Свойства умножения натуральных чисел: переместительное, сочетательное, распределительное

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Арифметика Свойства умножения чисел с примерами

В данной публикации мы рассмотрим 4 основных свойства умножения натуральных чисел, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала.

• Свойства умножения чисел
  • Свойство 1: переместительный закон
  • Свойство 2: сочетательный закон
  • Свойство 3: распределительный закон
  • Свойство 4: умножение на ноль

Свойство 1: переместительный закон

От перестановки мест сомножителей их произведение не меняется.

a ⋅ b = b ⋅ a

Примеры:

• 5 ⋅ 8  = 8 ⋅ 5
• 14 ⋅ 29 = 29 ⋅ 14

Примечание: количество сомножителей может быть любым. Например, вот произведение трех чисел:

26 ⋅ 101 ⋅ 7 = 26 ⋅ 7 ⋅ 101 = 101 ⋅ 26 ⋅ 7 = 101 ⋅ 7 ⋅ 26 = 7 ⋅ 26 ⋅ 101 = 7 ⋅ 101 ⋅ 26

Свойство 2: сочетательный закон

Результат умножения одного числа на произведение других (например, второго и третьего) равен произведению первого и второго числа, умноженному на третье.

a ⋅ (b ⋅ с)  = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c

Т.е. соседние (и не только) сомножители (их может быть любое количество) можно заменять их произведением.

a ⋅ b ⋅ с ⋅ d = (a ⋅ b) ⋅ (c ⋅ d) = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ c) ⋅ (b ⋅ d)

Примеры:

• 25 ⋅ 4 ⋅ 10 = (25 ⋅ 4) ⋅ 10 = 25 ⋅ (4 ⋅ 10)
• 50 ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ 5 = (50 ⋅ 2) ⋅ (30 ⋅ 5)
• 20 ⋅ 6 ⋅ 15 ⋅ 4 ⋅ 11 = (20 ⋅ 4) ⋅ (6 ⋅ 15) ⋅ 11

Свойство 3: распределительный закон

Умножение на сумму чисел

Для умножения числа на сумму требуется это число отдельно умножить на каждое слагаемое, затем полученные результаты сложить.

a ⋅ (b + с)  =  a ⋅ b + a ⋅ c

Сомножители можно поменять местами (согласно переместительному свойству, рассмотренному выше):

(b + с) ⋅ a = a ⋅ b + a ⋅ c

Примеры:

• 54 ⋅ (13 + 17) = 54 ⋅ 13 + 54 ⋅ 17
• 16 ⋅ (4 + 22 + 78) = 16 ⋅ 4 + 16 ⋅ 22 + 16 ⋅ 78

Умножение на разность чисел

Чтобы число умножить на разность, нужно его отдельно умножить на уменьшаемое и вычитаемое, затем из первого результата вычесть второе.

a ⋅ (b – с)  =  a ⋅ b – a ⋅ c

Меняем сомножители местами и получаем:

(b – с) ⋅ a = a ⋅ b – a ⋅ c

Примеры:

• 9 ⋅ (18 – 5) = 9 ⋅ 18 – 9 ⋅ 5
• (63 – 48 – 20) ⋅ 3 = 63 ⋅ 3 – 48 ⋅ 3 – 20 ⋅ 3

Свойство 4: умножение на ноль

Если число (произведение чисел) умножить на ноль, в результате получится ноль.

a ⋅ 0 = 0

Примеры:

• 12 ⋅ 0  = 0
• 24 ⋅ 36 ⋅ 51 ⋅ 0 = 0

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

переместительное, сочетательное и распределительное — «Семья и Школа»

Содержание

Свойства умножения: переместительное, сочетательное и распределительное

• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42;

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a — b) = m · a — m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a — b) · m = a · m — b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Переместительное свойство умножения – определение (5 класс, математика)

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 79.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 79.

Переместительное свойство умножения очень похоже по своей сути на такое же свойство умножения. Тем не менее, часто ученики 5 класса, которые полностью овладели свойствами сложения, допускают ошибку в таких же по сложности законах умножения. Чтобы избежать этого разберемся подробнее в теме вопроса.

Что такое умножение?

Умножение это сокращенное сложение, базовые элементы которого принято знать наизусть. Под базовыми элементами понимается таблица умножения. Под упрощенным сложением имеется в виду то, что первый множитель показывает число, а второй сколько раз это число было сложено с самим собой.

В математике 3 ступени подобных упрощений. На первой стоит сложение, на второй умножение, а третьей возведение в степень. Возведение в степень это умножение числа на себя самого какое-то количество раз. Сколько раз нужно повторить умножение отражает показатель степени.

Закон или свойство?

Для того, чтобы не путаться, нужно разобраться, как правильно называть законы умножения. Законами или все же свойствами?

Проблема в том, что закон это непреложное правило, а свойство это некоторая особенность действия. И то, и другое верно для свойств умножения. Поэтому никакой разницы в названиях нет. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения. Однако ошибкой не будет назвать свойства сложения законами сложения и наоборот.

Свойства умножения

Распределительное свойство может применяться и относительно вычитания или деления. С помощью этого свойства раскрывают скобки в примерах при необходимости.

Переместительное свойство

Правильное использование определения переместительного свойства умножения может увеличить скорость счета. К сожалению, специальных правил группировки нет. Нужно полагаться только на собственный опыт и логику. Рассмотрим небольшой пример, чтобы показать применение свойства на практике:

((15*25*7*3:125)-3):12 – в этом примере упростить можно только правильно сгруппировав произведение в скобках для ускорения деления. Для этого представим число 15 в виде произведения 3*5

((15*25*7*3:125)-3):12=((5*3*25*7*3:125)-3):12 теперь перемножим 5 и 25, выполним деление произведения на число. Для этого можно только один из множителей разделить на это число, а потом результат использовать, как один из множителей.

(((5*25)*3*7*3:125)-3):12=((125*3*7*3:125)-3):12=(3*3*7-3):12=(9*7-3):12=(63-3):12=60:12=5

Без переместительного свойства не удалось бы правильно сгруппировать множители, а значит пришлось бы считать пример полностью, что отняло бы большое количество времени.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Решили, что понятия свойств и законов умножения одинаковы. Выделили свойства умножения и рассмотрели примеры переместительного свойства умножения. Сказали об особенностях этого свойства и его практическом значении.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 79.

---

А какая ваша оценка?

Что такое переместительное свойство умножения

Что такое переместительное свойство умножения в математике?

Коммутативный происходит от слова «коммутировать», которое можно определить как передвижение или путешествие. Согласно свойству перестановочности умножения изменение порядка умножаемых чисел не меняет произведения.

Давайте разберемся на примере.

Пример коммутативного свойства умножения

Поместите 3 кирпича в ряд.

Теперь положите еще один ряд кирпичей над этим рядом.

Повторите этот процесс 4 раза.

 Теперь подсчитайте количество использованных кирпичей.

Всего кирпичей $=$ Количество рядов $\times$ Количество кирпичей в каждом ряду 

                      $=  4 \times 3$

                                    

Поместите еще два ряда над этим рядом.

Всего кирпичей $=$ Количество рядов $\times$ Количество кирпичей в каждом ряду

                    $=  3 \times 4$ 

                     $ = 12$

Мы заметили, что замена количества рядов на количество кирпичей в каждом ряду не меняет общего количества необходимых кирпичей.

Что такое умножение?

Умножение есть не что иное, как многократное сложение. Он обозначается символами «*», «.» и «✕».

Посмотрим, что такое многократное сложение, на данном примере:

Пример: Обезьяна прыгает с одной точки на другую. Он преодолевает одну единицу расстояния с каждым прыжком. Сколько юнитов он покроет за 5 прыжков?

Решение: Из приведенного выше утверждения мы можем сказать, что 1 прыжок $= 1$ единице. Давайте посмотрим на это изображение.

Итак, мы видим, что обезьяна покрывает $1+1+1+1+1 = 5$ единиц

Мы также можем записать это как $1 \times 5 = 5$ единиц.

Теперь обратите внимание, что для каждого шага нам нужно добавить «1» к предыдущему. Вот почему мы можем сказать, что умножение есть не что иное, как многократное сложение.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример: Робин хочет купить 3 плитки шоколада. Каждый слиток стоит $\$$ 10. Сколько денег нужно Робину, чтобы купить 3 слитка?

Эту проблему можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба метода.

Метод 1:  

Количество шоколадок  $\times$ Стоимость каждой шоколадки 

$= 3$ $\times $ $\$$ 10

$=$ $\$$ 30

Метод :  

Стоимость каждой шоколадки $\times$ Количество шоколадок

 $=$ $\$$ 10 $\times$ $3$ 

  $=$ $\$$ 30

Мы заметили, что

9 порядок, в котором мы умножали количество плиток шоколада и стоимость каждой плитки, не меняет требуемого количества.

Коммутативное свойство умножения 

Вы должны быть знакомы с таблицами до 5.

Вы наблюдали 

$1 \times 2  = 2  \times 1 = 2$

$2 \times 4  = 4  \times 2 = 8$ 

$3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$

Итак, мы можем заключить, что порядок умножения чисел не меняет окончательный ответ.

Вы знаете?  

Если вы помните таблицы до 5, вы можете вычислить умножение больших таблиц, используя свойство коммутативности.

Например:

Если вы знаете 

Пять умножить на восемь, т. е. $5 \times 8 = $ ?

Вы также можете ответить 

Восемь раз по пять, т. е. $8 \times 5  =$ ?

Оба равны 40. 

Факт для запоминания

Свойство коммутативности применимо только к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению.

Давайте разберемся на примерах.

Альтернативный тег: Коммутативное свойство выполняется в случае умножения

Итак, мы можем заключить, что свойство коммутативности применимо к сложению и умножению, а не к вычитанию и делению.

Заключение

В заключение можно сказать, что

• Умножение есть не что иное, как многократное сложение.
• Коммутативное свойство означает, что конечный результат не изменится, если мы изменим порядок.
• Умножение и сложение следуют коммутативному свойству.

Решенные примеры

Пример 1: Заполните пропуски.

1. $4 \times 5 = 5 \times \underline{}$

      Решение:   $4  \times  5  =  5 \times  4$

\times 4 {times 6 \times 3}

Решение:  $3 \times \underline{} $6$ \underline{} = 6 \times 3$

3. $2  \times  1  = 1  \times \underline{}$

Решение: $ 2 900 раз  1  = 1  \times  2$

4. $3 \times 6 \times \underline{} =  3 \times 2 \times 6$

Решение: $ 3 \ Times 6 \ Times 2 = 3 \ Times 2 \ Times 6 $

5. $ 16 \ Times 2 \ Times 4 = 2 \ Times \ Underline {} \ Times 4 $

4 Решение:  $16 \times 2 \times 4 =  2 \times 16  \times  4$

6. $9 \times \underline{} \times  2  =   8 \times \underline{} \times 2$ 

       9 Решение : $9 \times \underline{} 8 \underline{} \times 2  =   8 \times 9 \times 2$

Пример 2: Дополните следующий оператор:

Свойство коммутативности говорит о том, что порядок чисел в _________ и _________ не меняет результат.

Решение: 

Свойство коммутативности говорит о том, что порядок чисел в умножении и сложении не меняет результат.

Только умножение и сложение следуют свойству коммутативности.

Практические задачи

$5 \times 6 \times 4$

$645$

$6+4+5$

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: $5 \times 6 \times 4$
Объяснение. умножения, если изменить порядок чисел, произведение останется прежним.

Коммутативное свойство при дополнении

Коммутативное свойство при умножении

Ассоциативное свойство при умножении

Ассоциативное свойство при дополнении

Правильный ответ: Переместительное свойство при умножении
Объяснение: Согласно переместительному свойству умножения, если изменить порядок чисел, произведение останется прежним.

Переместительное свойство при сложении

Переместительное свойство при умножении

Ассоциативное свойство при умножении

Ассоциативное свойство при сложении

Правильный ответ: Переместительное свойство при сложении
Пояснение: Согласно переместительному свойству сложения, если порядок чисел изменится, дополнение останется прежним.

$6 \times 4 \times 5$

$645$

$6 + 5 + 4$

$546$

Правильный ответ: $6 + 5 + 4$
Пояснение: Согласно свойству коммутативности сложения, если порядок чисел изменен, сложение останется прежним.

Часто задаваемые вопросы

Какие операции не следуют коммутативному свойству?

Вычитание и деление не следуют свойству коммутативности.

Можем ли мы применить свойство коммутативности к умножению 4 чисел?

Да, мы можем применить свойство коммутативности для умножения 4 чисел.

Например, $4 \times 5 \times 6 \times 7 = 7 \times 5 \times 6 \times 4$

В чем разница между ассоциативным и коммутативным свойством умножения?

Ассоциативный признак умножения утверждает, что при изменении группировки чисел произведение чисел остается прежним. $(\text{A B})$ $\text{C} = \text{A}$ $(\text{B C})$ так выражается ассоциативное свойство умножения.

Коммутативное свойство умножения утверждает, что даже если изменить порядок чисел, произведение двух или более целых чисел останется прежним. Коммутативность умножения представлена ​​в виде $\text{A B C} = \text{C B A}$.

Что такое коммутативная собственность? Определение, формула, примеры

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство утверждает, что числа, с которыми мы работаем, можно перемещать или менять местами с их позиции без какого-либо изменения ответа. Это свойство справедливо для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Посмотрим.

Приведенные выше примеры ясно показывают, что свойство коммутативности верно для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Итак, если мы поменяем местами числа в операторах вычитания или деления, это изменит всю проблему.

Итак, математически коммутативное свойство сложения и умножения выглядит так:

Коммутативное свойство сложения:

a + b = b + a; где a и b — любые 2 целых числа

Коммутативное свойство умножения:

а × б = б × а; где a и b — любые 2 ненулевых целых числа

Варианты использования коммутативного свойства

1. У Майры 6 яблок и 2 персика. У Ким 2 яблока и 6 персиков. У кого больше фруктов?

Даже если у обоих разное количество яблок и персиков, у них равное количество фруктов, потому что 2 + 6 = 6 + 2.

2. Сара покупает 3 упаковки булочек. В каждой упаковке по 4 булочки. Мила покупает 4 упаковки булочек, в каждой по 3 булочки. Кто купил больше булочек?

Даже если у обоих разное количество упаковок с булочками, причем в каждом из них разное количество булочек, они оба купили одинаковое количество булочек, потому что 3 × 4 = 4 × 3.

Пример 1: Заполните пропущенные числа, используя свойство коммутативности.

1. _________ + 27 = 27 + 11
2. 45 + 89 = 89 + _________
3. 84 × ______ = 77 × 84
4. 118 × 36 = ________ × 118

Решение:

1. 11; по коммутативному свойству сложения
2. 45; по коммутативному свойству сложения
3. 77; по коммутативности умножения
4. 36; по коммутативному свойству умножения

Пример 2: Используйте 14 × 15 = 210, чтобы найти 15 × 14.

Решение:0005

Так как 14 × 15 = 210, то 15 × 14 также равно 210.

Пример 3: Используйте 827 + 389 = 1,216, чтобы найти 389 + 827. Кроме того, 827 + 389 = 389 + 827. 

Так как 827 + 389 = 1216, значит, 389 + 827 также равно 1216.

Пример 4:

Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы записать уравнение 3 + 5 + 9 = 17 в другой последовательности слагаемых.

Решение:

3 + 9 + 5 = 17 (поскольку 5 + 9 = 9 + 5)

5 + 3 + 9 = 17 (поскольку 3 + 5 = 5 + 3)

5 + 9 + 3 = 17 (потому что 3 + 9 = 9 + 3)

Точно так же мы можем переставить слагаемые и написать:

9 + 3 + 5 = 17

9 + 5 + 3 = 17

Пример 4: Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой. Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой. Они купили одинаковое количество ручек или нет?

Решение: 

Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой.

Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 3 × 6

Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой.

Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 6 × 3

По свойству перестановочности умножения 3 × 6 = 6 × 3. 

Итак, и Бен, и Мия купили равное количество ручек.

Пример 5: У Лизы 78 красных и 6 синих шариков. У Бет есть 6 упаковок по 78 шариков в каждой. У них одинаковое количество шариков?

Решение:

Так как у Лизы 78 красных и 6 синих шариков.

Итак, общее количество шариков у Лизы = 78 + 6

У Бет 6 пакетов по 78 шариков в каждом.

Итак, общее количество шариков с Бет = 6 × 78

Очевидно, что сложение и умножение двух чисел дает разные результаты. (Кроме 2 + 2 и 2 × 2.

То есть 78 + 6 ≠ 6 × 78

Итак, у Лизы и Бет не одинаковое количество шариков.

Практические задачи

8 + 5 = 5 + 8

8 × 5 = 5 × 8

8 + 5 = 8 – 5

8 + 5 = 5 × 8

Согласно свойству коммутативности сложения сумма не меняется при перестановке слагаемых. То есть а + b = b + а.

7 × $\frac{1}{7}$ = 1

7 × 1 = 7

7 × 3 = 3 × 7

7 × 0 = 0

Правильный ответ: 7 × 3 = 3 × 7
Согласно коммутативному свойству умножения, произведение остается тем же при замене местами множимого и множителя. То есть а × b = b × а.

15 ÷ 3

15 × 3

15 – 3

3 ÷ 15

Правильный ответ: 15 × 3
Коммутативное свойство не выполняется для деления и вычитания.

5, 5

4, 4

5, 4

4, 5

Правильный ответ: 4, 5
5 + 4 = 4 + 5
(по коммутативному свойству)

Часто задаваемые вопросы

Можете ли вы применить свойство коммутативности сложения/умножения к трем числам?

Да. По определению коммутативность применяется к 2 числам, но результат остается тем же и для 3 чисел. Это потому, что мы можем применить это свойство к двум числам из 3 в различных комбинациях.

Какие операции не следуют свойству коммутативности?

Коммутативное свойство не применимо к вычитанию и делению.

Ассоциативные и коммутативные свойства умножения

Коммутативная недвижимость — мультиплизация

Представьте проблему, «Хуанита говорит 6 × 3 = 18 и 3 × 6 = 18. Хунита маленький брат Фабион понять. Давайте поможем Хуаните объяснить это Фабио.

Попросите учащихся работать в парах. Убедитесь, что в каждой паре не менее 40 цветных плиток — по 20 двухцветных.

«Как мы читаем 6 ×  3 = 18?» ( 6 групп по 3 ) Используйте плитки одного цвета, чтобы построить 6 групп по 3, как показано на рисунке.

 

«Как мы читаем 3 ×  6 = 18?» ( 3 группы по 6 штук ) Используйте плитки другого цвета, чтобы построить 3 группы по 6 штук, как показано на рисунке.

 

Поверните синий прямоугольник, чтобы показать, что он конгруэнтен (равен) зеленому прямоугольнику.

«Теперь мы использовали цветные плитки, чтобы показать Фабио, что вы можете умножать 6 × 3 или 3 × 6  

, и произведение будет таким же, 18. Но теперь Фабио хочет знать, можно ли умножить три числа в любом порядке и получить то же самое произведение».

Раздайте по крайней мере один калькулятор каждой паре учащихся. Раздайте миниатюрные доски пяти учащимся. Попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения × . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках.

Попросите пары учащихся вычислить произведение с помощью калькулятора. Например, если на пяти миниатюрных досках написано 8 × 5 × 6, учащиеся должны вычислить это с помощью калькулятора. (Произведение равно 240.) Попросите одного учащегося написать числовое выражение или уравнение на доске, как 8 × 5 × 6 = 240. Теперь попросите учащихся, держащих доски с числами, передвигаться, чтобы составить новое числовое выражение, например, 6 × 8 × 5. Попросите учащихся снова вычислить произведение с помощью калькуляторов. Попросите другого учащегося написать числовое выражение или уравнение на доске, как 6 × 8 × 5 = 240.

Попросите учащихся, держащих доски, переместиться, чтобы составить новое числовое выражение, например 5 × 6 × 8. Попросите учащихся вычислить произведение с помощью калькуляторов и попросите одного из учащихся написать числовое выражение на доске.

Попросите новую группу из пяти учеников подержать доски. Снова попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения × . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Повторите задание, попросив учащихся найти произведение как минимум двух разных предложений с числами умножения, используя три числа, записанные в разном порядке.

Познакомить с формальным языком коммутативного свойства , хотя вы не должны требовать от учащихся знания этого термина. «Умножение чисел можно выполнять в любом порядке, и произведение всегда будет одним и тем же.

Математики говорят, что умножение коммутативно , а это значит, что его можно выполнять в любом порядке. Почему это важно? Мы очень скоро найдем ответ на этот вопрос, но сначала рассмотрим еще одно свойство умножения».

Ассоциативное свойство — умножение

Раздайте миниатюрные доски пяти разным ученикам. Попросите двух учеников написать знак умножения  на своих досках. Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Нарисуйте по одной скобке на каждой из первых двух досок с числами (например, (7 × 5) × 4).

Попросите пары учащихся вычислить произведение с помощью калькулятора. Обязательно сначала помогите учащимся научиться считать в скобках. В примере (7 × 5) × 4 попросите учащихся сначала вычислить 7 × 5. Попросите учащихся, держащих доски (7 × 5), отойти в сторону. Попросите одного учащегося написать 35 на другой доске и держать его вместо количества (7 × 5). Напишите на доске упрощенную версию числового предложения 35 × 4.

Теперь попросите учащихся посчитать: 35 × 4 = 140,9.0005

Попросите первых пятерых учеников вернуться на свои места. Вместо этого заключите в скобки два последних числа (например, 7 × (5 × 4)). Попросите учащихся сначала выполнить вычисления в скобках. Попросите одного учащегося взять другую доску, чтобы представить продукт, и записать на доске упрощенную версию числового предложения 7 × 20. Теперь попросите учеников вычислить: 7 × 20 = 140.

Попросите новую группу из пяти учеников держать доски. Снова попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения  . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Повторите задание, попросив учащихся найти произведение по крайней мере двух разных предложений с числами умножения, используя три написанных числа и используя скобки для группировки различных наборов чисел.

Познакомить с формальным языком ассоциативного свойства , хотя вы не должны требовать от учащихся знания этого термина. «Умножение чисел даст один и тот же продукт, даже если числа сгруппированы по-разному. Математики говорят, что умножение ассоциативно, означает, что числа можно перегруппировать. Почему это важно? Мы будем искать ответ на этот вопрос прямо сейчас!»

Умственная арифметика — Применение свойств

«Хуанита и Фабио делали домашнее задание. Проблема была 6 × 2 × 5 . Хуанита быстро назвала 60, не пользуясь калькулятором. Фабио сказал, что оно равно 12 × 5 , но он все еще работал. Как, по-вашему, Хуанита так быстро умножила эти три числа? Учащиеся, вероятно, узнают, что Хуанита сначала умножила 2 и 5, а затем умножила на 6. Эти свойства позволяют учащимся выполнять вычисления быстрее и точнее. По этой причине учащиеся должны знать, как применять эти свойства, но стандарты явно не требуют от учащихся знания названий свойств.

Приведите еще два примера для обсуждения в классе. Эти примеры подготовят учащихся к практическому листу «Сделай это проще».

Напишите на доске 4 × 9 × 2. Спросите студентов, : «Как мы можем переписать это числовое выражение, чтобы его было легче умножать в уме?» Учащиеся могут предлагать различные числовые предложения в зависимости от того, какие факты умножения они считают наиболее простыми для вычисления. Попросите одного учащегося переписать числовое предложение на доске. Сравните относительную простоту вычислений для обоих числовых предложений.

Большинство учащихся, вероятно, поймут, что 4 × 2 × 9, как правило, легче вычислить, чем 4 × 9 × 2. Умножая числа слева направо, 4 × 2 × 9 становится 8 × 9, тогда как 4 × 9 × 2 становится 36. × 2. Оба произведения равны 72.

Напишите на доске (8 × 6) × 5. «В этом выражении используются круглые скобки ( ). В математике круглые скобки используются для группировки определенной части числового предложения вместе — отдельно от других частей. Скобки также показывают нам, какую часть числового предложения мы должны вычислить в первую очередь. Например, как сейчас пишется числовое предложение, мы должны умножить 9.0004  , а затем умножьте это произведение на 5. Но мы можем упростить задачу! Как мы можем переписать это числовое выражение, чтобы его было легче умножать в уме?» Попросите одного из учащихся переписать числовое выражение на доске. Сравните относительную простоту вычислений для обоих числовых предложений.

Большинство учащихся, вероятно, поймут, что (8 × 5) × 6, как правило, легче вычислить, чем (8 × 6) × 5. Если сначала умножить числа в скобках, (8 × 5) × 6  получится 40 × 6, тогда как ( 8 × 6) × 5 становится 48 × 5. Оба произведения равны 240,

Раздайте копию рабочего листа «Упрости задачу» (M-3-5-3_Make It Easier и KEY.docx) всем учащимся. Напомните учащимся использовать свойства, чтобы сделать умножение быстрым и легким в уме. Предоставляются образцы решений.

Для дальнейшей оценки усвоения учащимися концепций урока используйте лист Коммутативной и ассоциативной практики (M-3-5-3_Коммутативная и ассоциативная практика и KEY. docx).

Дополнительный номер:

В разделе «Распорядок дня» представлены предложения по пересмотру концепции урока в течение года. Секция малых групп предназначена для студентов, которым было бы полезно дополнительное обучение или практика. Раздел «Расширение» содержит идеи для сложных задач учащихся, готовых выйти за рамки требований стандарта.

• Обычные: Чтобы помочь учащимся повторить использование этих операций, продолжайте подчеркивать их полезность при выполнении вычислений в уме. Не побуждайте учащихся браться за калькулятор, чтобы умножить 5 × 24 × 2 или (5 × 9) × 6. Вместо этого предложите учащимся найти «более простой» способ их вычисления, например 5 × 2 × 24 и (5 × 6) × 9. Эти свойства также могут быть очень полезны, когда учащиеся учатся умножать двузначные и трехзначные числа.
• Малая группа: Студенты, которым требуется дополнительная практика, могут быть объединены в небольшие группы для работы над дополнительными задачами, в которых используются эти свойства. Основное внимание должно быть уделено поддержке учащихся в определении того, как упростить вычисления. Обязательно подробно обсудите причины каждого решения. Используйте миниатюрные доски для решения этих задач, поощряя учащихся предлагать, как перемещать доски, чтобы упростить вычисления. (Поскольку группа небольшая, разложите мини-доски на столе, а не давайте их держать учащимся.) Дополнительные задачи приведены в практическом листе «Дополнительные примеры» (M-3-5-3_Дополнительные примеры и KEY.docx). Если учитель не может помочь небольшой группе, учащиеся могут самостоятельно найти дополнительные инструкции на следующем веб-сайте.

http://www.coolmath.com/preалгебра/06-properties/02-properties-commutative-multiplication-02.htm

• Расширение: Учащиеся, готовые к более сложной задаче, должны работать в группах по два или три человека. сыграть в следующую игру, посвященную коммутативным, ассоциативным, дистрибутивным и мультипликативным свойствам тождества. Дается описание каждого свойства. http://www.aaamath.com/pro74b-propertiesmult.html

Коммутативные и ассоциативные свойства умножения

MightyOwl — Commutative and associative properties of multiplication

More

3rd

grade

Math

lessons:

3rd

Math

Telling time and elapsed time problems

3rd

Math

Multiplication word задачи — составление математических уравнений из предложений

3-я

Математика

Умножение с использованием массивов

3-я

Математика

Найти решение с распределением

3 -й

Математика

Квадратные квадратные нормы

3 -й

Math

Включите объем и удерживайте массу

3 -й

Math

Введение в Multiplication

Математика

.