Свойства умножения натуральных чисел: переместительное, сочетательное, распределительное

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Арифметика Свойства умножения чисел с примерами

В данной публикации мы рассмотрим 4 основных свойства умножения натуральных чисел, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала.

• Свойства умножения чисел
  • Свойство 1: переместительный закон
  • Свойство 2: сочетательный закон
  • Свойство 3: распределительный закон
  • Свойство 4: умножение на ноль

Свойство 1: переместительный закон

От перестановки мест сомножителей их произведение не меняется.

a ⋅ b = b ⋅ a

Примеры:

• 5 ⋅ 8  = 8 ⋅ 5
• 14 ⋅ 29 = 29 ⋅ 14

Примечание: количество сомножителей может быть любым. Например, вот произведение трех чисел:

26 ⋅ 101 ⋅ 7 = 26 ⋅ 7 ⋅ 101 = 101 ⋅ 26 ⋅ 7 = 101 ⋅ 7 ⋅ 26 = 7 ⋅ 26 ⋅ 101 = 7 ⋅ 101 ⋅ 26

Свойство 2: сочетательный закон

Результат умножения одного числа на произведение других (например, второго и третьего) равен произведению первого и второго числа, умноженному на третье.

a ⋅ (b ⋅ с)  = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c

Т.е. соседние (и не только) сомножители (их может быть любое количество) можно заменять их произведением.

a ⋅ b ⋅ с ⋅ d = (a ⋅ b) ⋅ (c ⋅ d) = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ c) ⋅ (b ⋅ d)

Примеры:

• 25 ⋅ 4 ⋅ 10 = (25 ⋅ 4) ⋅ 10 = 25 ⋅ (4 ⋅ 10)
• 50 ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ 5 = (50 ⋅ 2) ⋅ (30 ⋅ 5)
• 20 ⋅ 6 ⋅ 15 ⋅ 4 ⋅ 11 = (20 ⋅ 4) ⋅ (6 ⋅ 15) ⋅ 11

Свойство 3: распределительный закон

Умножение на сумму чисел

Для умножения числа на сумму требуется это число отдельно умножить на каждое слагаемое, затем полученные результаты сложить.

a ⋅ (b + с)  =  a ⋅ b + a ⋅ c

Сомножители можно поменять местами (согласно переместительному свойству, рассмотренному выше):

(b + с) ⋅ a = a ⋅ b + a ⋅ c

Примеры:

• 54 ⋅ (13 + 17) = 54 ⋅ 13 + 54 ⋅ 17
• 16 ⋅ (4 + 22 + 78) = 16 ⋅ 4 + 16 ⋅ 22 + 16 ⋅ 78

Умножение на разность чисел

Чтобы число умножить на разность, нужно его отдельно умножить на уменьшаемое и вычитаемое, затем из первого результата вычесть второе.

a ⋅ (b – с)  =  a ⋅ b – a ⋅ c

Меняем сомножители местами и получаем:

(b – с) ⋅ a = a ⋅ b – a ⋅ c

Примеры:

• 9 ⋅ (18 – 5) = 9 ⋅ 18 – 9 ⋅ 5
• (63 – 48 – 20) ⋅ 3 = 63 ⋅ 3 – 48 ⋅ 3 – 20 ⋅ 3

Свойство 4: умножение на ноль

Если число (произведение чисел) умножить на ноль, в результате получится ноль.

a ⋅ 0 = 0

Примеры:

• 12 ⋅ 0  = 0
• 24 ⋅ 36 ⋅ 51 ⋅ 0 = 0

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

                        

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. 

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

            

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. 

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b+c=a·b+a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. 

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

                 

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b-c=a·b-a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1·a=∑i=1a1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. 

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Объяснение коммутативных, ассоциативных и дистрибутивных свойств

Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства или законы лежат в основе алгебры и впервые знакомятся с детьми, в очень общих чертах, в начальной школе. В нашем руководстве для родителей мы объясняем, как ваш ребенок начнет понимать основы высшей математики.

или Зарегистрируйтесь, чтобы добавить к своим сохраненным ресурсам

Что такое коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойство?

Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность используются в алгебре для решения задач с числами.

Коммутативное свойство, объясненное для родителей

Слово «коммутативный» происходит от «коммутировать» или «перемещаться», поэтому коммутативное свойство относится к способности перемещать числа внутри числовых предложений .

Например: 2 + 3 дает ответ 5, и если мы переставим числа так, чтобы получилось 3 + 2, мы все равно получим ответ 5. Точно так же с умножением: 6 x 4 = 24, так же как 4 x 6 = 24.

В алгебре мы записали бы свойство коммутативности как:

• a + b = b + a
• a × b = b × a

Свойство перестановочности применимо к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.

Дети начальной школы вряд ли услышат слова «переместительное свойство», но детей 2-го класса учат, что сложение чисел можно выполнять в любом порядке, а вычитание чисел нельзя .

Объяснение ассоциативного свойства для родителей

Ассоциативное свойство говорит о том, что когда мы складываем или умножаем числа, не имеет значения, как мы их группируем.

Это правило применяется к числам, сгруппированным в скобках, например: 2 + (3 + 4) или 5 х (2 х 3).

Мы заключаем расчеты в скобки, когда хотим, чтобы кто-то первым сделал эти расчеты. Однако, когда речь идет о группе чисел, которые нужно добавить, не имеет значения, куда идут скобки, ответ все равно будет тот же. Точно так же и с группой чисел, которые нужно перемножить, ответ будет одинаковым вне зависимости от того, как сгруппированы числа.

В алгебре ассоциативное свойство записывается следующим образом:

• (a + b) + c = a + (b + c)
• (a × b) × c = a × (b × c)

ассоциативное свойство относится к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.

Маловероятно, что дети услышат термин «ассоциативное свойство» в начальной школе, но их могут попросить решить задачу, например следующую, где применяется правило:

Три друга собрали сосновые шишки и собирают их в контейнер. Мэри и Пол собирают по 20 сосновых шишек. Джон добавляет в коллекцию еще 15. Сколько их всего?

При решении приведенной выше задачи со словами (20 + 20) + 15 = 20 + (20 + 15)

Распределительное свойство, объясненное для родителей .

Например: если мы хотим выполнить следующее умножение 2(5 +3), это означает, что мы вычисляем, сколько будет 2 лотов по 5, плюс 2 лота по 3, так что 2x можно «распределить» по 5 + 3 в 2 x 5 и 2 x 3. Это можно записать в виде следующей формулы: 

• a × (b + c)  =  a × b  +  a × c

Опять же, в начальной школе термин «распределяемое свойство» не будет использоваться в явном виде, однако детей могут попросить решить аналогичную задачу. на следующий:

В Березовом классе 25 детей, в Каштановом классе 28 детей. Каждый ребенок в обоих классах должен принести пару перчаток в школу в понедельник. Сколько всего индивидуальных перчаток будет доставлено?

Здесь ребенку нужно понять, что он может решить это как:

• 25 + 28 = 53
• 2 x 53 = 106

Or they could do:

• 2 x 25 = 50
• 2 x 28 = 56
• 50 + 56 = 106

Как преподается алгебра в KS2

Дети начнут изучать алгебру в 6 классе, где они узнают, как использовать простые формулы и находить пропущенные числа в уравнениях.

В национальной учебной программе не указано, что дети KS2 должны знать об использовании скобок в расчетах. Однако возможно, что более способные дети 6-х классов познакомятся с использованием скобок; правила о порядке выполнения вычислений преподаются как BODMAS (скобки, прочее/индексы, деление, умножение, сложение и вычитание).

Больше похоже на это

• Что такое числовое предложение?

• Что такое БОДМАС?

• Математика в 6 классе: чему учит ваш ребенок

• Глоссарий для родителей по основам счета

• Что такое формула?

• Что такое уравнения?

• Введение в алгебру

• Вербальные рассуждения: Введение в математические уравнения

• Вербальные рассуждения: Алгебра для практики позволяют комбинировать числа и выполнять вычисления. Некоторые операции обладают свойствами, которые позволяют вам манипулировать числами в задаче, что очень удобно, особенно когда вы изучаете высшую математику, например алгебру. Важными свойствами, которые вам необходимо знать, являются коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Понимание того, что такое обратная операция, также полезно.

  Обратные операции

  Обратные операции — это пары операций, которые можно выполнять «в обратном направлении», чтобы компенсировать друг друга. Две пары операций Большой четверки — сложение, вычитание, умножение и деление — являются обратными друг другу:

  • Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу. Когда вы начинаете с любого значения, затем добавляете к нему число и вычитаете такое же число из результата, значение, с которого вы начали, остается неизменным. Например:

    2 + 3 = 5, значит 5 – 3 = 2

    7 – 1 = 6, значит 6 + 1 = 7

  • Умножение и деление являются операциями, обратными друг другу. Когда вы начинаете с любого значения, затем умножаете его на число и делите результат на то же число (кроме нуля), значение, с которого вы начали, остается неизменным. Например:

    3 × 4 = 12, значит 12 ÷ 4 = 3

    10 ÷ 2 = 5, значит 5 × 2 = 10

  Переместительное свойство

  Операция является коммутативной , когда вы применяете ее к паре чисел в прямом или обратном направлении и ожидаете того же результата. Две большие четверки коммутативны — это сложение и вычитание.

  Сложение коммутативно, потому что, например, 3 + 5 равно 5 + 3. Другими словами,

  3 + 5 = 5 + 3

  Умножение равно коммутативному , потому что 2 × 7 равно 7 × 2. Другими словами,

  2 × 7 = 7 × 2

  Ассоциативное свойство

  Операция является ассоциативной , когда вы можете применить ее, используя круглые скобки, к разным группам чисел и все равно ожидать того же результата. Две операции Большой четверки, которые являются ассоциативными, — это сложение и умножение.

  Сложение ассоциативно, потому что, например, задача (2 + 4) + 7 дает тот же результат, что и задача 2 + (4 + 7). Другими словами,

  (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

  Независимо от того, какую пару чисел вы сложите первой, ответ один и тот же: 13.

  Умножение ассоциативно, потому что, например, задача 3 × (4 × 5) дает тот же результат, что и задача (3 × 4) × 5. Другими словами,

  3 × (4 × 5) = (3 × 4) × 5

  Опять же, независимо от того, какую пару чисел вы умножаете первой, обе задачи дают один и тот же ответ: 60.

  Распределительное имущество

  Распределительное свойство связывает операции умножения и сложения. Когда умножение описывается как «распределение над сложением», вы можете разделить задачу на умножение на две меньшие задачи, а затем сложить результаты.

  Например, предположим, что вы хотите умножить 27 × 6. Вы знаете, что 27 равно 20 + 7, поэтому вы можете выполнить это умножение в два этапа:

  1. Первое умножение 20 × 6; затем умножьте 7 × 6.

     20 × 6 = 1207 × 6 = 42

  2. Затем добавьте результаты.

     120 + 42 = 162

  Следовательно, 27 × 6 = 162.

  Об этой статье

  Эта статья из книги:

  • Базовая математика и предварительная алгебра для чайников,

  Об авторе книги:

  Марк Зегарелли — профессиональный писатель, получивший степень по английскому языку и математике в Университете Рутгерса.