Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

		Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет) Поделиться:    Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет) Главное замечание по теме от проекта dpva.ru: Дети часто путают действия с правильыми дробями (это такие дроби, где числитель меньше знаменателя) и со смешанными числами (состоящими из целой и дробной части). Умножение правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы умножить правильную дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Для того, чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения, после чего выделить целую часть. Умножение дробей : Чтобы умножить дробь на дробь, надо 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей. 2) первое произведение записать числителем, второе — знаменателем. Умножение смешанных чисел: Для того, чтобы выплнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Деление правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы разделить правильную дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения. Для того, чтобы разделить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения, после чего выделить целую часть. Памятка: Взаимно обратные числа это числа, произведение которых равно 1. Например: дроби 71/17 и 17/71 взаимно обратны. Делимое — то, что делят. Делитель — то, на что делят. Деление дробей: Для того, чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число обратное делителю. Деление смешанных чисел: Для того, чтобы выполнить деление смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA. ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

умножение и деление дробей

Содержание

Умножение и деление в математике — две из четырех основных операций. Умножение — это не что иное, как повторяющееся сложение, которое означает добавление определенного количества раз. Точно так же деление представляет собой повторяющееся вычитание, что означает равное группирование или деление количества на определенное количество групп.

Возможно, вы знакомы с операциями умножения и деления и их правилами с целыми и целыми числами. Точно так же умножение и деление дробей имеют свой собственный процесс и правила. Давайте разберемся, как выполняются умножение и деление правильных и неправильных дробей. Процесс для смешанных дробей немного отличается от правильных и неправильных дробей.

Умножение дробей

Существенным условием при сложении и вычитании дробей является то, что знаменатели дробей должны быть одинаковыми или дроби должны быть подобны дробям.

Но умножение дробей не похоже на сложение или вычитание дробей Здесь вы можете умножать любые две дроби с разными знаменателями.

Единственное, что нужно иметь в виду, это то, что дроби не должны быть смешанными дробями, они должны быть либо правильными дробями, либо неправильными дробями. Давайте научимся умножать правильные и неправильные дроби.

шагов для умножения дробей

Шаги, необходимые для умножения правильных или неправильных дробей, равны

.

Шаг 1: Умножьте числители.

Шаг 2: Умножьте знаменатели.

Шаг 3: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: $\frac {3}{5} \times  \frac {7}{11}$ 

Умножить числители: $3 \ умножить на 7 = 21$

Умножить знаменатели: 5$ х 11 = 55$

Следовательно, $ \frac {3}{5} \times \frac {7}{11} = \frac {3 \times 7}{5 \times 11} = \frac {21}{55}$

Пример 2: $\frac {2}{3} \times \frac {9}{14}$

Умножить числители: $2 \times 9 = 18$

Умножить знаменатели: 3$ х 14 = 42$

Следовательно, $ \frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {2 \times 9}{3 \times 14} = \frac {18}{42}$

Примечание: $ \frac {18}{42}$ не находится в самой низкой или простой форме. ($18$ и $42$ имеют общие множители)

Теперь приведите $\frac {18}{42}$ к самой низкой форме

$ \frac {18}{42} = \frac {9}{21}$ (Деление числителя и знаменателя на $2$)

$ \frac {9}{21} = \frac {3}{7}$ (Деление числителя и знаменателя на $3$)

Поскольку $\frac {3}{7}$ находится в низшей форме, следовательно, $ \frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {3}{7}$

Альтернативный метод

$\frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {2 \times 9}{3 \times 14} = \frac {1 \times 9}{3 \times 7}  =   \frac {1 \times 3}{1 \times 7} = \frac {3}{7}$

Умножение дробей с использованием визуальных моделей

Теперь давайте посмотрим, как мы можем визуализировать умножение дробей, сначала взяв пример с двумя простыми дробями.

$ \frac {1}{2} \times \frac {1}{3}$

Чтобы наглядно представить произведение $\frac {1}{2}$ и $\frac {1}{3}$, нарисуйте прямоугольник и разделите его длину на $2$ равных частей. Каждая часть (столбец) будет представлять $\frac {1}{2}$ всего прямоугольника. А затем разделить его ширину на $3$ равных частей. Каждая часть (строка) будет представлять $\frac {1}{3}$ всего прямоугольника.

Часть, заштрихованная синим цветом, – это $1$ часть (столбец) из $2$ частей (столбцов) прямоугольника. Желтая часть – это $1$ часть (строка) из $3$ частей (строк) прямоугольника.

Теперь визуализируйте эти две фигуры вместе и заметьте, что общая часть $\frac {1}{2}$ и $\frac {1}{3}$ прямоугольника является произведением $\frac {1}{ 2}$ и $\frac {1}{3}$.

Общая часть (заштрихована зеленым цветом) составляет 1 часть (квадратный прямоугольник) из 6 частей (квадратных прямоугольников) прямоугольника

. Следовательно, $\frac {1}{2} \times \frac {1}{3} = \frac { 1}{2}$.

Рассмотрим еще один пример $\frac {2}{3}$ и $\frac {3}{4}$.

Часть, заштрихованная синим цветом, составляет $2$ частей (строк) из $3$ частей (строк) прямоугольника.

Часть, выделенная желтым цветом, составляет $3$ частей (столбцов) из $4$ частей (столбцов) прямоугольника.

Теперь, визуализируя эти две фигуры вместе и наблюдая, что общая часть $\frac {2}{3}$ и $\frac {3}{4}$  прямоугольника является произведением $\frac {2}{ 3}$  и $\frac {3}{4}$.

Общая часть (заштрихована зеленым цветом) составляет $1$ часть от $2$ частей прямоугольника.

(Всего $12$ квадратных коробок. Из этих $12$ квадратных коробок $6$ зеленые, поэтому доля зеленого равна $\frac {6}{12} = \frac {1}{2}$ )

Умножение дробей на целые числа

Чтобы умножить дробь на целое число, нужно записать целое число в виде дроби. В числителе дроби будет целое число, а в знаменателе дроби будет $1$.

$5 = \frac {5}{1}$, $7 = \frac {7}{1}$, $29 = \frac {29{1}$, …

Примечание: Каждое целое число может быть представлено в виде дроби, где

• числитель будет целым числом
• знаменатель всегда равен $1$ (один)

Шаги для умножения дробей на целые числа

Шаг 1: Запишите целое число в виде дроби  

Шаг 2: Умножьте числители.

Шаг 3: Умножьте знаменатели.

Шаг 4: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: $9 \times \frac {7}{11}$ 

Здесь $9$ — целое число, поэтому запишите его в виде дроби.

$9 = \frac {9}{1}$

$9 \times \frac {7}{11} = \frac {9}{1} \times \frac {7}{11} = \frac {9 \times 7}{1 \times 11} = \frac { 63}{11}$

$9 \times \frac {7}{11} = \frac {63}{11}$

Пример 2: $ \frac {2}{3} \times 7$

7 долларов = \frac {7}{1}$

$ \frac {2}{3} \times 7 = \frac {2}{3} \times \frac {7}{1} = \frac {2 \times 7}{3 \times 1} = \frac {14}{3}$

$ \frac {2}{3} \times 7 = \frac {14}{3}$

Пример 3: $5 \times \frac {21}{4}$

$5 = \frac {5}{1}$

$5 \times \frac {21}{4} = \frac {5}{1} \times \frac {21}{4} = \frac {105}{4}$.

Примечание:

$ \frac {105}{4}$ — неправильная дробь, которую можно преобразовать в смешанную дробь.

Умножение дробей на целые числа Визуальная модель

Рассмотрим этот пример: $5 \times \frac {2}{3}$.

Это означает, что $ \frac {2}{3}$ добавляется $5$ раз.

Представим этот пример с помощью визуальной модели. Пять раз две трети представлены как:

$5 \times \frac {2}{3} = \frac {2}{3} + \frac {2}{3} +\frac {2}{3} + \frac {2}{3} + \frac {2}{3} = \frac {2 + 2 + 2 + 2 + 2}{3} = \frac {10}{3}$.

Следовательно, $5 \times \frac {2}{3}  = \frac {10}{3}$.

Умножение дробей с десятичными числами

Возможно, вы знаете, что десятичные числа можно преобразовать в дроби со знаменателем в степени $10$. Первым шагом в умножении дроби на десятичное число является преобразование десятичного числа в дробь, а затем выполнение шагов умножения дробей.

шагов для умножения дроби на десятичное число

Шаг 1: Преобразование десятичного числа в дробь

Шаг 2: Умножьте числители.

Шаг 3: Умножьте знаменатели.

Шаг 4: Сократите (при необходимости) полученную дробь до наименьшего или простейшего вида

Примеры

Пример 1: $2,3 \times \frac {4}{5}$

2,3 доллара = \frac {23}{10}

долларов

$2,3 \times \frac {4}{5} = \frac {23}{10} \times \frac {4}{5} = \frac {23\times4}{10\times5} = \frac {92} {50} = \frac {46}{25} = 1 \frac {21}{25}$

Пример 2: $ \frac {6}{11} \times 1,56$

$1,56 = \frac {156}{100} = \frac {78}{50} = \frac {39}{25}$

$\frac {6}{11} \times 1.56 = \frac {6}{11} \times \frac {39}{25} = \frac {6 \times 39}{11 \times 25} = \frac {234}{275}$

Общие правила умножения дробей

При умножении дробей необходимо помнить о следующих правилах:

Правило 1: Первое правило состоит в том, чтобы преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби, если таковые имеются. Затем умножьте числители данных дробей.

Правило 2: Умножьте знаменатели отдельно.

Правило 3: При необходимости упростите полученное значение до наименьшего члена.

Деление дробей

Возможно, вы уже делили целые числа. Разделение означает разделение предмета поровну. Деление дробей очень похоже на умножение дробей с небольшим отличием. Для деления дробей мы умножаем первую дробь на обратную (мультипликативную обратную) второй дроби.

Рассмотрим две дроби $\frac {a}{b}$ и $\frac {c}{d}$ и выполните шаги, чтобы разделить $\frac {a}{b}$ на $\frac {c}{ d}$, т. е. $\frac {a}{b} \div \frac {c}{d}$.

шагов для деления дроби на дробь

Шаг 1: Напишите обратную величину второй дроби, т.е. обратную величину $\frac {c}{d}$, которая равна $\frac {d}{c}$

Шаг 2: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя описанные ниже шаги (они аналогичны умножению дробей)

Шаг 3: Умножьте числители.

Шаг 4: Умножьте знаменатели.

Шаг 5: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделить $\frac {6}{7}$ на $\frac {3}{4}$, т. е. $ \frac {6}{7} \div \frac {3}{4} $.

Обратное значение $\frac {3}{4}$ равно $\frac {4}{3}$

$ \frac {6}{7} \div \frac {3}{4} = \frac {6}{7} \times \frac {4}{3} = \frac {6 \times 4}{7 \times 3} = \frac {24}{21}$

$\frac {6}{7} \div \frac {3}{4} = \frac {24}{21}$

Пример 2: Разделить $\frac {1}{2}$ на $\frac {1}{3}$, т. е. $\frac {1}{2} \div \frac {1}{3} $

Обратная величина $\frac {1}{3}$ равна $\frac {3}{1}$

$ \frac {1}{2} \div \frac {1}{3} = \frac {1}{2} \times \frac {3}{1} = \frac {1 \times 3}{2 \times 1} = \frac {3}{2}$

Деление дробей целыми числами

Для деления дробей на целое число первым шагом является преобразование целого числа в дробь, а затем выполнение шагов деления дробей.

шагов для деления дроби на целое число

Шаг 1: Преобразование целого числа в дробь

Шаг 2: Напишите обратную величину второй дроби, т.е. обратную величину $\frac {c}{d}$, которая равна $\frac {d}{c}$

Шаг 3: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя описанные ниже шаги (они такие же, как и при умножении дробей)

Шаг 4: Умножьте числители.

Шаг 5: Умножьте знаменатели.

Шаг 6: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделить $\frac {2}{3}$ на $4$, т. е. $\frac {2}{3} \div 4$

$4$ в виде дроби равно $\frac {4}{1}$

$ \frac {2}{3} \div 4 = \frac {2}{3} \div \frac {4}{1}$

Обратная величина $ \frac {4}{1}$ равна $\frac {1}{4}$

$ \frac {2}{3} \div 4 = \frac {2}{3} \times \frac {1}{4} = \frac {2 \times 1}{3 \times 4} = \frac {2}{12} = \frac {1}{6}$

Следовательно, $\frac {2}{3} \div 4 = \frac {1}{6}$.

Пример 2: Разделите $5$ на $\frac {6}{11}$, т. е. $5 \div \frac {6}{11}$.

$5$ дробью равно $\frac {5}{1}$

$5 \div \frac {6}{11} = \frac {5}{1} \div \frac {6}{11}$

Обратная величина $ \frac {6}{11}$ равна $ \frac {11}{6}$

$ \frac {5}{1} \div \frac {6}{11} = \frac {5}{1} \times \frac {11}{6} = \frac {5 \times 11}{1 \times 6} = \frac {55}{6}$

Деление дробей с десятичными числами

Возможно, вы знаете, что десятичные числа можно преобразовать в дроби со знаменателем в степени $10$. Первым шагом в делении дроби с десятичным числом является преобразование десятичного числа в дробь, а затем выполнение шагов деления дробей.

шагов для деления дроби с десятичным числом

Шаг 1: Преобразование десятичного числа в дробь

Шаг 2: Запишите обратную величину второй дроби, т. е. обратную величину $\frac {c}{d}$, которая равна $\frac {d}{c}$

Шаг 3: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя описанные ниже шаги (они такие же, как и при умножении дробей)

Шаг 4: Умножьте числители.

Шаг 5: Умножьте знаменатели.

Шаг 6: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделите $2,5$ на $\frac {2}{3}$, т. е. $2,5 \div \frac {2}{3}$.

$2,5 = \frac {25}{10} = \frac {5}{2}$

$2,5 \div \frac {2}{3} = \frac {5}{2} \div \frac {2}{3} = \frac {5}{2} \times \frac {3}{2} = \frac {5 \times 3}{2 \times 2} = \frac {15}{4} = 3 \frac {3}{4}$.

Пример 2: Разделите $\frac {8}{11}$ на $11,9$, т. е. $\frac {8}{11} \div 11,9$.

$11,9 = \frac {119}{10}$

$ \frac {8}{11} \div 11.9 = \frac {8}{11} \div \frac {119}{10}$

$ \frac {8}{11} \times \frac {10}{119} = \frac {8 \times 10}{11 \times 119} = \frac {80}{1309}$

Заключение

Мы можем умножать дробь на любую другую дробь и не обязательно, чтобы дроби были похожи на дроби, как в случае сложения или вычитания дробей. Деление дробей очень похоже на умножение с той разницей, что величина, обратная второй дроби, умножается на первую дробь.

Практические задачи

1. Умножить следующие
   1. $\frac{2}{5} \times \frac {1}{7}$
   2. $\frac{7}{8} \times \frac {4}{5}$
   3. $\frac{3}{11} \times \frac {6}{19}$
   4. $\frac { 1}{3} \times \frac {1}{7}$
   5. $\frac{3}{5} \times \frac {5}{9}$
   6. $\frac{7}{11} \ раз 2,6$
   7. $7,8 \times \frac {1}{5}$
   8. $\frac{4}{7} \times 3,82$
2. Разделите следующие
   1. $\frac{5}{8} \div \frac {2}{3}$
   2. $\frac{1}{9} \div \frac {5}{18}$
   3. $\frac{2}{15} \div \frac {4 }{5}$
   4. $\frac {1}{2} \div \frac {1}{4}$
   5. $\frac{3}{7} \div \frac {5}{12}$
   6. $\frac{8}{13} \div 6.5$
   7. $2.8 \div {2}{5}$
   8. $\frac{3}{7} \div 1.02$

Рекомендуемое чтение

• Смешанные дроби – определение и операции (с примерами)
• Сложение и вычитание дробей (с иллюстрациями)

Вам также может понравиться

Что такое разносторонний треугольник – определение, свойства и примеры

Содержание Что такое несимметричный треугольник? Типы несимметричных треугольниковОстроугольный несимметричный треугольник

Прочитайте больше

Что такое равнобедренный треугольник – определение, свойства и примеры

Содержание Что такое равнобедренный треугольник? Свойства равнобедренного треугольникаРавнобедренный треугольник

Прочитайте больше

Что такое равносторонний треугольник – определение, свойства и примеры

Содержание Что такое равносторонний треугольник? – Равносторонний треугольник DefinitionShape

Прочитайте больше

Умножение дробей — Young Mind Great Futures

Что такое умножение дробей?

Умножение дробей — это Математическая операция , состоящая из умножения двух или более дробей.

Умножение дробей определяется следующим образом, учитывая следующие дроби: вы должны: .

Однако при умножении дробей следует отметить , если это правильные дроби, неправильные дроби или смешанные дроби , так как в последнем случае их необходимо преобразовать в неправильную дробь.

Уточняя эти понятия, понимаются:

• правильные дроби: когда числитель дроби меньше знаменателя например; .
• Неправильные дроби: возникает, например, когда числитель дроби больше знаменателя; .
• Смешанные дроби: — это дроби, которые объединяют целое число и дробь. В следующем случае

Как умножать дроби?

В случае правильных дробей или неправильных дробей Шаги следующие:

1. Шаг 1 : умножьте числители вместе.
2. Шаг 2 : перемножьте знаменатели.
3. Шаг 3 : При необходимости упростите результат. Упрощение дроби — это сокращение ее членов до их минимального выражения.

Однако, в зависимости от умножаемых дробей, может быть целесообразно сначала упростить, а затем умножить, чтобы упростить расчеты.

Следовательно, умножение дробных чисел выглядит следующим образом:

Например, при заданных дробях Y умножение будет:

Полученную дробь можно упростить, оставив в результате .

В случае умножения более двух дробей процедура такая же. Возьмем случай умножения следующих дробей:

Следует отметить, что перед умножением дробь можно упростить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 2, поэтому умножение дроби будет производиться следующим образом:

Умножение дробей на целые числа

Умножение дроби на целое число производится так же, как было изучено, умножая числители на числители и знаменатели на знаменатели.

Однако, в случае целого числа, оно преобразуется в дробь, просто подставляя число «1» в знаменатель. Это потому, что любое целое число n может быть записано как дробь n /1.

Для лучшего понимания того, что выражается, проводится следующий пример. Учитывая дробь и целое число 5, умножение будет следующим:

Умножение смешанных дробей

Смешанные дроби — это дроби, состоящие из целого числа и правильной дроби, в случае умножения смешанные дроби, смешанная дробь должна быть сначала преобразована в неправильную дробь. Делается это следующим образом:

1. Шаг 1 : уравнивает дробь, помещая знаменатель с другой стороны знака равенства.
2. Шаг 2 : умножьте целое число смешанной дроби на знаменатель.
3. Шаг 3 : сложите результат предыдущей операции с числителем смешанной дроби.
4. Шаг 4 : полученный результат помещается в числитель с другой стороны равенства.

• Узнайте больше о том, как преобразовать смешанные дроби в неправильные.

Чтобы понять этот процесс, представлен следующий пример: наличие смешанной дроби Преобразуйте ее в неправильную дробь.

Шаг 1 : поставьте знак равенства и передайте знаменатель в другую часть равенства.
Шаг 2 : умножьте целое число на знаменатель дроби.
Шаг 3 : добавьте предыдущий результат к числителю.
Шаг 4 : полученный результат становится числителем неправильной дроби.

Например, у нас есть следующая операция: .

Преобразовав смешанные дроби в неправильные дроби, получим:

Y .

Перемножив полученные неправильные дроби, получим:

Результат этой операции:.

Примеры умножения дробей

Некоторые примеры умножения дробей:

Упражнения с умножением дробей

Упражнение 1

Операция для решения :

См. решение дробь упрощена:

Результат этой операции:

Упражнение 2

Операция для решения:

См. решение

В этой операции есть две правильные дроби и одно целое, поэтому в знаменатель добавляется 1 и получается следующее вычисление, тогда дробь упрощается:

Результат этой операции:

Упражнение 3

Операция для решения : .

См. решение

В этой операции есть две смешанные дроби, поэтому смешанная дробь преобразуется в неправильную и получается: Y .

Затем с неправильными дробями производится умножение числителей и знаменателей:

Результат этой операции: .

Упражнение №4 — Задача

Решаемая задача : парковка для мотоциклов имеет длину 600 метров ^две и необходимо иметь 2/3 парковки для парковки автомобилей. Сколько квадратных метров составляет 2/3?

См.