В примере с умножением и делением какое первое действие: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками

Содержание

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Чтобы найти значение числового выражения, необходимо знать ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ.

Если в выражении используются только основные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), то порядок таков: сначала выполняется умножение и деление, а затем выполняется сложение и вычитание, причем выполняют их слева направо в том порядке, в котором они записаны.

Если же в примере есть действие возведения в степень, то сначала выполняется возведение в степень, потом умножение или деление, затем сложение и вычитание.

Нарушить порядок выполнения арифметических действий могут скобки.

Если в выражении есть скобки и основные арифметические действия, то сначала выполняются действия в скобках, при этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.

В старых учебниках и сборниках задач выражения заключают последовательно в круглые ( — ), квадратные [ — ( — ) — ] и фигурные { — [ — ( — ) — ] — } скобки. Действия в данном случае выполняются последовательно: сначала в круглых, затем в квадратных, потом в фигурных скобках. При этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.

В нынешних учебниках чаще используют только круглые скобки, например: ( — ( — ( — ) — ) — ). В этом случае начинаем выполнять действия сначала во внутренних скобках и далее последовательно от внутренних скобок к последним внешним. Выполняют действия в этих скобках, соблюдая установленный порядок выполнения математических действий.

Если в примерах деление обозначено чертой дроби, то необходимо обязательно сократить дробь, если, конечно, это возможно.

Если сократить нельзя, то сначала выполняют действия в числителе этой дроби, затем в знаменателе, потом выполняют деление результата выполнения действий в числителе на результат выполненных действий в знаменателе (напоминаем, черта дроби — это действие деления).

При наличии в примере знака корня и действий под корнем, мы выполняем сначала действия под знаком корня, затем извлекаем корень, то есть рассматриваем как запись со скобками (знак корня — рассматривается, как скобки).

Если выражение содержит действия в показателе степени, сначала выполняют все математические действия, указанные в показателе степени.

ПОДЕЛИТЕСЬ:

Сложение, вычитание, умножение и деление. ереместительное, сочетательное свойства. Примеры решение задач.

Арифметические операции

Сложение:

Умножение:

Вычитание:

Деление:

Переместительное свойство

Это свойство относится только к двум операциям: сложение и умножение, так как только в этих операциях каждое из слагаемых или множителей имеет одинаковое значение.

Cочетательное свойство.

Следующее свойство – сочетательное. Это свойство рассматривается для сложения и умножения.

Переместительное и сочетательное свойства для сложения и умножения позволяют объединять слагаемые и множители в группы, менять их местами. Эти свойства позволяют считать быстрее и без ошибок.

Распределительные свойства

Следующие свойства раcпределительные. Они показывают, как можно вычислить выражение, если в нем используются операция умножение вместе со сложением или вычитанием (распределяют порядок вычисления):

Противоположный элемент

Нейтральный элемент – 0.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел:

Также обрати внимание на порядок действий, если скобки не расставлены. Итак, у нас есть 4 операции, они выполняются в следующем порядке:

Умножение и деление – в порядке следования слева направо;
Сложение и вычитание – в порядке следования слева направо.
При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

Задача 1. Вычислить $-55+(-7)+18+7.$

Решение.

Воспользуемся переместительным свойством для удобства вычисления: $-7+7-55+18$

$-7$ и $7$ противоположные элементы, итого: $-55+18=-37$

Ответ:$-37$

Задача 1. Вычислить $(-7+9)+7*2-56$.

Первое действие выполняем в скобках и умножение: $2+ 7*2$
выполняем умножение, затем сложение и вычитание: $2+14-56=16-56=-40.$

Ответ:$-40.$

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГПУ им. Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Математика -это волшебный мир. в котором можно творить чудеса. В нем хочется просто быть и узнавать пока еще непознанное.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Новосибирский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-8 класса. Математика окружает нас повсюду, чем и влюбляет в себя. Люди, интересующиеся математикой, видят гораздо больше вокруг себя, имеют больше возможностей. Я помогаю ученикам не только повысить уровень знаний школьной математики, но и учу пользоваться ей в повседневной жизни и применять ее в обыденных действиях. Моя цель — не просто выдать материал, а объяснить его на простом и доходчивом языке, чтобы ребёнок точно всё понял. С радостью буду ждать всех на занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое. Буду рада видеть на своих уроках!

Решение уравнений

— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие

Курсы ЕГЭ

— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие

Примеры по математике со скобками

Выполнение тех или иных операций предполагает определённый порядок действий.

4 – 2 + 1 = 3

Если производить действия в порядке их записи, четыре минус два плюс один, результат будет равен трём. Если же вначале сложить 2 и 1 и вычесть данную сумму из 4, то получится цифра 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия применяют скобки.

Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других.

Пример:

(4 – 2) + 1 = 3

5 – (3 + 1) = 1

(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35

4 + (4 × 5) = 4 + 20 = 24

Скобки не ставятся в тех случаях если:

1. действия сложения и вычитания, исполняются в последовательности, как они записаны:

вместо (6 – 2) + 1 = 5 пишут 6 – 2 + 1 = 5

2. внутри скобок совершаются операции умножения или деления:

вместо 2 + (2 × 8) = 18 пишут 2 + 2 × 8 = 18

При расчёте таких выражений, которые либо вовсе не содержат разделительных скобок, либо имеют такие скобки, внутри которых не содержится других скобок, следует производить действия в следующем порядке:

1. вначале выполняются операции с цифрами заключенными в скобки, при этом действия умножения и деления делаются в порядке их следования, но ранее, чем сложение и вычитание.

2. Затем, исполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление производятся в порядке их следования, но ранее сложения и вычитания.

Пример:

2 × 5 – 3 × 3

сначала выполняется умножения

2 × 5 = 10

3 × 3 = 9

затем выполняется вычитание

10 – 9 = 1

Пример:

22 + 16 : 4 – 4 × (17 – 2 × 7 + 3) + 7 × (3 + 4)

выполнение действий в скобках:

17 – 2 × 7 + 4 = 17 – 14 + 3 = 6

3 + 4 = 7

выполнение остающихся действий:

22 + 16 : 4 – 4 × 6 + 7 × 7 = 22 + 4 – 24 + 49 = 51

Зачастую для указания порядка действий, необходимо применять дополнительные скобки.

Тогда, кроме простых круглых скобок, используют скобки иной формы:

[ ] – квадратные скобки

{ } – фигурные скобки

Вычисление этих выражений реализуется в следующем порядке:

Вначале операции вычисления производятся внутри всех круглых скобок

затем – вычисления внутри всех квадратных скобок

далее – вычисления внутри фигурных скобок

после выполняются остающиеся действия

Пример:

5 + 2 × [14 – 4 × (7 – 5) ] + 36 : (12 – 2 × 3)

выполнение действий в круглых скобках:

7 – 5 = 2

12 – 2 × 3 = 12 – 6 = 6

действия в квадратных скобках:

14 – 4 × 2 = 6

выполнение остающихся действий:

5 + 2 × 6 + 36 : 6 = 5 + 12 + 6 = 23

Пример:

{100 – [40 – (35 – 25)]} × 2

Порядок действий:

35 – 25 = 10

40 – 10 = 30

100 – 30 = 70

70 × 2 = 140

Как расставить действия в примере. Порядок выполнения действий, правила, примеры

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте .

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

Рассмотрим выражение.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Действуем по алгоритму.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

И деление чисел — действиями второй ступени.
Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом — действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а — 37 = 20;
г) 20 — m = 37;
д) 37 — с = 20;
е) 20 + k = 0.

636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления.

637. Даны три числа: первое — трехзначное, второе — значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье — 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел?

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 1а + 324;
б) 12у + 29у + 781 + 219;

639. Решите уравнение:

а) 8х — 7х + 10 = 12;
б) 13у + 15у- 24 = 60;
в) Зz — 2z + 15 = 32;
г) 6t + 5t — 33 = 0;
д) (х + 59) : 42 = 86;
е) 528: k — 24 = 64;
ж) р: 38 — 76 = 38;
з) 43m- 215 = 473;
и) 89n + 68 = 9057;
к) 5905 — 21 v = 316;
л) 34s — 68 = 68;
м) 54b — 28 = 26.

640. Животноводческая ферма обеспечивает привес 750 г на одно животное в сутки. Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?

641. В двух больших и пяти маленьких бидонах 130 л молока. Сколько молока входит в маленький бидон, если его вместимость в четыре раза меньше вместимости большего?

642. Собака увидела хозяина, когда была от него на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4 с; через 10 с; через t с?

643. Решите с помощью уравнения задачу:

1) У Михаила в 2 раза больше орехов, чем у Николая, а у Пети в 3 раза больше, чем у Николая. Сколько орехов у каждого, если у всех вместе 72 ореха?

2) Три девочки собрали на берегу моря 35 ракушек. Галя нашла в 4 раза больше, чем Маша, а Лена — в 2 раза больше, чем Маша. Сколько ракушек нашла каждая девочка?

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 (6906 — 6841) : 5 — 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

1. Умножить 271 на 49.
2. Разделить 1001 на 13.
3. Результат выполнения команды 2 умножить на 24.
4. Сложить результаты выполнения команд 1 и 3.

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

647. Решите уравнение:

а) Зх + bх + 96 = 1568;
б) 357z — 1492 — 1843 — 11 469;
в) 2у + 7у + 78 = 1581;
г) 256m — 147m — 1871 — 63 747;
д) 88 880: 110 + х = 809;
е) 6871 + р: 121 = 7000;
ж) 3810 + 1206: у = 3877;
з) к + 12 705: 121 = 105.

648. Найдите частное:

а) 1 989 680: 187; в) 9 018 009: 1001;
б) 572 163: 709; г) 533 368 000: 83 600.

649. Теплоход 3 ч шел по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 ч по реке. Сколько километров прошел теплоход за эти 7 ч, если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

650. Сейчас расстояние между собакой и кошкой 30 м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки — 7 м/с?

651. Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планы конспектов уроков по математике 5 класса скачать , учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Поделитесь статьей с друзьями:

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев

Арифметические действия над числами

Советы → Полезные сведения → Арифметика → Арифметические действия

Арифметические действия

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием. В арифметике рассматривается шесть действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

1. Сложение. Это действие состоит в том, что по нескольким числам, называемым слагаемыми, находится число, называемое их суммой.

Пример: 4+3=7, где 4 и 3 – слагаемые, а 7 – их сумма.

2. Вычитание – действие, посредством которого по данной сумме (уменьшаемое) и данному слагаемому (вычитаемое) находят искомое слагаемое (разность).
Это действие обратно сложению.

Пример: 7 – 3 = 4, где 7 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, а 4 – разность.

3. Умножение. Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) – значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе. Результат умножения называется произведением.

Пример: 2 ∙ 3 = 6, где 2 – множимое, 3 – множитель, а 6 – произведение. (2 ∙ 3 = 2 + 2+ 2 = 6)

Если множитель и множимое меняются ролями, то произведение остается тем же. Поэтому множитель и множимое также называются сомножителями.

Пример: 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2, то есть (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Полагают, что если множителем является 1, то a ∙ 1 = a.

Например: 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Деление. Посредством деления по данному произведению (делимое) и данному сомножителю (делитель) находят искомый сомножитель (частное).
Это действие обратно умножению.

Пример: 8 : 2 = 4, где 8 – делимое, 2 – делитель, а 4 – частное.

Проверка деления: произведение делителя 2 и частного 4 дает делимое 8. 2 ∙ 4 = 8

Деление с остатком

Если при делении целого числа на целое число в частном получается целое число, то такое деление целых чисел называется точным, или, что первое число нацело делится (или просто – делится) на второе.

Например: 35 делится (нацело) на 5, частное есть целое число 7.

Второе число при этом называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое (см. признаки делимости).

Точное деление возможно далеко не всегда. В таком случае выполняют так называемое деление с остатком. В этом случае находят такое наибольшее число, которое при умножении на делитель даст произведение, не превосходящее делимого. Это число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком от деления.
Делимое равно делителю, умноженное на неполное частное, плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя.

Пример: Неполное частное от деления числа 27 на 4 равно 6, а остаток равен 3. Очевидно, 27 = 4∙6 + 3 и 3˂4.

5. Возведение в степень. Возвести некоторое число в целую степень (во вторую, в третью и т.д.) – значит взять это число сомножителем два, три раза и т.д. Иначе говоря, возведение в степень выполняется повторным умножением.
Число, которое берётся сомножителем, называется основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется основание, называется показателем степени; результат возведения числа в степень называется степенью этого числа.

Пример: 2∙2∙2 = 2³ = 8; где 2 – основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.

Вторую степень числа иначе называют квадратом, третью степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят искомое основание (корень).
Это действие обратно возведению в степень.

Пример: ³√64 = 4; где 64 – подкоренное число, 3 – показатель корня, 4 – корень.

Проверка извлечения корня: 4³=64. Возведение числа 4 в 3-ю степень даёт 64.

Корень второй степени иначе называют квадратным; корень третьей степени – кубическим.
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √36 = 6 означает ²√36 = 6.

Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике — Выгодский М.Я., «Наука», 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9—11 кл. — Шахно К. У., «Учпедгиз», 1961 г.

→ Читайте по теме: Признаки делимости

→ Арифметика

→ В раздел Советы

При полной или частичной публикации статьи в Интернете обязательно указание активной гиперссылки на источник http://programmistan.narod.ru

Математические действия на английском языке

Наиболее употребительные простые дроби.

Даже если ваша профессиональная деятельность никак не связана с точными науками, хотя бы основные математические действия на английском знать нужно. Они встречаются не только в специальной литературе, но и в фильмах, книгах, повседневной речи. В этой статье мы рассмотрим термины, связанные с арифметическими задачами, дробями, процентами. В конце я привожу озвученные карточки со основными словами на тему математики.

Обратите внимание, здесь рассматриваются только математические термины. Если вы ищете сведения о числительных, рекомендую эту статью: Числительные в английском языке.

Содержание:

Основные математические действия на английском: сложение, вычитание, умножение и деление

Наиболее употребительные математические термины относятся к арифметике. Обратите внимание, в русском языке у нас есть такие слова, как:

Сложение, вычитание, деление, умножение – название действия.
Складывать, вычитать, делить, умножать – глагол, обозначающий действие.
Плюс, минус, разделить, умножить – название действия, которое мы используем в речи, когда читаем выражение, именно оно используется чаще всего.

В английском языке точно так же, поэтому представим арифметические действия в виде таблицы:

Название действия (сущ.)	Название действия (глагол)	Используется в речи
Addition – сложение	Add – прибавлять	Plus – плюс
Subtraction – вычитание	Subtract – вычитать	Minus – минус
Multiplication – умножение	Multiply by – умножать на	Times – умножить
Division – деление	Divide by – делить на	Divided by – разделить
Equality – равенство	Equals to \ is equal to – равняться чему-то	Equals to \ is equal to \ is – равно

Сама арифметическая задача (например, 2+2) называется problem (по-научному) или sum (разговорный вариант), решение или ответ – answer, а глагол “решать” – to solve (the problem).

Приведу примеры:

2+2=4 – Two plus two equals four.
7-2=5 – Seven minus two equals five.

Часто вместо equals или is equal to говорят просто is.

5×3=15 – Five times three is fifteen.
8÷4=2 – Eight divided by four is two.

Дроби на английском языке

Простые дроби – common fractions

Если у вас с математикой так же “прекрасно”, как у меня, напомню самое основное о дробях.

Простые дроби (common fractions) состоят из числителя (numerator) и знаменателя (denominator). Напоминаю, числитель сверху, знаменатель снизу 🙂 Если число состоит из целого и дроби, например 1½, – это называется смешанная дробь или смешанное число (mixed numeral).

Числитель выражается количественным числительным, а знаменатель порядковым. Наиболее употребительные в речи дроби 1/2, 1/3, 1/4 в русском языке имеют не только “умные” называния “одна вторая”, “одна третья”, одна четвертая, но и простые: половина, треть, четверть. В английском точно так же.

1/2 – a half, one half.
1/3 – a third, one third.
1/4 – a quarter, one fourth.
1/5 – one fifth.
1/6 – one sixth.
2/3 – two thirds.
3/4 – three fourths.
1/8 – one eighth.
1/10 – a tenth.
1/100 – a hundredth.
1¼ – one and a quarter.
1½ – one and a half.
1¾ – one and three quarters.

Обратите внимание, когда числитель больше одного, к окончанию добавляется -s, так как знаменатель используется во множественном числе (как и в русском: две третьих, три четвертых).

Существительное, которое определяется дробью, используется с предлогом of:

3/4 mile – Three fourths of a mile.
1/4 bottle – A quarter of a bottle.

Существительное, определяемое смешанной дробью, используется без предлога, но во множественном числе:

2 ½ miles – Two and a half miles.
1¼ bottles – One and a quarter bottles.

Десятичные дроби – decimal fractions, decimals

В английском в десятичных дробях (decimals) целое от дроби отделяется точкой (point), а не запятой, как у нас.

Ноль перед точкой называется zero или (британский вариант) nought. Ноль после точки может называться oh (как буква “o”), zero, nought. Лично я для простоты всегда говорю zero, потому что это слово проще выговорить и расслышать. Если целое число в дроби равно нулю, его часто опускают в речи, начиная говорить сразу с “point”.

Целое число читается как обычное количественное числительное, например 45.1 – forty five point one. Но в дробной части каждая цифра читается отдельно тоже как количественное: 2.45 – two point four five (а не two point forty five).

Примеры:

0.1 – Point one, zero point one.
0.35 – Point three five, zero point three five.
1.25 – One point two five.
35.158 – Thirty five point one five eight.
15.05 – Fifteen point zero five.

Проценты в английском языке, трудности с числом глагола

Сотые доли могут выражаться с помощью процентов, тогда используется стандартный значок % и слово percent, всегда использующееся в единственном числе.

1% – One percent.
10% – Ten percent.
17% – Seventeen percent.

Трудность может вызвать число глагола в выражениях с процентами. Например:

Twenty percent of the students are/is present. – 20% студентов присутствуют.
The remaining twenty percent of the script has/have been rewritten. – Оставшиеся 20% сценария были переписаны.

В таких случаях глагол согласуется в числе с существительным после of:

Twenty percent of the students are present (т. к. students – мн. число).
The remaining twenty percent of the script has been rewritten (т. к. script – ед. число).

Возведение в степень в английском

Для обозначение степени используются выражения to the power of five, to the fifth power, raised to the power of five, raised to the fifth power. Для 2-ой и 3-ей степени используются термины “в квадрате” (squared) и “в кубе” (cubed).

3^{2 –}Three squared, three to the second power.
3^{3 –}Three cubed, three to the third power.
10^{4 –}Ten to the fourth power, ten to the power of four.
30²⁴^–Thirty to the power of twenty four.

Квадратный корень называется square root:

√16 = 4 – The square root of sixteen is four.
√25 = 5 – The square root of twenty five is five.

Математические выражения со скобками

Круглые скобки называются parentheses (ед. число parenthesis) или, проще, round brackets. Если выражение стоит в скобках, и к нему применяется операция, используется слово quantity.

(2+3)×4=24 – Two plus three quantity times four equals to twenty four.
(3+5)²=64 Three plus five quantity squared is sixty four.

Карточки с английскими словами на тему “Математика”

Математические термины из этой статьи можно выучить с помощью карточек на Quizlet и PDF-карточек для распечатки.

math (mathematics)	математика
do the math	считать (матем. действия)
problem (sum)	арифметическая задача
to solve	решать
answer	ответ
digit	цифра
number	число
odd number	нечетное число
even number	четное число
to add	прибавлять
to subtract	вычитать
to multiply by	умножать на
to divide by	делить на
to be equal to	равняться
plus	плюс
minus	минус
times	умножить
divided by	разделить
equals to	равно
common fractions	простые дроби
numerator	числитель
denominator	знаменатель
mixed number	смешанное число (дробь)
half	половина
quarter	четверть
decimals (decimal fractions)	десятичные дроби
point	точка (в дес. дробях)
percent	процент
to the power of five	в пятой степени
two squared	два в квадрате
two cubed	два в кубе
square root	квадратный корень
round brackets	круглые скобки
brackets	квадратные скобки
to round up the numbers	округлять числа

Здравствуйте! Меня зовут Сергей Ним, я автор этого сайта, а также книг, курсов, видеоуроков по английскому языку.

Друзья! Меня часто спрашивают, но я не занимаюсь сейчас репетиторством. Если вам нужен репетитор, я рекомендую зайти на этот чудесный сайт. Здесь вы найдете учителей носителей и не носителей языка👅 для любых целей и на любой карман😄 Я сам прошел там более 100 уроков, рекомендую попробовать и вам!

Сначала умножить или сложить? Порядок обучения правилам действий

Когда ученики 3-х классов и выше учатся складывать, вычитать, умножать, делить и работать с основными числовыми выражениями, они начинают с выполнения операций над двумя числами. Но что происходит, когда выражение требует нескольких операций? Например, вы сначала складываете или умножаете? А как насчет умножения или деления? В этой статье объясняется, в каком порядке выполняются операции, и приводятся примеры, которые вы также можете использовать со студентами.Он также содержит два урока, которые помогут вам представить и развить концепцию.

Стандарт ключа:

Выполнять арифметические операции, включая сложение, вычитание, умножение и деление в обычном порядке, независимо от того, есть ли скобки или нет. (3 класс)

Порядок операций — это пример очень процедурной математики. Легко ошибиться, потому что это не столько концепция, которую вы усвоили, сколько список правил, которые вам нужно запомнить.Но не обманывайтесь, думая, что процедурные навыки не могут быть глубокими! Он может представлять сложные проблемы, подходящие для старших школьников и созревший для обсуждения в классе:

Меняется ли правило слева направо, когда умножение подразумевается, а не прописано? (Например, \ (3g \) или \ (8 (12) \) вместо \ (3 \ times g \) или \ (8 \ cdot 12 \).)
Где факториал попадает в порядок операции?
Что произойдет, если вы возведете показатель степени в другой показатель, но скобок нет? (Обратите внимание, что этот урок не включает экспоненты, хотя, если учащиеся готовы, вы можете расширить свой урок, включив их.)

Что первично в порядке работы?

Со временем математики согласовали набор правил, называемый порядком операций , чтобы определить, какую операцию выполнить в первую очередь. Когда выражение включает только четыре основных операции, вот правила:

Умножайте и делите слева направо.
Сложить и вычесть слева направо.

При упрощении выражения, такого как \ (12 \ div 4 + 5 \ times 3-6 \), сначала вычислите \ (12 \ div 4 \), поскольку порядок операций требует сначала оценки любого умножения и деления (в зависимости от того, что произойдет первый) слева направо перед вычислением сложения или вычитания.В данном случае это означает сначала вычисление \ (12 \ div 4 \), а затем \ (5 \ times 3 \). После того, как все умножение и деление будут завершены, продолжайте добавлять или вычитать (в зависимости от того, что наступит раньше) слева направо. Шаги показаны ниже.

\ (12 \ div 4 + 5 \ times 3-6 \)
\ (3 + 5 \ times 3-6 \)	Потому что \ (12 \ div 4 = 3 \)
\ (3 + 15-6 \)	Потому что \ (5 \ times 3 = 15 \)
\ (18-6 \)	Потому что \ (3 + 15 = 18 \)
\ (12 \)	Потому что \ (18-6 = 12 \)

Рассмотрим в качестве примера другое выражение:

\ (6 + 4 \ times 7-3 \)
\ (6 + 28-3 \)	Потому что \ (4 \ times 7 = 28 \), что выполняется первым, потому что умножение и деление оцениваются в первую очередь.
\ (34-3 \)	Потому что \ (6 + 28 = 34 \)
\ (31 \)	Потому что \ (34-3 = 1 \)

Иногда мы можем захотеть убедиться, что сначала выполняется сложение или вычитание. Группировка символов , таких как скобок \ (() \), скобок \ ([] \) или фигурных скобок \ (\ {\} \), позволяет нам определить порядок, в котором выполняются определенные операции. выполнила.

Порядок операций требует, чтобы операции внутри символов группировки выполнялись перед операциями вне их.Например, предположим, что выражение 6 + 4 заключено в круглые скобки:

\ ((6 + 4) \ times 7-3 \)
\ (10 \ times 7-3 \)	Потому что \ (6 + 4 = 10 \), что и делается во-первых, потому что он заключен в круглые скобки.
\ (70 — 3 \)	Потому что \ (10 \ times 7 = 70 \), и скобок больше нет.
\ (67 \)	Потому что \ (70 — 3 = 67 \)

Обратите внимание, что выражение имеет совершенно другое значение! Что, если вместо этого мы заключим скобки вокруг \ (7 — 3 \)?

\ (6 + 4 \ times (7-3) \)
\ (6 + 4 \ times 4 \)	На этот раз \ (7-3 \) находится в скобках, так что мы делаем это в первую очередь.
\ (6 + 16 \)	Поскольку \ (4 \ times 4 = 16 \) и когда скобок не осталось, мы продолжаем умножение перед сложением.
\ (22 \)	Потому что \ (6 + 16 = 22 \)

Этот набор скобок дает еще один ответ. Итак, когда используются круглые скобки, правила порядка операций следующие:

Выполнять операции в скобках или группировать символы.
Умножайте и делите слева направо.
Сложить и вычесть слева направо.

Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

Основные операции

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Цели обучения

Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

Основные выводы

Ключевые точки

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Ключевые термины

ассоциативный : Обращение к математической операции, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
произведение : результат умножения двух величин.
частное : результат деления одного количества на другое.
сумма : Результат сложения двух величин.
разница : результат вычитания одного количества из другого.

Четыре арифметических операции

Дополнение

Сложение — это самая основная арифметическая операция. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну, или , сумма . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков.Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

[латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание противоположно сложению. Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу в между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля.Математически:

[латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

Умножение

Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений. В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:

[латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

Однако есть еще один способ посчитать коробки — это умножить количество:

[латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат — 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

Дивизия

Деление — это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы дает 4 группы по 2 блока:

[латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

Основные арифметические свойства

Коммутативная собственность

Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение — это коммутативные операции:

[латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
[латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

Однако вычитание и деление не коммутативны.

Ассоциативное свойство

Свойство ассоциативности описывает уравнения, в которых , объединяющее чисел, не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

[латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
[латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

Распределительная собственность

Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третью величину.

[латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

Отрицательные числа

Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

Цели обучения

Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

Основные выводы

Ключевые точки

Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательное значение; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и сложение отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.

Четыре операции

Дополнение

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

[латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Основной принцип заключается в том, что два долга — отрицательные числа — могут быть объединены в один долг большей величины.

При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа — вычесть положительные величины. Например:

[латекс] 8 + (−3) = 8 — 3 = 5 [/ латекс]

Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

[латекс] (- 8) + 3 = 3 — 8 = −5 [/ латекс]

Аналогично:

[латекс] (- 2) + 7 = 7 — 2 = 5 [/ латекс]

Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

[латекс] 2 + (−7) = 2 — 7 = −5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

[латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

[латекс] 5 — 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

[латекс] (- 3) — 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Аналогично, при вычитании отрицательного числа дает тот же результат, что и при добавлении положительного числа из этого числа. Идея здесь в том, что , потерявший долга, — это то же самое, что получить кредит.Следовательно:

[латекс] 3 — (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

[латекс] (- 5) — (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

Умножение

При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Например:

[латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

.
[латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]
Однако
[латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]
Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом — это то же самое, что получить кредит в шесть раз:
[латекс] \ left (−2 \ text {долги} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]
Дивизия
Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.
Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
Если разделить одно положительное число и одно отрицательное число, получится отрицательное число.
После деления двух отрицательных чисел получается положительное число.
Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:
[латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]
и
[латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]
, но
[латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].
Дополнительные соображения
Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:
[латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]
Дроби
Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.
Цели обучения
Вычислить результат операций с дробями
Основные выводы
Ключевые точки
Для сложения и вычитания дробей требуется «одинаковые количества» — общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь — использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
При делении на дроби первое число умножается на величину, обратную второму числу.
Ключевые термины
числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
обратная : Дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
дробь : отношение двух чисел — числителя и знаменателя — обычно записываемых одно над другим и разделенных горизонтальной чертой.
Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет собой определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:
Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где торт можно разрезать, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].
Дополнение
Добавление одинаковых количеств
Первое правило сложения дробей — начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.
Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман — три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:
[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]
Добавление отличных величин
Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, — это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла такое же соотношение.)
Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:
[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]
Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:
[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]
Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).
Сложение дробей к целым числам
Что делать, если к целому числу добавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (напомним, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.
Вычитание
Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:
[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} — \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} — \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} — \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]
Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.
Умножение
В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:
[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]
Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьших значений до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы, дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:
[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]
Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:
[латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]
Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, — это во время готовки.Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.
Дивизия
Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина — это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:
[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]
Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если оно делится просто):
[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]
или умножьте знаменатель дроби на целое число:
[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]
Сложные фракции
Комплексная дробь — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.
Цели обучения
Упростить сложные дроби
Основные выводы
Ключевые точки
Сложные дроби включают такие числа, как [latex] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
«Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.
Ключевые термины
сложная дробь : соотношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.
Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.
Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:
Объедините члены в числителе.
Объедините члены в знаменателе.
Разделите числитель на знаменатель.
Пример 1
Давайте применим этот метод к первой сложной дроби, представленной выше:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]
Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]
Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:
[латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]
Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].
Пример 2
Давайте попробуем другой пример:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]
Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:
[латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]
Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:
[латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]
Обратимся к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:
[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]
Наконец, упростим полученную дробь:
[латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]
Следовательно, в итоге:
[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]
Введение в экспоненты
Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на сам [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]
Показатели 0 и 1
Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].
Порядок действий
Порядок операций — это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.
Цели обучения
Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций
Основные выводы
Ключевые точки
Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
Умножение и деление имеют равный приоритет, так же как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
Полезная мнемоника для запоминания порядка действий — PEMDAS, иногда расширяемая до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
Ключевые термины
математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.
Порядок операций — это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.
Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?
Один вариант:
[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]
Другой вариант:
[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]
Какой порядок действий правильный?
Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ — 10.
Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:
Упростите термины в круглых или квадратных скобках
Упростить экспоненты и корни
Выполнить умножение и деление
Выполнить сложение и вычитание
Эти правила означают, что в математическом выражении сначала должна выполняться операция, занимающая наивысшее место в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]
Примечание о равном приоритете
Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].
Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.
При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:
[латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
[латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]
Важно сохранять отрицательный знак при любом отрицательном числе (здесь 3).
Мнемоника
В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
Эта мнемоника может вводить в заблуждение, однако, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» — это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:
[латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]
Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , а затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.
[латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]
Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:
-П
E
MD
КАК
Или, просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.
Связь между умножением и делением
Математика — очень логичная наука, построенная на правилах, принципах и отношениях. Математическое мышление основано на последовательном изучении процедур сначала с конкретными объектами, затем с визуальными моделями и только потом с абстрактными символами и понятиями. Такой систематический подход к обучению позволяет учащимся понять смысл математических операций и связь между ними.
Начиная с 3-го класса «Счастливые числа» дают пошаговые объяснения умножения и деления, их связи со сложением и вычитанием, которые учащиеся освоили ранее, и того, как применять эти операции. Кроме того, студенты изучают связь между умножением и делением, поскольку эти операции обратны друг другу. Впоследствии они укрепляют и развивают эти знания при решении различных задач. В этой статье рассматривается, как Happy Numbers помогает учащимся изучить взаимосвязь между умножением и делением, чтобы они могли свободно выполнять эти операции.
1. Связанные факты об умножении и делении

Связь деления на число с умножением на одно и то же число
Самый простой способ установить связь между умножением и делением на интуитивном уровне — использовать модель массива, которая в равной степени подходит для обеих операций. «Счастливые числа» предлагает серию упражнений, которые приводят учащихся к концептуальному пониманию этой взаимосвязи.
В первом упражнении учащиеся сопоставляют факты умножения и деления, соответствующие одной и той же модели массива.Каждая из трех задач начинается с разделения. Например, на снимке экрана ниже показан третий массив, а результаты первых двух сохраняются в правом верхнем углу:
Если учащиеся отвечают неправильно, следующая подсказка напоминает им об интерпретации деления, которая позволяет им найти ответ:
Следующий шаг — завершение предложения умножения на основе того же представления массива:
Теперь ученики смотрят на результаты трех заданий и приходят к важному предположению:
Чтобы просмотреть полное упражнение, перейдите по этой ссылке.
Деление на 3 связано с умножением на 3. Не только это, но и отношение верно для любого числа: Деление на число связано с умножением на то же число .
Это делает утверждение «Деление связано с умножением» более конкретным и может быть дополнительно детализировано, чтобы стать незамедлительно используемым инструментом.
Связанные факты умножения и деления состоят из связанных одинаковыми числами
Чтобы детализировать установленную выше взаимосвязь, Happy Numbers предлагает упражнения, привлекающие внимание студентов к числам, участвующим в двух операциях (делении и умножении), соответствующих одной и той же модели массива:
Учащиеся выделяют три пары чисел, и эта цветовая кодировка помогает составить утверждение:
Это утверждение затем позволяет студентам заполнить факты умножения, связанные с данным фактом деления.Например:
В случае неправильного ответа ученики получают напоминание:
В этих задачах используется одна заготовка, однако ее размещение может быть разным. Он может быть в любом уравнении и в любом положении. Чтобы увидеть полное упражнение, перейдите по этой ссылке.
Таким образом, учащиеся понимают, что оба связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел. Это добавляет важную деталь к ранее установленным отношениям, и вместе они описывают очень практический факт:
Деление на число связано с умножением на одно и то же число.
Два связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел.
Пример: 14 ÷ 2 = 7, 7 × 2 = 14
Это подробное описание взаимосвязи между умножением и делением позволяет учащимся составить уравнение деления, связанное с данным уравнением умножения, и наоборот.
Чтобы привыкнуть к взаимосвязи, учащиеся работают над простыми задачами в пределах 100 : для данного уравнения деления они находят соответствующее уравнение умножения в таблице умножения.
Это делается в два этапа. Ответ на первую часть задания…
… позволяет учащимся ограничить поиск связанных фактов умножения таблицей умножения для одного числа (2 в этом примере).
В вышеуказанных упражнениях учащиеся не выполняют умножение или деление; вместо этого они развивают математическое мышление, чтобы обнаружить взаимосвязь между этими типами фактов, что поможет им решать проблемы в будущей деятельности.
Деление на 100 на основе связи между умножением и делением
К настоящему времени студенты искали только факт умножения, связанный с с учетом факта деления , и пришло время рассмотреть более практический случай, когда результат деления неизвестен.
Happy Numbers представляет эту задачу так, что она очень похожа на предыдущую с заданным фактом деления. Это помогает студентам понять, что связь между умножением и делением остается применимой и здесь:
… и соответствующий факт умножения можно найти в соответствующей таблице умножения (× 3 в этом примере):
Есть важная подсказка для тех, кому это нужно:
На приведенном выше снимке экрана другие коэффициенты в таблице умножения на 3 скрыты, чтобы подчеркнуть, что соответствующее предложение умножения можно идентифицировать без какой-либо информации об этом коэффициенте.
Итак, родственные предложения:
Здесь результат деления и один из множителей на самом деле являются одним и тем же числом , поэтому знание одного из них означает также знание другого:
Зная основной факт умножения 4 × 3 = 12, сразу следует, что 12 ÷ 3 равно 4.
Чтобы просмотреть полное упражнение, перейдите по этой ссылке.
Та же стратегия работает для поиска фактов деления, связанных с основными фактами умножения (то есть умножения двух однозначных чисел). Рассмотрим, например, умножение и деление на 7. В учебной программе «Счастливые числа» учащиеся сначала работают с фактами умножения × 7, а затем применяют взаимосвязь между делением и умножением для деления.Здесь подсказка напоминает им о взаимосвязи между умножением и делением:
В случае неправильного ответа предоставляется дополнительная поддержка:
Студенты получают дополнительную поддержку при необходимости: таблицу × 7 можно сделать доступной, нажав кнопку справки.
Здесь достигается двойная цель: усвоение основных фактов и понимание взаимосвязи между умножением и делением.
Две пары связанных фактов умножения и деления
Для дальнейшего развития понимания учащимися этой взаимосвязи, Happy Numbers вводит факт умножения, такой как 3 × 8 = 24, и показывает, как взаимосвязь между умножением и делением приводит к факту деления 24 ÷ 8 = 3.
Стоит упомянуть, что существует еще одна пара связанных фактов, состоящих из тех же трех чисел. Это связано с коммутативным свойством умножения: факты умножения в двух парах просто поменяли местами множители.Например:
3 × 8 = 24 8 × 3 = 24
Каждое из уравнений умножения имеет свой собственный факт деления.
Эти пары фактов представляют собой обратные операции: первая — умножение на 8 и деление на 8, другая — умножение на 3 и деление на 3.Итак, отношения внутри каждой пары очень близкие, а все четыре факта связаны. Студенты узнают, что делитель в факте деления и один из факторов в факте умножения одинаковы. Кроме того, оба уравнения состоят из одних и тех же трех чисел.
2. Деление как проблема неизвестного фактора
Толкование и определение подкласса
В начальной школе деление обычно вводится с учетом двух его интерпретаций: нахождения количества групп и нахождения количества предметов в каждой группе.Оба они используют равное распределение объектов между несколькими группами, в то время как каждая интерпретация затрагивает свой вопрос.
Начнем с интерпретации деления как , находим количество групп , когда задано количество объектов в каждой группе и общее количество. Рассмотрим, например, задание из учебной программы «Счастливые числа»:
.
Количество групп (ящиков) можно найти делением 10 ÷ 2 = ▢. При этом задачу можно представить и решить в виде уравнения для неизвестного количества групп: ▢ × 2 = 10.
Другая интерпретация деления — это нахождение количества объектов в каждой группе , когда даны общее количество и количество групп. Например:
Как и в предыдущем примере, неизвестное число можно найти любым способом: делением 12 ÷ 4 = ▢ или решением уравнения для неизвестного числа объектов в каждой группе: 4 × ▢ = 12. Из-за коммутативности При умножении коэффициенты можно поменять местами, чтобы неизвестный коэффициент оказался в первой позиции ▢ × 4 = 12, как и в первой интерпретации.
Таким образом, в обеих интерпретациях неизвестное можно найти, решив уравнение в той же форме:
▢ × делитель = дивиденд
, несмотря на различное значение неизвестного (количество групп или количество объектов в каждой группе). Таким образом, не имеет значения, какая из двух интерпретаций используется. Например, 120 ÷ 8: оба подразумевают одно и то же уравнение ▢ × 8 = 120 для нахождения частного. Две интерпретации разделения согласуются друг с другом!
Дело в том, что нахождение неизвестного фактора на самом деле является определением подразделения .Точнее:
— Отдел находит неизвестный множитель из уравнения ▢ × делитель = делимое
или другими словами:
— Результат деления — это число, умноженное на делитель, чтобы получить дивиденд.
Прежде всего, это означает, что любой известный факт умножения дает факт деления. Например, зная, что 25 × 6 = 150, человек знает, что 150 ÷ 6 = 25. Этот источник фактов деления очень полезен до тех пор, пока студенты не овладеют стандартным алгоритмом деления.Фактически, мы использовали эту стратегию ранее для установления фактов деления, соответствующих основным фактам умножения в пределах 100.
Наиболее важным в понимании деления как нахождения неизвестного фактора является то, что оно охватывает все случаи деления действительных чисел, включая деление любого целого числа, даже если оно не приводит к частному целому числу.
Дробь как результат деления целых чисел
Не всегда можно разделить целые числа и получить результат целого числа (деление на остаток дает пару целых чисел , а не единичное число ).Итак, набор целых чисел и операция деления расширены, чтобы это стало возможным. В игру вступают дроби, и интерпретация деления на основе равного распределения показывает, что результатом деления может быть дробь. Например, в задании из учебной программы «Счастливые числа» учащиеся делят 3 пирожных поровну на 4 тарелки
.
Они работают в интерактивном режиме со всей необходимой поддержкой, чтобы получить следующий результат:
Выполнение ряда аналогичных заданий приводит учащихся к разумному выводу, что:
Результат деления целого числа делимого на целое число делитель является дробью
Легко прийти к такому выводу, если понимать разделение как обнаружение неизвестного фактора.Давайте проверим, например, что 5, деленное на 9, равно ⁵ ⁄ ₉. С точки зрения поиска неизвестного фактора это означает: убедитесь, что ⁵ ⁄ ₉ удовлетворяет уравнению
▢ × 9 = 5
, что верно: ⁵ ⁄ ₉ × 9 = 5.
Умножение и деление как обратные операции
Часто говорят, что умножение и деление — обратные операции, но что именно это означает? Фактически, это сводится к полезному утверждению, которое является просто еще одним способом выразить взаимосвязь между умножением и делением, как обсуждалось выше.
Рассмотрим, например, деление числа m на 7. Соотношение между умножением и делением говорит, что умножение результата m ÷ 7 на делитель дает дивиденд m :
( м ÷ 7) × 7 = м
Итак, , если число делится на 7, умножение частного на 7 отменяет деление на 7 , или для краткости: умножение на 7 является обратной операцией для деления на 7.На самом деле это верно для любого числа n ≠ 0 вместо 7:
Умножение на n отменяет деление на n ( n ≠ 0)
Верно и наоборот:
Деление на n отменяет умножение на n ( n ≠ 0)
Эти утверждения интуитивно понятны и полезны. Например, умножение на 10 (или более, обычно на соответствующую степень 10) с последующим делением упрощает умножение десятичной дроби до умножения целого числа:
Начиная с исходного выражения 3 × 2.3, студенты преобразовали его, умножив десятичный множитель на 10. Это также означает, что произведение умножается на 10 из-за ассоциативного свойства. Теперь ученики делят на 10, чтобы отменить умножение и таким образом получить требуемый исходный продукт.
Эта стратегия также применима к умножению и делению двух десятичных чисел.
Проверочное деление с умножением
Это занятие с двойной целью.Первая цель — это, конечно, проверка расчета, что особенно важно, когда разделение «сложное» или когда вводятся новые приложения. Это довольно «сложно», если, например, деление в столбик выглядит так:
Решение можно проверить, проверив, истинно ли 957 × 3 = 2,871.
Пример нового применения деления — введение деления дроби на целое число.
Проверка результата 2 ÷ ¹ ⁄ ₃ = 6 путем проверки правильности 6 × ¹ ⁄ ₃ = 2 здесь важна для усиления концептуального понимания деления.
Возможный подход к задачам дробного деления
Сила отношения умножения / деления простирается за пределы начальной школы. Учащиеся 6 классов и старше могут использовать уравнение умножения с неизвестным фактором в качестве стратегии для решения задач деления на дроби. Давайте рассмотрим этот подход для двух стандартных типов задач со словами и задач с числовым делением.
Давайте начнем со словарной проблемы, основанной на интерпретации деления как , нахождение неизвестного размера долей , когда указаны количество долей и общая сумма.
Это похоже на проблему с заданными целыми числами. Например, «Джим прополз на 6 ярдов, что было 3 из его обычных ежедневных поездок. Как долго длится обычная ежедневная поездка? » Интерпретируется как проблема с заданным общим количеством — 6, заданным количеством акций — 3 и неизвестным размером доли . Исходная проблема часто интерпретируется таким же образом, хотя общая сумма является дробным числом (что неудивительно), а количество долей дробное. Студенты должны привыкнуть к последнему, что возможно на примере использования долей, таких как 2-галлонный резервуар: 1 галлон — половина его, четверть галлона — одна восьмая и т. Д.
Проблема решается разделением ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢, при этом фактическое решение основано на модели, представляющей ¹ ⁄ ₂ как ² ⁄ ₄ и деление как ² ⁄ ₄ ÷ ³ ⁄ ₄ = 2 ÷ 3 = ² ⁄ ₃. Упрощение данных дробей до общего знаменателя работает для любой задачи деления на дроби. Однако это дополнительный шаг, от которого учащиеся могут научиться избавляться позже, когда умножение на обратную дробь заменяет прямое деление.
Давайте теперь рассмотрим альтернативную стратегию решения указанной выше проблемы.
Постановка задачи немедленно переводится как «Найдите всю длину поездки ▢, учитывая, что ³ ⁄ ₄ из нее равны ¹ ⁄ ₂ ярдов». Поскольку ³ ⁄ ₄ из ▢ равно ³ ⁄ ₄ × ▢, это проблема неизвестного фактора
.
³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂
, относящееся (эквивалент) к задаче деления ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢.
Чтобы найти неизвестный коэффициент, достаточно выделить ▢ в уравнении
³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂. Этого легко добиться, умножив обе части уравнения на величину, обратную ³ ⁄ ₄, то есть на ⁴ ⁄ ₃. (Обратной величиной любой дроби является дробь, где числитель и знаменатель исходной дроби поменяны местами. Обратное значение дроби, умноженной на эту дробь, всегда равно 1.) Это умножение дает
и ответ на проблему:
▢ = ⁴ ⁄ ₃ × ¹ ⁄ ₂ = ² ⁄ ₃
Рассмотрим теперь другой тип словесной задачи.
Независимо от того, что данная сумма и размер долей являются дробными, это проблема нахождения неизвестного количества долей : 1 ¹ ⁄ ₂ ÷ ² ⁄ ₅ = ▢.Исходная постановка проблемы также переводится в проблему с неизвестным фактором — количество долей, умноженное на размер доли, равняется заданной сумме:
▢ × ² ⁄ ₅ = 1 ¹ ⁄ ₂
В качестве альтернативы можно прийти к проблеме неизвестного фактора, начиная с проблемы деления и используя взаимосвязь между умножением и делением. Проблема неизвестного фактора решается, как указано выше, с использованием обратной дроби ³ ⁄ ₂.
Как видите, задачи даже дробного деления можно понять и решить, связав их с умножением.
***
Happy Numbers предлагает учебную программу, в которой студенты последовательно изучают математические процедуры. Они расширяют и углубляют знания с помощью описательных визуальных моделей, дополненных манипулятивной механикой и выразительной анимацией. Мгновенная обратная связь, интегрированная в виде подсказок, позволяет учащимся улучшить свою стратегию решения в данный момент и, таким образом, учиться на своих ошибках.
Happy Numbers может стать отличным цифровым помощником на уроках математики! Готовы присоединиться? Зарегистрируйтесь в качестве преподавателя на сайте, чтобы начать бесплатный пробный период.
Каков порядок действий? [Видео и практика]
Порядок действий
«Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
Теперь я знаю, о чем вы думаете: «Что на самом деле означает эта фраза?» Совсем немного, потому что это высказывание дает ключ к запоминанию важной математической концепции: порядка операций.
Порядок операций — одно из наиболее важных математических понятий, которые вам предстоит изучить, поскольку он определяет, как мы рассчитываем задачи. Это дает нам шаблон, чтобы все решали математические задачи одинаково.
Давайте начнем с простого вопроса. Что такое операция?
Операция — это математическое действие. Сложение, вычитание, умножение, деление и вычисление корня — все это примеры математической операции. Давайте посмотрим на эту проблему:
\ (7 \ times 4-6 =? \)
Это выглядит просто, правда? Что ж, это было бы не так просто, если бы мы не понимали порядок, в котором происходит математическая операция.Если бы у нас не было правил, определяющих, какие вычисления мы должны произвести в первую очередь, мы бы пришли к другим ответам.
Следует ли начать с вычитания 4 минус 6, а затем умножения на 7?
Нет. Порядок действий говорит нам, как решить математическую задачу. И это возвращает нас к тете Салли.
Операции имеют особый порядок, и это то, что нам помогает понять фраза «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли». Это аббревиатура, которая говорит нам, в каком порядке мы должны решать математическую задачу.
«Пожалуйста» означает « скобок », поэтому сначала мы решаем все, что находится внутри скобок.
Затем «Excuse», что означает « Exponents ». Мы решаем это после того, как решим все в скобках.
Умножение , которое является «Моим», и это происходит слева направо.
И затем деление , то есть «Уважаемый», что также происходит слева направо.
А затем у нас есть сложение и вычитание , что также происходит слева направо, и это «Тетя» и «Салли.
Хорошо, теперь, когда мы знаем порядок операций, давайте применим его к нашей проблеме и решим.
\ (7 \ times 4-6 =? \)
У нас нет скобок и показателей, но у нас есть умножение, поэтому мы делаем это до того, как будем выполнять какое-либо сложение или вычитание. Давайте умножим \ (7 \ на 4 \). Это дает нам 28.
\ (28-6 \)
И теперь мы вычитаем 6, что дает нам 22.
\ (28-6 = 22 \)
Теперь давайте посмотрим по другой проблеме.
\ (7 + 7 \ times 3 \)
Без операций вы могли бы вычислить эту задачу как \ (7 + 7 = 14 \ times 3 = 42 \).
А это было бы неправильно!
Помните, вы умножаете, прежде чем складывать. Следовательно, уравнение должно выглядеть так:
\ (7+ (7 \ times 3) \)
\ (= 7 + 21 \)
\ (= 28 \)
Итак, когда мы решаем проблемы таким образом, мы можем использовать круглые скобки, чтобы сгруппировать наши числа, которые будут занимать первые места.{2}) \)
\ (= 6 \ times 9 \)
\ (= 54 \)
Видите? Решение уравнения в правильном порядке дает правильный ответ.
Давайте попробуем еще одну задачу. Этот немного сложнее, но он прекрасно иллюстрирует порядок операций.
\ (5 \ times 10- (8 \ times 6-15) +4 \ times 20 \ div 4 \)
Запомните порядок. Что нам делать в первую очередь? Цифры в скобках. Итак, \ (8 \ times 6 = 48 \), затем мы вычитаем 15 и получаем 33.Вот как теперь выглядит проблема:
\ (5 \ times 10-33 + 4 \ times 20 \ div 4 \)
Итак, наш следующий шаг — умножение и деление, поэтому давайте выполним все наши задачи умножения и деления и тогда посмотрим, что у нас осталось.
\ (50-33 + 80 \ div 4 \)
\ (50-33 + 20 \)
Теперь мы закончим сложение и вычитание, и вот что у нас есть:
\ (50- 33 + 20 \)
\ (= 50-13 \)
\ (= 37 \)
И наш ответ — 37!
Есть исключение.Если в уравнении есть только одно выражение, вам не нужно соблюдать порядок операций.
Вот несколько примеров отдельных выражений.
\ (10 + 10 \): Что ж, других операций нет, так что вы просто должны пойти дальше и сложить их вместе, и вы получите 20. То же самое с вычитанием, умножением и делением. Все это отдельные выражения.
Хорошо, ребята, это наше видео о порядке операций. Я надеюсь, что это было полезно!
Увидимся в следующий раз!
Темы алгебры: Порядок операций
Урок 1: Порядок действий
Введение в порядок работы
Как бы вы решили эту проблему?
12–2 ⋅ 5 + 1
Ответ, который вы получите, будет во многом зависеть от порядка , в котором вы решаете проблему.Например, если вы решите задачу от слева до справа —12-2, затем 10⋅5, затем прибавьте 1, вы получите 51.
12-2 5 + 1
10 5 + 1
50 + 1
51
С другой стороны, если вы решите задачу в направлении , противоположном направлению — от вправо до слева — ответ будет 0.
12–2 ⋅ 5 + 1
12–2 ⋅ 6
12–12
0
Наконец, что, если бы вы выполняли вычисления в несколько другом порядке? Если сначала умножить на , а затем на прибавить , ответ будет 3.
12–2 ⋅ 5 + 1
12–10 + 1
2 + 1
3
Оказывается, 3 на самом деле — это правильный ответ, потому что это ответ, который вы получите, если будете следовать стандартному порядку операций . Порядок операций — это правило, которое сообщает вам правильный порядок для решения различных частей математической задачи. ( Операция — это просто другой способ сказать «вычисление ». Вычитание, умножение и деление — все это примеры операций.)
Порядок операций важен, потому что он гарантирует, что все люди могут читать и решать проблему одинаково. Без стандартного порядка действий формулы для реальных расчетов в области финансов и науки были бы бесполезны — и было бы трудно понять, правильно ли вы получили ответ на тесте по математике!
Использование порядка операций
Стандартный порядок операций:
Круглые скобки
Показатели
Умножение и деление
Сложение и вычитание
Другими словами, в любая математическая задача вы должны начать с вычисления скобок сначала , затем показателей , затем умножения и деление , затем сложение и вычитание .Для операций на том же уровне решайте от слева до справа . Например, если ваша задача содержит более одного показателя степени, вы должны сначала решить крайнюю левую, а затем работать вправо.
Давайте более внимательно посмотрим на порядок операций и попробуем другую задачу. Это может показаться сложным, но в основном это простая арифметика. Вы можете решить ее, используя порядок действий и некоторые навыки, которые у вас уже есть.
4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8
Круглые скобки
Всегда начинайте с операций, заключенных в круглые скобки.Скобки используются для группировки частей выражения.
Если скобок несколько, сначала найдите те, которые указаны слева. В этой задаче у нас всего один набор:
4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8
В любых скобках вы следуете порядку операций, как и в любой другой части математической задачи.
Здесь у нас есть две операции: сложение и умножение . Поскольку умножение всегда идет первым, мы начнем с умножения 6 2.
4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8
6 ⋅2 равно 12. Затем мы прибавим 4 .
4/2 ⋅ 3 + (4 + 12) + 18/3 ² — 8
4 + 12 равно 16. Поэтому мы упростили скобки до 16 . Поскольку в скобках указано только одно число, мы можем избавиться от них всех вместе — теперь они не , объединяющие вместе.
4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/3 ² — 8
Показатели
Во-вторых, решите любые экспоненты .Экспоненты — это способ умножить на само число. Например, 2 ³ — это 2 , умноженное само на себя три раз, поэтому вы можете решить его, умножив 2 ⋅2 ⋅2 . (Чтобы узнать больше об экспонентах, просмотрите наш урок здесь).
В этой задаче только один показатель степени : 3 ² . 3 ² — это 3 , умноженное на себя дважды , другими словами, 3 ⋅ 3 .
4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/3 ² — 8
3 ⋅ 3 равно 9, поэтому 3 ² можно упростить как 9 .
4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8
Умножение и деление
Затем найдите любые операций умножения или деления операций. Помните, что умножение не обязательно предшествует делению — вместо этого эти операции решаются от слева до справа .
Начало слева означает, что нам нужно сначала решить 4/2 .
4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8
4 разделить на 2 равно 2. Таким образом, наша следующая задача составит 2 ⋅ 3 .
2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8
2 ⋅ 3 равно 6. Наконец, осталась только одна задача умножения или деления: 18/9 .
6 + 16 + 18/9 — 8
18/9 равно 2. Нечего умножать или делить, поэтому мы можем перейти к следующей и последней части Порядка операций: сложение , и вычитание , .
6 + 16 + 2 — 8
Сложение и вычитание
Теперь решить нашу проблему стало намного проще. Осталось только сложение и вычитание.
Так же, как мы делали с умножением и делением, мы будем складывать и вычитать от слева до справа . Это означает, что сначала мы добавим 6 и 16.
6 + 16 + 2 — 8
6 + 16 равно 22. Далее нам нужно добавить 22 к 2.
22 + 2 — 8
22 + 2 это 24.Осталась всего одна операция: 24 — 8.
24–8
24-8 это 16. Вот и все!
16
Готово! Мы решили всю проблему, и ответ — 16 . Другими словами, 4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 ⋅ 2) + 18/3 ² — 8 равно 16.
4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 ⋅ 2) + 18/3 ² — 8 = 16
Уф! Об этом было много сказать, но как только мы разложили его в правильном порядке, решить его было уже не так сложно.Когда вы впервые изучаете порядок операций, вам может потребоваться некоторое время, чтобы решить подобную проблему. Однако при достаточной практике вы привыкнете решать проблемы в правильном порядке.
Запоминание порядка операций
Если вы будете его часто использовать, то со временем разберетесь с порядком операций. А до тех пор может быть полезно запомнить слово или фразу. Двумя популярными из них являются бессмысленное слово PEMDAS (Скобки, Показатели, Умножение и деление, Сложение и Вычитание) и фраза Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли .
/ ru / algebra-themes / exponents / content /
обратных операций в математике: определение и примеры — видео и стенограмма урока
Свойства инверсий
Есть четыре математических свойства, которые имеют дело с инверсиями.
Аддитивное обратное свойство
Аддитивное обратное свойство утверждает, что когда вы добавляете число к противоположному, результат всегда равен 0.
2 + (-2) = 0
369 + (-369) = 0
Свойство мультипликативной инверсии
Свойство мультипликативной инверсии утверждает, что когда вы умножаете любое число на противоположное, результат всегда равен 1.
6 * 1/6 = 1
213 * 1/213 = 1
Аддитивное свойство
Аддитивное свойство утверждает, что при добавлении любого числа к нулю результат будет таким же.
7 + 0 = 7
Свойство мультипликативности
Свойство мультипликативности утверждает, что каждый раз, когда вы умножаете число на 1, оно не меняется.
13 * 1 = 13
Как использовать обратные операции
Обратные операции можно использовать для решения алгебраических задач.Давайте решим для x :
2 x + 3 = 17
Чтобы решить эту проблему, мы должны изолировать x на одной стороне уравнения. Первый шаг — запомнить, что обратные операции сложения и умножения — это вычитание и деление. Следующий шаг — «переместить» 3 в правую часть уравнения, вычтя его из обеих частей уравнения. Это дает 2 x = 14. Следующий шаг — разделить обе части на 2, поскольку деление противоположно умножению.2 x /2 = 14 / 2. Это дает x = 7.
Ответ на эту проблему: x = 7. Если вы не уверены, вы всегда можете вернуться и проверить свой ответ. Для этого замените 7 на x в исходной задаче.
2 (7) + 3 = 17
Затем решите 14 + 3 = 17
17 = 17
Таким образом решаются все алгебраические задачи. Попробуем другой пример.
Решите относительно x : x /4 + 9 = 13
Сначала вычтите 9 с обеих сторон: x /4 = 4.0,845 = 7
Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, также имеют обратные значения. Их называют арксинусом, арккосинусом и арктангенсом. Обратные тригонометрические функции можно использовать для определения угла прямоугольного треугольника, если вам известны длины как минимум двух сторон.
Например, вам нужно добраться до окна второго этажа вашего дома, которое находится в 10 футах от земли. Ваша лестница 18 футов высотой. Под каким углом ( x ) вам нужно разместить лестницу, чтобы добраться до окна?
Так как вы знаете гипотенузу и сторону, противоположную углу, вам нужно использовать уравнение sin, которое имеет вид sin ( x ) = противоположная / гипотенуза.(-1) * (10/18)
x = 34 градуса.
Резюме урока
Математически обратная операция противоположная операция. Сложение противоположно вычитанию; деление противоположно умножению и так далее. Обратные операции используются для решения простых алгебраических уравнений в более сложные уравнения, которые включают показатели степени, логарифмы и тригонометрию.
Результаты обучения
Когда вы закончите, вы сможете:
Определить обратные операции
Указать свойства обратных операций
Решить алгебраическую задачу с помощью обратных операций
Порядок операций — Бесплатная математическая справка
Введение
Порядок операций — очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики.В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь. Возьмите это уравнение в качестве примера:
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$
Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным. Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55.К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.
Правильный порядок действий
Порядок действий позволит вам решить эту проблему правильно. Порядок следующий: Скобка , Экспоненты , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание . Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями. После этого выполните все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.
Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, например « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally». Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка действий.
Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$
Шаг 1) Круглые скобки.Нет ни одного. Двигаться дальше.
Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжай …
Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления по мере того, как вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.
Шаг 4) Сложение и вычитание. Слева направо 4 + 33 = 37.
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 $$ $$ 4 + 3 * 11 $$ $$ 4 + 33 $$ $$ 37 $$
Вся идея состоит в том, чтобы просто следовать правилу: PEMDAS.