ГДЗ По Математике 5 Класс. Сочетательное и распределительное свойства умножения
Далее
ГДЗ по Математике 5 класс Мерзляк А.Г.
§ 17. Сочетательное и распределительное свойства умножения
Вопросы к параграфу
1. Сформулируйте сочетательное свойство умножения.
2. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство умножения? (ab)c = a(bc)
3. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения.
4. Как записывают в буквенном виде распределительное свойство умножения относительно сложения? Вычитания?
Решаем устно
1. Заполните цепочку вычислений:
2. Произведение чисел 3 и 8 умножьте на 100.
3. Число 3 умножьте на произведение чисел 8 и 100.
4. Найдите произведение суммы чисел 8 и 7 и числа 6.
5. Найдите сумму произведений чисел 8 и 6 и чисел 7 и 6.
6. Можно ли представить число 6 в виде произведения 100 множителей?
7. В инкубаторе было 1 000 яиц. Из каждых 100 яиц вылупилось 95 цыплят. Сколько всего вылупилось цыплят?
Упражнения
420. Вычислите удобным способом: 2 • 328 • 5
421. Вычислите удобным способом: 4 • 17 • 25
422. Упростите выражение: 13 • 2a
423. Упростите выражение: 12 • 3x
424. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 318 • 78 + 318 • 22
425. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 47 • 632 + 632 • 53
426. Раскройте скобки: 2(а + 5)
427. Раскройте скобки: 4(a+2)
428. Упростите выражение: 6a + 8a
429. Упростите выражение: 13b + 19b
430.
Упростите выражение и найдите его значение: 25x • 4у, если х= 12, у = 11
431. Упростите выражение и найдите его значение: 5а • 20b, если а = 4, b = 68
432. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения: 398 • 36 + 36b, если b = 602
433. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения: 631 • 18 + х • 369, если х = 18
434. Упростите выражение и найдите его значение: 13р + 37p, если р = 14
435. Упростите выражение и найдите его значение: 34x + 66x, если х = 8;
436. Вычислите удобным способом: 16 • 25
437. Вычислите удобным способом: 25 • 14 • 6
438. Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
439. Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
440. Выполните умножение: 2км 56 м * 68
441.
Выполните умножение: 8 ц 26 кг * 27
442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел: от 1 до 10 включительно
Упражнения для повторения
443. Угол ABC — прямой, луч ВР — биссектриса угла АВК, луч ВМ — биссектриса угла СВК (рис. 145). Какова градусная мера угла МВР?
444. По двору бегали котята и цыплята. Вместе у них было 14 голов и 38 ног. Сколько котят и сколько цыплят бегало по двору?
445. Семья из двух взрослых и ребёнка может поехать на отдых поездом или на автомобиле. Билет на поезд для одного взрослого стоит 1 440 р., а для ребёнка в два раза меньше. Автомобиль расходует 12 л бензина на 100 км, а цена одного литра бензина составляет 40 р. Расстояние до места отдыха равно 600 км. Каким видом транспорта этой семье дешевле доехать до места отдыха?
Задача от мудрой совы
446. В 5 классе учатся трое друзей: Миша, Дима и Саша.
Один из них занимается футболом, второй — плаванием, а третий — боксом. У футболиста нет ни брата, ни сестры, он самый младший из друзей. Миша старше боксёра и дружит с сестрой Димы. Каким видом спорта занимается каждый из друзей?
Умножение. Переместительное свойство умножения
Представим себе такую историю…
– И сколько же мне нужно купить конфет? – бормотал Саша.
– Что случилось? – поинтересовался Паша у друга.
– У нас в классе есть традиция. На свой день рождения мы приносим угощения для одноклассников. И мама дала мне задание купить конфеты.
– Ну и что тут сложного? – удивился Паша. – Идёшь в магазин и покупаешь конфеты.
– Да у нас в классе 16 учеников. А я хочу купить каждому по 3 конфеты. Тогда сколько конфет мне нужно купить?
– Ну давай посчитаем вместе, – предложил
Паша. – Итак, первому ученику – 3 конфеты, второму – 3, третьему – 3,
четвёртому – 3, пятому – 3, шестому – 3, седьмому – 3, восьмому – 3, девятому –
3, десятому – 3, одиннадцатому – 3, двенадцатому – 3, тринадцатому – 3,
четырнадцатому – 3, пятнадцатому – 3 и шестнадцатому – 3.
– Спасибо, Паша! – обрадовался Саша. – Но это так долго и нудно считать. А если бы у меня в классе было, например, 30 учеников, мы бы, наверное, целый день считали конфеты. Интересно, а существует ли какой-нибудь другой, более быстрый способ?
– А давай спросим у Электроши, – предложил Паша, – он точно будет знать такой способ.
– Ребята, прежде чем я вам расскажу, как быстро решать подобные задачки, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.
– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– А теперь вернёмся к вашему вопросу, – предложил Электроша. – Чтобы посчитать, сколько конфет нужно купить Саше в школу, вы составили вот такую длинную запись.
Согласитесь, она не очень удобна, да и пока
посчитаешь, можно 300 раз ошибиться. Но что особенного можно заметить в этой
записи? – спросил у ребят Электроша.
– Эта запись представляет собой сумму чисел, все слагаемые которой одинаковые, то есть каждое слагаемое равно 3, – заметили мальчишки.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Так вот, сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, обычно записывают короче. Вместо вашей длиннющей записи пишут просто .
Запомните! Действие нахождения суммы одинаковых слагаемых называется
В нашем равенстве натуральные числа 3 и 16 называют множителями, число 48 и саму запись – произведением.
Если в нашем равенстве числа 3, 16 и 48 заменить на натуральные числа а, b и c соответственно, то числа а и b называют множителями, а число c и саму запись – произведением.
Произведением числа а на натуральное число b, не равное одному, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно а.
В буквенном виде записывают так: .
– Электроша, а что будет, если b = 1? – решил уточнить Паша.
– Тогда придётся рассматривать сумму, которая состоит всего лишь из одного слагаемого, – начал Электроша.
– А разве в математике такое бывает? – перебил Паша.
– В математике сумму из одного слагаемого не принято находить, – сказал Электроша, – поэтому договорились, что .
– А если бы b = 0? – спросил Саша. – Тогда нужно было бы число а умножить на 0? То есть взять это число слагаемым 0 раз? Но ведь 0 – это нисколько! Сколько же тогда получится?
– Если b = 0, – начал Электроша, – то договорились считать, что . Точно так же получится и если .
– А если, наоборот, 1 и 0 нужно умножить на некоторое натуральное число а? – решили уточнить ребята.
– Давайте рассмотрим произведения и , где а – натуральное число, отличное от единицы, – предложил Электроша.
– Смотрите, будет равно сумме единиц, которая состоит из а слагаемых. Чему будет равна такая сумма?
– Такая сумма будет равна а.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша.
– А значит, будет равно сумме нулей, состоящей из а слагаемых и равно 0, – предположили ребята.
– Всё верно! – сказал Электроша. – Можем сделать следующие выводы. Запомните! Если один из двух множителей равен единице, то произведение равно другому множителю.
Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулём быть не может.
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
– А теперь давайте проведём небольшой эксперимент, – предложил Электроша. – Начертите на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Затем разделите этот прямоугольник на квадраты со стороной 1 см. Скажите, как подсчитать количество получившихся квадратов?
– Так как прямоугольник разделён на 3 ряда и
каждый ряд состоит из 5 квадратов, – начал рассуждать Саша, – то можно 5 умножить
на 3.
– Но ведь можно смотреть и с другой стороны, – перебил друга Паша. – Прямоугольник разделён на 5 столбцов. Каждый столбец состоит из 3 квадратов. Значит, количество квадратов можно посчитать как 3 умножить на 5. Тоже получим, что прямоугольник состоит из 15 квадратов.
– Вы оба правильно рассуждаете, – сказал Электроша. – Посчитать количество квадратов в нашем прямоугольнике можно как первым, так и вторым способом, и оба дадут верный результат. Так мы с вами пришли к одному из свойств умножения, которое называется переместительное свойство умножения.
Запомните! От перестановки множителей произведение не меняется.
Это свойство в буквенном виде записывают так: , где а и b – любые натуральные числа.
– Электроша, вот мы с тобой сейчас умножали
небольшие числа. Тут всё понятно, – начал Паша. – А если бы нам нужно было
найти произведение, например, 5432 и 305.
– Хороший вопрос! – ответил Электроша. – Умножение многозначных натуральных чисел удобнее всего выполнять в столбик. Вы уже умеете умножать в столбик многозначное число на двузначное. Аналогично выполняют умножение любых двух многозначных чисел. Сейчас я вам покажу, как это сделать.
Итак, умножим 5432 на 305. Помним, что для того, чтобы умножить два многозначных числа столбиком, нужно записать их одно под другим таким образом, чтобы цифры соответствующих разрядов оказались на одном уровне, то есть единицы записываем под единицами, десятки – под десятками, сотни – под сотнями и так далее. Будет удобнее считать, если большее число будет записано сверху.
Под нижним числом проведём черту, а слева от записанных чисел поставим знак умножения – «крестик». Затем мы с вами будем перемножать каждую цифру первого числа поочерёдно на цифры второго числа. Начинаем с младшего разряда (самого правого).
2 умножаем на 5.
Получаем 10. Под разрядом
единиц записываем 0, 1 запоминаем. 3 умножаем на 5. Получаем 15. Да ещё 1, от
умножения соседних цифр. Значит, получаем 16. 6 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.
Теперь 4 умножаем на 5. Получаем 20, и ещё 1, которую запоминали. В итоге
получаем 21. 1 записываем под сотнями, 2 запоминаем. 5 умножаем на 5. Получаем 25,
да ещё 2, что запоминали. Получаем 27. Так мы с вами нашли первое неполное
произведение.
Теперь будем искать второе. Нам нужно каждый разряд числа 5432 умножить на 0. А мы уже знаем, что если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Получим второе неполное произведение и запишем его под ответом первого неполного произведения, сдвинув на один разряд влево.
Затем перемножим каждую цифру числа 5432 на цифру разряда сотен числа 305. Получаем 16 296. Запишем ответ под ответом второго неполного произведения, сдвинув на один разряд влево.
И осталось сложить все неполные произведения.
В итоге получаем 1 656
760.
– Электроша, спасибо! – обрадовались ребята. – Теперь нам понятно, как умножают числа столбиком. Это очень просто и удобно!
– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.
Задание первое: запишите сумму в виде произведения и вычислите её.
Решение: первая сумма состоит из девяти слагаемых, каждое из которых равно 7. Значит, можем заменить её на произведение 7 и 9. Получим 63.
Следующая сумма состоит из трёх слагаемых, каждое из которых равно 15. Можем заменить сумму на произведение 15 и 3. Получим 45.
И последняя сумма состоит из восьми слагаемых, каждое из которых равно m. Значит, можем заменить сумму на произведение m и 8.
Следующее задание: первое число 405, второе число в 6 раз больше первого и в 5 раз меньше третьего числа. На сколько второе число меньше третьего числа?
Решение: в первом действии вычислим, чему
равно второе число.
Нам известно, что оно больше первого в 6 раз. Значит,
второе число равно 2430.
Во втором действии вычислим, чему равно третье число. Нам известно, что второе число в 5 раз меньше третьего. Значит, третье число равно 12 150.
И осталось ответить на вопрос задачи. Для этого найдём разность третьего и второго чисел. Она равна 9720.
Запишем ответ: второе число меньше третьего на 9720.
Свойства умножения — определение, факты, примеры, часто задаваемые вопросы
| 1. | Каковы свойства умножения? |
2. | Ассоциативное свойство умножения |
| 3. | Коммутативное свойство умножения |
| 4. | Распределительное свойство умножения |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о свойствах умножения |
Каковы свойства умножения?
Свойства умножения — это те функции, которые используются при умножении двух или более чисел в выражении. Различные свойства умножения имеют различные типы правил, как описано в следующих разделах.
Ассоциативное свойство умножения
В соответствии с ассоциативным свойством умножения изменение группировки чисел не влияет на произведение чисел. Например, (4 × 6) × 3 = 4 × (6 × 3) = 72. Для выражения этого свойства используется следующая формула: (a × b) × c = a × (b × c)
Коммутативное свойство умножения
Коммутативное свойство умножения гласит, что любое изменение порядка множителей не влияет на произведение.
Например, 3 × 5 × 2 = 2 × 3 × 5 = 30. Формула коммутативности умножения выражается как a × b = b × a
Распределительное свойство умножения
Распределительное свойство умножения применяется к сложению и вычитанию. Это представлено как (b + c) = ab + ac; и а(Ь — с) = аб — ас. Согласно этому свойству, когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, указанных в скобках, мы можем решить это число, умножая это число на оба слагаемых по отдельности, а затем их произведения складываются вместе. Этот продукт будет таким же, если мы умножим число на сумму двух слагаемых. Например, давайте решим 5(2 + 4), используя обычные правила упрощения, где мы сначала раскрываем скобки, а затем умножаем число на результат. Это означает, что 5(2 + 4) = 5 × 6 = 30. Теперь, когда мы применим распределительное свойство умножения, мы будем умножать число вне скобок на первое слагаемое внутри скобок, а затем умножать число на второе слагаемое в скобках. Это означает, что 5(2 + 4) = (5 × 2) + (5 × 4) = 10 + 20 = 30.
Мы видим, что результат тот же. Следует отметить, что распределительное свойство умножения применяется точно так же и в случае вычитания.
Свойство идентичности умножения
Свойство идентичности умножения, также известное как Мультипликативное свойство идентичности, утверждает, что при умножении числа на 1 произведение всегда является самим числом. Он представлен как а × 1 = а. Например, 5 × 1 = 5 или 1 × 17 = 17.
Нулевое свойство умножения
Согласно нулевому свойству умножения, когда число умножается на 0, произведение всегда равно 0. Оно представляется как , a × 0 = 0. Например, 42 × 0 = 0 или 0 × 23 = 0,
☛ Статьи по теме
- Свойства натуральных чисел
- Свойства матриц
- Свойства целых чисел
- Свойства рациональных чисел
- Свойства дополнения
Примеры свойств умножения
Пример 1. Какой оператор является примером свойства Identity умножения?
а.
) 98 × 1 = 98б.) 5 × 7 = 35
в.) 5 × 4 = 4 × 25
г.) (9 × 8) × 7 = 9 × (8 × 7 )
Решение: Используя свойства умножения, мы можем сказать, что вариант (a.) 98 × 1 = 98 является примером свойства идентичности умножения, потому что когда 98 умножается на 1, получается число 98 сам.
Пример 2: Используйте свойства умножения, чтобы заполнить пропущенное число: 435 × 56 × 12 = 12 × ___ × 56
Решение: Согласно переместительному свойству умножения мы можем заключить, что пропущенное число равно 435.
Пример 3: Вставьте пропущенное число, используя свойства умножения: (456 × 212) × 10 = 456 × (___ × 10)
Решение: Используя ассоциативное свойство умножения, мы можем сказать, что отсутствует номер 212.
) 98 × 1 = 98перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите создать прочную основу в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними.
Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по свойствам умножения
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о свойствах умножения
Каковы свойства умножения?
свойства умножения — это те наборы правил, которые помогают упростить выражения. Есть 5 основных свойств умножения.
- Ассоциативное свойство умножения: (a × b) × c = a × (b × c)
- Коммутативное свойство умножения: a × b = b × a
- Свойство тождественности умножения: a × 1 = a
- Распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac; и а(Ь — с) = аб — ас
- Нулевое свойство умножения. а × 0 = 0
Что такое распределительное свойство умножения над сложением?
Распределительное свойство умножения над сложением означает, что когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, оно дает тот же результат, если мы умножаем каждое слагаемое отдельно на число, указанное вне скобок.
Например, давайте решим 10 (5 + 8). Если мы решим его обычным способом, то получим 10 × 13 = 130. Теперь, если мы применим свойство распределения, мы умножим 10 на 5 и 8 по отдельности, а затем сложим их произведения вместе. Это приведет к 10 (5 + 8) = (10 × 5) + (10 × 8) = 50 + 80 = 130,
Как применить свойства умножения?
Свойства умножения можно применять, когда мы умножаем целые числа, дроби, десятичные дроби или даже алгебраические выражения. Например, тождественное свойство умножения говорит, что любое число, умноженное на 1, дает само число. Точно так же ассоциативное свойство умножения говорит нам, что изменение группировки чисел не влияет на произведение чисел. Точно так же все остальные свойства умножения могут быть применены для облегчения вычислений.
В чем разница между коммутативными и ассоциативными свойствами умножения?
Коммутативное свойство умножения гласит, что если мы изменим порядок делителей числа, произведение останется прежним.
Например, 7 × 20 = 20 × 7 = 140. Ассоциативное свойство умножения гласит, что если изменить группировку набора чисел, произведение останется прежним. Например, 22 × (4 × 10) = (22 × 4) × 10 = 880.
Сколько существует свойств умножения?
Существует пять основных свойств умножения: Ассоциативное свойство умножения, Коммутативное свойство умножения, Тождественное свойство умножения, Распределительное свойство умножения и Нулевое свойство умножения. Каждый из них имеет свои уникальные особенности, которые помогают легко упростить выражения.
Приведите пример ассоциативного свойства умножения.
Ассоциативное свойство умножения можно применять ко многим выражениям. Например, если мы сгруппируем набор чисел со скобками и запишем их как (102 × 50) × 20, мы получим произведение этих чисел как 102000. Теперь, если мы сгруппируем эти числа как 102 × (50 × 20) , мы получаем тот же продукт 102000. Следовательно, ассоциативное свойство умножения можно записать как (a × b) × c = a × (b × c).
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Свойства умножения
Свойства умножения
Горячая математикаНиже приведены свойства умножения для действительных чисел. В некоторых учебниках перечислены только некоторые из них, другие перечисляют их все. В вашем учебнике они могут иметь немного другие названия.
ХАРАКТЕРИСТИКИ УМНОЖЕНИЯ | ||
| Идентификационное свойство | Существует единственное действительное число 1 такое, что для каждого действительного числа а , а ⋅ 1 знак равно а а также 1 ⋅ а знак равно а Один называется элемент идентификации умножения. | |
| Обратное свойство | Для всех ненулевых действительных чисел а , а ⋅ 1 а знак равно 1 а также 1 а ⋅ а знак равно 1 . 1 а это взаимный из а . 1 а также называется мультипликативное обратное из а . | |
| Мультипликативное свойство нуля | Для каждого действительного числа а , а ⋅ 0 знак равно 0 а также 0 ⋅ а знак равно 0 | |
| Коммутативное свойство | Для всех действительных чисел а а также б , а ⋅ б знак равно б ⋅ а Порядок, в котором вы умножаете два действительных числа, не меняет результат. | |
