6 класс. Математика. Вычитание положительных и отрицательных чисел — Вычитание

Комментарии преподавателя

Этим уро­ком мы за­кан­чи­ва­ем изу­че­ние раз­де­ла «Сло­же­ние и вы­чи­та­ние по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел». По­лу­чен­ные при изу­че­нии этого раз­де­ла зна­ния поз­во­лят нам по­смот­реть на хо­ро­шо зна­ко­мое ариф­ме­ти­че­ское дей­ствие вы­чи­та­ние дру­гим гла­за­ми.

Вы­чи­та­ние – это дей­ствие, об­рат­ное сло­же­нию.

Если нас про­сят, на­при­мер, вы­честь 8 из 11, то нам надо найти число, ко­то­рое нужно при­ба­вить к 8, чтобы по­лу­чить 11. Ясно, что это число 3. С дру­гой сто­ро­ны, если к 11 при­ба­вить  , мы тоже по­лу­чим 3.

Таким об­ра­зом, вы­честь 8 и при­ба­вить    – это одно и то же дей­ствие.

Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло.

Чтобы из дан­но­го числа вы­честь дру­гое, надо к умень­ша­е­мо­му при­ба­вить число, про­ти­во­по­лож­ное вы­чи­та­е­мо­му.

При­мер1.

Для того чтобы из  вы­честь  , за­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем, а число 14 – ему про­ти­во­по­лож­ным. Вы­пол­ним сло­же­ние от­ри­ца­тель­ных чисел.

При­мер 2.

Для того чтобы из  вы­честь , за­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем. Затем сло­жим числа с раз­ны­ми зна­ка­ми.

При­мер 3.

Вы­чтем из числа 10 число . За­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем, а число  – ему про­ти­во­по­лож­ным. По­лу­чим число 13. За­ме­тим, что в дан­ном при­ме­ре два знака минус, ко­то­рые сле­до­ва­ли друг за дру­гом, мы за­ме­ни­ли зна­ком плюс. Это удоб­ный тех­ни­че­ский прием.

За­ме­тим, что в по­доб­ных слу­ча­ях его при­ме­ня­ют все­гда. При этом про­ме­жу­точ­ные рас­суж­де­ния опус­ка­ют.

При­мер 1.

В этом при­ме­ре два знака минус идут под­ряд. Их можно за­ме­нить зна­ком плюс.

 

При­мер 2.

За­ме­ним два знака минус, иду­щих под­ряд, зна­ком плюс.

При­мер 3.

Вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом, за­ме­ним два знака минус, ко­то­рые сле­ду­ют друг за дру­гом, зна­ком плюс.

Сфор­му­ли­ру­ем за­ме­ча­ние.

Любое вы­ра­же­ние, со­дер­жа­щее лишь знаки сло­же­ния и вы­чи­та­ния, можно рас­смат­ри­вать как сумму.

Упраж­не­ние. Рас­смот­ри­те дан­ные вы­ра­же­ния и ука­жи­те каж­дое сла­га­е­мое в сумме.

        Это сумма числа .

            Пер­вое сла­га­е­мое – это число , вто­рое – число .

       Это сумма чисел  и  

    Это сумма, ко­то­рая со­сто­ит из трех сла­га­е­мых: 10,  и  .

    Пер­вое сла­га­е­мое – это  , 9 – вто­рое сла­га­е­мое,  – тре­тье сла­га­е­мое.

   Это сумма  чисел  .   

 

За­ме­на дей­ствия вы­чи­та­ния дей­стви­ем сло­же­ния поз­во­ля­ет в неко­то­рых слу­ча­ях зна­чи­тель­но упро­стить вы­чис­ле­ния за счет при­ме­не­ния пе­ре­ме­сти­тель­но­го и со­че­та­тель­но­го за­ко­нов сло­же­ния.

При­мер 1.

Сна­ча­ла за­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем. Ясно, что удоб­но сло­жить  и ; по­лу­чим число . Затем при­ба­вим к нему 56.

При­мер 2.

За­ме­ним вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем и вы­бе­рем удоб­ный по­ря­док дей­ствий. Сло­жим вна­ча­ле  и , а затем к по­лу­чен­но­му ре­зуль­та­ту при­ба­вим .

При­мер 3.

За­ме­нив  вы­чи­та­ние сло­же­ни­ем, за­ме­тим, что пер­вое и тре­тье сла­га­е­мое в сумме дают ноль. Зна­чит, зна­че­ние чис­ло­во­го вы­ра­же­ния равно вто­ро­му сла­га­е­мо­му.

Длина от­рез­ка АВ по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко еди­ниц надо при­ба­вить к числу , чтобы по­лу­чи­лось число 9. Зна­чит, длина от­рез­ка АВ равна раз­но­сти чисел 9 и . Итак, длина от­рез­ка АВ равна 14.

За­ме­тим, что в дан­ной за­да­че мы вы­чи­та­ли от­ри­ца­тель­ное число.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, най­дем длину от­рез­ка АВ. Она равна раз­но­сти чисел   и , то есть равна 4.

Сде­ла­ем вывод.

Чтобы найти длину от­рез­ка на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, надо из ко­ор­ди­на­ты пра­во­го конца вы­честь ко­ор­ди­на­ту его ле­во­го конца.

источнки видео — http://www.youtube.com/watch?v=sHK23UZszYs

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=Y3f9MTK86WY

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/tema/vychitanie-2?seconds=0&chapter_id=1818

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/vychitanie-klass.html

Математика. Сложение и вычитание | Сайт Леонида Некина

«Вот смотри, я написал на бумаге

$6 + 2$

Это называется шесть плюс два. Это значит, что ты вначале берешь у папы шесть конфет, а потом еще две. Сколько всего конфет тебе достанется? Раз ты пока этого не знаешь, то давай сначала потренируемся на счетах. Мы откладываем на счетах шесть бусинок и затем добавляем к ним еще две. Сколько всего бусинок получилось? Правильно, восемь. Записываем ответ:

$6 + 2 = \underline{\,8\,}$

Шесть плюс два равно восемь. Мы решили пример на сложение: мы сложили числа $6$ и $2$ и в результате получили $8$. Вот, держи восемь конфет. (Разумеется, речь идет о крошечных конфетах-горошинах.)

А теперь, смотри, я написал

$5 — 3$

Это называется пять минус три. Это значит, что у нас на двоих пять конфет. Три из них я отдаю тебе. Сколько же тогда конфет остается у меня? Давай отложим на счетах вначале пять бусинок, а потом из них в обратную сторону переложим три. Что получается в результате? Правильно, пять минус три равно два:

$5 — 3 = \underline{\,2\,}$

Мы решили пример на вычитание. Из числа $5$ вычли число $3$ и получили $2$».

После такого объяснения ребенок уже способен самостоятельно делать упражнения на сложение и вычитание. Взрослый вручает ему листок бумаги, на котором написано, например, следующее:

$7 + 3 =$

$7 — 3 =$

$10 + 2 =$

$10 — 2 =$

и так далее.

В задачу ребенка входит выполнить на счетах указанные действия и записать ответ. После того как все ответы будут записаны, он показывает их взрослому. Взрослый восхищается правильными ответами, обводит их в кружочек, а неправильные просит пересчитать еще раз. Если один и тот же неправильный ответ появляется снова и снова, взрослый разбирается вместе с ребенком, где источник ошибки. Постепенно числа в примерах становятся всё больше и больше, однако второе число нет смысла делать больше тридцати, пока ребенку приходится пересчитывать его по бусинкам от начала до конца. Важно, чтобы ребенок не просто понял принцип сложения и вычитания, но и выработал соответствующий навык, то есть почти никогда не ошибался. Движения руки должны стать уверенными, — чтобы, откладывая одну бусинку, не задевать соседние. И еще один принцип: если сбился со счета, то не надо продолжать наобум — начинай всё сначала.

После того как ребенок начнет обращаться со счетами более или менее уверенно, ему можно подсказать одну «хитрость» (если он сам до нее не додумается): второе число, точно так же, как и первое, необязательно пересчитывать по бусинкам от начала до конца: можно вначале отложить десятки (пусть даже десяток получится «рваный» — часть бусинок с одного ряда, часть — со следующего) и только потом продолжать считать по отдельным бусинкам.

Еще на одно открытие можно натолкнуть ребенка, давая ему примеры такими парами:

$1 + 26 =$

$26 + 1 =$

Оказывается, удобнее вначале отложить большее число, а потом прибавлять к нему меньшее. Результат всё равно остается один и тот же.

 

Необязательное дополнение 1: «уравнения»

Постепенно можно переходить к более сложным заданиям. В следующем примере вместо многоточия надо поставить такое число, чтобы получился правильный ответ:

$\ldots + 3 = 9$

Подобного рода задачи решаются методом обращения времени вспять. Допустим, мы только что решили обычный пример «какое-то число плюс $3$» и в результате получили $9$. Откладываем на счетах $9$ бусинок. Теперь как бы движемся по времени назад, воспроизводя решение примера в обратном порядке. Перекладываем бусинки обратно и считаем: три-бусинка, два-бусинка, раз-бусинка. Остается $6$ бусинок. Значит, вместо многоточия надо поставить шестерку:

$\underline{\,6\,} + 3 = 9$

Впрочем, очень скоро становится ясно, что перекладываемые бусинки можно считать и обычным образом: раз-бусинка, два-бусинка, три-бусинка. Результат от этого не изменится. Интересно отметить, что мы выполняем в точности такие же действия, как если бы решали пример «${9 — 3}$».

Подобным же образом можно найти, какое число должно стоять вместо многоточия в таком примере:

$\ldots — 2 = 5$

Снова обращаем время вспять, и обнаруживается, что мы выполняем такие действия, как будто решаем пример «${5 + 2}$». В итоге получаем:

$\underline{\,7\,} — 2 = 5$

Но вот еще один пример с многоточием:

$9 + \ldots = 12$

Здесь многоточие стоит не на первом месте, а на втором, поэтому вспять обратить время не получится. Давайте, для начала, решим этот пример методом подбора. Попробуем вместо многоточия поставить единицу. Откладываем сперва девять бусинок, потом добавляем еще одну. Получился правильный ответ? Нет. Выходит, маловато добавили. Добавляем вторую бусинку. Снова маловато. Добавляем третью — теперь в самый раз. Всего добавили три бусинки. Значит, мы можем написать:

$9 + \underline{\,3\,} = 12$

Тут можно ввести небольшое усовершенствование. Давайте, после того как мы отложили $9$ бусинок, пометим еще как-нибудь бусинку номер двенадцать. Например, сдвинем ее чуть-чуть влево — не до конца, а так, чтобы сразу после нее в ряду бусинок образовался небольшой разрыв. Теперь мы сразу видим, какие именно бусинки надо добавить к первым девяти, чтобы всего получилось двенадцать. Остается их только пересчитать: раз, два, три — ответ готов. Но посмотрим внимательно на счеты. Здесь у нас отмечено $12$ бусинок, поскольку именно после $12$-ой бусинки идет разрыв. Из них $9$ стоят особняком — сдвинуты до упора влево, — а остальные нам надо было пересчитать. То есть получается, что мы на самом-то деле отвечали на вопрос, сколько будет «${12 — 9}$».

Теперь мы так же легко можем справиться и с таким примером:

$14 — \ldots = 8$

Откладываем $14$ бусинок, помечаем бусинку номер $8$ — например, сдвигая ее немножко вправо — и сразу видим, какие бусинки надо отнять от четырнадцати, чтобы получить восемь. Простым пересчетом находим, что их ровно $6$. Таким образом, многоточие надо заменить на шестерку:

$14 — \underline{\,6\,} = 8$

И снова приглядимся к счетам. По расположению бусинок мы видим, что фактически решали пример «${14 — 8}$».

Необязательное дополнение 2: «отрицательные числа»

Пусть теперь дано:

$3 — 3 =$

Тут всё просто: откладываем сначала три бусинки, а потом те же три бусинки отправляем обратно. В результате получается «ничто» — ноль. А как быть, если встретится такое задание?

$3 — 5 =$

Мы привычным движением откладываем справа налево три бусинки, затем начинаем перекладывать по бусинке обратно: раз-бусинка, два-бусинка, три-бусинка — мы еще не успели переложить столько бусинок, сколько требуется, а они уже кончились. Что делать? Берем и разворачиваем счеты обратной стороной. Теперь все бусинки у нас оказались слева, и мы можем продолжить наше перекладывание: четыре-бусинка, пять-бусинка. С правой стороны у нас оказалось две бусинки. Вот это мы и напишем в качестве ответа.

Только мы должны честно сознаться, что немножко схитрили, развернув счеты другой стороной Поэтому мы напишем не просто двойку, а еще поставим перед ней черточку — знак минус:

$3 — 5 = \underline{-2\,}$

Такие числа со знаком минус впереди, полученные хитрым способом, называются отрицательными. Нам еще предстоит много иметь с ними дело в будущем. Заметим, что мы всего переложили слева направо $5$ бусинок, из них $3$ на лицевой стороне счет, а остальные на обратной. Поэтому мы с тем же успехом могли бы решить пример «${5 — 3}$» и приписать к ответу знак минус.

Но вот еще один пример с многоточием:

$7 — \ldots = -3$

Откладываем $7$ бусинок и начинаем действовать методом подбора. Отнимаем для начала одну бусинку. Мало. Еще одну. Опять мало. Впрочем, ясно, что даже если сразу отнять все $7$ бусинок, это всё равно будет мало. Поэтому единым махом перекладываем назад все оставшиеся бусинки и говорим «семь». Переворачиваем счеты обратной стороной. Тут нам надо переложить еще $3$ бусинки. Так сразу и делаем. А теперь, поочередно касаясь их пальцем, продолжаем счет: «восемь», «девять», «десять». Это и есть ответ, который мы ищем:

$7 — \underline{\,10\,} = -3$

Поучается, что с лицевой стороны мы насчитали $7$ бусинок, а с обратной стороны — еще $3$ бусинки. Значит, мы фактически решили пример «$7 + 3$».

Конспект

1. Сложение. Пусть у нас в одной кучке шесть конфет, а в другой — две. Смешаем эти кучки в одну. Сколько в ней оказалось конфет? Ответ на эту задачу записывается в виде ${6 + 2 = 8}$ (шесть плюс два равно восемь). Мы выполнили пример на

сложение: сложили шесть и два и получили восемь. Для решения этого примера на счетах откладываем вначале шесть бусинок, потом две и пересчитываем отложенные бусинки.

2. Вычитание. Пусть у нас есть кучка из пяти конфет. Мы взяли из нее три конфеты. Сколько осталось? Ответ записывается в виде ${5 — 3 = 2}$ (пять минус три равно два). Это пример на вычитание: мы вычли из пяти три и получили два. Для решения этого примера на счетах откладываем пять бусинок, возвращаем обратно три и пересчитываем оставшиеся.

3. Уравнения. Допустим в решенном примере на сложение «потерялось» первое число: ${\ldots + 3 = 9}$. Какое число потерялось? Представляем себе, что мы решили этот пример на счетах, и после этого «обращаем время вспять», фактически выполняя те же действия, которые мы совершаем при решении примера ${9 — 3 = 6}$. Подобным же образом, обращая время вспять, можно найти «потерянное» число в примере на вычитание: ${\ldots — 2 = 5}$, а именно: ${5 + 2 = 7}$. Глядя на бусинки, нетрудно также установить, что в примере ${9 + \ldots = 12}$ потерялось число ${12 — 9 = 3}$, а в примере ${14 — \ldots = 8}$ потерянным оказалось число ${14 — 8 = 6}$.

4. Отрицательные числа. Решая на счетах пример ${3 — 5}$, обнаруживаем, что из трех отложенных бусинок можно в обратную сторону переложить только три. Оставшиеся две бусинки перекладываем, развернув счеты обратной стороной. Ответ записываем в виде: ${3 — 5 = -2}$ (три минус пять равно минус два). С тем же успехом мы могли бы вычесть из пяти три и приписать перед результатом знак минус.

Задачи

1.2.1. «Мама дала Денису $7$ конфет, а папа $5$ конфет. Сколько конфет стало у Дениса?» Такого рода задач можно придумать множество, и хорошо, если они поначалу будут полностью соответствовать реальности. Главное действующее лицо — сам ребенок, и речь идет о приятных вещах. Мама в самом деле дает ему вкусные конфеты и спрашивает: «Сколько конфет я тебе дала?» Ребенок отвечает: «Семь». Потом он получает конфеты от папы, пересчитывает их и говорит: «Пять». Теперь он готов с радостью подумать над вопросом: «А сколько у тебя всего конфет?». Опять-таки, имеются в виду маленькие конфетки, не больше горошины.

1.2.2. Задачи на вычитание придумывать несколько труднее. Не следует повторять ошибку Мальвины, взявшуюся обучать арифметике Буратино. Если ребенок не любит делиться конфетами с младшим братиком, то это неподходящая тема для первых занятий по математике.