Умножение целых чисел, правила, примеры, как умножать не целые числа, произведение двух чисел

В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3, 4 и большее количество целых чисел.

Основные определения при умножении целых чисел

При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака «x» (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).

Если обозначить множители и произведение буквами a, b и c, то действие умножения можем записать в виде равенства a·b=c. Само числовое выражение a·b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.

В чем состоит смысл умножения целых чисел?

До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как

(значения a и b – целые положительные числа).

В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа -3 на 5 будет выглядеть как (−3)·5=(−3)+(−3)+(−3)+(−3)+(−3).

Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a·1=a. Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.

А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0. Запишем, что a·0=0 для любого целого a. Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.

В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.

Основные правила, применяемые при умножении целых чисел

Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.

Как умножать одно целое положительное число на другое

Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.

Пример 1

Подсчитайте, сколько будет 9 умножить на 7.

Решение

Обратимся к таблице умножения и возьмем из нее готовый результат.

Получим: 9·7=63.

Ответ: 63.

Пример 2

Сколько будет 127 умножить на 5?

Решение

Представим первый из множителей как сумму разрядных слагаемых, т.е. 100+20+7.

Теперь последовательно умножим слагаемые на данное число: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5.

Заканчиваем вычисление: 100·5+20·5+7·5=500+100+35=600+35=635.

Ответ: 635.

Чтобы перемножать многозначные числа, удобно пользоваться методом подсчета в столбик.

Пример 3

Условие: умножьте 712 на 92.

Решение: запишем множители в столбик и вычислим результат.

Ответ: 65 504.

Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки

Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.

Итак, нам надо вычислить произведение числа -5 на 3. Вспомним смысл умножения и запишем: (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и (−5)·3=3·(−5). Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Определение 1

Чтобы умножить одно отрицательное число на одно положительное, надо перемножить между собой модули этих чисел и поставить перед результатом минус.

Разберем несколько примеров, подтверждающих это правило.

Пример 4

Умножьте 7 на -14.

Решение

Запишем отдельно модули исходных множителей. Получим 7 и 14. Подсчитаем, чему будет равно их произведение: 7·14=98. Все, что нам нужно сделать дальше, – это поставить знак минуса перед полученным числом.

Ответ: 7·(−14)=−98.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет (−36)·29.

Решение

Согласно правилу умножения чисел с разными знаками, нам нужно начать с умножения модулей. Считаем: 36·29=1 044. Здесь удобно будет воспользоваться методом умножения в столбик. Нам осталось поставить минус перед результатом и записать готовый ответ.

Ответ: (−36)·29=−1 044.

В последней части параграфа мы попробуем доказать, что равенство a·(−b)=−(a·b) справедливо (a и b здесь – любые целые числа). Правило умножения целых чисел с разными знаками, которое мы записали выше, является частным случаем этого равенства.

Задача сводится к тому, что нам надо доказать, что значениями выражений a·(−b) и a·b будут противоположные числа. Для этого вычислим сумму a·(−b)+a·b. Она будет равна 0. Учитывая распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения,  справедливым будет a·(−b)+a·b=a·((−b)+b). Сумма (−b)+b –это ноль, потому что это сумма противоположных чисел, в итоге получается, что a·((−b)+b)=a·0. Итоговое произведение равно 0, согласно свойству умножения целого числа на 0. Получается, что a·(−b)+a·b=0, значит, a·(−b) и a·b являются противоположными числами. Отсюда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b). Таким же образом можно показать, что (−a)·b=−(a·b).

Как перемножить целые отрицательные числа

Для получения этого правила нам понадобится равенство (−a)·(−b)=a·b. Ниже мы приведем его доказательство.

Перед этим мы писали, почему a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b), следовательно, мы можем записать цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)).

У  нас получилось выражение −(−(a·b)), которое идентично a·b в силу определения противоположных чисел. Таким образом, (−a)·(−b)=a·b.

Теперь мы можем перейти к формулировке правила умножения целых отрицательных чисел.

Определение 2

Чтобы найти произведение целых отрицательных чисел, нам надо вычислить произведение их модулей.

Из правила ясно, что результат умножения двух отрицательных свойств есть число положительное.

Посмотрим, как применить это правило на практике.

Пример 6

Умножьте (−34)·(−2).

Решение

Воспользуемся правилом и просто перемножим между собой модули: -34=34 и -2=2.

Весь ход решения можно записать как (−34)·(−2)=34·2=68.

Ответ: 68.

Пример 7

Умножьте −1 041 на -538.

Решение

Вычисляем модули и перемножаем их столбиком.

 

Ответ: (−1 041)·(−538)=560 058.  

Как умножить целое число на единицу

Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a·1=a. Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a·1=1·a тоже должно быть верным. Получается, что 1·a=a. Выведем основное правило и запомним его:

Определение 3

Если умножить два целых числа, одно из которых равно 1, то результат будет равен второму числу.

К примеру, 58·1=58, 1·0=0 и 1·(−602)=−602. Как видно, от значения второго множителя результат не зависит: произведение −53 и 1 – это −53, а результат умножения 1 и отрицательного целого числа −989 981 – это  −989 981.

Как умножить целое число на нуль

Умножение любого целого числа на нуль дает нам в итоге нулевой результат, т.е. a·0=0. С учетом переместительного свойства умножения мы получим, что 0·a=0 тоже будет верно. Запомним:

Определение 4

Если умножить два целых числа, одно из которых равно 0, то результат тоже будет равен 0. Умножение нуля на нуль в итоге также дает нуль.

Так, произведение 678 на 0 – это 0; произведение -45 на нуль – тоже нуль; (−90 7789)·0=0.

Обратное утверждение тоже будет верным: если произведение двух чисел равно нулю, то один или оба множителя тоже равны нулю.

Как проверить результат умножения целых чисел

Для проверки точности результата умножения нам потребуется вспомнить действие деления. Нужно разделить итоговый результат на один из множителей. Если в итоге мы получим второй множитель, то мы все посчитали правильно. Если же результат будет отличен от значения другого множителя, значит, расчет ошибочен и его нужно переделать.

Посмотрим на примерах, как правильно проверить результат умножения целых чисел.

Пример 8

После умножения 21 на -5 получилось -115. Проверьте, верен ли результат.

Решение

Для проверки нам надо разделить произведение на любой множитель. Возьмем -5. Делимое и делитель у нас отрицательные, значит, в итоге мы получим частное от деления их модулей: (−115):(−5)=115:5 (посмотрите статью о том, как делить целые отрицательные числа).

В итоге мы получим 23, хотя второй множитель в исходных данных равен 21. Значит, вычисления были ошибочными.

Ответ: результат деления неверен.

Пример 9

Умножьте -17 на -67 и проверьте точность результата.

Решение

Вспоминаем, как правильно умножать целые отрицательные числа. Считаем: (−17)·(−67)=17·67=1 139. Теперь переходим к проверке. Для этого делим столбиком результат на любой множитель, например, на -67.

Согласно правилам деления чисел с разными знаками, сначала мы проводим подсчеты с их модулями:

Теперь перед результатом мы должны поставить минус.

У нас получилось -17, что соответствует первоначальному условию. Значит, мы все сделали правильно.

Ответ: (−17)·(−67)=1 139. 

Как перемножить три целых числа и более

Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3,4, 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.

Посмотрим на конкретный пример.

Пример 10

Найдите произведение 5-ти множителей: 5, −12, 1, −2 и 15.

Решение

Заменим соседние множители их произведением и запишем, что

 5·(−12)·1·(−2)·15=(−60)·1·(−2)·15=(−60)·(−2)·15=120·15=1 800

С расстановкой скобок можно записать так: (((5·(−12))·1)·(−2))·15. Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.

Можно было переставить множители и по-другому: 1·5·(−12)·(−2)·15, в таком случае скобки надо было расставить так: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)=(−60)·(−30)=1 800.

Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.

Ответ: 1800. 

Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0. Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми.

Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0, то один из этих множителей будет нулевым.

Умножение | Математика

Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

7 + 7 + 7

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г. ), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

письменно:

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

словесно:

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

21 = 7 + 7 + 7

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

3 = 1 + 1 + 1

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.

Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых

следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.

При этом ход вычислений выражают словесно:

1. Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).

2. Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.

3. Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.

4. Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.

Это действие выразится письменно:

Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:

1. Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.

2. Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.

3. Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.

4. Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.

5. Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.

Этого достигают, приписывая к числу два нуля.

Отсюда заключаем:

Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.

Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:

Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.

Умножение на число с нулями в конце

Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.

Ход вычисления выразится письменно:

Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

1. Умножая 3029 на 9, находим:

    3029
   ×   9 
   27261 первое частное произведение

2. Умножая 3029 на 20, находим:

    3029
   ×   20 
    60580 второе частное произведение

3. Умножая 3026 на 400, находим:

    3029
   ×   400 
   1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

1. нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.

2. Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.

3. Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.

4. Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4,    3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

Что такое правило умножения вероятности? Доказательство и пример решения

Правило умножения вероятности объясняет условие между двумя событиями. Для двух событий A и B, связанных с образцом пространства S, набор A∩B обозначает события, в которых произошли как события A, так и событие B. Следовательно, (A∩B) обозначает одновременное появление событий A и B. Событие A∩B можно записать как AB. Вероятность события AB получается с использованием свойств условной вероятности.

Что такое правило умножения вероятности?

Согласно правилу умножения вероятности, вероятность наступления событий А и В равна произведению вероятности наступления события В на условную вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произойдет событие В.

Если А и В являются зависимыми событиями, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, определяется как:

P(A∩B) = P(B) . П(А|В)

Если А и В — два независимых события в эксперименте, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, определяется выражением:

P(A∩B) = P(A) . П(Б)

Доказательство

Мы знаем, что условная вероятность события A при условии, что произошло B, обозначается P(A|B) и определяется как:

\(\begin{array}{l}P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}\end{array} \)

Где P(B)≠0,

P(A∩B) = P(B)×P(A|B) ……………………………………..(1)

\(\begin{array}{l}P(B|A)~ = ~\frac{P(B∩A)}{P(A)}\end{array} \)

Где, P(A) ≠ 0,

P(B∩A) = P(A)×P(B|A)

Так как P(A∩B) = P(B∩A)

P(A∩B) = P(A)×P(B|A) ………………………………………(2)

Из (1) и (2) получаем:

P(A∩B) = P(B)×P(A|B) = P(A)×P(B|A), где

Р(А) ≠ 0, Р(В) ≠ 0,

Приведенный выше результат известен как правило умножения вероятности.

Для независимых событий A и B P(B|A) = P(B). Уравнение (2) можно преобразовать в

P(A∩B) = P(B) × P(A)

Теорема умножения вероятности

Мы уже изучили правила умножения, которым мы следуем в вероятности, например;

P(A∩B) = P(A)×P(B|A) ; если P(A) ≠ 0

P(A∩B) = P(B)×P(A|B) ; если P(B) ≠ 0

Давайте изучим здесь теоремы умножения для независимых событий A и B.

Если А и В — два независимых события для случайного эксперимента, то вероятность одновременного появления двух независимых событий будет равна произведению их вероятностей. Следовательно,

П(А∩В) = П(А).П(В)

Теперь из правила умножения мы знаем;

P(A∩B) = P(A)×P(B|A)

Поскольку А и В независимы, следовательно;

Р(В|А) = Р(В)

Следовательно, снова получаем;

П(А∩В) = П(А).П(В)

Значит, доказано.

Решенный пример правила умножения вероятности

Иллюстрация 1: В урне 20 красных и 10 синих шаров. Два шара извлекаются из мешка один за другим без возврата. Какова вероятность того, что оба вынутых шара красные?

Решение: Пусть A и B обозначают события, когда первый и второй вынутые шары являются красными. Нам нужно найти P(A∩B) или P(AB).

P(A) = P(красные шары в первом розыгрыше) = 20/30

Теперь в мешке осталось 19 красных и 10 синих шаров. Вероятность вытягивания красного шара во втором розыгрыше также является примером условной вероятности, когда вытягивание второго шара зависит от вытягивания первого шара.

Следовательно, условная вероятность B на A будет,

P(B|A) = 19/29

По правилу умножения вероятности,

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

\(\begin{array}{l}P(A∩B)~ =~ \frac{20}{30} ~× ~\frac{19}{29} ~=~ \frac{38}{87} \конец{массив} \)

Правило сложения вероятности

Правило сложения гласит, что вероятность двух событий равна сумме вероятностей двух событий, которые произойдут, минус вероятность обоих событий, которые произойдут.

Математически правило сложения вероятности выражается как:

P(A ∪ B) = P (A) + P(B) – P(A ∩ B)

Связанные статьи

• Вероятность
• Таблицы вероятностей
• Теорема о полной вероятности
• Шанс и вероятность
• Типы событий в вероятности
• Независимые события

Для подробного обсуждения вероятности загрузите обучающее приложение BYJU’S.

Правило умножения в вероятности

Горячая математика

Если А и Б два независимые события в вероятность опыта, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна:

п ( А и Б ) «=» п ( А ) ⋅ п ( Б )

В случае зависимые события , вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна:

п ( А и Б ) «=» п ( А ) ⋅ п ( Б | А )

(Обозначение п ( Б | А ) означает «вероятность Б , при условии А произошло. «)

Пример 1:

У вас есть ковбойская шляпа, цилиндр и индонезийская шляпа под названием сонгкок. У вас также есть четыре рубашки: белая, черная, зеленая и розовая. Если вы выберете одну шляпу и одну рубашку наугад, какова вероятность того, что вы выберете сонгкок и черную рубашку?

Эти два события являются независимыми событиями; выбор шляпы не влияет на выбор рубашки.

Есть три разных шляпы, поэтому вероятность выбора сонгкока равна 1 3 . Есть четыре разных рубашки, поэтому вероятность выбора черной рубашки равна 1 4 .

Итак, по правилу умножения:

п ( сонгок и черная рубашка ) «=» 1 3 ⋅ 1 4 «=» 1 12

Пример 2:

Предположим, вы достаете из стандартной колоды две карты одну за другой, не заменяя первую карту.