Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет — это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются — как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети — ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды — ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247 

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

• умножить на 4 — это дважды умножить на 2;

• умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;

• умножить на 8 — это трижды умножить на 2;

• умножить на 9 — это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

• разделить на 4 — это дважды разделить на 2;

• разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;

• разделить на 8 — это трижды разделить на 2;

• разделить на 9 — это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 — 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь. 

Устный счёт на автомате

• Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

• Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

• В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Математика — Центр дополнительного образования

01.01.2001

Умножение на 9, 11, 99, 101

Проще всего умножать и делить числа на 10, 100 и т.д. При этом к множимому приписывается столько нулей, сколько их имеется в множителе. Отсюда получаем простое правило для умножения на 9, 11, 99, 101.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Но это правило не стоит применять, когда число записано с помощью единиц и нулей. В этом случае легче произвести умножение на 9 непосредственно.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 11, нужно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само это число.

Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Нужно мысленно приписать справа к данному числу его само, и прочесть то, что получиться.

При умножении на 99 нужно, очевидно, увеличить данное число в 100 раз, и от полученного числа отнять само данное число.

Умножение на 2, 4

Умножение на 2 начинают со старших разрядов.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Умножение и деление на 5, 25, 50

Умножение на 5 сводится к делению пополам (надо умножить на 10 и результат разделить пополам).

Деление на 5 – это удвоение данного числа и последующее деление на 10.

При умножении на 25 мы умножаем на 100 и результат делим на 4.

При делении на 25 – умножаем на 4 (т. е. два раза на 2) и делим на 100.

При умножении на 50 умножаем на 100 и делим пополам; при делении на 50 сперва удваиваем, потом делим на 100.

Умножение на 3, 6 и 7

При умножении двузначного числа на 3, 6 или 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем.

86 x 3

80 x 3=240 6 x 3=18 86 x 3=258

35 x 7

30 x 7=210 5 x 7=35 35 x 7=245

Трёхзначное число умножается на 3 по такому же правилу: сначала умножаются сотни, потом десятки, потом единицы, затем всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно. Лучше сначала умножить на три, а затем результат удвоить.

519 x 6

519 x 3

500 x 3 = 1500 10 x 3 = 30 9 x 3 = 27 1557

1557 x 2 = 1500 x 2 + 57 x 2 = 3114

Умножение многозначных чисел на 7 требует особой тренировки.

Проценты

При вычислении процентов от некоторого числа удобно связывать проценты с представлением доли этого числа. Для некоторых процентов приведём таблицу соответствий.

% Доли 50 2 25 4 20 5

30 10 75 1 40 60 80

Умножение двузначных чисел, близких к 100

Покажем на примере:

93 x 98 = (93 — 2)	x 100 +	2 x 7 = 9114
|		|
дополнение до 100 для второго числа		произведение дополнений исходных чисел до 100

Обоснование этого способа дано ниже:

(100 — a) (100 — b) = (100 – а) x 100 – 100 x b + ab =
= 100 ((100 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 100 соответственно.

Умножение чисел, близких к 1000

Покажем на примере:

987 x 996 = (987 – 4) x 1000 + 4 x 13 = 983052

Обоснование:

(1000 — a) (1000 — b) = (1000 – а) x 1000 – 1000 x b + ab =
= 1000 ((1000 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 1000 соответственно.

Информация к размышлению

Предложите способ для быстрого умножения и деления чисел на 125, для умножения на 2,5, на 0,75, на 1,25.

Корень квадратный в уме

Каким способом можно быстро извлечь корень квадратный из целого числа, имеющего в десятичной записи не более четырех знаков? Предполагается, что корень извлекается из данного числа нацело.

Найдите корни , . Попробуйте найти .

Алгоритм извлечения корня квадратного

Рассмотрим на примере .

Для нахождения произведем следующие действия:

1) десятичную запись числа 273529 разобьем на группы по две цифры, начиная справа;

2) для старшей группы, образующей число 27, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа 27; такой цифрой будет 5, ее запишем в качестве первой цифры ответа;

3) из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности 27 – 25 = 2 припишем справа следующую группу цифр 35; получим число 235;

4) удвоив записанное в ответе число 5, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 235; такой цифрой будет 2 (ибо 102 x 2 = 204 < 235, но 103 x 3 = 309 > 235), ее и запишем в качестве второй цифры ответа;

5) из числа 235 вычтем найденное в предыдущем пункте произведение 204 и к остатку 31 снесем следующую группу цифр 29; получим число 3129;

6) удвоив записанное в ответе число 52, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 3129; такой цифрой будет 3 (ибо 1043 x 3 = 3129), ее и запишем в качестве третьей цифры ответа;

7) разность между снесенным числом 3129 и полученным в предыдущем пункте произведением равна 0, поэтому корень квадратный из числа 273529 извлекается нацело и равен записанному в ответе числу 523.

Начинает прибавлять хуже: влияние обучения умножению на прибавление детей

. 1990 декабрь; 37 (3): 213-42.

doi: 10.1016/0010-0277(90)-м.

К. Ф. Миллер ¹ , Д. Р. Паредес

принадлежность

• ¹ Факультет психологии, Иллинойский университет, Шампейн 61820.

• PMID: 2282773
• DOI: 10.1016/0010-0277(90)
-м

К. Ф. Миллер и соавт. Познание. 1990 Декабрь

. 1990 декабрь; 37 (3): 213-42.

дои: 10.1016/0010-0277(90)-м.

Авторы

К. Ф. Миллер ¹ , Д. Р. Паредес

принадлежность

• ¹ Факультет психологии, Иллинойский университет, Шампейн 61820.

• PMID: 2282773
• DOI: 10.1016/0010-0277(90)
-м

Абстрактный

Основным камнем преткновения в приобретении нового навыка может быть объединение его со старыми, но родственными знаниями. Показательным примером является обучение умножению, поскольку оно включает в себя интеграцию новых отношений с ранее приобретенными арифметическими знаниями (в частности, сложением). В двух исследованиях изучались изменения в развитии отношений между сложением однозначных чисел и умножением. В первом исследовании третьеклассники, пятиклассники и взрослые выполняли простое сложение или умножение в форматах смешанных и блокированных операций. Существенные мешающие эффекты связанных знаний были обнаружены на всех возрастных уровнях, но были более выражены у более молодых испытуемых. Таким образом, на ранних стадиях обучения умножению одним из последствий обучения новой операции является вмешательство в выполнение более раннего, родственного, но менее изученного навыка. Рассмотрение шаблонов ошибок подтвердило точку зрения, что проблема интегрирования операций является заметной даже на ранних стадиях освоения умножения. Модели ошибок в целом были одинаковыми во всех возрастных группах, и все группы с гораздо большей вероятностью давали правильный ответ на умножение в задаче на сложение, чем наоборот. Второе лонгитюдное исследование подтвердило этот вывод, показав доказательства нарушения сложения с течением времени у отдельных детей (второго, третьего и четвертого классов), протестированных на простое сложение и умножение в течение 5-месячного периода. Анализ времени реакции на сложение показал, что второклассники на уроках математики с углубленным изучением математики и третьеклассники на обычных математических занятиях имели тенденцию к замедлению в течение года в ответах на задачи на сложение. С другой стороны, четвероклассники, как правило, увеличивали скорость сложения в течение года. Умножение показало другую картину в этот период, без признаков замедления у детей, которые были в состоянии выполнить это задание. Нарушение ранее усвоенных знаний в процессе приобретения новых навыков свидетельствует об интеграции новых знаний и старых знаний. Такого рода немонотонное развитие может обеспечить эмпирический метод определения функциональных границ области знаний.

Похожие статьи

• Продольное исследование успеваемости детей по простым задачам на умножение и деление.

  Де Брауэр Дж., Фиас В. Де Брауэр Дж. и др. Дев Психология. 2009 сен; 45 (5): 1480-96. doi: 10.1037/a0015465. Дев Психология. 2009. PMID: 19702407

• Стабильность и изменение стратегий детских дивизий.

  Робинсон К.М., Арбетнотт К.Д., Роуз Д., Маккаррон М.С., Глоба К.А., Phonexay SD. Робинсон К.М. и др. J Exp Детская психология. 2006 март; 93(3):224-38. doi: 10.1016/j.jecp.2005.09.002. Epub 2005 21 октября. J Exp Детская психология. 2006. PMID: 16243348

• Четыре аспекта стратегических изменений: вклад в обучение детей умножению.

  Лемэр П., Зиглер Р.С. Лемер П. и соавт. J Exp Psychol Gen. 1995 марта; 124(1):83-97. doi: 10.1037//0096-3445.124.1.83. J Exp Psychol Gen. 1995. PMID: 7897342

• Вмешательство подобия в изучение и извлечение арифметических фактов.

  Де Вишер А., Ноэль М.П. Де Вишер А. и соавт. Прог Мозг Res. 2016; 227:131-58. doi: 10.1016/bs.pbr.2016.04.008. Эпаб 2016 27 мая. Прог Мозг Res. 2016. PMID: 27339011 Обзор.

• Четность влияет на сложность простого сложения и вычитания, но не на проблемы умножения у детей.

  ТМ Хайнс. Хайнс ТМ. Psychol Rep. 2013 Aug; 113 (1): 1048-65. дои: 10.2466/10.11.pr0.113x16z4. Psychol Rep. 2013. PMID: 24340800 Обзор.

Посмотреть все похожие статьи

Типы публикаций

термины MeSH

Стратегии умножения Прогресс | Департамент образования

Добро пожаловать в асинхронный модуль, Стратегии умножения, прогресс . В своем собственном темпе читайте материалы, смотрите короткие видеоклипы и разбирайтесь в картинках. Этот модуль длится примерно 1 час и может быть завершен за один присест или небольшими частями. Когда вы пройдете модуль, щелкните ссылку на анкету в поле справа. После успешной отправки анкеты ваш сертификат часа контакта будет автоматически отправлен по электронной почте на адрес, указанный в анкете. Если у вас есть какие-либо вопросы об этом процессе или содержании этого модуля, свяжитесь с Джен Робитайл по адресу [email protected].

Стратегии умножения

Стратегии перечислены от самых ранних стратегий до стандартного алгоритма. Многие из них используются параллельно, но важно понимать, что различные стратегии используются для более глубокого концептуального понимания и перехода к более процедурной модели, основанной на концептуальном понимании умножения. Имейте в виду, что освоение стандартного алгоритма умножения не ожидается до 5-го класса в соответствии с результатами обучения штата Мэн и общими базовыми стандартами штата, однако учащиеся начнут практиковать стандартный алгоритм наряду с другими стратегиями намного раньше 5-го класса.

 

Модели

Существует множество моделей умножения, каждая из которых демонстрирует различные способы отображения числа равных групп. Когда учащиеся впервые начинают работать с умножением, они могут использовать квадратные плитки для построения массивов или небольших чисел, которые они могут построить из манипуляций. Затем они переносят свои модели на чертежи равных групп, возможно, используя метки, точки, и по мере того, как они переходят к большим количествам, они могут использовать цифры для представления групп — это хорошо переходит к повторному добавлению, или они могут перейти к модели области. Контекст проблемы определяет тип модели, которая поможет учащимся разобраться в проблеме. Напоминаем, что учащимся нужны различные типы задач (отсутствующий множитель — количество групп, отсутствующий множитель — недостающее количество в группе, недостающий продукт — общее количество), чтобы практиковать свою гибкость в умножении. Эти разные типы задач должны быть представлены в разное время в процессе их обучения. Для получения дополнительной информации о различных типах задач на умножение, которые должны использовать учащиеся, ознакомьтесь с таблицей 2 глоссария из Общего основного государственного стандарта по математике.

 

Повторное сложение

Одной из первых стратегий умножения является многократное сложение. Когда учащиеся узнают о равных группах, они начинают добавлять одно и то же дополнение снова и снова (повторное добавление). 7 коробок по 5 карандашей могут выглядеть как 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 карандашей. Учащиеся могут начать замечать, что повторяющееся сложение очень похоже на пропуск счета по добавляемому числу. 7 коробок по 5 карандашей могут звучать как 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 карандашей. Студенты должны будут отслеживать каждые 5, которые они пропускают, пока не доберутся до 7 раз или 7 коробок с карандашами. Когда учащиеся ищут более эффективные стратегии, они начинают запоминать некоторые из своих фактов и использовать их в других стратегиях.

 

Массивы (модели)

 

Умножение формы модели массива — это физическая или визуальная модель, демонстрирующая равные строки. Учащиеся могут использовать физические объекты или манипуляторы, или они могут рисовать фигуры для моделирования задачи на умножение, которую они решают. Эта стратегия прекрасно сочетается с вспомогательными фактами, удвоением и площадной моделью.

 

 

Вспомогательные факты и удвоение

Использование вспомогательных фактов позволяет учащимся опираться на известные им факты, облегчая решение более сложных задач. Учащиеся обычно сначала узнают факты о своих двойках, пятерках и десятках. С детского сада они считают 2, 5 и 10. Используя эти факты, они могут создавать более сложные проблемы. Чтобы решить 6 x 7, учащийся может думать о задаче как о 6 группах по 7, и если он знает, что 5 групп по 7 или 5 x 7 = 35, то он знает, что ему нужна дополнительная группа из 7 до 35 + 7 = 42. так что 6 х 7 = 42,

Удвоение — аналогичная стратегия, использующая вспомогательный факт или известный факт, который составляет половину исходной задачи. Например, 4 x 9 может быть сложно обдумать, но, поскольку учащиеся лучше знакомы с фактами о 2, 5 и 10, они могут знать, что 2 x 9 = 18. Думая, что 2 x 9 = 18 — это половина 4 x 9. , они могут затем удвоить 18. Учащиеся могут изобразить это как 18 x 2 или 18 + 18. На самом деле математически 4 x 9 разбивается на (2 x 9) + (2 x 9), что равно 36. Пожалуйста, посмотрите видео для другого примера, который использует удвоение и модель площади для объяснения.

 

Модель площади (подключается к делению)

Модель площади для умножения использует визуальное прямоугольное представление для отображения площади и может быть разбита различными способами, чтобы помочь решить большие и маленькие задачи на умножение. Учащиеся могут использовать блоки с основанием 10 для физического построения модели местности, затем переходя к графическим представлениям с некоторой детализацией по основанию 10, а затем к менее подробным представлениям. Это прекрасно ведет к модели площади для деления. Чтобы увидеть продемонстрированную модель области, посмотрите видео.

 

Частичные продукты

Модель площадей прекрасно ведет к стратегии частичного продукта. Подобно сложению, частичные произведения разбивают множители или умножаемые числа на их разрядные значения или развернутую форму. Чтобы начать частичные продукты, учащиеся могут использовать модель области, чтобы визуализировать, откуда берется каждый частичный продукт. По мере того, как учащиеся будут понимать частичные произведения, они смогут использовать эту стратегию без модели площадей, хотя им, возможно, придется продолжать возвращаться к модели площадей, поскольку числа, с которыми они работают, расширяются до более чем двух цифр.

 

Решетчатое умножение

Решетчатое умножение — это стратегия, которая при обучении с использованием надлежащих разрядных значений помогает учащимся понять, почему эта стратегия работает. При обучении после понимания частичных продуктов учащиеся могут установить связи между стратегиями. Это может показаться набором шагов или процедурным процессом, очень похожим на стандартный алгоритм, поэтому важны разговоры о стоимости.

 

Стандартный алгоритм США

Стандартный алгоритм — это стратегия, о которой думает большинство людей, когда их просят умножать большие числа.