Конспект урока «Замена действия сложения умножением» | План-конспект урока по математике (2 класс):

Урок математике во 2 классе по теме : « Замена действия сложения умножением»

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока: формировать представления о новом арифметическом действии – умножении как сумме одинаковых слагаемых, раскрыть его смысл и практическую целесообразность, познакомить с записью умножения ; использовать данные понятия при решении несложных задач; развивать объяснительную речь, логическое мышление,  интерес к математике.

Задачи урока:

— образовательные (формирование познавательных УУД): дать представления о новом арифметическом действии – умножении как сумме одинаковых слагаемых, раскрыть его смысл и практическую целесообразность, познакомить с записью умножения;

— развивающие (формирование регулятивных УУД): умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

— воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Необходимое оборудование: компьютер, проектор, учебники по математике, раздаточный материал, электронные презентация учителя, выполненные в программе PowerPoint.

Ход урока

1. Организационный момент.

Организация рабочего места

Приветствие обучающихся.

Запись обучающимися числа в тетради.

2.Самоопределение к деятельности.

Слайд 1.

Учитель: Найдите закономерность в числовом ряду:

…, 14, 21, 28, 35,…, …, …, …

Какие числа можно вставит на месте пропусков? Почему? Что вы знаете о числе 7? В каких сказках встречается это число?

Слайд 2.

Учитель: Сегодня мы приглашены в гости в сказку.

(Этосказка « Белоснежка и 7 гномов»).

Учитель:Давайте вспомним, как зовут наших героев.

(Понедельник, Вторник….)

Учитель:Любое путешествие в сказку – это всегда что – то новое, интересное и очень важное. Сказочные герои помогут вам справиться со всеми заданиями урока и сами дадут вам задания! А чем вы собираетесь порадовать гномов?

3. Актуализация.

Слайд 3, карточка 1.

Учитель: Понедельник очень старался порадовать своих гостей и, конечно, начал с украшения садика. Около своего домика он посадил прекрасные цветы, на каждой клумбе у него растёт по 5 синих кустов.

Разбейте цветы на клумбы. Сколько получилось клумб?

А как узнать, сколько всего цветов? Запишите решение.

( 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 (ц.))

Учитель: Что означает число 5? Почему сложили 5 раз?

Слайд 4.

Учитель:Чтобы затопить печь, Вторник стал пилить дрова. 6 брёвен он распилил на 4 части. Как узнаете сколько получилось поленьев, запишите.

( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24(п.))

Учитель: Что означает число 4? Почему сложили 6 раз?

4.Фиксация затруднения, постановка проблемы.

Слайд 5.

Учитель: Среда решил угостить вас вишнями. Сколько в вашем классе человек?

( 27 ).

Учитель: Каждому из вас он приготовил по 3 вишни. Сколько всего вишен он собрал?

     Гномик начинает «бежать» и  бежит до клика мышью, т. е. пока дети не догадаются, что 27 раз складывать по 3 – долго.

( 3 + 3 + 3 + 3 + 3………. И так 27 раз?)

Учитель:В чём проблема?

( Много одинаковых слагаемых).

Учитель: Как же решить проблему?

( Надо записать как – то по – другому, короче).

Учитель: Из записи должно быть понятно, какое число складывали и сколько раз. Что вы предлагаете?

Дети предлагают разные варианты.

5.Открытие нового знания, целеполагание

Слайды 6 – 7.

Учитель:Операция сложения одинаковых слагаемых – умножение. Это новое арифметическое действие. Число в записи называются множителями, а сама запись – произведением. Первый множитель обозначает, какое число брали слагаемым, а второй – сколько раз надо было сложить. И так, какая тема урока? Чему должны научиться?

(Умножение. Коротко( с помощью умножения) записывать сумму одинаковых слагаемых)

6.Первичное закрепление.

Слайды 8 – 9.

Учитель: Гном Четверг приготовил для вас своё задание. Запишите короче, используя знак умножения. Прочитайте по – разному:

4+4+4+4=4х4

11+11+11=11х3

54+54=54х2

8+8+8+8+8+8=8х6

в +в+в=в х 3

а +а +а + а + а = а х 5

Самопроверка по образцу.

Учитель: Весёлый Пятница просит вас заменить умножение сложением:

7 х 8 =                               с х 2

15 х 3 =                             в х 6

36 х 4 =                             у х 7

Взаимопроверка в парах.

7.Физминутка

Дили – дон, дили – дон,	Наклоны из стороны в сторону руки на поясе
Строят гномы новый дом,	Стучать кулак об кулак
Красят стены, красят пол	Руками « красят» сбоку, снизу
Прибирают всё кругом.	« метут»
В гости к гномам мы идем	Шаги на месте
И подарки мы несём.	Руки вперёд
На пол – мягкую дорожку,	Наклоны вперед, руками « расстилают» дорожку
Расстелив её к порожку.	Шаги назад
Две подушки на диван,	Руки под щёки
Мёду липового жбан.	Руки округляют и вытягивают перед собой

8.Самостоятельная работа

Слайд 10, карточка 2

Учитель:А теперь пора убедиться, что вы в гостях у гномов узнали много нового.

Запишите короче: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = п + п + п =

Сравните: 28 х 2 c +d

28 + 28 с х 2

Взаимопроверка.

Учитель:Придумайте для соседа по парте две суммы одинаковых слагаемых. Обменяйтесь тетрадями и запишите суммы в виде произведения. Проверьте работу друг друга.

9. Рефлексия

Слайд 11.

Что нового вы узнали из нашей сказки? Чему научились? Кто из вас доволен своей работой?

10. Домашнее задание

Слайд 12.

Стр. 74 правило, № 5, 7

Учитель: Спасибо за урок.

Литература:

1. « Уроки математики»  серия « Современная школа», составитель М.А. Смирнова, издательство « Глобус» 2008 год.

6.4. Выполнение операций сложения, вычитания и умножения целых чисел

← 6.3. Сумматор

6.5. Контрольные вопросы и задания →

Навигация по разделу:

6.4.1. Сложение и вычитание

↑ Наверх

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки. Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

   Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов. Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Если это не повторное добавление, то что это? – Дениз Гаскинс, «Давайте поиграем в математику»

[Фото: SuperFantastic.]

Последняя статья Кейта Девлина «Это не повторяющееся сложение» подвела меня к минимуму. В прошлом я много раз использовал формулу «умножение — это многократное сложение», например, при объяснении порядка операций. Но согласно Девлину:

Умножение просто не является повторяющимся сложением, и рассказ младших школьников об этом неизбежно приводит к проблемам, когда они впоследствии узнают, что это не так.

Я поймал себя на том, что спорю со статьей, пока читал ее. (Кто-нибудь еще делает это?) Если умножение — это , а не повторение сложения, то что в мире — это ?

Математик против учителя

Умножение натуральных чисел, конечно, дает тот же результат , что и многократное сложение, но это не делает его одним и тем же. На велосипеде я добираюсь до офиса примерно за то же время, что и на машине, но эти два процесса очень разные. Рассказывать ученикам неправду, предполагая, что ее можно исправить позже, редко бывает хорошей идеей. И сказать им, что умножение — это многократное сложение, безусловно, потребует отмены позже.

Что за отмена? Я имею в виду, что формула «повторяющегося сложения» работает и с алгеброй: . Почему мы не можем использовать это как определение?

Сколько позже? Как только ребенок перейдет от умножения целых чисел к умножению на дроби (или произвольные действительные числа). В этот момент вы должны рассказать другую историю.

О, да. «Повторяющееся сложение» прекрасно работает как модель и для , и для , и даже для . Но мы должны использовать другую модель, чтобы понять или . И если модель не работает универсально, то ее уж точно нельзя использовать для определения операции.

Учитель уступает: Умножение не является повторяющимся сложением.

Итак, как

мы будем учить этому?

Почему бы не сказать, что есть (по крайней мере) две основные вещи, которые вы можете делать с числами: вы можете складывать их и вы можете их умножать… Сложение и умножение — это просто действия, которые вы делаете с числами — они входят в комплект поставки. Мы включаем их, потому что есть много полезных вещей, которые мы можем сделать, когда мы можем складывать и умножать числа.

А? Я должен говорить своим ученикам, что это «просто то, что вы делаете с числами»? Делай это, потому что я учитель, и я говорю, что ты должен, и когда-нибудь ты увидишь, что это имеет смысл?!

Нет, Девлин не может этого иметь в виду. Я думаю. Хотя могу ошибаться. В более ранней статье он писал:

Я думаю, что многие математические понятия можно понять только после того, как учащийся приобретет процедурные навыки использования этих понятий. В таких случаях обучение может иметь место, только если сначала научиться следовать символическим правилам, а понимание возникает позже, иногда значительно позже.

А пока вернемся к статье об умножении. Девлин приводит пример каждой операции…

Сложение равно «И»

Например, сложение чисел показывает, сколько вещей (или частей вещей) у вас есть при объединении коллекций.

Основным процессом сложения является комбинация:

Или, выражаясь графически:

Умножение «Из»

Умножение полезно, если вы хотите узнать результат масштабирования некоторой величины.

Основным процессом умножения является масштабирование, как в определении 2:

v. чешуйчатые, чешуйчатые, чешуйчатые (v.tr.)
1. Подняться или перелезть; восхождение: восхождение на вершину.
2. Чтобы выполнить в соответствии с определенной пропорцией или масштабом: Масштабируйте модель до одной десятой от фактического размера.
3. Изменять по стандарту или по ступеням; корректировать в рассчитанных количествах: уменьшить их требования…

Или, выражаясь графически:

Имеет смысл масштабировать модель вверх или вниз. Мы можем легко получить долю единицы. Если мы можем поместить иррациональное число на числовую прямую, то мы можем использовать его в качестве масштабного коэффициента. Нет проблем.

«Ага!» Фактор

И диаграммы показывают другое. Мы видим, как многократное сложение одного и того же числа «превращается» в умножение единицы. Или, как написал Девлин:

Но теперь вы подготовили почву для того чудесного момента, когда вы можете рассказать детям, или, что еще лучше, может быть, они сами откроют для себя этот замечательный трюк, что умножение дает вам супер быстрый способ вычислить сумма повторного сложения.

Зачем лишать детей этого чудесного волшебства?

Но у меня все еще есть проблема

Девлин продолжает:

Конечно, с числами можно выполнять не только две основные операции. Я только что упомянул третью базовую операцию: возведение в степень. Университетские профессора математики доблестно борются за то, чтобы избавить студентов от ложного убеждения, что возведение в степень — это «повторное умножение». Эй, если вы можете однажды запутать учеников ложью, почему бы не провернуть тот же трюк снова?

Итак, теперь мне нужен простой способ объяснить показатель степени моим ученикам средней школы, не прибегая к «повторному умножению».

Есть предложения?

---

Редактировать: Комментарий от Девлина

Кит Девлин был достаточно любезен, чтобы прочитать эту статью и внести предложение. Он указал, что диаграмма, которую я нарисовал для умножения, по-прежнему строго подразумевает многократное сложение целого числа единиц.

Я подозреваю, что вам нужно что-то динамическое, чтобы показать масштабирование на произвольную величину, например. непрерывная ручка громкости или ползунок для радио. С фиксированной диаграммой вам придется использовать какую-то базовую единицу измерения, и тогда ваша диаграмма окажется повторным добавлением этой единицы.

Он прав, но я не совсем уверен, как это нарисовать. Основная идея масштабирования заключается в том, что есть два измерения: реальный мир и масштабная модель.

1. Представьте фиксированную числовую прямую и отметьте расстояние от 0 до того, что мы умножаем. Это наша единица.
2. Затем представьте растяжимую числовую линию, расширенную или сжатую, чтобы интервал от 0 до 1 соответствовал размеру нашей единицы измерения. Это задает масштаб.
3. Теперь найдите на шкале коэффициент, на который мы хотим умножить. Какое бы число в реальной строке ни совпадало, это и будет нашим ответом.

Вместо динамического рисунка я предлагаю следующую модификацию моей исходной диаграммы:

Как вы думаете, передает ли это идею умножения лучше, чем первый рисунок? Может ли кто-нибудь предложить другой способ показать это?

Обновление: все еще интересуюсь сложением и умножением

Я продолжаю пересматривать свои мысли на эту тему. Посмотрите мой новый пост:

• Что не так с «Повторным добавлением»?

Распределительное свойство сложения и умножения (с примерами)

Обновлено 21 декабря 2020 г.

Автор: Mary Lougee

Когда вы изучаете алгебру и смотрите на сложные математические уравнения, вы можете почесать голову. Это очень помогает разбить уравнения на более мелкие части, чтобы решить уравнение. Закон о распределительной собственности является инструментом, который поможет вам в этом. Он используется в расширенном умножении, сложении и алгебре.

​ Подсказка: ​ Распределительное свойство сложения и умножения утверждает, что:

a × (x + y) = ax + ay

Или, чтобы привести конкретный пример:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Что такое распределительное свойство?

Распределительное свойство позволяет вам, по сути, перемещать некоторые числа в сложных математических уравнениях всех типов. Если число умножается на два числа в скобках, вы можете решить это, умножив первое число на числа в скобках по отдельности, а затем завершив сложение. Например:

a × (x + y) = ax + ay

Или, используя числа:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Разбивка сложного уравнения на более мелкие части упрощает его для решения уравнения и облегчает усвоение информации в меньших количествах.

Что такое распределительное свойство сложения и умножения?

Учащиеся обычно впервые обращаются к свойству распределения, когда они начинают сложные задачи на умножение, то есть при сложении или умножении вы должны иметь единицу. Это может быть проблематично, если вам нужно решить это в уме, не решая проблему на бумаге. Кроме сложения и умножения, вы берете большее число и округляете его до ближайшего числа, которое делится на 10, а затем умножаете оба числа на меньшее число. Например:

36 × 4 = ?

Это можно выразить следующим образом:

4 × (30 + 6) = ?

Что позволяет использовать распределительное свойство умножения и ответить на вопрос следующим образом:

(4 × 30) + (4 × 6) = ? \\ 120 + 24 = 144

Что такое Распределительное свойство в простой алгебре?

То же правило перемещения некоторых чисел для решения уравнения используется в простой алгебре.