Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. В книге систематически изложены элементы логики, множества и отношения, алгебры и алгебраические системы, основные числовые системы, основы линейной алгебры, включающие системы линейных неравенств, группы, теоретико-числовые темы, кольца и кольца полиномов, полиномы над основными числовыми полями и элементы теории полей. Предназначается для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава первая. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ § 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Формулы логики высказываний. Законы логики. Упражнения § 2. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ Схемы доказательств. § 3. ПРЕДИКАТЫ Предикаты. Операции над предикатами. Упражнения § 4. КВАНТОРЫ Запись высказываний на языке логики предикатов. Упражнения § 5. ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Предикатные формулы. Законы логики предикатов. Упражнения Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ § 1. МНОЖЕСТВА Подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Основные свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера — Венна. Упражнения § 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Упражнения § 3. ФУНКЦИИ Композиция функций. Инъективные функции. Обратимые функции. Ограничение функции. Упражнения § 4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Отношение равнообразности отображения. Упражнения § 5. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА Упорядоченное множество. Упражнения Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ § 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ Виды бинарных операций. Нейтральные элементы. Симметричные элементы. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная формы записи. Конгруэнция. Упражнения. § 2. АЛГЕБРЫ Гомоморфизмы алгебр. Подалгебры. Фактор-алгебра. Упражнения § 3. ГРУППЫ Примеры групп. Простейшие свойства группы. Гомоморфизмы групп. Подгруппы. Упражнения § 4. КОЛЬЦА Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы колец. Подкольца. Упражнения § 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Изоморфизмы алгебраических систем. Подсистемы. Упражнения Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ § 1. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Слова в однобуквенном алфавите. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Упражнения § 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Свойства умножения. § 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Полная упорядоченность множества натуральных чисел. Упражнения § 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел. Кольцо целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Упражнения § 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Поле рациональных чисел. Упражнения § 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Система действительных чисел. Упражнения § 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Поле комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Упражнения § 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Корни n-й степени из единицы. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа. Упражнения Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Линейная зависимость и независимость системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов. Упражнения § 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях системы линейных уравнений. Упражнения. § 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Приведенные ступенчатые матрицы. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Упражнения Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА Транспонирование произведения матриц. Упражнения § 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Упражнения § 3. ПОДСТАНОВКИ Четные и нечетные подстановки. Знак подстановки. Упражнения § 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные свойства определителей. Упражнения § 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. § 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения. Упражнения Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Упражнения § 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Линейная оболочка множества векторов. Сумма подпространств. Линейные многообразия. Упражнения § 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Дополнение независимой системы векторов до базиса. Размерность векторного пространства. Упражнения. § 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Изоморфизм векторных пространств. Упражнения § 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Упражнения. § 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств. Упражнения. Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Ядро и образ линейного оператора. Операции над линейными отображениями. Упражнения § 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x). Ранг линейного оператора. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Упражнения § 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Алгебра линейных операторов векторного пространства Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры. Упражнения § 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ Полная линейная группа. Упражнения § 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. Упражнения Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ § 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы. Следствия однородной системы линейных неравенств. Теорема Минковского. Критерий несовместности системы линейных неравенств. Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств. Упражнения § 2. СТАНДАРТНЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ Допустимые и оптимальные векторы. Теорема двойственности для стандартных задач. Теорема двойственности для канонических задач. Теорема равновесия. Упражнения § 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД Упражнения Глава десятая. ГРУППЫ § 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ Моноиды. Обобщенный закон ассоциативности. Упражнения § 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Смежные классы. Теорема Лагранжа. Упражнения § 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Циклические группы. Подгруппы циклической группы. Упражнения § 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ Фактор-группа. Ядро гомоморфизма. Упражнения Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Простые числа. Разложение целых чисел на простые множители. Делители целого числа. Число и сумма натуральных делителей числа. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Упражнения § 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Упражнения § 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Конечные цепные дроби. Подходящие дроби. Упражнения. § 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Арифметические операции над целыми систематическими числами Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения § 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Функции T(х) и Л(х). Неравенства для функции Т(х). Неравенства Чебышева. Простые числа в арифметических прогрессиях. Упражнения Глава двенадцатая. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ § 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения § 2. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Упражнения § 3. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Упражнения § 4. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Упражнения § 5. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ Первообразные корни по простому модулю. Индексы по простому модулю. Двучленные сравнения. Упражнения § 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ Упражнения Глава тринадцатая. КОЛЬЦА § 1. ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦО Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо. Теорема об эпиморфизмах колец. Характеристика кольца. Наименьшее подкольцо кольца. Упражнения § 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ Изоморфизм полей частных. Упражнения § 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Простые и составные элементы области целостности. Кольца главных идеалов. Факториальность кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Упражнения § 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Наименьшее общее кратное. Упражнения Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца. Степень полинома. Деление полинома на двучлен и корни полинома. Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенства полиномов. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ Алгоритм Евклида. Неприводимые над данным полем полиномы. Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей. Упражнения § 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ Факториальность кольца полиномов. § 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ Разложение полинома по степеням разности х – с. Неприводимые кратные множители полинома. Кратные корни полинома. Упражнения Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Кольцо полиномов от нескольких переменных. Изоморфизм колец полиномов. Нормальное представление полинома и степень полинома. Факториалыюсть кольца полиномов. § 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ Лемма о высшем члене произведения двух полиномов. Симметрические полиномы. Леммы о симметрических полиномах. Основная теорема о симметрических полиномах. Упражнения 3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Исключение переменных. Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Непрерывность модуля полинома. Наименьшее значение модуля полинома. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Формулы Виета. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. Уравнения четвертой степени. § 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА Теорема Штурма. Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА § 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ § 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ § 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ § 4. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ ЛИТЕРАТУРА

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

                        

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.  

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

            

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. 

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b+c=a·b+a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. 

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

                 

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b-c=a·b-a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1·a=∑i=1a1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. 

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Свойства натуральных чисел — определения, примеры и часто задаваемые вопросы.

Свойства натуральных чисел относятся к результату четырех основных арифметических операций над натуральными числами. Натуральные числа — это набор целых чисел, кроме нуля. Эти числа используются в нашей повседневной деятельности и речи. Натуральные числа — это одна из классификаций действительных чисел, которая включает только положительные целые числа, т.е. 1, 2, 3, 4,5,6, ………. кроме нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел. Помните, что множество натуральных чисел не включает в себя отрицательные числа или нуль.

В этой статье вы подробно узнаете о свойствах натуральных чисел.

1.	Каковы свойства натуральных чисел?
2.	Свойство закрытия
3.	Ассоциативное свойство
4.	Коммутативная собственность
5.	Распределительная собственность
6.	Часто задаваемые вопросы о свойствах натуральных чисел

Каковы свойства натуральных чисел?

Натуральные числа — это числа, которые являются целыми положительными числами и включают числа от 1 до бесконечности (∞). Эти числа являются исчисляемыми и обычно используются для расчетов. Множество натуральных чисел в математике — это множество, начинающееся с 1, то есть {1,2,3,…}. Набор натуральных чисел обозначается символом N. Четыре свойства натуральных чисел таковы:

1. Свойство закрытия
2. Ассоциативное свойство
3. Коммутативное свойство
4. Распределительная собственность

Давайте рассмотрим их подробно.

Свойство закрытия

Свойство замыкания натуральных чисел гласит, что сложение и умножение двух или более натуральных чисел всегда дает натуральное число. Проверим все четыре арифметические операции и все a, b ∈ N.

• Сложение: 1 + 5 = 6, 7 + 4 = 11 и т. д. Ясно, что полученное число или сумма является натуральным числом. Таким образом, a + b ∈ N для всех a, b ∈ N.
• Умножение: 2 × 5 = 10, 6 × 4 = 24 и т. д. Ясно, что полученное число или произведение — натуральное число. Таким образом, a × b ∈ N для всех a, b ∈ N.
• Вычитание: 8 – 5 = 3, 7 – 2 = -5 и т. д. Ясно, что результатом может быть натуральное число, а может и не быть. Таким образом, a — b или b — a ∉ N для всех a, b ∈ N.
• Деление: 15 ÷ 5 = 3, 10 ÷ 3 = 3,33 и т. д. Ясно, что полученное число может быть или не быть натуральным числом. Таким образом, a ÷ b или b ÷ a ∉ N для всех a, b ∈ N.

Таким образом, мы можем заключить, что множество натуральных чисел всегда замкнуто относительно сложения и умножения, но не то же самое для вычитания и деления.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство натуральных чисел гласит, что сумма или произведение любых трех натуральных чисел остается неизменной, несмотря на изменение группировки чисел. Проверим все четыре арифметические операции и все a, b, c ∈ N.

• Дополнение: а + (b + c) = (a + b) + c. 3 + (15 + 1) = 19 и (3 + 15) + 1 = 19.
• Умножение: a × (b × c) = (a × b) × c. 3 × (15 × 1) = 45 и (3 × 15) × 1 = 45.
• Вычитание: а – (б – в) ≠ (а – б) – в. 2 – (15 – 1) = – 12 и (2 – 15) – 1 = – 14.
• Деление: a ÷ ( b ÷ c ) ≠ ( a ÷ b ) ÷ c. 2 ÷ (3 ÷ 6) = 4 и (2 ÷ 3) ÷ 6 = 0,11.

Таким образом, мы можем заключить, что множество натуральных чисел ассоциативно при сложении и умножении, но не так при вычитании и делении. Итак, ассоциативность N формулируется следующим образом: для всех a, b, c ∈ N, a + (b + c) = (a + b) + c и a × (b × c) = (a × b ) × с

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство натуральных чисел гласит, что сумма или произведение двух натуральных чисел остается неизменным даже после изменения порядка чисел. Проверим все четыре арифметических действия и все a, b ∈ N.

• Сложение: a + b = b + a.
• Умножение: a × b = b × a
• Вычитание: а – б ≠ б – а
• Деление: а ÷ b ≠ b ÷ а

Следовательно, мы можем заключить, что множество натуральных чисел коммутативно при сложении и умножении, но не так при вычитании и делении. Итак, коммутативность N формулируется следующим образом: Для всех a, b ∈ N, a + b = b + a и a × b = b × a

Операция	Свойство закрытия	Ассоциативное свойство	Коммутативное свойство
Дополнение	да	да	да
Вычитание	нет	нет	нет
Умножение	да	да	да
Отдел	нет	нет	нет

Распределительная собственность

Распределительное свойство натуральных чисел утверждает, что любое выражение с тремя числами a, b и c, заданное в форме a (b + c), тогда оно разрешается как a × (b + c) = ab + ac или a (b — c) = ab — ca, что означает, что операнд a распределяется между двумя другими операндами, b и c.

• Умножение натуральных чисел всегда дистрибутивнее сложения. а × (б + с) = аб + ас
• Умножение натуральных чисел также является дистрибутивным по отношению к вычитанию. а × (б – в) = аб – ас

Пример: 3 × (2 + 5) = 3 × 2 + 3 × 5

3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21

3 × 2 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21

3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21

3 × 2 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21

Пример: 3 × (2 − 5) = 3 × 2 − 3 × 5

3 × (2 −5) = 3×(−3) = −9

3 × 2 − 3 × 5 = 6 − 15 = −9

Статьи по теме

Ознакомьтесь с этими интересными статьями, посвященными свойствам натуральных чисел, для более глубокого понимания.

• Распределительное свойство умножения
• Коммутативное свойство
• Ассоциативное свойство
• Калькулятор свойств распределения

Часто задаваемые вопросы о свойствах натуральных чисел

Каковы свойства натуральных чисел в математике?

Свойства натуральных чисел:

1. Свойство замыкания
2. Ассоциативное свойство
3. Коммуникативное имущество
4. Распределительное имущество

Является ли множество натуральных чисел ассоциативным при делении?

Множество натуральных чисел НЕ является ассоциативным при делении. Например, рассмотрим три натуральных числа 6,4 и 2. Тогда: (6÷4)÷2 = 3÷2=1. 6÷(4÷2) = 6÷2 = 3. Таким образом, (6÷4)÷2 ≠ 6÷(4÷2).

Что вы подразумеваете под коммутативным свойством сложения?

Согласно коммутативному свойству сложения, натуральные числа можно складывать в любом порядке, и их ответ останется тем же. Формула для этого свойства такова: a + b = b + a, что верно для любых a, b ∈ N. Например, 1 + 2 или 2 + 1 дадут один и тот же ответ.

Что означает ассоциативное свойство сложения?

Ассоциативное свойство сложения — это свойство натуральных чисел, которое гласит, что сумма трех или более чисел не изменится даже при изменении группировки чисел. Соответствующее уравнение имеет вид a + ( b + c ) = ( a + b ) + c . Здесь группировка относится к тому, как данные числа расположены в скобках.

Какое уравнение показывает коммутативное свойство сложения?

Уравнение, показывающее коммутативность сложения, имеет вид «a + b = b + a». Возьмем пример: 4 + 3 = 3 + 4. Здесь сумма в обеих частях уравнения одинакова, то есть 7,9.0003

Какое уравнение показывает распределительное свойство умножения?

Уравнение, показывающее распределительное свойство умножения, имеет вид «a (b + c) = a b + a c». Здесь термины в круглых скобках не могут быть упрощены из-за одной или нескольких переменных.

Натуральные числа — понятия, свойства, числовой ряд и примеры

Натуральные числа являются частью системы счисления, которая включает в себя все положительные целые числа от 1 до бесконечности, а также используются для целей счета. Он не включает ноль (0). На самом деле 1,2,3,4,5,6,7,8,9…., также называются счетными числами.

 Натуральные числа являются частью действительных чисел, включающих только положительные целые числа, например 1, 2, 3, 4,5,6, ………. кроме нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел.

Примечание: Натуральные числа не включают отрицательные числа или ноль.

В этой статье вы узнаете больше о натуральных числах в отношении их определения, сравнения с целыми числами, представления в числовой строке, свойств и т. д.

Определение натурального числа

Как объяснялось во вводной части, натуральные числа — это числа, которые являются целыми положительными числами и включают числа от 1 до бесконечности (∞). Эти числа являются исчисляемыми и обычно используются для расчетов. Набор натуральных чисел представлен буквой « N ».

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…….}

Натуральные числа и целые числа

Натуральные числа включают все целые числа, за исключением числа 0. Другими словами, все натуральные числа являются целыми числами, но все целые числа не являются натуральными числами.

• Натуральные числа = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,…..}
• Целые числа = {0,1,2,3,4,5,7,8,9,….}

Ознакомьтесь с разницей между натуральными и целыми числами, чтобы узнать больше о отличительных свойствах этих двух наборов чисел.

Приведенное выше представление наборов показывает две области. A ∩ B, т. е. пересечение натуральных чисел и целых чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..) и зеленая область, показывающая A-B, т. е. часть целого числа (0).

Таким образом, целое число — это «часть целых чисел, состоящая из всех натуральных чисел, включая 0».

Является ли «0» натуральным числом?

Ответ на этот вопрос — «Нет». Как мы уже знаем, натуральные числа начинаются с 1 до бесконечности и являются целыми положительными числами. Но когда мы объединяем 0 с целым положительным числом, таким как 10, 20 и т. д., оно становится натуральным числом. На самом деле 0 — это целое число, имеющее нулевое значение.

Каждое натуральное число является целым числом. Правда или ложь?

Каждое натуральное число является целым числом. Утверждение верно, потому что натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и доходящие до бесконечности, тогда как целые числа также включают в себя все положительные целые числа вместе с 0,

.

Представление натуральных чисел в числовой строке

Представление натуральных чисел на числовой прямой выглядит следующим образом:

Вышеупомянутая числовая строка представляет натуральные числа и целые числа. Все целые числа справа от 0 представляют собой натуральные числа, таким образом образуя бесконечное множество чисел. Когда включен 0, эти числа становятся целыми числами, которые также являются бесконечным набором чисел.

Набор натуральных чисел

В системе обозначений символом натурального числа является «N», и он представлен, как показано ниже.

Выписка:

N = Набор всех чисел, начиная с 1.

В реестре:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………………………………}

В форме конструктора наборов:

N = {x : x — целое число, начинающееся с 1}

Натуральные числа Примеры

Натуральные числа включают в себя положительные целые числа (также известные как неотрицательные целые числа), и несколько примеров включают 1, 2, 3, 4, 5, 6, …∞. Другими словами, натуральные числа — это набор всех целых чисел, кроме 0,

.

23, 56, 78, 999, 100202 и т. д. — все это примеры натуральных чисел.

Свойства натуральных чисел

Свойства натуральных чисел разделены на четыре основных свойства, которые включают:

• Имущество закрытия
• Коммунальное имущество
• Совместное имущество
• Распределительное имущество

Каждое из этих свойств подробно объясняется ниже.

Свойство закрытия

Натуральные числа всегда замкнуты при сложении и умножении. Сложение и умножение двух или более натуральных чисел всегда дает натуральное число. В случае вычитания и деления натуральные числа не подчиняются свойству замыкания, , что означает, что вычитание или деление двух натуральных чисел может не дать в результате натурального числа.

• Сложение: 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7 и т. д. В каждом из этих случаев полученное число всегда натуральное.

• Умножение: 2 × 3 = 6, 5 × 4 = 20 и т. д. В этом случае также всегда получается натуральное число.

• Вычитание: 9 – 5 = 4, 3 – 5 = -2 и т. д. В этом случае результат может быть или не быть натуральным числом.

• Деление: 10 ÷ 5 = 2, 10 ÷ 3 = 3,33 и т. д. В этом случае также полученное число может быть или не быть натуральным числом.

Примечание: Свойство замыкания не выполняется, если какое-либо из чисел при умножении и делении не является натуральным числом. Но для сложения и вычитания, если результатом является положительное число, существует только свойство замыкания.

Например: 

• -2 х 3 = -6; Не натуральное число
• 6/-2 = -3; Не натуральное число

Ассоциативное свойство

Ассоциативность выполняется в случае сложения и умножения натуральных чисел , т. е. a + (b + c) = (a + b) + c и a × (b × c) = (a × b) × c. С другой стороны, для вычитания и деления натуральных чисел свойство ассоциативности не выполняется . Пример этого приведен ниже.

• Дополнение: а + (b + c) = (a + b) + c => 3 + (15 + 1) = 19и (3 + 15) + 1 = 19,

• Умножение: a × (b × c) = (a × b) × c => 3 × (15 × 1) = 45 и (3 × 15) × 1 = 45.

• Вычитание: a – (b – c) ≠ (a – b) – c => 2 – (15 – 1) = – 12 и (2 – 15) – 1 = – 14.

• Деление: a ÷ (b ÷ c) ≠ (a ÷ b) ÷ c => 2 ÷ (3 ÷ 6) = 4 и (2 ÷ 3) ÷ 6 = 0,11.

Коммутативное имущество

Для коммутативного свойства

• Сложение и умножение натуральных чисел показывают свойство коммутативности. Например, x + y = y + x и a × b = b × a
.
• Вычитание и деление натуральных чисел не обладают свойством коммутативности. Например, x – y ≠ y – x и x ÷ y ≠ y ÷ x

Распределительная недвижимость

• Умножение натуральных чисел всегда дистрибутивнее сложения. Например, a × (b + c) = ab + ac
.
• Умножение натуральных чисел также является дистрибутивным по отношению к вычитанию. Например, a × (b – c) = ab – ac

Подробнее здесь:

• Коммутативное имущество
• Распределительная собственность
• Ассоциативное свойство

Операции с натуральными числами

Обзор алгебраических операций с натуральными числами, т. е. сложения, вычитания, умножения и деления, а также их соответствующих свойств сведен в таблицу, приведенную ниже.

Свойства и операции над натуральными числами
Эксплуатация	Имущество закрытия	Коммутативное имущество	Ассоциативная собственность
Дополнение	Да	Да	Да
Вычитание	№	№	№
Умножение	Да	Да	Да
Отдел	№	№	№

Видео урок о числах

Решенные примеры

Вопрос 1: Отсортируйте натуральные числа из следующего списка: 20, 1555, 63,99, 5/2, 60, −78, 0, −2, −3/2

Решение: Натуральные числа из списка выше: 20, 1555 и 60.

Вопрос 2: Каковы первые 10 натуральных чисел?

Решение: Первые 10 натуральных чисел на числовой прямой — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Вопрос 3: Является ли число 0 натуральным числом?

Решение: 0 не является натуральным числом. Это целое число. Натуральные числа включают только положительные целые числа.

Оставайтесь с BYJU’S и продолжайте изучать различные другие темы по математике простым и понятным способом. Кроме того, зарегистрируйтесь на BYJU’S, чтобы получить другие учебные материалы по математике, видеоуроки, практические вопросы и т. д.

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Что такое натуральные числа?

Натуральные числа — это целые положительные или неотрицательные числа, начинающиеся с 1 и заканчивающиеся бесконечностью, например:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……, ∞.

Является ли 0 натуральным числом?

Ноль не имеет положительного или отрицательного значения.