Вычитание дробей с разными знаменателями примеры: Вычитание дробей | Онлайн калькулятор

2 (6b-b)(6b+b)} = 0$$

Содержание

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Цели урока:

Способствовать развитию навыков сравнения дробей,
Сложения и вычитания дробей с разными знаменателями,
Закрепить знание нахождения наименьшего общего кратного чисел.

Сегодня на уроке мы продолжаем работу по теме “Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями”.

Это у нас уже второй урок темы, перед вами будет стоять цель:

уметь складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, а для этого вы должны знать правила: как складывают и выполняют вычитание дробей с разными знаменателями.

Если на первом уроке мы с вами занимались дробями, у которых знаменатели взаимно простые или кратные друг другу числа, то сегодня наша задача усложняется, для некоторых случаев придётся находить общий знаменатель разложением знаменателей на простые множители по правилу нахождения НОК.

В конце урока вы должны хорошо знать правило:

как складывают дроби с разными знаменателям и уметь применять это правило при решении задач.

Через 3 урока состоится контрольная работа, в которой будут задания, проверяющие как вы усвоили тему. На контрольной работе будут 2 задания по нашей теме: третье задание – выполнение сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и четвёртое задание: решение задачи на применение правила. Итак, сегодня мы с вами отрабатываем задания на стандарт.

1. а) Поработаем устно.

42	48	6
36	54	12
30	24	18

Внимательно посмотрите на этот прямоугольник и старайтесь запомнить расположение чисел, может, заметите какую-нибудь закономерность.

А теперь постарайтесь восстановить эти числа в черновике.

Кто какие числа запомнил?

Как можно было хорошо запомнить расположение этих чисел?

(Числа, кратные 6, расположены в порядке возрастания по часовой стрелке, начиная с верхнего правого прямоугольника)

Повторим сравнение дробей с разными знаменателями и с равными числителями.

Сравните следующие дроби: ; .

Расположите их в порядке возрастания.

б) Внимательно посмотрите на следующий ряд чисел:

16, 10, 8, , 2007, 1961.

Сколько всего чисел написано?

Как можно было запомнить эти числа? 16 октября, 8 кабинет, 2007 год.

Сколько чётных чисел? Назовите их.

Назовите третье число.

Второе число с конца.

Трёхзначное число.

Число, кратное 5.

Кратное 10

Кратное 3.

Кратное 9.Чем знаменито число 1961?

Какое число отличается от остальных, то есть не вписывается в ряд чисел?

Эта дробь правильная или неправильная?

Сократимая или несократимая?

Сократите эту дробь.

2. Проверка домашней работы.

Как сравнивают две дроби с разными знаменателями?

Как складывают дроби с разными знаменателями?

Как выполняют вычитание дробей с разными знаменателями?

Есть ли вопросы по домашней работе? Проверка по рядам учителем.

3. Работа с правилом по учебнику после неточных ответов учащихся.

В математике нельзя пропускать ни одного слова в некоторых правилах. Общий знаменатель и наименьший общий знаменатель не всегда совпадают.

Послушайте притчу об одном мэре.

Когда ещё не было электричества, мэр одного города любил вечером гулять по городским улицам. Как-то он столкнулся с одним горожанином, у него на лбу выскочила шишка. на следующий день он издал указ: “В тёмное время суток на улицу выходить с фонарём”. А вечером на него налетел тот же горожанин. Мэр потребовал у него фонарь.

— Вот, — сказал прохожий.

— А где свеча? – спросил мэр.

— А в указе не написано, что в фонаре должна быть свеча, — ответил тот.

Мэр издал второй указ: “В тёмное время суток на улицу выходить с фонарём со свечой”.

В третий день история повторилась.

Мэр уже вышел из себя.

— Думаете, что ответил мэру прохожий?

— В приказе не написано, что свеча фонаря должна быть зажжена.

Мэру пришлось издать указ третий раз, только после этого прохожий оставил его в покое.

Наша задача – хорошо знать правило и уметь его применять. Ещё раз повторяю, мы работаем над стандартом.

4. Выполнение упражнений.

Решите следующие примеры на доске по желанию.

Вы решили примеры, где знаменатели взаимно простые числа и когда больший знаменатель кратен меньшему.

На этом уроке будем решать более сложные задания на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Запишите задание:

Если ученик решит так, как мы с вами решили, значит, он хорошо знает, как находят НОК двух чисел и умеет выделять из неправильной дроби целую часть, знает, что знаменатели не взаимно простые числа.

А если ученик найдёт общий знаменатель, умножив знаменатели, он показывает незнание нахождения НОК, то есть правила: как складывают дроби с разными знаменателями. Поэтому, в первую очередь, если знаменатели не взаимно простые числа и не кратны друг другу, надо найти НОК знаменателей.

На доске записаны №№, которые должны решить в классе: 309 д – и, 328, 340 (повторение)

д) ; выполняют на доске,

е) ; повторили сокращение дроби, на контрольной работе это задание есть, оно проверяет усвоение стандарта.

ж) (самостоятельно)

з) ; находим НОК(21,15) = 3*7*5 =105.

и) ; НОК(22,55) = 2*11*5 = 110.

Такие задания должны уметь решать все, за правильное решение таких заданий на контрольной работе ставится “3”.

5. Решим задачу №328.

Эта задача на “4”. Внимательно прочитайте условие задачи. Запишем условие задачи:

1) (плана выполнил завод за второй месяц)

2) часть плана выполнил завод за 2 месяца).

Ответ: часть плана.

На контрольной работе будет такая задача, решив которую можно получить отметку “4”.

6. Задачу № 327 решите самостоятельно.

7. Повторение ранее изученного материала. № 340.

Сократить дроби:

или ; ; .

Сокращение дробей на контрольной работе тоже есть, это задание на стандарт.

8. Итог урока.

а) Как складывают и вычитают дроби с разными знаменателями?
б) Выставление отметок.
в) Задания на дом: п.11,

№№360(ж — м),364, 365.

Вычитание дробей с разными знаменателями – примеры, правила (5 класс, математика)

Вычитание дробей само по себе достаточно сложная задача, а уж вычитание дробей с разными знаменателями и вовсе порой ставит учеников 5 класса в ступор. Поэтому стоит разобраться в этой теме подробнее раз и навсегда.

Вычитание дробей

Вычитание дробей возможно только при одинаковых знаменателях.

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то результатом станет отрицательное число.

При вычитании дробей мы создаем новую дробь, в числителе которой будет разность числителей изначальных дробей, а знаменатель останется прежним.

Следующим преобразованием будет вычисление разности в числителе.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Если у дробей разные знаменатели, то необходимо первым делом привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно воспользоваться правилом дробей.

Основное свойство дробей заключается в том, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится. Это обусловлено тем, что по факту дробь является не законченной операцией деления, а умножение делителя и делимого на одно и то же число не изменит частное.

Как найти общий знаменатель?

Общей знаменатель это НОК или наименьшее общее кратное. Наименьшее общее кратное двух и более чисел, это число, которое делится на каждое из них.

Для нахождения наименьшего общего кратного ряда простых чисел, нужно просто перемножить их между собой.

$$НОК=3*5*7=105$$

Но что будет, если в ряде будет три сложных числа?

18,15,25 – найдем для этого ряда НОК.

Для этого, каждое из чисел нужно разложить на простые множители.

$$18=2*3*3$$

$$15=3*5$$

$$25=5*5$$

Для того, чтобы найти НОК нужно перемножить простые множители чисел, которые еще не встречались.

Начнем с числа 2. Двойка встречалась только в простых множителях числа 18, вычеркнем ее.

$$НОК=2*…$$

Следующее число 3. Вычеркиваем одну тройку из разложения числа 18 и из разложения числа 15.

$$НОК=2*3…$$

У нас осталась еще одна тройка в разложении числа 18.

$$НОК=2*3*3…$$

Теперь посмотрим, какое число осталось в разложении 15. Это 5:

$$НОК=2*3*3*5…$$

Вычеркиваем одну 5 из разложения числа 15 и одну из разложения числа 25. Осталось одно число, множители которого не зачеркнуты: это 25, где осталась одна 5. Добавим ее в НОК и получим окончательное значение:

$$НОК=2*3*3*5*5=450$$

Так нужно действовать с любым рядом чисел, для которых необходимо найти НОК.

Пример

Теперь рассмотрим пример вычитания дробей с разным знаменателем. Найдем следующую разность:

$${37over{81}}-{91over{180}}$$

Первым шагом нам нужно найти будущий общий знаменатель, который будет являться НОК(81,180)

Разложим на простые множители число 81

81=3*3*3*3

Разложим на простые множители число 180

180=2*2*3*3*5

Значит, для того, чтобы получить НОК нам необходимо домножить 81 на 5*2*2 или домножить 180 на 3*3. Второй вариант немного проще, поэтому используем его:

180*3*3=180*9=1620

Для того, чтобы сложное число умножить на 9 необязательно умножать. Можно упростить вычисления следующим образом: умножить число на 10 и вычесть это же число. То есть: 180*9=180*10-180=1800-180=1620

Теперь приведем каждую из дробей к общему знаменателю:

$${37over{81}}={{37*20}over{81*20}}={{740}over{1620}}$$

$${91over{180}}={{91*9}over{180*9}}={{809}over{1620}}$$

Вычтем получившиеся значения:

$${{740}over{1620}}-{{809}over{1620}}={{740-809}over{1620}}=-{{69}over{1620}}$$ – получилось отрицательно число, но в этом нет ничего страшного. Просто изначально уменьшаемое было меньше вычитаемого

Что мы узнали?

Мы узнали, как правильно вычитать дроби с разными знаменателями, поговорили о том, как находить НОК и решили небольшой пример.

МатематикаВычитание дробей – правила (5 класс, математика)

МатематикаВычитание смешанных дробей – примеры (5 класс, математика)

Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Следующее действие, которое можно выполнять с обычными дробями это вычитание. Вычитание дробей выполняется по нескольким правилам. Рассмотрим эти правила подробнее. Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями можно посмотреть нажав на ссылку.

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Рассмотрим, пока примеры в которых уменьшаемое больше вычитаемого.

$\frac{7}{13}-\frac{3}{13} = \frac{7-3}{13} = \frac{4}{13}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно посчитать разность числителя уменьшаемого и вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.

$\frac{a}{b}-\frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{2}$.

Общий знаменатель этих двух дробей latex]\frac{5}{6}[/latex] и $\frac{1}{2}$ равен 6. Умножим вторую дробь $\frac{1}{2}$ на дополнительный множитель 3.

$\frac{5}{6}-\frac{1}{2} = \frac{5}{6}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{2 \times \color{red} {3}} = \frac{5}{6}-\frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Дробь $\frac{2}{6}$ сократили и получили $\frac{1}{3}$.

Буквенная формула вычитания дробей с разными знаменателями.

$\bf \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a \times d-c \times b}{b \times d}$

Вопросы по теме:
Как вычитать дроби с разными знаменателями?
Ответе: нужно найти общий знаменатель и далее по правилу выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями?
Ответ: у числителей посчитать разность, а знаменатель оставить тот же.

Как правильно сделать проверку вычитания двух дробей?
Ответ: для проверки правильности вычитания дробей, нужно выполнить сложение вычитаемого и разности, результат их суммы будет равен вычитаемому.

$\frac{7}{8}-\frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8}$

Проверка:

$\frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4 + 3}{8} = \frac{7}{8}$

Пример №1:
Выполните вычитание дробей: а) $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ б) $\frac{10}{19}-\frac{7}{19}$

Решение:
а) $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1-1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

При вычитание двух одинаковых дробей получаем нуль.

б) $\frac{10}{19}-\frac{7}{19} = \frac{10-7}{19} = \frac{3}{19}$

Пример №2:
Выполните вычитание и проверьте сложением: а) $\frac{13}{21}-\frac{3}{7}$ б) $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}$

Решение:

а)Найдем общий знаменатель дробей $\frac{13}{21}$ и $\frac{3}{7}$, он будет равен 21. Умножим вторую дробь $\frac{3}{7}$ на 3.

$\frac{13}{21}-\frac{3}{7} = \frac{13}{21}-\frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{13}{21}-\frac{9}{21} = \frac{13-9}{21} = \frac{4}{21}$

Выполним проверку вычитания:

$\frac{4}{21} + \frac{3}{7} = \frac{4}{21} + \frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{4}{21} + \frac{9}{21} = \frac{4 + 9}{21} = \frac{13}{21}$

б) Найдем общий знаменатель дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{5}$, он будет равен 15. Умножим первую дробь $\frac{2}{3}$ на дополнительный множитель 5, вторую дробь $\frac{1}{5}$ на 3.

$\frac{2}{3}-\frac{1}{5} = \frac{2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5}}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{10}{15}-\frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15}$

Выполним проверку вычитания:

$\frac{7}{15} + \frac{1}{5} = \frac{7}{15} + \frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{7}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7 + 3}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Тема сложение дробей. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Сложение – это арифметическое действие, в результате которого получают новое число, содержащее столько единиц, сколько было во всех заданных числах вместе взятых.

Дробь обозначает тип деления, который рассматривается как часть целого и указывает на разделение целого на равные доли или части, где знаменатель показывает, на сколько частей мы разделили, а числитель — сколько взяли частей от этого целого.

Сложение или вычитание дробей могут быть двух видов:

знаменатели одинаковые;
знаменатели разные;

Правила сложения дробей:

Одинаковые знаменатели. Складываем числители этих дробей.
Разные знаменатели. Находим общий знаменатель с помощью наименьшего общего кратного чисел, и складываем их числители.

Чтобы вычислить НОК, необходимо разбить числа на простые множители и найти разложение большего числа, добавив к нему простые недостающие множители другого разложения. Полученные числа перемножить. Алгоритм решения для двух, трех и более чисел одинаков, если числа простые, то надо перемножить их.

Примеры решения задач: сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Задача 1. Сложить две дроби с одинаковыми знаменателями $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{8}$.

Решение:

$\frac{7}{8}+\frac{1}{8}=$$\frac{(7+1)}{8}$$=\frac{8}{8}=\frac{1}{1}$

Ответ:$1$.

Задача 2. Сложить две дроби с одинаковыми знаменателями $\frac{6}{5}$и $\frac{3}{5}$.

Решение:

$\frac{6}{5} +\frac{3}{5}$$=\frac{(6+3)}{5}$$=\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$

Ответ:$1\frac{4}{5}$.

3адача 3. Сложить две дроби $\frac{11}{3}$ и $\frac{5}{3}$.

Решение:

$\frac{11}{3}$ + $\frac{5}{3}$$=$$\frac{(11+5)}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$

16/3

Ответ:$5\frac{1}{3}$.

3адача 4. Сложить две дроби с разными знаменателями $\frac{11}{3}$ и $\frac{5}{8}$.

Решение:

НОК$(3;8)$ $=24$

$\frac{11*8}{3*8}+\frac{5*3}{8*3}$$=$$\frac{88}{24}+\frac{15}{24}=$$\frac{88+15}{24}$$=\frac{103}{24}=4\frac{7}{24}$

Ответ: $4\frac{7}{24}$

Задача 5. Сложить две дроби с разными знаменателями $\frac{27}{3}$ и $\frac{55}{13}$.

Решение.

$НОК(3;13) =39$

$\frac{(27*13)}{3*13} +\frac{(55*3)}{13*3}=$$\frac{351}{39}+\frac{165}{39}$$=\frac{351+165}{39}=$

$=\frac{516}{39}-$ сокращаем обе части дроби на 3

$\frac{175}{13}=13\frac{6}{13}$

Ответ: $13\frac{6}{13}$.

Выводы:

для того чтобы сложить или вычесть два и более дробных числа нам необходимо привести их к общему знаменателю;

основное свойство дробей: значение дробного числа не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Люблю математику и стараюсь привить эту любовь учащимся. Учу учащихся искать нестандартные решения, рассуждать, не бояться ошибок, делать выводы. Показываю связь математики с жизнью.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный экономический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Правильно задаю вопросы, умею слушать и слышать учеников. Смотрю на все сквозь призму юмора и стремлюсь влюбить всех в свой предмет. Требовательная, но понимающая. Я люблю математику за то, что она развивает мышление и приводит в порядок ум.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку 5-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Я преподаю русский язык по авторской методике. Она включает в себя разные подходы и методы преподавания. Все мои ученики сдают выпускные экзамены .Всегда настраиваю на позитивное мышление, мотивирую на успех. Индивидуальный подход к каждому ученику.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.

Например:

Аналогичным образом выполняют вычитание рациональных дробей с разными знаменателями.

Пример 1. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 2. Найти разность дробей.

Решение:

Мы рассмотрели простейшие случаи на сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Но чаще всего приходится сначала дроби приводить к общему знаменателю, а затем уже выполнять сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм приведения рациональных дробей к общему знаменателю:

1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.

2. Найти общий знаменатель дробей.

3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.

4. Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.

5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.

Пример 3. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 4: Найдите разность дробей.

Решение:

Алгоритм сложения (вычитания) рациональных дробей с разными знаменателями.

Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1. Найти общий знаменатель дробей.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

4. По возможности упростить полученную дробь.

Задание: нужно преобразовать выражение и представьте его в виде дроби.

Решение:

Итоги:

Для того чтобы привести рациональные дроби к общему знаменателю, надо:

1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.

2. Найти общий знаменатель дробей.

3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.

4. Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.

5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.

Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1. Найти общий знаменатель дробей.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

4. По возможности упростить полученную дробь.

Как решать дроби вычитание. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

Найти НОК знаменателей дробей;
Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается , если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ . Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ . Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4 , поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить 7 на знаменатель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
Затем — деление и умножение;
Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
Число 15 состоит из 5 х 3.
Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или $\frac{1}{5}$ от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или $\frac{2}{5}$ от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}$.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}$

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

$\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Ответ: туристы прошли $\frac{3}{5}$ всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{7}$.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь $\frac{3}{4}$ нужно умножить на 7. Вторую дробь $\frac{2}{7}$ нужно умножить на 4.

$\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}$

В буквенном виде получаем такую формулу:

$\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа $3\frac{6}{11}$ и $1\frac{3}{11}$.

$3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}$

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел $7\frac{1}{8}$ и $2\frac{1}{6}$.

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь $7\frac{1}{8}$ на дополнительный множитель 3, а вторую дробь $2\frac{1}{6}$ на 4.

$7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}$

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$

Дробь $\frac{5}{7}$ это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{7}$.

$\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}$

Дробь $\frac{58}{45}$ является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{8}{9}$.

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) $\frac{3}{11} + \frac{5}{11}$ б) $\frac{1}{3} + \frac{2}{9}$.

а) $\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}$

б) $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) $1\frac{9}{47}$ б) $5\frac{1}{3}$

а) $1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}$

б) $5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}$

Пример №4:
Вычислите сумму: а) $8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}$ б) $2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}$ в) $7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$

а) $8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}$

б) $2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} $

в) $7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}$

Задача №1:
За обедам съели $\frac{8}{11}$ от торта, а вечером за ужином съели $\frac{3}{11}$. Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

$\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1$

Ответ: весь торт съели.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Результаты обучения

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями
Сложение или вычитание дробей, которые содержат переменные и имеют разные знаменатели

После того, как мы преобразовали две дроби в эквивалентные формы с общими знаменателями, мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители.

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

Найдите ЖК-дисплей.
Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
Сложение или вычитание дробей.
Запишите результат в упрощенной форме.

Пример

Добавить: [латекс]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}[/latex]

Решение:

	[латекс]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}[/latex]
Найдите ЖК-дисплей [латекс]2[/латекс], [латекс]3[/латекс].
Преобразование в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея [латекс]6[/латекс].	[латекс]\frac{1\cdot\color{red}{3}}{2\cdot\color{red}{3}} + \frac{1\cdot\color{red}{2}}{3 \cdot\color{red}{2}}[/latex]
Упростите числители и знаменатели.	[латекс]\frac{3}{6}+\frac{2}{6}[/latex]
Доп.	[латекс]\frac{5}{6}[/латекс]

Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ. Поскольку [латекс]5[/латекс] и [латекс]6[/латекс] не имеют общих множителей, дробь [латекс]\фракция{5}{6}[/латекс] не может быть сокращена.

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров и пояснений о том, как сложить две дроби с разными знаменателями.

Пример

Вычесть: [латекс]\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)[/latex]

Показать решение

Решение:

	[латекс]\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)[/latex]
Найдите на ЖК-дисплее [латекс]2[/латекс] и [латекс]4[/латекс].
Перепишите как эквивалентные дроби, используя LCD [латекс]4[/латекс].	[латекс]\frac{1\cdot\color{red}{2}}{2\cdot\color{red}{2}} — (-\frac{1}{4})[/latex]
Упростите первую дробь.	[латекс]\frac{2}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)[/latex]
Вычесть.	[латекс]\frac{2-\left(-1\right)}{4}[/latex]
Упрощение.	[латекс]\фракция{3}{4}[/латекс]

У одной из дробей уже был наименьший общий знаменатель, поэтому нам оставалось только преобразовать другую дробь.

В следующем видеоролике представлены еще два примера вычитания двух дробей с разными знаменателями.

Пример

Добавить: [латекс]\frac{7}{12}+\frac{5}{18}[/latex]

Показать решение

Решение:

	[латекс]\frac{7}{12}+\frac{5}{18}[/latex]
Найдите ЖК-дисплей [latex]12[/latex] и [latex]18[/latex].
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	[латекс]\frac{7\cdot\color{red}{3}}{12\cdot\color{red}{3}} + \frac{5\cdot\color{red}{2}}{18 \cdot\color{red}{2}}[/latex]
Упростите числители и знаменатели.	[латекс]\frac{21}{36}+\frac{10}{36}[/latex]
Доп.	[латекс]\frac{31}{36}[/латекс]

Поскольку [latex]31[/latex] — простое число, оно не имеет общих делителей с [latex]36[/latex]. Ответ упрощен.

Когда мы используем свойство «Эквивалентные дроби», есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить ЖК-дисплей.Запишите множители знаменателей и LCD так же, как вы это делали, чтобы найти LCD. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.

ЖК-дисплей, [латекс]36[/латекс], имеет [латекс]2[/латекс] коэффициенты [латекс]2[/латекс] и [латекс]2[/латекс] коэффициенты [латекс]3[/ латекс].
Twelve имеет два множителя [латекс]2[/латекс], но только один из [латекс]3[/латекс] — поэтому в нем «отсутствует» один [латекс]3[/латекс]. Мы умножили числитель и знаменатель [латекс]\frac{7}{12}[/латекс] на [латекс]3[/латекс], чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем [латекс]36[/латекс].
Eighteen отсутствует один множитель [latex]2[/latex] — поэтому вы умножаете числитель и знаменатель [latex]\frac{5}{18}[/latex] на [latex]2[/latex], чтобы получить эквивалентная дробь со знаменателем [латекс]36[/латекс]. Мы будем применять этот метод при вычитании дробей в следующем примере.

Пример

Вычесть: [латекс]\frac{7}{15}-\frac{19}{24}[/latex]

Показать решение

Решение:

	[латекс]\frac{7}{15}-\frac{19}{24}[/latex]
Найдите ЖК-дисплей. [латекс]15[/латекс] «отсутствуют» три множителя [латекс]2[/латекс] [латекс]24[/латекс] «отсутствует» множитель [латекс]5[/латекс]
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	[латекс]\frac{7\cdot\color{red}{8}}{15\cdot\color{red}{8}} — \frac{19\cdot\color{red}{5}}{24 \cdot\color{red}{5}}[/latex]
Упростите каждый числитель и знаменатель.	[латекс]\frac{56}{120}-\frac{95}{120}[/latex]
Вычесть.	[латекс]-\frac{39}{120}[/латекс]
Перепишите, показав общий множитель [latex]3[/latex].	[латекс]-\frac{13\cdot 3}{40\cdot 3}[/латекс]
Удалите общий множитель для упрощения.	[латекс]-\frac{13}{40}[/латекс]

Пример

Добавить: [латекс]-\frac{11}{30}+\frac{23}{42}[/latex]

Показать решение

Решение:

[латекс]-\frac{11}{30}+\frac{23}{42}[/latex]
Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	[латекс]-\frac{11\cdot\color{red}{7}}{30\cdot\color{red}{7}} + \frac{23\cdot\color{red}{5}}{ 42\cdot\color{красный}{5}}[/латекс]
Упростите каждый числитель и знаменатель.	[латекс]-\frac{77}{210}+\frac{115}{210}[/latex]
Доп.	[латекс]\фракция{38}{210}[/латекс]
Перепишите, указав общий делитель [латекс]2[/латекс].	[латекс]\frac{19\cdot 2}{105\cdot 2}[/латекс]
Удалите общий множитель для упрощения.	[латекс]\frac{19}{105}[/латекс]

В следующем примере одна из дробей содержит переменную в числителе. Выполняем те же действия, что и в случае, когда оба числителя являются числами.

Пример

Добавить: [латекс]\frac{3}{5}+\frac{x}{8}[/latex]

Показать решение

Решение:
У дробей разные знаменатели.

	[латекс]\frac{3}{5}+\frac{x}{8}[/latex]
Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	[латекс]\frac{3\cdot\color{red}{8}}{5\cdot\color{red}{8}} + \frac{x\cdot\color{red}{5}}{8 \cdot\color{red}{5}}[/latex]
Упростите числители и знаменатели.	[латекс]\frac{24}{40}+\frac{5x}{8}[/latex]
Доп.	[латекс]\фракция{24+5x}{40}[/латекс]

Мы не можем добавить [латекс]24[/латекс] и [латекс]5x[/латекс], поскольку они не похожи на термы, поэтому мы не можем еще больше упростить выражение.

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, которые содержат переменные.

Вычесть дроби с разными знаменателями?

Вычитание дробей с разными знаменателями

Дроби с разными знаменателями – это дроби, имеющие разные знаменатели.

Например, у дробей 1 4 и 1 3 разные знаменатели.

Другой пример: у Тома 3 4 пиццы, и он съел 1 8. Нам нужно отнять 1 8 от 3 4, чтобы узнать, сколько пиццы он съел.

Аналогично, если бы у Мэйси была половинка яблока, и она съела бы четверть этого утром. Чтобы вычислить оставшуюся часть оставшегося яблока, нам нужно от 1 отнять 4 от 1 2 .

Шагов для вычитания дробей с разными знаменателями:

(i) Определите разные дроби, которые нам нужно вычесть.

(ii) Преобразуйте обе дроби в эквивалентные им дроби так, чтобы они имели одинаковые знаменатели.

(iii) Замените обе фракции на этапе (i) их эквивалентными фракциями, полученными на этапе (ii).

(iv) Поскольку у нас есть дроби с одинаковыми знаменателями, мы можем вычесть числители напрямую, чтобы получить ответ, и знаменатель останется прежним.

(v) Если возможно, упростите дробь, полученную на шаге (iv).

Случай-1: Когда один из знаменателей кратен другому.

Пример 1 : Работа: 1 2 — 2 8 .

Решение :

Номер шага	Наблюдение	Тренировка
Этап (i)	В отличие от знаменателей	1 2 — 2 8
Этап (ii)	Общий знаменатель вышеуказанных дробей равен 8.Составление эквивалентных дробей.	1 × 4 2 × 4 = 4 8 ; 2 8 = 2 8
Этап (iii)	Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii)	4 8 — 2 8
Этап (iv)	Теперь у нас одинаковые знаменатели. Итак, мы напрямую отнимаем числители.	4 8 — 2 8 = 2 8
Шаг (v)	Упрощение ответа из (iv)	2 ÷ 2 8 ÷ 2 = 1 4

Следовательно, 1 2 — 2 8 = 1 4

Случай 2: когда оба знаменателя разные.

Пример 2 : У Джека 4 5 папайи. Если он отдаст 13 из них Люси, какая часть папайи останется у Джека?

Решение :

Номер шага	Наблюдение	Тренировка
Этап (i)	В отличие от знаменателей	4 5 — 1 3
Этап (ii)	Общий знаменатель вышеуказанных дробей равен 15.Составление эквивалентных дробей.	4 × 3 5 × 3 = 12 15 ; 1 × 5 3 × 5 = 5 15
Этап (iii)	Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii)	12 15 — 5 15
Этап (iv)	Теперь у нас одинаковые знаменатели. Итак, мы напрямую отнимаем числители.	12 15 — 5 15 = 7 15
Шаг (v)	Ответ уже в простейшей форме.	2 ÷ 2 8 ÷ 2 = 1 4

Значит, у Джека осталось 1 4 папайи.

Пример 3 : Элли и Джозеф соревнуются в велогонке. Если Элли преодолела 3 4 от общего расстояния, а Джозеф преодолел 1 5 от общего расстояния. Какова разница в расстоянии, пройденном ими обоими?

Решение :

Номер шага	Наблюдение	Тренировка
Этап (i)	В отличие от знаменателей	3 4 — 1 5
Этап (ii)	Общий знаменатель вышеуказанных дробей равен 20.Составление эквивалентных дробей.	3 × 5 4 × 5 = 15 20 ; 1 × 4 5 × 4 = 4 20
Этап (iii)	Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii)	15 20 — 4 20
Этап (iv)	Теперь у нас одинаковые знаменатели. Итак, мы напрямую отнимаем числители.	15 20 — 4 20 = 11 20
Шаг (v)	Ответ уже в простейшей форме.	11 20

Следовательно, разница между расстоянием, пройденным Элли и Джозефом, составляет 11 20 от общего расстояния.

Интересные факты

Каждое целое число можно представить в виде дроби.

Например, : 2 можно записать как 2 1 или 3 как 3 1 и так далее.

Что такое вычитание дробей? — Определение, факты и примеры

Вычитание дробей

Подобные дроби

Дроби с одинаковыми знаменателями называются одинаковыми дробями.

Например:

Пример 1- На рисунке ниже все дроби похожи на дроби.

В отличие от дробей

Дроби с разными знаменателями называются неодинаковыми.

Вычитание дробей

Легче складывать и вычитать одинаковые дроби, потому что они либо равные части одного целого, либо части одинакового размера.

Случай 1. Вычитание одинаковых дробей

Вычтите числитель, и он даст нам ответ.
При необходимости упростите дробь.

Например:

Пример 2- Вычесть 3 15 из 12 15 .

Решение: как и то и другое, дроби похожи на дроби

∴ 1215-315 = 12-3 15 = 9 15

Поскольку 9 15 можно упростить, ∴ окончательный ответ будет 3 5 .

Случай 2. Вычитание разных дробей

Ниже приведены шаги для вычитания разных дробей:

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Измените знаменатель на НОК, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Если дроби имеют одинаковые знаменатели, вычтите числители дробей.
Разница между числителем и НОК будет числителем и знаменателем ответа соответственно.
При необходимости упростите дробь.
Например:

Пример 3. Вычтите 4 7 из 3 5 .

Решение – Мы должны найти, 3 5 — 4 7

Так как обе дроби не похожи на дроби (разные знаменатели), нам нужно сделать знаменатели одинаковыми для вычитания.

Наименьшее общее кратное 7 и 5 равно 35 .

Чтобы получить знаменатели 35, дробь 3 5 можно записать как 3×7 5×7 = 21 35 , а дробь 4 7 можно записать как 4×5 7×5 = 20 35 .

Теперь вопрос можно переписать как 21 35 — 20 35 .

Так как знаменатели одинаковые, то 21 35 — 20 35 = 1 35

Так как 1 35 в простейшей форме, то окончательный ответ будет 1 35 .

Интересные факты:

Мы не можем складывать или вычитать дроби без преобразования их в подобную дробь.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача: В пиццерии было две пиццы одинакового размера, каждая из которых была разрезана на равные части. В конце дня осталась треть одной пиццы и шестая часть другой пиццы. Сколько всего пиццы осталось?

Анализ: В этой задаче нам предлагается сложить две трети и одну шестую вместе. Но мы не можем складывать эти дроби, так как их знаменатели не совпадают!

Решение: Нам нужно сделать знаменатели одинаковыми.Мы можем найти общий знаменатель , перемножив знаменатели вместе: 3 x 6 = 18. Таким образом, вместо 3 или 6 кусков пиццы мы сделаем из них по 18 кусков. Пиццы теперь выглядят так:

В приведенной выше задаче мы нашли общий знаменатель путем умножения знаменателей исходных дробей. Однако для большинства поваров приготовление 18 ломтиков — это слишком много работы! Давайте попробуем использовать другой метод, который включает в себя меньше фрагментов.

Метод 2: Мы можем переименовать эти дроби, используя их наименьший общий знаменатель (LCD), который является наименьшим числом, которое без остатка делится на все знаменатели.Это наименьшее общее кратное знаменателей. Давайте найдем ЖК одной трети и одной шестой.

	Список множителей 3:	3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
	Список множителей 6:	6, 12, 18, 24, 30, …
Список общих кратных 3 и 6:		6, 12, 18
Перечислите наименьшее общее кратное 3 и 6:		6

Решение:

Теперь мы можем использовать 6 в качестве наименьшего общего знаменателя.

Как видите, наименьший общий знаменатель позволяет складывать (или вычитать) дроби, используя наименьшее количество срезов. Рисовать круги для решения этих задач не всегда практично. Итак, нам нужен арифметический метод. Мы будем использовать эквивалентные дроби, чтобы помочь нам, как показано в примерах ниже.

Пример 1:

Анализ:

Знаменатели не совпадают. Наименьший общий знаменатель (LCD) чисел 4 и 6 равен 12.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Добавьте числители:

Обратите внимание, что в примере 1 числитель и знаменатель дроби должны быть умножены на одно и то же отличное от нуля целое число, чтобы получить эквивалентные дроби. Мы могли бы использовать общий знаменатель, например 24, для решения этой проблемы. Это показано ниже.

Как видите, использование общего знаменателя вместо ЖК-дисплея может привести к ненужному упрощению результата (например, к большему количеству кусочков пиццы).Мы представили два метода сложения (и вычитания) дробей с разными знаменателями:

Общий знаменатель — приводит к увеличению количества кусочков пиццы.
Наименьший общий знаменатель (LCD) — приводит к уменьшению количества кусочков пиццы.

Вы можете использовать любой метод по своему усмотрению. Однако в оставшейся части этого урока мы будем использовать ЖК-метод. Помните, что LCD — это просто наименьшее общее кратное знаменателей. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 2:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 3 и 2 равен 6.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Добавьте числители:

Просто результат:

В примере 2 у нас была неправильная дробь, поэтому нужно было упростить результат. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 10 и 15 равен 30.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Вычесть числители:

Пример 4:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 6, 8 и 16 – 48.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Вычесть и сложить числители:

Просто результат:

Следующая процедура обобщает шаги, которые мы использовали в примерах с 1 по 4:

Процедура: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

Найдите наименьший общий знаменатель.
Составьте эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Сложите или вычтите числители.
При необходимости упростите результат.

Для шага 2 помните, что числитель и знаменатель дроби должны быть умножены на одно и то же отличное от нуля целое число, чтобы получить эквивалентные дроби. Давайте рассмотрим некоторые словесные задачи.

Пример 5: Член школьной команды по легкой атлетике пробежал две трети мили в понедельник и одну пятую мили во вторник.Сколько миль он пробежал всего?

Анализ: Эта задача требует сложения дробей с разными знаменателями:

Решение: ЖК-дисплей 3 и 5 равен 15.

Пример 6: На соревновании по поеданию пирогов Спенсер съела три четверти пирога до того, как было объявлено время; Карли съела только половину пирога. Насколько больше пирога съела Спенсер, чем Карли?

Анализ: Эта задача требует вычитания дробей с разными знаменателями:

Решение: ЖК-дисплей 4 и 2 равен 4.

Резюме: Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь одинаковые знаменатели. Учитывая две или более дроби с разными знаменателями, LCD является наименьшим общим кратным знаменателей.

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями

Найдите наименьший общий знаменатель.
Составьте эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Сложите или вычтите числители.
При необходимости упростите результат.

Упражнения

Указания: Сложите дроби в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы записать дробь три четверти, введите в форму 3/4. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.

2.

3.

4.	Команда Марии занималась футболом две трети часа в пятницу и пять шестых часа в субботу. Сколько часов в общей сложности играла в футбол ее команда?

5.	Учебник истории Эми весит семь восьмых фунта, а ее учебник по алгебре весит две трети фунта. Насколько ее учебник по истории весит больше, чем ее учебник по алгебре?

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача: В пиццерии было две пиццы одинакового размера, каждая из которых была разрезана на равные части.В конце дня осталась треть одной пиццы и шестая часть другой пиццы. Сколько всего пиццы осталось?

Решение: Нам нужно сделать знаменатели одинаковыми. Мы можем найти общий знаменатель , перемножив знаменатели вместе: 3 x 6 = 18.Таким образом, вместо 3 или 6 кусков пиццы мы сделаем из них по 18 кусков. Пиццы теперь выглядят так:

	Список множителей 3:	3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
	Список множителей 6:	6, 12, 18, 24, 30, …
Список общих кратных 3 и 6:		6, 12, 18
Перечислите наименьшее общее кратное 3 и 6:		6

Решение:

Теперь мы можем использовать 6 в качестве наименьшего общего знаменателя.

Пример 1:

Анализ:

Знаменатели не совпадают. Наименьший общий знаменатель (LCD) чисел 4 и 6 равен 12.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Добавьте числители:

Общий знаменатель — приводит к увеличению количества кусочков пиццы.
Наименьший общий знаменатель (LCD) — приводит к уменьшению количества кусочков пиццы.

Пример 2:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 3 и 2 равен 6.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Добавьте числители:

Просто результат:

Пример 3:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 10 и 15 равен 30.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Вычесть числители:

Пример 4:

Анализ: Знаменатели не совпадают. ЖК-дисплей 6, 8 и 16 – 48.

Решение: Составьте эквивалентные дроби с новым знаменателем:

Вычесть и сложить числители:

Просто результат:

Следующая процедура обобщает шаги, которые мы использовали в примерах с 1 по 4:

Процедура: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

Найдите наименьший общий знаменатель.
Составьте эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Сложите или вычтите числители.
При необходимости упростите результат.

Анализ: Эта задача требует сложения дробей с разными знаменателями:

Решение: ЖК-дисплей 3 и 5 равен 15.

Анализ: Эта задача требует вычитания дробей с разными знаменателями:

Решение: ЖК-дисплей 4 и 2 равен 4.

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями

Найдите наименьший общий знаменатель.
Составьте эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Сложите или вычтите числители.
При необходимости упростите результат.

Упражнения

1.

2.

3.

4.	Команда Марии занималась футболом две трети часа в пятницу и пять шестых часа в субботу. Сколько часов в общей сложности играла в футбол ее команда?

5.	Учебник истории Эми весит семь восьмых фунта, а ее учебник по алгебре весит две трети фунта. Насколько ее учебник по истории весит больше, чем ее учебник по алгебре?

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |

Чтобы добавить или вычесть элементы, единицы должны быть одинаковыми.Например, посмотрите на добавляемые элементы ниже.

2 яблока + 3 яблока = 5 яблок

6 апельсинов + 3 апельсина = 9 апельсинов

2 четверти + 5 четвертей = 7 четвертей

2 пятицентовых монеты + 3 пятицентовых монеты = 5 пятицентовых монет

Мы не можем добавить яблоки и апельсины, если не назовем их «фруктами». Точно так же мы не можем добавлять четвертаки и пятаки, если не называем их «центами». В названии дроби единицей является знаменатель. Например, в дроби «4 десятых» единицей измерения является знаменатель: десятых .Следовательно, 4 десятых + 5 десятых = 9 десятых. Посмотрите на пример 1 ниже.

Пример 1: Пицца была разделена на восемь равных частей (ломтиков). Если Дженни съела пять кусочков, а Эрик — два, то какую часть пиццы они съели вместе?

Анализ: Дженни съела «5 восьмых» пиццы, а Эрик съел «2 восьмых». В каждой из этих дробей единицей является знаменатель, восьмых . Поскольку обе дроби имеют одинаковые единицы измерения, мы можем сложить их вместе.

Решение: «5 восьмых + 2 восьмых = 7 восьмых».

Знаменатель дроби называет то, что мы считаем. В примере 1 мы считаем восьмые. Это показано на числовой строке ниже.

Не всегда удобно рисовать числовую линию. Итак, нам нужна арифметическая процедура сложения дробей. Задача из примера 1 записана с использованием математической записи ниже:

Знаменатель дроби обозначает единицу измерения.Числитель показывает, сколько их. Например, в дроби пять восьмых единицей являются восьмые и их 5. Чтобы складывать дроби, знаменатели должны совпадать с . То есть они должны иметь общий знаменатель .

У этих дробей общий знаменатель (знаменатели одинаковы). Если бы знаменатели не были общими, вы не могли бы складывать эти дроби.

Это приводит нас к следующей процедуре сложения дробей с общим знаменателем.

Процедура: Чтобы сложить две или более дроби с одинаковыми знаменателями, сложите числители и поместите полученную сумму над общим знаменателем. При необходимости упростите результат.

Давайте рассмотрим несколько примеров сложения дробей с помощью этой процедуры.

Пример 2:	Сложите эти дроби:

Анализ:	Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем, 7.
Решение:

Пример 3:	Сложите эти дроби:

Анализ:	Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем, 9 .
Решение:

В примере 3 нам нужно было упростить результат: мы сократили шесть девятых до наименьших членов, что составляет две трети.

Пример 4:	Сложите эти дроби:

Анализ:	Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем, 4 .
Решение:

В примере 4 мы упростили результат, превратив неправильную дробь в целое число.

Избегайте этой распространенной ошибки!

Некоторые учащиеся ошибочно складывают знаменатели вместе с числителями. Это математически неверно, как показано ниже.

Пример 5:	Сложите эти дроби:

Решение:
Анализ:

Не добавляйте знаменатели!

Чтобы сложить дроби, сложите только числители и поместите сумму над общим знаменателем.

Пока что мы добавили только две дроби за раз. Мы можем добавить более двух дробей, используя описанную выше процедуру. Это показано в примерах ниже.

Пример 6:	Сложите эти дроби:

Анализ:	Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем, 11 .
Решение:

Пример 7:	Сложите эти дроби:

Анализ:	Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем, 10 .
Решение:

Сводка:

Чтобы сложить две или более дроби с одинаковыми знаменателями, сложите числители и поместите полученную сумму над общим знаменателем. При необходимости упростите результат.

Упражнения

Примечание. Чтобы записать дробь три четверти, введите в форму 3/4.

1.

2.

3.

4.

5.

Добавление смешанных номеров | Math Goodies

Пример 1: Марта добавила в свой сад четыре и одну пятую упаковки земли в понедельник и три и две пятых упаковки земли в пятницу.Сколько пакетов земли она добавила всего?

Анализ: Эта проблема требует от нас добавления смешанных чисел.

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Мы будем складывать целые числа и складывать дроби отдельно.

Решение:

В примере 1 мы расположили работу вертикально, чтобы упростить сложение смешанных чисел.

К прибавьте смешанные числа , прибавьте целые числа и отдельно прибавьте дроби: (целое + целое) + (дробь + дробь)

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2:

Анализ: Дроби имеют одинаковые знаменатели. Сложите целые числа и сложите дроби отдельно.

Решение:

В примере 2 нужно было упростить результат.

Пример 3:

Анализ: Мы складываем целое число и смешанное число. Думайте о десяти как о «десяти и ноль шестнадцатых».

Решение:

Пример 4:

Анализ: Дроби имеют разные знаменатели.Мы запишем эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей, 8.

Решение:

Пример 5:

Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Запишем эквивалентные дроби с помощью ЖКИ, 20.

Решение:

Пример 6:

Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Мы запишем эквивалентные дроби, используя ЖКИ, 36.

Решение:

Пример 7: Продавец мороженого продал восемнадцать и пять шестых литров мороженого в пятницу и девятнадцать с половиной литров мороженого в субботу. Сколько литров он продал всего?

Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Запишем эквивалентные дроби с помощью ЖКИ, 6.

Решение:

Сводка: Чтобы добавить смешанные числа:

Изучите дробную часть каждого смешанного числа, чтобы определить, одинаковы ли знаменатели или нет.
Если знаменатели не совпадают, используйте ЖК-дисплей, чтобы переписать их как эквивалентные дроби.
Сложите целые числа и сложите дроби отдельно: (целое + целое) + (дробное + дробное)
При необходимости упростите результат.

Упражнения

Указания: Сложите смешанные числа в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД.После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите в форму 4, пробел, а затем 2/3.

1.

2.

3.

4.

За одну неделю семья Глоссер выпила одну и семь двенадцатых пакетов обычного молока и четыре и одну двенадцатую пакетов соевого молока.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями – примеры, правила (5 класс, математика)

Вычитание дробей

Вычитание дробей с разными знаменателями

Как найти общий знаменатель?

Пример

Что мы узнали?

Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Тема сложение дробей. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Как решать дроби вычитание. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение дроби на число

Деление дроби на число

Многоэтажные дроби

Специфика работы с многоэтажными дробями

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Свойство дроби

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей из целого числа

Умножение и деление дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Результаты обучения

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Вычесть дроби с разными знаменателями?

Вычитание дробей с разными знаменателями

Шагов для вычитания дробей с разными знаменателями:

Что такое вычитание дробей? — Определение, факты и примеры

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |

Добавление смешанных номеров | Math Goodies

Добавить комментарий Отменить ответ