а, а : 1, 0 : а

Этап усвоения новых знаний

 

Ребята, вспомните, что такое умножение?
Умножение – это сложение одинаковых слагаемых
 

Замените в следующих примерах произведение суммой и запишите.

5 · 3 =
5 · 2=
5 · 1=

Проверьте себя.

5 · 3 = 5 + 5 + 5 + 5
5 · 2 = 5 + 5    
5 · 1 = ?
5 · 0 = ?
 

Удалось ли заменить сложением последние два примера?
Это особые случаи.
Нельзя взять число слагаемым один раз. Поэтому применим переместительное свойство умножения:
1 · 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

 

Кроме табличных случаев умножения и деления в математике, существуют случаи, которые называют особыми — это

математические законы, которые нужно знать: при умножении любого числа на 1, получается то число, которое умножали.   
     

В математике обозначают любое число латинской буквой а.
Запишите этот вывод формулой.
а · 1 = а
 

Запомните!
Вместо буквы а мы можем подставить любое число.
 

Рассмотрим подробно пример 5 · 0 = ?
К данному случаю можно применить переместительное свойство умножения.
0 · 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

 

Второй математический закон, который нужно сегодня запомнить:
Произведение считается равным нулю, при умножении на 0.
 

Запишите этот вывод формулой.

а · 0 = 0
 

Запомните!
Вместо буквы а,  мы можем подставить любое число.
 

Лучшему запоминанию новых случаев умножения будет способствовать создание наглядного образа.

Множитель 1 не изменяет число, его можно представить зеркальцем.
Как бы отражает второй множитель, не изменяя его.

Нуль – это шапка – невидимка. Он при умножении покрывает второй множитель и делает его невидимым.

Давайте вспомним, что такое деление.
Деление — это действие, обратное умножению.
Каждому примеру на умножение можно составить два обратных примера на деление.
Рассмотрим подробно следующие случаи деления:

а : а = ?
а : 1 = ?
0 : а = ?
 

Запишите пример 5 · 1 = ?
Проверим 5 · 1 = 5

Каждому примеру на умножение можно составить два обратных примера на деление. 
Составим и запишем.

5 : 5 = ?
Проверим 5 : 5=1

Делаем вывод:
При делении числа на то же самое число получается единица. Запишем буквенное выражение или формулу

а : а = 1
ЗАПОМНИТЕ!

 

Запишем второй пример на деление.
 5 : 1 = ?

Проверим
5 : 1 = 5

Делаем вывод:
При делении числа на 1 получается то же самое число
Запишем буквенное выражение или формулу
а : 1 = а          

      

Решим ещё один пример на деление, запишите
0 : 5 = ?….
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х · 5 = 0

Это будет число 0. Значит, 0 : 5 = 0…..

Делаем вывод:
При делении 0 на любое число получается 0.
Запишем буквенное выражение или формулу
0 : а = 0

 

Этап закрепления новых знаний

 

Задание 1

Выполните вычисления.

91 ∙ 1 =
64 + 0 =
18 ∙ 0 =
1 ∙ 35 =
25 + 1 =
0 ∙ 361 =
72 ∙ 0 =
54 ∙ 1 =
31 — 0 =
0 ∙ 159 =
1 ∙ 76 =
98 — 1 =

Проверьте себя и оцените свои успехи.

91 ∙ 1 = 91
64 + 0 = 64
18 ∙ 0 = 0
1 ∙ 35 = 35
25 + 1 = 26
0 ∙ 361 = 0
72 ∙ 0 = 0
54 ∙ 1 = 54
31 — 0 = 31
0 ∙ 159 = 0
1 ∙ 76 = 76
98 — 1 = 97
 

Задание 2

Найдите числовые выражения, при решении которых допущена ошибка. Запишите эти выражения, сделав вычисления правильно.

1 · 15 = 15
3 · 0 = 3
19 : 19 = 1
23 : 1 = 1
26 : 26 = 1

12 + 0 = 0
17 — 0 = 17

Проверьте себя и оцените свои успехи.

3 · 0 = 0
23 : 1 = 23
12 + 0 = 12

 

Этап подведения итогов

 

Давайте повторим:

1. При умножении любого числа на 1 получается число, которое умножаем.
2. При умножении любого числа на 0 получается 0.
3. При делении числа на то же самое число получается единица.
4. При делении числа на 1 получается то же самое число.
5. При делении 0 на любое число получается 0.
    

Запомните! Делить на нуль нельзя!

 

Рефлексия

 

Выберите смайлик, который более всего соответствует вашему пониманию изученных сегодня на уроке правил и нарисуйте его у себя в тетради.

Спасибо за работу, вы хорошо потрудились!       

Почему делить на ноль нельзя? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Все математические действия равны, но некоторые равнее других

Начнём с того, что четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление — не являются равноправными. И разговор идёт не о порядке выполнения действий при решении какого-нибудь примера или уравнения. Нет, имеется в виду само понятие числа. И согласно ему, наиболее важными являются сложение и умножение. А уже вычитание и деление «вытекают» из них тем или иным образом.

Сложение и вычитание

Например, разберём простую операцию: «3 — 1». Что это означает? Школьник легко объяснит эту задачку: это означает, что было три предмета (например, три апельсина), один вычли, оставшееся количество предметов и есть верный ответ. Верно описано? Верно. Мы и сами объяснили бы точно так же.

Но математики рассматривают процесс вычитания иначе.

Операция «3 — 1» рассматривается не с позиции вычитания, а только со стороны сложения. Согласно этому нет никаких «три минус один», есть «какое-то неизвестное число, которое при прибавлении одного даёт три». Таким образом, простое «три минус один» превращается в уравнение с одним неизвестным: «х + 1 = 3». Причём появление уравнения изменило знак — вычитание поменялось на сложение. Осталась только одна задача — отыскать подходящее число.

Умножение и деление

Аналогичные метаморфозы происходят с таким действием, как деление. Задачу «6 : 3» математики отказываются воспринимать как некие шесть предметов, разбитых на три части. «Шесть разделить на три» не что иное, как «неизвестное число, умноженное на три, в результате чего получилось шесть»: «х · 3».

Делим на ноль

Выяснив принцип математических действий по отношению к задачам с вычитанием и делением, рассмотрим наше деление на ноль.

Задача «4 : 0» превращается в «х · 0». Получается, нам нужно найти такое число, умножение с которым даст нам 4. Известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это уникальное свойство нуля и, собственно, его суть. Числа, умноженного на ноль и выдающего любое другое число кроме нуля, не существует. Мы пришли к противоречию, значит задача не имеет решения. Следовательно, записи «4 : 0» не соответствует никакое определённое число, а отсюда уже вытекает её бессмысленность. Поэтому, чтобы кратко подчеркнуть непродуктивность такого процесса, как деление на ноль, и говорят, что «на ноль делить нельзя».

Больше интересных материалов:

• Почему минус на минус всегда даёт плюс?
  
• Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе
  
• Методическая помощь учителю математики
  
• Внеурочная деятельность по математике в начальной школе
  
• Формирование математической грамотности в начальной школе
  

А что получится, если ноль разделить на ноль?

Представим такое уравнение: «0 · x = 0». С одной стороны, выглядит вполне справедливо. Представляем вместо неизвестного числа ноль и получаем готовое решение: «0 · 0 = 0». Из этого вполне логично вывести, что «0 : 0 = 0».

Однако теперь давайте в это же уравнение с неизвестным вместо «x = 0» подставим любое другое число, например «x = 7». Получившееся выражение выглядит теперь как «0 · 7 = 0». Вроде бы, всё верно. Делаем обратную операцию и получаем «0 : 0 = 7». Но тогда, получается, что можно взять абсолютно любое число и вывести 0 : 0 = 1, 0 : 0 = 2… 0 : 0 = 145… — и так до бесконечности.

Если при любом числе х уравнение будет справедливо, то мы не имеем права выбрать лишь одно, исключив остальные. Значит, мы так и не можем ответить, какому числу соответствует выражение «0 : 0». Снова оказавшись в тупике, мы признаём, что и эта операция тоже бессмысленна. Получается, что ноль нельзя делить даже на самого себя.

Оговоримся, что в математическом анализе иногда бывают специальные условия задачи — так называемое «раскрытие неопределенности». В подобных случаях разрешается отдавать предпочтение одному из возможных решений уравнения «0 · x = 0». Однако в арифметике таких «допусков» не происходит. 

Деление на ноль

Не делить на ноль, иначе может случиться такое!   Шучу.

По правде говоря:

Деление на ноль равно undefined .

Разделительный

Чтобы понять почему, давайте посмотрим, что подразумевается под «делением»:

Дивизия делится на равные части или группы.

Это результат «честного обмена».

Пример: есть 12 шоколадок, и 3 друга хотят их разделить, как они поделят шоколадки?

12 конфет		12 конфет разделить на 3

Таким образом, они получают по 4: 12/3 = 4

Деление на ноль

Теперь давайте попробуем разделить 12 шоколадок между ноль человек, сколько получит каждый человек?

Этот вопрос вообще имеет смысл? Нет, конечно.

Мы не можем разделить между ноль людей, и мы не можем разделить на 0.

Еще одна веская причина

Можем ли мы после деления умножить, чтобы получить обратно?

Но умножение на 0 дает 0, так что это не сработает.

И снова деление на ноль вызывает у нас затруднения!

Представьте, что мы можем разделить на ноль

Хорошо, давайте представим мы можем поделить на ноль и посмотрим, что получится.

Это означает, что такие числа, как 1 0 и 0 0 , будут вести себя как обычные числа.

Попробуйте умножить на ноль

Итак, давайте попробуем использовать наши новые «числа».

Например, мы знаем, что ноль умножить на любое число равно нулю:

Пример: 0×1 = 0, 0×2 = 0 и т. д.

Так что это также должно быть верно для 1 0 :

0 × 1 0 = 0

Но мы могли бы также изменить его немного так:

0 × 1 0 = 0 0 × 1 = 1

(Осторожно! Я , а не , говоря, что это правильно! Мы , предполагая , что мы можем делить на ноль, поэтому 0 0 должно работать так же, как 5 5 , что равно 1).

Арргх! Если мы умножим 1 0 на ноль, мы можем получить 0 или 1.

На самом деле у нас не может быть обеих возможностей, поэтому мы не можем определить 1 0 как число.

Итак, это undefined .

Так что же такое 0/0?

0/0 — это все равно, что спросить «сколько нулей в 0?»

В нуле вообще нет нулей? А может быть, в нуле ровно один ноль? Или много нулей?

Итак, 0/0 — это неопределенное (это может быть любое значение).

В заключение:

Когда мы пытаемся делить на ноль, все теряет смысл

Вот и все.

Но подождите…

Существует специальный метод, с помощью которого мы приближаем к и к нулю… просто прочитайте Пределы (Введение), чтобы узнать больше.

 

Деление на ноль — определение, деление на ноль, примеры

LearnPracticeDownload

Деление на ноль с любым числом не определено. Слово «деление» означает разделение чего-либо на равные части или группы таким образом, чтобы оно было разделено поровну между всеми. Принимая во внимание, что значение нуля как числа ничто. Он ставится перед 1, это четное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Давайте узнаем больше о делении на ноль и решим несколько примеров.

1.	Что такое деление на ноль?
2.	Один разделить на ноль
3.	Факты о Дивизии и Зеро
4.	Часто задаваемые вопросы о Division By Zero

Что такое деление на ноль?

Деление на ноль считается неопределенным, если ноль является знаменателем или делением и выражается как а/0, где а является числом, числителем или делимым. Другими словами, деление нуля на любое число всегда даст нам ноль, независимо от умножения или деления. Поскольку умножение и деление идут рука об руку, деление на ноль также может означать умножение на ноль. Например, 7/0 = x или 0 × x = 5. Здесь x не имеет значения или числа для завершения уравнения. Следовательно, деление на ноль любого числа неопределенно.

Единица, деленная на ноль

Единица, деленная на ноль, также считается неопределенной. По мнению математиков, любое ненулевое число, положительное или отрицательное, деленное на ноль, не определено, поскольку не имеет значения. Например, попробуем определить 1/0. Если мы разделим ненулевое число на небольшое положительное число, мы получим значение. Малое положительное число близко к нулю, но не равно нулю.

1/0,1 = 10, 1/0,01 = 100, 1/0,000001 = 1000000

Следовательно, когда мы делим единицу на все меньшие и меньшие положительные числа, мы получаем все большие и большие положительные числа. Следовательно, 1/0 = + бесконечность. Когда мы разделили отрицательные числа, близкие к нулю, мы получаем:

1/-0,1 = -10, 1/-0,01 = -100, 1/-0,000001 = -1000000

Единица делится на отрицательное число ближе к нулю приводит к другому результату, который ближе к отрицательной бесконечности. Следовательно, 1/0 = -бесконечность. Следовательно, единица, деленная на ноль, не имеет ответа, что приводит к неопределенности.

Факты о Дивизии и Зеро

Ниже приведены некоторые факты о делении и нуле.

• Любое число, деленное на 1 (частное равно делимому), дает ответ, аналогичный делимому. Другими словами, 1 — это делитель, а частное будет равно делимому. Например: 25 ÷ 1 = 25.
• Число нельзя разделить на 0, поэтому результат не определен. Пример: 78 ÷ 0 = не определено (но 0 ÷ 78 = 0).
• Если делимое равно делителю, что означает те же числа, но не 0, то ответ всегда равен 1. Например: 36 ÷ 36 = 1.
• Ноль — это действительное число, целое число, рациональное число и целое число.
• Ноль всегда нейтрален, т. е. ноль никогда не записывается как +0 или -0.
• Степень любого числа, увеличенного на ноль, всегда равна единице.

Связанные темы

Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с делением на ноль. Смотри:

• Длинная дивизия
• Нулевое свойство умножения
• Дивизион Формула
• Деление дробей

 

Примеры деления на ноль

1. Пример 1: Если в офисе 7 ягод клубники, а в офисе никого нет, сколько клубники получит каждый в офисе?

   Решение: Дано, 7 клубник в офисе и никого вокруг. Раздавать клубнику, когда никого нет в офисе, заведомо невозможно. Кому достанется клубника? Это определенно не имеет никакого смысла, поэтому this не определено.

2. Пример 2: Что такое 0 ÷ 7?

   Решение: Ноль, разделенный на любое действительное число, кроме 0, равен нулю. Следовательно, 0 ÷ 7 = 0,

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по Division By Zero

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о Division By Zero

Что означает деление на ноль?

Деление на ноль означает, что при делении любого отличного от нуля, положительного или отрицательного числа на ноль результат всегда не определен.