Натуральные числа и их свойства

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

1. Переместительное свойство: $a+b=b+a$

   Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

2. Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

   Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

   Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

2. Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

   Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

1. Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

   Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

2. Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

   Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

3. При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

4. При умножении на нуль произведение равно нулю

5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

   $(a+b)\cdot c=ac+bc$

   Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

   Например, $5(x+y)=5x+5y$

2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

   $(a-b)\cdot c=ac-bc$

   Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

   Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

3. если $a

   Пример 1

   Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

   Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

   Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

5. если $a

6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Умножение натуральный чисел: свойства и особенности

Содержание

На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах. Выделяют сочетательное и переместительное свойство.

Умножение

Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?

Решение:
$10 + 10 + 10 + 10 = 40$

Ответ: $40$ конфет.

В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

Рисунок 1. Умножение

Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.

Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b$, нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которые равно $а$. Сами натуральные числа $а$ и $b$ в этом случае называются множителями, а выражение $а \cdot b$ произведением чисел $а$ и $b$.

Переместительное свойство

Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

От перестановки множителей произведение не меняется

Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$

Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:

$3 \cdot 4 = 12$ квадратов

Рисунок 2

Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата – всего:

$4 \cdot 3 = 12$ квадрата.

Рисунок 3

Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$

Приведём примеры:

$3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$

$$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

{"questions":[{"content":"Выберите выражение, в котором применяется переместительный закон умножения[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5 + 8 = 8 + 5$","$3 \\cdot 15 = 15 \\cdot 3$","$1 \\cdot 9 = 9$","$0 \\cdot 26 = 0$"],"answer":[1]}}}]}

Сочетательное свойство

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Запишем буквами:

$$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$

Решим пример двумя способами:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$

Теперь применим сочетательное свойство умножения:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$

{"questions":[{"content":"Выберите пример, в котором применили сочетательный закон умножения. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9 + (7 + 2) = (9 + 2) +  7$","$17 \\cdot 3 = 3 \\cdot 17$","$(13 \\cdot 40) \\cdot 5 = 13 \\cdot (40 \\cdot 5)$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":[]}]}

Другие свойства

Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:

При умножении числа на $1$ получится само число

Потому что мы это число берем $1$ раз.

{"questions":[{"content":"Сколько будет $876 \\cdot 1 = ?$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$1$","$0$","$876$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":["$а \\cdot 1 = а$"]}]}

При умножении числа на нуль получится нуль

Потому что мы это число берем $0$ раз.

{"questions":[{"content":"Сколько будет $23 \\cdot 0 =?$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$23$","$0$","$1$"],"explanations":[],"answer":[1]}},"hints":["$а \\cdot 0 = 0$"]}]}

Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.

Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:

$$x \cdot y \cdot z = xyz$$

Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:

$$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$

Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.

Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:

$$(ab)c$$

Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке — слева направо.

$$(ab)c = abc$$

Рисунок 4. Свойства умножения

Как правильно прочитать произведение

Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.

Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

Разложение на множители

Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

$$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$

Сложение и вычитание натуральных чисел

1. Сложение натуральных чисел и его свойства
2. Вычитание натуральных чисел и его свойства
3. Числовые и буквенные выражения
4. Буквенная запись свойств сложения и вычитания
5. Уравнения

Все мы умеем считать.

Вы ведь знаете, что при счёте предметов мы используем натуральные числа (1, 2, 3 и так далее)? С этими числами можно совершать множество математических действий, суммировать, вычитать умножать, выбирать большее и т.д.

Сегодня мы подробно расскажем об операциях сложения и вычитания натуральных чисел и посмотрим, как можно проиллюстрировать эти действия на координатном луче.

Сложение натуральных чисел и его свойства

Для начала предлагаю вспомнить, что такое ряд натуральных чисел.

Натуральный ряд — это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Значит в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.

Как определить неизвестное число из натурального ряда?

Нужно прибавить к предыдущему числу единицу. Какое число следует за тройкой? Прибавляем единицу и получаем 4. То есть в натуральном ряду за тройкой следует четвёрка.

Как использовать это свойство натурального ряда при сложении?

Давайте сложим 2 и 3. Три — это три единицы, значит, к двойке прибавляем по одной по порядку:

2+1=3

3+1=4

4+1=5

В конечном результате действия с числами 2 и 3 появилось число 5. Вроде бы просто да? Но такой способ сложения лёгкий лишь когда, мы работаем с маленькими числами. С большими числами не по единичке же добавлять? Правильно?

Представим ситуацию, при которой в корзине лежит 20 яблок, добавляем к ним и ещё 15. Как определить, сколько всего яблок оказалось в корзине? Чтобы освободиться от необходимости перебирать объекты по одному, давайте определим операцию сложения.

Определение:

Сложение — это арифметическая операция, после проведения которого наши вещи, подвергаемые счету, соединяются воедино. В данном случае единое целое — это общее количество яблок в корзине. Общее количество в переводе на латиницу – это сумма. Слышали это слово?

Сумма — это результат операции сложения.

Для записи операции сложения используется знак «+». Он располагается между складываемыми числами.

Числа, которые мы складываем, называют слагаемыми. Для отображения результата сложения используют знак «=».

Давайте посчитаем, сколько же яблок оказалось в той самой корзине:

20 (яблок) +  15 (яблок) = 35 (яблок) в корзине

Теперь попробуем представить сложение небольших натуральных чисел на координатном луче.

Мы уже складывали числа 2 и 3. Возьмём теперь числа 2 и 4 и найдём их сумму с помощью координатного луча с началом отсчета в точке 0.

Его единичный отрезок (одно деление) равен  единице. Мы помним, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка. Учитывая это знание, выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче.

Отмечаем число 2 там, где два деления, далее прибавляем 4, то есть двигаемся право на 4 единичных отрезка, где мы окажемся в точке, равной 6. Следовательно, суммы чисел 2 и 4 равна 6. Это мы и так уже знали, но теперь увидели это и на координатном луче.

Переходим к следующему разделу и рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.

Переместительное свойство

У нас есть корзина, и в ней лежат 8 бананов. Затем мы кладем туда ещё 5 бананов. Таким образом, в ней оказывается 13 бананов.

А мы выберем немного другой порядок. Представим, что сначала в корзине было 5 бананов, и мы туда положили ещё 8 бананов. В итоге фруктов в корзине будет 13. Почему? Потому что и в первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в корзину одинаковое. Без разницы, в каком порядке выполнялись эти действия 8 + 5 или 5 + 8. В обоих случаях в сумме получается 13. Переместительное свойство сложения обязательно нужно запомнить.

Определение:

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Сочетательное свойство

Второе сложения натуральных чисел – сочетательное свойство. Мы можем положить в корзину 3 банана и 4 яблока, а потом доложить еще 5 мандаринов. Или наоборот, мы можем положить 4 яблока и 5 мандаринов, а потом доложить еще 3 банана. Порядок добавления фруктов не имеет значения, потому неважно, в каком сочетании суммировались эти числа. В обоих случаях итог был бы одинаковым – 12 фруктов в корзине. Говоря математически,  результат сложения числа 5 с суммой чисел 3 и 4 равен результату сложения числа 3 и суммы чисел 4 и 5.

Определение:

«Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе».

Отметим, что последовательность действий при суммировании значение не имеет.

Сложение с числом 0

Еще одно свойство сложения – это свойство сложения 0 с натуральным числом.

При сложении 0 с каким-либо числом всегда получается это самое число. Или наоборот, если к числу прибавлять 0, то есть ничего не прибавлять, то получится исходное число.

Определение:

«Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому».

Вычитание натуральных чисел и его свойства

Математический прием, при помощи которого, зная сумму слагаемых и один из этих слагаемых, можно определить неизвестное слагаемое, называется вычитанием.

Ранее мы складывали два числа 2 и 3 и получали 5. А теперь предположим, что мы не знаем второе число 3, а знаем только результат 5 и начальное число 2.

Давайте произведем математическую операцию вычитания.

5 – 2 = 3

Как видите, результатом вычитания является недостающее слагаемое. Оно называется разность.

В нашем случае число 5 тогда будет называть уменьшаемым, а число 2 будет называть вычитаемым.

Похожим образом, как и со сложением, можно вычитать числа на координатном луче, только двигаться нужно не вправо, а влево на число отрезков, равное вычитаемому.

Теперь рассмотрим свойства вычитания, которые иногда помогают значительно ускорить процесс расчетов.

Разность одинаковых чисел

Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.

Вычитание нуля из натурального числа

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

Вычитание суммы из натурального числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.

Вычитание натурального числа из суммы

Если же мы хотим вычесть число из суммы двух чисел, мы можем сначала вычесть это натуральное число из одного из слагаемых, а потом прибавить к результату второе слагаемое.

Чуть позже мы разберемся, как эти правила записать в более понятном виде. Немного терпения 😉

Числовые и буквенные выражения

Как вы уже, наверное, заметили, математические операции сложения и вычитания мы записывали в какой-то новой для нас форме, со знаками «-«, «+» и «=».

Такой способ записи математической информации на бумаге, в компьютере или где-нибудь еще можно назвать математическим языком.

А определенную последовательность символов этого математического языка, которая несет в себе некий смысл, мы будет называть математическим выражением.

Существуют числовые и буквенные выражения. Ниже приведем пример таких выражений.

Под цифрами 1, 2 и 4 записаны числовые выражения.

Числовые выражения — это математические выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

Под цифрами 2, 5 и 6 записаны буквенные выражения.

Буквенное выражение составлено также из знаков арифметических действий и скобок. Но в отличие от числовых выражений, здесь есть ещё и буквы. Буквами в буквенных выражениях обозначаются некоторые числа, которые пока нам не известны.

Следует учесть то, что две одинаковые буквы подразумевают под собой одно и то же число.

Если, например, известно какое число скрывается за каждой буквой в буквенном выражении, то такое выражение можно перевести в числовое.

Посмотрите на буквенное выражение:

a + b = 9

Если a = 5, а b = 4, то это буквенное выражение можно представить в виде числового

5 + 4 = 9

Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Вспомним свойства сложения и вычитания, которые мы изучили в начале. Теперь мы можем представить их в виде буквенных выражений.

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a

0 + a = a

a — 0 = a

a — (b + c) = (a — b) — c

(a + b) — c = (a — c) + b

Уравнения

Давайте рассмотрим такую задачу.

В корзине лежало несколько ягод. После того, как в неё добавили еще 4, их стало 30. Вопрос, сколько яблок было в корзине?

Обозначим неизвестное число ягод, лежащих корзине, латинской буквой X.

После того, как неё добавили 4 ягоды в ней стало 30.

Мы можем записать равенство в следующем виде:

Х + 4 = 30

Это запись условия задачи называется уравнением.

Теперь наша задача сводится к следующему. Требуется найти, каким числом нужно заменить Х, чтобы значение буквенного выражения стало равно 30.

В таких случаях говорят, что надо решить уравнение.

Внимательно посмотрим на уравнение, которое находится перед нами. Нам неизвестно слагаемое. Воспользуйся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Найдём значение X. Оно равно 26.

Давайте проверим. В наше начальное уравнение вместо X подставим число 26 и найдём значение левой части. Действительно, 30 равно 30.

Тогда говорят, что число 26 является корнем уравнения. Корнем уравнения называется число, которое при подстановке вместо буквы, обращать уравнение в верное числовое равенство.

Корень уравнения называют также решением уравнения. А решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что их вообще нет (такое тоже может быть).

Например, уравнение X — X = 1 не имеет корней, потому что при любом числовом значении Х данное буквенное выражение не будет обращаться в верное числовое равенство.

В данной задаче мы находили неизвестное слагаемое. Но есть еще два правила, которые тоже обязательно нужно знать: правило нахождения неизвестного уменьшаемого и правило нахождения неизвестного вычитаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

В буквенном виде эти правила записываются следующим образом:

X — a = b => X = a + b

a — X = b => X = a — b

Здесь X — это неизвестное число, а a и b некоторые числа.

Свойства натуральных чисел — определения, примеры и часто задаваемые вопросы.

Свойства натуральных чисел относятся к результату четырех основных арифметических операций над натуральными числами. Натуральные числа — это набор целых чисел, кроме нуля. Эти числа используются в нашей повседневной деятельности и речи. Натуральные числа — это одна из классификаций действительных чисел, которая включает только положительные целые числа, т.е. 1, 2, 3, 4,5,6, ………. кроме нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел. Помните, что множество натуральных чисел не включает в себя отрицательные числа или нуль.

В этой статье вы подробно узнаете о свойствах натуральных чисел.

1.	Каковы свойства натуральных чисел?
2.	Свойство закрытия
3.	Ассоциативное свойство
4.	Коммутативная собственность
5.	Распределительная собственность
6.	Часто задаваемые вопросы о свойствах натуральных чисел

Каковы свойства натуральных чисел?

Натуральные числа — это числа, которые являются целыми положительными числами и включают числа от 1 до бесконечности (∞). Эти числа являются исчисляемыми и обычно используются для расчетов. Множество натуральных чисел в математике — это множество, начинающееся с 1, то есть {1,2,3,…}. Набор натуральных чисел обозначается символом N. Четыре свойства натуральных чисел таковы:

1. Свойство закрытия
2. Ассоциативное свойство
3. Коммутативное свойство
4. Распределительная собственность

Давайте рассмотрим их подробно.

Свойство закрытия

Свойство замыкания натуральных чисел гласит, что сложение и умножение двух или более натуральных чисел всегда дает натуральное число. Проверим все четыре арифметические операции и все a, b ∈ N.

• Сложение: 1 + 5 = 6, 7 + 4 = 11 и т. д. Ясно, что полученное число или сумма является натуральным числом. Таким образом, a + b ∈ N для всех a, b ∈ N.
• Умножение: 2 × 5 = 10, 6 × 4 = 24 и т. д. Ясно, что полученное число или произведение — натуральное число. Таким образом, a × b ∈ N для всех a, b ∈ N.
• Вычитание: 8 – 5 = 3, 7 – 2 = -5 и т. д. Ясно, что результатом может быть натуральное число, а может и не быть. Таким образом, a — b или b — a ∉ N для всех a, b ∈ N.
• Деление: 15 ÷ 5 = 3, 10 ÷ 3 = 3,33 и т. д. Ясно, что полученное число может быть или не быть натуральным числом. Таким образом, a ÷ b или b ÷ a ∉ N для всех a, b ∈ N.

Таким образом, мы можем заключить, что множество натуральных чисел всегда замкнуто относительно сложения и умножения, но не то же самое для вычитания и деления.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство натуральных чисел гласит, что сумма или произведение любых трех натуральных чисел остается неизменной, несмотря на изменение группировки чисел. Проверим все четыре арифметические операции и все a, b, c ∈ N.

• Дополнение: а + (b + c) = (a + b) + c. 3 + (15 + 1) = 19 и (3 + 15) + 1 = 19.
• Умножение: a × (b × c) = (a × b) × c. 3 × (15 × 1) = 45 и (3 × 15) × 1 = 45.
• Вычитание: а – (б – в) ≠ (а – б) – в. 2 – (15 – 1) = – 12 и (2 – 15) – 1 = – 14.
• Деление: a ÷ ( b ÷ c ) ≠ ( a ÷ b ) ÷ c. 2 ÷ (3 ÷ 6) = 4 и (2 ÷ 3) ÷ 6 = 0,11.

Таким образом, мы можем заключить, что множество натуральных чисел ассоциативно при сложении и умножении, но не так при вычитании и делении. Итак, ассоциативность N формулируется следующим образом: для всех a, b, c ∈ N, a + (b + c) = (a + b) + c и a × (b × c) = (a × b ) × с

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство натуральных чисел гласит, что сумма или произведение двух натуральных чисел остается неизменным даже после изменения порядка чисел. Проверим все четыре арифметических действия и все a, b ∈ N.

• Сложение: a + b = b + a.
• Умножение: a × b = b × a
• Вычитание: а – б ≠ б – а
• Деление: а ÷ b ≠ b ÷ а

Следовательно, мы можем заключить, что множество натуральных чисел коммутативно при сложении и умножении, но не так при вычитании и делении. Итак, коммутативность N формулируется следующим образом: Для всех a, b ∈ N, a + b = b + a и a × b = b × a

Операция	Свойство закрытия	Ассоциативное свойство	Коммутативное свойство
Дополнение	да	да	да
Вычитание	нет	нет	нет
Умножение	да	да	да
Отдел	нет	нет	нет

Распределительная собственность

Распределительное свойство натуральных чисел утверждает, что любое выражение с тремя числами a, b и c, заданное в форме a (b + c), тогда оно разрешается как a × (b + c) = ab + ac или a (b — c) = ab — ca, что означает, что операнд a распределяется между двумя другими операндами, b и c.

• Умножение натуральных чисел всегда дистрибутивнее сложения. а × (б + с) = аб + ас
• Умножение натуральных чисел также является дистрибутивным по отношению к вычитанию. а × (б – в) = аб – ас

Пример: 3 × (2 + 5) = 3 × 2 + 3 × 5

3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21

3 × 2 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21

3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21

3 × 2 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21

Пример: 3 × (2 − 5) = 3 × 2 − 3 × 5

3 × (2 −5) = 3×(−3) = −9

3 × 2 − 3 × 5 = 6 − 15 = −9

Статьи по теме

Ознакомьтесь с этими интересными статьями, посвященными свойствам натуральных чисел, для более глубокого понимания.

• Распределительное свойство умножения
• Коммутативное свойство
• Ассоциативное свойство
• Калькулятор свойств распределения

Часто задаваемые вопросы о свойствах натуральных чисел

Каковы свойства натуральных чисел в математике?

Свойства натуральных чисел:

1. Свойство замыкания
2. Ассоциативное свойство
3. Коммуникативное имущество
4. Распределительное имущество

Является ли множество натуральных чисел ассоциативным при делении?

Множество натуральных чисел НЕ является ассоциативным при делении. Например, рассмотрим три натуральных числа 6,4 и 2. Тогда: (6÷4)÷2 = 3÷2=1. 6÷(4÷2) = 6÷2 = 3. Таким образом, (6÷4)÷2 ≠ 6÷(4÷2).

Что вы подразумеваете под коммутативным свойством сложения?

Согласно коммутативному свойству сложения, натуральные числа можно складывать в любом порядке, и их ответ останется тем же. Формула для этого свойства такова: a + b = b + a, что верно для любых a, b ∈ N. Например, 1 + 2 или 2 + 1 дадут один и тот же ответ.

Что означает ассоциативное свойство сложения?

Ассоциативное свойство сложения — это свойство натуральных чисел, которое гласит, что сумма трех или более чисел не изменится даже при изменении группировки чисел. Соответствующее уравнение имеет вид a + ( b + c ) = ( a + b ) + c . Здесь группировка относится к тому, как данные числа расположены в скобках.

Какое уравнение показывает коммутативное свойство сложения?

Уравнение, показывающее коммутативность сложения, имеет вид «a + b = b + a». Возьмем пример: 4 + 3 = 3 + 4. Здесь сумма в обеих частях уравнения одинакова, то есть 7,9.0003

Какое уравнение показывает распределительное свойство умножения?

Уравнение, показывающее распределительное свойство умножения, имеет вид «a (b + c) = a b + a c». Здесь термины в круглых скобках не могут быть упрощены из-за одной или нескольких переменных.

Натуральные числа – определение, типы, свойства и часто задаваемые вопросы

Давайте сначала начнем со значения натуральных чисел

 

Натуральные числа являются важной частью системы счисления, включая все положительные целые числа от 1 до бесконечности, используемые для счетных целей. Натуральные числа относятся к действительным числам и включают в себя положительные целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… и так далее.

 

Числа можно найти повсюду вокруг нас, они используются для подсчета предметов, представления или перевода денег, расчета температуры, определения времени и так далее. «Натуральные числа» относятся к числам, используемым для подсчета объектов. При подсчете предметов мы можем сказать: 5 стаканов, 6 книг, 1 бутылка и так далее.

 

Система счисления включает все положительные целые числа от 1 до бесконечности, известные как натуральные числа. Натуральные числа иногда называют счетными числами, потому что они не включают ноль или отрицательные числа. Это только положительные целые числа, а не нули, дроби, десятичные дроби или отрицательные числа, и они являются частью реальной системы счисления.

 

Натуральные числа

Набор всех целых чисел, кроме 0, называется натуральными числами. Эти цифры играют важную роль в нашей повседневной деятельности и общении.

 

Натуральные числа — это числа, которые можно сосчитать и которые являются частью действительных чисел. Набор натуральных чисел содержит только положительные целые числа, такие как 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее.

Натуральные числа относятся к неотрицательным целым числам (все положительные целые числа). Примеров может быть 39, 696, 63, 05110 и так далее.

 

Натуральные числа — это целые положительные числа, включая числа от 1 до бесконечности. Натуральные числа являются исчисляемыми числами и предпочтительны для вычислений. 1 — наименьшее натуральное число, а сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна n(n+1)2.

 

Целые числа и натуральные числа

Натуральные числа и целые числа отличаются друг от друга включением нуля. Целые числа включают ноль, но все натуральные числа являются положительными числами, за исключением нуля.

 

Каждое натуральное число является целым числом, но каждое целое число не является натуральным числом.

 

Набор натуральных чисел

Термин «Набор» относится к группе элементов (Числа в данном контексте). В математике Набор Натуральных Чисел записывается как 1,2,3,… Набор Натуральных Чисел обозначается символом N. N = 1,2,3,4,5 и так далее. В математике множество натуральных чисел записывается как 1,2,3,…

 

N — представление множества натуральных чисел, представляющее следующее:

Заявление:

N = Набор чисел, начиная с 1 и заканчивая бесконечностью.

Форма списка:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… и т. д.}

Форма Set Builder:

N = {x: x число, начинающееся с 1}

 

Свойства натуральных чисел

Натуральные числа обладают четырьмя основными свойствами, а именно:

1. Свойство закрытия

2. 0003

3. Ассоциативное свойство

4. Распределительное свойство

 

Замыкающее свойство

Натуральное число замыкается при сложении и умножении. Это означает, что сложение или умножение двух натуральных чисел дает натуральное число. Однако для вычитания и деления натуральные числа не следуют свойству замыкания.

 

Дополнение

Когда a и b — два натуральных числа, a+b также является натуральным числом. Например, 2 + 3 = 5, 6 + 7 = 13, и, аналогично, все результирующие числа являются натуральными числами.

 

Вычитание

Для двух натуральных чисел a и b ab может не дать натурального числа. Например. 6-5=1, а 5-6=-1.

 

Умножение

Когда a и b — два натуральных числа, a*b также является натуральным числом. Например, 3 * 5 = 15, и аналогично все результаты умножения являются натуральными числами.

 

Деление

Для двух рациональных чисел a и b в результате деления может получиться натуральное число, а может и не получиться. Например. \[\frac{10}{2} =5\] , но \[\frac{10}{3} = 3,33.\].

 

Ассоциативное свойство

Натуральные числа следуют ассоциативному свойству сложения и умножения. Для трех рациональных чисел, скажем, a, b и c, a + (b + c) = (a + b) + c и a * (b * c) = (a * b) * c. Принимая во внимание, что натуральные числа не следуют ассоциативному свойству умножения и деления.

 

Сложение

Для натуральных чисел a, b и c сложение ассоциативно, т. е. a + (b + c) = (a + b) + c. Например, (15 +3) +1 = 19 = 15 + (3 + 1)

 

Умножение

Для натуральных чисел a, b и c умножение является ассоциативным, то есть a * (b * c) = (a * b) * c. Пример: (3 * 1) * 15 = 45 = 3 * (1 * 15).

 

Вычитание 

Для трех натуральных чисел a, b и c вычитание не является ассоциативным, т. е. a – (b – c) не равно (a –b) – c. Например: (2 – 15) – 1 = –14, а 2 – (15 – 1) = –12.

 

Деление

Для трех натуральных чисел a, b и c деление не ассоциативно, т.е. \[\frac{a}{(b/c)}\] не равно \[\frac{( а/б)}{в}\] . Пример: \[\frac{2}{(3/6)} = 4\], но \[\frac{(2/3)}{6} = 0,11\] 

 

Коммутативное свойство

Для любых двух заданных натуральных чисел a и b сложение и умножение коммутативны, т. е. a+b = b+a и a*b = b*a. Однако деление и вычитание не являются коммутативными для натурального числа (s), т. е. a-b не равно b-a и \[\frac{a}{b}\]  не похоже на \[\frac{b}{a} \].

 

Распределительное свойство

Для данных трех натуральных чисел a, b и c умножение является распределительным по отношению к сложению и вычитанию. Это означает, что a * (b + c) = ab + ac и a * (b – c) = ab – ac.

Наименьшее натуральное число

1 — наименьшее натуральное число. Мы знаем, что наименьший элемент в N равен 1 и что для каждого элемента в N мы можем говорить о следующем элементе с точки зрения 1 и N (что на 1 больше, чем этот элемент). 2 на единицу больше единицы, 3 на единицу больше двух и так далее.

Что такое свойства сложения? Определение, примеры, факты

Что такое сложение?

Сложение — это метод сложения или суммирования двух или более чисел для получения окончательного значения. Знак (+) обозначает добавление. Складываемые числа называются слагаемыми, а общее значение называется суммой.

В приведенном выше примере 6 и 4 — слагаемые, а 10 — сумма.

Свойства сложения

Свойства сложения — это правила, которым мы можем следовать при сложении чисел. Использование этих свойств может сделать вычисления более простыми и помогает решать сложные математические задачи. Давайте узнаем больше о различных свойствах сложения.

Каковы пять свойств сложения?

Пять основных свойств дополнения:

• Свойство замыкания сложения
• Коммутативное свойство сложения
• Ассоциативное свойство сложения
• Аддитивное свойство тождества сложения
• Аддитивное обратное свойство сложения

Свойство замыкания сложения

натуральные числа, мы всегда получаем натуральное число. То же самое верно для целых чисел, целых чисел, дробей и десятичных дробей.

Приведенный выше пример показывает, что сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Переместительное свойство сложения

Когда мы складываем два или более чисел, их сумма одинакова независимо от порядка слагаемых. Это свойство можно записать в виде A + B = B + A.

Например, , 2+4=4 + 2 = 6

Следовательно, 2+4 равно 4+2, поскольку оба предложения дают сумма 6.

Это называется коммутативным свойством сложения.

Ассоциативное свойство сложения

Когда мы складываем три или более чисел, сумма остается одинаковой независимо от группировки слагаемых. Это также означает, что когда мы складываем три разных числа, на результат не влияет используемый шаблон сложения.

A +( B+C) = (A + B)+C

Например, (4 + 2) + 3 = 4 + (3 + 2)

Из примера видно, что сумма трех числа останутся прежними, независимо от того, как мы их группируем. Это свойство называется ассоциативным свойством сложения.

Аддитивная идентичность Свойство сложения

При добавлении нуля к любому числу сумма остается исходным числом. Добавление 0 к числу не меняет значение числа. Это верно для натуральных чисел, целых чисел, дробей, целых чисел и десятичных дробей.

Например,

3 + 0 = 3

4,5 + 0 = 4,5

Из приведенного выше примера свойства сложения мы получаем, что добавление 0 к любому числу дает нам само число. Это называется свойством аддитивной идентичности числа 0.

Аддитивное обратное сложение

Аддитивное обратное число x — это число, которое при добавлении к x дает ноль. Таким образом, аддитивное обратное число x равно –x. Следовательно, мы можем сказать, что аддитивное обратное число равно ему, но противоположно по знаку.

Например, 14 — положительное число, а сумма, обратная 14, равна -14.

14 + -14 = 0

Например, -5 является отрицательным числом, а сумма, обратная -5 равна 5.

-5 + 5 = 0

Заключение

В этом уроке мы поняли пять свойств сложения. Свойства сложения в математике упрощают работу с числами, позволяя перегруппировать их, чтобы упростить решение уравнения. Понимание свойств сложения и вычитания поможет вам более эффективно работать с числами. Вы можете найти интересные уроки математики на нашей платформе. Изучите концепции математики с помощью увлекательных игр и рабочих листов на SplashLearn.

Решенные примеры

Пример 1. Найдите пропущенное число, используя свойство сложения.

36 + (49 + 81) = (36 + 49) + ___

Решение : 

Используя свойство ассоциативности сложения, 36 + (49 + 81) = (36 + 19) + 8

Следовательно, отсутствующее число должно быть 81.

Пример 2: Чему равно аддитивное обратное число $-\frac{3}{2}$?

Решение : 

Аддитивное обратное число равно, но противоположно ему по знаку. Таким образом, аддитивный обратный $-\frac{3}{2}$ будет равен $-\frac{3}{2}$ .

Пример 3: Заполните пропуск, используя свойство сложения.

3867 + _____ = 3867

Решение :

Сумма числа и 0 дает нам сама номер

. Следовательно, отсутствующее число 9 и 3867 + 0 = 3867

.

Свойство замыкания

Коммутативное свойство

Ассоциативное свойство

Аддитивное обратное свойство

Правильный ответ: Свойство замыкания
Объяснение:
Свойство замыкания утверждает, что сложение 2 целых чисел всегда дает целое число.

Свойство замыкания

Свойство коммутативности

Свойство ассоциативности

Аддитивное обратное свойство

Правильный ответ: Свойство коммутативности
Объяснение:
Свойство коммутативности утверждает, что сумма слагаемых остается неизменной независимо от порядка их добавления.

-1

1

2

Правильный ответ: 0
Объяснение:
0 — это аддитивная идентичность любого целого числа, так как, добавляя 0 к любому числу, мы получаем само число.

Часто задаваемые вопросы

Как мы можем использовать свойства сложения?

Свойства сложения можно использовать для сложения целых чисел, дробей или десятичных дробей.

Например, свойство коммутативности сложения помогает нам понять, что изменение порядка слагаемых не меняет суммы, поэтому числа можно складывать в любом порядке.

В чем разница между аддитивной идентичностью и аддитивной инверсией числа?

К числу прибавляется обратная аддитивная величина, чтобы получить ноль. Аддитивное обратное число a равно –a. Аддитивная идентичность при добавлении к числу дает то же число, что и результат. Аддитивная идентичность числа равна 0.

Что такое нулевое свойство сложения?

Нулевое свойство сложения — это другое название свойства идентичности сложения.