Свойства умножения / Умножение / Справочник по математике для начальной школы

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Умножение
5. Свойства умножения

1) Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не изменится.

3 • 4 = 12

4 • 3 = 12

Значит, 3 • 4 = 4 • 3

2) Сочетательное свойство: два соседних множителя можно заменить их произведением.

(6 • 2) • 5 = 6 • (2 • 5)

3) Распределительное свойство: при умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.

(3 + 10) • 7 = 3 • 7 + 10 • 7 = 91.

4) Чтобы умножить сумму на число, можно сначала выполнить сложение и полученный результат умножить на число:

(3 + 10) • 7 = 13 • 7 = 91.

5)

Чтобы умножить число на произведение, можно сначала выполнить умножение в скобках, а затем умножить число на полученный результат:

4 • (3 • 5) = 4 • 15 = 60.

6) Чтобы умножить число на сумму, можно сначала выполнить сложение, а затем умножить число на полученный результат:

2 • (3 + 5) = 2 • 8 = 16

Советуем посмотреть:

Табличное умножение

Внетабличное умножение

Умножение суммы на число

Умножение на однозначное число в столбик

Умножение на числа, оканчивающиеся нулями

Умножение

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 69. Урок 28, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 79. Урок 32, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 82.

Урок 34, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 111. Урок 45, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 49. Урок 17, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 50. Урок 17, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 52. Урок 18, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 60. Урок 22, Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 65. Урок 23, Петерсон, Учебник, часть 3

Задание 106. Повторение, Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 47. ПР 1. Вариант 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 91, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 101, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 106, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 42. Урок 16, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 50. Урок 19, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 70. Урок 24, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 89. Урок 33, Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 3. Урок 1, Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 26. Урок 12, Петерсон, Учебник, часть 3

4 класс

Страница 56. ПР 1. Вариант 1, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 69. ПР 1. Вариант 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 17, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 20, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 35, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 42, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 43, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 54, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 83, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 93, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

---

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

                        

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. 

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

            

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. 

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b+c=a·b+a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. 

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

                 

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b-c=a·b-a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1·a=∑i=1a1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. 

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Ассоциативные и коммутативные свойства умножения

Коммутативное свойство — умножение

Представьте задачу, «Хуанита говорит, что 6 × 3 = 18 и 3 ×  6 = 18. Младший брат Хуаниты, Фабио, не понимать. Давайте поможем Хуаните объяснить это Фабио. Попросите учащихся работать в парах. Убедитесь, что в каждой паре не менее 40 цветных плиток — по 20 двухцветных.

«Как мы читаем 6 ×  3 = 18?» ( 6 групп по 3 ) Используйте плитки одного цвета, чтобы построить 6 групп по 3, как показано на рисунке.

 

«Как мы читаем 3 ×  6 = 18?» ( 3 группы по 6 штук ) Используйте плитки другого цвета, чтобы построить 3 группы по 6 штук, как показано на рисунке.

 

Поверните синий прямоугольник, чтобы показать, что он конгруэнтен (равен) зеленому прямоугольнику.

«Теперь мы использовали цветные плитки, чтобы показать Фабио, что вы можете умножать 6 × 3 или 3 × 6   , и произведение будет таким же, 18. Но теперь Фабио хочет знать, можно ли умножить три числа в любом порядке и получить то же самое произведение».

Раздайте по крайней мере один калькулятор каждой паре учащихся. Раздайте миниатюрные доски пяти учащимся. Попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения × . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках.

Попросите пары учащихся вычислить произведение с помощью калькулятора. Например, если на пяти миниатюрных досках написано 8 × 5 × 6, учащиеся должны вычислить это с помощью калькулятора. (Произведение равно 240.) Попросите одного учащегося написать числовое выражение или уравнение на доске, как 8 × 5 × 6 = 240. Теперь попросите учащихся, держащих доски с числами, передвигаться, чтобы составить новое числовое выражение, например, 6 × 8 × 5. Попросите учащихся снова вычислить произведение с помощью калькуляторов. Попросите другого учащегося написать числовое выражение или уравнение на доске, как 6 × 8 × 5 = 240.

Попросите учащихся, держащих доски, переместиться, чтобы составить новое числовое выражение, например 5 × 6 × 8. Попросите учащихся вычислить произведение с помощью калькуляторов и попросите одного из учащихся написать числовое выражение на доске.

Попросите новую группу из пяти учащихся подержать доски. Снова попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения × . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Повторите задание, попросив учащихся найти произведение как минимум двух разных предложений с числами умножения, используя три числа, записанные в разном порядке.

Познакомить с формальным языком коммутативного свойства , хотя вы не должны требовать от учащихся знания этого термина. «Умножение чисел можно выполнять в любом порядке, и произведение всегда будет одним и тем же. Математики говорят, что умножение коммутативно , а это значит, что его можно выполнять в любом порядке. Почему это важно? Мы очень скоро найдем ответ на этот вопрос, но сначала рассмотрим еще одно свойство умножения».

Ассоциативное свойство — умножение

Раздайте миниатюрные доски пяти разным ученикам. Попросите двух учеников написать знак умножения  на своих досках. Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Нарисуйте по одной скобке на каждой из первых двух досок с числами (например, (7 × 5) × 4).

Попросите пары учащихся вычислить произведение с помощью калькулятора. Обязательно сначала помогите учащимся научиться считать в скобках. В примере (7 × 5) × 4 попросите учащихся сначала вычислить 7 × 5. Попросите учащихся, держащих доски (7 × 5), отойти в сторону. Попросите одного учащегося написать 35 на другой доске и держать его вместо количества (7 × 5). Напишите на доске упрощенную версию числового предложения 35 × 4. Теперь попросите учащихся посчитать: 35 × 4 = 140,9.0005

Попросите первых пятерых учеников вернуться на свои места. Вместо этого заключите в скобки два последних числа (например, 7 × (5 × 4)). Попросите учащихся сначала выполнить вычисления в скобках. Попросите одного учащегося взять другую доску, чтобы представить продукт, и записать на доске упрощенную версию числового предложения 7 × 20. Теперь попросите учеников вычислить: 7 × 20 = 140.

Попросите новую группу из пяти учеников держать доски. Снова попросите двух учащихся написать на своих досках знак умножения  . Попросите остальных трех учеников написать число от 1 до 10 на своих досках. Повторите задание, попросив учащихся найти произведение по крайней мере двух различных предложений с числами умножения, используя три написанных числа и используя круглые скобки для группировки различных наборов чисел.

Познакомить с формальным языком ассоциативного свойства , хотя вы не должны требовать от учащихся знания этого термина. «Умножение чисел даст один и тот же продукт, даже если числа сгруппированы по-разному. Математики говорят, что умножение ассоциативно, означает, что числа можно перегруппировать. Почему это важно? Мы будем искать ответ на этот вопрос прямо сейчас!»

Умственная арифметика — Применение свойств

«Хуанита и Фабио делали домашнее задание. Проблема была 6 × 2 × 5 . Хуанита быстро назвала 60, не пользуясь калькулятором. Фабио сказал, что оно равно 12 × 5 , но он все еще работал. Как, по-вашему, Хуанита так быстро умножила эти три числа? Учащиеся, вероятно, узнают, что Хуанита сначала умножила 2 и 5, а затем умножила на 6. Эти свойства позволяют учащимся выполнять вычисления быстрее и точнее. По этой причине учащиеся должны знать, как применять эти свойства, но стандарты явно не требуют от учащихся знания названий свойств.

Приведите еще два примера для обсуждения в классе. Эти примеры подготовят учащихся к практическому листу «Сделай это проще».

Напишите на доске 4 × 9 × 2. Спросите учащихся, : «Как мы можем переписать это числовое выражение, чтобы его было легче умножать в уме?» Учащиеся могут предлагать различные числовые предложения в зависимости от того, какие факты умножения они считают наиболее простыми для вычисления. Попросите одного учащегося переписать числовое предложение на доске. Сравните относительную простоту вычислений для обоих числовых предложений.

Большинство учащихся, вероятно, поймут, что 4 × 2 × 9, как правило, легче вычислить, чем 4 × 9 × 2. Умножая числа слева направо, 4 × 2 × 9 становится 8 × 9, тогда как 4 × 9 × 2 становится 36. × 2. Оба произведения равны 72.

Напишите на доске (8 × 6) × 5. «В этом выражении используются круглые скобки ( ). В математике круглые скобки используются для группировки определенной части числового предложения вместе — отдельно от других частей. Скобки также показывают нам, какую часть числового предложения мы должны вычислить в первую очередь. Например, как сейчас пишется числовое предложение, мы должны умножить 9.0004  , а затем умножьте это произведение на 5. Но мы можем упростить задачу! Как мы можем переписать это числовое выражение, чтобы его было легче умножать в уме?» Попросите одного из учащихся переписать числовое выражение на доске. Сравните относительную простоту вычислений для обоих числовых предложений.

Большинство учащихся, вероятно, поймут, что (8 × 5) × 6, как правило, легче вычислить, чем (8 × 6) × 5. Если сначала умножить числа в скобках, (8 × 5) × 6  получится 40 × 6, тогда как ( 8 × 6) × 5 становится 48 × 5. Оба произведения равны 240,

Раздайте копию рабочего листа «Упрости задачу» (M-3-5-3_Make It Easier и KEY.docx) всем учащимся. Напомните учащимся использовать свойства, чтобы сделать умножение быстрым и легким в уме. Предоставляются образцы решений.

Для дальнейшей оценки усвоения учащимися концепций урока используйте лист Коммутативной и ассоциативной практики (M-3-5-3_Коммутативная и ассоциативная практика и KEY.docx).

Дополнительный номер:

В разделе «Распорядок дня» представлены предложения по пересмотру концепции урока в течение года. Секция малых групп предназначена для студентов, которым было бы полезно дополнительное обучение или практика. Раздел «Расширение» содержит идеи для сложных задач учащихся, готовых выйти за рамки требований стандарта.

• Обычные: Чтобы помочь учащимся повторить использование этих операций, продолжайте подчеркивать их полезность при выполнении вычислений в уме. Не побуждайте учащихся браться за калькулятор, чтобы умножить 5 × 24 × 2 или (5 × 9) × 6. Вместо этого предложите учащимся найти «более простой» способ их вычисления, например 5 × 2 × 24 и (5 × 6) × 9. Эти свойства также могут быть очень полезны, когда учащиеся учатся умножать двузначные и трехзначные числа.
• Малая группа: Студенты, которым требуется дополнительная практика, могут быть объединены в небольшие группы для работы над дополнительными задачами, в которых используются эти свойства. Основное внимание должно быть уделено поддержке учащихся в определении того, как упростить вычисления. Обязательно подробно обсудите причины каждого решения. Используйте миниатюрные доски для решения этих задач, поощряя учащихся предлагать, как перемещать доски, чтобы упростить вычисления. (Поскольку группа небольшая, разложите мини-доски на столе, а не давайте их держать учащимся.) Дополнительные задачи приведены в практическом листе «Дополнительные примеры» (M-3-5-3_Дополнительные примеры и KEY.docx). Если учитель не может помочь небольшой группе, учащиеся могут самостоятельно найти дополнительные инструкции на следующем веб-сайте.

http://www.coolmath.com/preалгебра/06-properties/02-properties-commutative-multiplication-02.htm

• Расширение: Учащиеся, готовые к более сложной задаче, должны работать в группах по два или три человека. чтобы сыграть в следующую игру, посвященную коммутативным, ассоциативным, дистрибутивным и мультипликативным свойствам тождества. Дается описание каждого свойства. http://www.aaamath.com/pro74b-propertiesmult.html

Изучение различных свойств умножения

В этом посте мы сделаем обзор свойств умножения и рассмотрим некоторые его применения. Начнем с краткого обзора свойств умножения:

Свойства умножения

• Коммутативное свойство: Порядок множителей не меняет произведение.

3 x 5 = 5 x 3

• Ассоциативное свойство: группировка факторов не меняет результат умножения.

(2 x 9) x 5 = 2 x (9 x 5)

• Нейтральный элемент: 1 является нейтральным элементом умножения, потому что любое число, умноженное на 1, дает одно и то же число.

5 x 1 = 5

154 x 1 = 154

• Распределительное свойство: Умножение числа на сумму равно сумме произведений указанных чисел на каждое слагаемое.

3 х ( 5 + 2) = 3 х 5 + 3 х 2

Дети часто используют свойства умножения, не понимая их должным образом и не понимая, почему они работают.

С помощью этих примеров мы постараемся лучше понять это:

Мы попросили Карлоса сложить 60 + 30, и он ответил: «60 плюс 30 равно 90, потому что 6 плюс 3 равно 9, и добавление нуля в конце дает мне 90».

Многие студенты учатся делать этот «трюк», и он правильный, но знаете ли вы, почему он работает? Символически мы можем выразить это следующим образом:

60 + 30 =

           Распределительное свойство:   (6 x 10) + (3 x 10) =

( 6 + 3) x 10 =

9 х 10 = 90

Одно из свойств умножения, распределительное свойство, подразумевается в вычислении, вы заметили?

Теперь давайте рассмотрим другой пример: спросим братьев Чарльза, Аарона и Хьюго, сколько будет 8 х 6.

Аарон не помнил, что 8 х 6 равно 48, но знал, что это как 8 х 5 плюс 8. Поэтому он сделал: «8 умножить на 5 равно 40, я добавляю 8 к 40, и это дает мне 48. Итак, 8 умножить на 6 равно 48». Аарон прав, 8 умножить на 6 будет 48, верно?

Мы можем выразить это следующим образом:

8 x 6 =

Распределительное свойство: 8 x (5 + 1) =

8 x 5 + (8 x 1) =

8 x 5 + 8 =

40 + 8 = 48

И здесь мы снова видим дистрибутивное свойство умножения в неявном виде.
Однако Хьюго пришел к тому же решению, но по-другому.

«Я не помню, сколько будет 8 х 6, потому что я еще не знаю таблицу умножения для 8, но я знаю таблицу умножения для 6, а 6 х 8 равно 48, следовательно, 8 х 6 равно 48».

Кто-нибудь заметил, какое свойство умножения он использовал? Действительно, Хьюго использовал коммутативное свойство . Отлично!

Знание и полное понимание свойств чисел и операций помогает! Их изучение более эффективно и предоставляет различные и более гибкие способы применения того, что мы узнали, в других областях, таких как алгебра, геометрия или решение задач.

 Применения свойств умножения

Когда мы применяем свойство распределения ? Среди всех приложений мы предлагаем два случая:

• Чтобы упростить умножение больших чисел.
  

Пример 1

102 x 5 = (100 + 2) x 5 = 100 x 5 + 2 x 5 = 500 + 10 = 510

Пример 2
90 153 225 х 2 = (200 + 25) х 2 = 200 х 2 + 25 х 2 = 400 + 50 = 450

• Решить уравнения.

Пример 3

3 x (5 + A) = 45

3 x 5 + 3 x A = 45

15 + 3 x A = 45

3 x A = 45- 15

3 шт. A = 30

A = 10

Когда мы применяем ассоциативное свойство ?

• Легче умножать более двух чисел.
  

Пример 4

(4 x 15) x 2 = 4 x (15 x 2) = 4 x 30 = 120

Наконец, когда мы применим коммутативное свойство ?

• Когда мы учим таблицу умножения.