Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Содержание

На этом уроке мы разберём, как происходит сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями.

Пример задачи с смешанными числами, имеющими разные знаменатели

Образавр, Вообразавр и Иксератопс собирались на пикник. Договорились, что каждый принесёт угощение. Все они купили по две пиццы.

Но по дороге к месту пикника Вообразавру захотелось есть, и он съел четвертинку пиццы. У него осталось $1\frac{3}{4}$ пиццы.

Иксератопс тоже захотел полакомиться пиццей по дороге, он съел третью часть, и принёс $1\frac{2}{3}$ пиццы.

Когда Образавр увидел, что остальные не стерпели и начали есть пиццу без него, ему стало обидно, он взял и съел сразу половину от одной из своих пицц. И у него получилось $1\frac{1}{2}$ пиццы.
Вот стоят друзья и думают, сколько же пиццы получилось у них в итоге?

Сложение смешанных дробей

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$$

Чтобы сложить смешанные дроби с разными знаменателями, нужно уметь

• складывать смешанные дроби с одинаковыми знаменателями;
• складывать обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Подсказка

При сложении смешанных дробей удобно поменять местами слагаемые так, чтобы сначала сложить все целые числа, а затем уже дробные части.

При сложении дробных частей мы действуем так, словно это обыкновенные дроби:


1. Находим общий знаменатель
2. Приводим к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей
3. Выполняем сложение

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

Найдём НОК для чисел $4, 3, 2$

Рассмотрим числа, кратные числу $4$

$$4 \cdot 1 = 4$$

$$4 \cdot 2 = 8$$

$$4 \cdot 3 = 12$$

Дальше можно уже не умножать, так как мы нашли число, кратное $3$. Оно чётное, значит, делится также на $2$. Ни $4$, ни $8$ не делится на $3$, значит, $12$ – это наименьшее общее кратное.

Получаем вот такой пример, где сначала идут целые, а потом дробные части смешанных дробей:

Рисунок 2

У нас получилось $3 + \frac{23}{12}$. Но $\frac{23}{12}$ – неправильная дробь, нужно выделить из неё целое число. Получается $1\frac{11}{12}$. Следовательно, наш пример будет выглядеть теперь так:

$$3 + \frac{23}{12} = 3 + 1+ \frac{11}{12} = 4\frac{11}{12}$$

Если в результате сложения смешанных дробей у нас получилось целое число и неправильная дробь, следует выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целому числу.

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$11\\frac{18}{28} + 3\\frac{3}{14} + \\frac{1}{7}$ = [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","inline":1,"answer":"15"}},"step":1,"hints":["Переставим слагаемые так, чтобы целые части смешанных чисел прибавлялись к целым, а дробные — к дробным:
$11\\frac{18}{28} + 3\\frac{3}{14} + \\frac{1}{7} = 11 + 3 + \\frac{18}{28} +\\frac{3}{14}+ \\frac{1}{7}$","Приведём дробные части к общему знаменателю и произведём вычисления: $14+\\frac{20+6+2}{28} = 14\\frac{28}{28}$","Дробная часть получилась неправильной дробью. Выделим целую часть: $14\\frac{28}{28}=15$"]}]}

Вычитание смешанных дробей

У Образавра, Вообразавра и Иксератопса было $4\frac{11}{12}$ пиццы. Они съели $2\frac{5}{8}$ пиццы и поняли, что вполне сыты. Сколько пиццы у них осталось?

Вычитание смешанных дробей проходит по тому же принципу, что и сложение.

При вычитании смешанных дробей нужно представить уменьшаемое и вычитаемое в виде суммы целых и дробных частей, из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, и из дробной части уменьшаемого вычесть дробной часть вычитаемого. Если у дробных частей смешанных чисел разные знаменатели, требуется сначала привести дроби к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей.

Таким образом,

$$4\frac{11}{12}-2\frac{5}{8} = 4-2+\frac{11}{12}-\frac{5}{8} = 2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}$$

Видите, мы сгруппировали целые части чисел и вычислили разность. Нам осталось провести вычитание дробей с разными знаменателями.

Найдём НОК для $12$ и $8$.

Рисунок 3

Рассматриваем два разложения на множители. Берём множители от большего числа $(2 \cdot 3 \cdot 2)$ и множитель от числа $8$, которого не хватает в разложении числа $12$. Получается

$$2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24$$

Продолжим вычисление.

Рисунок 4

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5\\frac{1}{2}$","$5\\frac{1}{10}$","$5\\frac{7}{10}$","$5\\frac{7}{5}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сначала запишем этот пример так, чтобы целые части чисел вычитались из целых, а дробные части — из дробных: $8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}= 8-3+\\frac{9}{10}-\\frac{2}{5}$","Приведём дробные части к общему знаменателю и произведём вычисления: $5+\\frac{9-2\\cdot 2}{10} = 5\\frac{5}{10}$","Полученную дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число: $5\\frac{5}{10}=5\\frac{1}{2}$"]}]}

Заимствование единицы из уменьшаемого при вычитании смешанных чисел

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят в дробную часть.

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.

Представим данную разность следующим образом:

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34} = 5 + 1\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

Нам нужно найти НОК для чисел $85$ и $34$.

Рисунок 5

Теперь умножим дроби на дополнительные множители и произведём вычисление.

Рисунок 6

{"questions":[{"instruction":"Соедините примеры с ответами","content":"[[matcher-38]]","widgets":{"matcher-38":{"type":"matcher","labels":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6}$"],"items":["$9\\frac{1}{10}$","$9\\frac{11}{12}$","$9\\frac{4}{9}$"]}},"hints":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5} = 7+1+\\frac{1 \\cdot 5 + 3 \\cdot 2}{10} = 8 + \\frac{11}{10} = 9\\frac{1}{10}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4} = 3+6+\\frac{1 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3}{12} = 9 + \\frac{11}{12} = 9\\frac{11}{12}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6} = 11-2+\\frac{7 \\cdot 2-2 \\cdot 3}{18} = 9 + \\frac{8}{18} = 9\\frac{4}{9}$"]}]}

как делать, примеры с одинаковыми и разными знаменателями

Содержание:

• Сложение и вычитание алгебраических дробей
   
• Основные правила, операции без преобразования
• Сложение и вычитание алгебраических дробей
  • Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
  • С помощью формул сокращенного умножения
  • С вынесением общего множителя за скобки
  • С одночленом или числом

Содержание

• Сложение и вычитание алгебраических дробей
   
• Основные правила, операции без преобразования
• Сложение и вычитание алгебраических дробей
  • Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
  • С помощью формул сокращенного умножения
  • С вынесением общего множителя за скобки
  • С одночленом или числом

Сложение и вычитание алгебраических дробей


 

Дробь — это доля числа. Она представлена в виде \frac mn, где m и n — любые натуральные числа. В данной записи m является числителем, а n — знаменателем.

Для того чтобы производить операции с дробями, необходимо знать их основное свойство. Оно состоит в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Следствие

Одно и то же количество можно выразить разными эквивалентными дробями.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Если числитель и знаменатель дроби \(\frac12\) умножить на 2, получится равная ей дробь \(\frac24.\)

Основные правила, операции без преобразования

Сложение (вычитание) дробей — это упрощение выражений вида \(\frac ab\pm\frac cb\) или \(\frac ab\pm\frac cd\), где \(c\neq d. \)

Главное правило сложения и вычитания дробей заключается в том, что операции можно проводить только между дробями с одинаковым знаменателем.

Если знаменатели двух дробей одинаковы, то можно сразу сложить или вычесть, в зависимости от задачи, числители этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Если это возможно, дробь нужно сократить.

Общее правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем выглядит следующим образом:

\(\frac ab\pm\frac cb=\frac{a\pm c}b,\)

где a, b и с — натуральные числа, \(b\neq0.\)

Пример

\(\frac16+\frac46=\frac56;\)

\(\frac78-\frac38=\frac48=\frac12.\)

Если знаменатели разные, дроби необходимо заменить на эквивалентные с одинаковым знаменателем. Выполнить операцию необходимо уже с этими новыми дробями. Распространяется это как на положительные, так и на отрицательные дроби.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Для каждой дроби существует бесконечное количество эквивалентных дробей. Это значит, что обязательно есть знаменатель, являющийся одинаковым для двух или более дробей, с которыми производится действие. Такой знаменатель называют

общим.

Чтобы упростить вычисления, обычно используют метод наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это такое наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на оба числа. В данном случае это числа, стоящие в знаменателях двух дробей.

Пример

Для чисел 2 и 3 произведение и НОК = 6; для чисел 5 и 10 произведение равно 50, а НОК = 10; произведение чисел 4 и 6 равно 24, а их НОК = 12.

Как видно из последних двух примеров, НОК зачастую меньше, чем производное двух данных чисел. Благодаря НОК можно значительно сократить запись решения, поскольку отпадает нужда в ненужном сокращении дробей.

Чтобы найти НОК, необходимо разложить знаменатели обеих дробей на простые множители, а затем выбрать в разложении наименьшего знаменателя множители, не вошедшие в разложение большего знаменателя, и добавить их туда.

После чего перемножить все полученные множители.

Пример

Найдем НОК чисел 12 и 18.

\(12=3\cdot2\cdot2\)

\(18=3\cdot3\cdot2\)

В разложение наименьшего знаменателя 12 вошли множители 3, 2 и 2. А в разложении наибольшего знаменателя 18 множитель 2 встречается только один раз, в нем не хватает еще одного множителя 2. Поэтому мы добавляем его к множителям числа 18. Получаем:

\(НОК\;(12;18)=3\cdot3\cdot2\cdot2=36.\)

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти не только НОК, но и дополнительный множитель. Это такой множитель, на который необходимо умножить каждую из дробей. Для этого необходимо поделить НОК на знаменатель каждой дроби.

Пример

Найдем дополнительный множитель для дробей \(\frac1{12}\) и \(\frac5{18}.\)

НОК для этих дробей уже известно и равно 36. Тогда:

\(36\div12=3;\;36\div18=2\)

Следовательно, дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй – 2. 2}6\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: почему учащиеся испытывают трудности

Если ваши ученики испытывают трудности со сложением и вычитанием дробей с разными знаменателями, на самом деле проблема может заключаться в:

понимании того, как составлять и разлагать дроби.

Могут ли они сначала складывать и вычитать дроби с ПОХОЖИМИ знаменателями? Демонстрируют ли они понимание и гибкость этой концепции? Или они знают только, что им нужно добавить числители, а не почему?

свободное владение кратными и таблицами умножения.

Множественные числа — это основные шаблоны, по которым работают эквивалентные дроби. Если учащиеся изо всех сил пытаются пропустить счет или работать с основными фактами умножения, они неизбежно застрянут на этом этапе процесса. Если им приходится остановиться и подумать о факте умножения, они, как правило, теряют более широкую картину проблемы, над которой работают. Тогда они гораздо чаще совершают ошибки и полностью теряют свое место. Чем лучше учащиеся знакомы с кратными, тем легче им будет быстро распознать наименьшее общее кратное или наименьший общий знаменатель для любых двух дробей.

понимание эквивалентности дроби.

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, мы должны иметь возможность преобразовать одну или обе из них в эквивалентную дробь. Не только это, но мы также должны понять, почему это работает, чтобы полностью применить это. Учащимся необходимо твердое понимание того, как образуются эквивалентные дроби и закономерности, которые они создают. Затем они могут свободно генерировать и распознавать эквивалентные дроби.

беглость, генерирующая эквивалентные дроби.

На этом этапе учащиеся застрянут, если не смогут быстро и точно составить эквивалентные дроби. Это целое понятие само по себе. Если у ваших учеников возникают проблемы с этой концепцией, попробуйте выполнить следующие действия по складыванию.

понимание концепций дробного размера…

и способность использовать ориентиры и оценки, чтобы судить, является ли их ответ разумным. Это важно для того, чтобы убедиться, что их ответы имеют смысл, и понять, когда они допустили ошибку, чтобы они могли ее исправить. Если ваши дети застряли здесь, попробуйте сортировать дроби, чтобы развить эти понятия.

Если учащиеся складывают и вычитают смешанные числа с разными знаменателями, им также потребуется сильное:

понимание неправильных дробей, смешанных чисел и того, как они соотносятся друг с другом.

Учащиеся должны свободно перемещаться между ними и хорошо понимать, как они связаны. Если учащимся не хватает базовых концептуальных представлений о неправильных дробях и смешанных числах, манипулировать ими и работать с ними будет очень сложно.

свободное владение и понимание преобразования между неправильными дробями и смешанными числами.



Преобразование не всегда необходимо для сложения или вычитания, правда. Однако он предлагает учащимся другой вариант решения проблемы и другую стратегию эффективной работы.

Если ваши учащиеся испытывают затруднения при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, возможно, проблема связана с одной или несколькими из этих областей. Проведите быструю оценку, чтобы выяснить, где ваши дети застревают. Затем вы можете оказать учащимся поддержку, чтобы укрепить их концептуальные слабости и попрактиковаться в тех областях, где им нужно научиться свободно говорить. Студенты, которые сильны во всех этих областях, смогут довольно легко складывать и вычитать дроби с разными знаменателями. Это сложная концепция, но если вы разберете ее по частям, нашим ученикам будет гораздо легче справиться с ней.

Счастливого (Часть) Учения!!
Christine Cadalzo

Если вы ищете готовое математическое устройство, которое упрощает сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, нажмите здесь.

Крик о помощи – Дениз Гаскинс, «Давайте поиграем в математику»

Фото powerbooktrance.

Перефразировано с форума по математике для домашнего обучения:

«Помогите мне выучить дроби! Мой сын может решать длинные задачи на вычитание, связанные с заимствованием, и он может справиться с элементарной математикой дробей, но такие задачи, как замораживание мозга. Для меня это простая задача, но он не может понять концепцию заимствования из целого числа. Еще хуже, когда учебник по математике переходит к ».

Несколько родителей, обучающихся на дому, ответили на этот вопрос, дав советы о различных манипуляциях с дробями, которые можно использовать для демонстрации концепции. Я не уверен, что манипуляторы нужны или полезны в этом случае. Кажется, что у мальчика есть базовая концепция вычитания, но он волнуется и не знает, что делать в более сложных задачах со смешанными числами.

Мать говорит: «Для меня это простая проблема» — и это само по себе является источником неприятностей. Слишком часто мы, взрослые (как ученики, обучающиеся на дому, так и школьные учителя), не осознаем, насколько сложна операция, которую мы просим выполнить наших учеников. Вычисление смешанных чисел, подобное этому, представляет собой замысловатый танец, который может показаться новичку непосильным.

Я буду вычислять по кусочку за раз, чтобы вы могли увидеть, сколько ученик должен запомнить. Читая шаги, обратите внимание на собственную эмоциональную реакцию. Вы тоже начинаете чувствовать, что у вас замирает мозг?

Затем мы обсудим, как упростить задачу…

7 шагов для вычитания смешанных чисел

Шаг 1. Ненадолго игнорируйте целые числа и сосредоточьтесь на дробных частях.


Шаг 2. Приведите обе дроби к общему знаменателю. Это само по себе включает несколько шагов:

• Посмотрите на два знаменателя. Можете ли вы увидеть супер-простой общий знаменатель? Например, является ли одно из чисел кратным другому или они оба являются делителями некоторого общего числа, например 12?
• Если нет, то поймите, что наименьший общий знаменатель — это неуместный побочный эффект, и не беспокойтесь об этом.
• Вместо этого используйте Самый простой общий знаменатель : Умножьте знаменатели ваших дробей. Это всегда работает.
• Умножьте числители ваших дробей на одно и то же число, чтобы получить эквивалентные дроби.
• Вычеркните исходные дроби и напишите рядом с ними новые дроби.

Шаг 3. Сравните дроби. Обратите внимание, что вычитаемое (которое называется вычитаемым числом ) больше, чем то, из которого вы его вычитаете (вычитаемое число 9).0067). Паника. Сделайте глубокий вдох. Успокойтесь и переходите к…

Шаг 4. Заимствуем/переименовываем из целого числа часть уменьшаемого, чтобы получить большую дробь. Это включает в себя еще несколько шагов:

• Вычтите 1 из целого числа, зачеркните его и напишите выше новое число.
• Мысленно преобразуйте «заимствованную» 1 в неправильную дробь с общим знаменателем.
• Мысленно прибавьте преобразованную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычеркните дробную часть уменьшаемого (да, еще раз!) и напишите рядом новое значение.

Шаг 5. Вычесть дробную часть вычитаемого из дробной части уменьшаемого. Запишите этот ответ ниже.


Шаг 6. Убедитесь, что дробная часть вашего ответа является наименьшей. Вау! На этот раз это так.

Шаг 7. Теперь посмотрите на целочисленную часть вычисления и следуйте стандартным правилам вычитания целых чисел…

Я вижу, как ученик может запутаться, а вы? А перевод проблемы на манипуляторы только добавит шагов, еще больше усложнив ее!


Фото gotplaid?

Сделайте это проще, часть 1

Я хотел бы попробовать другой подход. Иногда долгий путь решения проблемы на самом деле приводит к более короткому решению. В качестве дополнительного бонуса круговой метод может помочь учащемуся разобраться в расчетах, а не просто пытаться запомнить и следовать сложному рецепту шагов.

Вот основной принцип:

Всякий раз, когда вы застряли на проблеме, подумайте, что вы можете сделать, чтобы упростить ее.

Имея это в виду, давайте еще раз посмотрим на наш расчет смешанных чисел:

Как мы можем упростить его? Не обращайте внимания на дроби. Если бы это было 10 – 2, это было бы легко:

Теперь верните дроби туда, где они были:

• Вы видите, что это вычисление даст точно такой же ответ, как и в предыдущей задаче?

Это ключевой принцип работы с арифметикой — делайте все возможное, чтобы упростить свои вычисления, не меняя основной задачи. Большая часть первого года обучения алгебре уходит на то, чтобы научиться таким образом упрощать уравнения.

Сделать проще, часть 2

Итак, что еще мы можем сделать? Если бы у нас была очень короткая задача вроде , это было бы легко, верно? Я уверен, что вы могли бы сделать это в своей голове.