На следующей странице есть другие примеры работы ….

URL: https: // www.purplemath.com/modules/orderops.htm

При сложении и умножении одинаковы

Это еще одно небольшое эссе, представляющее собой увлекательное математическое упражнение; Надеюсь, вам это понравилось!

Когда сложение — это то же самое, что умножение? Другими словами, когда верно следующее?

  х + у = х * у
 

Немного подумав, вы поймете, что {x, y} = {2,2} и {0,0} два решения проблемы, потому что:

 2 + 2 = 2 * 2 = 4
 0 + 0 = 0 * 0 = 0
 

Но есть ли другие решения? Чтобы выяснить это, нам нужно решить уравнение, используя небольшую алгебру:

  х + у = ху
  0 = ху - х - у
  0 = (x-1) (y-1) - 1 (Вы запутались? См. Постскриптум ниже)
  1 = (х-1) (у-1)
  1 / (х-1) = у-1
  у = 1 / (х-1) + 1
 

Итак, существует бесконечное количество решений с действительными числами; найти заданный y, просто вычислите y = 1 / (x-1) +1 (до тех пор, пока x не равно 1; в этом случае нет решения с действительными числами).2 +1 или -1 = х-1 х = 0 или 2

Теперь, вместо того, чтобы ограничиваться x = y, допустим любое значение x и y, но только если они оба целые. Существуют ли какие-либо другие решения для пар целых чисел с учетом этой вариации? Короткий ответ — нет — если вы ограничитесь целыми числами, 0 и 2 будут все, что возможно. Вот почему. Поскольку целые числа являются подмножеством действительных чисел, уравнение приведенное выше применяется:

  у = 1 / (х-1) +1
 

  | х-1 |
Это верно только для x = {0,1,2}. x не может быть 1, потому что
потребует, чтобы y было бесконечным.
Так что 0 и 2 также являются единственными целочисленными решениями.


 

Итог: существует бесконечное количество пар действительных чисел, где
сложение и умножение пары даст тот же ответ.
Но если вам требуется, чтобы пара имела одинаковое значение или оба
быть целыми числами, есть только два ответа: {0,0} и {2,2}.
К сожалению, некоторые люди присылали мне сообщения,
просят объяснить почему:
 
  ху - х - у
 
такой же как:
  (х-1) (у-1) - 1
 
 Тск, тск! Жалуйтесь своим учителям алгебры, они
пропустил какой-то важный материал.
 Оказывается, это несложно показать;
просто начните с «(x-1) (y-1)» и умножьте его.
Это два тривиальных выражения; ты можешь просто умножить
их так же, как вы умножаете многозначные числа:
        х - 1
    * у - 1
   ===============
       -x + 1
    ху -у
   ===============
   ху -х -у + 1
 
 Итак, (x-1) (y-1) - это , почти  то же самое, что и xy-x-y, за исключением того, что
у него есть дополнительный «+1».Нет проблем, просто вычтите один, и он у вас есть.
Что означает, что:
  ху - х - у = (х-1) (у-1) - 1
 
 Теперь, честно говоря, я мгновенно узнал "xy-x-y" так же легко
переписывается как «(x-1) (y-1) -1»; Мне не нужно было «разбираться».
Но если вы не видели этого раньше, надеюсь, это вас убедит.
 Если вам понравилась эта статья, возможно, вам понравятся мои статьи о
Проблема четырех четверок или
странные базы.
 Не стесняйтесь видеть мою
домашняя страница на dwheeler.com.
  Дэвид А. Уиллер, 10 сентября 2002 г. 
 Это Copyright (C) 2002-2005 Дэвид А. Уиллер.
 

Что означает слово «произведение» в математике?

Обновлено 19 декабря 2020 г.

Автор: Bert Markgraf

Произведение является результатом выполнения математической операции умножения. Когда вы умножаете числа, вы получаете их произведение. Другими основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание и деление, а их результаты называются суммой, разностью и частным соответственно.У каждой операции также есть особые свойства, определяющие порядок расположения и комбинирования чисел. Для умножения важно знать об этих свойствах, чтобы вы могли умножать числа и комбинировать умножение с другими операциями, чтобы получить правильный ответ.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Значение произведения в математике является результатом умножения двух или более чисел. Чтобы получить правильный продукт, важны следующие свойства:

• Порядок номеров не имеет значения.
• Группировка чисел в квадратные скобки не действует.
• Умножение двух чисел на множитель с последующим их сложением аналогично умножению их суммы на множитель.
• При умножении на 1 число не меняется.
  

Значение произведения числа

Произведение числа и одного или нескольких других чисел — это значение, полученное при умножении чисел. Например, произведение 2, 5 и 7 равно

2 × 5 × 7 = 70

Хотя произведение, полученное путем умножения определенных чисел, всегда одинаково, продукты не уникальны.Произведение 6 и 4 всегда равно 24, но равно как и произведение 2 и 12 или 8 и 3. Независимо от того, какие числа вы умножаете, чтобы получить произведение, операция умножения имеет четыре свойства, которые отличают ее от других основных арифметических операций. , Сложение, вычитание и деление разделяют некоторые из этих свойств, но каждое из них имеет уникальную комбинацию.

Арифметическое свойство коммутации

Коммутация означает, что условия операции можно менять местами, и последовательность чисел не влияет на ответ.Когда вы получаете произведение путем умножения, порядок, в котором вы умножаете числа, не имеет значения. То же самое и с сложением. Вы можете умножить 8 × 2, чтобы получить 16, и вы получите тот же ответ с 2 × 8. Точно так же 8 + 2 дает 10, тот же ответ, что и 2 + 8.

Вычитание и деление не имеют свойства коммутация. Если вы измените порядок чисел, вы получите другой ответ. Например,

8 ÷ 2 = 4 \ text {but} 2 ÷ 8 = 0,25

8 — 2 = 6 \ text {but} 2 — 8 = -6

Деление и вычитание не являются коммутативными операциями.

Свойство распределения

Распределение в математике означает, что умножение суммы на множитель дает тот же ответ, что и умножение отдельных чисел суммы на множитель с последующим сложением. Например,

3 × (4 + 2) = 18 \ text {и} (3 × 4) + (3 × 2) = 18

Сложение перед умножением дает тот же ответ, что и распределение множителя по числам на добавляется, а затем умножается перед сложением.

Деление и вычитание не обладают распределительным свойством.Например,

3 ÷ (4-2) = 1,5 \ text {but} (3 ÷ 4) — (3 ÷ 2) = -0,75

Вычитание перед делением дает другой ответ, чем деление перед вычитанием.

Свойство ассоциативности для продуктов и сумм

Свойство ассоциативности означает, что если вы выполняете арифметическую операцию более чем с двумя числами, вы можете связать или заключить в квадратные скобки два числа, не влияя на ответ. Продукты и суммы обладают ассоциативным свойством, а разности и частные — нет.

Например, если арифметическая операция выполняется с числами 12, 4 и 2, сумма может быть вычислена как

(12 + 4) + 2 = 18 \ text {или} 12 + (4 + 2) = 18

(12 × 4) × 2 = 96 \ text {или} 12 × (4 × 2) = 96

\ frac {12 ÷ 4} {2} = 1,5 \ text {while} \ frac {12} {4 ÷ 2} = 6

(12 — 4) — 2 = 6 \ text {while} 12 — (4 — 2) = 10

Умножение и сложение обладают ассоциативным свойством, а деление и вычитание — нет.

Операционные идентификаторы — разница и сумма по сравнению с продуктом и коэффициентом

Если вы выполняете арифметическую операцию с числом и рабочим идентификатором, число остается неизменным. Все четыре основных арифметических операции идентичны, но не одинаковы. Для вычитания и сложения тождество равно нулю. Для умножения и деления идентичность равна одному.

Например, для разницы 8 — 0 = 8. Число остается идентичным. То же самое и с суммой 8 + 0 = 8.Для продукта 8 × 1 = 8, а для частного 8 ÷ 1 = 8. Продукты и суммы имеют одинаковые основные свойства, за исключением того, что они имеют разные операционные идентичности. В результате умножение и его произведения обладают уникальным набором свойств, которые необходимо знать, чтобы получить правильные ответы.

Это не повторное добавление

Если когда-либо и требовался веский аргумент в пользу того, что профессиональные математики должны интересоваться математическим образованием в K-12 и участвовать в этом процессе, этот пример должен предоставить его.Учителя, которые связываются со мной, делают это, потому что они искренне хотят знать, что я имею в виду, поскольку их самих учили, предположительно либо в учебных заведениях, либо по школьным учебникам, что умножение — это повторное сложение.

Начнем с основного факта. Умножение — это просто не повторное сложение, и рассказ молодым ученикам о том, что это такое, неизбежно приводит к проблемам, когда они впоследствии узнают, что это не так. Умножение натуральных чисел , безусловно, дает тот же результат , что и повторное сложение, но это не делает его одинаковым.Езда на велосипеде доставляет меня в офис примерно в то же время, что и машина, но эти два процесса очень разные. Сообщать учащимся неправду, полагая, что она может быть исправлена ​​позже, редко бывает хорошей идеей. И говоря им, что умножение повторяется, сложение определенно требует отмены позже.

Сколько позже? Как только ребенок перейдет от умножения целых чисел к умножению на дроби (или произвольные действительные числа). В этот момент вам нужно рассказать другую историю.

«О, так умножение дробей — это РАЗНЫЙ вид умножения, не так ли?» — скажет смышленый ребенок, гадая, сколько еще раз вы собираетесь менять правила. Неудивительно, что так много людей в конечном итоге думают, что математика — это просто набор произвольных, нелогичных правил, которые нельзя понять, а просто нужно усвоить — только для того, чтобы вытащить коврик из-под них, когда правило, которое они только что выучили, заменяется на какое-то другое (казалось бы) произвольное, нелогичное правило.

Представление о том, что с числами есть только одна базовая операция (будь то целые числа, дроби или что-то еще), наверняка приведет к тому, что ученики будут считать, что числа — это просто аддитивная система и не более того. Почему бы не сделать это с самого начала?

Почему бы не сказать, что есть (по крайней мере) две основные вещи, которые вы можете делать с числами: вы можете складывать их и вы можете их умножать. (Здесь я не учитываю вычитание и деление, поскольку они просто противоположны сложению и умножению и, следовательно, не являются «основными» операциями.Это не значит, что обучить их несложно; это так.) Сложение и умножение — это всего лишь то, что вы делаете с числами — они идут в комплекте. Мы включаем их, потому что есть много полезных вещей, которые мы можем делать, когда можем складывать и умножать числа. Например, добавление чисел говорит вам, сколько вещей (или частей вещей) у вас есть при объединении коллекций. Умножение полезно, если вы хотите узнать результат масштабирования некоторой величины.

Вам не обязательно использовать эти приложения, но оба они просты и знакомы, и, на мой взгляд, они настолько хороши, насколько это возможно с точки зрения целесообразности.(Я думаю, что вам нужно представить простые повседневные примеры приложений. Обучать класс учеников начальной школы аксиоматическим областям целостности, вероятно, не лучшая идея! Эта колонка не является разглагольствованием в пользу «Новой математики», термина, который я использую здесь для обозначения популярной концепции отмененной ранее реформы образования, носящей это название.)

После того, как вы установили, что есть две различных (я не говорю несвязанных) полезных операций над числами, тогда станет самоочевидным, что повторное сложение — это не умножение, а просто сложение. — повторил!

Но теперь вы подготовили почву для того прекрасного момента, когда вы можете рассказать детям, а еще лучше, может быть, они сами откроют для себя этот чудесный трюк, заключающийся в том, что умножение дает вам сверхбыстрый способ вычисления суммы повторяемого сложения.Зачем лишать детей этого чудесного волшебства?

[Конечно, любой фокус теряет много, если посмотреть за кулисами. В самые ранние дни развития концепции числа, около 10 000 лет назад, существовали только целые числа, и, возможно, самым ранним предшественником того, что сейчас является умножением, действительно было повторное сложение. Но все это было 10 000 лет назад, и с тех пор многое изменилось. Мы не пытаемся понять, как работает iPod в терминах счётов, и мы не должны основывать нашу систему образования на том, что люди знали и делали в 8000 B.C.]

Математика полна примеров, когда что-то, относящееся к категории А, оказывается полезным для выполнения Б.

Возведение в степень дает быстрый способ повторного умножения — вау, это случилось снова! Это круто с математикой, что ли!

Антидифференциация оказывается быстрым способом вычисления интеграла. Боже, это так глубоко!

Я просто слышу, как некоторые ученики задаются вопросом: «Эй, сколько еще таких примеров? Это действительно очень интригует.Кажется, все это сочетается друг с другом. Здесь должно быть что-то глубокое. Мне нужно узнать больше «.

Я предполагаю, что причина нынешнего положения дел в том, что учителя (что на самом деле означает их учителей или авторов учебников, которые должны использовать эти учителя) чувствуют, что дети не смогут справиться с тем фактом, что есть две основных операции вы можете выполнять по числам. И они говорят им, что на самом деле существует только один, а другой — лишь его вариант.Но действительно ли мы считаем, что с двумя операциями сложнее договориться, чем с одной? Огромный скачок к абстракции связан с идеей абстрактных чисел, с которыми вы можете что-то делать. После того, как вы преодолели эту поистине потрясающую когнитивную пропасть, не имеет большого значения, сможете ли вы сделать одну абстрактную вещь с числами или с дюжиной или более.

Конечно, над числами можно выполнять не только две основные операции. Мгновение назад я упомянул третью базовую операцию: возведение в степень.Профессора математики в университетах отважно борются за то, чтобы избавить студентов от ложного убеждения, что возведение в степень — это «многократное умножение». Эй, если вы однажды можете запутать учеников ложью, почему бы не проделать тот же трюк снова? Я здесь дразню. Но с наилучшими намерениями привлечь внимание к чему-то, что, как мне кажется, нужно исправить.

И способ исправить это — убедиться, что, когда мы обучаем будущих учителей и когда авторы пишут или утверждают, что принимают учебники, мы все делаем это правильно.Мы, математики, несем здесь основную ответственность. Мы являемся признанными экспертами в области математических структур, включая различные системы счисления. («Системы» здесь включают в себя операции, которые могут быть выполнены с ними.) Наши профессиональные предшественники построили эти структуры. Они — часть нашего мировоззрения, вещи, которые мы так давно освоили в нашем образовательном путешествии, что они — вторая натура. Слишком долго мы молчаливо предполагали, что наши знания и понимание этих систем разделяются другими.Но это не так. У меня есть файл недоумевающих писем от квалифицированных учителей, свидетельствующих о пробеле.

В заключение я должен отметить, что я не пытался предписать , как учителя должны преподавать арифметику. Я не обученный учитель K-12, и у меня нет личного опыта, которым можно было бы воспользоваться. Но термин «преподавание математики» состоит из двух слов, и в первом у меня есть опыт. Это мое внимание здесь, и я полагаюсь на тех, кто имеет опыт преподавания.Безусловно, лучший путь вперед — это для двух групп специалистов, математиков и учителей, диалог — регулярно и часто.

А пока, учителя, пожалуйста, перестаньте говорить своим ученикам, что умножение — это повторное сложение.

Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел

Цели обучения

• Используйте сложение, вычитание, умножение и деление при вычислении целочисленных выражений

Работа с целыми числами и выполнение основных вычислений — основа всей математики.Предположим, вы помните, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление одной цифры. Для выполнения этих вычислений у вас часто будет под рукой калькулятор, но быстрое освежение знаний поможет вам лучше понять, как работать с числами, чтобы сложные уравнения были менее сложными.

Дополнение

пример

Добавьте: [латекс] 28 + 61 [/ латекс]

Решение
Чтобы сложить числа, состоящие из более чем одной цифры, часто проще записать числа вертикально в столбцы.

В предыдущем примере сумма единиц и сумма десятков были меньше [латекс] 10 [/ латекс].Но что будет, если сумма [латекс] 10 [/ латекс] или больше? Давайте воспользуемся нашей моделью base- [latex] 10 [/ latex], чтобы выяснить это.

На приведенном ниже рисунке снова показано добавление [латекса] 17 [/ латекса] и [латекса] 26 [/ латекса].

Когда мы складываем те, [latex] 7 + 6 [/ latex], мы получаем [latex] 13 [/ latex]. Поскольку у нас больше, чем [latex] 10 [/ latex], мы можем обменять [latex] 10 [/ latex] из них на [latex] 1 [/ latex] десять. Теперь у нас есть [латексные] 4 [/ латексные] десятки и [латексные] 3 [/ латексные] десятки.Не используя модель, мы показываем это как маленький красный [латекс] 1 [/ латекс] над цифрами в разряде десятков.

Когда сумма в столбце значений разряда больше [latex] 9 [/ latex], мы переносимся в следующий столбец слева. Перенос — это то же самое, что перегруппировка путем обмена. Например, [латекс] 10 [/ латекс] единиц за [латекс] 1 [/ латекс] десятку или [латекс] 10 [/ латекс] десяток за [латекс] 1 [/ латекс] сотню.

Сложить целые числа

1. Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение было расположено вертикально.
2. Сложите цифры в каждом значении разряда. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если сумма в разряде больше [latex] 9 [/ latex], переносится к следующему разряду.
3. Продолжайте складывать каждое разрядное значение справа налево, добавляя каждое разрядное значение и перенося, если необходимо.

пример

Добавить: [латекс] 43 + 69 [/ латекс]

Решение

Если слагаемые содержат разное количество цифр, будьте осторожны, чтобы выровнять соответствующие разрядные значения, начиная с единиц и двигаясь влево.

пример

Добавить: [латекс] 1,683 + 479 [/ латекс].

Решение

Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как сложить три целых числа, выровняв разряды.

Вычитание

Сложение и вычитание — обратные операции. Сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение.
Мы знаем [латекс] 7 — 3 = 4 [/ латекс], потому что [латекс] 4 + 3 = 7 [/ латекс]. Знание всех фактов сложения чисел поможет при вычитании. Затем мы можем проверить вычитание, добавив. В приведенных выше примерах наши вычитания можно проверить сложением.

Чтобы вычесть числа с более чем одной цифрой, обычно проще записывать числа в столбцах вертикально, как мы это делали для сложения.Выровняйте цифры по разряду, а затем вычтите каждый столбец, начиная с единиц, а затем двигаясь влево.

Упражнение

Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 89 — 61 [/ латекс].

Решение

Наш ответ правильный.

Вычесть целые числа

1. Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение было расположено вертикально.
2. Вычтите цифры в каждом значении разряда. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если цифра вверху меньше цифры внизу, при необходимости заимствуйте.
3. Продолжайте вычитать каждое разрядное значение справа налево, при необходимости заимствуя.
4. Проверить добавлением.

упражнение

Вычтите: [латекс] 43 — 26 [/ латекс].

В приведенном выше примере, если мы моделируем вычитание [latex] 26 [/ latex] из [latex] 43 [/ latex], мы бы заменили [latex] 1 [/ latex] десять на [latex] 10 [/ latex]. .Когда мы делаем это без моделей, мы говорим, что заимствуем [latex] 1 [/ latex] из разряда десятков и добавляем [latex] 10 [/ latex] в разряды единиц.

Упражнение

Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 207 — 64 [/ латекс].

Упражнение

Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 2,162 — 479 [/ латекс].

Решение

Наш ответ правильный.

Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример вычитания целых чисел путем выравнивания значений разряда.

Умножение

Чтобы умножать без использования моделей, вам необходимо знать все факты однозначного умножения. Убедитесь, что вы хорошо их знаете, прежде чем переходить к этому разделу. В таблице ниже показаны факты умножения.

В каждом поле показано произведение числа в левом столбце и числа в верхнем ряду. Если вы не уверены в продукте, смоделируйте его. Важно, чтобы вы запомнили любые числовые факты, которых вы еще не знаете, чтобы вы были готовы умножать большие числа.

Мы знаем, что изменение порядка сложения не меняет суммы.Мы видели, что [латекс] 8 + 9 = 17 [/ латекс] то же самое, что [латекс] 9 + 8 = 17 [/ латекс].

Верно ли это и для умножения? Давайте посмотрим на несколько пар факторов.

[латекс] 4 \ cdot 7 = 28 \ quad 7 \ cdot 4 = 28 [/ латекс]
[латекс] 9 \ cdot 7 = 63 \ quad 7 \ cdot 9 = 63 [/ латекс]
[латекс] 8 \ cdot 9 = 72 \ quad 9 \ cdot 8 = 72 [/ латекс]

При обратном порядке факторов продукт не изменяется. Это называется коммутативным свойством умножения.

Коммутативное свойство умножения

Изменение порядка факторов не меняет их произведение.

[латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс]

пример

Умножить:

[латекс] 8 \ cdot 7 [/ латекс]
[латекс] 7 \ cdot 8 [/ латекс]

Решение:

Изменение порядка факторов не приводит к изменению продукта.

Чтобы умножать числа, состоящие более чем из одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения и вычитания.

[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 27 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 3} \ end {array} [/ latex]

Начнем с умножения [латекс] 3 [/ латекс] на [латекс] 7 [/ латекс].

[латекс] 3 \ раз 7 = 21 [/ латекс]

Мы пишем [латекс] 1 [/ латекс] на единицах товара. Переносим [latex] 2 [/ latex] десятки, написав [latex] 2 [/ latex] над разрядами десятков.

Затем мы умножаем [latex] 3 [/ latex] на [latex] 2 [/ latex] и добавляем [latex] 2 [/ latex] над разрядами десятков к изделию. Итак, [латекс] 3 \ times 2 = 6 [/ латекс], и [латекс] 6 + 2 = 8 [/ латекс]. Напишите [латекс] 8 [/ латекс] в разряде десятков продукта.

Изделие [латекс] 81 [/ латекс].

Когда мы умножаем два числа на разное количество цифр, обычно проще написать меньшее число внизу. Можно было бы написать и по-другому, но с этим проще работать.

пример

Умножение: [латекс] 15 \ cdot 4 [/ латекс]

Решение

пример

Умножение: [латекс] 286 \ cdot 5 [/ латекс]

Решение

Когда мы умножаем на число с двумя или более цифрами, мы умножаем на каждую из цифр отдельно, работая справа налево. Каждое отдельное произведение цифр называется частичным произведением.Когда мы пишем частичные продукты, мы должны убедиться, что выровнены значения позиций.

Умножение целых чисел

1. Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение было расположено вертикально.
2. Умножьте цифры в каждом значении разряда.
   • Работайте справа налево, начиная с единиц в нижнем ряду.
     • Умножьте нижнее число на цифру единиц в верхнем числе, затем на цифру десятков и так далее.
     • Если продукт в разряде больше, чем [латекс] 9 [/ латекс], перейти к следующему разряду.
     • Запишите частичные продукты, выровняв цифры в позиционных значениях с числами, указанными выше.
   • Повторите эти действия для разряда десятков в нижнем числе, разряда сотен и так далее.
   • Вставляйте ноль в качестве заполнителя с каждым дополнительным частичным продуктом.
3. Добавьте частичные продукты.

пример

Умножение: [латекс] 62 \ влево (87 \ вправо) [/ латекс]

Решение

Продукт [латекс] 5,394 [/ латекс].

Если имеется три или более факторов, мы умножаем первые два, а затем умножаем их произведение на следующий коэффициент. Например:

В видео ниже мы суммируем концепции, представленные на этой странице, включая свойство умножения нуля, свойство идентичности умножения и свойство коммутативности умножения.м

Дивизион

Мы сказали, что сложение и вычитание — обратные операции, потому что одно отменяет другое. Точно так же деление — это операция, обратная умножению. Мы знаем [латекс] 12 \ div 4 = 3 [/ latex], потому что [латекс] 3 \ cdot 4 = 12 [/ latex]. При делении очень важно знать все факты о числах умножения.

Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно дивиденду.Мы знаем, что [latex] 24 \ div 8 = 3 [/ latex] правильно, потому что [latex] 3 \ cdot 8 = 24 [/ latex].

пример

Разделить. Затем проверьте умножением.

1. [латекс] 42 \ div 6 [/ латекс]
2. [латекс] \ frac {72} {9} [/ латекс]
3. [латекс] 7 \ overline {) 63} [/ латекс]

Решение:

Каким будет частное при делении числа на само себя?

[латекс] \ frac {15} {15} = 1 \ text {потому что} 1 \ cdot 15 = 15 [/ латекс]

Разделение любого числа [латекс] \ text {(кроме 0)} [/ latex] на само по себе дает частное [латекс] 1 [/ latex].Кроме того, любое число, деленное на [latex] 1 [/ latex], дает частное от числа. Эти две идеи изложены в разделе «Свойства единицы».

Разделение свойств одного объекта

пример

Разделить. Затем проверьте умножением:

1. [латекс] 11 \ div 11 [/ латекс]
2. [латекс] \ frac {19} {1} [/ латекс]

Решение:

Предположим, у нас есть [latex] \ text {\ $ 0} [/ latex], и мы хотим разделить его между [latex] 3 [/ latex] людьми. Сколько получит каждый человек? Каждый получит [латекс] \ текст {\ $ 0} [/ латекс]. Ноль разделенный на любое число — [латекс] 0 [/ латекс].

Теперь предположим, что мы хотим разделить [latex] \ text {\ $ 10} [/ latex] на [latex] 0 [/ latex].Это означает, что нам нужно найти число, которое мы умножим на [latex] 0 [/ latex], чтобы получить [latex] 10 [/ latex]. Этого не может произойти, потому что [латекс] 0 [/ латекс] умноженное на любое число равно [латекс] 0 [/ латекс]. Деление на ноль равно undefined .

Эти две идеи составляют свойство деления нуля.

Подразделение свойств нуля

Другой способ объяснить, почему деление на ноль не определено, — это вспомнить, что деление на самом деле является повторным вычитанием. Сколько раз мы можем убрать [latex] 0 [/ latex] из [latex] 10? [/ Latex] Поскольку вычитание [latex] 0 [/ latex] никогда не изменит общую сумму, мы никогда не получим ответа. Таким образом, мы не можем разделить число на [латекс] 0 [/ латекс].

пример

Разделить. Проверить умножением:

1. [латекс] 0 \ div 3 [/ латекс]
2. [латекс] \ frac {10} {0} [/ латекс]

Решение

Когда делитель или делимое состоит более чем из одной цифры, обычно проще использовать нотацию [latex] 4 \ overline {) 12} [/ latex]. Этот процесс называется длинным делением. Давайте поработаем над процессом, разделив [латекс] 78 [/ латекс] на [латекс] 3 [/ латекс].

Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в дивиденде не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше нет цифр, которые нужно сбивать, поэтому деление закончено.

[латекс] \ text {So} 78 \ div 3 = 26 [/ латекс].

Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить дивиденд. Умножьте [латекс] 26 \ на 3 [/ латекс], чтобы убедиться, что продукт равен дивиденду, [латекс] 78 [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} ​​{2} 6 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 3} \\ \ hfill 78 \ end {массив } [/ латекс]

Да, поэтому наш ответ правильный.[латекс] \ галочка [/ латекс]

Деление целых чисел

1. Разделите первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше, чем первая цифра делимого, разделите первые две цифры делимого на делитель и т. Д.
2. Напишите частное над дивидендом.
3. Умножьте частное на делитель и запишите произведение под дивидендом.
4. Вычтите этот продукт из дивиденда.
5. Введите следующую цифру делимого.
6. Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в дивиденде не останется цифр, которые нужно уменьшить.
7. Проверьте, умножив частное на делитель.

На видео ниже мы показываем еще один пример использования деления в столбик.

пример

Разделить [латекс] 2,596 \ div 4 [/ латекс]. Проверить умножением:

Решение

Это равняется дивиденду, поэтому наш ответ правильный.

пример

Разделить [латекс] 4,506 \ div 6 [/ латекс].Проверить умножением:

Решение

Это равняется дивиденду, поэтому наш ответ правильный.

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления четырехзначного целого числа на двузначное целое число.

Пока все проблемы с разделением решаются равномерно. Например, если бы у нас было [латексное] 24 [/ латексное] печенье и мы хотели бы сделать пакеты из [латексного] 8 [/ латексного] печенья, у нас были бы [латексные] 3 [/ латексные] пакеты.Но что, если бы было печенье [latex] 28 [/ latex], и мы хотели бы сделать пакеты из [latex] 8? [/ Latex] Начнем с файлов cookie [latex] 28 [/ latex].

Попробуйте разместить файлы cookie группами по восемь штук.

Остались группы [latex] 3 [/ latex] из восьми файлов cookie и [latex] 4 [/ latex] файлов cookie. Мы вызываем оставшиеся файлы cookie [latex] 4 [/ latex] и показываем их, записывая R4 рядом с [latex] 3 [/ latex]. (R означает остаток.) ​​

Чтобы проверить это деление, мы умножаем [latex] 3 [/ latex] на [latex] 8 [/ latex], чтобы получить [latex] 24 [/ latex], а затем складываем остаток [latex] 4 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 3 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 8} \\ \ hfill 24 \\ \ hfill \ underset {\ text {___} } {+ 4} \\ \ hfill 28 \ end {array} [/ latex]

пример

Разделить [латекс] 1,439 \ div 4 [/ латекс]. Проверить умножением.

Решение

Итак, [латекс] 1,439 \ div 4 [/ latex] — это [латекс] 359 [/ latex] с остатком [латекс] 3 [/ latex]. Наш ответ правильный.

пример

Разделите, а затем проверьте умножением: [латекс] 1,461 \ div 13 [/ латекс].

Решение

Наш ответ правильный.

Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления целых чисел, когда есть остаток.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Что такое повторное добавление? — Определение, факты и пример

Игры с повторяющимся сложением

Связать умножение и сложение; умножение чисел можно рассматривать как многократное прибавление числа к самому себе.

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

При повторном сложении равные группы складываются вместе. Это также известно как умножение. Если то же число повторяется, мы можем записать это в форме умножения.

Например: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Здесь 2 повторяется 5 раз, мы можем записать это сложение как 5 × 2.

Точно так же, чтобы решить задачу умножения путем многократного сложения, мы многократно группируем и складываем одно и то же число снова и снова, чтобы найти ответ.

Вот несколько примеров повторного сложения.

Вот еще один пример повторного сложения, используемого для умножения в задачах со словами.

Есть 5 групп цыплят. В каждой группе по 3 цыпленка. Сколько всего цыплят?

Всего 5 групп.

В каждой группе по 3 цыпленка.

Всего цыплят 15.

Поскольку умножение — это повторное сложение, каждое повторное сложение может быть записано двумя способами:

Например: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать как 4 × 6 = 24, а также как 6 × 4 = 24

Повторное сложение также полезно при изучении фактов умножения.Например, если вы еще не знаете фактов 7 × 3, вам может быть проще вычислить 7 × 3, написав 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 или 7 + 7 + 7; а затем медленно добавляю. Это также может быть полезно с большими числами, такими как 5 × 40. Удобнее писать 40 + 40 + 40 + 40 + 40, а затем складывать десятки.