Умножение3

21

перемножить в любом порядке.

Методически данное правило имеет целью подготовить ребенка к знакомству со способами умножения в столбик чисел, оканчиваю­щихся нулями, поэтому с ним знакомятся только в четвертом клас­се. Реально данное свойство умножения позволяет рационализи­ровать устные вычисления как во 2, так и в 3 классе.

Например:

Вычисли: (7 • 2) • 5 = …

В данном случае намного легче вычислить вариант

7 • (2 • 5) = 7 • 10 — 70.

Вычисли: 12 • (5 • 7) = …

8 данном случае намного легче вычислить вариант (12-5)-7 = 60-7 = 420.

Приемы вычислений

1. Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулем: 20 • 3; 3 • 20; 60 : 3; 80 : 20

Вычислительный прием в данном случае сводится к умноже­нию и делению однозначных чисел, выражающих число десятков в заданных числах.

Например:

20 • 3 =… 3 • 20 =… 60:3 = …

2 дес. • 3 = 20 • 3 = 60 б дес.: 3 = 2 дес.

20 — 3 = 60 3 • 20 = 60 60: 3 = 20

Для случая 80:20 может быть использовано два способа вычис­лений: тот, что использовался в предыдущих случаях, и способ под­бора частного.

Например: 80: 20 =… 80 : 20 =…

8 дес.: 2 дес. = 4 или 20 • 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

В первом случае использовался прием представления двузнач­ных десятков в виде разрядных единиц, что сводит рассматривае­мый случай к табличному (8:2). Во втором случае цифра частного находится подбором и проверяется умножением. Во втором случае ребенок возможно не сразу подберет верную цифру частного, это означает, что проверка будет выполнена не один раз.

2. Прием умножения двузначного числа на однозначное: 23 • 4; 4-23

При умножении двузначного числа на однозначное актуализи­руются следующие знания и умения:

В случае умножения вида 4 • 23 сначала применяется переста­новка множителей, а затем та же схема умножения, что и выше.

3. Прием деления двузначного числа на однозначное: 48:3; 48:2

При делении двузначного числа на однозначное актуализиру­ются следующие знания и умения:

В случае 48:2 = (40 + 8) : 2, а дальше аналогично предыдущему случаю. разрядные слагаемые

4. Прием деления двузначного числа на двузначное: 68 : 17

При делении двузначного числа на двузначное необходимы сле­дующие знания и умения:

68: 17 =

Сложность последнего приема состоит в том, что ребенок не может сразу подобрать нужную цифру частного и выполняет несколько прове­рок подобранных цифр, что требует достаточно сложных вычислений. Многие дети тратят много времени на выполнение вычислений этого вида, поскольку начинают не столько подбирать подходящую цифру частного, сколько перебирают все множители подряд, начиная с двух.

С целью облегчения вычислений могут быть использованы два приема:

1) ориентировка на последнюю цифру делимого;

2) прием округления.

Первый прием предполагает, что при подборе возможной циф­ры частного ребенок ориентируется на знание таблицы умноже­ния, сразу перемножая подобранную цифру (число) и последнюю цифру делителя.

Например, 3-7 = 21. Последняя цифра числа 68 — это 8, значит нет смысла умножать 17 на 3, последняя цифра делителя все равно не сов­падает. Пробуем в частном число 4 — умножаем 7 • 4 = 28. Последняя цифра совпадает, значит имеет смысл найти произведение 17 • 4.

Второй прием предполагает округление делителя и подбор циф­ры частного с ориентиром на округленный делитель.

Например, 68:17 делитель 17 округляется до 20. Примерная циф­ра частного 3 дает при проверке 20 • 3 = 60 < 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 • 4 = 68.

Эти приемы позволяют сократить затраты сил и времени при выполнении вычислений данного вида, но требуют хорошего зна­ния таблицы умножения и умения округлять числа.

Целые числа, оканчивающиеся цифрами 0,1,2,3,4, округляют до ближайшего целого десятка, отбрасы­вая эти цифры.

Например, числа 12, 13, 14 следует округлять до 10. Числа 62, 63, 64 округляют до 60.

Целые числа, оканчивающиеся цифрами 5, 6, 7,8,9, округляют до ближайшего целого десятка в большую сторону.

Например, числа 15,16,17,18,19 округляют до 20. Числа 45,47, 49 округляют до 50.

Порядок действий в выражениях, содержащих умножение и деление

Правила порядка выполнения действий задают основные при­знаки выражений, на которые следует ориентироваться при вычис­лении их значений.

Первые правила, определяющие порядок действий в арифме­тических выражениях, задавали порядок действий в выражениях, содержащих действия сложения и вычитания:

1. В выражениях без скобок, содержащих только действия сложения и вычитания, действия выполня­ются в том порядке, как они записаны: слева направо.

2. Действия в скобках выполняют первыми.

3. Если выражение содержит только действия сло­жения, то два соседних слагаемых всегда можно заме­нить их суммой (сочетательное свойство сложения).

В 3 классе изучаются новые правила порядка выполнения дей­ствий в выражениях, содержащих умножение и деление:

4. В выражениях без скобок, содержащих только умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

5. В выражениях без скобок умножение и деление выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

При этом установка на выполнение действия в скобках первым сохраняется. Возможные случаи нарушения этой установки были оговорены ранее.

Правила порядка выполнения действий являются общими пра­вилами вычислений значений математических выражений (при­меров), которые сохраняются на протяжении всего периода изучения математики в школе. В связи с этим формирование у ре­бенка четкого понимания алгоритма порядка выполнения дейст­вий является важной преемственной задачей обучения математике в начальной школе. Проблема заключается в том, что правила по­рядка выполнения действий являются достаточно вариативными и не всегда однозначно заданными.

Например, в выражении 48-3 + 7 + 8 следует по общей уста­новке применять правило 1 для выражения без скобок, содержа­щего действия сложения и вычитания. В то же время, как вариант рациональных вычислений, можно использовать прием замены суммой части 7 + 8, поскольку после вычитания числа 3 из 48 по­лучится 45, к чему удобно прибавить 15.

Однако подобный разбор такого выражения в начальных клас­сах не предусмотрен, поскольку есть опасения, что при неадекват­ном понимании такого подхода ребенок будет применять его в случаях вида 72 — 9 — 3 + 6. В данном случае замена выражения 3 + 6 суммой невозможна, она приведет к неверному ответу.

Большая вариативность в применении всей группы правил и вариантов правил при определении порядка действий требует значительной гибкости мышления, хорошего понимания смысла математических действий, последовательности мыслительных дей­ствий, математического «чутья» и интуиции (математики называ­ют это «чувство числа»). Реально намного проще приучить ребенка жестко соблюдать четко установленный порядок анализа число­вого выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориен­тировано каждое правило.

Определяя порядок действий, рассуждай так:

1) Если есть скобки, выполняю первым действие, за­писанное в скобках.

2) Выполняю по порядку умножение и деление.

3) Выполняю по порядку сложение и вычитание.

Данный алгоритм задает порядок действий достаточно одно­значно, хотя и с небольшими вариациями.

В этих выражениях порядок действии определен алгоритмом однозначно и является единственно возможным. Приведем другие примеры

После выполнения умножения и деления в данном примере можно было сразу к 54 прибавить 6, а из 18 вычесть 9, пбсле чего результаты сложить. Технически было бы значительно легче, чем путь, обусловленный алгоритмом, возможен изначально другой по­рядок действий в примере:

Таким образом, вопрос о формировании умения определять по­рядок действий в выражениях в начальной школе определенным образом противоречит необходимости обучать ребенка способам рациональных вычислений.

Например, в случае порядок действий определен алгоритмом абсолютно однозначно, при этом требует отребенка сложнейших вычислений в уме с переходами через разряд: 42 — 7 и 35 + 8.

2 1 3

Если же после выполнения деления 21:3, выполнить сложение 42 + 8 = 50, а затем вычитание 50 — 7 = 43, что намного легче тех­нически, ответ будет тот же. Этот путь вычислений противоречит установке данного в учебнике

Порядок работы

Гбенга ОЕБАХО

Гбенга ОЕБАХО

Директор школьной инспекции — NewGlobe — KwaraLEARN

Опубликовано 10 июля 2021 г.

+ Подписаться

Какой ответ?

8 ÷ 2(2 + 2) = ?

Я разместил этот вопрос на LinkedIn в качестве опроса на прошлой неделе. Результат показан ниже:

Каков порядок операций?

Операции — это сложение, вычитание, умножение и деление. Когда вы складываете два числа вместе, вы выполняете над ними операцию сложения. Точно так же, когда вы умножаете числа вместе, вы выполняете операцию умножения.

Порядок операций определяет, какие операции следует выполнять первыми, если в одном уравнении имеется несколько операций.

Порядок операций подобен грамматическим правилам языка математики. Он объясняет, как интерпретировать уравнение, чтобы оно означало то, что оно должно означать.

Порядок действий

Хорошая идея при одновременной работе со многими операциями состоит в том, чтобы делать небольшие части уравнения за раз, часто переписывая. Например, сделайте часть в скобках, а затем перепишите уравнение. Попытка выполнить все уравнение сразу может привести к ошибкам. Разбейте его на части, используя порядок операций, и делайте понемногу за раз.

Спасибо всем за попытку решить математический вопрос.

Цель состоит в том, чтобы никого не низводить или создавать ненужную двусмысленность. Это просто напоминание о простой концепции, которую мы уже знаем.

Очевидно, что это вопрос «Порядок работы», когда мы применяем PEMDAS, BODMAS или BIDMAS.

Все эти 3 означают одно и то же.

PEMDAS — Скобка Экспонента Умножение Сложение Вычитание

BODMAS — Порядок скобок Деление Умножение Сложение Вычитание

BIDMAS — Скобки Индексы Деление Умножение Сложение Вычитание

Эти правила помогают нам прийти к правильному ответу, если их правильно соблюдать.

Существует 4 уровня

Уровень 1: Скобки/Квадратные скобки должны быть решены сначала

Уровень 2: Затем решите Exponent/Indices/Order («Порядки» означают квадратные корни и индексы (которые вы можете знать как квадратные числа). , степени или степени)

Уровень 3: Затем решите умножение и деление (слева направо, независимо от того, какое из них наступит раньше)

Уровень 4: Затем решите сложение и вычитание (слева направо, независимо от того, какое из них наступит раньше).

Следуйте правилу 

1.) P: Выполняйте операции внутри скобок или групп, прежде чем делать что-либо еще (если групп или скобок нет, вы можете пропустить этот шаг).

2.) E: Далее, после выполнения операций внутри круглых скобок и группировок (если они есть), примените любые показатели (если показателей нет, этот шаг можно пропустить).

3.) M/D: Далее, после скобок, групп и показателей степени, выполните умножение/деление слева направо в зависимости от того, какая операция будет первой).

★ Тот факт, что М стоит перед D в правиле PEMDAS, не означает, что вы всегда будете выполнять умножение перед делением.

4.) A/S: Наконец, после умножения и/или деления выполните сложение/вычитание слева направо в зависимости от того, какая операция была первой).

★ Тот факт, что A стоит перед S в правиле PEMDAS, не означает, что вы всегда будете выполнять сложение перед вычитанием

★ = Крайне важно

На наш вопрос:

8 ÷ 2 (2 + 2)

НЕПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

9 0102

8 ÷ 2 (2 + 2)

8 ÷ 2 (4 )

8 ÷ 2 x 4 

8 ÷ 8   

1

Здесь ошибка началась с шага 3; Сначала было выполнено «2 x 4», что дало ответ 8 на шаге 4.

Правило гласит, что умножение и деление относятся к одному уровню. Вы должны решить СЛЕВА НАПРАВО.

То есть сначала 8 ÷ 2, затем умножить на 4.

ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

• 8 ÷ 2 (2 + 2)
• 8 ÷ 2 (4)
• 8 ÷ 2 x 4  
• 4 x 4   
• 16

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: 16.

Для математического приложения; проверить MY NUMBER BOND MATH APP для детей. Я сделал это с помощью EXCEL VBA. Загрузка осуществляется на ПК или ноутбук. Пожалуйста, как, поделиться и оставить комментарий или предложение.

Щелкните здесь для загрузки.

Всем спасибо.

Математика, 6 класс, Выражения, Вычисление выражений

Обзор

Учащиеся анализируют, как два разных калькулятора получают разные значения для одного и того же числового выражения. В процессе учащиеся осознают необходимость соблюдения тех же соглашений при оценке выражений.

• Математические выражения выражают вычисления числами (числовые выражения) или иногда буквами, представляющими числа (алгебраические выражения).
• При вычислении выражений, содержащих более одной операции, необходимо соблюдать соглашения, называемые порядком операций:
  1. Сначала выполните все операции в круглых скобках.
  2. Оценка показателей.
  3. Затем завершите все операции умножения и деления слева направо.
  4. Затем завершите все операции сложения и вычитания слева направо.
• Эти соглашения позволяют всем одинаково оценивать выражения с более чем одной операцией. Из-за этих соглашений важно использовать круглые скобки при написании выражений, чтобы указать, какую операцию выполнять первой. Если есть вложенные скобки, сначала оцениваются операции в самых внутренних скобках. Понимание использования скобок особенно важно при интерпретации ассоциативных и дистрибутивных свойств.

• Оценка числовых выражений.
• Используйте круглые скобки при написании выражений.
• Используйте правила порядка операций.

Проверьте использование точки умножения вместо знака умножения для обозначения умножения.

Предложите учащимся оценить выражение 4 ⋅ 6 ÷ 1 + 1 − 1 + 5 ⋅ 2. Напишите найденные учащимися значения на доске.

Спросите учащихся: Как вы думаете, почему мы получили так много разных ответов?

Сообщите учащимся, что на этом уроке они придумают, как избежать получения более одного значения при вычислении числового выражения.

Если учащиеся не придумают более одного ответа, покажите им следующие варианты:

Вычисления слева направо (без учета порядка операций):

4 · 6 = 24       24 ÷ 1 = 24       24 + 1 = 25       25 – 1 = 24       24 + 5 = 29       29 · 2 = 58

Следуя порядку операций:

24 + 1 — 1 + 10 = 34

Открытие

Иногда для обозначения умножения используется точка, а не знак умножения («×»).

Например, вы можете записать 4 × 3 как 4 · 3. Оба этих выражения говорят о том, что 4 нужно умножить на 3.

• Оцените следующее выражение: 4 · 6 ÷ 1 + 1 − 1 + 5 · 2

Обсудить математическую миссию. Студенты рассмотрят два разных метода оценки числовых выражений и придут к соглашению, чтобы все выражения оценивались одинаково.

Открытие

Объясните, как можно написать выражение, чтобы было ясно, какие операции следует выполнять в первую очередь.

Предложите учащимся работать в парах. Во время работы помогите учащимся обдумать задачи, задавая вопросы:

• В каком порядке Джейсон и Дензел выполняют операции?
• Какую операцию Джейсон сделает первой? Всегда ли это одна и та же операция?
• Какую операцию Дензел делает первой? Всегда ли это одна и та же операция?

ELL: Предоставьте вопросы, заданные в письменной форме, для поддержки ELL.

Привлекая учащихся к объяснениям, помните о трудностях, с которыми сталкиваются некоторые ELL, когда им приходится выражаться на языке, отличном от их основного языка. Например, если вы слышите, как они говорят правильные вещи, но используют неправильную грамматическую структуру, продемонстрируйте признаки согласия с точки зрения содержания и мягко перефразируйте, используя правильную грамматику и слова учащегося, насколько это возможно.

Математическая практика 1: Разбираться в задачах и настойчиво решать их.

Некоторым учащимся может быть трудно понять, как работают калькуляторы. Ищите учеников, которые придерживаются задачи, и пробуйте разные способы оценки выражений для достижения заданных результатов.

Математическая практика 7: Ищите и используйте структуру.

Определите учащихся, которые понимают порядок вычислений и могут создавать правила для обоих калькуляторов. Студенты могут столкнуться с использованием скобок во втором наборе задач. Прислушайтесь к учащимся, которые считают, что круглые скобки указывают на то, что операции в круглых скобках должны быть выполнены в первую очередь.

Студенту трудно начать.

• Опишите задание своими словами своему партнеру.
• Что вы пытаетесь найти?
• Какие закономерности вы заметили в результатах калькуляторов?
• Как вы описываете порядок выполнения операций?

Ученик нашел решение.

• Объясните свою стратегию определения того, как работают разные калькуляторы.
• Почему вы подошли к проблеме именно так?

• Причина, по которой Джейсон и Дензел получили разные результаты на своих калькуляторах, заключается в том, что их калькуляторы выполняли операции в каждом выражении в разном порядке. Калькулятор Джейсона выполнял операции слева направо. Калькулятор Дензела, кажется, умножал и делил перед сложением и вычитанием.

Рабочее время

Джейсон и Дензел используют разные калькуляторы, чтобы найти значения выражений в этой таблице.

Каждый из них получает разные результаты на своих калькуляторах.

• Как вы думаете, почему это происходит? Что два калькулятора делают по-разному?

Выполняйте операции слева направо. Затем выполните операции в другом порядке.

Математическое занятие 7: Ищите и используйте структуру.

Определите учащихся, которые понимают порядок вычислений и могут создавать правила для обоих калькуляторов.

Учащиеся могут столкнуться с проблемой использования скобок во втором наборе задач.

Прислушайтесь к учащимся, которые считают, что круглые скобки указывают на то, что операции внутри круглых скобок должны выполняться в первую очередь.

Студенту трудно начать.

• Опишите задание своими словами своему партнеру.
• Что вы пытаетесь найти?
• Какие закономерности вы заметили в результатах калькуляторов?
• Как вы описываете порядок выполнения операций?
• Как вы думаете, что означают скобки в выражениях?

Ученик нашел решение.

• Объясните свою стратегию определения того, как работают разные калькуляторы.
• Почему вы подошли к проблеме именно так?
• Как вы определили, что означают скобки в выражениях?
• Как вы думаете, почему важно использовать круглые скобки?
• Если выражение с более чем одной операцией не имеет круглых скобок, какие правила можно задать, чтобы выражение имело только одно значение?

• Во второй и четвертой строках таблицы выражения имеют круглые скобки, указывающие порядок операций, поэтому калькуляторы Дензела и Джейсона будут показывать одинаковые результаты. В первой и третьей строках таблицы выражения не имеют круглых скобок для обозначения порядка операций, поэтому калькуляторы Дензела и Джейсона будут показывать разные результаты.

Рабочее время

• Как вы думаете, что покажут калькуляторы Джейсона и Дензела для значений следующих выражений? Скопируйте и заполните таблицу.

4 · 3 + 4 · 2
4 · (3 + 4) · 2
8 − 4 ÷ 2 − 1
(8 − 4) ÷ (2 − 1)

Подсказка:

Для обоих калькуляторов сначала выполните операции в скобках.

Ищите учеников, которые понимают, как работает калькулятор Джейсона и как работает калькулятор Дензела. Также обратите внимание на учащихся, которые не понимают, как работают два калькулятора.

Ответы

• Ответы будут разными. Возможный ответ: Выражение: 6 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2

  Результат Джейсона: 6 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 = 68

  Результат Дензела: 6 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 = 38

Рабочее время

• Укажите правила, которые использует калькулятор Джейсона, и правила, которые использует калькулятор Дензела.
• Объясните, как вы оценивали выражения, используя правила калькулятора Джейсона и правила калькулятора Дензела.
• Объясните, почему вы получили разные ответы на одни и те же выражения.

• Напишите выражение, включающее более одной операции. Затем оцените, как ее решит калькулятор Джейсона и как ее решит калькулятор Дензела.

Предложите учащимся рассказать, как, по их мнению, работает каждый калькулятор. Выявить следующие моменты; однако не форсируйте дискуссию. Учащимся важно изучить свои идеи о том, как работают калькуляторы, а затем сделать выводы о том, какие идеи верны, а какие нет.

• Как работают калькуляторы Джейсона и Дензела?
• Согласны ли вы с объяснением [Имя]? У кого-нибудь есть другая идея?
• Что означает использование скобок в выражении?
• Как вы думаете, можно ли получить два разных значения для одного и того же выражения? Объясните свое мышление.
• Какие должны быть правила вычисления выражения, чтобы оно имело только одно значение?
• Согласны ли вы с правилами [Имя]? Почему или почему нет?

Объясните, что если вы хотите убедиться, что 8 + 4 вычисляется первым в выражении 8 + 4 ⋅ 2, вы заключаете 8 + 4 в скобки, чтобы получить (8 + 4) ⋅ 2 = 24. Если учащиеся есть калькуляторы с клавишами со скобками, пусть вводят уравнение со скобками и без и сравнивают результаты.

Скажите учащимся, что в алгебре круглые скобки определяют порядок вычисления частей выражения. Объясните, что когда они используют скобки в выражениях, не возникает вопросов о порядке операций. Операции внутри скобок выполняются первыми. Если выражение имеет вложенные скобки, сначала оцениваются операции в самых внутренних скобках.

Скажите учащимся, что если они видят выражение без скобок, они могут использовать следующие соглашения, принятые математиками. За скобками операции умножения и деления должны выполняться (работая слева направо) перед операциями сложения и вычитания.

Таким образом, порядок операций следующий:

1. Сначала операции в скобках
2. Возведение в степень
3. Затем умножение и деление слева направо
4. Затем сложение и вычитание слева направо

90 008 Избегайте сокращения, такие как PEMDAS (круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание), потому что они вводят в заблуждение. PEMDAS приводит к таким ошибкам, как 8 – 3 + 4 = 8 – 7 = 1, поскольку предполагает, что сложение должно выполняться до вычитания.

ELL: Покажите эти вопросы в письменной форме и рассмотрите возможность использования таких рамок предложений, как:

• Кажется, калькулятор Джейсона _____
• Когда я вижу скобки в выражении, это означает ____ _

Опубликовать эти фреймы предложений в качестве ориентира для будущих уроков.

Performance Task

Делает заметки об объяснениях правил для каждого калькулятора вашими одноклассниками и их идеях о том, почему одно и то же выражение может давать разные результаты.

Подсказка:

В присутствии одноклассников задайте такие вопросы, как:

• Как вы выяснили правило для каждого калькулятора?
• Я заметил, что ваше объяснение правил калькулятора отличается от объяснения [insert name]. Как вы думаете, почему?
• Можете ли вы объяснить, как вы использовали два разных правила для вычисления выражений? Что вы делали по-другому, используя одно правило по сравнению с другим?
• Как вы думаете, можно ли получить два разных значения для одного и того же выражения? Почему или почему нет?

Во время работы учащиеся задают вопросы, подобные следующим:

• Как вы получили этот ответ?
• Какую операцию вы выполните первой в этом выражении? Почему?
• На какую операцию указывает дробь 62 ?
• Что означают скобки?

1. 2(25 + 20) — 3 = 2(45) — 3 = 90 — 3 = 87
2. 2 + 62 — 3 = 2 + 3 — 3 = 2 5) = 17 ⋅ 10 = 170
3. 3 ⋅ 22 = 3 ⋅ 4 = 12

Рабочее время

При вычислении числовых выражений выполняйте операции в следующем порядке:

• Операции в скобках
• Возведение в степень
• Умножение и деление, работая слева направо
• Сложение и вычитание, работая слева направо 9010 4

При написании числовых выражений используйте круглые скобки, чтобы указать, какие операции следует выполнять в первую очередь.

Оцените эти выражения:

1. 2(25 + 20) − 3
2. 2 + 6 ÷ 2 − 3
3. (2 + 15)(15 − 5)
4. 3 ⋅ 22

Лучше всего использовать круглые скобки при написании выражений, чтобы показать порядок операций. Вы можете использовать следующие соглашения для порядка выполнения операций:

1. Сначала операции в скобках
2. Возведение в степень
3. Затем умножение и деление, работая слева направо
4. Затем сложение и вычитание, работая слева направо

SWD: Четко подведите итог урока и запишите всю существенную информацию. Убедитесь, что учащиеся записывают сводку математических заметок в свои тетради.

• При наличии вложенных скобок сначала оцениваются операции в самых внутренних скобках.
• Понимание использования скобок особенно важно при интерпретации ассоциативных и дистрибутивных свойств.

Формирующее оценивание

Напишите краткое изложение того, что вы узнали об оценивании числовых выражений.