Сочетательное свойство умножения – примеры, правила (5 класс, математика)

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 166.

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 166.

Сочетательный и переместительный законы умножения о многом похожи на свойства сложения. Возможно поэтому, ученики 5 классов часто путают свойства, из-за чего допускают в теоретических вопросах. Чтобы избежать таких проблем в дальнейшем и окончательно разобраться в вопросе рассмотрим данную тему подробнее.

Умножение

На самом деле, схожесть свойств сложения и умножения появилась не на пустом месте. Умножение это сокращенный вариант сложения, где первый множитель указывает на число, которое складывалось само с собой. Второй множитель показывает количество слагаемых. На практике это выглядит так:

3*4=3+3+3+3 – число 3 складывалось с самим собой 4 раза.

Свойства умножения

Вспомнит свойства сложения. Их всего два:

• От перемены мест слагаемых сумма не меняется – переместительное свойство.
• Если складывается несколько чисел, то можно сложить два числа, результат сложить с третьим и так далее – сочетательное свойство.

В математике два основных раздела: алгебра и геометрия. В алгебре понятия свойства и закона довольно схожи, особенно на школьном уровне математики. Поэтому свойства сложения иногда зовутся законами. Та же ситуация присутствует и в умножении. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения, хотя назвать законы умножения свойствами можно. Это не будет являться ошибкой.

По аналогии с свойствами сложения выделяют два свойства умножения:

• Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется. Действительно, если подумать, то нет никакой разницы, сложить 3 раза число 4 или сложить 4 раза число 3. Результат от этого не поменяется.
• Сочетательный закон: если в произведении больше 2 множителей, то можно перемножить 2 числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. Например: 3*4*5=12*5=60

К этим двум законам добавляется третий: распределительный. Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что если число умножается на сумму, то можно умножить это число на каждое из слагаемых, а результаты сложить. Распределительный закон в математике часто используют для раскрытия скобок.

Сочетательный закон умножения

Сочетательное свойство умножения необходимо для больших вычислений.

Сочетательный закон сложения можно использовать вместе с переместительным для ускорения расчетов. С умножением все не так просто, зачастую лучше умножать числа в том виде, в каком они записаны. Исключение из этого правила только одно: если ученик уверен, что какое-то произведение точно даст число 10 или любое из его степеней, то есть числа 100, 1000 и так далее, то нужно в первую очередь перемножить эти числа.

Приведем небольшой пример сочетательного свойства умножения.

15*3*4*5+1*2*3*4*5*6 – в первом слагаемом есть возможность немного упростить расчет, во втором такой возможности нет. Вычислим каждое из слагаемых по очереди, а потом сложим результаты.

15*3*4*5=(15*3)*(4*5)=45*20=900 – за счет правильной группировки множителей получилось немного облегчить расчет. Никаких правил здесь нет, все решает только опыт. Именно для приобретения навыков правильной группировки чисел и нужно выполнять огромное количество примеров.

1*2*3*4*5*6=2*3*4*5*6=6*4*5*6=24*5*6=120*6=720

Выполним сложение и получим результат: 900+720=1620

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Провели аналогии со сложением и выделили три свойства умножения. Отдельно поговорили о сочетательном законе умножения, а также привели пример его использования.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Игорь Сайфутдинов

  8/10

• Вика Бохонова

  10/10

Оценка статьи

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 166.

---

А какая ваша оценка?

«Сочетательное свойство умножения».

3-й класс

Цель: учить упрощать выражение, содержащее только действия умножения.

Задачи (Слайд 2):

• Познакомить с сочетательным свойством умножения.
• Формировать представление о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.
• Развивать представления в возможности решения «жизненных» задач средствами предмета «математика».
• Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
• Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.

Тип урока: изучение нового материала.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.

Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.

II. Устный счёт

– Посчитаем устно:

1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица умножения)

2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее» (Слайд 8)

• 485      45       864        947     670  134   (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 – двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
• 9      45        72        90         54       81          27       22    18  (9 – однозначное, 22   не делится  на 9)

Строка чистописания.  Прописать в тетради числа, чередуя: 45     22   670     9     

– Подчеркнуть  самую аккуратную запись числа

III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд 9)

– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока

IV. Подготовка к изучению нового материала

а) Верно ли выражение

На доске запись:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7)  = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное свойство?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Какие свойства сложения мы применяются в данном случае?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.

При этом вычисления можно выполнять в любом порядке.

– В таком случае как называется ещё одно свойство сложения? (Переместительное)

(2 * 6) * 3 = 12 * 3

– Вызывает ли это выражение затруднение? Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число на однозначное)

V. Изучениенового материала

1) Если мы будем выполнять умножение в том порядке, в каком записаны выражения, то возникнут трудности. Что же поможет нам снять эти трудности?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё предположение о результатах, которые получат Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).

3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений. Устно.

Запись на доске:

(5 • 2) • 3 и 5 • (2 • 3)

(4 • 7) • 5 и 4 • (7 • 5)

4) Сделай вывод. Правило.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на примерах

5) Коллективная работа

На доске: (8 • 3) • 2,     (6 • 3) • 3,     2 • (4 • 7)

VI. Физминутка

1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)

Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.

2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».

– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов против часовой стрелки.

VII. Закрепление изученного

1) Работа по учебнику. решение задачи. (Слайд 11)

(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это задача. (Есть условие, вопрос)
– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6, трёхлитровые)
– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в каждой банке по 3 литра сока)
– Какая это задача по структуре? (Составная задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос задачи или для решения требуется составление выражения)
– Тип задачи? (Составная задача на последовательные действия))
– Решите задачу без краткой записи составлением выражения. Для этого используйте следующую карточку:

Карточка-помощница

  •  (  •  )

– В тетради решение задачи можно оформить следующим образом: (3 • 6) • 3

– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?

Решение.

(3 • 6) • 3 = (3 • 3) • 6 = 9 • 6 = 54 (л).
3 • (3 • 6) = (3 • 3) • 6 = 9 • 6 = 54 (л )

Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.

2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)

– Поставь знаки, не вычисляя:

(15 * 2) *4          15 * (2 * 4)  (–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6            7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0        1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2            3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4           (4 * 2) * 3 

Проверка: (Слайд 13)

(15 * 2) * 4      =   15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6       >     7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0   <     1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2       >      3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4      =    (4 * 2) * 3 

3) Самостоятельная работа (по учебнику)

(с. 71, № 307 – по вариантам)

1 в.  (8 • 2) • 2 =           (6 • 2) • 3 =            (19 • 1) • 0 =
2 в.   (7 • 3) • 3 =            (9 • 2) • 4 =            (12 • 9) • 0 =

Проверка:

1 в.  (8 • 2) • 2 = 32         (6 • 2) •3 = 36            (19• 1) •  0 = 0.
2 в.  (7 • 3) • 3 = 63         (9 • 2) • 4 = 72           (12 • 9) • 0 = 0

Свойства умножения: (Слайд 14).

• Переместительное свойство
• Сочетательное свойство

– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд 15).

• Чтобы быстро считать
• Выбирать рациональный способ счета
• Решать задачи

VIII. Повторение пройденного материала. «Ветряные мельницы». (Слайд 16, 17)

• Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три числовых выражения (1 вариант)
• Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три числовых выражения (2 вариант)

485 +    38 523		583 +    38 621		681 +  38 719
583 –    38 545		545 –   38 507		507 –   38 469

Учащиеся выполняют задания по вариантам (двое учащихся решают задания на дополнительных досках).

Взаимопроверка.

IХ. Итог урока

– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного свойства умножения?

Х. Рефлексия

– Кто считает, что понял смысл сочетательного свойства умножения? Кто доволен своей работой на уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы довольны своей работой, то поставьте руки на локти и покажите мне ладошки. А если вы были чем-то расстроены, то покажите мне обратную сторону ладошки.

XI. Информация о домашнем задании

– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?

По выбору:

1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с решением

Оценки за урок.

Ассоциативное свойство умножения — формула, примеры, часто задаваемые вопросы

Ассоциативное свойство умножения утверждает, что способ группировки чисел в задаче на умножение не влияет на произведение этих чисел и не изменяет его. Другими словами, произведение трех и более чисел остается неизменным независимо от того, как они сгруппированы. Давайте узнаем больше об ассоциативном свойстве умножения в этой статье.

1.	Что такое ассоциативное свойство умножения?
2.	Ассоциативное свойство формулы умножения
3.	Ассоциативное свойство умножения и сложения
4.	Часто задаваемые вопросы об ассоциативном свойстве умножения

Что такое ассоциативное свойство умножения?

В соответствии с ассоциативным свойством умножения , если умножить три или более чисел, мы получим один и тот же результат независимо от того, как эти три числа сгруппированы. Здесь под группировкой понимается способ расстановки скобок в данном выражении умножения. Обратите внимание на следующий пример, чтобы понять концепцию ассоциативного свойства умножения. Выражение в левой части показывает, что 6 и 5 сгруппированы вместе, тогда как выражение в правой части группирует 5 и 7 вместе. Однако, когда мы, наконец, умножаем все числа, получается одно и то же.

Ассоциативное свойство формулы умножения

Формула ассоциативности умножения: (a × b) × c = a × (b × c). Эта формула говорит нам, что независимо от того, как расставлены скобки в выражении умножения, произведение чисел остается одним и тем же. Группировка чисел с помощью скобок помогает создавать более мелкие компоненты, что упрощает вычисление умножения. Обратите внимание на следующую формулу ассоциативного свойства умножения.

Давайте поймем формулу с помощью чисел. Например, умножим 2 × 3 × 4 и посмотрим, как доказывается формула ассоциативности умножения с помощью следующих шагов:

• Шаг 1: Сгруппируем 2 и 3 вместе, составив (2 × 3) × 4. Если мы найдем произведение этого выражения, мы получим 6 × 4, что равно 24.
• Шаг 2: Теперь давайте сгруппируем 3 и 4 вместе, чтобы получилось 2 × (3 × 4). Если умножить это выражение, получится 2 × 12, что снова дает произведение 24,9.0058
• Шаг 3: Это означает, что независимо от того, как мы группируем числа в выражении умножения, произведение остается одним и тем же.

Ассоциативное свойство умножения и сложения

Ассоциативное свойство утверждает, что умножение и сложение чисел могут выполняться независимо от того, как они сгруппированы. Например, чтобы добавить 7, 6 и 3, если мы сгруппируем их как 7 + (6 + 3), сумма, которую мы получим, равна 16. Теперь давайте сгруппируем это как (7 + 6) + 3, и мы увидим что сумма снова равна 16. Это ассоциативное свойство сложения, которое применимо и к умножению. Например, давайте умножим 7, 6 и 3 и сгруппируем числа как 7 × (6 × 3). Произведение этих чисел равно 126. Теперь, если мы сгруппируем числа как (7 × 6) × 3, мы получим то же самое произведение, то есть 126. Обратите внимание на следующий рисунок, который показывает ассоциативное свойство умножения и сложения.

Советы по ассоциативному свойству умножения:

Вот несколько важных моментов, связанных с ассоциативным свойством умножения:

• Ассоциативное свойство всегда применяется к 3 или более числам.
• Ассоциативное свойство существует при сложении и умножении и не может быть применено к вычитанию и делению.

☛ Похожие статьи

• Коммутативное свойство умножения
• Свойство мультипликативной идентичности
• Распределительное свойство умножения
• Нулевое свойство умножения
• Ассоциативное свойство дополнения
• Распределительная собственность
• Аддитивное свойство идентичности

 

Примеры ассоциативного свойства умножения

1. Пример 1: Какое из двух выражений эквивалентно 8 × 3 × 4?

   a. ) (8 × 3) × 4

   b.) 24 × 4

   c.) 11 × 4

   Решение:

   Продукт данного экспрессии является экспрессией. 8 × 3 × 4 = 96. Теперь давайте проверим произведение следующих выражений.

   a.) Произведение (8 × 3) × 4 равно 96.

   b.) Произведение 24 × 4 равно 96.

   c.) Произведение 11 × 4 равно 44.

   Следовательно, первые два выражения эквивалентны 8 × 3 × 4. Для первого выражения мы использовали ассоциативное свойство умножения, чтобы сгруппировать вместе 8 и 3, а второй вариант является упрощенной формой первого варианта. Итак, оба верны.

2. Пример 2: Выберите правильное число, чтобы заполнить пробел в выражении: 5 × (4 × 3) = (5 ×___) × 3
   а.) 3
   б.) 4
   c.) 5

   Решение:

   Ассоциативное свойство умножения утверждает, что a × (b × c) = (a × b) × c. Итак, подставив данное уравнение в эту формулу, мы получим в качестве ответа 4. Правильный вариант (b) 4 означает, что произведение обеих сторон будет равно 60, если мы поместим 4 в пропуск.

3. Пример 3: Вставьте пропущенное число в поле.
   10 × (8 × 7) = (10 × 8) × ___
   Решение:

   Согласно ассоциативному свойству умножения: a × (b × c) = (a × b) × c. Подставляя значения в формулу: 10 × (8 × 7) = (10 × 8) × 7

   Следовательно, пропущенное число будет 7, так как произведение обоих выражений равно 560.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по ассоциативному свойству умножения

 

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об ассоциативном свойстве умножения

Что такое ассоциативное свойство умножения в математике?

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как числа сгруппированы. Например, 3 × (5 × 6) = (3 × 5) × 6. Здесь, как бы ни группировались числа, произведение обоих выражений остается равным 90.

Что такое ассоциативное свойство формулы умножения?

Формула ассоциативного свойства умножения записывается как a × (b × c) = (a × b) × c. Это означает, что группировка любых трех и более чисел не влияет на их произведение.

Что такое ассоциативное свойство умножения и сложения?

Свойство ассоциативности относится к сложению и умножению, что означает, что сложение и умножение чисел можно выполнять независимо от того, как они сгруппированы. Ассоциативное свойство сложения записывается как: a + (b + c) = (a + b) + c, что означает, что сумма любых трех или более чисел не изменится, даже если изменить группировку чисел. Точно так же ассоциативное свойство умножения записывается как: a × (b × c) = (a × b) × c, что означает, что произведение любых трех или более чисел остается неизменным даже после того, как они были сгруппированы в разные группы. способ.

Приведите пример ассоциативного свойства умножения.

Ассоциативность умножения можно понять на примере любых трех чисел. Если мы умножим (4 × 2) × 10, мы получим произведение как 8 × 10 = 80. Теперь, если мы сгруппируем эти числа как 4 × (2 × 10), мы все равно получим произведение как 4 × 20 = 80. Это доказывает ассоциативность умножения.

Что такое ассоциативное свойство умножения целых чисел?

Ассоциативное свойство умножения целых чисел гласит, что произведение трех и более целых чисел не меняется, даже если числа сгруппированы по-разному. Например, 11 × (5 × 2) = (11 × 5) × 2. Здесь произведение обоих выражений равно 110,9.0005

В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством умножения?

Коммутативное свойство умножения гласит, что изменение порядка чисел не меняет произведения заданных чисел. Например, 6 × 8 = 8 × 6 = 48. Ассоциативное свойство умножения гласит, что изменение группировки чисел не меняет произведение данных чисел. Например, 7 × (2 × 3) = (7 × 2) × 3 = 42.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочий лист свойств умножения

Ассоциативное свойство умножения? Определение, примеры

Умножение — одно из самых основных элементарных арифметических действий, которым учащиеся учат в процессе взросления. В элементарной математике умножение — это более сложный способ многократного сложения числа. Сама основа умножения лежит в концепции многократного сложения, и, следовательно, операция умножения обладает теми же свойствами, что и оператор сложения. Одним из таких свойств является ассоциативное свойство умножения.

Что такое ассоциативное свойство умножения?

«Ассоциировать» означает соединиться или присоединиться к чему-либо. Ассоциативное свойство умножения говорит о том, что при умножении трех чисел, независимо от способа группировки чисел, конечный результат всегда будет одним и тем же.
Попробуем понять ассоциативность умножения на примере:

Попробуем умножить числа 2, 3 и 5.

Теперь мы можем умножать эти числа по-разному.

Мы могли бы сначала умножить 2 и 3, а затем умножить их произведение на 5.

Или мы могли бы сначала умножить 3 и 5, а затем умножить произведение этих двух чисел на

2.

Как мы видим, произведение в обоих случаях одинаково. Это свойство, при котором порядок умножения трех чисел не влияет на результат, называется ассоциативным свойством умножения.

Поскольку в основе умножения лежит сложение, за ассоциативным свойством следуют только сложение и умножение. Закон ассоциативности не распространяется на операции вычитания и деления.

Родственные игры

Решенные примеры

Пример 1. Решите выражение $6 \times 7 \times 8$ двумя разными способами.

Решение: 

Группировка первых двух членов выражения,

$(6 х 7) х 8

Группировка двух вторых членов в выражении0005

$= 336$

Пример 2: Проявляет ли данное уравнение ассоциативность умножения?

              $2 \times 3 \times 4 = 3 \times 2 \times 4$

Решение: Чтобы уравнение проявляло ассоциативное свойство умножения, необходимо умножить как минимум три числа. Данное уравнение представляет собой умножение 3, 2 и 4. Порядок чисел в обратном порядке дает тот же ответ, то есть 24. Таким образом, оно демонстрирует ассоциативное свойство.

Пример 3. Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы найти a и b в уравнении,

$(3 x a) x 9 = 3 x (4 x b)$
Решение: If уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена по обе стороны уравнения должны быть одинаковыми. 3 присутствует с обеих сторон. Отсюда следует, что $a = 4$ и $9 = 6$.

Связанные рабочие листы

Практические задачи

1

Что из следующего не демонстрирует ассоциативного свойства умножения?

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

$(p \times q) \times r = a \times (b \times c)$

$( c \times e) \times d = c \times (e \times d)$

$(m \times n) \times o = m \times (n \times o)$

Правильный ответ: $( p \times q) \times r = a \times (b \times c)$
Члены слева не совпадают с членами справа уравнения. Ассоциативное свойство допустимо только для группировки терминов.

2

Учитывая, что $(10 \times m) \times 2 = 10 \times (5 \times 2)$, при каком значении m уравнение будет верным?

20

10

5

100

Правильный ответ: 5
Чтобы уравнение было верным, оно должно следовать ассоциативному свойству умножения. Три члена слева — это 10, m и 2, а справа — 10, 5 и 2. Отсюда ясно, что $m = 5$.

3

Если следующее уравнение следует ассоциативному свойству умножения, найдите p и q. $(8 \times p) \times 6 = 8 \times (11 \times q)

$p = 11, q = 6$

$p = 6, q = 11$

$p = 8, q = 11$

$p = 11, q = 8$

Правильный ответ: $p = 11, q = 6$
Если уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена по обе стороны уравнения должны быть одинаковыми. 8 присутствует с обеих сторон. Отсюда естественным образом следует, что $p = 11$ и $q = 6$, чтобы гарантировать наличие 8, 11 и 6 с обеих сторон.

4

Что из нижеперечисленного не обладает свойством ассоциативности?

Сложение

Умножение

Вычитание

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: Вычитание
Ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению. Группировка трех или более терминов, умноженных или добавленных, не влияет на результат.

Часто задаваемые вопросы

В чем преимущество использования ассоциативного свойства умножения?

Ассоциативность умножения помогает быстрее умножать числа. Вместо того, чтобы умножать список чисел в том порядке, в котором они написаны, сгруппируйте их иначе, чтобы умножать в удобном для вас порядке. В выражении $5 \times 5 \times (8)$ было бы разумно умножить 5 и 8, чтобы получить 40, а затем умножить 5, чтобы получить 200.

$(5 \times 5) \times (8)$

$= (5 \times 8) \times (5)$

$= 40 \times 5$

$= 200$

Отдельно из ассоциативного свойства, за какими другими свойствами следует умножение?

Арифметическая операция умножения следует двум другим свойствам, в том числе коммутативности и дистрибутивности.