Умножение дробей | NZ Maths

Используйте средство поиска ресурсов

ИЛИ

Имя пользователя

Пароль

• Забыли пароль?
• Регистр

Цель

Целью этой серии уроков является развитие понимания умножения дробей.

Цели достижения

NA3-1: используйте ряд аддитивных и простых мультипликативных стратегий с целыми числами, дробями, десятичными дробями и процентами.

Разработка AO и другие учебные ресурсы

NA3-5: Знание дробей и процентов в повседневном использовании.

Разработка AO и другие учебные материалы

NA4-2: Понимание сложения и вычитания дробей, десятичных и целых чисел.

Разработка АО и другие учебные ресурсы

Конкретные результаты обучения

• Запишите словами, действия и результаты нахождения дроби дроби.
• Запишите и ответьте на письменные уравнения умножения.
• Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые требуют деления единицы измерения.
• Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
• Ставить и решать собственные задачи на умножение дробей.
• Понимать и использовать числовые свойства при умножении дробей.
• Исследуйте и продемонстрируйте взаимосвязь между умножением и делением.

Описание математики

Эта серия уроков основана на понимании и использовании учащимися эквивалентных дробей при решении задач на сложение и вычитание дробей. Как и в предыдущих частях работы, акцент делается на том, чтобы учащиеся моделировали операции с дробями, используя ряд материалов, и записывали, используя слова и символы. Хорошее знание основных фактов умножения и деления имеет основополагающее значение для успеха учащихся в работе и понимании эквивалентных дробей, а в этом разделе — умножении дробей.

В основе умножения дробей лежат три основных понятия. Во-первых, умножение двух дробей требует нахождения дроби другой дроби. Например, 1/2 x 1/4 интерпретируется как 1/2 от 1/4. Во-вторых, при умножении двух дробей, меньших единицы, произведение всегда меньше любого множителя. При умножении целых чисел учащиеся ожидают, что произведение будет больше, чем любой из множителей. Умножение дробей требует концептуального сдвига для учащихся, которые должны четко понимать, что они находят часть части. В-третьих, понимая свойство коммутативности, учащиеся могут упростить задачи, изменив порядок факторов.

При умножении дробей учащиеся приходят к пониманию того, что выражения «время» и «из» взаимозаменяемы. Использование модели массива для визуализации и решения задач, связанных с нахождением доли дроби, путем разбиения области на части по горизонтали и вертикали способствует переходу от понимания целых чисел к дробным.

Начиная с задач, связанных с работой с единицами измерения без деления (например, 1/3 от 3/8), устанавливает концептуальное понимание операции умножения с дробями. Как только это будет четко понято, работа с частями единиц, которые включают в себя подразделение (например, 3/4 от 2/3), сосредотачивает учащихся на записи и вычислениях, поскольку они исследуют отношения между числами.

Важно использовать реалистичные контексты для нахождения дробей дробей. Если учащиеся ответят на них и создадут собственный контекст, это поможет им распознать практическое применение дробного умножения.

Эти идеи представлены на пяти занятиях, однако, поскольку они включают в себя сложные понятия, которые необходимы учащимся для успешной работы с дробями, эти занятия можно растянуть на более длительный период времени.

В то время как игры вводятся и используются на занятиях для закрепления идей, их также можно добавить к классным или групповым самостоятельным занятиям или отправить домой для решения семейных задач и развлечений.

Требуемые ресурсы Материалы

Наборы полос фракций

Полоски фракций (Material Master 7-7)

Наложения цветных фракций

Activity

Сеанс 1

SLO:

• Проверьте нахождение дроби от целого числа.
• Признайте, что дробь дроби дает меньшую часть.
• Запишите словами действия и результаты нахождения дроби дроби.
• Решите задачи, связанные с нахождением доли дроби, используя региональную модель.

Упражнение 1

1. Начните это занятие с постановки этих трех задач. Предложите учащимся обсудить в парах решения каждого из них:
   В классе Нины 33 ребенка. Ее спросили, сколько будет в ее команде, если в нее войдет 1/3 класса. Она сказала 12. Она права?
   15 учеников из класса Джо сидели на коврике. Это было 3/5 класса. Сколько учеников в классе Джо?
   18 учеников из класса Роли лежат на коврике. 2/5 еще не пришли в класс. Сколько снаружи?
   Предложите парам учеников поделиться своими решениями.
    
2. В таблице класса напишите:
   Нахождение дробей целых чисел.
   Класс Нины: 1/3 от 33 это:
   Класс Джо: 3/5 от чего-то равно 15, значит 5/5 это:
   Класс Роли: 3/5 от чего-то равно 18, значит 2/5 это:
   Пригласите отдельных учеников и запишите свои результаты в классную таблицу, а объясните свои решения от имени своей группы.
   Напомните учащимся, что они находили дроби целых чисел.

Упражнение 2

1. Спросите: Что, если вы найдете дробь дроби. Будет ли результат больше или меньше обеих дробей?
   Обсудить. Запишите идеи в классную таблицу.
    
2. Раздайте парам учащихся полоски бумаги и цветные ручки.
   Поставьте задачу: Можете ли вы использовать материалы, чтобы показать одну половину одной половины.
   Предложите учащимся поделиться результатами.
   

   Поставьте другую задачу: Используйте материалы, чтобы показать три четверти половины.
   Предложите учащимся рассказать о том, что они сделали, и обсудить результаты.
   
    

3. Раздайте учащимся полоски фракций (Материалы 7-7) в дополнение к бумажным полоскам. Дайте учащимся время, чтобы ознакомиться с полосками дробей, прочитать показанные единичные дроби и рассказать о подразделениях, которые они видят.
   Задайте вопрос: Чему равна треть половины?
   Предложите учащимся найти одну половину на стенке дробей и найти деление одной половины на трети, определяя, что одна шестая составляет одну треть от одной половины.
   Раздайте и обсудите Приложение 1. Объясните, что они могут обратиться к стене фрагмента или использовать бумажные полоски и ножницы, чтобы заполнить его. Подчеркните важность написания реалистичных историй для каждого из них.
   
    
4. Предложите учащимся попарно обменяться результатами и проверить их.
   Просмотрите фокус обучения на данный момент: Мы находили доли целых чисел и находили доли частей площади.

Занятие 3

1. Завершите занятие, предложив нескольким учащимся прочитать вслух (в случайном порядке) написанные ими текстовые задачи. Другие учащиеся работают в парах с 90 148 изображениями 90 149 бумажных полосок или фракционной стены и отвечают.
    
2. Поставьте вслух словесные задачи, основанные на этих примерах, используя многократное сложение, чтобы найти решения:
   Одна треть половины равна одной шестой, так что же такое две трети половины? (2/6 или 1/3)
   Одна пятая половины равна одной десятой, так что же такое три пятых половины? (3/10)
   Одна треть одной трети равна одной девятой, так что же такое две трети одной трети? (2/9)
   Одна четверть половины равна одной восьмой, так что же такое три четверти половины? (3/8).
    
3. Сделайте вывод, что часть результата дроби является меньшей частью.

Сессия 2

SLO:

• Поймите, что слова «время» и «время» взаимозаменяемы.
• Запишите и ответьте на письменные уравнения умножения.
• Используйте массивы для моделирования уравнений умножения.
• Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые требуют деления единицы измерения.

Задание 1

См. задачу 1 из занятия 1.    
В классе Нины 33 ребенка. Ее спросили, сколько было бы в ее команде, если бы она составляла 1/3 класса. Она сказала 12. Она права?
Нахождение дробей целых чисел.
Класс Нины: 1/3 от 33 это:
Поза: Нина записала уравнение для этой задачи как 33 ÷ 1/3 = 11. Она права? Почему? Почему бы и нет? (33 ÷ 1/3 = 99, потому что в 33 целых числах 99 третей)
Запишите 1/3 от 33 = 11 и 1/3 x 33 = 11.
Обсудите.

Занятие 2

Напишите в таблице класса
1/4 x 2 = ?
2/3 х 12 = ?
Пусть учащиеся поработают над решением задач в парах и поделятся своими результатами, включая использованные изображения или диаграммы.

Занятие 3

Изучите дроби дробей:
Раздайте доска для размышлений листов (Приложение 2) учащимся. Пусть каждый учащийся заполнит доску для размышлений по каждой из этих двух проблем.
2/3 х 9/10 = ?
1/2 от 4/9 = ?
Предложите учащимся использовать диаграммы, аналогичные приведенным в Приложении 1.
Они должны выглядеть следующим образом:
2/3 x 9/10 = 6/10

1/2 от 4/9 = 2/9 они обсуждают свои мыслительные доски с партнером.

Задание 4

Предложите учащимся найти свою копию Приложения 1 (Занятие 1, Задание 2, Шаг 3). Попросите учащихся записать письменные уравнения для каждого из примеров.
Предложите им обсудить все, что они заметили в числах в этих уравнениях (в которых они умножают единичные дроби).
Спросите, это то, что вы заметили верные уравнения 2/3 х 9/10 и 1/2 х 4/9? (Когда мы умножаем целые числа, произведение больше множителей. Когда мы умножаем дроби, произведение меньше обоих множителей).

Упражнение 5

1. Раздайте комплект накладок дробей каждой паре учащихся.
   Дайте им время изучить оборудование, а затем попросите пары учащихся продемонстрировать все, что они обнаружили с помощью оборудования.
    
2. Пусть вместе они смоделируют несколько примеров, используя оборудование, и запишут схему и уравнения в классную/групповую таблицу. Например:
      
   NB. В этих примерах учащиеся узнают, что фиолетовая дробь является результатом умножения двух множителей.
    
3. Поставьте эти задачи перед учащимися, чтобы они решили , используя наложения дробей , записывая каждое уравнение с коэффициентами и произведениями по мере их выполнения.
   3/5 х 3/4 = ?
   2/3 х 2/5 = ?
   1/5 х 1/4 = ?
   5/6 х 1/2 = ?
    
4. Завершите занятие, подведя итоги обучения на этом занятии в таблице класса/группы. Например:
   Когда мы умножаем целые числа, произведение больше обоих множителей.
   Когда мы умножаем дроби, произведение меньше обоих множителей, потому что мы находим дробь дроби.

Сессия 3

SLO:

• Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
• Ставить и решать собственные задачи на умножение дробей.
• Поработайте и продемонстрируйте понимание умножения, включающего смешанные числа, то есть дроби больше единицы, например, 1/2 от 2 2/3.
• Знайте, что задачи на умножение смешанных числовых дробей можно решить, заменив их на неправильные дроби или применив распределительное свойство.

Упражнение 1

1. Начните это занятие с обращения к примерам, использованным в Занятии 2, и резюме Занятия 2, Занятие 5, Шаг 4. числа в уравнениях.
   Когда мы умножаем дроби, произведение меньше, чем оба множителя.
   Произведение является результатом перемножения числителей и перемножения знаменателей.
    
2. Предоставление учащимся наложений дробей.
   Каждая пара должна заполнить (как минимум один) плакат на доске A3 с одной задачей на умножение дробей, которая включает в себя схему наложения дробей в разделе оборудования. Они будут использоваться для отображения класса.

Занятие 2

Учащиеся играют в игру Умножение (Приложение 3)
Как играть
Играйте с партнером.
Победителем становится тот, кто соберет наибольшее количество наборов из 3 карт.
Всего 15 комплектов.

1. Дилер перемешивает карты и раздает по 7 карт каждому игроку. Остальные кладутся лицом вниз стопкой перед двумя игроками.
    
2. Игроки проверяют свои руки на наличие любых полных наборов из трех: карта-картинка, выражение и произведение (одна дробь). Полные комплекты кладутся лицевой стороной вверх перед игроком.
    
3. Крупье начинает с того, что спрашивает у своего партнера карту, которую он хочет составить для комплекта, для которого у него есть хотя бы одна карта участника в руке. В запросе должно быть указано, как будет выглядеть карточка с изображением, или обозначают уравнение, или обозначают произведение.
   Если у партнера нет этой карты, говорят: « Умножение » и дилер берет карту из стопки.
    
4. Затем другой игрок делает запрос.
    
5. Игра продолжается до тех пор, пока не будут использованы все карты.

Задание 3

1. Поставьте задачу: «У Ману осталось 2 1/2 банки краски после покраски дома. Он использует 3/4 этого, чтобы покрасить свой сарай. Сколько это банок?»
   Предложите учащимся изучить проблему в парах, а затем представить свои решения для обсуждения в группе/классе.
    
2. Попросите выбранных учащихся продемонстрировать свои решения на схеме класса.
   Пусть учащиеся узнают двумя способами они могут подойти к задаче:
   3/4 x 2 + 3/4 x 1/2 = 1 1/2 + 3/8 = 1 7/8 (распределительное свойство) или
   3/ 4 x 5/2 = 15/8 = 1 7/8 (заменив смешанное числительное на неправильную дробь)
   В таблице классов нарисуйте, как это будет выглядеть:
   
    
3. Предложите учащимся поработать в парах, чтобы изучить каждую из этих проблем и показать оба способа решения.
   «Марианна 3 1/3 метра ткани. Она использует 2/3 этого, чтобы сделать свое платье для школьного торжества. Сколько метров она использовала?
   «Площадь спальни Оуэна составляет 8 1/4 квадратных метра. 3/4 из них занимает мебель. Сколько квадратных метров свободной площади у него есть?»
    
4. Предложите парам учащихся поделиться обоими решениями для каждой из этих задач:
   2/3 x 3 1/3
   3/4 x 8 1/4

Упражнение 4

1. Вместе обсудите некоторые контексты дробей, затем пусть каждый учащийся напишет задачу на слов , в которой оба множителя представляют собой смешанные числа. (Например: 2 1/2 х 3 1/6). Помогите им использовать целые числа меньше 10.
   Когда каждый из них решит свою задачу со словами, пусть они поработают над своим решением.
    
2. Исследуйте хотя бы одну текстовую задачу, созданную учащимся.
   Выделите еще раз двумя способами они могут подойти к проблеме:
   • Преобразование смешанного числительного в неправильную дробь.
   • нахождение суммы четырех частичных произведений
     Например: 2 1/2 x 3 1/6
   • преобразование смешанной цифры в неправильную дробь: 5/2 x 19/6 = 95/12 = 7 11/12 или
   • нахождение суммы четырех частичных произведений
     2 x 3 = 6
     2 x 1/6 = 2/6
     1/2 x 3 = 1 1/2
     1/2 x 1/6 = 1/12
     Показать с такая схема:
     
     Нахождение суммы частичных произведений: 6 + 2/6 + 1 1/2 + 1/12 = 6 + 4/12 + 1
     6/12 + 1/12 = 7 11/12
      
3. Возьмите двух других учеников, которые создали задач. Запишите их в таблицу класса.
   Предложите учащимся поработать в парах, чтобы решить одно из них по своему выбору.
    
4. Предложите учащимся попарно поделиться своими решениями.
    
5. Предложите учащимся решить другую задачу самостоятельно, а затем запишите в своих математических дневниках, что они узнали на этом занятии.

Сессия 4  

SLO:

• Понимание и использование коммутативности при умножении дробей.
• Понимать и объяснять распределительное свойство при умножении дробей.

Занятие 1

1. Попросите класс/группу сесть парами на мат. Начните с того, что скажите одному учащемуся так, чтобы его услышали все учащиеся: «Пожалуйста, , раздайте бумажек каждой паре учащихся». Напиши слово распространить на классной карточке:
   Попросите учащихся дать определения распространить и записать их предложения.
   (Если вы регулярно пополняете математический словарь класса, вы можете записывать их идеи здесь. Например: «распространять», «распространять», «раздавать».)
   Показать эту диаграмму из сеанса 3 , Упражнение 4, Шаг 2, и напишите под ним «распределительное свойство»
   Объясните, что это математический термин, обозначающий процесс расширения и решения задачи таким образом.
   
   Спросите, почему это можно назвать «распределяемой собственностью», и запишите предложения учащихся.
    
2. Предложите учащимся подумать над тем, чтобы предложить другую задачу на дробь, которую можно решить, используя свойство распределения. Запишите предложения.

Упражнение 2

1. В таблице класса запишите это уравнение и вопросы:
   1/4 x 1/2 = 1/2 x 1/4 Верно? ЛОЖЬ?
   Предложите учащимся поработать в парах, чтобы выбрать свой ответ (верный или неверный) и, используя бумагу, полученную в Упражнении 1, Шаг 1, доказать, откуда они знают, двумя разными способами (например, с помощью модели местности и алгоритм).
    
2. Укажите, что одна сторона класса является «истинной», а другая — «ложной». Предложите учащимся обозначить свое мышление, перейдя к этой стороне комнаты.
    
3. Попросите выбранных учащихся обосновать свою позицию и показать свое «доказательство».
    
4. Закрепите это понимание, попросив 8 учащихся встать группой в центре комнаты.
   Попросите другого учащегося показать, «используя» группу из 8 учащихся, чему равна 1/4 от 1/2. (1/8 или один ученик).
   Соберите группу из 8 учеников. Попросите другого учащегося «использовать» группу, чтобы продемонстрировать 1/2 из 1/4 (1/8 или один учащийся).

Действие 3

1. Запросите, работает ли это, когда задействованы целые числа.
   Поставьте и напишите задачу 5 х 2/3 = 2/3 х 5 Верно? ЛОЖЬ?
   Повторите действие 2, шаги 1–3 выше.
    
2. Пусть 5 групп по 3 ученика встанут в группу в центре комнаты.
   Попросите другого учащегося показать, «используя» пять групп из трех учащихся смоделировать 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3:
   Попросите 1/3 учеников каждой группы сесть, оставив 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика = 2 ученика = 10. Затем эти ученики снова объединяются в группы по три человека, образуя 3 1/3 группы. Соберите 5 групп по 3 ученика и объедините их в одну группу из 15 человек. Попросите другого ученика «использовать» группу, чтобы продемонстрировать, что 2/3 из 5 групп (15 учеников) составляют 10 учеников. Попросите их перегруппироваться, чтобы получилось 3 1/3 группы.

Занятие 4

1. Напишите в таблице класса: Коммуникативное имущество . Объясните, что это общий математический термин для того, что происходило в пунктах 2 и 3 выше. Попросите учащихся предположить, что может означать коммутатив, и запишите их предложения. («переехать», «путешествовать») и подтвердить, что это означает, что порядок чисел может быть изменен без изменения результата).
    
2. Напишите в таблице классов: Изменение порядка не меняет результат, когда мы :
   • добавить дроби. Истинный? ЛОЖЬ? (правда)
   • вычесть дроби. Истинный? ЛОЖЬ? (ложь)
   • умножить дроби. Истинный? ЛОЖЬ? (правда)
   • разделить дроби. Истинный? ЛОЖЬ? (ложь) (поощрять предсказания)
   Предложите учащимся обсудить их в парах, а затем всем классом прийти к соглашению.

Занятие 5

Завершите занятие, попросив учащихся предложить краткие утверждения для сегодняшнего урока и записать их в карточке класса.

Занятие 5

SLO:

• Сообщить другим о своем понимании умножения дробей.
• Исследуйте и продемонстрируйте взаимосвязь между умножением и делением.

Занятие 1

1. Начните это занятие с рассмотрения выводов из занятия 4.
   Попросите одного учащегося: «Пожалуйста, , раздайте плакатный лист формата A3 каждой паре учащихся». Установите ограничение по времени и предложите учащимся поработать в парах над созданием плаката, включающего контекст рассказа и объясняющего либо распределительное или коммутативное свойство, применимое к умножению дробей.
   (В качестве альтернативы учащиеся могут подготовить электронную презентацию, чтобы объяснить родителям одно из этих свойств).
    
2. Быстрые финишеры играют в Умножение или дробные игры из сеанса 3.

Занятие 2

Попросите учащихся образовать пары. Раздайте карточки из Приложения 4 каждой паре. Пусть пары рассортируют карточки по стопкам «Верно» и «Неверно». Затем пары должны обменяться мнениями, по очереди прочитать карточку и обсудить и обосновать свое решение, используя примеры .