§ Свойства сложения и вычитания

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.

В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.

Свойства сложения

Переместительное свойство сложения

Запомните!

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде свойство записывается так:

a + b = b + a

В этом равенстве буквы «a» и «b» могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Сочетательное свойство сложения

Запомните!

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

В буквенном виде:

(a + b) + c = a + (b + c)

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто «a + b + с».

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.

Запомните!

При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.

Свойство нуля при сложении

Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.

Запомните!

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

a + 0 = 0 + a = a

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Запомните!

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

a − (b + c) = (a − b) − c

или

a − (b + c) = (a − с) − b

Скобки в выражении «(a − b) − c» не имеют значения и их можно опустить.

(a − b) − c = a − b − c

Свойство вычитания числа из суммы

Запомните!

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)

или

(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)

Свойство нуля при вычитании

Запомните!

Если из числа вычесть нуль, получится само число.

a − 0 = a

Если из числа вычесть само число, то получится нуль.

a − a = 0

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

переместительное, сочетательное, прибавление к нулю

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Арифметика Свойства сложения чисел с примерами

В данной публикации мы рассмотрим 3 основных свойства сложения натуральных чисел, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала.

• Свойства сложения чисел
  • Свойство 1: переместительный закон
  • Свойство 2: сочетательный закон
  • Свойство 3: прибавление к нулю

Свойство 1: переместительный закон

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

a + b = b + a

Примеры:

• 7 + 4 = 4 + 7
• 12 + 46 = 46 + 12
• 371 + 52 = 52 + 371

Примечание: количество слагаемых может быть любым. Например, вот сумма трех натуральных чисел:

294 + 628 + 501 = 294 + 501 + 628 = 628 + 294 + 501 = 628 + 501 + 294 = 501 + 294 + 628 = 501 + 628 + 294

Свойство 2: сочетательный закон

Результат сложения одного числа с сумой других (например, второго и третьего) равен результату сложения суммы первого и второго чисел с третьим.

(a + b) + с = a + (b + c)

Другими словами, соседние (и не только) слагаемые можно заменять их суммой.

a + b + с + d = (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) = (a + d) + (b + c)

Напомним, что согласно арифметическим правилам, скобки определяют порядок выполнения действий – в них указываются выражения, которые считаются в первую очередь.

Примеры:

• 11 + (27 + 60) = (11 + 27) + 60
• 20 + 81 + 48 + 55 = (20 + 81) + (48 + 55)

Примечание: аналогично первому свойству, слагаемых может быть больше (как в скобках, так и за их пределами).

15 + 36 + (93 + 16 + 101) = (15 + 36) + (93 + 16 + 101) = (15 + 93 + 16) + 36 + 101 = (36 + 93 + 16) + 15 + 101 и т.д.

Свойство 3: прибавление к нулю

Если к числу (нескольким слагаемым) прибавить ноль, то в результате получится это же самое число (их сумма).

a + 0 = a

a + b + c + 0 = a + b + c

Т.е. мы просто отбрасываем ноль.

Примеры:

• 5 + 0 = 5
• 12 + 0 + 18 + 6 = 12 + 18 + 6
• 0 + 0 = 0

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

The commutative, associative and identity properties of addition

MightyOwl — The commutative, associative and identity properties of addition

More

2nd

grade

Math

lessons:

2nd

Math

Word problem wizards — решение математических задач

2-я

Математика

Мастера задач Word, двойная проблема — двухшаговые математические задачи

2-я

Математика

Подсчет пропусков: Пропуски нужны не только для перерыва — понимание значения места

2-й

Математика

Давайте измерим — выберите свои инструменты!

2 -й

Математика

Решающие длину Проблемы слов — измерение и данные

2 -й

Математика

Математические трюки Jedi: Mental Math Strategies

2nd

Math

от

.

2-й

Математика

Оценка и сравнение длины

2-й

Математика

(ТЕСТ) Давайте измерим — выберите свои инструменты!

2nd

Math

Even Steven and Odd Todd — even and odd numbers

2nd

Math

Arrays and repeated addition

2nd

Math

Measure twice, cut once: using different units

2nd

Математика

Двузначное вычитание с перегруппировкой

2-й

Математика

Атрибуты фигур

2 -й

MATH

ZERO. Герой спасает день — Понимание значения места

2 -й

MATH

Сила перегруппировки: двузначное добавление

2nd

Math

1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 -й

Math

1, 3, 3, 3, 3, 3, 3 -й

Math

1, 3, 3, 3, 3 -й

Math

1, 3, 3, 3 -й

Math

1, 3, 3 -й. — Читать и записать номера до 1000

2 -й

Math

Установка бара высокой — гистограммы

2 -й

Math

Разбивающие формы — фракции

2nd

Math

, который является крупным? Сравните трехзначные числа

2 -й

MATH

Вычитание трехзначных номеров

2nd

Math

Веселый день — сборы измерений

2nd

Math

Дополнение и подпрограмма.

Определение и рисование фигур

2-й

Математика

Определение времени

2-й

Математика

Сложение трех цифр с перегруппировкой

2-й

Math

Two-digit subtraction without regrouping

2nd

Math

Fun factory challenge problems — advanced regrouping

2nd

Math

Partitioning rectangles: finding area on the farm

2nd

Math

Adding с десятью фреймами — математические стратегии в уме

2-я

Математика

Представьте себе! — как составить график-картинку

2-й

Математика

Счет монет — стоимость монет и купюр

2 -й

Math

Migate Magic Magic Magic — Решение проблем с деньгами.

2-й

Математика

Складывание многозначных чисел на пляже

2-й

Математика

Используя свой могучий математический мозг! — ментальные математические стратегии

2-й

MATH

Решающие проблемы с графиками

2-й

Math

Трехклассное добавление без перегруппировки

2-й

Math

Lions, Tigers и Clowns, Oh My! Сложение в пределах 100 в цирке

Разница между ассоциативной и коммуникативной собственностью • Родительское портфолио

Узнайте, как стать миллионером, инвестируя в недвижимость…

даже если вы чувствуете себя невежественным и не имеете много денег, чтобы начинать!

Зарегистрируйтесь, и я пришлю вам полезный урок из моего курса по инвестированию в недвижимость!

В математике у нас есть определенные правила для чисел, над которыми мы работаем. Свойства — это правила, которым следует следовать при выполнении математических операций. В математике есть много свойств, таких как коммутативные, ассоциативные, дистрибутивные, тождественные и обратные свойства. Руководство посвящено разнице между ассоциативным и коммутативным свойством.

Эти свойства содержат правила для четырех основных математических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в этой статье речь пойдет только о коммутативных и ассоциативных свойствах. Правила, применимые к операциям сложения и умножения, включают коммутативные и ассоциативные характеристики.

Эти правила используются в математике для помощи в алгебре и решении задач. Оба свойства кажутся очень похожими, поэтому важно знать разницу между ними и то, как их можно использовать в законах сложения и умножения.

Итак, давайте посмотрим, что означают коммутативные и ассоциативные свойства и чем они отличаются друг от друга.

Коммутативное свойство

Слово «коммутировать», означающее передвижение, — это место, откуда происходит коммутативное свойство. В соответствии с этим свойством числа, которые мы используем для сложения и умножения, можно перемещать или менять местами без изменения результата.

Например, если мы сложим 6+4, ответ будет 10. Точно так же, если мы сложим 4+6, ответ будет 10. Таким образом, независимо от того, как расположены числа, ответ всегда остается одним и тем же. Это правило или свойство сложения называется коммутативным свойством сложения.

Точно так же, если мы умножаем 2×3, ответ равен 6, а если мы умножаем 3×2, ответ снова равен 6. Неважно, в каком порядке расположены числа; результат всегда был бы один. Это правило или свойство умножения называется коммутативным свойством умножения.

Примеры

Давайте посмотрим на некоторые примеры этого свойства, чтобы лучше понять.

Коммутативное свойство сложения:

p + q = p + q

6 + 5 = 11 аналогично 5 + 6 = 11

10 + 20 = 30 аналогично 20 + 10 = 30

3 9 приведенные выше примеры, вы видите, независимо от того, как вы размещаете числа при их добавлении. Ответ всегда останется одним и тем же.

Переместительное свойство умножения:

p x q + q x p

4 x 5 = 20 аналогично 5 x 4 = 20

8 x 10 = 80 аналогично 10 x 8 = 80 помещенный никогда не повлияет на результат процесса умножения.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство вступает в действие, если мы складываем или умножаем три или более чисел. В нем говорится, что независимо от того, как сгруппированы числа, при сложении или умножении трех и более целых чисел результат всегда будет одним и тем же. Прибавляем ли мы сначала 1 + 2, а затем прибавляем к нему 4, или прибавляем сначала 2 + 4, а затем прибавляем к нему 1, результатом прибавления 1 + 2 + 4 всегда будет 7.

Это свойство сложения называется ассоциативным свойством сложения. То же свойство применимо к умножению трех и более чисел. Ответом на умножение 5 x 3 x 2 всегда будет 30, независимо от того, умножаем ли мы сначала 5 x 3 или 3 x 2.

Это свойство умножения называется ассоциативным свойством умножения. Чтобы использовать это свойство, мы используем круглые скобки для группировки чисел. В приведенных ниже примерах вы сможете лучше понять это.

Примеры:

Давайте посмотрим на некоторые примеры этого ассоциативного свойства, чтобы лучше понять его.

Ассоциативное свойство сложения:

(p + q) + r = p + (q + r) = p + q + r

(6 + 3) + 2 = 6 + (3 + 2) = 11

(10 + 20) + 30 = 10 + (20 + 30) = 60

Как видите, сумма всегда будет одинаковой независимо от того, как сгруппированы числа.

Ассоциативное свойство умножения:

(p x q) x r = p x (q x r) = p x q x r

(1 x 3) x 2 = 1 x (3 x 2) = 6

(30 x 40) x 10 = 30 x (40 x 10) = 12000

Приведенные выше примеры показывают, что продукты всегда будут одинаковыми, независимо от того, как они сгруппированы или размещены.

Разница между ассоциативными и коммутативными свойствами

Как упоминалось выше, ассоциативные и коммутативные свойства кажутся очень похожими и могут сбивать учащихся с толку. Вот почему важно понимать ключевые различия между ними. В этом вам поможет следующая таблица.

Переместительное свойство	Ассоциативное свойство
Коммутативное свойство утверждает, что сумма или произведение чисел будет одним и тем же независимо от того, в какой позиции или порядке они записаны при сложении.	Ассоциативное свойство утверждает, что сумма или произведение трех или более чисел будет одинаковым независимо от их группировки при сложении или умножении.
Свойство коммутативности происходит от слова commute, означающего перемещение или переход в другое место.	Ассоциативность происходит от слова ассоциировать или группировать что-либо
Правило коммутативности сложения: p + q = p + q	Правило ассоциативности сложения: (p + q) + r = p + (q + r)
Правило коммутативности умножения: p x q = p x q	Правило ассоциативности умножения: (p x q) x r = p x (q x r)
Пример коммутативного свойства сложения: 8 + 5 = 13 аналогично 5 + 8 = 13	Пример ассоциативного свойства сложения: (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1) = 6
Пример коммутативного свойства умножения: 5 x 2 = 10 аналогично 2 x 5 = 10	Пример ассоциативного свойства умножения: (3 x 2) x 2 = 3 x (2 x 2) = 12
Переместительное свойство сложения включает 2 числа	Ассоциативное свойство сложения включает группировку 3 или более чисел
По определению, коммутативное свойство умножения включает 2 числа	Ассоциативное свойство умножения по определению включает группировку 3 или более чисел
Реализация в реальной жизни: обследование подсчета детей в домах в обществе. Мы можем начать считать с любого дома; порядок домов не повлияет на результат.	Реальная реализация: поход в магазин, чтобы купить 3 или более вещей. Для счета мы можем добавить сначала любые 2 вещи, а затем третью. Как бы мы ни группировались для добавления, это не повлияет на общий счет.

Часто задаваемые вопросы

Можете ли вы сложить и умножить три целых числа, используя свойство коммутативности?

Свойство коммутативности применимо только к двум числам; однако три числа дают один и тот же результат. Это потому, что мы можем использовать этот атрибут для двух из трех целых чисел в разных комбинациях.

Какие процедуры обладают как коммутативными, так и ассоциативными свойствами?

Коммутативные и ассоциативные свойства применимы к умножению и сложению.

Совпадают ли коммутативные и ассоциативные характеристики?

Числа можно переставлять, не влияя на результат, но изменение группировки чисел влияет на результат.

Какие операции не являются коммутативными и ассоциативными?

Коммутативные и ассоциативные операции не применяются к делению и вычитанию.

В чем ключевое различие между коммутативным и ассоциативным свойством ?

Коммутативный происходит от слова commute, что означает изменение или изменение положения. Ассоциативный происходит от слова «ассоциировать» или «группировать». Всегда помните, что под коммутативностью мы подразумеваем перемещение чисел без влияния на результат. Под ассоциативным мы подразумеваем перегруппировку трех или более чисел без влияния на результат.

По каким причинам следует использовать ассоциативные и коммутативные характеристики?

Ассоциативные и коммутативные характеристики в математике — это постоянные правила, применимые к сложению и умножению.

Включает ли свойство ассоциативности коммутативность?

Нет. Ассоциативность отличается от коммутативности, которая проверяет, влияет ли размещение двух операндов на результат.