Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения
Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.
Первое, что вам поможет, — это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!
Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, — эти формулы просто незаменимы.
Как применять эти формулы на практике?
Например,
;
.
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.
Правда, есть и более простое решение этой задачи.
И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.
А вот и еще один полезный лайфхак:
Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.
Чтобы найти квадрат числа ( – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем на и к результату приписываем 25.)
Например,
.
Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.
1. Вычислите:
Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.
Ответ: 123.
2. Вычислите
Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.
Ответ: 1,25.
Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.
3. Найдите значение выражения если a = 47, b = 999.
Решение:
Числитель дроби является полным квадратом;
Знаменатель дроби преобразуем к виду:
Получим:
Если a = 47, b = 999, получаем:
4. Найдите значение выражения:
Решение:
Сделаем замену переменной: тогда
Запишем выражение в виде:
Квадратный трехчлен имеет корни и поэтому
Ответ: 2.
Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.
Разложите на множители:
5.
Решение:
Применим формулу разности квадратов.
6.
Каждое из слагаемых содержит m в целой степени. Вынесем за скобки Также за скобки можно вынести 12. Получим:
Здесь мы применили формулу квадрата суммы.
7.
Решение:
Представим выражение в виде:
Выражение в скобках – это квадрат суммы.
Получим:
Это разность квадратов. Применяем формулу:
разложили на множители.
8.
Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:
9.
Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:
Следовательно,
10.
Решение. Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:
Тогда
Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:
Тогда
Ответ:
Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.
11. Решите уравнение:
Решение: По формуле разности кубов,
Тогда
Подставив в наше уравнение, получим:
Ответ: 2
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения
| Справочник по математике | Алгебра | Формулы сокращенного умножения |
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
| Степень суммы | |
| Степень разности | |
| Квадрат многочлена | |
| Куб трехчлена | |
| Сумма нечетных степеней | |
| Разность нечетных степеней | |
| Разность четных степеней |
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1.
Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = |
Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + |
Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + |
Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + |
| … |
Общая формула для вычисления суммы
(x + y)n
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
Куб (третья степень) разности (x – y)3 = |
Четвертая степень разности (x – y)4 = x4 – 4x3y + |
Пятая степень разности (x – y)5 = x5 – 5x4y + |
Шестая степень разности (x – y)6 = x6 – 6x5y + |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
полиномов — Таблица разностей для интерполяции
спросил
Изменено 8 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 990 раз
$\begingroup$
Для расчета разделенной (дробной) таблицы разностей для интерполяции точек $(x_i, f_i)$, $i=1,2,.
..,n$; при использовании полинома степени ниже или равной $n$ использовалась дробь $n(n-1)/2$.
Я думаю, что это предложение неверно и необходимо $n(n+1)/2$. Я прав? любой намек или идея будут высоко оценены. Мой инструктор использует следующий пример, чтобы доказать это:
- полиномы
- числовые методы
- интерполяция
9
$\begingroup$
Количество операций прямой разности в разделенной таблице разностей образует 9{n}{k}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$ Но будьте осторожны. В приведенном выше выражении $n$ не является количеством точек. Это индекс $x_n$. Количество точек равно $n+1$. Как сказал @Jean-ClaudeArbaut, по-прежнему существует $n(n−1)/2$ прямых разностных операторов (будьте осторожны, чтобы не спутать это $n$ с индексом $x_n$. Для этого хорошо написать $ N(N-1)/2$, где $N$ — количество очков) , если не обращать внимания на индекс $x_n$ и просто считать очков.
$\endgroup$
2Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
численных методов — Нахождение ошибки в следующей таблице различий?
спросил
Изменено 22 дня назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Я пытался решить вопрос в своей книге о поиске ошибки в следующей таблице разностей:
Мой учитель сказал мне расширять таблицу разностей, пока я не найду правильные биномиальные коэффициенты, поэтому я расширил таблицу разностей.
таблица различий с y5.
Согласно моему решению, ошибка возникает из-за 6-й записи таблицы. В столбце y5 я использую биномиальные коэффициенты, чтобы найти ошибку.
Ошибка = наибольшее значение в столбце / соответствующий коэффициент ε в этом столбце
Ошибка = 0,095/4 = 0,02375$
Так как мой учитель сказал мне, что ошибка всегда будет вычитаться из исходной записи
Исправленное значение = 0,589$ — 0,02375 = 0,56525
$но в моей книге ответ составляет: $0,598$
Что я пропустил?
- численные методы
- методы конечных разностей
- распространение ошибок
$\endgroup$
$\begingroup$
Соответствующий коэффициент $\varepsilon$ в этом столбце для $0,095$ это $-10$. Таким образом, ошибка будет равна $-0,0095$. И, следовательно, исправленное значение $ = 0,589 + 0,0095 = 0,5985 $
$\endgroup$
$\begingroup$
Наибольшее числовое значение в четвертом столбце равно -0,057.
Правильное значение теперь 0,595 это 10. Следовательно, ответ [{0,589-(-0,093/10)}=0,5983]. 0,5983 можно округлить до 0,598
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Первый столбец с биномиально масштабированной подпоследовательностью на фоне явно случайного шума $y_2$. Тогда для ошибки $e$, которую необходимо исправить, имеется $[-0,01,0,019,-0,009]\sim e·[1,-2,1]$. По формуле наименьших квадратов получается
$$
е = — \ гидроразрыва {0,01 + 0,038 + 0,009{1+4+1}=-\frac{0,058}{6}=-0,00967
$$
Это корректирует значение $y(6)$ до $0,589+0,00967=0,59867$, что округляется до $0,599$.