Сочетательный и переместительный закон умножения: Урок 64. законы умножения. распределительный закон — Математика — 5 класс

Содержание

Законы умножения: переместительный, сочетательный и распределительный

Переместительный закон умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.

Таким образом, для любых натуральных чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительный закон умножения:

От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

Произведение чисел  3,  2  и  4  не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:

3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24,

3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.

Таким образом, для любых натуральных чисел 

ab  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательный закон умножения:

Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

Распределительный закон умножения

Для любых натуральных чисел верны равенства:

m · (a + b + …) = m · a + m · b + …

(a + b + …) · m = a · m + b · m + … ,

выражающие распределительный закон умножения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:

Первый: в каждом ряду расположено  3  жёлтых и  5  зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду  (3 + 5)  звёздочек. В четырёх рядах всего  (3 + 5) · 4  звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по  3  звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек  3 · 4,  а зелёных —  5 · 4.  Всего звёздочек  3 · 4 + 5 · 4.

Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:

m · (ab — …) = m · am · b — …

(ab — …) · m = a · mb · m — …

Например,  6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.

Переход от умножения:

m · (a + b

+ …)

и

m · (a — b — …)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b + …

и

m · a — m · b — …

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b + …

и

m · am · b — …

к умножению:

m · (a + b + …)

и

m · (ab — …)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо

а, число 3 место b


Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)


Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы 

a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x


Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)


Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:


Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную 

c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b


Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25


Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20


Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45

Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Математические Законы

Переместительный закон сложения

Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.

Переместительный закон сложения

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:

m + n = n + m

Переместительный закон сложения работает для любых чисел.

Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.

Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.

Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.

При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.

Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:

Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:


Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:


Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Сочетательный закон сложения: два способа


  1. Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.

  2. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.

Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:

  • 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8

Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:

  • 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8

В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.

Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

  • (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
  • 8 = 8

Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:


Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.


Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.


Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.


Переместительный закон умножения

С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.

Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:

В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.

Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:

a * b = b * a

Сочетательный закон умножения

Рассмотрим еще один полезный закон в математике.

Сочетательный закон умножения

Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Рассмотрим пример:

Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:

  • 2 * 3 = 6
  • 6 * 4 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:

  • 3 * 4 = 12
  • 2 * 12 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.

  • (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
  • 6 * 4 = 2 * 12
  • 24 = 24

Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)

Пример

Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.

Как решаем:

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:

5 * 6 = 30

30 * 7 = 210

210 * 8 = 1680

5 * 6 * 7 * 8 = 1680

Ответ: 1680

Распределительный закон умножения

Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:

Распределительный закон умножения

  • Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
  • Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:

Сначала выполним действие в скобках:

В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:

  • (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
  • 3 * 2 = 6
  • 5 * 2 = 10
  • 6 + 10 = 16

Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) * c = a * c + b * c

Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.


Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c * (a + b) = c * a + c * b

 

Пример 1

Решить: 5 * (3 + 2).

Как решаем:

Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

Ответ: 25

 

Пример 2

Найти значение выражения 2 * (5 + 2).

Как решаем:

Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

Ответ: 4.

Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.

 

Пример 3

Решить: 4 * (6 − 2).

Как решаем:

Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:

4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16

Ответ: 16

Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:


Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:


Проверим справедливость этого закона:


Посчитаем, чему равна левая часть равенства.


Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.


Так мы доказали справедливость распределительного закона.

Задания для самопроверки

Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂

Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).

Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).

Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).

Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).

Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)

Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?

Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?

Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?

 

Ответы


  1. 56;

  2. 28;

  3. 100;

  4. 81;

  5. 173;

  6. Деление;

  7. 26;

  8. Неверно.

Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)


Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс.  / / Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный=ассоциативный закон сложения)
ab=ba (переместительный=коммутативный закон умножения)
(ab)c=a(bc)  (сочетательный=ассоциативный закон умножения)
a(b+c)=ab+ac (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно сложения)
c(a-b)=ca–cb (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно вычитания)



Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Основные законы сложения и умножения

a + b = b + a,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трех слагаемых имеем:

(a + b) + c = a + (b + c).

Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя способами так:

(5 + 7) + 11 = 12 + 11 = 23,
5 + (7 + 11) = 5 + 18 = 23.

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме a + b + c + d четырех слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

a + b + c + d = (a + b + c) + d = (a + b) + (c + d) =
= a + (b + c) + d = a + b + (c + d) = (a + b) + c + d.

Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16; мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

1 + (3 + 5) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16,
1 + 3 + (5 + 7) = 1 + 3 + 12 = 16,
(1 + 3) + (5 + 7) = 4 + 12 = 16.

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Пример 1.

89 + 67 + 11.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

89 + 11 + 67.

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и 11, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Пример 2.

.

Чтобы легче был сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

.

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

.

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

.

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

ab = ba,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трех сомножителей имеем:

(ab)c = a(bc).

Например, произведение трех сомножителей 5 * 3 * 4 можно вычислить так:

(5 * 3) * 4 = 15 * 4 = 60

или так:

5 * (3 * 4) = 5 * 12 = 60.

Для произведения четырех сомножителей имеем:

abcd = (abc)d = (ab)cd = a(bc)d = (ab)(cd) = a(bcd) = ab(cd).

Например, ; то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Пример 1.

25 * 37 * 4.

Умножить 25 и 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

25 * 4 * 37.

Теперь умножение легко выполнить в уме.

Пример 2.

75 * 35 * 4 * 2.

Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:

75 * 4 * (35 * 2).

Все эти действия легко выполняются в уме.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:

(a + b)c = ac + bc.

Пример 1. Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем:

26 * 7 = (20 + 6) * 7 = 20 * 7 + 6 * 7 = 140 + 42 = 182.

Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число.

Пример 2.

87 * 28 + 13 * 28.

Представим выражение в другом виде:

(87 + 13) * 28.

Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:

ac + bc = (a + b)c.

Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).

Свойства умножения. Законы умножения

Поговорим о свойствах, или законах умножения.

Переместительный (коммуникативный) закон умножения:


а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Пример:

569 · 17 = 17 · 569

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:


а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Пример:

39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:


(а + b + c) · d = аd + bd + cd.

Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.

Пример:

(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948

Как на практике применяется это свойство умножения? К примеру, у нас есть прямоугольник , разбитый на 2 других прямоугольника. Требуется найти его площадь.

Можно сначала найти длину его стороны, а затем перемножить длину и ширину, получится 
S = (a + b) * c
А можно найти площади маленьких прямоугольников и сложить их
S = (a * c) + (b * c)
А поскольку мы искали площадь одного и того же прямоугольника, то 
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания:


(а — b) · c = аc — bc.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Пример:

(125 – 42) · 8 = 125 · 8 — 42 · 8 = 1000 – 336 = 664

Умножение числа на единицу:


а · 1 = 1 · а = а

При умножении числа на единицу получаем само число.

Пример:

45 · 1 = 1 · 45 = 45

Умножение числа на ноль:


а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

Пример:

6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.

Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

Конспект урока » Умножение. Переместительный закон умножения»

Математика 5 класс   Умножение. Переместительный закон умножения.

Составила:

Учитель математики

 Трифонова Н.В.

Цель  урока: продолжить работу над умножением многозначных чисел .

Тип урока: «открытие» нового знания

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: ученик научится заменять действие умножения сложением и наоборот; находить необходимые компоненты умножения.

Личностные:, ученик получит возможность для формирования  устойчивой учебной познавательной мотивации  к учению, ясно и грамотно излагать свои мысли в устной речи, развивать интерес к различным видам деятельности.

Метапредметные: научиться действовать в соответствии с предложенным алгоритмом,   осуществлять контроль своей деятельности. Получит возможность формулировать проблему при решении учебных задач. Аргументировать свое мнение и разрешать конфликтную ситуацию.

Регулятивные:уметь самостоятельно выполнять действия и вносить необходимые коррективы, регулировать свои действия для достижения высокой цели, в процессе рефлексии проводить оценку и самооценку.

Коммуникативные: участие в диалоге, участие в  парной и групповой работе с использованием речевых средств для передачи своего мнения, подбор аргументов, формулирование выводов, отражение в устной и  письменной форме результатов своей деятельности.

Формы работы учащихся:парная, фронтальная, индивидуальная,групповая.

 Необходимое техническое оборудование:

учебники, рабочие тетради, карточка для устного счёта, карточки с индивидуальным заданием для самостоятельнойработы, медиапроектор, презентация PowerPoint к уроку.

 

 

 

 

Ход урока.

  1. Самоопределение к деятельности.

Учитель:Здравствуйте, ребята! Рада вас снова всех видеть.

У нас сегодня гости, давайте поприветствуем их. Садитесь, пожалуйста, мы начинаем нашу работу.

 

 

Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.У вас на столах лежат карточки с примерами.Устно решите  примеры и составьте слово в таблице.  Если вы правильно решите и заполните таблицу ответов, то сможете прочитать тему нашего урока: (Слайд1,2)

Карточка №1

Учитель:Прочитайте полученное слово. Совершенно верно. Очень красивое и важное слово. Итак тема нашего урока?(умножение ).

Учитель:Так чем же мы с вами будем заниматься на уроке?(Я думаю, что мы будем сегодня  считать, заниматься умножением).

Составить на доске кластер:

 

 

Учитель:Что нужно знать, чтобы правильно умножать? ( Таблицу умножения,и свойства умножения,).

Мотивация к учебной

деятельности.

В нашей классной комнате 3 ряда парт. В каждом ряду по 5 парт. Сколько всего парт в комнате? (Нам надо взять 5+5 + 5 = 1 5 п а р т . ) — Если все слагаемые равны друг другу, то как по-другому мы можем записать такую сумму? (Вместо 5+5 + 5 пишут: 5*3. Значит, 5*3=15.) — Как называется это математическое действие? (Такое математическое действие называется умножением.) — Как называются все элементы этого действия? (Число 15 называют произведением чисел 5 и 3. а числа 5 и 3 множителями.)

А можно ли по другому записать наше умножение? (Можно записать 3*5=15.) Значения выражений в обеих записях равны. Давайте это запишем так: 5*3=3*5. -Попробуйте это числовое равенство заменить буквенным выражением. Что у вас получилось? (a*b = b*a). Найдите это буквенное выражение в учебнике на стр. 22. Как называется закон, выражающийся такой записью?

Учитель:А какие свойства умножения вы знаете? (при умножении  любого числа на 1 получается это же число, при умножении любого числа на 0 получается нуль, а еще мы учили переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения).Слайд 3

a · 0 = 0

a · 1 = a

a · b = b · a

 

Учитель:Какие  формулы связанные с умножением вы видите ? (свойства умножения на 1 и 0, переместительный закон умножения).

Учитель:Для чего мы вспомнили их сейчас? (Я думаю что на уроке мы будем  с ними работать)

Учитель:Правильно! А теперьсформулируйте  тему  нашего урока (Умножение. Переместительный закон умножения)

Учитель: Исходя из темы урока поставьте перед собой цели (Научится хорошо умножать числа, повторить свойства и законы умножения, умножать многозначные числа)

Учитель:Молодцы! Запишите  в тетрадях дату, вид  работы  и  тему урока. Слайд 4

 

Учитель:Прочитайте выражение и составьте к ним задания в соответствии с темой урока(Слайд 5)

1)  31 + 31 + 31

2) 17 + 17 + 17 + 17

3) 45 + 44 + 43 + 41 + 40

4) 19 + 19.

Дети формулируют задание:

(запиши сумму чисел в виде произведения. Выражения 1,3,4 можно заменить умножением)

 

Учитель: Работая в парах,  выполните задание№168в рабочей тетради стр.60 с проверкой на экране (Слайд 6

 

Прочитайте полученные примеры. Как называются числа при умножении?(Числа при умножении называются множители).

 

Что показывает первый множитель? Что показывает второй множитель?(Первый множитель показывает какое число взяли, второй множитель показывает сколько раз это число умножили на себя).

 

Учитель:Как называют результат умножения ( Произведение)

 

Учитель:Сделайте вывод. Какую работу вы выполнили? (Записывали  сумму чисел в виде произведения)

 

Учитель:, Подумайте, ребята ,и скажите,  что  называют произведением числа cна число d?

(Произведением числа c на числоd называют суммуd слагаемых числа с).

 

Молодцы! Ребята  давайте сверим наши выводы с учебником, открываем  стр. 107 нашего учебника.(открывают стр.107) Мы уважаем наш учебник, так как в нем заложены знания многих тем, которые вам пригодятся в старших класса. Берегите учебник, очень аккуратно перелистывайте его страницы. Прочитайте определение, что называется произведение числа а на число в.(Один ученик читает вслух).

  

  1. Выявление места и причины затруднения.

Ребята посмотрите на экран и ответьте на вопрос задачи.(Слайд 7)

 

 

(18) Как вы сосчитали осьминожек?

(Ответы учеников   6+6+6= 63=18)

А как  другим способом сосчитать осьминожек? (36=18).

 

Чему равны значения выражений в правой и левой частях?

Учитель: Так о каком законе умножения мы говорим??( О переместительном законе умножения)

 Как он звучит( Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей). Молодцы! Давайте проверим в  учебнике на стр.107  верно ли мы сформулировали  вывод. (Ученик читает определение)

 

Учитель: Как записать этот закон с помощью букв?(Слайд 8)Слайд 9

Посмотрите и скажите из каких компонентов состоит произведение? Как можно прочитать эту запись? (Переместит закон умножения)

 

Учитель:А сейчас вы примените свои знания выполнив задание  в карточке №2. Выпишите  примеры соответствующие переместительному закону умножения.Индивидуальная работа со взаимопроверкой через экран

Карточка №2

ОТВЕТ(Слайд 10)

 Ответы сверяем сигнальными карточками. Все верно-зеленая, 1 ошибка –желтая, 2 и более – красная.

Учитель: Чему вы учились выполняя данное задание?( Учились выбирать примеры  соответствующие переместительному закону умножения)

Динамичная пауза (слайд 11)

4.Построение проекта выхода из затруднения.

Как умножить трехзначное число на трехзначное 243317=  А как это сделать?

Рассмотреть слайд и выполнить  задание 35 у доски  учащийся объясняет умножение многозначных чисел по электронному учебнику, остальные работают в тетради.

  1. Групповая работа на отработку навыков умножения многозначных чисел столбиком

Вы теперь все знаете как умножать многозначные числа. Следующую работу выполним в группах

Выполните задание Карточка №3Сказочный герой Буратино тоже учится решать примеры на умножение . давайте проверим все ли у него получилось? Проверь верно ли решены примеры

Каждый представитель группы объясняет решение задач.

Ответ:

Учитель: Молодцы! Сделайте вывод о проделанной работе  (Решали примеры на умножение многозначных чисел и находили ошибки допущенные в решении этих примеров

Учитель: У кого вызвало затруднение это задание ? В чем? А теперь оцените себя в выполнении этой работы. (Сигнальные карточки. Все верно-зеленая, 1 ошибка –желтая, 2 и более – красная)

 

6. Итог урока

Ребята, какую тему вы изучали на уроке?.Какие цели вы ставили в начале урока? (Научится умножать числа,  повторить свойства умножения) Достигли вы их?. 

Какие затруднения вы испытали на уроке? (Умножение многозначных чисел) Смогли ли вы их преодолеть? К какому выводу мы пришли?(сумму чисел можно заменить произведением)

7.Рефлексия урока.

Учитель:Вы сегодня по разному чувствовали себя на уроке. .Выберите вариант соответствующий твои  ощущениям после сегодняшнего занятия.(Слайд 17)

 

8.Домашнее задание

Ребята вы поработали сегодня хорошо, все усвоили я надеюсь, что так же хорошо вы справитесь с домашним заданием. Открываем дневники, запишем домашнее задание. Прочитать п.16 выполнить

  • № 384 стр.110
  • №400(2) стр.111
  • №411 (1,2) стр.112

Определение и математика работы

В первых трех разделах «Класса физики» мы использовали законы Ньютона для анализа движения объектов. Информация о силе и массе использовалась для определения ускорения объекта. Информация об ускорении впоследствии использовалась для определения информации о скорости или смещении объекта по прошествии заданного периода времени. Таким образом, законы Ньютона служат полезной моделью для анализа движения и прогнозирования конечного состояния движения объекта.В этом модуле будет использоваться совершенно другая модель для анализа движения объектов. Движение будет рассматриваться с точки зрения работы и энергии. Будет исследовано влияние работы на энергию объекта (или системы объектов); итоговая скорость и / или высота объекта могут быть затем спрогнозированы на основе информации об энергии. Чтобы понять этот подход к анализу движения, основанный на работе и энергии, важно сначала получить твердое понимание нескольких основных терминов.Таким образом, Урок 1 этого раздела будет посвящен определениям и значениям таких терминов, как работа, механическая энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия и мощность.

Когда на объект действует сила, вызывающая смещение объекта, говорят, что над объектом было выполнено работы . Есть три ключевых ингредиента для работы — сила, смещение и причина. Чтобы сила квалифицировалась как выполнившая работы над объектом, должно быть смещение, и сила должна вызывать смещение .Есть несколько хороших примеров работы, которые можно наблюдать в повседневной жизни: лошадь, тащащая плуг по полю, отец, толкающий тележку с продуктами по проходу продуктового магазина, первокурсник, поднимающий на плечо рюкзак, полный книг, тяжелоатлет, поднимающий штангу над головой, олимпиец, запускающий толкание ядра, и т. д. В каждом описанном здесь случае на объект действует сила, заставляющая этот объект смещаться.

Прочтите следующие пять утверждений и определите, представляют ли они примеры работы.Затем нажмите кнопку «Просмотреть ответ», чтобы просмотреть ответ.

Заявление Ответ с объяснением

Учитель применяет силу к стене и истощается.

Книга падает со стола и падает на землю.

Официант переносит поднос с едой над головой за одну руку прямо через комнату с постоянной скоростью. (Осторожно! Это очень сложный вопрос, который будет обсуждаться более подробно позже.)

Ракета летит в космосе.

Рабочее уравнение

Математически работу можно выразить следующим уравнением.

W = F • d • cos Θ

, где F — сила, d — смещение, а угол ( тета ) определяется как угол между силой и вектором смещения.Возможно, самый сложный аспект приведенного выше уравнения — это угол «тета». Угол — это не просто , любой угол , а, скорее, очень специфический угол. Угловая мера определяется как угол между силой и смещением. Чтобы понять его значение, рассмотрите следующие три сценария.

  • Сценарий А. Сила действует на объект вправо, когда он смещается вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения находятся в одном направлении.Таким образом, угол между F и d равен 0 градусов.

  • Сценарий B: Сила действует влево на объект, смещенный вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения имеют противоположное направление. Таким образом, угол между F и d составляет 180 градусов.

  • Сценарий C: Сила действует вверх на объект, когда он смещается вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения расположены под прямым углом друг к другу.Таким образом, угол между F и d составляет 90 градусов.

Для работы, силы должны Вызвать Смещения

Рассмотрим сценарий C более подробно. Сценарий C включает ситуацию, аналогичную ситуации, когда официант несет поднос с едой над головой за одну руку прямо через комнату с постоянной скоростью. Ранее упоминалось, что официант не работает с подносом , поскольку он переносит его через комнату.Сила, прикладываемая официантом к подносу, направлена ​​вверх, а смещение подноса — это горизонтальное смещение. Таким образом, угол между силой и смещением составляет 90 градусов. Если рассчитать работу официанта на подносе, то результат будет 0. Независимо от величины силы и смещения, F * d * косинус 90 градусов равен 0 (поскольку косинус 90 градусов равен 0. ). Вертикальная сила никогда не может вызвать горизонтальное смещение; таким образом, вертикальная сила не действует на горизонтально смещенный объект !!

Можно точно отметить, что рука официанта на короткое время толкала поднос вперед, чтобы ускорить его от состояния покоя до конечной скорости ходьбы.Но как только достигает скорости , лоток будет продолжать движение по прямой с постоянной скоростью без поступающей силы. И если единственная сила, действующая на лоток во время стадии его движения с постоянной скоростью, направлена ​​вверх, то с лотком не выполняется никаких действий. Опять же, вертикальная сила не действует на горизонтально смещенный объект.

Уравнение для работы содержит три переменных — каждая переменная связана с одним из трех ключевых слов, упомянутых в определении работы (сила, смещение и причина).Угол тета в уравнении связан с величиной силы, вызывающей смещение. Как упоминалось в предыдущем разделе, когда на объект действует сила под углом к ​​горизонтали, только часть силы способствует (или вызывает) горизонтальное смещение. Давайте рассмотрим силу цепи, тянущей вверх и вправо на Фидо, чтобы тащить Фидо вправо. Только горизонтальная составляющая силы натяжения в цепи заставляет Фидо смещаться вправо.Горизонтальная составляющая находится путем умножения силы F на косинус угла между F и d. В этом смысле тета-косинус в уравнении работы относится к коэффициенту , вызывающему причину, выбирает часть силы, которая фактически вызывает смещение.

Значение теты

При определении меры угла в уравнении работы важно понимать, что угол имеет точное определение — это угол между силой и вектором смещения.Обязательно избегайте бездумного использования в уравнении любого олеугольного угла . Обычная физическая лаборатория включает приложение силы, чтобы переместить тележку по пандусу к вершине стула или ящика. К тележке прилагается усилие , чтобы сместить ее на вверх по склону с постоянной скоростью. Обычно используются несколько углов наклона; тем не менее, сила всегда применяется параллельно уклону. Перемещение тележки также параллельно уклону. Поскольку F и d находятся в одном направлении, угол theta в уравнении работы равен 0 градусов.Тем не менее, большинство студентов испытали сильное искушение измерить угол наклона и использовать его в уравнении. Не забывайте: угол в уравнении не равен , любой угол равен . Он определяется как угол между силой и вектором смещения.

Значение отрицательной работы

Иногда на движущийся объект действует сила, препятствующая перемещению.Примеры могут включать в себя автомобиль, заносящий до остановки на проезжей части, или бегущий по бейсболу, который останавливается по грязи на приусадебном участке. В таких случаях сила действует в направлении, противоположном движению объектов, чтобы замедлить его. Сила не вызывает смещения, а скорее препятствует . Эти ситуации включают то, что обычно называют отрицательной работой . отрицательный отрицательной работы относится к числовому значению, которое получается, когда значения F, d и тета подставляются в уравнение работы.Поскольку вектор силы прямо противоположен вектору смещения, тета составляет 180 градусов. Косинус (180 градусов) равен -1, поэтому количество работы, проделанной с объектом, будет отрицательным. Негативная работа станет важной (и более значимой) в Уроке 2, когда мы начнем обсуждать взаимосвязь между работой и энергией.

Единицы работы

Каждый раз, когда в физику вводится новая величина, обсуждаются стандартные метрические единицы, связанные с этой величиной.В случае работы (а также энергии) стандартной метрической единицей является Джоуль (сокращенно Дж ). Один Джоуль эквивалентен одному Ньютону силы, вызывающей смещение на один метр. Другими словами,

Джоуль — это единица работы.
1 Джоуль = 1 Ньютон * 1 метр
1 Дж = 1 Н * м

Фактически, любая единица силы, умноженная на любую единицу смещения, эквивалентна единице работы.Ниже показаны некоторые нестандартные агрегаты для работы. Обратите внимание, что при анализе каждый набор единиц эквивалентен единице силы, умноженной на единицу смещения.

Нестандартные единицы работы:
фут • фунт кг • (м / с 2 ) • м кг • (м 2 / с 2 )

Таким образом, работа выполняется, когда на объект действует сила, вызывающая смещение.Чтобы рассчитать объем работы, необходимо знать три величины. Эти три величины — сила, смещение и угол между силой и смещением.


Расследовать!

Работаем каждый день. Работа, которую мы делаем, требует калорий … эээээ, следует сказать Джоулей. Но сколько джоулей (или калорий) было бы израсходовано на различные виды деятельности? Используйте виджет Daily Work , чтобы исследовать объем работы, который необходимо выполнить, чтобы бегать, ходить или ездить на велосипеде в течение заданного времени в заданном темпе.

Нажмите, чтобы продолжить урок по работе


Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения It’s All Uphill. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте.Интерактивная программа It’s All Uphill Interactive позволяет учащемуся изучить влияние угла наклона на силу и работу, выполняемую при подъеме тележки в гору с постоянной скоростью.

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом.Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в cookie-файлах может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Суперпозиция волн

Суперпозиция волн

Дэниел А. Рассел , аспирантура по акустике, Государственный университет Пенсильвании

Эта работа Дэна Рассела находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Международная лицензия.
На основе работы на http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html. Дополнительная информация об использовании этого содержимого доступна по адресу http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/copyright.html.

Содержание этой страницы было первоначально опубликовано 25 июля 1996 г. . HTML-код был изменен для соответствия HTML5 27 января 2014 г.


Принцип суперпозиции может применяться к волнам, когда две (или более) волны проходят через одну и ту же среду одновременно.Волны проходят сквозь друг друга, не беспокоясь. Чистое смещение среды в любой точке пространства или времени — это просто сумма смещений отдельных волн. Это верно для волн конечной длины (волновые импульсы) или непрерывных синусоидальных волн.

Наложение двух импульсов волны противоположного направления

Анимация слева показывает, что два гауссовых волновых импульса распространяются в одной и той же среде, но в противоположных направлениях. Две волны проходят друг через друга без помех, и чистое смещение является суммой двух отдельных смещений.

Следует также отметить, что эта среда является недисперсной (все частоты распространяются с одинаковой скоростью), поскольку импульсы гауссовой волны не меняют свою форму при распространении. Если бы среда была дисперсной, то волны меняли бы свою форму.

Солитоны — это примеры нелинейных волн, которые не подчиняются принципу суперпозиции при взаимодействии друг с другом.


Конструктивное и деструктивное вмешательство

Две волны (с одинаковой амплитудой, частотой и длиной волны) распространяются в одном направлении. o \)), они интерферируют деструктивно и нейтрализуют друг друга.

Анимация слева показывает, как две синусоидальные волны с одинаковой амплитудой и частотой могут складываться либо деструктивно, либо конструктивно в зависимости от их относительной фазы. (ПРИМЕЧАНИЕ: эта анимация не изображает распространение реальных волн в среде — она ​​служит только для иллюстрации эффекта изменения фазового сдвига между двумя волнами и результирующей конструктивной или деструктивной интерференции). Разность фаз между двумя волнами увеличивается со временем, так что можно увидеть эффекты как конструктивной, так и деструктивной интерференции.Когда две отдельные волны точно совпадают по фазе, в результате получается большая амплитуда. Когда две серые волны становятся точно не в фазе, суммарная волна равна нулю.


Две синусоидальные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, создают стоячую волну

Бегущая волна перемещается с одного места на другое, тогда как стоячая волна , кажется, стоит на месте, вибрируя на месте. В этой анимации две волны (с одинаковой амплитудой, частотой и длиной волны) движутся в противоположных направлениях.Используя принцип суперпозиции, результирующую амплитуду волны можно записать как:

$$ y (x, t) = y_m \ sin (kx — \ omega t) + y_m \ sin (kx + \ omega t) = 2 y_m \ cos (\ omega t) \ sin (kx) $$

Эта волна больше не является бегущей волной, потому что зависимости положения и времени были разделены. Амплитуда волны как функция положения равна \ (2y_m \ sin (kx) \). Эта амплитуда не перемещается, а остается неподвижной и колеблется вверх и вниз согласно \ (\ cos (\ omega t) \). Для стоячих волн характерны места с максимальным смещением ( пучностей, ) и места с нулевым смещением ( узлов, ).

Фильм слева показывает, как стоячая волна может быть создана из двух бегущих волн. Если две синусоидальные волны, имеющие одинаковую частоту (и длину волны) и одинаковую амплитуду, распространяются в противоположных направлениях в одной и той же среде, то при использовании суперпозиции чистое смещение среды является суммой двух волн. Как показано в фильме, когда две волны сдвинуты по фазе на 180 °, они нейтрализуются, а когда они точно синфазны друг с другом, они складываются.Когда две волны проходят друг через друга, конечный результат меняется от нуля до некоторой максимальной амплитуды. Однако этот паттерн просто колеблется; она не перемещается ни вправо, ни влево, поэтому ее называют «стоячей волной ».

Я поставил на веревке две точки: одну в пучности, а другую в узле. Что есть что?

Посмотрите мою связанную анимацию, чтобы увидеть, как в среде могут возникать стоячие волны из-за отражения волны от границы.


Две синусоидальные волны с разными частотами: удары

Две волны одинаковой амплитуды движутся в одном направлении. Две волны имеют разные частоты и длины волн, но обе движутся с одинаковой скоростью волны. Используя принцип суперпозиции, результирующее смещение частицы можно записать как:

$$ y (x, t) = y_m \ sin (k_1 x — \ omega_1 t) + y_m \ sin (k_2 x + \ omega_2 t) = 2y_m \ cos \ bigg [\ frac {k_1-k_2} {2} x — \ гидроразрыв {\ omega_1- \ omega_2} {2} t \ bigg] \ sin \ bigg [\ frac {k_1 + k_2} {2} x — \ frac {\ omega_1 + \ omega_2} {2} t \ bigg] $$

Это результирующее движение частицы является продуктом двух бегущих волн .Одна часть представляет собой синусоидальную волну, которая колеблется со средней частотой f = ½ ( f 1 + f 2 ). Это частота, которую воспринимает слушатель. Другая часть представляет собой косинусоидальную волну, которая колеблется с разностной частотой f = ½ ( f 1 — f 2 ). Этот термин контролирует амплитуду «огибающей» волны и вызывает восприятие «биений». Частота биений на самом деле в два раза больше разностной частоты, f биений = ( f 1 — f 2 ).

На анимации слева направо движутся две волны с немного разными частотами. Поскольку две волны движутся в одной среде, они движутся с одинаковой скоростью. Результирующая суммарная волна суперпозиции распространяется в том же направлении и с той же скоростью, что и две составляющие волны, но ее локальная амплитуда зависит от того, имеют ли две отдельные волны одинаковую или противоположную фазу. Волна «биений» колеблется со средней частотой, и ее амплитудная огибающая изменяется в соответствии с разностной частотой.

% PDF-1.6 % 4 0 obj > эндобдж xref 4 72 0000000016 00000 н. 0000001996 00000 н. 0000002056 00000 н. 0000002231 00000 н. 0000002411 00000 н. 0000003235 00000 н. 0000004062 00000 н. 0000004913 00000 н. 0000005637 00000 н. 0000006682 00000 н. 0000007768 00000 н. 0000008815 00000 н. 0000009863 00000 н. 0000010007 00000 п. 0000010153 00000 п. 0000010297 00000 п. 0000010440 00000 п. 0000010586 00000 п. 0000010731 00000 п. 0000010876 00000 п. 0000011020 00000 н. 0000011162 00000 п. 0000011306 00000 п. 0000011453 00000 п. 0000011599 00000 п. 0000026902 00000 п. 0000027371 00000 п. 0000027788 00000 н. 0000028328 00000 п. 0000037637 00000 п. 0000037946 00000 п. 0000038214 00000 п. 0000038691 00000 п. 0000042441 00000 п. 0000042674 00000 п. 0000042864 00000 н. 0000043068 00000 п. 0000045437 00000 п. 0000045638 00000 п. 0000045676 00000 п. 0000045772 00000 п. 0000055831 00000 п. 0000056152 00000 п. 0000056474 00000 п. 0000057032 00000 п. 0000064020 00000 п. 0000064274 00000 н. 0000064561 00000 п. 0000064983 00000 п. 0000069240 00000 п. 0000069461 00000 п. 0000069716 00000 п. 0000069992 00000 н. 0000071721 00000 п. 0000071948 00000 п. 0000072026 00000 п. 0000072142 00000 п. 0000073361 00000 п. 0000073551 00000 п. 0000073573 00000 п. 0000073639 00000 п. 0000075888 00000 п. 0000076119 00000 п. 0000076181 00000 п. 0000076309 00000 п. 0000078203 00000 п. 0000078394 00000 п. 0000078416 00000 п. 0000078505 00000 п. 0000080400 00000 п. 0000080589 00000 п. 0000001736 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 75 0 объект > поток xb`pe«ga«`4̀ X @ IB1S ͪ

?! P}

rU_ϽqϦ) xPLLlfp`YyQeb ن, *, J3 / YV0009pa ++ n2 թ Q O

Шкивы

Шкив — это устройство, которое может увеличивать величину усилия.

Без шкива

Без шкива — сила усилия аналогична нагрузке — в противоположном направлении.

S = F (1)

где

S = усилие (Н, фунт)

F = нагрузка (Н, фунт)

Одиночный шкив

Фиксированный шкив

С одним фиксированным шкивом усилие на равно (или больше из-за потери эффективности) нагрузке.

S = F (2)

Преимущество одиночного фиксированного шкива состоит в том, что направление силы изменяется — можно тянуть вниз, а не поднимать вверх.

Подвижный шкив

С одним подвижным шкивом усилие составляет половину (или больше из-за потери эффективности) нагрузки.

S = 1/2 F (3)

Комбинированные шкивы

С комбинированным подвижным шкивом, как указано выше, сила усилия составляет половину (или более из-за потери эффективности) нагрузки.

S = 1/2 F (4)

С двумя шкивами и тросами, как указано выше, сила усилия составляет 1/3 (или больше из-за эффективности) нагрузки.

S = 1/3 F (5)

Общее уравнение для блоков и захватов

Общее уравнение силы усилия для блока или снасти, поднимающего или тянущего груз, может быть выражено как

S = F / (мкН)

= (мг) / (мкН) (6)

где

S = усилие (Н, фунт)

F = нагрузка ( часто вес) (Н, фунт)

m = масса (кг, пули ) (при подъеме груза)

g = постоянная гравитации (9.81 м / с 2 , 32,17405 фут / с 2 ) (при подъеме груза)

μ = механический КПД системы (равен единице для идеальной системы без трения, a доля меньше единицы для реальных систем с потерями энергии из-за трения)

n = количество канатов между наборами шкивов

Блок, захват или шкив Калькулятор

Калькулятор ниже можно использовать для расчета усилия усилие в конструкции блока, захвата или шкива.Калькулятор можно использовать для метрических и британских единиц измерения, если они используются последовательно.

F — нагрузка (Н, кг, фунт)

μ — механический КПД системы

n — количество канатов между наборами шкивов

Обратите внимание, что кг — это единицы СИ для массы — подробнее о массе и весе!

Пример — шкив и усилие усилия

Сила усилия для шкива с 4 канатами , потери на трение μ = 0.8, и нагрузка 100 кг можно рассчитать как

S = (100 кг) (9,81 м / с 2 ) / ((0,8) (4))

= 307 N

Полное руководство по объему двигателя

Объем двигателя — это наиболее распространенный математический расчет. Рабочий объем — это размер или объемная мощность двигателя, выраженная в кубических дюймах, кубических сантиметрах или литрах. Здесь, в Америке, мы обычно работаем в кубических дюймах, в то время как остальной мир использует метрическую систему.Я расскажу о соответствующих преобразованиях позже в этой главе. Смещение определяется путем расчета диаметра отверстия и длины хода, умноженного на количество цилиндров. Результатом является фактический рабочий объем каждого цилиндра и общий рабочий объем двигателя, предполагающий 100-процентный объемный КПД. Обратите внимание, что фактический рабочий объем не является общим объемом каждого цилиндра, поскольку он не включает объем пространства сгорания над поршнем в верхней мертвой точке (ВМТ).Эти отдельные объемы позволяют рассчитать степень сжатия двигателя (описана в главе 3.)


Этот технический совет взят из полной книги PERFORMANCE AUTOMOTIVE ENGINE MATH. Подробное руководство по этой теме вы можете найти по этой ссылке:
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ ОБ ЭТОЙ КНИГЕ

ПОДЕЛИТЬСЯ СТАТЬЕЙ: Пожалуйста, не стесняйтесь поделиться этой статьей на Facebook, на форумах или в любых клубах, в которых вы участвуете. Вы можете скопировать и вставить эту ссылку, чтобы поделиться: https: // musclecardiy.com / Performance / Complete-Guide-Engine Displacement /


Как этот малоблочный корпус World Products Hardcore 454 Chevy втиснул весь этот объем цилиндра в ту же базовую блочную архитектуру, что и Chevy 283? Диаметр отверстия составляет 4,250 дюйма, а ход — 4,00 дюйма. Делай математику.

Диаметр цилиндра

Диаметр цилиндра — это главный компонент формулы рабочего объема двигателя. Без удобного сравнения любое отверстие цилиндра кажется на первый взгляд значительным, но даже небольшие изменения диаметра относительно фиксированной длины хода приводят к увеличению рабочего объема двигателя.Размер диаметра цилиндра является серьезной проблемой для любой конструкции двигателя для соревнований, потому что он определяет размер клапана и, в конечном итоге, способность двигателя дышать. Многие производители двигателей считают, что выигрыш от дыхания от большего диаметра отверстия перевешивает любые потери на трение, которые могут возникнуть от более крупных поршней с большей поверхностью юбки и потенциально увеличенным сопротивлением кольца. Большее отверстие также обеспечивает большую площадь поршня, против которой может работать давление сгорания, но также создает большее расстояние для движения фронта пламени и большую площадь поверхности для охлаждения пламени.

Диаметр цилиндров измеряется с помощью стрелочного индикатора для достижения максимальной точности. Измерения производятся в верхней, центральной и нижней частях хода поршня и в двух разных направлениях: спереди назад и из стороны в сторону.

Двигатели

Street — это одно, но некоторые гоночные серии фактически ограничивают размер и расстояние между отверстиями. Как правило, это меры затрат, предназначенные для сокращения использования более дорогих блоков цилиндров с измененным расстоянием между отверстиями, что позволяет использовать отверстия большего размера при сохранении желаемой толщины и устойчивости стенок цилиндра.Двигатели Sprint Cup — хороший тому пример. Рабочий объем ограничен 358 кубическими дюймами при максимальном внутреннем диаметре 4,185 дюйма. Чашечные двигатели ранее работали с расстоянием между отверстиями 4 400 дюймов, но NASCAR разрешил увеличить расстояние между отверстиями до 4,5 дюймов, чтобы приспособить их к отверстиям большего диаметра, большим клапанам и измененной геометрии клапана — и все это в попытке уравнять правила игры среди конкурентов различных брендов. Если диаметр цилиндра не указан, вы должны выбрать размер отверстия, который наилучшим образом подходит для вашего конкретного применения в соответствии с требованиями к потоку воздуха и камере сгорания, степенью сжатия, ходом пламени и другими факторами, включая длину хода, которая также соответствует вашим эксплуатационным требованиям. .

Точные измерения диаметра отверстия производятся с помощью индикатора внутреннего диаметра. Циферблатные калибры обычно показывают точность до ± 0,0005 дюйма, а многие — с точностью до ± 0,0002 дюйма. Для любого машиниста нет ничего плохого в том, что заказчик проверяет свою работу, но важно понимать, что ваши инструменты могут показывать разные показания. Это может быть нормально, если ваши измерения находятся в пределах допустимого отклонения. Лучший способ обеспечить точность любого измерения диаметра отверстия — это настроить инструмент в соответствии с известным стандартом перед выполнением измерений отверстия.Если у вас есть любимый машинист, вы также можете взять некоторые из ваших инструментов в его мастерскую и сравнить измерения образцов с его инструментами.

Длина хода

Длина хода является попутным фактором в формуле смещения цилиндра. Добавление длины хода увеличивает смещение по сравнению с фиксированным размером отверстия. Строкинг, ранний трюк с хот-родом, нашел особую популярность во многих поздних моделях двигателей, стремящихся максимизировать рабочий объем двигателя. За исключением высокопроизводительных приложений, длина хода обычно остается фиксированной на заводской длине, поскольку гораздо проще и практичнее увеличить рабочий объем за счет увеличения диаметра отверстия.А в случае типичного ремонта двигателя первоочередной задачей является восстановление уплотнения цилиндра с помощью новых поршней и колец увеличенного размера. Все, что требуется — это простая работа по растачиванию и заточке. Увеличение хода часто требует модификации блока для обеспечения зазора для штоков и болтов штоков, а также требует приобретения новых поршней с соответствующим расположением штифта, чтобы приспособиться к новой длине хода. В любом случае формулой смещения можно манипулировать для расчета смещения или для нахождения требуемого отверстия или хода, когда желаемое смещение и один из размеров известны.

Чтобы рассчитать рабочий объем двигателя, вы должны сначала найти рабочий объем отдельного цилиндра на основе размеров диаметра цилиндра и хода. Отверстие — это диаметр цилиндра, а ход — это расстояние, которое поршень проходит вверх и вниз в цилиндре. (Ход фактически является функцией длины хода коленчатого вала, но обычно на него указывает ход верхней части поршня.)

Практически в каждом случае вы уже будете знать размер двигателя, диаметр цилиндра и ход поршня, но точный расчет рабочего объема двигателя позволяет вам определить величину «округления», которую завод применил к заявленному рабочему объему.Иногда они округляются; иногда округляют в меньшую сторону. На практике более полезной причиной является возможность провести мозговой штурм по различным конфигурациям двигателя для соответствия конкретному гоночному классу, который определяет предел рабочего объема, или рассчитать эффект смещения от перетягивания при восстановлении двигателя.

Многие гоночные машины считают выгодным использование максимально возможного диаметра отверстия для увеличения площади поверхности поршня и снятия кожуха с клапанов для обеспечения более эффективного дыхания. Например, 4.Диаметр 125-дюймового отверстия обычно способствует лучшему дыханию, чем канал диаметром 4,00 дюйма, поскольку он обеспечивает более эффективный путь потока для всасываемого заряда. Если вы ограничены смещением, вы можете использовать вариант формулы смещения для расчета соответствующего хода, необходимого для вашего выбора отверстия, или наоборот. Подробнее об этом позже.

Расчет смещения

Чтобы найти общий рабочий объем, сначала вычислите объем одного цилиндра, а затем умножьте результат на количество цилиндров в двигателе.Формула объема цилиндра требует использования числа пи, математической константы (см. Врезку «Как работает формула смещения» на стр. 15), которая позволяет вычислить площадь (или разность объемов) между квадратом (или прямоугольником). ) и круг (или цилиндр). Деление числа Пи на 4 дает вам еще одну константу для завершения основной формулы смещения следующим образом:

Большой блок Merlin 572 ci использует уникальную комбинацию диаметра ствола и хода для достижения большого рабочего объема.В данном случае мы имеем дело с квадратным двигателем с диаметром цилиндра 4,500 дюйма, ходом поршня 4,500 дюйма и мощностью 735 л.с. Другая версия добавляет на 1/4 дюйма больший ход для достижения 632 кубических сантиметров и 800 л.с. на бензине. (Предоставлено компанией World Products)

Pi (π) = 3,1415927
Объем цилиндра = pi ÷ 4 x отверстие2 x ход
Pi ÷ 4 = 0,7853982 (обычно округляется до 0,7854)

Следовательно, 0,7854 становится константой, которая помогает нам рассчитать объем цилиндра.
Формула рабочего объема: Диаметр цилиндра 2 x ход поршня 0,7854 x количество цилиндров

Давайте рассмотрим пример: если двигатель Chevy 327 имеет опубликованный диаметр цилиндра 4.00 дюймов и ход 3,25 дюйма, расчет выглядит следующим образом:
4,002 x 3,25 x 0,7854 x 8 = 326,726 ci

Хотя это случается нечасто, иногда вы обнаруживаете, что размеры двигателя указаны с дробной частью. В случае с нашим примером Chevy, он часто упоминается как имеющий рычаг или кривошип размером три с четвертью дюйма (31⁄4). Поскольку математика движка работает в десятичной системе счисления, вам необходимо преобразовать эту дробь в десятичную. В следующей таблице показаны наиболее распространенные примеры.

1/32.. . . . . . . . . . .0.031
1/16. . . . . . . . . . . .0.0625
1/8. . . . . . . . . . . . .0,125
1/4. . . . . . . . . . . . .0.250
3/8. . . . . . . . . . . . .0,375
1/2. . . . . . . . . . . . .0.500
5/8. . . . . . . . . . . . .0,625
3/4. . . . . . . . . . . . .0,750
7/8. . . . . . . . . . . . .0,875
1. . . . . . . . . . . . . . .1,000

Для нашего 327 Chevy с кривошипом 31⁄4 дюйма мы отметим, что 1/4 дюйма равняется 0,25 дюйма, поэтому ход в десятичной системе счисления равен 3.25 дюймов; отсюда следующий расчет:

4,002 x 3,25 x 0,7854 x 8 = 326,726 ci

В данном случае Chevrolet округляет до 327 ci, потому что десятичная дробь больше 326,5 или ближе к 327, чем 326. Производители не всегда следуют этой практике. Иногда они округляются в обратном направлении, даже если десятичная дробь этого не требует. Это часто делается, чтобы различать семейства двигателей или более новые модели.

Расчет вытеснения через канал ствола

Предположим, мы решили отремонтировать наш 327 Chevy.Осмотр показывает чрезмерный износ цилиндра и заметный выступ в верхней части каждого отверстия над областью хода поршневого кольца. Мы решили установить новые поршни, размер которых больше 0,030 дюйма. Какой будет рабочий объем нашего недавно отремонтированного 327-кубового двигателя? Это легко вычислить, подставив новое значение диаметра (переменную) в стандартную формулу смещения:
4,0302 x 3,25 x 0,7854 x 8 = 331,645 ci

В то время как это обычно округляется до 332 ci, по неизвестной причине это конкретное отверстие обычно называют 331 на малом блоке Chevy.Как ни странно, замена 0,060-дюймового овального отверстия дает 336,601 Ки, что обычно называют цифрой 337. Го.

Расчет соотношения диаметра отверстия и хода

Следующие две формулы наиболее полезны для мозгового штурма комбинаций двигателей, у которых есть предел рабочего объема. Почему это важно? Чаще всего он позволяет рассчитать длину хода, соответствующую желаемому размеру отверстия для фиксированного рабочего объема, установленного органом, санкционирующим гонки. Это очень важно для поддержания объема вашего двигателя в пределах максимально допустимого рабочего объема.

Этот полностью алюминиевый малый блок Warhawk на базе LS7 максимально использует преимущества более высокой деки двигателя Gen III на 0,780 дюйма (9,800 дюймов), чтобы набить ход 4,5 дюйма в блок цилиндров диаметром 4,125 дюйма, чтобы получить 481 дюйм в пределах позднего модель мелкоблочной архитектуры. (Предоставлено компанией World Products)

Например, NHRA всегда округляет в большую сторону до следующего наибольшего числа, поэтому любое значение, превышающее заявленный объем двигателя, сделает ваш двигатель незаконным. В Бонневилле SCTA публикует диапазон рабочего объема двигателя, который опытные гонщики доводят до предела в каждом классе.Например, двигатель C-класса может иметь диапазон от 306,00 до 372,99 ci. Они не будут округляться до следующего дюйма, но ваш расчет не должен превышать 372,99 ни при каких условиях. Большинство людей стреляют примерно на 1 Ки меньше, просто чтобы обеспечить запас прочности. Итак, если вы строите двигатель Bonneville C-класса с мелкоблочным Chevy и чувствуете, что канал диаметром 4,125 дюйма будет дышать лучше, чем канал диаметром 4,00 дюйма, какая длина хода вам понадобится, чтобы соответствовать пределу в 372,99 ci?

Длина хода при известном внутреннем диаметре

Если вы знаете размер отверстия и окончательное смещение, вы можете использовать их для расчета длины хода.Это полезно для мозгового штурма комбинаций отверстий и ударов, когда вы хотите изучить различные возможности для достижения желаемого смещения.

Ход = рабочий объем ÷ (отверстие 2 x 0,7854 x количество цилиндров)
Ход = 372,99 ÷ (4,1252 x 0,7854 x 8) = 3,4887 дюйма

Это говорит вам о том, что вы можете использовать стандартный размер отверстия Chevy 400 куб. Ход 350 Chevy равен 3.48 дюймов, что составляет 372,055 Ки; немного близко по комфорту, но возможно, если аккуратно выдерживать размеры. Это позволит контролировать ваши расходы на коленчатый вал, используя стандартный размер кривошипа.

Допустим, вы хотите еще больше увеличить площадь дыхания двигателя и площадь поршня, увеличив диаметр отверстия до 4,155 дюйма.

Ход = 372,99 ÷ (4,1552 x 0,7854 x 8) = 3,4385 дюйма

Это необычный размер кривошипа, требующий специальной шлифовки. Конечно, кривошипно-шлифовальный станок может это сделать, но вы должны взвесить потенциальное преимущество воздушного потока по сравнению со стоимостью шлифования кривошипа плюс расходы на покупку поршней с высотой отверстия под палец, которая соответствует нечетному ходу и желаемой длине штока.В некоторых случаях производители двигателей используют тот же расчет, чтобы увидеть, насколько они могут сократить ход поршня, чтобы получить больше потенциальных оборотов при меньшей скорости поршня. В любом случае формула поиска инсульта позволяет вам провести мозговой штурм на бумаге, прежде чем вы откладываете холодные деньги на запчасти.

Диаметр отверстия при известном ходе

Иногда вы имеете в виду конкретный ход и хотите рассчитать размер отверстия, соответствующий заданному смещению. Недавно у меня была возможность провести мозговой штурм по поводу некоторых комбинаций Chevy V-8 с малым рабочим объемом, у которых был предел в 260 кубических дюймов.99. Моя первая мысль заключалась в том, чтобы использовать блок с малым рабочим объемом от 283 или 305. Я знал длину хода для них обоих, но не мог вспомнить диаметр отверстия 305-го, и у меня не было под рукой Справка. К счастью, я смог рассчитать его, используя формулу для определения неизвестного диаметра отверстия, когда известен ход.

Измерение отрицательной деки, когда верхняя часть поршня находится над поверхностью деки блока в ВМТ, не изменяет смещения, поскольку расчет по-прежнему основан на размерах отверстия и хода.Это влияет на расчеты степени сжатия (как описано в главе 3).

Для работы с формулой сначала выполните вычисления внутри символа квадратного корня, затем введите результат в калькулятор и нажмите клавишу квадратного корня, чтобы получить ответ.

Диаметр цилиндра = √ [рабочий объем ÷ (0,7854 x ход x количество цилиндров)] В случае 305 Chevy, ход составляет 3,48 дюйма, то же самое, что и у 350. Подставляя известные переменные, вы вычисляете неизвестный размер отверстия следующим образом.

Диаметр отверстия = √ [305 ÷ (0.7854 x 3,48 x 8)] = диаметр отверстия 3,734 дюйма
Последовательность вычислений:
305 ÷ (0,7854 x 3,48 x 8) = √13,948 = 3,734
Затем я смог использовать этот размер для расчета хода, который дал бы 260,99 ci. Для этого я вернулся к формуле обнаружения инсульта.

Ход = рабочий объем ÷ (0,7854 x диаметр отверстия2 x количество цилиндров)
Ход = 260,99 ÷ (0,7854 x 3,7342 x 8) = 2,979 дюйма

Ни одно из измерений не подходит. Отверстие слишком маленькое, чтобы хорошо дышать, а ход — нечетное число, которое придется специально отшлифовать.После дальнейшего рассмотрения логичным выбором будет блок с внутренним диаметром 4,00 дюйма, который легко доступен. Он обеспечивает наилучшее дыхание, а с указанным пределом рабочего объема нет никакого способа довести кривошип до требуемого размера хода. Используя размер отверстия 4,00 дюйма, требуемый ход рассчитывается следующим образом.
Ход = 260,99 ÷ (0,7854 x 4,002 x 8) = 2,596 дюйма

Интересно то, что возникает соблазн округлить ход до 2,600 дюйма. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы включим это в формулу смещения.

Рабочий объем = 4,002 x 2,600 x 0,7854 x 8 = 261,38 кубических дюймов

Угу! Разорился из-за негабаритного двигателя.

Давайте попробуем вычислить точное значение хода, которое мы вычислили ранее.

Смещение = 4,002 x 2,596 x 0,7854 x 8 = 260,978 куб. Более удобным выбором было бы укоротить ход до 2,585, что дает запас прочности примерно 1 Ки.

Смещение = 4.002 x 2,585 x 0,7854 x 8 = 259,87 ci

В этом упражнении вы увидите, как можно использовать формулу смещения, формулу отверстия и формулу хода для моделирования теоретических комбинаций, отвечающих вашим требованиям. Как только вы выберете комбинацию диаметра и хода, которая соответствует вашему пределу рабочего объема с наилучшими возможными характеристиками дыхания, площади поршня и числа оборотов в минуту, вы можете перейти к выбору наилучшей длины шатуна и высоты поршневого пальца. С помощью этих удобных формул все происходит на вашем калькуляторе и на бумаге, прежде чем вы потратите ни копейки на детали.А если вы введете переменные в компьютерную электронную таблицу (обсуждается в главе 13), вы можете сохранить и распечатать все свои теоретические комбинации для быстрого просмотра, когда захотите.

Отношение диаметр / ход поршня и шток / ход

Еще одна вещь, которую следует учитывать во время сеансов мозгового штурма, — это соотношение диаметр цилиндра / ход и соотношение стержень / ход. Эти соотношения говорят вам о нескольких важных вещах. Если двигатель имеет одинаковые размеры цилиндра и хода, он считается квадратным.Если диаметр цилиндра больше, чем ход поршня, двигатель имеет более квадратную форму. Двигатель с квадратным сечением будет иметь длину хода больше, чем размер его внутреннего диаметра. Часто считается, что низкоскоростные двигатели с квадратным сечением обеспечивают больший крутящий момент, но на практике разница минимальна и не может сравниться с превосходным дыханием двигателя с квадратным квадратом. Хотя отверстие большего диаметра может иметь несколько более высокие фрикционные свойства, оно более чем преодолевает разницу с улучшенным дыханием, обеспечиваемым большим размером отверстия, которое позволяет более крупным клапанам и более эффективному входу воздушного / топливного заряда в цилиндры.Отношение диаметра отверстия к ходу — это просто размер отверстия, деленный на ход.

Соотношение B / S = диаметр цилиндра ÷ ход
Например, двигатель Chevy 350 имеет стандартное соотношение цилиндр / ход поршня 1,15: 1,
B / S = 4,00 ÷ 3,48 = 1,15: 1

Любое число больше 1,0: 1 является квадратом. Большее отверстие позволяет использовать клапаны большего размера. Рассмотрим следующие примеры, основанные на трех разных маленьких блоках Chevy:

Рабочий объем 283 куб. Дюйм 350 куб. Дюйм 400 куб. Дюйм

Диаметр отверстия 3.875 4.000 4.125

Ход 3.000 3,480 3,750

Соотношение B / S 1,29: 1 1,15: 1 1,1: 1

При самом высоком соотношении 283 хорошо смотрится на бумаге. Он эффективен из-за своего рабочего объема и длины хода, но малый диаметр отверстия ограничивает размер клапана. 350 имеет более низкое соотношение B / S, но его канал позволяет использовать клапаны гораздо большего размера, чем 283, поэтому дыхание более эффективно. 400 почти квадратный при 1,1: 1, но он наиболее желателен с точки зрения дыхания, потому что он может принимать гигантские клапаны, не закрывая и не ограничивая дыхание.Это еще одна вещь, которую следует учитывать при планировании оптимальной комбинации.

Еще одна взаимосвязь, которую следует учитывать, — это отношение штанги к ходу. Это длина от центра к центру стержня, деленная на ход. Отношение шток / ход от 1,9 до 2: 1 всегда считалось выгодным, поскольку оно уменьшает угол между штоком и стенкой цилиндра, тем самым уменьшая боковую нагрузку на стенку цилиндра и юбку поршня. Вот почему малые блоки Chevy 400 с коротким штоком (5,565 дюйма) и длинным ходом (3,75 дюйма) испытывали более высокий износ цилиндра.Угловатость стержня была слишком большой. 302-ci Chevy (с его 5,7-дюймовым штоком и ходом 3,00 дюйма) имеет соотношение шток / ход 1,9: 1. Сравните это с маленькими блоками Chevy 350 и 400, показанными на следующей диаграмме.

Передаточное отношение = длина штока ÷ ход
Рабочий объем 302 куб. Дюйм 350 куб. Дюйм 400 куб.

Более длинный шток и более высокое соотношение шток / ход также предназначены для увеличения мощности за счет «парковки» поршня в ВМТ на долю длиннее, чем передаточное отношение короткого штока.Это дает больше времени для достижения пикового давления в цилиндре, прежде чем поршень начнет движение вниз в цикле расширения. Сравнительные динамометрические тесты показывают, что это преимущество менее существенное, чем обещает теория, по крайней мере, при уличных оборотах двигателя. Однако преимущества в долговечности улучшенной угловатости стержня более очевидны. В любом случае вам может потребоваться вычислить отношение диаметра отверстия к ходу и отношение штока к ходу любой комбинации, которую вы разрабатываете, и рассмотреть возможные последствия.

Метрическая система преобразования

Если вы имеете дело с метрическими размерами, вы смотрите на размеры диаметра цилиндра и хода, измеренные в миллиметрах (мм), и объем двигателя, указанный в кубических сантиметрах (куб.см) или литрах (L).Формула смещения работает точно так же, но вы делите результат на 1000, чтобы получить кубические сантиметры.

Для константы (0,7854) преобразование не требуется, поскольку она применяется независимо от единицы измерения. Чтобы лучше понять это, давайте поработаем формулу рабочего объема для горячего современного двигателя, такого как 426-сильный алюминиевый малогабаритный блок L99 в Camaro 2010 года выпуска. Он имеет следующие размеры:

Заявленные размеры Расчетные размеры
L99 Chevy 376 ci, 6.2L 375.129 ci, 6.147L
Диаметр цилиндра: 4,06 / 103,3 мм 103,12 мм
Ход поршня: 3,622 / 92 91,998 мм

Чтобы преобразовать дюймы в миллиметры, умножьте на 25,4 (см. Приложение B «Удобные коэффициенты преобразования»). Это преобразование дает точное число, поэтому оно очень точное. Чтобы преобразовать миллиметры в дюймы, умножьте на 0,0393701, что не дает точного числа, но достаточно близко.
Давайте сначала поработаем с дюймами.
Рабочий объем = 4,062 x 3,622 x 0,7854 x 8 = 375,129 кубических дюймов
В данном случае Chevy округлено до 376 кубических дюймов.Теперь перейдем к миллиметрам.
Диаметр цилиндра = 4,06 x 25,4 = 103,124 мм
Ход поршня = 3,622 x 25,4 = 91,998 мм

Поскольку преобразование из дюймов в миллиметры является точным, цифры абсолютно точны, но здесь мы округлим их, потому что они округлены в большинстве опубликованных отчетов. Чаще всего указывается диаметр отверстия 103,3 мм и ход поршня 92 мм.
Для упрощения расчетов округлим числа, уменьшив 103,124 мм до 103 мм и увеличив ход до 92 мм.

Объем куб.см = (1032 x 92 x 0.7854 x 8) ÷ 1000 = 6 132,57 куб. См

Разделите 6132,57 куб. См на 1000, чтобы получить 6,132 литров. Таким образом, математически L99 имеет 6,132 куб. См или 6,13 л (что Chevy округляет до 6,2 л). Обратите внимание, что кубические сантиметры и литры, преобразованные в дюймы, немного отличаются от кубических сантиметров и литров, рассчитанных из миллиметров.

Если ваши измерения уже указаны в миллиметрах, вы можете упростить их, переведя их в сантиметры, прежде чем приступить к расчету. Это даст ответ в сантиметрах без деления на 1000.Чтобы преобразовать размеры отверстия и хода в сантиметры, разделите каждое число на 10.

Диаметр отверстия = 103 ÷ 10 = 10,3 см

Сток = 92 ÷ 10 = 9,2 см

Рабочий объем = 10,32 x 9,2 x 0,7854 x 8 = 6 132,57 куб. См.

Это идентично нашему предыдущему расчету.

Если вы проводите мозговой штурм по комбинациям в метрических единицах, основные формулы для смещения, диаметра и хода по-прежнему применимы. Вам просто нужно быть осторожным, чтобы ваши единицы были прямыми, и все преобразования выполнялись должным образом.(См. Таблицу преобразования в Приложении B).

Как видите, опубликованные размеры не всегда совпадают с измеренными. Технический инспектор всегда руководствуется фактическими измеренными размерами в единицах, предусмотренных сводом правил. Если вы имеете дело с органом, принимающим санкции, всегда используйте указанные единицы, чтобы обеспечить легальную сборку двигателя.

Еще одно удобное преобразование, которое следует запомнить — из кубических дюймов в литры. Для преобразования разделите кубические дюймы на 61,024. Для нашего L99 Chevy расчетный рабочий объем двигателя составил 375.12 / 61.024, что составляет 6,147 литра (что Chevy округляет до 6,2 литра). Мы уже вычислили кубические сантиметры как 6 132,57. Делим на 1000, получаем 6,132 л. Это все еще довольно близко к точному, но вы можете видеть, как коэффициенты округления и преобразования могут исказить окончательный ответ.

Эквивалентный рабочий объем

Существует формула для расчета эквивалентного рабочего объема для двигателя без возвратно-поступательного движения, такого как роторный Mazda. Это помогает классифицировать невозвратно-поступательные двигатели по сравнению с обычными поршневыми двигателями.
Эквивалентное смещение = SV x 3

Где:
SV = фактический рабочий объем одной камеры роторного двигателя.

В этом случае вы должны заменить опубликованный рабочий объем, поскольку вы не можете растачивать и перемещать роторный двигатель.

Что такое расстояние между отверстиями?

Расстояние между отверстиями — это расстояние между осевыми линиями соседних отверстий цилиндров. Это помогает определить, насколько вы можете растачивать блок цилиндров без ослабления стенок цилиндров до точки потенциального отказа.Как показано, малоблочный Chevy имеет расстояние между отверстиями 4 400 дюймов. Обратите внимание на радиус соседних отверстий на иллюстрации, и вы увидите, что между отверстиями цилиндра для стенок цилиндра и водяной рубашкой есть 0,400 дюйма. Стенки цилиндра обычно имеют толщину от 0,180 до 0,200 дюйма с очень небольшим пространством для охлаждающей рубашки между ними.

Расстояние между отверстиями — это фиксированное расстояние между осевыми линиями соседних отверстий цилиндров. Размер отверстия может измениться, но расстояние между отверстиями останется постоянным.Как показано здесь, расстояние между отверстиями может помочь вам определить, насколько безопасно переточка вашего блока.

Стенки цилиндров в водяной рубашке имеют яйцевидную форму, и они сужаются между отверстиями, чтобы пропускать поток охлаждающей жидкости. Эта область касается усилия поршня и не подвергается максимальной нагрузке. На блоках с большим внутренним диаметром, таких как 400 Chevy, соседние стенки цилиндров соединены или покрыты материалом блока для сохранения прочности.

При растачивании блока вы снимаете половину внутреннего диаметра с каждой стороны цилиндра.При расточке 0,030 дюйма вы в целом теряете всего 0,015 дюйма материала. Большинство блоков допускают расширение диаметра до 0,060 дюйма без потери прочности стенок цилиндра, за исключением двигателей GM новой серии LS. В них используется железная втулка, диаметр которой можно просверлить только 0,010 дюйма. На практике не имеет значения, какой у вас двигатель. Ваш механический цех должен быть хорошо знаком с безопасными пределами растачивания большинства двигателей и может даже провести акустическую проверку цилиндров, чтобы определить, достаточно ли они толсты, чтобы соответствовать желаемому размеру внутреннего диаметра и конечному применению двигателя.

Некоторые двигатели (например, 305-кубовый Chevy) построены из тонкостенных литых деталей для уменьшения веса двигателя. Теоретически они никогда не будут подвергаться высоким оборотам или гоночным нагрузкам, поэтому в более толстых стенках нет необходимости. Эти блоки должны быть проверены ультразвуком перед любым значительным перенапряжением.

Напротив, старые блоки 283 Chevy были известны толстыми стенками цилиндров, которые допускали превышение внутреннего диаметра 0,125 дюйма. Это привело к 4,00-дюймовому диаметру ствола и хорошо известному двигателю хот-род 301-ci начала 1960-х годов.Позже завод продублировал этот двигатель с малым блоком 302 для первого поколения Z28 Camaro.

Sonic Checking

Звуковая проверка — это ультразвуковая процедура, которая обеспечивает точные измерения толщины стенки цилиндра для поддержки расчетов диаметра и хода. В то время как большинство заводских и вторичных гоночных блоков теперь поставляются с заводским листом звуковой проверки, многие строители предпочитают проверять лист, а в случае ранее просверленных блоков разумно определить толщину стенок цилиндра.Большинство гоночных блоков теперь имеют цилиндры с толщиной стенки не менее 0,250–0,300 дюйма, и важно сохранить как можно большую толщину стенки. Звуковая проверка — это не длительный процесс, и в большинстве магазинов, которые проводят ее регулярно, есть свои собственные листы для записи чисел. Устройство звуковой проверки поставляется со стандартами, которые используются для калибровки системы перед использованием. Они имеют известную толщину и имеют изогнутую форму, имитирующую отверстия цилиндров. Некоторые строители разбивают старые блоки и хранят изогнутые участки сломанных стенок цилиндров, чтобы использовать их в качестве реальных калибровочных образцов, которые можно легко измерить для сравнения.

После калибровки устройства на датчик наносится гель, и датчик плотно прижимается к стенке цилиндра в определенных местах в зависимости от типа блока. Большинство строителей предпочитают проверять цилиндры в четырех равноотстоящих местах, начиная с основной упорной поверхности и прокладывая путь вокруг ствола на 90 градусов за один раз примерно на 11⁄2 — 2 дюйма вниз от поверхности палубы. После того, как эти числа записаны, они повторяют тот же процесс примерно на полпути вниз по стволу.Некоторые даже записывают цифры на дне канала ствола. Когда процесс завершен, производитель и / или машинист имеет точную дорожную карту толщины стенок цилиндра блока.

Первичная, или основная, тяговая сторона расположена напротив вращения двигателя. Для вращения по часовой стрелке встаньте перед двигателем лицом к нему. Основная упорная поверхность — это левая сторона каждого ряда цилиндров; он направлен к пассажирской стороне блока для каждого цилиндра.Именно здесь вам нужны самые толстые показания — обычно 0,300 дюйма или лучше, но не менее 0,250 дюйма для гонок.

Сторона малой тяги — это противоположная стена или правая сторона всех цилиндров, если смотреть на переднюю часть блока. Если у вас есть вращение против часовой стрелки или, как в некоторых случаях, вы строите двигатель с обратным вращением, все основные упорные поверхности смещаются в противоположную сторону. Поверхности без упора, противоположные оси пальца кисти в каждом отверстии (передняя и задняя сторона каждого отверстия), обычно являются самыми тонкими, и некоторые строители фактически принимают стенки толщиной до 0.100 дюймов в этой области.

Практические расчеты

Возьмите калькулятор и заполните поля для следующих двигателей. Вычислите смещение для первых трех, ход для вторых трех и диаметр отверстия для последних трех. Сравните свои ответы с приведенными ниже.

Автомобиль
1. 1962 Chevy
2. 1968 Dodge
3. 1957 Ford
4. 1970 Плимут;
5. 1966 Pontiac
6. 1951 Ford
7. 1968 Chevy
8.1964 Форд
9. 1961 Додж

Диаметр цилиндра x ход
4,00 x 3,25 = ___________ ci
4,25 x 3,75 = ___________ ci
3,80 x 3,44 = ___________ ci
4,04 x ___________ = 340 ci
4,09 x ___________ = 421 ci
3,19 x __________30 = 239 ___________ = 239 3,48 = 350 ci
________ = x 3,78 = 427 ci
______ = x 3,75 = 413 ci

Написано Джоном Бэктелом и опубликовано с разрешения CarTechBooks

ПОЛУЧИТЕ СДЕЛКУ НА ЭТУ КНИГУ!

Если вам понравилась эта статья, вам понравится вся книга.Нажмите кнопку ниже, и мы отправим вам эксклюзивное предложение на эту книгу.

Страница не найдена | Футхилл Колледж

Мы поможем вам найти то, что вам нужно

Пришли на эту страницу после поиска в Google?

  • Попробуйте нашу поисковую систему NEW на базе
Также попробуйте выполнить следующие действия.

Рекомендации по поисковой навигации

Важное примечание о результатах поиска

Если неработающая ссылка включает .php:
  • На нашем устаревшем веб-сайте использовалось расширение файла .php .
  • Наш новый сайт использует .html
  • Если в результатах поиска по ключевым словам появляется вторичный вариант для .html , сначала попробуйте .html.
  • Некоторые из наших страниц все еще используют старый .php, пока они не будут перенесены на новый сайт.

Благодарим вас за терпение!

Сообщить о неработающей ссылке

Помогите нам исправить неработающую ссылку и получить необходимую информацию!

Электронная почта ceballosjulie @ fhda.edu и [email protected]

Укажите :

  • URL (веб-адрес) отсутствующей веб-страницы.
  • Электронное сообщение, в котором была неработающая ссылка, и от кого она была (если применимо).
  • URL-адрес (веб-адрес) сломанной страницы был связан с (если применимо).

Большое спасибо за терпение и помощь.

Поделитесь своим мнением

Если у вас есть минутка, мы хотели бы услышать, что вы думаете о нашем сайте!

Электронная почта [email protected] и [email protected]

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *