угаданной фамилии на соответствующие числа.

    — Запишем задание на дом. № 463 а, б, д, е)

    — Задание с + для желающих получить дополнительную оценку. Составить решение для задачи, по которому, на следующем уроке, мы будем составлять условие задачи.

    — Рассмотрим № 463. Всем ли знают, как решать эти примеры?

    VIII

    Итог урока.

    — (слайд 26). Подсчитаем баллы, которые вы заработали за урок и ставим себе оценку по следующим критериям: (слайд )

    От 10 до 14 – оценка «3»

    От 15 до 19 – оценка «4»

    От 20 и выше – оценка «5».

    — Выберите смайлики, которые дадут понять как вам было на уроке. (слайд 27)

    Вам было на уроке:

    Легко

    Обычно

    Трудно

    — Молодцы! Наш урок я хочу закончить словами…(слайд 28)

    Поверь, лишь тот знаком

    С душевным наслаждением,

    Кто приобрёл его

    Трудами и терпеньем.

    (В. Гете)

    — Спасибо за урок. До свидания.

    ✅ Умножение дробей. Умножение и деление дробей

    Умножение и деление алгебраических дробей

    В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

    Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

    Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

    Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

    2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

    А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

    2 3 : 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

    Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

    Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

    В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

    Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

    Это правило можно также записать как a b : c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

    Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

    Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

    В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

    Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

    Решение

    Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

    1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 )

    Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

    1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 ) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

    Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y :

    1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

    Приведем полученную дробь к стандартному виду:

    1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 ( x + y ) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

    Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

    Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

    Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 — 1 .

    Решение

    Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

    x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1

    У нас получилась дробь, которую можно сократить:

    x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 )

    О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

    Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

    x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

    Вот запись всего решения без пояснений:

    x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

    Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2 .

    В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

    Условие: разделите 2 1 7 · x — 1 на 12 · x 7 — x .

    Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x — 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

    2 1 7 · x — 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x — 1 = 14 x — 7

    Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 — x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 — x , получим 12 · x 7 — x = — 12 · x x — 7 .

    После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

    2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = 14 x — 7 : — 12 · x x — 7 = 14 x — 7 · x — 7 — 12 · x = 14 · x — 7 x — 7 · — 12 · x = = 14 — 12 · x = 2 · 7 — 2 · 2 · 3 · x = 7 — 6 · x = — 7 6 · x

    Ответ: 2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = — 7 6 · x .

    Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

    Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

    Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 .

    Решение

    Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

    x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 — 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 ( x — 4 ) · x + 4 = ( x + 4 ) · 1 5 · x · y · ( x — 4 ) · ( x + 4 ) = 1 5 · x · y · x — 4 = = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y

    Ответ: x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y .

    Умножение и деление обыкновенных дробей

    Умножение дробей

    Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (это произведение будет числителем результата), и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (это произведение будет знаменателем результата):

    Правило умножения обыкновенных дробей в виде формулы:

    Для упрощения вычислений, ещё до выполнения умножения дробей, можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.

    При сокращении числителей со знаменателями их обычно зачёркивают и рядом пишут число, которое получилось после сокращения:

    В примере мы сократили 25 и 20 на общий делитель – 5, а 27 и 12 на общий делитель – 3.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь или наоборот – умножить дробь на натуральное число, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменений:

    Деление дробей

    При делении одной обыкновенной дроби на другую, нужно перевернуть вторую дробь и после этого умножить первую дробь на вторую, т. е. нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй (это произведение будет числителем результата), а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй (это произведение будет знаменателем результата):

    Для проверки правильности выполненного деления, можно полученное частное умножить на делитель и посмотреть, получится ли у нас делимое, если делимое получено верно, значит деление было выполнено правильно:

    Теперь осталось только сократить полученную дробь:

    Правило деления обыкновенных дробей в виде формулы:

    Иногда могут встретиться записи такого вида:

    Так как черта дроби означает деление, то такие записи можно переписать в более удобном виде:

    В записях, в которых черта дроби используется несколько раз, знак = ставится у черты дроби, означающей последнее по порядку действие деления:

    Деление дроби на натуральное число

    Чтобы обыкновенную дробь разделить на натуральное число или наоборот – натуральное число разделить на дробь, нужно просто представить натуральное число в виде дроби.

    Калькулятор умножения и деления дробей

    Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение или деление обыкновенных дробей. Просто введите две дроби, выберите нужную операцию и нажмите кнопку Вычислить .

    Kid-mama

    Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

    Main menu

    Умножение и деление обыкновенных дробей

    Умножение дробей

    Например:

    Например:
    Деление дробей

    Для того, чтобы понять, как делить одну дробь на другую, нужно сначала вспомнить, что такое взаимно обратные числа :

    Чтобы найти обратное число у дроби, нужно просто перевернуть эту дробь.

    При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1 .

    Например:

    Ещё примеры деления дробей:

    Тренажёр 1

    Умножение и деление обыкновенных дробей

    Навигация (только номера заданий)

    0 из 20 заданий окончено

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5
    6. 6
    7. 7
    8. 8
    9. 9
    10. 10
    11. 11
    12. 12
    13. 13
    14. 14
    15. 15
    16. 16
    17. 17
    18. 18
    19. 19
    20. 20
    Информация

    Выполните умножение или деление и введите ответ. Сократите дробь, если это возможно. Неправильную дробь переведите в смешанное число, иначе будет засчитана ошибка.

    Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

    Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

    Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

    Результаты

    Правильных ответов: 0 из 20

    Вы набрали 0 из 0 баллов ( 0 )

    Рубрики
    1. Нет рубрики 0%
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5
    6. 6
    7. 7
    8. 8
    9. 9
    10. 10
    11. 11
    12. 12
    13. 13
    14. 14
    15. 15
    16. 16
    17. 17
    18. 18
    19. 19
    20. 20
    1. С ответом
    2. С отметкой о просмотре
    Тренажёр 2

    Деление обыкновенных дробей

    Навигация (только номера заданий)

    0 из 20 заданий окончено

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5
    6. 6
    7. 7
    8. 8
    9. 9
    10. 10
    11. 11
    12. 12
    13. 13
    14. 14
    15. 15
    16. 16
    17. 17
    18. 18
    19. 19
    20. 20
    Информация

    Тренируемся делить обыкновенные дроби. Если вы забыли, как это делается, напоминаем, что деление на дробь выполняется при помощи умножения на обратную дробь. Подробно обо всех случаях деления читайте в статьях:

    Некоторые примеры сложно решить в уме, поэтому решайте их на бумаге. В каждом примере необходимо ввести только ответ. Если получилась неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную, то есть выделить целую часть. После того, как введете все числа, нажмите кнопку «Проверить». При неправильном значении число выделится красным цветом, а в скобках рядом будет показан правильный ответ.

    Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

    Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

    Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

    Источники:

    http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/umnozhenie-i-delenie-algebraicheskih-drobej/
    http://naobumium.info/arifmetika/obyknovennye_drobi7.php
    http://kid-mama.ru/obyknovennye-drobi/umnozhenie-i-delenie-obyknovennyx-drobej/

    Урок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень». Умножение алгебраических дробей Правила умножения и деления алгебраических дробей

    Тема: Умножение и деление алгебраических дробей

    Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто

    Лауэ

    Цели:

    Образовательные:

    закрепить ЗУН по теме

    провести первичный текущий контроль знаний

    работать над пробелами

    Развивающие:

    способствовать развитию коммуникативной компетенции, т.е. умению эффективно сотрудничать с другими людьми.

    способствовать развитию кооперативной компетенции, т.е. умению работать в парах.

    способствовать развитию проблемной компетенции, т.е. умению понимать неизбежности возникновения трудностей в ходе любой деятельности.

    Воспитательные:

    прививать умение адекватно оценивать работу, проделанную товарищем;

    при работе в парах воспитывать качества взаимопомощи, поддержки.

    Методические:

    создание условий для проявления индивидуальности, познавательной активности учащихся;

    показать методику проведения урока с проектированием результатов учебной деятельности и способам их исследования на основе компетентностного подхода.

    Оборудование: доска, цветной мел. Таблица «Умножение и деление алгебраических дробей»; карточки для индивидуальной работы, карточки-«памятки». Задание в свободную минуту.

    Ход урока

    Организационный момент

    План урока записан на доске:

    Устная разминка.

    Индивидуальная работа.

    Решение заданий.

    Парная работа.

    Итог урока.

    Домашнее задание.

    Учитель: В старину на Руси считалось, что если человек был сведущ в математике, то это означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали насколько они мудры и насколько сведущие люди в алгебре 7 класса.

    Итак, тема урока «Умножение и деление алгебраических дробей» На прошлом уроке вы начали изучать данную тему, и мы обсуждали, зачем ее изучаем. Давайте вспомним, где она нам пригодится уже через несколько уроков.

    Учащиеся: Для совместных действий с алгебраическими дробями, для решения уравнений, а значит и задач.

    Учитель: Еще в старину на Руси говорили, что умноженье — мученье, а с делением — беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно умножать и делить считался большим математиком.

    Какие вы цели поставите перед собой?

    Учащиеся: Продолжить изучать тему, научиться быстро и безошибочно умножать и делить.

    Учитель: Чтобы достичь поставленных целей мы (открывает план, записанный на доске, проговаривает его)

    1. Устная разминка: (в это время 3 — 4 человека решают тренажер по сокращению дробей в парах) разложите на множители, заполнив пропуски

    1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…

    сократите дробь

    Дроби, дроби, дроби бей сокращай их не жалей.

    найдите ошибку, допущенную при умножении и делении алгебраических дробей

    Учитель: Где допущена ошибка? Почему ошибка допущена? Какого правила, ученик не знал? Какое знал? Как надо правильно сделать?

    2. Работа в тетради, № из учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.

    Учитель: А сейчас вам представится возможность показать свои знания при выполнении теста, а чтобы воодушевить вас на работу прочитаю стишок «Чтоб записал учитель «5» в твой дневник числитель на числитель сумей умножить вмиг, а чтоб преподаватель доволен был тобой, ты первый знаменатель умножишь на второй»

    Самопроверка, взаимопроверка. По критериям (вывешены на доске) В-1 (321), В-2 (132) по правильным кодам оценивание в парах. Первоначальный результат. Оценки.

    Работа над ошибками в парах «ученик-учитель»

    Если в парах нет ошибок делают задание в свободную минуту.

    Упростите выражение и найдите его значение при

    5. Итог урока

    В заключение урока, мне хотелось бы узнать у вас, какие виды работы вызвали у вас затруднения? Как вы думаете, почему? Что узнали нового? Кто из вас доволен своей работой на уроке? Как вы считаете, цели, поставленные в начале урока достигнуты?

    Учитель: Закончить урок я хотела бы словами французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто»

    Надеюсь, что этот материал вы не забудете, чтобы этого не случилось надо выполнить д/з №486,487,488 четные.

    Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:

    если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.

    Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.

    Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:

    Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:

    Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь отрицательна, а дробь положительна; поэтому, например, от деления на должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение должно выразить отрицательное число, т. е. равенство оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d . Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств

    и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.

    Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.

    На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

    Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

    Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

    Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

    То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

    Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

    Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

    Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

    Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

    Пример 1

    Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

    Пример 2

    Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

    Пример 3

    Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

    Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

    Пример 4

    Пример 5

    Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

    Пример 6

    Пример 7

    Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

    Пример 8

    Пример 9

    Пример 10

    Пример 11

    Пример 12

    Пример 13

    До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

    Пример 14

    Пример 15

    Пример 16

    Пример 17

    Пример 18

    В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

    Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

    Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

    Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

    2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

    А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

    2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

    Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

    Определение 1

    Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

    В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

    Определение 2

    Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

    Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

    Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

    Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

    В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

    Пример 1

    Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

    Решение

    Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

    1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)

    Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

    1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

    Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:

    1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

    Приведем полученную дробь к стандартному виду:

    1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

    Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

    Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

    Пример 2

    Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 — 1 .

    Решение

    Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

    x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x — 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1

    У нас получилась дробь, которую можно сократить:

    x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x — 1)

    О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

    Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

    x + 1 3 · x 2 · (x — 1) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

    Вот запись всего решения без пояснений:

    x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x — 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x — 1) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

    Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2 .

    В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

    Пример 3

    Условие: разделите 2 1 7 · x — 1 на 12 · x 7 — x .

    Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x — 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

    2 1 7 · x — 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x — 1 = 14 x — 7

    Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 — x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 — x , получим 12 · x 7 — x = — 12 · x x — 7 .

    После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

    2 1 7 · x — 1: 12 · x 7 — x = 14 x — 7: — 12 · x x — 7 = 14 x — 7 · x — 7 — 12 · x = 14 · x — 7 x — 7 · — 12 · x = = 14 — 12 · x = 2 · 7 — 2 · 2 · 3 · x = 7 — 6 · x = — 7 6 · x

    Ответ: 2 1 7 · x — 1: 12 · x 7 — x = — 7 6 · x .

    Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

    Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

    Пример 4

    Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 .

    Решение

    x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 — 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x — 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x — 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x — 4 = = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y

    Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Главная » Н. А. Некрасов » Урок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень». Умножение алгебраических дробей Правила умножения и деления алгебраических дробей

    Как умножить число на десятичную дробь?

    Как умножить число на десятичную дробь?

    Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую; 2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

    Как правильно умножать числа с запятой?

    Умножение десятичных дробей

    1. Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
    2. Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.
    3. В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

    Как умножить десятичную дробь на десятичную дробь?

    Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо: 1) умножить дроби, не обращая внимания на запятые; 2) посчитать общее количесво цифр после запятой в обеих дробях и столько цифр справа в полученном числе отделить запятой.

    Как умножить десятичную дробь на смешанное число?

    Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение. Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число . Так как 0,4=4/10=2/5 и , то .

    Как умножить дробь на целое число?

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения. Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Как решать целые числа с дробями?

    Алгоритм расчета:

    1. Приводим дроби к общему знаменателю.
    2. Складываем дроби
    3. Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
    4. Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.

    Как найти одну десятую часть от числа?

    Чтобы найти десятую часть числа, надо число разделить на 10 и умножить на 1.

    Чему равна три четверти часа?

    Три четверти часа — 45 минут.

    Как пишется рукав три четверти?

    Очень мучает вопрос, как правильно писать такие слова и как объяснить их написание: платок каре (или платок-каре?), карман-кенгуру, рукав три четверти, рукав реглан, рукав летучая мышь, воротник-лодочка,трусы-бразилиана, жакет «Бар», трусы-слипы, ботинки монки, воротник-апаш, воротник-стойка.

    Сколько в мл 3 4 стакана?

    Три четверти стакана (3/4 стакана объемом 200 мл) это 150 грамм воды.

    Сколько это три четверти стакана?

    Три четвёртых стандартного стакана – это 150 мл.

    Умножение обыкновенных дробей – примеры, правило (6 класс, математика)

    Умножение обыкновенных дробей – это самое простое действие с дробями, которое себе можно представить в 6 классе. Разберем в подробности все особенности этого действия.

    Что такое дробь?

    Дробью называют часть единицы, которую используют для вычислений. То есть, целое разделили на какое-то количество частей, причем некоторое количество таких частей были взяты и использованы для вычислений.

    Для того, чтобы пользоваться таким числом нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько таких частей взяли для расчета.

    Поэтому дробь записывается с помощью черты. Число под чертой называется знаменатель. Именно оно обозначает количество частей, на которое поделили целое. Над чертой записывается знаменатель. Это количество частей, которые были взяты для расчета.

    Выделяют несколько видов дробей:

    • Правильная дробь. Эту дробь также называют обыкновенной. Это число, у которого числитель меньше знаменателя.
    • Неправильная дробь. Это дробь, у которой числитель больше знаменателя.
    • Смешанное число. Это дробь, которая имеет две части: целую и дробную. Смешанные числа стараются не использовать при расчетах. Куда чаще неправильную дробь преобразуют в смешанное число, чтобы записать результат. Записывать ответ в виде неправильной дроби считается некрасивым.
    • Десятичная дробь. Это дробь, записанная в строку с помощью разделительной запятой. Количество знаков после запятой равняется степени 10, которая находится в условном знаменателе дроби.

    Смешанным числом может быть как обыкновенная, так и десятичная дробь. Но нельзя называть какую-либо десятичную дробь правильной или неправильной. Это другой подвид чисел. Все дроби вместе принадлежат к подмножеству рациональных чисел и называются дробно-рациональными числами.

    Умножение дробей

    Умножать дроби достаточно просто. Для этого числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель – правило достаточно простое. Объясним, почему умножение выполняется именно так. Для этого нужно сказать, что дробь считается незавершенной операцией деления. То есть любое дробное число можно заменить на деление. Это выглядит так:

    ${3over{5}}=3:5$

    Тогда умножение дробей можно записать так:

    ${3over{5}}*{4over{8}}= (3:5)*(4:8)$ – а при умножении таких скобок можно умножить отдельно делители и делимые не меняя конечного результата. Тогда:

    $(3:5)*(4:8)=(3*4):(5*8)=15:32$ – завершать операцию деления нам не нужно, просто вернем числу вид дроби.

    $15:35={15over{32}}$ – если пропустить все промежуточные действия, то получится, что действия выполняются точно так же, как в правиле. То есть числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель.

    Что мы узнали?

    Мы поговорили о дробях. Вспомнили все виды дробей и их особенности. Рассказали все об умножении обыкновенных дробей. Сказали, почему это действие производится именно в таком порядке. Все объяснения подтвердили примером умножения обыкновенных дробей.

    Предыдущая

    МатематикаСокращение дробей – примеры, правила, формулы (6 класс, математика)

    Следующая

    МатематикаУмножение смешанных дробей – правило как умножать

    Как умножать дроби | Math Dude

    В последней статье «Является ли умножение повторяющимся сложением?» мы говорили о том, что на самом деле означает умножение двух чисел. Мы обнаружили, что обычное значение умножения — «повторяющееся сложение» — нарушается при умножении дробей, и вместо этого мы должны думать об умножении как о процессе, который масштабирует одно число на некоторую другую величину. Как мы обсудим через минуту, умножение довольно просто делать с целыми числами. Но надо признать, что с дробями немного сложнее.Хотя к концу этой статьи вы станете экспертом в умножении дробей.

    Обзор: что такое умножение? Что такое дроби?

    Хорошо, давайте начнем с обзора различных игроков в нашей истории, чтобы убедиться, что все в курсе. Как мы подробно обсуждали в прошлой статье, мы можем представить значение умножения, думая о числовой прямой. Например, 5 x 2 можно представить как число, которое вы получите, если растянете палочку длиной 5 единиц, лежащую вдоль числовой прямой, до тех пор, пока она не станет в два раза больше своей первоначальной длины, то есть до тех пор, пока она не станет палочкой длиной 10 единиц (таким образом, 5 х 2 = 10).Однако все становится немного странным, когда мы говорим о дробях. Помните, дроби — это просто числа, которые существуют между целыми числами вдоль числовой прямой. Таким образом, становится ясно, что мы все еще можем растянуть вдоль числовой прямой палочки, имеющие дробную длину, на какую-то другую дробную величину. Например, 1/2 x 1/3 можно рассматривать как растяжение (или, в данном случае, сжатие) палки длиной 1/2 единицы до тех пор, пока она не станет на 1/3 своего исходного размера, а новая длина будет равна 1/6. Блок. Но как это работает в целом? Как мы можем легко вычислить окончательную «длину» при умножении любых двух дробей?

    Связь между дробями и делением

    Итак, начнем с того, что вспомним очень важную связь между дробями и делением.Возьмем, к примеру, дробь 1/2. Мы можем думать о 1/2 двумя разными, но в конечном итоге эквивалентными способами:

    Может показаться, что они идентичны, но это не так. Первый описывает типичное значение дроби как части целого; второй вместо этого рассматривает дробь как означающую «число, которое вы получите, разделив 1 на 2». Или, для дроби 3/4, «число, которое вы получите, разделив 3 на 4». Как вы вскоре увидите, эта интерпретация, использующая связь между дробями и делением, является ключом к пониманию того, как умножать дроби!

    Как умножить дробь на целое число

    Перед тем, как мы приложим все усилия и умножим две дроби вместе, давайте сначала поговорим о том, как умножить одно дробное число на одно целое число, скажем, о такой задаче, как 2 x 1/2.Согласно нашей картинке с растягиванием палочек вдоль числовой линии, нам просто предлагается сжать палочку длиной в 2 единицы до половины ее первоначальной длины. Конечно, ответ 1, но каков общий метод решения подобных проблем? Вот здесь-то и пригодится взаимосвязь между дробями и делением, о которой мы говорили ранее. Поскольку дробь 1/2 означает «один разделить на два», задачу 2 x 1/2 можно интерпретировать как «два раза один разделить на два». Другими словами, при умножении целого числа на дробь просто умножьте целое число на числитель дроби, а затем разделите этот результат на знаменатель дроби.Так что задача 2 х 1/2 («дважды пополам») эквивалентна задаче 2 х 1/2 («дважды один разделить на два»). Другими словами, сначала умножьте 2 на 1, получив 2, а затем разделите этот результат на 2. Итак, 2/2 = 1.

    Как умножать дроби

    Наконец, мы готовы перемножить две дроби. На самом деле, вы могли этого не осознавать, но мы уже это сделали! Потому что любое целое число, например 2, на самом деле можно рассматривать как дробь, поскольку дробь 2/1 имеет то же значение, что и 2.Таким образом, задачу 2 x 1/2 можно рассматривать как 2/1 x 1/2. Используя связь между дробями и делением, это становится 2 / 1 x 1 / 2 («два, разделенные на один, умноженные на один, разделенный на два»). Неудивительно — ответ по-прежнему 1.

    На основе этой логики есть также удобный мысленный алгоритм, который поможет вам быстро умножать дроби. Быстрый и грязный совет состоит в том, чтобы умножить все числители дробей в вашей задаче вместе, чтобы получить числитель результирующей дроби, и перемножить все знаменатели дробей в вашей задаче вместе, чтобы получить знаменатель результирующей дроби. .Таким образом, для такой задачи, как 1/8 x 3/5, числитель полученной дроби равен 1×3 (это 1 от 1/8 и 3 от 3/5), что равно 3, а знаменатель результирующая дробь равна 8×5 (это 8 от 1/8 и 5 от 3/5), что равно 40. Таким образом, ответ на 1/8 x 3/5 = (1×3) / (8×5) = 3/ 40. Вот и все! Это не волшебство, это не связано с какой-то непонятной формулой, которую кто-то вытащил из шляпы и сказал вам использовать, это просто результат логики, вытекающей из того, что мы открыли в математике.

    Подведение итогов

    Хорошо, это все, на что у нас есть время на математику.

    Пожалуйста, присылайте свои математические вопросы и комментарии по адресу [email protected] Вы можете получать обновления о подкасте Math Dude, «Video Extra!» выпуски на YouTube и все другие мои размышления о математике, науке и жизни в целом, подписавшись на меня в Твиттере. И не забудьте присоединиться к нашему большому сообществу любителей математики в социальных сетях, став поклонником Math Dude на Facebook.

    До встречи в следующий раз, это Джейсон Маршалл с «Быстрыми и грязными советами чувака-математика, чтобы сделать математику проще».Спасибо за внимание, любители математики!

    Изображение предоставлено Shutterstock

    Как научить умножать дроби с помощью шаблонов — смешивание и математика

    Для четвертого класса большинство государственных стандартов останавливаются здесь (конечно, проверьте свои собственные стандарты, чтобы быть уверенным!). Однако для пятого класса им нужно понять другой тип задачи на умножение дробей.

    Задачи на частичные группы

    Цель этого шага в последовательности умножения состоит в том, чтобы учащиеся начали рассматривать умножение как масштабирование , в частности изменение размера, чтобы найти часть группы . Это может показаться большим отклонением от того, что ученики думают они знают об умножении, а именно: «умножение делает числа больше!»

    Именно в этот момент они узнают, что умножение может привести к меньшему произведению, а это означает, что мы обязательно должны дать учащимся возможность смоделировать эту концепцию, , иначе это может показаться невероятно запутанным!

    Часть целого

    Первый тип задачи на неполные группы — найти часть целого .

    Давайте вернемся к нашей реальной ситуации с кормом для собак, чтобы посмотреть, как это выглядит.

    На прошлой неделе собака Стеллы съела ⅔ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было 3 фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?

    Хотя уравнение для этой задачи такое же, как и для предыдущей задачи (⅔ x 3 против 3 x ⅔), процесс моделирования выглядит совсем по-другому. В этом случае учащиеся должны понимать, что они находят ⅔ группы из 3 человек.Другими словами, это ⅔ из 3.

    Ученикам нужно много возможностей с обоими типами задач, чтобы распознать их обе как умножение!

    Чтобы смоделировать ⅔ из 3, учащиеся должны начать с 3 целых, а затем им нужно будет выяснить, как разделить их на трети (или три равные группы). Они увидят, что им нужно вложить одно целое в каждую из третей. Поскольку мы хотим знать, что такое ⅔ от 3, мы знаем, что ответ будет включать в себя две трети, что составляет два целых, потому что в каждой трети есть одно целое.На рисунке ниже показано, как это смоделировать.

    Как умножать дроби, примеры

    Умножение дробей: Умножение дробей очень просто — просто умножьте числитель и знаменатель и при необходимости упростите полученную дробь. Умножение на дробь не увеличивает стоимость произведения.

    Стоимость продукта зависит от множителей и уменьшается с уменьшением значения множителей и увеличивается с увеличением значения множителей.Числитель множителей дает нам представление о том, сколько раз числитель множимого должен использоваться в качестве сложения.

    Основное правило умножения дробей:

    Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет значения дроби. Это один из самых важных шагов, используемых при уравнивании дробей.

    Содержание
    1. Как умножать фракции
    2. Примеры
    3. Смешанные номера
    4. Смешанные номера
    5. В отличие от знаменателей
    6. Отрицательные дроби
    7. Отрицательные фракции
    8. Слово задачи
    9. Калькулятор

    Как умножить фракции

    для умножения две фракции, мы следуем трем основным шагам, которые показаны следующим образом:

    1. Умножьте верхние числа (числители) данных дробей.
    2. Умножьте нижние числа (знаменатели) данных дробей.
    3. При необходимости упростите дробь.

    Когда нам нужно умножить m и n, это означает, что m добавляется к самому себе n раз. Мы можем выполнять умножение всех чисел и дробей. Мы можем выполнять различные операции с дробями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте посмотрим, как мы можем умножить две дроби в деталях.

    Каждая дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.Если есть две дроби a/b и c/d, где все a, b, c и d являются целыми числами, a/b×c/d=a×c/b×d

    Дробь является одним из наиболее важных понятий математики. Фракция определяется как равное количество одного целого объекта. Его можно представить как a/b, где «a» обозначает значение, называемое числителем, b, не равное нулю, а «b» обозначает значение, называемое знаменателем.

    Эти дроби в основном используются для сравнения частей и целого. Дробь может быть частью объекта или группы объектов.Каждая группа или доля более известна как одна половина, и то же самое относится и к другим фракциям.

    Примеры умножения дробей

    Здесь показаны решенные примеры, которые помогут вам понять, как умножать дроби, с пошаговым объяснением:

    Простым способом: это простой способ упростить путем «отмены» перед выполнением умножения. Это деление одного множителя верхних чисел и одного множителя нижних чисел на одно и то же число.

    Вопрос 1: (1/2) × (2/5)

    Решение:

    Шаг 1: Умножьте верхние числа: (1 × 2) = 2.

    Шаг 2: Умножьте нижние числа: (2 × 5) = 10.

    Положите произведение числителей на произведение знаменателей => 2/10.

    Шаг 3: Упростите дробь: 2/10. Теперь разделите числитель и знаменатель на 2. Вы получите 1/5.

    Правильный ответ: 1/5

    Вопрос 2: Умножьте 2/9 и 3/12

    Решение:

    Шаг 1: Умножьте числители: (2 × 3) = 6

    Шаг 2: Умножьте знаменатели: (9 × 12) = 108

    Положите произведение числителей на произведение знаменателей => (6/108)

    Шаг 3: Упростите дробь 6/108.Вы получите 1/18

    Правильный ответ: 1/18

    Вопрос 3: Умножьте смешанные дроби (3 1/4)×(3 1/3)

    Решение:

    Шаг 1: Преобразуйте обе неправильные дроби дроби

    (3 1/4) x (3 1/3 ) = (13/4) x (10/3)

    Шаг 2: Умножьте

    13/4 × 10/3 = 130/12

    Шаг 3. Преобразовать в смешанное число (и упростить):

    130/12 = 10 10/12 = 10 5/6

    Правильный ответ: 10 5/6

    Умножение дробей с целыми числами

    Для умножения целое число с правильной или неправильной дробью, мы умножаем целое число на числитель дроби, сохраняя знаменатель одинаковым.Знаменатель и числитель вместе называются дробью, a/b, верхнее число в дроби, a, является числителем, а нижнее число, b, является знаменателем.

    Решено Пример:

    Вопрос: Умножить дробь 2/7 на целое число 3

    Решение:

    Дано 2/7 x 3

    Перепишем 3 как 3/1

    9000/7 Теперь умножим 3/1

    = 2×3/7×1

    = 6/7

    Умножение смешанных дробей на целые числа

    При умножении дробей дробь умножается на другую дробь, умножение дроби на смешанное число, умножение дробь на целое число, умножение смешанных дробей на целое число.

    Здесь мы изучаем принцип умножения смешанных дробей на целые числа.

    Как умножать смешанные дроби на целые числа

    Чтобы умножать любые смешанные числа и целые числа, запишите смешанные числа в виде дробей. Напишите целые числа над знаменателем. Смешанное число – это целое число и дробь, выраженные вместе.

    Шаги для умножения смешанных дробей на целые числа:

    1. Преобразование смешанной дроби и целого числа в неправильную дробь.
    2. Умножьте числители дробей.
    3. Умножьте знаменатели.
    4. При необходимости упростите дробь.

    Умножение дроби на целое число:

    Умножение 4/5 и 3

    Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь.

    Число 3 — дробь 3/1.

    Шаг 2: Перемножьте две дроби.

    4/5 x 3/1 = 4×3/5×1 = 12/5

    Умножение смешанных дробей на целые числа Примеры

    Вопрос 1. Умножение 3 5/6 на 7

    Решение:

    Дано 3 5/6 x 7

    Шаг 1: Уменьшить 3 5/6 и 7

    3 5/6 = 23/6

    и

    7 = 7/1

    Шаг 2: Умножить числители обеих дробей

    23 x 7 = 161

    Шаг 3: Умножьте знаменатели 7

    Решение:

    Дано 5 x 2 5/7

    Шаг 1: уменьшить 5 и 2 5/7

    5 = 5/1

    и

    2 5/7 = 19/7

    3

    2 : Умножьте числители обеих дробей

    5 × 19 = 95

    Шаг 3: Умножьте знаменатели

    1 × 7 = 7

    Шаг 4:

    5×19/1×7 = 905/39007 900 Вопрос 3: Решите от 9 1/3 до 4

    Решение :

    Дано 9 1/3 x 4

    Шаг 1: Уменьшите 9 1/3 и 7

    9 1/3 = 28/3

    и

    4 = 4/1

    Шаг 2: Умножьте числитель обеих дробей

    28 × 4 = 112

    Шаг 3: Умножьте знаменатели

    3 × 1 = 3

    Шаг 4:

    28×4/3×1 = 112/3

    4000 Решить вопрос 3 3/2 x 6

    Решение:

    Дано 3 3/2 × 6

    Шаг 1: Уменьшить 3 3/2 и 6

    3 3/2 = 9/2

    и

    6 = 6/ 1

    Шаг 2: Умножьте числители

    9 × 6 = 54

    Шаг 3: Умножьте знаменатели

    2 × 1 = 2

    Шаг 4:

    = 9×5/2×1

    = 27

    Умножение дробей с разными знаменателями

    Отличие знаменателей означает, что члены знаменателя состоят из разных чисел.Например, 1/2 х 3/5, это называется умножением дробей с разными знаменателями.

    Как умножать дроби с разными знаменателями

    Шаги для умножения дробей с разными знаменателями:

    1. На первом этапе мы должны записать заданные числа дробей для умножения.
    2. На следующем шаге мы должны проверить члены знаменателя.
    3. Согласно этому знаменателю мы должны умножить данные дроби.

    Умножение дробей с разными знаменателями Примеры

    Вопрос 1: Умножьте данные дроби с разными знаменателями, 2/3 и 4/5

    Решение:

    Шаг 1: Запишите данную дробь с разными знаменателями,

    2/ 3 x 4/5

    Шаг 2: На следующем шаге мы должны умножить числители,

    2 x 4 = 8

    Шаг 3: На следующем шаге мы должны умножить члены знаменателя, мы получим,

    3 x 5 = 15

    Шаг 4: Теперь мы должны объединить полученный результат,

    8/15

    Это необходимое решение для умножения дробей с разными знаменателями.

    Вопрос 2: Умножьте данные дроби с разными знаменателями, 3/6 и 9/3

    Решение:

    Шаг 1: Запишите данную дробь с разными знаменателями,

    3/6 x 9/3

    Шаг 2 : На следующем шаге мы должны умножить числители,

    3 x 9 = 27

    Шаг 3: На следующем шаге мы должны умножить члены знаменателя, мы получим,

    6 x 3 = 18

    Шаг 4: Теперь мы должны объединить полученный результат,

    27/18

    = 3/2

    Умножение отрицательных дробей

    Умножение отрицательных дробей не что иное, как операция умножения с отрицательными целыми числами.

    Решенные Примеры:

    Вопрос 1: Умножение дроби со знаком -2/3 и -4/5

    Решение:

    Учитывая, что нам нужно умножить дроби -2/3 и -4/5

    Дроби умножить по формуле a∗c/b∗d

    Здесь a = -2, b = 3, c = -4, d = 5.

    = a∗c/b∗d

    = (−2) x(−4)/3×5, решая его, получаем

    = 8/15

    Вопрос 2: Умножение дроби со знаком 6/7 и −8/10

    Решение:

    Учитывая, что нам нужно умножить дроби 6/7 и −8/10

    Здесь a = 6 b = 7, c = -8, d = 10.

    = a∗c/b∗d

    = (+6)×(−8)/7×10, решая его, получаем

    = −48/70

    Умножение дробей Словесные задачи

    Ниже вы можете видеть задача на умножение дробей.

    Вопрос: Эмма читает книгу по 1 3/4 часа каждый день. Она читает всю книгу за 6 дней. Сколько часов всего потребовалось ей, чтобы прочитать книгу?

    Решение:

    Эмма читает книгу 1 3/4 часа в день.

    В течение 6 дней Эмме необходимо прочитать ,

    1 3/4 x 6

    Преобразовать смешанную дробь в простую.

    1 3/4 = 1 + 3/4

    = 1/1 + 3/4

    = 1/1 x 4/4 + 3/4

    = 4/4 + 3/4

    = ( 4+3)/4

    = 7/4

    Таким образом, для 6 дней 6 x 7/4

    = (6×7)/4

    = 42/4

    Калькулятор умножения дробей

    Используйте наш калькулятор умножения дробей Калькулятор умножения простых и смешанных дробей. Введите значения в калькулятор дробей, затем выберите операцию умножения (х) и нажмите кнопку расчета. Он показывает пошаговое решение вместе с окончательным результатом.

    Калькулятор умножения фракций

    Snow Sprint — Arcademics

    Математические игры, дробные игры

    Snow Sprint — это многопользовательская математическая игра, в которой учащиеся со всего мира могут соревноваться друг с другом, практикуясь в умножении дробей!

    Содержание: Умножение дробей

    Стандарты: 5.NF.B.4: Применение и расширение предыдущего понимания умножения для умножения дроби или целого числа на дробь

    Классы: Класс 5, Класс 6

    Игроки: 12

    Бонусы

    Усиление цвета

    Разблокируйте специальные цвета персонажей, заработав 100 очков.Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Включение шаблонов

    Разблокируйте цветовые узоры персонажей, заработав 250 очков. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Повышение мощности бустера

    Разблокируйте бустер, заработав 500 очков. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Молниеносное усиление

    Разблокируйте освещение, заработав 1000 очков. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Значки

    1 место

    Заработайте 20 очков за первое место в игре для 4 игроков.Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    В огне

    Заработайте 20 баллов за ответ на 100 % со скоростью 30 ошибок в минуту. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Сыгранные игры Цель

    Заработайте 20 очков, сыграв 10 игр. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Цель скорости

    Заработайте 20 баллов за скорость 30/мин. Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Побей мой лучший

    Заработайте 50 очков за то, что 3 раза побьете свой лучший результат.Войдите в Arcademics Plus, чтобы заработать это.

    Серия попаданий

    Заработайте 50 баллов за правильный ответ на 100 вопросов подряд.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.