Как Разделить Число на Произведение

Давайте для начала вспомним, что такое деление, умножение и, как их правильно записывать. 

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 2 * 3 = 6, где 2 — множимое, 3 — множитель, 6 — произведение.
• 2 * 3 = 3 + 3 = 6

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же.

• Например: 3 * 2 = 2 + 2 + 2 = 6.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 20 : 5 = 4 или 20/5 = 4, где 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное.

В этом случае произведение делителя 5 и частного 4, в качестве проверки, дает делимое 20.

Если в результате деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби. 

Свойства деления в виде формул:

Распределительные свойства

(a + b) : c = a : c + b : c

(a — b) : c = a : c — b : c

(a * b) : c = (a : c) * b = (b : c) * a

a : (b * c) = (a : b) : c = (a : c) : b

Действия с единицей и нулём

a : 1 = a

a : a = 1

0 : a = 0 (a ≠ 0)

на нуль делить нельзя

Способы деления числа на произведение

Число можно разделить на произведение двумя способами. Сформулируем правило деления числа на произведение для каждого способа и попрактикуемся на примерах.

1 способ

Чтобы разделить число на произведение, нужно сначала выполнить умножение в скобках, а затем разделить число на полученный результат.

Так, например, чтобы найти значение выражения: 666 : (3 * 2), нужно сначала перемножить то, что находится в скобках: 3 * 2 = 6.

Затем и разделить 66 на полученный результат: 666 : 6 = 111. Значит 666 : (3 * 2) = 666 : 6 = 111.

Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение — можно воспользоваться вторым способом.

2 способ

Чтобы разделить число на произведение, нужно разделить это число на первый сомножитель, а полученный результат разделить на второй сомножитель.

Например, чтобы найти значение выражения: 120 : (5 * 6), нужно сначала разделить  120 на 5: 120 : 5 = 24.

Далее, полученное частное 24 разделить на 6: 24 : 6 = 4. А Теперь 120 : (5 * 6) = (120 : 5) : 6 = 24 : 6 = 4.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то множители можно легко поменять местами: 120 : (6 * 5) и разделить 120 сначала на 6, а затем полученный результат разделить на 5: 120 : (6 * 5) = (120 : 6) : 5 = 20 : 5 = 4.

Проще говоря, не важно на какой множитель первым делить число — результат будет одинаковым. Проверим:

120 : (5 * 6) = (120 : 5) : 6 = 24 : 6 = 4

тоже самое, что и

120 : (6 * 5) = (120 : 6) : 5 = 20 : 5 = 4.

Из этого примера делаем вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.

Эти правила иногда называют свойствами деления числа на произведение. Но, по сути, неважно, как это называть. Главное — как это работает. Далее попрактикуемся на примерах.

Примеры деления числа на произведение

Пример 1. Применить правило деления числа на произведение двух чисел:

24 : ( 3 * 4).

Как рассуждаем:

 

1. Чтобы разделить число на произведение, вычислим сначала произведение в скобках: 3 * 4 = 12.


2. Подставляем полученное число в выражение:

24 : ( 3 * 4) = 21 : 12 = 2.

Вот и ответ. А теперь решим это же выражение другим способом.

 

1. Чтобы разделить число на произведение чисел, нужно сначала число 24 разделить на первый множитель 3. А после, разделить полученный на второй множитель 8:

24 : ( 3 * 4) = 24 : 3 : 4 = 8 : 4 = 2.

А как можно еще решить это выражение?

 

1. Чтобы число разделить на произведение, нужно сначала число 24 разделить на второй множитель 4. И полученный результат разделить на первый множитель 3:

24 : ( 3 * 4) = 24 : 4 : 3 = 6 : 3 = 2.

Вот, как это работает! Мы нашли значение выражения разными способами, при этом результаты получились одинаковыми.

Пример 2. Вычислить: тысячу разделить на произведение двадцати и пяти.

Ответ:

1000 : (20 * 5) = 1000 : 100 = 100

1000 : (20 * 5) = 1000 : 20 : 5 = 500 : 5 = 10

1000 : (20 * 5) = 1000 : 5 : 2 = 200 : 2 = 10

Научить ребенка быстро считать помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.

Деление дробей: простая инструкция — Лайфхакер

Как делить обыкновенные дроби

На другую дробь

Деление одной дроби на другую — это умножение её на вторую дробь в перевёрнутом виде. В отличие от сложения и вычитания, при делении неважно, какие у дробей знаменатели: одинаковые или разные. Просто умножьте числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и, если у вас получится неправильная дробь, выделите из неё целую часть.

Например, вам нужно разделить ³/₅ на ⁴/₉. Для этого поменяйте местами числитель и знаменатель второй дроби — она превратится в ⁹/₄ — и умножьте ³/₅ на неё.

Если в примере изначально есть смешанные числа, как 1⁷/₂₀, сначала нужно перевести их в неправильные дроби (в данном случае получится ²⁷/₂₀), а потом делить, как описано выше.

На целое число

Чтобы разделить обыкновенную дробь на целое число, нужно представить его также в виде обыкновенной дроби: в числителе будет оно само, а в знаменателе единица. А затем делить как дробь на дробь. Например:

Можно действовать и ещё проще: умножить знаменатель на данное в примере число, а числитель оставить как есть.

А чтобы, наоборот, разделить целое число на обыкновенную дробь, нужно перевернуть эту дробь и умножить число на неё. Например:

Вспомните, если нужно 👈

Как делить десятичные дроби

На другую дробь

Это можно сделать двумя способами.

Первый — превратить десятичные дроби в обыкновенные. Например, 1,2 — это то же самое, что 1²/₁₀, или ¹²/₁₀ в виде неправильной дроби, или ⁶/₅ — если её сократить. Соответственно, процесс деления будет выглядеть так:

Теперь осталось перевести обыкновенную дробь обратно в десятичную. Для этого нужно умножить её на такое число, чтобы знаменатель получился кратным 10: 10, 100, 1 000 и так далее. В данном случае ⁴/₅ умножаем на 2. Мы получим ⁸/₁₀. Добавляем к этому нашу целую часть — 4 — и получаем итоговый результат 4,8.

Второй способ деления десятичных дробей — сначала превратить их в целые числа, а потом поставить запятую в получившемся результате.

• Найдите дробь, в которой больше всего знаков после запятой.
• Умножьте все дроби в примере на число, кратное 10, с таким же количеством нулей. Например, если у вас есть дробь 4,25 — это будет 100, а если 1,578 — 1 000.
• Разделите целые числа друг на друга столбиком.
• Отсчитайте слева направо столько знаков, сколько было добавлено нулей при умножении, и поставьте запятую.

Например: 7,44 ÷ 0,4 = (7,44 × 100) ÷ (0,4 × 100) = 744 ÷ 40 = 18,6.

На целое число

Десятичные дроби на целое число делите так же, как и обычные числа, столбиком. Когда в делимом (слева) закончится целая часть, поставьте запятую в частном (справа под чертой). Если делимое не удаётся разделить без остатка, добавляйте к нему нули, пока не получите конечный результат.

Читайте также 🧐

Как научиться считать в уме | Клуб любителей математики

Считать в уме, по мнению многих, в наше время уже неактуально, ведь калькулятор есть в каждом смартфоне, компьютере и ноутбуке. Однако калькулятор не будет сопровождать вас при каждом вашем шаге, а считать необходимо постоянно и много.

Способность сосчитать в уме – умение весьма нужное даже в 21 веке. А тем более это нужно школьникам для решения примеров по математике из нелёгкой школьной программы. И им весьма полезно будет уметь считать быстро, не пребегая к электронным устройствам.

Опыт и постоянные тренировки играют важную роль в развитии любых способностей, но навык устного счета не состоит только лишь из опыта. Это могут доказать люди, умеющие считать в уме гораздо более сложные примеры: например, умножать и делить трех- и четырехзначные числа, находить суммы и разности огромных примеров.

Что необходимо знать и делать человеку, дабы повторить такое?

• Во-первых, концентрация или же умение ненадолго удерживать в памяти несколько вещей одновременно.

• Во-вторых, алгоритмы, специальные методы вычислений и математические уловки, значительно облегчающие процесс устного счёта.

• В-третьих, практика. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач позволят улучшить скорость и качество устного счета.

Важно отметить, что именно практика имеет наибольшее значение. Не обладая достаточным опытом, вы не сможете быстро применять удобные алгоритмы, подходящие под определённые ситуации. И помните, что максимальный эффект будет достигнут при оптимальном использовании всех трёх составляющих. Тренировать сразу все аспекты этого навыка Вы можете в онлайн тренажере устного счёта.

Внимание и концентрация

Чтобы максимально быстро считать в уме, необходимо уметь концентрироваться на конкретном примере. Этот навык полезен не только для совершения математических операций, но и для решения любых жизненных задач. Существует несколько способов улучшить свою внимательность и способность к концентрации:

При счете в уме, важно ясно представлять себе решаемый пример – визуализировать его. Запоминать промежуточные результаты нужно не на слух, а так как они выглядят в записи, например, на бумаге. Тренировать подобное восприятие можно разными способами, и отчасти визуализация решения приходит с опытом.

Старайтесь всегда находить что-то интересное в рутине, превращая действие в игру. Так поступают и некоторые родители, желающие, чтобы их ребёнок выполнил какую-либо скучную работу.

Огромное количество людей всегда хотят «быть лучше» соперника. Именно поэтому состязательность является еще одним способом развить свою внимательность. В устном счете Вы можете найти себе соперника и пытаться его в этом превзойти.

Еще одним фактором, создающим азарт при счете, может стать борьба с самим собой при достижении определенного результата, то есть

личные рекорды. Их можно ставить, например, в скорости счета, в количестве решенных примеров и своей точности ответов.

Наконец, максимальная концентрация может быть достигнута при спонтанном увлечении процессом счета. Как пример, во время чтения Вы перестаёте думать об окружающих вас предметах, людях, ситуациях, полностью погружаетесь в книгу. Именно неподдельный интерес к чему-либо способен заставить вас приобрести наибольшую внимательность в этом деле.

Безусловно, все эти способы надо отрабатывать, практиковать. В этом могут помочь различные тренажеры зрительной памяти и улучшения внимательности.

Простые арифметические закономерности

Решение любой по сложности задачи всегда сводится к применению базовых принципов, и именно эти принципы и закономерности позволят вам быстро выполнять различного рода операции. Существует определенный набор таких правил и закономерностей, которые необходимо довести до автоматизма с помощью разных онлайн тренажеров по математике.

Вычитание 7, 8, 9. Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам необходимо привыкнуть к этому новому способу.

Таблица умножения. Для быстрого устного счета хорошо бы безупречно знать таблицу умножения, которая является основой счета. Если у Вас с этим еще проблемы, можете воспользоваться онлайн Тренажером таблицы умножения.

Умножение на 2. Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных. Так 139×2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140×2=280), а потом вычесть 1×2=2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140). Итого: 140×2-1×2=280-2=278.

Деление на 2. Несмотря на то, что многим умножение и деление на 2 дается достаточно просто, в сложных случаях так же пытайтесь округлять числа. Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 2 деленое на 2. Итого: 198:2=200:2-2:2=100-1=99.

Деление и умножение на 4 и 8. Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно. Например, 46×4=46×2×2=92×2=184.

Умножение на 5 и 25. Умножение на 5, и деление на 2 – практически одно и то же, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10: 88×5=88:2×10=440. Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120×25 = 120:4×100 = 30×100 = 3000.

Умножение на 9. Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10, а затем вычтите из результата само число. Например: 89×9=890-89=801.

Умножение на 11. Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры. Например: 23×11= 2 (2+3) 3 = 253. Или если сумма чисел в центре дает результат больше 10: 29×11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.

И наконец, полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000 = 2×500 = 4×250 = 8×125 = 16×62,5.

Более сложные методики

Эффективность умножения в уме некоторых двузначных чисел может быть выше за счет меньшего количества действий, если использовать специальные алгоритмов. Ниже представлены три специальные методики, в том числе введение и использование опорного числа.

Квадрат суммы и квадрат разности

Для того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности. Например:

23²= (20+3)² = 20² + 2×3×20 + 3² = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)² = 70² – 70×2×1 + 1² = 4 900-140+1 = 4 761

Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5, необходимо число до последней пятерки, умножить на сумму этого же числа и единицы. К результату дописываем 25. Вот несколько примеров:

25² = (2×(2+1)) 25 = 625

85² = (8×(8+1)) 25 = 7 225

155² = (15×(15+1)) 25 = (15×16)25 = 24 025

Опорное число

Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. А методика использования этого числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше него самого.

Оба множителя меньше опорного. Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Далее действуем так: из 47 вычетаем столько, сколько не хватает 48 до 50 (либо из 48 вычетаем столько, сколько не хватает 47 до 50), полученный результат умножаем на опорное число и прибавляем к нему произведение разностей опроного числа с каждым сомножителем. Наглядный пример:

(48–(50-47))×50 + (50-47)×(50-48) = 2250 + 6 = 2256

Оба множителя больше опорного. Действовать нужно точно так же, но не вычитать недостаток, а прибавлять избыток:

(51+(63-50))×50 + (63-50)×(51-50) = 3200 + 13 = 3213

Один множитель меньше, другой больше опорного. Схема та же, но произведение недостатка и избытка нужно вычитать:

(45+(52-50))×50 – (52-50)×(50-45) = 2350 – 10 = 2340

В заключение

Как уже было сказано ранее, навык устного счета набирается из трех составляющих: это способность концентрироваться конкретном примере, грамотный подбор метода быстрого счета и, конечно, опыт. Запомните, даже зная наизусть все алгоритмы, упрощающие вам устный счет, вы не сможете сосчитать без пракики так же быстро, как если бы вы занимались этим каждый день уже несколько лет. Именно потоянные тренировки на разного рода тренажерах устного счета позволят вам отточить мастрство в этом деле и приобрести тот самый бесценный навык быстрого устного счета.

Онлайн тренажер устного счета 192 разнообразных режима тренировок: Уравнения, сравнения, отрицательные числа

Умножение и деление чисел в Excel

Умножение и деление в Excel не представляют никаких сложностей: достаточно создать простую формулу. Не забывайте, что все формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), а для их создания можно использовать строку формул.

Умножение чисел

Предположим, требуется определить количество бутылок воды, необходимое для конференции заказчиков (общее число участников × 4 дня × 3 бутылки в день) или сумму возмещения транспортных расходов по командировке (общее расстояние × 0,46). Существует несколько способов умножения чисел.

Умножение чисел в ячейке

Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор * (звездочка).

Например, при вводе в ячейку формулы =5*10 в ячейке будет отображен результат 50.

Умножение столбца чисел на константу

Предположим, необходимо умножить число в каждой из семи ячеек в столбце на число, которое содержится в другой ячейке. В данном примере множитель — число 3, расположенное в ячейке C2.

1. Введите =A2*$B$2 в новом столбце таблицы (в примере выше используется столбец D). Не забудьте ввести символ $ в формуле перед символами B и 2, а затем нажмите ввод.

   Примечание: Использование символов $ указывает Excel, что ссылка на ячейку B2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку B2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3*C3, которая не будет работать, так как в ячейке B3 нет значения.

2. Перетащите формулу вниз в другие ячейки столбца.

   Примечание: В Excel 2016 для Windows ячейки заполняются автоматически.

Перемножение чисел в разных ячейках с использованием формулы

Функцию PRODUCT можно использовать для умножения чисел, ячеек и диапазонов.

Функция ПРОИЗВЕД может содержать до 255 чисел или ссылок на ячейки в любых сочетаниях. Например, формула =ПРОИЗВЕДЕНИЕ(A2;A4:A15;12;E3:E5;150;G4;h5:J6) перемножает две отдельные ячейки (A2 и G4), два числа (12 и 150) и три диапазона (A4:A15, E3:E5 и h5:J6).

Деление чисел

Предположим, что вы хотите узнать, сколько человеко-часов потребовалось для завершения проекта (общее время проекта ÷ всего людей в проекте) или фактический километр на лилон для вашего последнего меж страны(общее количество километров ÷ лилонов). Деление чисел можно разделить несколькими способами.

Деление чисел в ячейке

Для этого воспользуйтесь арифметическим оператором / (косая черта).

Например, если ввести =10/5 в ячейке, в ячейке отобразится 2.

Важно: Не забудьте ввести в ячейку знак равно(=)перед цифрами и оператором /. в противном случае Excel интерпретирует то, что вы введите, как дату. Например, если ввести 30.07.2010, Excel может отобразить в ячейке 30-июл. Если ввести 36.12.36, Excel сначала преобразует это значение в 01.12.1936 и отобразит в ячейке значение «1-дек».

Примечание: В Excel нет функции DIVIDE.

Деление чисел с помощью ссылок на ячейки

Вместо того чтобы вводить числа непосредственно в формулу, можно использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для обозначения чисел, на которые нужно разделить или разделить числа.

Пример:

Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.

Копирование примера

1. Создайте пустую книгу или лист.

2. Выделите пример в разделе справки.

   Примечание: Не выделяйте заголовки строк или столбцов.

   Выделение примера в справке

3. Нажмите клавиши CTRL+C.

4. Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.

5. Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, которые возвращают эти результаты, нажмите клавиши CTRL+’ (ударение) или на вкладке «Формулы» нажмите кнопку «Показать формулы».

	A	B	C
1	Данные	Формула	Описание (результат)
2	15000	=A2/A3	Деление 15000 на 12 (1250).
3	12

Деление столбца чисел на константу

Предположим, вам нужно разделить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, которое содержится в другой ячейке. В этом примере число, на которые нужно разделить, составляет 3, содержалось в ячейке C2.

	A	B	C
1	Данные	Формула	Константа
2	15000	=A2/$C$2	3
3	12	=A3/$C$2
4	48	=A4/$C$2
5	729	=A5/$C$2
6	1534	=A6/$C$2
7	288	=A7/$C$2
8	4306	=A8/$C$2

1. В ячейке B2 введите =A2/$C$2. Не забудьте в формуле включить символ $ перед символами C и 2.

2. Перетащите формулу в ячейке B2 вниз в другие ячейки в столбце B.

Примечание: Символ $ указывает Excel, что ссылка на ячейку C2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Если вы не использовали в формуле символы $ и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3/C3, которая не будет работать, так как в ячейке C3 нет значения.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

См. также

Умножение столбца чисел на одно и то же число

Умножение на процентное значение

Создание таблицы умножения

Операторы вычислений и порядок операций

Математика — Центр дополнительного образования детей «Дистантное обучение»

01.01.2001

Техника устного счета

Умножение на 9, 11, 99, 101

Проще всего умножать и делить числа на 10, 100 и т.д. При этом к множимому приписывается столько нулей, сколько их имеется в множителе. Отсюда получаем простое правило для умножения на 9, 11, 99, 101.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Но это правило не стоит применять, когда число записано с помощью единиц и нулей. В этом случае легче произвести умножение на 9 непосредственно.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 11, нужно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само это число.

Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Нужно мысленно приписать справа к данному числу его само, и прочесть то, что получиться.

При умножении на 99 нужно, очевидно, увеличить данное число в 100 раз, и от полученного числа отнять само данное число.

Умножение на 2, 4

Умножение на 2 начинают со старших разрядов.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Умножение и деление на 5, 25, 50

Умножение на 5 сводится к делению пополам (надо умножить на 10 и результат разделить пополам).

Деление на 5 – это удвоение данного числа и последующее деление на 10.

При умножении на 25 мы умножаем на 100 и результат делим на 4.

При делении на 25 – умножаем на 4 (т. е. два раза на 2) и делим на 100.

При умножении на 50 умножаем на 100 и делим пополам; при делении на 50 сперва удваиваем, потом делим на 100.

Умножение на 3, 6 и 7

При умножении двузначного числа на 3, 6 или 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем.

86 x 3

80 x 3=240 6 x 3=18 86 x 3=258

35 x 7

30 x 7=210 5 x 7=35 35 x 7=245

Трёхзначное число умножается на 3 по такому же правилу: сначала умножаются сотни, потом десятки, потом единицы, затем всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно. Лучше сначала умножить на три, а затем результат удвоить.

519 x 6

519 x 3

500 x 3 = 1500 10 x 3 = 30 9 x 3 = 27 1557

1557 x 2 = 1500 x 2 + 57 x 2 = 3114

Умножение многозначных чисел на 7 требует особой тренировки.

Проценты

При вычислении процентов от некоторого числа удобно связывать проценты с представлением доли этого числа. Для некоторых процентов приведём таблицу соответствий.

% Доли 50 2 25 4 20 5

Умножение двузначных чисел, близких к 100

Покажем на примере:

93 x 98 = (93 — 2)	x 100 +	2 x 7 = 9114
|		|
дополнение до 100 для второго числа		произведение дополнений исходных чисел до 100

Обоснование этого способа дано ниже:

(100 — a) (100 — b) = (100 – а) x 100 – 100 x b + ab =
= 100 ((100 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 100 соответственно.

Умножение чисел, близких к 1000

Покажем на примере:

987 x 996 = (987 – 4) x 1000 + 4 x 13 = 983052

Обоснование:

(1000 — a) (1000 — b) = (1000 – а) x 1000 – 1000 x b + ab =
= 1000 ((1000 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 1000 соответственно.

Информация к размышлению

Предложите способ для быстрого умножения и деления чисел на 125, для умножения на 2,5, на 0,75, на 1,25.

Корень квадратный в уме

Каким способом можно быстро извлечь корень квадратный из целого числа, имеющего в десятичной записи не более четырех знаков? Предполагается, что корень извлекается из данного числа нацело.

Найдите корни , . Попробуйте найти .

Алгоритм извлечения корня квадратного

Рассмотрим на примере .

Для нахождения произведем следующие действия:

1) десятичную запись числа 273529 разобьем на группы по две цифры, начиная справа;

2) для старшей группы, образующей число 27, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа 27; такой цифрой будет 5, ее запишем в качестве первой цифры ответа;

3) из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности 27 – 25 = 2 припишем справа следующую группу цифр 35; получим число 235;

4) удвоив записанное в ответе число 5, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 235; такой цифрой будет 2 (ибо 102 x 2 = 204 < 235, но 103 x 3 = 309 > 235), ее и запишем в качестве второй цифры ответа;

5) из числа 235 вычтем найденное в предыдущем пункте произведение 204 и к остатку 31 снесем следующую группу цифр 29; получим число 3129;

6) удвоив записанное в ответе число 52, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 3129; такой цифрой будет 3 (ибо 1043 x 3 = 3129), ее и запишем в качестве третьей цифры ответа;

7) разность между снесенным числом 3129 и полученным в предыдущем пункте произведением равна 0, поэтому корень квадратный из числа 273529 извлекается нацело и равен записанному в ответе числу 523.

Решить длинный пример по действиям

Программа ЛовиОтвет – автоматическое решение математических примеров онлайн любой сложности с отображением этапов решения.

© 2010 – 2013 ЛовиОтвет – Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн.
Все права защищены.

Данный онлайн калькулятор умеет складывать вычитать делить и умножать. Кроме этого вы можете производить расчет выражений со скобками.

Поставить LIKE

и поделиться ссылкой

Калькулятор Инструкция Теория История Сообщить о проблеме

Простой математический онлайн калькулятор. Умеет складывать, делить, умножать и вычитать числа в десятичной системе счисления. Также производит расчет выражений в скобках.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Счет на автомате

 Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям.

Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

  Вычитание 7, 8, 9. Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

  Умножение на 9. Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10 (просто добавьте ноль в конце), а затем вычтите из результата само число. Например: 89*9=890-89=801. Эту операцию необходимо довести до автоматизма.

  Умножение на 2. Для устного счета очень важно уметь быстро умножать любое число на 2. Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных. Так 139*2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140*2=280), а потом вычесть 1*2=2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140). Итого: 140*2-1*2=280-2=278.

  Деление на 2. Для устного счета также важно уметь быстро делить любое число на 2. Несмотря на то, что многим умножение и деление на 2 дается достаточно просто, в сложных случаях также пытайтесь округлять числа. Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2). Итого: 198/2=200/2-2/2=100-1=99.

  Деление и умножение на 4 и 8. Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно. Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

  Умножение на 5. Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

  Умножение на 25. Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

  Умножение на однозначные числа. Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать дву- или трехзначное число поразрядно. Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 — разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581. Возьмем более сложный пример: 236*3. Итак, умножаем сложное число на 3 поразрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

  Определение диапазонов. Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных — не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более — 1 000 000 (999*999=998001).

  Деление 1000 на 2, 4, 8, 16. И наконец, полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5.

Эта математическая задача разделяет Интернет. Какой правильный ответ?

В сети сейчас бушуют величайшие дебаты нашей эпохи. Нет, дело не в том, действительно ли миру нужны постные яйца. Нет, это не недавно объявленные дебаты федеральных лидеров, в которых участвует HuffPost Canada (хотя мы очень взволнованы!). И это не то, чем занималась кандидат от Демократической партии США Марианна Уильямсон во время дебатов во вторник вечером.

Это о том, как делать математику.

Этот пост в Твиттере с изображением экрана из мультфильма с математической задачей — последняя драма о разделении мира.

И люди действительно разделены.

Даже местный ремонтник Queer Eye (и, вероятно, парень, разбирающийся в математике) Бобби Берк вмешался в дискуссию.

И калькулятор Google, кажется, тоже считает, что это 16 …

Но этот калькулятор считает, что это 1.

Убирайтесь отсюда с калькулятором Google. Я опасаюсь за ваше будущее 🤣🤣🤣 Любой научный калькулятор, очевидно, лучше с BIDMAS pic.twitter.com/He9MrlsesU

— specerful (@Specerful) 31 июля 2019 г.

Вот в чем дело — здесь, вероятно, есть несколько правильных ответов.

я думаю, что это 1, если вы используете свойство дистрибутива
a (b + c) = ab + ac
в этом случае,
2 (2 + 2) = 2 * 2 + 2 * 2
, поэтому 8/8
= 1

, но это 16 из вас, которые делают то, что указано в скобках, а затем выполняют порядок операций слева направо (bedmas, откуда я)
8/2 (4)
4 * 4
= 16

, так что, может быть, это неоднозначно? idek-

— -rae (@bigbrxthr) 31 июля 2019 г.

Это тоже, наверное, региональное дело. Те, кто следил за BEDMAS (часто также известными как BODMAS), как правило, получали 16, а те, кто использовал PEMDAS, получали один.

BEDMAS означает скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение и вычитание.

PEMDAS означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.

Оба аббревиатуры относятся к системам приоритезации математических элементов при вычислении уравнения.

Быстрый опрос канадского офиса HuffPost с наибольшим образованием показывает, что мы стойкие защитники BEDMAS. В качестве ответа мы также чаще всего получали 1. В то время как быстрый поиск в Google, кажется, показывает PEMDAS как предпочтительный порядок операций в Соединенных Штатах.

Так что же тогда правильный ответ? Это 16? Это 1? Это что-то совсем другое?

СМОТРЕТЬ: математические навыки лабрадора впечатляют.

Что ж, это всегда будет двусмысленно. Во многом это сводится к тому, как вы видите 2 на внешней стороне кронштейна. Является ли простое умножение приоритетом в выбранном вами порядке операций? Или это дистрибутив и, значит, часть планки?

Место, где вы выросли, вероятно, повлияет на ваш ответ, но математики выступают за то, чтобы было больше скобок, чтобы прояснить ситуацию.

«Если это все еще кажется неясным, лучше всего включить [больше] скобок, чтобы устранить любую возможную двусмысленность», — сказал британской газете Mirror профессор математики. «У математиков, как правило, нет проблем с общением друг с другом по поводу подобных вещей, но по какой-то причине людям нравится ставить подобные задачи в социальных сетях!»

БОНУС: случай для FOIL

Как заметил один проницательный пользователь Twitter, многие люди могут забывать еще одну важную часть алгебры, которая могла бы помочь внести ясность в эту проблему.

Умножение записывается как 8 ÷ 2 (2 + 2), а не как 8 ÷ 2 × (2 + 2), предполагая, что 2 является функцией скобок, а не независимым умножением. Итак, вы действительно сначала делаете умножение, чтобы помочь решить скобки. Ответ 1.

— Энтони (@StrongTurnip) 31 июля 2019 г.

Возможно, вам придется использовать еще одну длинную неактивную математическую аббревиатуру — FOIL, которая означает «первый вне внутри последний» при умножении двух наборов чисел в скобках.

Используя эту логику, ответ снова будет 1.

Люди с математическими степенями также говорят, что это 1. Я сейчас работаю над дипломом по математике с акцентом на статистическую математику. Фольга применяется к каждой скобке всегда в каждом выражении. Вы не выбираете выборочно, когда его использовать, математика так не работает.

— Энтони (@StrongTurnip) 31 июля 2019 г.

О, если бы только мой школьный учитель математического анализа мог видеть меня сейчас.

Алгебраические выражения. Порядок работы

1

Четыре операции и их признаки

Функция скобок

«Термины» в сравнении с «факторами»

Полномочия и показатели

Порядок операций

Раздел 2 :

Оценки и оценки

Переменные

Написание алгебраических выражений

АЛГЕБРА ЯВЛЯЕТСЯ МЕТОДОМ ПИСЬМЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ, который помогает нам рассуждать о числах.С самого начала ученик должен понять, что алгебра — это навык. И, как любое умение — вождение автомобиля, выпечка печенья, игра на гитаре — это требует практики. Много практики. Письменная практика. Тем не менее, давайте начнем.

Первое, что следует отметить, это то, что в алгебре мы используем буквы, а также числа. Но буквы обозначают цифры. Мы имитируем правила арифметики с буквами, потому что мы подразумеваем, что правило будет справедливо для любых чисел.

Вот, например, правило сложения дробей:

a c

+

b c

=

a + b c

Буквы a и b означают: чисел , которые находятся в числителях.Буква c означает: число в знаменателе. Правило означает:

«Какими бы ни были эти числа, сложите числители
и запишите их сумму над общим знаменателем».

Алгебра говорит нам, как решить любую задачу, в которой выглядит так . Это одна из причин, почему мы используем буквы.

В конце концов, символы цифр — 1, 2, 3 — не что иное, как письменные знаки. И буквы тоже.Как увидит ученик, алгебра зависит только от паттернов, которые образуют символы.

Цифры представляют собой числовые символы, а буквы называются буквальными символами.

Вопрос 1. Какие четыре операции арифметики и

какие их операционные признаки?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

1)	Дополнение: a + b .Знак операции — + и называется знаком плюс . Считайте a + b как « a plus b ».

1)	Например, если a представляет 3, а b представляет 4, то a + b представляет 7.

2)	Вычитание: a — b .Знак операции — и называется знаком минус . Считайте a — b как « a минус b ».

1)	Если a представляет 8, например, и b представляет 2, то a — b представляет 6.

3) Умножение: a · b . Считайте a · b как « a , умноженное на b .«

Знак умножения в алгебре — это центральная точка. Мы не используем крест умножения ×, потому что не хотим путать его с буквой x .

Итак, если a представляет 2, а b представляет 5, то

a · b = 2 · 5 = 10.

«2 умножить на 5 равно 10.»

Не путайте точку в центре — 2 · 5, что в США означает умножение — с десятичной точкой: 2 . 5.

Однако мы часто опускаем точку умножения и просто пишем ab . Прочтите « a , b .» Другими словами, когда между двумя буквами или между буквой и числом нет знака операции, это всегда означает умножение. 2 x означает 2 раза x .

4)

Дивизион:

a b

.Читать

a b

как « a , разделенное на b ».

В алгебре мы используем горизонтальную полосу деления. Если a представляет 10, например, а b представляет 2, то

a b

=

10 2

= 5.

«10 разделить на 2 равно 5.»

Примечание: В алгебре мы называем a + b «суммой», даже если мы не называем ответ. Как увидит студент, мы называем что-то в алгебре просто по тому, как это выглядит . Фактически, вы увидите, что вы занимаетесь алгеброй глазами, а затем следует то, что вы пишете на бумаге.

Аналогично, мы называем a — b разница, ab

продукт, а

a b

частное.

Этот знак = конечно же знак равенства, и мы читаем это —

a = b

— как « a равно (или равно) b ».

Это означает, что число слева, которое представляет a , равно числу справа, которое представляет b . Если мы напишем

a + b = c ,

, и если a представляет 5, а b представляет 6, то c должно представлять 11.

Вопрос 2. Каковы функции скобок () в алгебре?

3 + (4 + 5) 3 (4 + 5)

Круглые скобки означают, что мы должны рассматривать то, что они заключают в
, как одно число.

3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12. 3 (4 + 5) = 3 · 9 = 27.

Примечание: Если между 3 и (4 + 5) нет знака операции, это означает умножение.

Проблема 1.В алгебре, как написать

а) 5 умножить на 6? 5 · 6

б) x умножить на y ? xy

c) x разделить на y ?

x y

d) x плюс 5 плюс x минус 2?

( x + 5) + ( x -2)

e) x плюс 5 умножить на x минус 2?

( x + 5) ( x -2)

Проблема 2.Различают следующие:

а) 8 — (3 + 2) б) 8 — 3 + 2

а) 8 — (3 + 2) = 8 — 5 = 3.

б) 8 — 3 + 2 = 5 + 2 = 7.

В а) мы рассматриваем 3 + 2 как одно число. В б) нет. Мы должны сначала вычесть 3, а затем прибавить 2. (Но см. Порядок действий ниже.)

Существует распространенное заблуждение, что круглые скобки всегда означают умножение. Фактически в Уроке 3 мы увидим, что мы используем круглые скобки для отделения знака операции от алгебраического знака.8 + (−2).

Вопрос 3. Термины и факторы.

Когда числа складываются или вычитаются, они называются членами.

Когда числа умножаются, они называются множителями.

Вот сумма четырех членов: a — b + c — d .

В алгебре мы говорим о «сумме» членов, даже если есть вычитания. Другими словами, все, что выглядит как , как вы видите выше, мы называем суммой.

Вот произведение четырех множителей: abcd .

Слово , множитель всегда означает умножение.

И снова мы говорим о «продукте» abcd , хотя и не называем ответ.

Задача 3. Сколько в следующем выражении терминов ? И сколько факторов у каждого члена?

2 a + 4 ab + 5 a ( b + c )

Есть три термина.2 a — первый член. Он имеет два фактора:
2 и a .
4 ab — второй член. Он имеет три фактора: 4, a и b .
и 5 a ( b + c ) — все это один член. Он также имеет три фактора: 5, a и
( b + c ). Скобки означают, что мы должны рассматривать все, что заключено, как одно число.

Полномочия и показатели

Когда все факторы равны — 2 · 2 · 2 · 2 — мы называем произведение степенью этого коэффициента.Таким образом, a · a называется второй степенью a или « a в квадрате». a · a · a — третья степень a , или « a в кубе». aaaa — это a в четвертой степени и так далее. Мы говорим, что a само по себе является первой степенью a .

Теперь вместо того, чтобы писать aaaa , мы пишем a только один раз и помещаем маленькое 4:

a ⁴ (« a до четвертой»)

Эта маленькая четверка называется показателем степени.Он указывает количество повторений a как множитель.

8 ³ («8 в третьей степени» или просто «8 в третьей степени») означает 8 · 8 · 8.

Задача 4. Назовите первые пять степеней двойки. 2, 4, 8, 16, 32.

Проблема 5. Прочтите, а затем вычислите каждое из следующих утверждений.

а) 5 ² «5 во второй степени» или «5 в квадрате» = 25.

б) 2 ³ «2 в третьей степени» или «2 в кубе» = 8.

в) 10 ⁴ «10 до четвертого» = 10 000.

г) 12 ¹ «12 до первого» = 12.

Однако в алгебре принято не записывать показатель степени 1.

a = a ¹ = 1 a .

Учащийся должен позаботиться о том, чтобы не перепутать 3 с , что означает 3 умножить на a , с на ³ , что означает a раз на .

Вопрос 4. При нескольких операциях

8 + 4 (2 + 3) ² -7,

каков порядок работы?

Прежде чем ответить, отметим, что, поскольку знания в области науки являются причиной, по которой студенты должны изучать алгебру; и поскольку порядок действий появляется только в определенных формах, то на этих страницах мы представляем только те формы, с которыми студент может когда-либо столкнуться в реальной практике алгебры.Знак деления ÷ никогда не используется в научных формулах, только полоса деления. Крест умножения × используется только в научных обозначениях, поэтому ученик никогда не увидит следующее:

3 + 6 × (5 + 3) ÷ 3 — 8.

Такая задача была бы чисто академической, то есть это упражнение само по себе. Это не имеет практического значения. Это никуда не ведет.

Порядок операций следующий:

(1)	Оцените скобки, если они есть и требуют ли они оценки.
(2)	Оцените степени, то есть экспоненты.
(3)	Умножать или делить — неважно.
(4)	Сложить или вычесть.

В примерах 1 и 2 ниже мы увидим, в каком смысле мы можем прибавить или вычесть .А в примере 3 мы встретим умножение или деление.

Примечание: «Оценить» означает назвать и написать число.

Пример 1. 8 + 4 (2 + 3) ² -7

Сначала оценим скобки, то есть заменим 2 + 3 на 5:

= 8 + 4 · 5 ² -7

Поскольку теперь есть только одно число, 5, нет необходимости писать круглые скобки.

Обратите внимание, что мы преобразовали один элемент, круглые скобки, и переписали все остальные.

Затем оцените показатели:

= 8 + 4 · 25 — 7

Теперь умножаем:

= 8 + 100 — 7

Наконец, прибавьте или вычтите , это не имеет значения. Если мы добавим сначала:

= 108 — 7 = 101.

А если сначала вычесть:

8 + 100-7 = 8 + 93 = 101.

Пример 2. 100 — 60 + 3.

Первый:

100 — 60 + 3 означает, что не означает 100 — 63.

Только при наличии скобок —

100 — (60 + 3)

— можно ли рассматривать 60 + 3 как одно число. В отсутствие скобок задача означает вычесть 60 из 100, а затем прибавить 3:

.

100-60 + 3 = 40 + 3 = 43.

На самом деле, не имеет значения, прибавляем ли мы сначала или сначала вычитаем,

100-60 + 3 = 103-60 = 43.

Когда мы перейдем к числам со знаком, мы увидим, что

100 — 60 + 3 = 100 + (−60) + 3.

Порядок, в котором мы «добавляем» их, значения не имеет.

Пример 3.

11 · 35 5

Нет скобок для вычисления и показателей степени. Далее в порядке умножения или деления .Мы можем сделать то же самое — мы получим тот же ответ. Но обычно сначала делить умнее, потому что тогда нам нужно будет умножать меньшие числа. Поэтому сначала разделим 35 на 5:

.

11 · 35 5	=	11 · 7
	=	77.

См .: Навык арифметики, свойство 3 деления.

Пример 4. ½ (3 + 4) 12 = ½ · 7 · 12.

порядок факторов не имеет значения: abc = bac = cab и т. Д. Следовательно, мы можем сначала сделать ½ · 12. То есть мы можем сначала разделить 12 на 2:

.

½ · 7 · 12 = 7 · 6 = 42.

(См. Урок 27 по арифметике, вопрос 1.)

Пример 5. Полоса деления.

8 + 20 10 — 3

В любой задаче с полосой деления, прежде чем мы сможем разделить, мы должны оценить верх и низ в соответствии с порядком операций. Другими словами, мы должны интерпретировать верх и низ как заключенные в круглые скобки.

8 + 20 10 — 3

означает

(8 + 20) (10–3)

.

Теперь продолжим, как обычно, и сначала оценим скобки. Ответ 4.

Проблема 6. Оцените каждое из следующих действий в соответствии с порядком действий.

а)	3 + 4 · 5 =		б)	2 + 3 · 4 + 5 =
	3 + 20 = 23			2 + 12 + 5 = 19
в)	4 + 5 (2 + 6) =		г)	(4 + 5) (2 + 6) =
	4 + 5 · 8 = 4 + 40 = 44			9 · 8 = 72

г)

2 + 2 · 3 2 14-3 · 2 2

=

2 + 2 · 9 14 — 3 · 4

=

2 + 18 14–12

=

20 2

=

10.

Раздел 2 :

Оценки и оценки

Переменные

Написание алгебраических выражений

Содержание | Дом

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Круглые, фигурные и квадратные скобки в математике

Вы встретите много символов в математике и арифметике.Фактически, язык математики написан символами, с некоторым текстом, вставленным по мере необходимости для пояснения. Три важных и связанных символа, которые вы часто будете видеть в математике, — это круглые, квадратные и фигурные скобки, которые вы часто будете встречать в предалгебре и алгебре. Вот почему так важно понимать, как эти символы используются в высшей математике.

Использование круглых скобок ()

Круглые скобки используются для группировки чисел или переменных, или того и другого. Когда вы видите математическую задачу, содержащую круглые скобки, вам нужно использовать порядок операций для ее решения.Например, возьмем задачу: 9-5 ÷ (8-3) x 2 + 6

Для этой проблемы вы должны сначала вычислить операцию в круглых скобках, даже если это операция, которая обычно выполняется после других операций в задаче. В этой задаче операции умножения и деления обычно выполняются перед вычитанием (минус), однако, поскольку 8–3 попадают в круглые скобки, вы должны сначала решить эту часть задачи. Как только вы позаботитесь о вычислениях, которые попадают в круглые скобки, вы удалите их.В этом случае (8 — 3) становится 5, поэтому вы должны решить проблему следующим образом:

9-5 ÷ (8-3) x 2 + 6

= 9–5 ÷ 5 х 2 + 6

= 9 — 1 х 2 + 6

= 9 — 2 + 6

= 7 + 6

= 13

Обратите внимание, что в соответствии с порядком операций вы должны сначала работать с тем, что указано в круглых скобках, затем вычислять числа с показателями, а затем умножать и / или делить и, наконец, складывать или вычитать.Умножение и деление, а также сложение и вычитание занимают одинаковое место в порядке операций, поэтому вы выполняете их слева направо.

В приведенной выше задаче, позаботившись о вычитании в круглых скобках, вам нужно сначала разделить 5 на 5, получив 1; затем умножьте 1 на 2, получив 2; затем вычтите 2 из 9, получив 7; а затем сложите 7 и 6, получив окончательный ответ 13.

Скобки также могут означать умножение

В задаче: 3 (2 + 5) круглые скобки говорят вам умножать.Однако вы не будете умножать, пока не завершите операцию в круглых скобках — 2 + 5 — поэтому вы решите проблему следующим образом:

3 (2 + 5)

= 3 (7)

= 21

Примеры скобок []

Скобки также используются после скобок для группировки чисел и переменных. Обычно вы используете сначала круглые скобки, затем скобки, а затем фигурные скобки. Вот пример проблемы с использованием скобок:

4–3 [4–2 (6–3)] ÷ 3

= 4 — 3 [4 — 2 (3)] ÷ 3 (Сначала выполните операцию, указанную в скобках; скобки оставить.)

= 4 — 3 [4 — 6] ÷ 3 (Выполните операцию в скобках.)

= 4 — 3 [-2] ÷ 3 (Скобка советует вам умножить число внутри, которое составляет -3 x -2.)

= 4 + 6 ÷ 3

= 4 + 2

знак равно 6

Примеры скоб {}

Фигурные скобки также используются для группировки чисел и переменных. В этом примере задачи используются круглые, квадратные и фигурные скобки. Скобки внутри других скобок (или скобок и фигурных скобок) также называются «вложенными скобками».»Помните, когда у вас есть круглые скобки внутри скобок и фигурных скобок или вложенные круглые скобки, всегда работайте изнутри:

2 {1 + [4 (2 + 1) + 3]}

= 2 {1 + [4 (3) + 3]}

= 2 {1 + [12 + 3]}

= 2 {1 + [15]}

= 2 {16}

= 32

Примечания о круглых, квадратных и фигурных скобках

Круглые, квадратные и фигурные скобки иногда называют «круглыми», «квадратными» и «фигурными» скобками соответственно.Подтяжки также используются в наборах, например:

{2, 3, 6, 8, 10 …}

При работе с вложенными круглыми скобками всегда будут скобки, скобки, фигурные скобки в следующем порядке:

{[()]}

Дробные экспоненты: правила умножения и деления

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Обучение работе с экспонентами является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для недробные показатели.Первым шагом к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, является краткое изложение того, что они собой представляют, а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели, когда они умножаются или делятся и имеют одинаковое основание. Короче говоря, вы складываете показатели вместе при умножении и вычитаете одну из другой при делении, при условии, что они имеют одинаковое основание.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Умножьте члены на показатели по общему правилу:

x ^a + x ^b = x ^{( a + b )}

И разделите члены на показатели, используя правило:

x ^a ÷ x ^{b = x ( a — b )}

Эти правила работают с любым выражением вместо a и b , даже с дробями.4

На дроби

Умножение и деление — обратные операции. Когда мы делим на 2, мы могли бы решить ту же задачу, умножив на 1/2.

Подумайте о 36 ÷ 2, что равно 18. Половина от 36, или 36 x ½ также равно 18.

Мы можем использовать это свойство, чтобы помочь нам разделить дроби.

Метод 1:

Умножение на обратное, также иногда называемое «сохранить, изменить, перевернуть».

Вот как это работает. Вы переписываете вопрос о делении как вопрос об умножении, переворачивая вторую дробь.

Пример №1:

Перепишите этот вопрос как

Итак

Пример № 2:

Перепишите этот вопрос как

Итак

Пример № 3:

Сначала перепишите целое число как дробь. 6

Затем измените вопрос на

Затем оставьте первое число, измените деление на умножение, а затем переверните вторую дробь.

Пример # 4:

Начните с записи 5 как дроби.5

Теперь мы можем переписать вопрос как задачу умножения.

So

Есть и другие методы деления дробей, если вы не можете вспомнить эти шаги.

Метод 2:

Получите общие знаменатели и затем разделите числители.

Пример № 5:

Начнем с переписывания задачи с общими знаменателями. Лучший знаменатель — 6.

Теперь, когда у нас есть общие знаменатели, мы можем просто разделить числители.

Давайте еще раз пройдемся по шагам.

Пример № 6:

Наименьшим общим знаменателем для этого примера будет 40.

Теперь мы готовы к делению.

Этот метод работает, но для его решения требуются общие знаменатели. Этот первый вариант не требует общих знаменателей, но вы должны не забыть перевернуть вторую дробь и заменить задачу на умножение.

Ссылки по теме:
Математика
Дроби
Рабочие листы с дробным делением
Словарь по математике — Викторина по делению и дробям
Викторина по преобразованию десятичных дробей в дроби
Тест по сравнению и порядку дробей
Тест по умножению дробей
Тест по делению дробей
Факторы

4 простых способа умножения экспонент [+ действия]

Что общего у землетрясений, фондового рынка, информатики и ядерной физики?

Все они включают показателя умножения .

Показатели являются неотъемлемой частью алгебры, полиномиальных уравнений и курсов математики более высокого уровня, но многим студентам сложно понять, как с ними работать. Вы ознакомились с правилами экспонента со своим классом, и теперь пора применить их.

Давайте рассмотрим: правила экспоненты

Прежде чем вы начнете учить своих учеников умножению экспоненты, вы можете провести с ними быстрый обзор основ работы экспоненты.

Показатели (также называемые степенью , ) регулируются правилами, как и все остальное в классе математики.Вот краткое резюме:

Показатель степени — это способ выражения повторного умножения . Например, 35 представляет собой три, умноженные на себя пять раз:

35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

35 = 243

Первое число называется основанием . Он представляет собой число, которое умножается.

Второе меньшее число — это показатель степени . Он представляет собой количество раз, когда основание умножается само на себя.

Существует семь правил экспоненты :

1. Правило произведения степеней : сложение степеней при умножении подобных оснований
2. Правило соотношения степеней : вычитание степеней при делении подобных оснований
3. Правило силы полномочий : Умножение степеней вместе при увеличении степени на другой показатель
4. Степень произведения rul e: Распределение мощности на каждую основу при возведении нескольких переменных в степень
5. Степень правила частного : Распределение мощности на все значения в частное
6. Правило нулевой степени : Любое основание, возведенное в степень нуля, становится единицей
7. Правило отрицательной экспоненты : Чтобы изменить отрицательную экспоненту на положительную, переверните ее в обратную

Понятно? Тогда давай продолжим.

Как умножить экспоненты четырьмя способами

Помните, что все эти стратегии — просто ярлыки, помогающие упростить более сложные уравнения. Чтобы найти фактическое значение показателя степени, учащиеся должны сначала понять, что это означает: повторное умножение .

Познакомьте студентов с основами, такими как выражение показателей в виде произведений, прежде чем переходить к умножению показателей.

Когда они освоятся с концепцией, пора начинать.

1. Умножение степеней с одним и тем же основанием

Когда вы умножаете экспоненты, используйте первое правило: складывают степени при умножении одинаковых оснований.

52 × 56 =?

Основания уравнения остаются неизменными, а значения показателей складываются.

52 × 56 = 58

Но почему это работает? Давайте посмотрим немного внимательнее:

Сложение экспонент — это всего лишь быстрый путь к ответу. Когда мы складываем экспоненты, мы увеличиваем количество раз, когда основание умножается само на себя.

Это правило остается неизменным, независимо от сложности вопроса. Вот более сложный пример с переменными:

(2𝒙8) (3𝒙5) =?

Во-первых, умножьте числа (2 и 3) вместе, поскольку это коэффициенты , а не основание. (Коэффициент — это число, умноженное на переменную, например 𝒙.) ​​

Затем сложите показатели степени.

(2𝒙8) (3𝒙5) = 6𝒙13

2. Умножение степеней с разными основаниями

Можно умножать экспоненты с разными основаниями, но есть одна важная загвоздка: экспоненты должны быть одинаковыми.

Вот как это сделать:

54 × 24 =?

Сначала умножьте основания вместе. Затем добавьте показатель степени. Вместо того, чтобы складывать два показателя вместе, оставьте то же самое.

54 × 24 = 104

Вот почему это работает:

Это из-за правила четвертой степени: распределяет мощность на каждую базу при возведении нескольких переменных в степень . Это уравнение также можно записать как (5 × 2) 4, что означает, что показатель степени распределяется между 5 и 2.

А теперь попробуем умножить переменные на показатели.

(3y3) (4y3) =?

Помните, что правило остается в силе до тех пор, пока , поскольку показатели степени и переменные равны (потому что переменные 𝒙 и y нельзя комбинировать).

(3y3) (4y3) = 12y3

3. Умножение показателей степени с разными основаниями и показателями

Что происходит, когда вы хотите умножить разные показатели степени с разными основаниями?

Короткий ответ: вы не можете. В отличие от приведенных выше примеров, здесь нет ярлыка.

Например:

Поскольку 24 и 32 не имеют ничего общего, чтобы их можно было объединить, ответ не может быть упрощен до одного показателя степени и должен быть выражен как обычное число.

4. Умножение отрицательных показателей

Это может показаться сложным, но умножение показателей степени на отрицательные числа в точности совпадает с умножением показателей степени на неотрицательные числа.

Начните с рассмотрения свойств отрицательных чисел. В частности, просмотрите, как их складывать и умножать.Ваши ученики должны чувствовать себя комфортно, работая с отрицательными числами, прежде чем они перейдут к отрицательным показателям.

Затем запомните правило седьмого показателя степени: , чтобы изменить отрицательный показатель степени на положительный, переверните его на обратное значение .

То же основание, разные степени:

4-3 × 42 =?

Помните — складывайте экспоненты с одинаковыми основаниями.

4-3 × 42 = 4-1

Чтобы решить эту экспоненту, переверните отрицательную экспоненту в обратную.

4-1 = ¼ = 0.25

Разное основание, но одинаковые показатели:

2-5 × 3-5 =?

Как и выше, умножьте основания и оставьте степень без изменений.

2-5 × 3-5 = 6-5

Чтобы решить, переверните отрицательный показатель степени в обратную величину.

6-5 = ⅙5

Если показатели степени не имеют ничего общего, решите уравнение напрямую:

2-3 × 32

Сначала преобразуйте отрицательные показатели степени в обратные, затем вычислите.

Когда вы умножаете показатели, напомните учащимся:

• Сложите показатели , если основания одинаковые
• Умножьте основания , если показатели одинаковые
• Если ничего не одинаково , просто решите это

Упражнения для тренировки умножения на показатели

1.Prodigy

Развитие навыков владения математикой — важная часть уверенности учащихся в курсах математики в средней школе и колледже. Студенты могут практиковать умножение показателей и другие математические концепции с Prodigy, в то время как вы задаете индивидуальные внутриигровые вопросы, основанные на содержании урока.

Ваш класс будет исследовать мир, наполненный увлекательными заданиями, экзотическими домашними животными и изучением математики. Вы сможете выбрать, на какие вопросы они будут отвечать, и в режиме реального времени получать данные о том, что они усвоили, над чем работают и где им может потребоваться дополнительная помощь.

Обладая 1,400 навыками и неисчислимым количеством навыков, вы сможете предоставить материалов, соответствующих учебной программе, материалов по любой теме, которую вы изучаете, включая умножение показателей.

2. Exponent War

Education.com

Классическая карточная игра, но с невероятно интересным поворотом!

Ученики работают в командах по двое и соревнуются друг с другом. Раздайте каждой команде колоду карт (с вынутыми дамами, валетами и королями) и попросите каждого игрока вытащить по две карты.Первая карта — это база, а вторая карта — экспонента.

Каждой паре предстоит соревноваться, чтобы решить свое уравнение и найти продукт. Побеждает команда с наибольшим ответом. Установите таймер для класса и посмотрите, кто наберет больше очков.

Пока ученики играют, пройдитесь по классу и убедитесь, что они не пропустили ни одной ступеньки. Если вы видите много ошибок или затруднений у учащихся, примите это как знак того, что вам, возможно, придется пересмотреть.

3. Exponent Scavenger Hunt

Дайте вашим ученикам возможность искать сокровища и исследовать класс с показательной охотой на мусорщиков.

Разделите ваш класс на группы по три или четыре человека. В зависимости от количества групп, сделайте несколько разных наборов карточек. Начинайте каждый набор с карточки, на которой есть проблема. Напишите ответ на проблему на следующей карточке, а другую задачу на обратной стороне. Продолжайте, пока не получите три или четыре набора задач (или больше).

Начиная с первой карточки, каждая группа должна решить задачу и найти правильный ответ где-нибудь еще в классе .Найдя правильную карточку с ответами, они могут перевернуть ее и решить следующую задачу. Раздайте учащимся записки для решения и позвольте им начать поиск ответов. Какая бы команда ни финишировала первой, становится победителем!

4. Exponent Jeopardy

Каждый ученик любит классическую игру Jeopardy. Используя настраиваемый шаблон, замените мелочи вопросами, которые дают студентам возможность попрактиковаться в умножении показателей, и разделите класс на две команды.

Вот несколько советов, которые помогут обеспечить бесперебойную работу игры:

• Если у вас большой класс, подумайте о том, чтобы разделить класс на несколько игр, чтобы у каждого ученика была возможность участвовать.
• Чтобы объединить математические и компьютерные навыки, Предложите учащимся сделать игру самостоятельно.Дайте им шаблон (или пусть более продвинутые ученики начнут с нуля) и попросите их сделать небольшую игру.
• Используйте его в качестве конечного упражнения перед тестом и комбинируйте более важные вопросы с более сложными ответами

5. Рабочие листы для умножения показателей

Рабочие листы — это проверенный метод развития математики свободное владение определенным набором навыков. Они также могут быть индикатором понимания учащимся, когда используются как часть стратегии формирующего оценивания.Вот некоторые из наших фаворитов:

Если вы ищете рабочий лист, который охватывает больше, чем просто умножение степеней, ознакомьтесь с нашей таблицей правил экспонент (с ключом ответа).

Для чего-то более уникального, попробуйте это упражнение с умножением многочленов. Как и в обычном рабочем листе, в нем есть вопросы, на которые студенты должны ответить, но он также содержит «банк ответов» для студентов. Вырежьте сопутствующие полоски и перемешайте их. Попросите учащихся сопоставить ответы с правильным разделом на своем листе после решения уравнения и демонстрации своей работы.

Умножение степеней: давайте рассмотрим

Если ваши ученики помнят только три вещи, убедитесь, что это следующие концепции:

• Сложите степени при умножении как основание
• Умножьте основания при умножении как экспонентах
• Показатели — это произведение многократного умножения

Если они помнят эти три правила, у них будет прочный фундамент, построенный еще до первого урока алгебры в средней школе.

Как всегда, делайте это медленно и убедитесь, что учащиеся понимают основы, прежде чем все усложняется. Это может показаться сложной идеей для преподавания, но придерживайтесь шагов и продвигайтесь в логическом порядке, чтобы увидеть, как знания ваших учеников растут.

Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — бесплатной игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и ученикам. Он согласован с учебными планами англоязычных стран, его любят более миллиона учителей и 50 миллионов студентов.

Зарегистрируйтесь сейчас

Калькулятор дробей — умножение, деление, сложение и вычитание

Эта страница содержит калькулятор дробей . Введите две дроби и выберите, нужно ли сложить, вычесть, умножить или разделить дроби. Мы выполним математику по вашему выбору и позволим инструменту вернуть вам простейшую форму дроби.

Дроби Арифметический калькулятор

Что такое дроби?

Дроби — это два числа, выраженные как часть целого. Они состоят из верхнего числа (числитель) и нижнего числа (знаменатель) и подразумевают деления .

дробь \ form = \ frac {числитель} {знаменатель}

Арифметика дроби

Для четырех основных арифметических функций — сложение , вычитание , деление и умножение — есть основные правила при работе с дробями. Я проведу вас по каждому из них и покажу пример.

Сложение дробей

Чтобы сложить две дроби:

1. Сначала преобразуйте обе дроби в общее основание, умножив верхнюю и нижнюю части на одно и то же число, чтобы получить основание.(Вы можете найти наименьший общий знаменатель или лениво перемножить все знаменатели вместе).
2. Сложите два числителя и поместите результат в новый числитель.
3. Сложите два знаменателя и поместите результат в новый знаменатель.
4. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример сложения дробей

Давайте сложим две дроби вместе: 3/9 и 1/7.

\ frac {3} {9} + \ frac {1} {7} \ common \ denominator \ = 21 \\ ~ \\\ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} * \ frac {7} {7} = \ frac {7} {21} \\ ~ \\\ frac {1} {7} * \ frac {3} {3} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\\ frac {7} {21} + \ frac {3} {21} = \ frac {10} {21}

Вычитание дробей

Чтобы вычесть две дроби:

1. Сначала преобразуйте обе дроби в общее база.Затем вам нужно умножить верхнее и нижнее числа на одно и то же число, чтобы получить основание. (Либо найдите наименьший общий знаменатель, либо просто умножьте знаменатели вместе).
2. Вычтите второй числитель из первого, поместив результат в новый числитель.
3. Вычтите второй знаменатель из первого, поместив результат в новый знаменатель.
4. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример вычитания дроби

Давайте вычтем дробь 1/7 из 6/21.

\ frac {6} {21} — \ frac {1} {7} \ common \ denominator \ = 21 \\ ~ \\\ frac {1} {7} * \ frac {3} {3} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\\ frac {6} {21} — \ frac {3} {21} = \ frac {3} {21} \\ ~ \\ (сокращенный) = \ frac { 1} {7}

Умножение дробей

Умножение двух дробей — самый простой способ запомнить — просто умножьте числитель и знаменатель пополам:

1. Умножьте первый числитель на второй и вставьте его в новый числитель.
2. Умножьте первый знаменатель на второй и поместите его в новый знаменатель.
3. (Необязательно) Найдите сокращенную или простейшую форму дроби.

Пример умножения дроби

Давайте умножим дроби 3/9 и 1/7.

\ frac {3} {9} * \ frac {1} {7} = \ frac {3} {63} \\ ~ \\ (уменьшенный) = \ frac {1} {21}

Разделение на дроби

Разделение на дроби также относительно несложно. Мы добавляем один шаг к умножению и инвертируем или «переворачиваем» вторую дробь.

1. Записываем вторую дробь, получая обратную, или ставим знаменатель над числителем.{-1} = \\ ~ \\\ frac {1} {7} * \ frac {3} {1} = \ frac {3} {7}

   Как пользоваться калькулятором дробей

   Вы можете использовать калькулятор дробей, не запоминая все эти арифметические функции!

   В поле для Fraction One введите числитель для первой дроби. В поле Fraction Two введите числитель и знаменатель второй дроби.

   В меню Operation выберите, какую функцию выполнять — сложить (+), вычесть (-), умножить (*) или разделить (÷) дроби? Выберите свои предпочтения из меню.