Сложение и вычитание смешанных дробей – правила, примеры (5 класс, математика)

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 271.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 271.

Сложение и вычитание смешанных дробей – это не трудные операции. Они основываются в основном на простейших правилах арифметики. Главное, разобраться, как правильно работать с дробной и целой частью, после этого примеры математики от 5 класса и выше не будут представлять проблем.

Смешанная дробь.

Очень часто учителя математики говорят, что знак дроби заменяет деление. Как это объяснить? Приведем небольшой пример.

Если попытаться выполнить деление

2:3 – то целого числа не получится. На 3 можно разделить либо 3, либо 6, а вот 2 или 1 уже не получится. Но что делать, если нужно выполнять математические операции с такими числами? Округлять? Представим ситуацию, когда требуется умножить несколько таких чисел. В таком случае, округление будет тянуться до бесконечности, а значит, будет увеличиваться расхождение конечного числа с реальным ответом.

Запомните, округлять можно только конечный результат, чтобы не увеличивать расхождение.

Посмотрим на примере, как будет увеличиваться это расхождение. Поработаем все с тем же числом:

$$2:3={2\over{3}}$$

Умножим это число на такое же не поддающееся делению число:

$${2\over{3}}*{9\over{13}}={18\over{39}}=0,462$$ – округлять будем до тысячных, чтобы отследить примерное расхождение. Теперь округлим каждую из дробей и посмотрим, что будет, если перемножить округление:

0,666*0,692=0,461 – расхождение в 1 сотую. И чем больше округлений в примере, тем больше будет расхождение. Поэтому в вычислениях используют дробные числа.

Смешанные дроби.

Тогда зачем придумали смешанные дроби? Смешанная дробь – это дробь, у которой выделили целую часть, но дробный остаток еще остался. Например:

$$3 {7\over{812}}$$

Работать с громоздкими числителями не всегда удобно, поэтому целую часть выделяют и работают с ней отдельно. Например, если бы в примере не выделили целую часть, то было бы:

$${2443\over{812}}$$

Число вышло слишком громоздким. Поэтому в математике принято работать со смешанными дробями.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание смешанных дробей процесс не сложный. Важно запомнить простое правило: в первую очередь работают с целыми частями, только после этого переходя на дроби.

Рассмотрим несколько нюансов:

• Если при сложении двух смешанных дробей числитель получившейся дроби получается больше знаменателя, то из дробной части выделяется целое число и прибавляется к уже имеющейся целой части. Дробный остаток так же записывается рядом. Вполне может получится, что при таком сложении дробная часть полостью перейдет в целую.
• Если при вычитании дробной части числителя недостаточно для выполнения операции, нужно «занять» единицу у целой части. Для этого от целой части отнимается единица, а к числителю прибавляется величина, равная величине знаменателя.
• Чтобы правильно выполнить вычитание, можно просто обе дроби перевести из смешанных в неправильные и выполнить операцию по правилам сложения и вычитания обычных дробей.

Пример

Рассмотрим небольшой пример вычитания смешанных чисел.

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}$$

• Первым шагом выполним действие дробной частью.

$${15\over{16}}-{17\over{18}}={{15*9-17*8}\over{144}}={{135-136}\over{144}}$$ – как видно, дробной части недостаточно для вычитания. При этом целая часть уменьшаемого больше целой части вычитаемого. Значит, занимаем единицу у 3. Не забываем, что при этом целая часть уменьшается на единицу.

• То есть получим:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}=2 {31\over{16}}-2 {17\over{18}}$$

В дробной части:

$${31\over{16}}- {17\over{18}}={{31*9-17*8}\over{144}}={{279-136}\over{144}}={143\over{144}}$$

Целая часть:

2-2=0

• Запишем все выражение вместе с ответом:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}={143\over{144}}$$

Что мы узнали?

Мы поговорили о смешанных числах. Узнали, зачем они нужны в математике. Подробно рассказали о правилах сложения и вычитания смешанных дробей. Рассмотренный материал рассмотрели на примере средней сложности.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 271.

---

А какая ваша оценка?

Как сложить дробь и натуральное число?

Как сложить дробь и натуральное число?

Сложение дроби и целого числа:

1. Приводим дроби к общему знаменателю.
2. Складываем дроби
3. Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
4. Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.

Как сложить дроби с одинаковыми Числителями и разными знаменателями?

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.

Как вычитать дроби с одинаковым числителем?

Определение: Чтобы найти разность дробей с разными знаменателями нужно привести дроби к общему знаменателю, затем вычесть дроби так же, как дроби с одинаковыми знаменателями.

Как сложить две дроби с одинаковым знаменателем?

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Правило. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.

Как решать дроби с минусом?

Чтобы вычесть из одной обыкновенной дроби другую, следует:

1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений;
3. сократить полученную дробь.

Как вычислить обыкновенную дробь?

привести дроби к наименьшему общему знаменателю; из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений; сократить полученную дробь.

Как решать дроби с целым числом?

Как из целого числа вычесть дробь

1. Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо
2. 1) представить его в виде смешанного числа.
3. Для этого число уменьшаем на единицу и представить эту единицу в виде дроби, у которой и числитель, и знаменатель равны знаменателю вычитаемого.
4. 2) из смешанного числа вычесть дробь.

Как из смешанного числа вычесть целое число?

Чтобы из целого числа вычесть смешанное число, сначала отнимите от натурального числа целую часть смешанного числа, а затем отнимите от этой разности дробную часть смешанного числа.

Как целое число прибавить к смешанной дроби?

Сразу дадим правило сложения смешанного и натурального числа: чтобы сложить смешанное число и натуральное число, надо к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, а дробную часть оставить без изменения. Немного поясним это правило.

Как сделать из обычного числа дроби?

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Как умножить дробь на целое число?

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения. Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Как поделить одно целое число на другое?

Для того, чтобы разделить одно целое число на другое, нужно разделить модуль первого числа на модуль второго и поставить перед частным знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковые, и минус, — если разные.

Как поделить два числа с разными знаками?

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

1. модуль делимого разделить на модуль делителя;
2. перед результатом поставить знак «−».

Сложение дробей с целыми числами

eMathHelp лучше всего работает с включенным JavaScript

Сложение дробей с целыми числами по существу такое же, как преобразование смешанного числа в неправильную дробь (только помните, как правильно складывать целые числа).

Действительно, предположим, что мы хотим сложить целое число $$${m}$$$ и дробь $$$\frac{{n}}{{q}}$$$.

Если $$$\frac{{n}}{{q}}$$$ — правильная дробь, то $$${m}\frac{{n}}{{q}}$$$ — смешанное число и задача состоит в том, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

Если $$$\frac{{n}}{{q}}$$$ неправильная дробь, это мало что меняет.

Известно, что целое число $$${m}$$$ можно представить в виде дроби $$$\frac{{m}}{{1}}$$$.

Теперь, $$${m}+\frac{{n}}{{q}}=\frac{{m}}{{1}}+\frac{{n}}{{q}}= \frac{{{m}{q}}}{{q}}+\frac{{n}}{{q}}=\frac{{{m}{q}+{n}}}{{q }}$$$.

Формула для

сложения дробей с целыми числами : $$${\color{green}{{{m}+\frac{{n}}{{q}}=\frac{{{m}{q} +{n}}}{{q}}}}}$$$.

Пример 1. Найдите $$${3}+\frac{{6}}{{7}}$$$.

Решим поэтапно:

$$${3}+\frac{{6}}{{7}}=\frac{{3}}{{1}}+\frac{{ 6}}{{7}}=\frac{{{3}\cdot{\color{red}{{{7}}}}}}{{{1}\cdot{\color{red}{{{ 7}}}}}}+\frac{{6}}{{7}}=\frac{{21}}{{7}}+\frac{{6}}{{7}}=\frac{ {27}}{{7}}$$$.

Если вам нужно смешанное число, преобразуйте $$$\frac{{27}}{{7}}$$$ в смешанное число: $$$\frac{{27}}{{7}}={3 }\frac{{6}}{{7}}$$$ (обратите внимание, что это то же самое, что и $$${3}+\frac{{6}}{{7}}$$$).

Ответ : $$$\frac{{27}}{{7}}={3}\frac{{6}}{{7}}$$$.

Следующий пример.

Пример 2. Найти $$$-{9}+\frac{{13}}{{8}}$$$.

Воспользуемся прямой формулой:

$$$-{9}+\frac{{13}}{{8}}=\frac{{-{9}\cdot{8}+{13}}}{ {8}}=\frac{{-{72}+{13}}}{{8}}=-\frac{{59}}{{8}}$$$.

При необходимости преобразовать в смешанное число: $$$-\frac{{59}}{{8}}=-{7}\frac{{3}}{{8}}$$$

Ответ : $$$-\frac{{59}}{{8}}=-{7}\frac{{3}}{{8}}$$$.

Следующий пример.

Пример 3. Найти $$$-\frac{{9}}{{4}}+{\left(-{3}\right)}$$$.

$$$-\frac{{9}}{{4}}+{\left(-{3}\right)}=-\frac{{9}}{{4}}+{\left( -\frac{{{3}\cdot{\color{red}{{{4}}}}}}{{{1}\cdot{\color{red}{{{4}}}}}}\ справа)} = — \ гидроразрыва {{9}} {{4}} + {\ влево (- \ гидроразрыва {{12}} {{4}} \ справа)} = \ гидроразрыва {{- {9} + { \left(-{12}\right)}}}{{4}}=\frac{{-{9}-{12}}}{{4}}=-\frac{{21}}{{4 }}$$$.

При необходимости преобразовать в смешанную дробь: $$$-\frac{{21}}{{4}}=-{5}\frac{{1}}{{4}}$$$.

Ответ : $$$-\frac{{21}}{{4}}=-{5}\frac{{1}}{{4}}$$$.

Теперь пора потренироваться.

Упражнение 1. Найдите $$${2}+\frac{{6}}{{7}}$$$.

Ответ : $$$\frac{{20}}{{7}}={2}\frac{{6}}{{7}}$$$.

Следующее упражнение.

Упражнение 2. Найдите $$${9}+{\left(-\frac{{29}}{{5}}\right)}$$$.

Ответ : $$$\frac{{16}}{{5}}={3}\frac{{1}}{{5}}$$$.

Следующее упражнение.

Упражнение 3. Найти $$$-{5}+\frac{{99}}{{8}}$$$.

Ответ : $$$\frac{{59}}{{8}}={7}\frac{{3}}{{8}}$$$.

• < Преобразование неправильных дробей в смешанные числа
• Вычитание дробей с целыми числами >

Сложение дробей с целыми числами

Мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы сложить дробь и целое число.

Шаг 1 :

Умножьте знаменатель на целое число.

Шаг 2 :

После умножения знаменателя на целое число возьмем знаменатель как общий знаменатель.

Шаг 3 :

Теперь упростим числа в числителе.

Это показано на рисунке ниже.

Пример 1:

Найдите значение:

1/2 + 1

Решение:

Умножьте знаменатель 2 на целое число 1. 

То есть

2 ⋅ 1 = 2

Теперь возьмем знаменатель 2 в качестве общего знаменателя суммы (1 + 2).

(1 + 2)/2 = 3/2

Следовательно,

1/2 + 1 = 3/2

Решение:

Умножьте знаменатель 2 на целое число 10.

То есть

2 ⋅ 10 = 20

Теперь возьмем знаменатель 2 как общий знаменатель суммы (3 + 20).

(3 + 20)/2 = 23/2

Следовательно,

3/2 + 10 = 23/10

Решение:

Умножьте знаменатель 3 на целое число 5.

То есть

3 ⋅ 5 = 15

Теперь возьмем знаменатель 2 как общий знаменатель суммы (15 + 2).

(15 + 2)/3 = 17/3

Следовательно,

5 + 2/3 = 17/3

Пример 4 : 

Найдите значение:

7/8 + 9

Решение:

Умножьте знаменатель 8 на целое число 9. 8 как общий знаменатель суммы (7 + 72).

(7 + 72)/8 = 79/3

Таким образом,

7/8 + 9 = 79/3

Решение:

Умножьте знаменатель 8 на целое число 7. 

То есть

8 ⋅ 7 = 56

Теперь возьмем знаменатель 8 как общий знаменатель суммы (56 + 5).

(56 + 5)/8 = 61/8

Следовательно,

7 + 5/8 = 61/8

Пример 6:

Найдите значение:

+ 1/5 5 + 7

Решение:

1/5 + 2/5 + 7

Две приведенные выше дроби имеют одинаковый знаменатель. То есть 5.

Итак, возьмем знаменатель один раз и сложим числители.

= (1 + 2)/5 + 7

= 3/5 + 7

Умножьте знаменатель 5 на целое число 7. знаменатель 5 как общий знаменатель суммы (3 + 35).

(3 + 35)/5 = 38/5

Следовательно,

1/5 + 2/5 + 7 = 38/5

Пример 7:

Найдите значение:

3/

4 + 5/6 + 2

Решение:

3/4 + 5/6 + 2

Две приведенные выше дроби имеют разные знаменатели.