Сформулируйте переместительное свойство сложения ответ: сформулируйте переместительное свойство сложения — Школьные Знания.com

Содержание

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 35

Натуральные числа

Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение натуральных чисел и его свойства

Ответы к стр. 35

Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы получилось следующее за ним число?
Какие числа называют слагаемыми?
Что называют суммой двух чисел?
Сформулируйте переместительное свойство сложения.
Сформулируйте сочетательное свойство сложения.
Изменяется ли число, если к нему прибавить нуль?
Чему равна сумма нуля и числа?
Что такое периметр треугольника?

Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число: 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4.
Числа, которые складывают: 3 + 5 = 8.
Число, получающееся при сложение чисел: 3 + 5 = 8.
Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых.
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме — второе слагаемое.

От прибавления нуля число не изменяется.
Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число.
Сумма длин его сторон.

182. Найдите суммы: 999 + 1; 78 099 + 1; 999 999 + 1.

999 + 1 = 1000;
78 099 + 1 = 78 100;
999 999 + 1 = 1 000 000.

183. Найдите сумму 76 + 24. Сколько единиц надо прибавить к числу 76, чтобы получить 100?

76 + 24 = 100, к числу 76 надо прибавить 24 единицы, или 24 раза по единице, чтобы получить 100.

184. Купили 3 кг картофеля, 3 кг свёклы, 4 кг моркови, 5 кг яблок, 6 кг капусты, 2 кг груш и 4 кг слив. Сколько было куплено килограммов овощей и сколько килограммов фруктов?

Овощи — картофель, свёкла, морковь, капуста.
Фрукты — яблоки, груши, сливы.
1) 3 + 3 + 4 + 6 = 16 (кг) — овощи
2) 5 + 2 + 4 = 11 (кг) — фрукты
О т в е т: купили 16 кг овощей и 11 кг фруктов.

185. Две девочки собирали в лесу малину. Первая девочка собрала 1 кг 250 г малины, а вторая — на 300 г больше. Сколько граммов малины собрали две девочки вместе?

1 кг 250 г = 1250 г
1) 1250 + 300 = 1550 (г) — собрала вторая девочка
2) 1250 + 1550 = 2800 (г) — собрали вместе
О т в е т: девочки собрали 2800 г малины.

186. В одной пачке 23 книги и в ней на 8 книг меньше, чем во второй, а в третьей пачке на 6 книг больше, чем во второй. Сколько всего книг в трёх пачках?

1) 23 + 8 = 31 (к.) — во второй пачке
2) 31 + 6 = 37 (к.) — в третьей пачке
3) 23 + 31 + 37 = 91 (к.) — всего
О т в е т: в трёх пачках 91 книга.

187. В первый день собрали 127 т картофеля, что на 32 т меньше, чем во второй день. В третий день собрано на 40 т больше, чем в первый день. Сколько всего тонн картофеля было собрано за эти три дня?

1) 127 + 32 = 159 (т) — собрали во второй день
2) 127 + 40 = 167 (т) — собрали в третий день

в) 127 + 159 + 167 = 453 (т) — собрали всего
О т в е т: за три дня собрали 453 т картофеля.

188. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку С(6), отложите от этой точки вправо 5 единичных отрезков и отметьте точку D. Чему равна координата точки D?

6 + 5 = 11 — координата точки D.

189. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки М(7) и Т(15). Сколько единичных отрезков надо отложить от точки М и в какую сторону, чтобы попасть в точку T?

15 — 7 = 8 — 8 единичных отрезков вправо.

190. Изобразите на координатном луче сложение:
4 + 3; 4 + 6; 4 + 8; 8 + 4.

191. Выполните действия: а) (457 + 705) + 295; б) 554 + (46 + 1425).

а) (457 + 705) + 295 = 457 + (705 + 295) = 457 + 1000 = 1457;
б) 554 + (46 + 1425) = (554 + 46) + 1425 = 600 + 1425 = 2025.

192. Вычислите сумму, выбирая удобный порядок выполнения действий: а) 385 + 548 + 615; б) 221 + 427 + 373.

а) 385 + 548 + 615 = (385 + 615) + 548 = 1000 + 548 = 1548;
б) 221 + 427 + 373 = 221 + (427 + 373) = 221 + 800 = 1021.

193. Вычислите:
а) 458 + 333 + 42 + 67;
б) 635 + 308 + 1365 + 392;
в) 411 + 419 + 145 + 725 + 87;
г) 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19.

а) 458 + 333 + 42 + 67 = (458 + 42) + (333 + 67) = 500 + 400 = 900;
б) 635 + 308 + 1365 + 392 = (635 + 1365) + (308 + 392) = 2000 + 700 = 2700;
в) 411 + 419 + 145 + 725 + 87 = (411 + 419) + (145 + 725) + 87 = 830 + 870 + 87 = 1700 + 87 = 1787;
г) 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = (11 + 19) + (12 + 18) + (13 + 17) + (14 + 16) + 15 = 30 + 30 + 30 + 30 + 15 = 135.

Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И

Математика. 5 класс

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 35

Оцените и поделитесь с друзьями!

Сложение натуральных чисел и его свойства — Урок 2 — СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Основная дидактическая цель урока: повторить свойства сложения натуральных чисел; учить применять свойства сложения при устных вычислениях; продолжить работу с текстовыми задачами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устный счет

Арифметический диктант.

1. Запишите в тетрадь только ответы.

1) Число 250 увеличьте на 17.

2) Найдите сумму чисел 56 и 44.

3) Первое слагаемое 78, второе — 9. Найдите сумму.

4) Первое число 16, оно на 13 меньше второго числа. Запишите второе число.

5) Число 93 уменьшите на 30.

6) На координатном луче отметили точку В с координатой 17. От нее отложили 5 единичных отрезков вправо. Запишите координату новой точки.

7) В первом районе 27 новых домов, это на 4 меньше, чем во втором. Сколько новых домов во втором районе?

8) 99 плюс 11.

9) К числу 420 прибавьте 51.

Проверка

— Прочитайте получившиеся ответы. (267, 100, 87, 29, 63, 22, 31, 110, 471.)

— Какие задания можно придумать с этими числами? (Самые интересные задания, придуманные учащимися, можно выполнить.)

III. Определение темы урока

На доске: 320 + 485 + 80

— Найдите значение выражения. (885.)

— Как вы вычисляли?

— Какие свойства сложения использовали?

— Сформулируйте тему урока.

IV. Работа по теме урока

— Объясните, как вы понимаете переместительное свойство сложения.

— Как вы понимаете сочетательное свойство?

1. С. 35, № 191.

(457 + 705) + 295 = 457 + (705 + 295) = 457 + 1000 = 1457.

554 + (46 + 1425) = (554 + 46) + 1425 = 600 + 1425 = 2025.

2. С. 35, № 192 (интерактивное пособие).

3. С. 35, № 193 (интерактивное пособие).

V. Работа над задачей

С. 35, №187.

— Прочитайте задачу.

— О чем говорится в задаче?

— Сколько картофеля собрано в первый день?

— Что еще известно про первый день?

— Что можно сказать про второй день?

— Что известно про третий день?

— В какой день собрали наименьшее количество картофеля?

— С каким днем сравнивается третий день?

— Составьте план решения задачи.

— Решите задачу.

1) 127 + 32 = 159 (т) — собрали во второй день.

2) 127 + 40 = 167 (т) — собрали в третий день.

3) 127 + 159 + 167 = 453 (т) — собрали за три дня вместе.

— Измените условие задачи так, чтобы второе действие было таким: 159 + 40. (В первый день собрали 127т картофеля, что на 32 т меньше, чем во второй день. В третий день собрали на 40 т больше, чем во второй день. Сколько картофеля собрали за три дня 7)

— Решите новую задачу.

1) 127 + 32 = 159 (т) — собрали во второй день.

2) 159 + 40 = 199 (т) — собрали в третий день.

3) 127 + 159 + 199 = 485 (т) — собрали за три дня.

VI. Повторение изученного материала

С. 38, №213.

— Прочитайте задание.

— Что необходимо вспомнить, чтобы не ошибиться при выполнении задания?

1 т = 1000 кг

1 км = 1000 м

1 ц = 100 кг

— Какое число получится при делении именованного числа на именованное? (Отвлеченное.)

— Как вы это понимаете? (Мы должны узнать, сколько раз по 200 кг содержится в 1 т.)

1 т : 200 кг = 1000 кг : 200 кг = 5

1 км : 100 м = 1000 м : 100 м = 10

8 ц : 16 кг = 800 кг : 16 кг = 50

36 км : 600 м = 36 000 м : 600 м = 60

VII. Самостоятельная работа

1. С. 39, № 221.

Проверка

3000 г = 3 кг

15 000 г = 15 кг

4 т = 4000 кг

17 ц = 1700 кг

2. С. 39, № 222.

Проверка

5 кг 421 г = 5421 г

6 ц 14 кг = 614 кг = 614 000 г

2 т 765 кг 123 г = 2765 123 г

VIII. Рефлексия

— Какие свойства сложения используются при вычислениях?

— Сформулируйте переместительное свойство сложения.

— Сформулируйте сочетательное свойство сложения.

Домашнее задание

С. 40, № 230, 231.

Свойства сложения (5 класс) | План-конспект урока по математике (5 класс):

Тема урока: Свойства сложения.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Формируемые результаты:

предметные: развивать умение применять свойства сложения натуральных чисел, отработать навыки решения задач по данным диаграмм

личностные: формировать умение формулировать собственное мнение, развивать навыки самостоятельной работы, анализа своей работы, умение работать в паре.

метапредметные: формировать умение сравнивать, анализировать, используя разные основания, моделировать выбор способов деятельности.

Планируемые результаты: учащийся научится применять свойства сложения натуральных чисел.

Основные понятия:

— переместительное свойство сложения

— сочетательное свойство сложения

— свойство нуля

Ход урока

1. Организационный момент

2. Устный счет:

Бланк ответов

№ вопроса	Ответ	Буква
1		М
2		Е
3		П
4		Ч
5		Л
6		С
7		Т
8		А
9		Н
10		Ь
11		О

№ вопроса	Ответ	Буква
1		М
2		Е
3		П
4		Р
5		Л
6		С
7		Т
8		И
9		Н
10		Ь
11		О

№ вопроса	Ответ	Буква
1		М
2		В
3		П
4		У
5		Л
6		С
7		Т
8		Й
9		Н
10		Я
11		О

Арифметический диктант:

Запишите на листочке только ответ, исправлений не должно быть!

1) Число 250 увеличьте на 17

2) Найдите сумму чисел 56 и 44

3) Первое слагаемое 78, второе – 9. Найдите сумму.

4) Первое число 16, оно на 13 меньше второго числа. Запишите второе число.

5) Число 93 уменьшите на 30

7) В первом районе 27 новых домов, это на 4 меньше, чем во втором. Сколько новых домов во втором районе?

8) 99 плюс 11

9) К числу 420 прибавьте 51

10) Найдите сумму чисел 25 и 12

11) Первое слагаемое 85, второе – 90. Найдите сумму.

3. Определение темы урока

Заполнить таблицу соответствия ответов и букв.

1.	22	175	29	100	31	110	31	100	63	37	471	175	100

2.	87	100	29	100	267	100	22	31	110	31	100	63	37	471	175	100

3.	22	100	175	110	22	31	100	175		471	29	63	37

Ответы:

1 ряд – сочетательное

2 ряд – переместительное

3 ряд – свойство нуля

Тема урока: Свойства сложения (слайд 1)

4. Работа по теме урока

Учебник с. 49 – 50 свойства читать и записать в тетрадь.

Исторические факты происхождения «нуля» (слайд 2, 3):

Ноль – это единственное число, которое имеет несколько названий.

Ноль (нуль) (от лат. Nullus — никакой)

Цифра — слово происходит от арабского слова «цифр», «пустой» или «свободный»; поначалу этим словом назывался символ, который у арабов и индусов использовался для обозначения нуля.

Когда-то цифрой называли именно ноль.

№ 171 (1-6) в тетради и на доске

№ 177 (1-4) в тетради и на доске

5. Работа над задачами.

№1. На диаграмме показано сколько плюшек съедал Карлсон в каждый день недели. Пользуясь этими данными, ответьте на вопросы:

а) Сколько плюшек съел Карлсон в пятницу? (слайд 5) (8)

б) Сколько всего плюшек съел Карлсон за четыре первых дня недели? (слайд 6) (5+6+5+7=23)

№2. Маша в течение недели читала книгу «Маугли». На диаграмме показано сколько страниц она читала каждый день. Пользуясь этими данными, ответьте на вопросы:

а) Сколько страниц прочитала Маша во вторник? (слайд 7) (12)

б) На сколько страниц меньше прочитала Маша в четверг, чем во вторник? (слайд 8) (12-8=4)

6. Самостоятельная работа

Внести в таблицу

1 вариант сумму каждого столбца

2 вариант сумму каждой строки

(считайте рационально!)

У вас осталась пустой правая нижняя клетка, заполните ее. Почему в каждом из двух возможных способов получится один и тот же результат?

12	13	14	18	17	74
15	11	16	15	19	76
16	18	12	14	13	73
18	19	11	12	17	77
14	12	19	16	11	72
75	73	72	75	77	372

7. Рефлексия

— Какие свойства сложения используются при вычислениях?

— Сформулируйте переместительное свойство сложения.

— Сформулируйте сочетательное свойство сложения.

— Сформулируйте свойство нуля.

8. Домашнее задание

с. 49-50 св. уч., №172, 178(1,2)

Конспект урока «Умножение. Переместительное свойство умножения».

Тема урока: «Умножение. Переместительное свойство умножения».

Тип урока: «открытие» нового знания.

Цель урока: ввести определение действия умножения, расширить кругозор учащихся через предмет посредством метапредметных связей.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: ученик научится заменять действие умножения сложением и наоборот; находить необходимые компоненты умножения.

Личностные:, ученик получит возможность для формирования устойчивой учебной познавательной мотивации к учению, ясно и грамотно излагать свои мысли в устной речи, развивать интерес к различным видам деятельности.

Метапредметные: научиться действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, осуществлять контроль своей деятельности. Получит возможность формулировать проблему при решении учебных задач. Аргументировать свое мнение и разрешать конфликтную ситуацию.

Регулятивные: уметь самостоятельно выполнять действия и вносить необходимые коррективы, регулировать свои действия для достижения высокой цели, в процессе рефлексии проводить оценку и самооценку.

Коммуникативные: участие в диалоге, участие в парной работе с использованием речевых средств для передачи своего мнения, подбор аргументов, формулирование выводов, отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности.

Формы работы учащихся: парная, фронтальная, индивидуальная,.

Необходимое техническое оборудование:

учебники, карточки с индивидуальным заданием для самостоятельной работы, медиапроектор, презентация PowerPoint к уроку.

Ход урока.

Слайд №1.

1. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Рада вас снова всех видеть.

У нас сегодня гости, давайте поприветствуем их. Садитесь, пожалуйста, мы начинаем нашу работу.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Сегодня на уроке, ребята, нам предстоит выполнить серьёзную работу. От вас потребуется усидчивость, стремление, внимание, последовательность и правильность выполнения заданий. Вам уже известны правила сложения, вычитания натуральных чисел. Сегодня мы познакомимся с одним правилом. С каким? Об этом чуть позже. А сейчас выполним следующие задания.

Слайд №2-10.

3. Устные упражнения

№1. Устно решите примеры и составьте слово в таблице. Если вы правильно решите и заполните таблицу ответов, то сможете прочитать тему нашего урока:

20+20+20=(ж)

33+33+33=(м)

12+12+12+12= (н)

25+25+25+25=(у)

7+7+7+7+7=(о)

8+8+8+8+8=(и)

1+1+1=(е)


100	99	48	35	60	3	48	40	3

Учитель: Прочитайте полученное слово. Совершенно верно. Очень красивое и важное слово. Итак, тема нашего урока?

Ученики: «Умножение».

Учитель: «Так чем же мы с вами будем заниматься на уроке?»

Ученики: «Решать примеры, и задачи на умножение»

Слайд №11.

Учитель:

— Сформулируйте правило умножения числа a на число b

(Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.)

a · b = с

“Компоненты умножения”

(работа с классом)

— Вспомним, как называются компоненты умножения.

(Первый множитель, второй множитель, произведение)

Слайд №12.

“Экскурс в историю”.

Самый старый из используемых символов — крестик (×).

Знак умножения «косой крест» впервые в 1631 году ввёл английский математик Уильям Оутред (1575 – 1660)

Позднее, в 1698 году, выдающийся немецкий математик Г.Лейбниц (1646 – 1716), ввёл знак умножения «точка».

(Лейбниц отрицательно относился к крестику из-за его схожести с буквой X и предпочитал точку).

Слайд №13-14.

“Представьте в виде суммы и найдите значение выражения” (работа в парах по вариантам)

6 · 4=6+6+6+6=24

4 · 6=4+4+4+4+4+4=24

Что произошло?

6 · 4=4 · 6

Как вы думаете, как может называться это свойство?

Слайд -15.

Свойство – переместительное, от перестановки множителей произведение не меняется.

Как это свойство можно записать в виде буквенного выражения, используя буквы a и b

Слайд №16.

a · b = a · b

Учитель: А какие еще вы знаете свойства умножения?

Ученики: Умножение числа на единицу и ноль

Слайд №16

a · 0 = 0 · a = 0

a · 1 = a · 1 = a

4. Формулирование темы

Слайд №17.

Умножение. Переместительное свойство умножения.

Слайд №18.

(Записывают в тетрадь тему урока, буквенное определение, свойства)

Слайд №19-20.

Работа с учебником (в парах) стр. 107-108

Ребята просматривают текст параграфа. Рассказывают друг другу правила и свойства умножения. Изучают способ умножения столбиком многозначных чисел.

5. Закрепление материала.

Слайд №21.

№1. Выпишите примеры, соответствующие переместительному закону умножения. Индивидуальная работа со взаимопроверкой через экран (обмениваются тетрадями, обсуждают ответы)

Слайд №22.

№384 (выполнить в парах) Запишите сумму в виде произведения:

6+6+6+6+6+6+6+6;
9+9+9+9+9;
n+n+n+n+n+n+n;
2+2+…+2;

101 слагаемое

5+5+…+5;

m слагаемых

m+m+…+m

k слагаемых

Слайд №23.

Проверка задания по эталону

Слайд №24.

№ 385(1,5,7) по рядам самостоятельно (трое на отворотах доски)

Слайд №25.

6. Физкультминутка

Мы хорошо работаем, но пришла пора физминутки. Она тоже не простая, а математическая, проверим, насколько вы внимательны. Хорошо ли помните пройденные темы!? Встаньте около своих парт. Я буду задавать вам вопросы, в случае верного ответа вы должны поднять вверх правую руку, в случае неверного – левую. Итак, готовы?

1. Числа, которые используются при счете предметов, называют натуральными. (Да).

Нуль – это натуральное число. (Нет).
В натуральном ряду чисел есть первое число – 1. (Да).
В натуральном ряду чисел есть наибольшее число. (Нет).
Градусная величина прямого угла 180̊ ? (Нет).
Градусная величина развернутого угла 180̊ ? (Да)
У квадрата только одна ось симметрии? (Нет)

У прямоугольного треугольника два прямых угла? (Нет).)

Вариант 1

25 ∙ 63 ∙ 4 = 630
Числа, которые перемножаются, называются множителями.
Равенство а ∙ b = а ∙ b выражает переместительное свойство .
Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Произведение 5 ∙ 37 и 37 ∙ 5 не равно одному и тому же числу.

Вариант 2

4 ∙ 61 ∙ 25 = 6100
Числа, которые перемножаются, называются слагаемые.
Равенство а ∙ b = b ∙ а выражает переместительное свойство .
Если один из множителей равен 1, то произведение равно 1.

Произведение 3 ∙ 45 и 45 ∙ 3 равно одному и тому же числу. -

9. Итог урока

Ребята, какую тему вы изучали на уроке? Какие цели вы ставили в начале урока? (Научится умножать числа, повторить свойства умножения) Достигли вы их?.

Какие затруднения вы испытали на уроке? (Умножение многозначных чисел) Смогли ли вы их преодолеть? К какому выводу мы пришли? (сумму чисел можно заменить произведением)
Что значит умножить 24 на 5?
Как называют числа, которые перемножают?
Как называют результат умножения?
Чему равно 1 • n? Чему равно 0 • n?
Сформулируйте переместительное свойство умножения.

Слайд №27.

10. Рефлексия урока.

Учитель: Наш урок подходит к завершению.

Скоро наступит Новый год. Перед вами на партах елочные игрушки, а в кабинете не наряженная елочка.

— Оцените свою деятельность на уроке.

Кому урок был интересен, кто узнал что-то новое, полезное –поднимите вверх шарик. Кому на уроке было скучно, ничего нового и полезного вы не узнали – поднимите снежинку. На перемене подойдите к нашей елочке и повесьте свои шарики на елочку, а снежинки положите около нее.

Слайд №28.

11. Домашнее задание

Ребята вы поработали сегодня хорошо, все усвоили я надеюсь, что так же хорошо вы справитесь с домашним заданием. Открываем дневники, запишем домашнее задание:

§16 (читать), вопросы 1-7, № 386, 390, 394.

Слайд №29.

Спасибо за урок!

Презентация по математике для 5 класса «Свойства сложения натуральных чисел»

Материал опубликовала

Дзюрич Елена Алексеевна3884

Работаю учителем физики и математики в МОУ «СОШ с. Агафоновка» . Педагогический стаж работы составляет 25 лет. Образование высшее.

Россия, Саратовская обл., село Агафоновка Питерский район

Свойства сложения натуральных чисел 5 класс Учитель математики: Дзюрич Е. А. 2016 год МОУ «СОШ с. Агафоновка имени Героя Советского Союза Н.М. Решетникова»

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно

Проверка домашнего задания №170 Миша-170р. ? р. Петя — ?р. на 12р. > Решение. 170+12=182(р.) 170+182=352(р.) Ответ: вместе заплатили 352 рубля. № 174 Исторические-26м. Архитектура-?м. на 15 м.> ?м Спортивные — ? м. на 14 м.> Решение. Решение. 1) 26+15=41(м.) 2) 41+14=55(м.) 3) 26+41+55=122(м.) Ответ: всего в коллекции 122 марки.

Устный счёт №1 23+17=40 230+17=240 23+170=193 30-13=17 300-130=170 300-13= 187 12·4= 48 12·40= 480 120·40= 4800 №2 Назовите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 91. 45+46=91

Трудность заключается в форме записи 1+2+3…+98+99+100. Используем такую запись: 1+2+3+…+98+99+100=(1+100)× 50. Ответ: (1+100)× 50=5050. Карл Фридрих Гаусс, одаренный невероятными математическими способностями, знаменитый ученый и астроном. Найти сумму чисел от 1 до 100.

Тема урока. Свойства сложения натуральных чисел Цель: познакомиться со свойствами сложения натуральных чисел; научиться применять эти свойства при решении заданий.

Свойства сложения Переместительное свойство сложения a+b=b+a Свойство нуля a+0=a 0+a=a

Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c) (64+23)+77= 64+(23+77)= 64+100=164 Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Пример 1. Упростите выражение: Пример 1. Упростите выражение: 136+(a+214)=(136+214)+a=350+a Пример 2. Вычислите, выбирая удобный порядок действий 625+481+75+219=(625+75)+(481+219)= =700+700=1400

Сформулируйте сочетательное свойство сложения. Сформулируйте сочетательное свойство сложения. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство сложения? Каким свойством обладает число 0 при сложении?

Рефлексия Теперь я умею… На уроке для меня было важно… На уроке мне было сложно…

Домашнее задание §7, вопросы 4-6, № 172, 176, 178(1-2)

Распределительные свойства умножения

Урок математики по теме: «Распределительные свойства умножения» по УМК «Начальная школа 21 века» 4 класс Тема: «Распределительные свойства умножения» Цель урока: формирование представлений о распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания и их запись с помощью переменных. Задачи урока:  повторить свойства умножения;  обобщить представление о распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания и их запись с помощью переменных;  развивать умения самостоятельно делать выводы при знакомстве с новым материалом, вступать в диалог, умения контролировать свои действия;  воспитывать внимательность и аккуратность при работе в тетради. Тип урока: открытие новых знаний, закрепление пройденного. Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная. Методы и приёмы: наглядный, упражнение. Оборудование: карточки – помощницы, мультимедийный проектор, презентация, карточки с тестами. План урока: 1. Мотивация учебной задачи (57 мин.) 2. Активизация знаний (10 мин.) 3. Открытие новых знаний (15 мин.) 4. Вспомним пройденное (23 мин.) 5. Резерв. Самостоятельная работа. Решение задачи по заданному выбору представления решения (5 мин.) 6. Закрепление (5 мин.) Этапы 1. Мотивация учебной задачи Ход урока Деятельность учителя Деятельность учащихся УУД Личностные: Формирование положительного отношения к урокам математики. Предметные: Выполнять устное сложение, вычитание, умножение и деление чисел. 12 Одинаковые. Сумма, так как при умножении на 0 получается 0. Чтоб работать быстро и ловко, нам нужна для ума тренировка. Посмотрите на слайд и решите логические задачи: 1. Масса индейки – 8 кг и ещё половина её собственной массы. Сколько весит индейка? 2. Когда сутки короче: зимой или летом? 3. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.Что больше сумма этих чисел или их произведение? А теперь продолжим приводить ум в порядок с помощью примеров: 2500 + 60 + 8 12 х 4 100: 25 7 + 100 + 1000 100 х 5 72 : 3 9600 + 400 6 х 40 720 : 30 3 000 + 9 000 11 х 9 91 : 7 2. Активизация знаний 1 000 : 100 84 : 42 910 : 70 С какой целью мы выполняли устный счёт? Посмотрите на равенства. Прежде чем мы с ними начнём работать повторим название компонентов при сложении и умножении. Распределите выражения в два столбика, по какому признаку мы это сделаем? Сформулируйте переместительное свойство сложения, умножения; Сочетательное свойство относительно сложения, умножения. Зачем нужно знать свойства в математике? С целью развития и формирования прочных вычислительных навыков и умений, повышения познавательного интереса к урокам математики. 1. (24 + 70) + 6 = 24 + (70 + 6) – сочетательное свойство сложения 2. 26 + 50 = 50 +26 – переместительное свойство сложения 3. (10 х 2) х 3 =10 х (2 х 3) – сочетательное свойство относительно умножения 4. 20 х 25 = 25 х 20 – переместительное свойство умножения. 5. (9 + 3)х 2 = 24 (потому, что у него есть результат; потому, что записано только умножение сумы на число … ) Чтобы облегчить решение. Почему последнее выражение Коммуникативные: Умение слушать и понимать других. Регулятивные: Самопроверка, коррекция. 3. Открытие новых знаний. не вошло ни в один столбик? Как нашли результат? Давайте выпишем его отдельно. Как подругому можно решить это выражение? Выполните у доски. Может, вы вспомните, как это свойство называется в математике? И как вы догадались, тема сегодняшнего нашего урока «Распределительные свойства умножения». Открываем учебник на стр. 89 №378. Давайте прочитаем правило. Посмотрим, как ученики выполнили умножение суммы на число? В самом низу на стр. 89 есть карточка помощница, давайте Сначала выполнили действие в скобках, затем умножение Чтобы сумму двух чисел умножить на какое – ни будь число, можно каждое из них умножить на это число, а результаты сложить. Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму двух чисел, умножить на какое – ни будь число, можно каждое из них умножить на это число, а результаты сложить. Это свойство называется распределительным свойством умножения относительно сложения. Они каждое из них умножили на число и результаты сложили. (85 + 6) х 5 = 85 х 5 + 6 х 5 еще раз проговорим действия. Открываем тетрадь на печатной основе стр. 55 и выполним №175. Используя распределительное свойство умножения, выполните вычисления. №380. Найдем значение выражения двумя способами. 2 человека на закрытую доску, остальные работают в тетрадях. Проверяем. В каком случае пользоваться при вычислении распределительным свойством неудобно? Хорошо. Ребята скажите мне, пожалуйста, правило распределительного свойства умножения применяется только относительно сложения, или его можно и использовать с вычитанием? Правильно, давайте прочитаем правило стр. 90. (25+12)х4=__х4+__х4=__+__= =__ (40+9)х5=__х__+__х__=__ (50 +19) х 2 = 69х2=138 (50 +19) х 2 = 50х2 + 19х2=100 + 38 =138 (72 + 28) х 7 = 100х7=700 (72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7= 504 + 196 = 700 (72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7 Распределительное свойство умножение относительно и сложения, и вычитания. Чтобы разность умножить на какое – ни будь число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это свойство называется распределительное свойство умножение относительно вычитания. (90 25) х 4=260 Слон 90 65 25 х 4 65 260 Мышь (90 – 25) х 4 = 90х4 – 25х4= =360 – 100 = 260 Способ лучше у Мышки, потому, что она использует устные вычисления, а Слон письменные. (801)х7=__х7__х7=____=__ (605)х8=__х____х__=__ Делают карточки. (60+1)х7=__ (6717)х4=__ Хорошо, №.381. Прочитайте выражения, с которым работают в лесной школе. Как выполнял сложение Слон? Как Мышь умножала разность чисел 90 и 25 на число 4? Сравните вычисления. Чей способ лучше и почему? Для закрепления, выполним № 177 в тетради печатной основы. Раздаю листочки. Вы получили листочки, на них сделайте карточку помощницу. А сейчас потренируемся. Выполним устно №385. 4. Вспомним пройденное. 5. Резерв. Самостоятель ная работа. Вспомним пройденное. Что такое многогранник? Ребра? Грани? №387. Назовите невидимые ребра 1 и 2 многогранника? Назовите невидимые грани? Хорошо. Открываем тетрадь на печатной основе и выполним №181. Отметьте знаком многогранники. Молодцы. Решим задачку №394.(читаем) 6. Закрепление. Чему научились новому на уроке? Еще раз сформулируем правила распределительного свойства относительно сложения и вычитания. (1713)х5=__ (302)х5=__ Отмечают. Оля обшила тесьмой 2 одинаковых носовых платка, а Нина 4 таких же платка. Оля истратила на 1 м тесьмы меньше, чем Нина. Сколько метров тесьмы истратила каждая из девочек? Научились решать примеры с помощью распределительного свойства умножения. Чтобы разность умножить на какое – ни будь число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это свойство называется распределительное свойство умножение относительно вычитания. Чтобы сумму двух чисел, умножить на какое – ни будь число, можно каждое из них умножить на это число, а результаты сложить. Это свойство называется распределительным свойством умножения относительно сложения. 1. Какие из равенств являются распределительным свойством умножения? 1 вариант а) а ∙(в ∙ с)=(а ∙ в)∙ с; б) (а + в)∙ с = а ∙ с + в ∙ с; в) (а + в)∙ с = а с + в; Проверим, как вы научились с помощью теста пользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания. Ключ к проверке теста Проверяем взаимопроверкой: 1 вариант 2 вариант 2 вариант а) а ∙ в = в ∙ а; б) а (в + с) = ав с; в) (а + в) ∙ с= а ∙ с + в ∙ с; 2. Значение выражения. 1) б 2) б, а 3) а 1) в 2) а, б 3) б Оценивание: 3 верных ответа – “5”; 2 верных ответа – “4”; 1 верный ответ не оцениваются Поднятием рук проверяем количество положительных оценок, вывод. 1 вариант 1. 74 ∙ 3+26 ∙ 3 равно а) 30; б) 300; в)103 2. 400 х 2 40 х 2 равно а) 720; б) 106; в)60 2 вариант 1. 80 ∙ 5 – 2 ∙ 5 равно а) 390; б) 400; в)102; 2. 60 х 2 + 19 х 2 равно а)150; б) 158; в)108; 3. В каком выражении удобно применять распределительное свойство умножения: 1 вариант а) (60 + 1) х 4; б) (17 – 13) х 5; 2 вариант а) (67 – 17) х 4; б) (30 – 2) х 5;

Свойства сложения натуральных чисел

Тип урока. Урок изучения нового материала

Технология урока. Урок смешанного типа

Цель урока:

Деятельностная цель: формирование у учащихся умений реализации новых способов действия (формулировка свойств сложения натуральных чисел).
Образовательная цель: сформировать систему новых понятий, расширить знания учеников за счет включения новых определений (примеры с использованием свойств сложения)

Задачи:

Образовательные (формирование познавательных УУД):

научить использовать понятия слагаемое, сумма; научить применять свойства сложения; применять свойства сложения при вычислениях

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Развивающие (формирование регулятивных УУД)

развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Планируемые образовательные результаты. Учащийся научится применять свойства сложения натуральных чисел

Основные термины, понятия. Переместительное свойство сложения, сочетательное свойство сложения.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, рабочая тетрадь №1 на печатной основе, учебник.

Организационная структура урока
Этапы проведения урока Форма организации УД Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Продолжительность
Учебник Рабочая тетрадь №1
1.Организационный этап 1 мин
2. Проверка домашнего задания 3 мин
3. Актуализация знаний Ф №1,2 3 мин
4. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся 2 мин
5. Изучение нового материала Ф Теоретический материал параграф 7 (свойства сложения) 7 мин
6. Физкультминутка 1 мин
7. Первичное закрепление знаний Ф № 171, 175, 177(1-4),179 № 69, 70, 71 21 мин
8. Итоги урока П Вопросы 4-9 2 мин
9. Рефлексия учебной деятельности на уроке Продолжите высказывания об уроке:
Теперь я умею…
На уроке для меня было важно…
На уроке мне было сложно…
3 мин
10. Информация о домашнем задании параграф 7, вопросы 4-6, № 172, 176, 178(1-2) 2 мин

Ход урока
I. Организационный момент
Цель: создать благоприятный настрой на работу.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Приветствие учащихся.
Сообщение структуры урока. Проверка готовности к уроку
Приветствуют учителя, демонстрируют готовность к уроку Слайд2

II. Проверка домашнего задания
Цель: проверить правильность решения заданий.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Учитель предлагает сравнить решение домашних задач с решением, записанным на доске. Ученики сравнивают и делают выводы о правильности выполнения заданий. Слайд 3

III. Актуализация знаний
Цель: актуализация опорных знаний и способов действий.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Вступительное слово учителя.
Новые знания нам будет очень трудно осваивать без умения быстро считать, поэтому сейчас мы начнем с устного счета.

Устный счет. Повторение материала, пройденного на прошлом уроке. Решают примеры устного счета. Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы. Слайд 4

IV. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся
Цель: обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
В истории математики известен такой случай. Однажды, а было это в Германии, в конце 18 века, для того чтобы заставить учеников поработать, учитель дал им задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Каково же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ. Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, а ему было тогда 10 лет, стал одним из великих математиков мира. Как вы думаете, как маленькому Гауссу удалось быстро подсчитать сумму? Слушают рассказ учителя Слайд 5
Слайд 6
Проблема: как найти сумму натуральных чисел от 1 до 100? Предлагают свои способы решения данного задания
Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? Дети дают ответы:
— будем искать более простые способы сложения натуральных чисел

Предлагает сформулировать тему и цель сегодняшнего урока. Формулируют тему и цель урока. После уточнения учителем формулировки темы, записывают ее в тетради

V. Изучение нового материала
Цель: обеспечение восприятия, осмысления и первичного закрепления детьми изученной темы: сложение натуральных чисел и его свойства.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Предлагает ответить на вопрос:
“Какие свойства сложения вы знаете?”
Ученики отвечают.
— Мы знаем из курса начальной школы переместительное свойство сложения и свойство нуля.
Слайд 7
Просит сформулировать свойства, а также привести примеры на использование свойств. Переместительное свойство: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Например, 152 + 1048= 1048+152= 1200.
Свойство нуля: Если нуль прибавить к какому-нибудь натуральному числу, то получим то же число.
Например, 0+768=768.

Сегодня мы с вами выучим новое свойство, которое называется сочетательным.
Учитель задает наводящие вопросы.
Ребята, как вы думаете, а почему оно так называется? От какого существительного образовано данное слово?

Отвечают на вопросы учителя. Слово “сочетательное” образовано от существительного “сочетание”, значит, мы что-то с чем-то будем сочетать.

Как удобнее вычислить сумму (64+23)+77? Предлагают ответы: например, по действиям или, поменяв местами слагаемые так, чтобы удобнее было вычислить. Слайд 8
Скорее всего, вы поступите так: (64+23)+77=64+(23+77)=64+100=164. Здесь мы воспользовались сочетательным свойством сложения. Формулирует сочетательное свойство сложения и записывает на доске его в буквенном виде.
Задает вопрос: Какой мы вывод можем сделать из данного свойства?
Отвечают на вопрос: при сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя удобный порядок вычислений.
Предлагает рассмотреть пример:
Упростите выражение: 136+(a+214)=(136+214)+a=350+a
Ученики высказывают свои предположения о решении Слайд 9

VI. Физкультминутка
Цель: Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Предлагает учащимся выполнить упражнения физкультминутки.
Меняет вид деятельности.
Вы, наверное, устали?
Ну, тогда все дружно встали.
Вверх ладошки! Хлоп! Хлоп!
По коленкам – шлёп, шлёп!
По плечам теперь похлопай!
По бокам себя пошлёпай!
Мы осанку исправляем
Спинки дружно прогибаем
Вправо, влево мы нагнулись,
До носочков дотянулись.
Плечи вверх, назад и вниз.
Улыбайся и садись.
Выполняют упражнения
Учащиеся меняют вид деятельности и готовы продолжать работу.
Слайд 10

VII. Первичное закрепление знаний
Цель: установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Работа с учебником: №171, 175. 177 (1-4), 179
Рабочая тетрадь на печатной основе №1:
№ 69, 70, 71
Работа у доски и в тетрадях.
Выполняют на месте, после комментариев учителя, затем, решившие быстрее других записывают решение на свободных досках и объясняют его.

VIII. Итоги урока
Цель: самооценка результатов своей деятельности и всего класса.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Задает вопросы:
1. Сформулируйте сочетательное свойство сложения.
2. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство сложения?
3. Каким свойством обладает число 0 при сложении?
Учитель объявляет оценки за урок.
Отвечают на вопросы:
1. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
2. (a+b)+c=a+(b+c)
3. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.
Слайд 11

Рефлексия учебной деятельности на уроке
Цель: инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.
Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Продолжите высказывания об уроке:
Теперь я умею…
На уроке для меня было важно…
На уроке мне было сложно…
Ученики высказывают по очереди свое мнение Слайд 12

Информация о домашнем задании
Цель: обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Деятельность учителя Деятельность ученика Примечание
Учитель комментирует домашнее задание Обучающиеся записывают д/з в дневники Слайд 13

Список использованной литературы
Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Вентана-Граф, 2013.-304 с.: ил.
Математика: 5 класс: Рабочая тетрадь №1/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Вентана-рГраф, 2016
Математика: 5 класс: методическое пособие/Е.В. Буцко, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский и др.- М.: Вентана-Граф, 2016.-288 с.: ил.
2.2 Скорость и скорость — физика
Задачи обучения разделу
К концу этого раздела вы сможете делать следующее:
Вычислить среднюю скорость объекта
Связать смещение и среднюю скорость
Поддержка учителей
Поддержка учителей
Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:
(4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях.Ожидается, что студент:
(B) описывает и анализирует движение в одном измерении, используя уравнения с понятиями расстояния, смещения, скорости, средней скорости, мгновенной скорости и ускорения.
Кроме того, руководство лаборатории физики средней школы рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Положение и скорость объекта», а также следующие стандарты:
(4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях.Ожидается, что студент:
(В) описывать и анализировать движение в одном измерении, используя уравнения с понятиями расстояния, смещения, скорости, средней скорости, мгновенной скорости и ускорения.
Раздел Ключевые термины
средняя скорость средняя скорость мгновенная скорость
мгновенная скорость скорость скорость
Поддержка учителя
Поддержка учителя
В этом разделе учащиеся применяют то, что они узнали о расстоянии и смещении, к понятиям скорости и скорости.
[BL] [OL] Прежде чем студенты прочитают раздел, попросите их привести примеры того, как они слышали слово «скорость». Затем спросите их, слышали ли они слово «скорость». Объясните, что в повседневной жизни эти слова часто используются как синонимы, но их научные определения различаются. Скажите студентам, что они узнают об этих различиях по мере чтения раздела.
[AL] Объясните учащимся, что скорость, как и смещение, является векторной величиной. Попросите их поразмышлять о том, чем скорость отличается от скорости.После того, как они поделятся своими идеями, задайте вопросы, которые углубят их мыслительный процесс, например: Почему вы так думаете? Какой пример? Как можно применить эти термины к движению, которое вы видите каждый день?
Скорость
Движение — это нечто большее, чем расстояние и смещение. Такие вопросы, как: «Сколько времени занимает пешая гонка?» и «Какая была скорость бегуна?» невозможно ответить без понимания других концепций. В этом разделе мы рассмотрим время, скорость и скорость, чтобы расширить наше понимание движения.
Описание того, насколько быстро или медленно движется объект, — это его скорость. Скорость — это скорость, с которой объект меняет свое местоположение. Как и расстояние, скорость является скаляром, потому что у нее есть величина, но не направление. Поскольку скорость — это показатель, она зависит от временного интервала движения. Вы можете рассчитать прошедшее время или изменение времени ΔtΔt движения как разницу между временем окончания и временем начала
Единицей времени в системе СИ является секунда (с), а единицей скорости в системе СИ являются метры в секунду (м / с), но иногда километры в час (км / ч), мили в час (миль / ч) или другие единицы измерения. скорость используются.
Когда вы описываете скорость объекта, вы часто описываете среднее значение за определенный период времени. Средняя скорость v _avg — это пройденное расстояние, разделенное на время, в течение которого происходит движение.
vavg = distancetime vavg = distancetime
Вы, конечно, можете изменить уравнение, чтобы решить для расстояния или времени
время = distancevavg.time = distancevavg. distance = vavg × timedistance = vavg × time
Предположим, например, что автомобиль проезжает 150 километров за 3 секунды.2 часа. Его средняя скорость за поездку
vavg = расстояние-время = 150 км3,2 ч = 47 км / ч. vavg = расстояние-время = 150 км3,2 ч = 47 км / ч.
Скорость автомобиля, вероятно, увеличится и уменьшится во много раз за 3,2 часа поездки. Однако его скорость в определенный момент времени — это его мгновенная скорость. Спидометр автомобиля показывает его мгновенную скорость.
Teacher Support
Teacher Support
[OL] [AL] Предупредите учащихся, что средняя скорость не всегда равна средней начальной и конечной скорости объекта.Например, предположим, что автомобиль проезжает 100 км. Первые 50 км он движется со скоростью 30 км / ч, а вторые 50 км — со скоростью 60 км / ч. Его средняя скорость будет составлять расстояние / (временной интервал) = (100 км) / [(50 км) / (30 км / ч) + (50 км) / (60 км / ч)] = 40 км / ч. Если бы автомобиль на этих скоростях проехал равное время на 30 и 60 км, а не на равные расстояния, его средняя скорость составила бы 45 км / ч.
[BL] [OL] Предупредите учащихся, что термины «скорость», «средняя скорость» и «мгновенная скорость» на повседневном языке часто называют просто скоростью.Подчеркните важность в науке использования правильной терминологии, чтобы избежать путаницы и правильно передавать идеи.
Рисунок 2.8 За 30 минут до магазина туда и обратно общее расстояние составляет 6 км. Средняя скорость 12 км / ч. Смещение для обхода равно нулю, потому что нет чистого изменения положения.
Рабочий пример
Расчет средней скорости
Мрамор катится 5,2 м за 1,8 с. Какая была средняя скорость мрамора?
Стратегия
Мы знаем расстояние, которое проходит мрамор, 5.2 м, интервал времени 1,8 с. Мы можем использовать эти значения в уравнении средней скорости.
Решение
vavg = расстояние время = 5,2 м 1,8 с = 2,9 м / с vavg = расстояние время = 5,2 м 1,8 с = 2,9 м / с
Обсуждение
Средняя скорость — это скаляр, поэтому мы не включаем направление в ответ. Мы можем проверить разумность ответа, оценив: 5 метров разделить на 2 секунды — это 2,5 м / с. Поскольку 2,5 м / с близко к 2,9 м / с, ответ разумный. Речь идет о скорости быстрой ходьбы, так что это тоже имеет смысл.
Практические задачи
8.
Питчер перебрасывает бейсбольный мяч от насыпи питчера к своей тарелке за 0,46 с. Дистанция 18,4 м. Какая была средняя скорость бейсбольного мяча?
40 м / с
-40 м / с
0,03 м / с
8,5 м / с
9.
Кэсси шла к дому своей подруги со средней скоростью 1,40 м / с. Расстояние между домами 205 м. Как долго она продолжала путешествие?
146 с
0.01 с
2,50 мин.
287 с
Скорость
Векторная версия скорости — это скорость. Скорость описывает скорость и направление объекта. Как и в случае со скоростью, полезно описывать либо среднюю скорость за период времени, либо скорость в определенный момент. Средняя скорость — это смещение, деленное на время, в течение которого смещение происходит.
vavg = время смещения = ΔdΔt = df − d0tf − t0vavg = время смещения = ΔdΔt = df − d0tf − t0
Скорость, как и скорость, выражается в единицах СИ в метрах в секунду (м / с), но поскольку это вектор, вы также должны включить направление.Кроме того, переменная v для скорости выделена жирным шрифтом, потому что это вектор, в отличие от переменной v для скорости, которая выделена курсивом, потому что это скалярная величина.
Советы для успеха
Важно помнить, что средняя скорость — это не то же самое, что средняя скорость без направления. Как мы видели в предыдущем разделе со смещением и расстоянием, изменение направления в течение определенного интервала времени оказывает большее влияние на скорость и скорость.
Предположим, что пассажир двигался к задней части самолета со средней скоростью –4 м / с. Мы не можем сказать по средней скорости, остановился ли пассажир на мгновение или отступил, прежде чем он добрался до задней части самолета. Чтобы получить более подробную информацию, мы должны рассмотреть меньшие сегменты поездки за меньшие промежутки времени, такие как те, что показаны на рисунке 2.9. Если вы рассматриваете бесконечно малые интервалы, вы можете определить мгновенную скорость, которая является скоростью в определенный момент времени.Мгновенная скорость и средняя скорость одинаковы, если скорость постоянна.
Рис. 2.9. На диаграмме представлена более подробная запись пассажира самолета, направляющегося к задней части самолета, показаны более мелкие отрезки его поездки.
Ранее вы читали, что пройденное расстояние может отличаться от величины смещения. Точно так же скорость может отличаться от величины скорости. Например, вы едете в магазин и через полчаса возвращаетесь домой.Если одометр вашего автомобиля показывает, что общее пройденное расстояние составило 6 км, то ваша средняя скорость составила 12 км / ч. Однако ваша средняя скорость была равна нулю, потому что ваше смещение в оба конца равно нулю.
Watch Physics
Расчет средней скорости или скорости
В этом видео рассматриваются векторы и скаляры и описывается, как рассчитать среднюю скорость и среднюю скорость, когда вы знаете смещение и изменение во времени. В видео также рассказывается, как преобразовать км / ч в м / с.
Проверка захвата
Что из следующего полностью описывает вектор и скалярную величину и правильно дает пример каждого из них?
Скалярная величина полностью описывается своей величиной, в то время как вектор нуждается как в величине, так и в направлении, чтобы полностью описать его.Смещение — это пример скалярной величины, а время — пример векторной величины.
Скалярная величина полностью описывается своей величиной, в то время как вектор нуждается как в величине, так и в направлении, чтобы полностью описать его. Время — это пример скалярной величины, а смещение — пример векторной величины.
Скалярная величина полностью описывается своей величиной и направлением, тогда как вектору требуется только величина, чтобы полностью описать его.Смещение — это пример скалярной величины, а время — пример векторной величины.
Скалярная величина полностью описывается своей величиной и направлением, тогда как вектору требуется только величина, чтобы полностью описать его. Время — это пример скалярной величины, а смещение — пример векторной величины.
Teacher Support
Teacher Support
Это видео хорошо подчеркивает разницу между векторами и скалярами.Студент знакомится с идеей использования «s» для обозначения смещения, которое вы можете поощрять, а можете и не поощрять. Прежде чем ученики посмотрят видео, укажите, что преподаватель использует s → s → для смещения вместо d, как в этом тексте. Объясните, что использование маленьких стрелок над переменными является обычным способом обозначения векторов в курсах физики более высокого уровня. Предупредите учащихся, что в этом видео не используются обычные сокращения для часа и секунды. Напомните учащимся, что в своей работе они должны использовать сокращения h для часа и s для секунд.
Рабочий пример
Расчет средней скорости
Студент перемещается на 304 м к северу за 180 с. Какая была средняя скорость ученика?
Стратегия
Мы знаем, что смещение составляет 304 м к северу, а время — 180 с. Мы можем использовать формулу для средней скорости, чтобы решить задачу.
Решение
vavg = ΔdΔt = 304 м180 с = 1,7 м / с на север vavg = ΔdΔt = 304 м180 с = 1,7 м / с на север
2,1
Обсуждение
Поскольку средняя скорость является векторной величиной, вы должны включить в ответ направление и величину.Обратите внимание, однако, что направление можно не указывать до конца, чтобы не загромождать проблему. Обратите внимание на значащие цифры в задаче. Расстояние 304 м состоит из трех значащих цифр, а временной интервал 180 с — только двух, поэтому частное должно состоять только из двух значащих цифр.
Советы для успеха
Обратите внимание на способ представления скаляров и векторов. В этой книге d обозначает расстояние и перемещение. Точно так же v обозначает скорость, а v обозначает скорость.Переменная, которая не выделена жирным шрифтом, указывает на скалярную величину, а выделенная жирным шрифтом переменная указывает на векторную величину. Иногда векторы представлены маленькими стрелками над переменной.
Teacher Support
Teacher Support
Используйте эту задачу, чтобы подчеркнуть важность использования правильного количества значащих цифр в вычислениях. Некоторые студенты имеют тенденцию включать много цифр в свои окончательные вычисления. Они ошибочно полагают, что повышают точность своего ответа, записывая многие цифры, указанные на калькуляторе.Обратите внимание на то, что это приведет к ошибкам в расчетах. В более сложных расчетах эти ошибки могут распространяться и приводить к неправильному окончательному ответу. Вместо этого напомните учащимся всегда носить с собой одну или две дополнительные цифры в промежуточных вычислениях и округлять окончательный ответ до правильного количества значащих цифр.
Рабочий пример
Решение для смещения, когда известны средняя скорость и время
Лейла бегает трусцой со средней скоростью 2.4 м / с на восток. Каково ее смещение через 46 секунд?
Стратегия
Мы знаем, что средняя скорость Лейлы составляет 2,4 м / с на восток, а временной интервал составляет 46 секунд. Мы можем изменить формулу средней скорости, чтобы найти смещение.
Решение
vavg = ΔdΔtΔd = vavgΔt = (2,4 м / с) (46 с) = 1,1 × 102 м на восток vavg = ΔdΔtΔd = vavgΔt = (2,4 м / с) (46 с) = 1,1 × 102 м на восток
2,2
Обсуждение
Ответ: примерно в 110 м к востоку, что является разумным смещением для чуть менее минуты бега трусцой.Калькулятор показывает ответ как 110,4 м. Мы решили написать ответ, используя научную нотацию, потому что мы хотели прояснить, что мы использовали только две значащие цифры.
Советы для успеха
Размерный анализ — хороший способ определить, правильно ли вы решили проблему. Запишите расчет, используя только единицы измерения, чтобы убедиться, что они совпадают на противоположных сторонах отметки равенства. В рассмотренном примере у вас
м = (м / с) (с). Поскольку секунды находятся в знаменателе средней скорости и в числителе времени, единица вычитает, оставляя только m и, конечно же, m = m.
Рабочий пример
Решение для времени, когда известны смещение и средняя скорость
Филипп идет по прямой дороге от своего дома до школы. Сколько времени ему потребуется, чтобы добраться до школы, если он пройдет 428 м на запад со средней скоростью 1,7 м / с на запад?
Стратегия
Мы знаем, что смещение Филиппа составляет 428 м к западу, а его средняя скорость составляет 1,7 м / с к западу. Мы можем рассчитать время, необходимое для поездки, переписав уравнение средней скорости.
Решение
vavg = ΔdΔtΔt = Δdvavg = 428 м 1,7 м / с = 2,5 × 102 svavg = ΔdΔtΔt = Δdvavg = 428 м 1,7 м / с = 2,5 × 102 с
2,3
Обсуждение
Здесь нам снова пришлось использовать научную запись, потому что ответ мог состоять только из двух значащих цифр. Поскольку время является скаляром, ответ включает только величину, а не направление.
Практические задачи
10.
Дальнобойщик проезжает по прямой трассе 0,25 ч со смещением 16 км к югу.Какова средняя скорость дальнобойщика?
4 км / ч север
4 км / ч юг
64 км / ч север
64 км / ч юг
11.
Птица летит со средней скоростью 7,5 м / с на восток от ветки к ветке за 2,4 с. Затем он делает паузу перед полетом со средней скоростью 6,8 м / с на восток в течение 3,5 с к другому ответвлению. Каково полное смещение птицы от начальной точки?
42 м запад
6 м запад
6 м на восток
42 м на восток
Virtual Physics
The Walking Man
В этом симуляторе вы наведете курсор на человека и переместите его сначала в одном направлении, а затем в противоположном.Не отключайте вкладку Introduction . Вы можете использовать вкладку Графики после того, как узнаете о графическом движении позже в этой главе. Внимательно следите за знаком чисел в полях положения и скорости. Пока не обращайте внимания на поле ускорения. Посмотрите, сможете ли вы сделать положение человека положительным, а скорость — отрицательным. Затем посмотрите, сможете ли вы сделать обратное.
Проверка захвата
Какая ситуация правильно описывает, когда положение движущегося человека было отрицательным, но его скорость была положительной?
Человек движется к 0 слева от 0
Человек движется к 0 справа от 0
Человек движется от 0 слева от 0
Человек движется от 0 справа от 0
Teacher Support
Teacher Support
Это мощная интерактивная анимация, которую можно использовать для многих уроков.На этом этапе его можно использовать, чтобы показать, что смещение может быть как положительным, так и отрицательным. Он также может показать, что при отрицательном смещении скорость может быть как положительной, так и отрицательной. Позже с его помощью можно будет показать, что скорость и ускорение могут иметь разные знаки. Настоятельно рекомендуется оставить учащихся на вкладке Introduction . Вкладку Charts можно использовать после того, как студенты узнают о графическом движении позже в этой главе.
Проверьте свое понимание
12.
Два бегуна движутся по одному и тому же прямому пути. Они начинаются в одно и то же время и заканчиваются в одно и то же время, но на полпути у них разные мгновенные скорости. Могут ли они иметь одинаковую среднюю скорость для поездки?
Да, потому что средняя скорость зависит от чистого или полного смещения.
Да, потому что средняя скорость зависит от общего пройденного расстояния.
Нет, потому что скорости обоих бегунов должны оставаться одинаковыми на протяжении всего пути.
Нет, потому что мгновенные скорости бегунов должны оставаться такими же на полпути, но могут быть разными в другом месте.
13.
Если вы разделите общее расстояние, пройденное за поездку на автомобиле (определенное одометром), на время поездки, вычисляете ли вы среднюю скорость или величину средней скорости, и при каких обстоятельствах эти две величины одинаковы? ?
Средняя скорость. Оба они одинаковы, когда автомобиль движется с постоянной скоростью и меняет направление.
Средняя скорость. Оба они одинаковы, когда скорость постоянна и автомобиль не меняет своего направления.
Величина средней скорости. Оба варианта одинаковы, когда автомобиль движется с постоянной скоростью.
Величина средней скорости. И то и другое одинаково, когда машина не меняет своего направления.
14.
Может ли средняя скорость быть отрицательной?
Да, в случаях, когда чистое смещение отрицательное.
Да, если тело постоянно меняет направление во время движения.
Нет, средняя скорость описывает только величину, а не направление движения.
Нет, средняя скорость описывает только величину в положительном направлении движения.
Поддержка учителей
Поддержка учителей
Используйте вопросы «Проверьте свое понимание », чтобы оценить достижение учащимися учебных целей по разделам. Если учащиеся не справляются с какой-либо конкретной целью, «Проверьте свое понимание» поможет определить, кто из них, и направит их к соответствующему содержанию.Тестовые задания в TUTOR позволят вам переоценить.
простых гармонических движений | Формула, примеры и факты
Простое гармоническое движение , в физике повторяющееся движение вперед и назад через равновесное или центральное положение, так что максимальное смещение на одной стороне этого положения равно максимальному смещению на Другая сторона. Временной интервал каждой полной вибрации одинаков. Сила, отвечающая за движение, всегда направлена к положению равновесия и прямо пропорциональна расстоянию от него.То есть F = — kx , где F — сила, x — смещение, а k — постоянная величина. Это соотношение называется законом Гука.
Подробнее по этой теме
механика: простые гармонические колебания
Рассмотрим массу m, удерживаемую пружинами в положении равновесия, как показано на рисунке 2A. Массу можно возмущать, сместив ее на…
Конкретный пример простого гармонического осциллятора — это вибрация груза, прикрепленного к вертикальной пружине, другой конец которой закреплен на потолке. При максимальном перемещении — x пружина находится под наибольшим напряжением, которое толкает массу вверх. При максимальном смещении + x пружина достигает максимального сжатия, что заставляет массу снова опускаться. В любом положении максимального смещения сила наибольшая и направлена к положению равновесия, скорость ( v ) массы равна нулю, ее ускорение максимальное, а масса меняет направление.В положении равновесия скорость максимальна, а ускорение ( a ) упало до нуля. Простое гармоническое движение характеризуется этим изменяющимся ускорением, которое всегда направлено к положению равновесия и пропорционально смещению от положения равновесия. Кроме того, интервал времени для каждой полной вибрации постоянен и не зависит от величины максимального смещения. Поэтому в той или иной форме простое гармоническое движение лежит в основе хронометража.
Чтобы выразить, как смещение массы изменяется со временем, можно использовать второй закон Ньютона, F = ма , и установить ма = — kx . Ускорение a является второй производной от x по времени t , и можно решить полученное дифференциальное уравнение с x = A cos ω t , где A — максимальное смещения, а ω — угловая частота в радианах в секунду.Время, необходимое массе, чтобы переместиться с A на — A и обратно, — это время, необходимое для того, чтобы ω t переместилась на 2π. Следовательно, период T , который требуется для того, чтобы масса сместилась от A до — A и обратно, составляет ω T = 2π или T = 2π / ω. Частота колебаний в циклах в секунду составляет 1/ T или ω / 2π.
Многие физические системы демонстрируют простое гармоническое движение (при условии отсутствия потерь энергии): колеблющийся маятник, электроны в проводе, несущем переменный ток, колеблющиеся частицы среды в звуковой волне и другие совокупности, включающие относительно небольшие колебания вокруг положения. устойчивого равновесия.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Движение называется гармоническим, потому что музыкальные инструменты совершают такие колебания, которые, в свою очередь, вызывают соответствующие звуковые волны в воздухе. Музыкальные звуки на самом деле представляют собой комбинацию множества простых гармонических волн, соответствующих множеству способов, которыми вибрирующие части музыкального инструмента колеблются в наборах наложенных простых гармонических движений, частоты которых кратны самой низкой основной частоте.Фактически, любое регулярно повторяющееся движение и любую волну, независимо от того, насколько сложна ее форма, можно рассматривать как сумму ряда простых гармонических движений или волн — открытие, впервые опубликованное в 1822 году французским математиком Жозефом Фурье.
Движение снаряда | Физика
1. Снаряд запускается с уровня земли с начальной скоростью 50,0 м / с под углом 30,0º над горизонтом. Через 3 секунды он поражает цель над землей. Каковы расстояния x и y от места запуска снаряда до места приземления?
2.Мяч бьет с начальной скоростью 16 м / с в горизонтальном направлении и 12 м / с в вертикальном направлении. а) С какой скоростью мяч ударяется о землю? б) Как долго мяч остается в воздухе? (c) Какая максимальная высота достигает мяча?
3. Мяч бросается горизонтально с вершины здания высотой 60,0 м и приземляется на расстоянии 100,0 м от основания здания. Не обращайте внимания на сопротивление воздуха. а) Как долго мяч находится в воздухе? б) Какой должна была быть начальная горизонтальная составляющая скорости? (c) Какова вертикальная составляющая скорости перед ударом мяча о землю? (d) Какова скорость (включая горизонтальную и вертикальную составляющие) мяча непосредственно перед тем, как он упадет на землю?
4.(a) Сорвиголова пытается перепрыгнуть на своем мотоцикле через линию автобусов, припаркованных встык, проезжая по рампе 32 ° со скоростью 40,0 м / с (144 км / ч). Сколько автобусов он может очистить, если верхняя часть взлетной рампы находится на той же высоте, что и верхняя часть автобусов, а длина автобусов составляет 20,0 м? (b) Обсудите, что ваш ответ подразумевает допустимую погрешность в этом действии, то есть подумайте, насколько больше диапазон, чем горизонтальное расстояние, которое он должен пройти, чтобы пропустить конец последнего автобуса. (Пренебрегайте сопротивлением воздуха.)
5. Лучник стреляет из стрелы в цель на расстоянии 75,0 м; прицел цели находится на той же высоте, что и высота выхода стрелы. (а) Под каким углом должна быть выпущена стрела, чтобы попасть в цель, если ее начальная скорость составляет 35,0 м / с? В этой части задачи явно покажите, как вы выполняете шаги, связанные с решением проблем с движением снаряда. (b) На полпути между лучником и целью есть большое дерево с нависающей горизонтальной ветвью на 3,50 м над высотой выпуска стрелы.Пойдет стрелка над веткой или под веткой?
6. Регбист передает мяч 7,00 м через поле, где он пойман на той же высоте, что и оставил его руку. (a) Под каким углом был брошен мяч, если его начальная скорость составляла 12,0 м / с, если предположить, что использовался меньший из двух возможных углов? б) Какой другой угол дает такой же диапазон и почему бы его не использовать? (c) Сколько времени длился этот пропуск?
7. Проверьте дальность полета снарядов на Рисунке 5 (а) для θ = 45º и заданных начальных скоростей.
8. Проверьте дальность полета, показанную для снарядов на Рисунке 5 (b), для начальной скорости 50 м / с при заданных начальных углах.
9. Пушка линкора может стрелять снарядом на максимальную дальность 32,0 км. (а) Рассчитайте начальную скорость снаряда. б) Какой максимальной высоты он достигает? (На самом высоком уровне оболочка составляет более 60% атмосферы — но сопротивление воздуха на самом деле не является незначительным, как предполагается, чтобы облегчить эту проблему.) (C) Океан не плоский, потому что Земля изогнута.Предположим, что радиус Земли равен 6.37 × 10 ³. На сколько метров ниже его поверхность будет в 32,0 км от корабля по горизонтальной линии, параллельной поверхности у корабля? Означает ли ваш ответ, что здесь существенна ошибка, связанная с предположением о плоской Земле в движении снаряда?
10. Стрела выпущена с высоты 1,5 м в сторону обрыва высотой H . Он выстреливается со скоростью 30 м / с под углом 60º над горизонтом. Он приземляется на верхнем краю обрыва 4.0 секунд спустя. а) Какова высота обрыва? (б) Какая максимальная высота достигает стрелка на своей траектории? (c) Какова скорость удара стрелы перед тем, как она упадет в обрыв?
11. В прыжке в длину с места человек приседает, а затем отталкивается ногами, чтобы посмотреть, как далеко он может прыгнуть. Предположим, что разгибание ног из положения приседа составляет 0,600 м, а ускорение, достигаемое из этого положения, в 1,25 раза превышает ускорение свободного падения, г . Как далеко они могут прыгнуть? Выскажите свои предположения.(Увеличенной дальности можно добиться, размахивая руками в направлении прыжка.)
12. Мировой рекорд по прыжкам в длину — 8,95 м (Майк Пауэлл, США, 1991). Какова максимальная дальность полета, которую может получить человек, если его взлетная скорость составляет 9,5 м / с? Выскажите свои предположения.
13. На скорости 170 км / ч теннисист отбивает мяч на высоте 2,5 м под углом θ ниже горизонтали. Линия обслуживания находится на расстоянии 11,9 м от сети, что составляет 0.Высота 91 м. Каков угол θ , при котором мяч просто пересекает сетку? Приземлится ли мяч в штрафную площадку, внешняя линия которой находится на расстоянии 6,40 м от сетки?
14. Футбольный квотербек движется прямо назад со скоростью 2,00 м / с, когда он делает передачу игроку 18,0 м прямо вниз по полю. (a) Если мяч брошен под углом 25º относительно земли и пойман на той же высоте, что и выпущен, какова его начальная скорость относительно земли? б) Сколько времени нужно, чтобы добраться до получателя? (c) Какова его максимальная высота над точкой выпуска?
15.Прицельные приспособления отрегулированы так, чтобы прицелиться высоко, чтобы компенсировать эффект силы тяжести, эффективно делая прицел точным только на определенном расстоянии. (a) Если ружье прицеливается для поражения целей, которые находятся на той же высоте, что и ружье, и на расстоянии 100,0 м, насколько низко попадет пуля, если ее направить прямо в цель на расстоянии 150,0 м? Начальная скорость пули — 275 м / с. (б) Обсудите качественно, как большая начальная скорость пули повлияет на эту проблему и каков будет эффект сопротивления воздуха.
16.Орел летит горизонтально со скоростью 3,00 м / с, когда рыба в его когтях свободно покачивается и падает в озеро на 5,00 м ниже. Вычислите скорость рыбы относительно воды, когда она ударяется о воду.
17. Сова несет мышь к птенцам в своем гнезде. Его положение в то время составляет 4,00 м к западу и 12,0 м над центром гнезда диаметром 30,0 см. Сова летит на восток со скоростью 3,50 м / с под углом 30,0 ° ниже горизонтали, когда случайно уронила мышь. Достаточно ли повезло сове, что мышь попала в гнездо? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите горизонтальное положение мыши, когда она упала 12.0 мин.
18. Предположим, футболист отбивает мяч ногой с расстояния 30 м к воротам. Найдите начальную скорость мяча, если он только что пролетает над воротами на высоте 2,4 м над землей, учитывая, что начальное направление — 40º над горизонтом.
19. Может ли вратарь у своих ворот забить футбольный мяч в ворота соперника так, чтобы мяч не касался земли? Дистанция составит около 95 м. Вратарь может дать мячу скорость 30 м / с.
20. Линия штрафных бросков в баскетболе — 4.57 м (15 футов) от корзины, что на 3,05 м (10 футов) над полом. Игрок, стоящий на линии штрафного броска, бросает мяч с начальной скоростью 7,15 м / с, выпуская его на высоте 2,44 м (8 футов) над полом. Под каким углом над горизонтом нужно бросить мяч так, чтобы он точно попал в корзину? Обратите внимание, что большинство игроков будут использовать большой начальный угол, а не прямой выстрел, потому что это допускает большую погрешность. Ясно покажите, как вы выполняете шаги, связанные с решением проблем с движением снаряда.
21. В 2007 году Майкл Картер (США) установил мировой рекорд в толкании ядра с броском 24,77 м. Какова была начальная скорость выстрела, если он выпустил его на высоте 2,10 м и бросил под углом 38,0 ° над горизонтом? (Хотя максимальное расстояние для снаряда на ровной поверхности достигается при 45 °, если пренебречь сопротивлением воздуха, фактический угол для достижения максимальной дальности меньше; таким образом, 38 ° даст большую дальность, чем 45 ° при толкании ядра.)
22. Баскетболист бежит на 5.00 м / с прямо к корзине, когда он прыгает в воздух, чтобы замочить мяч. Он сохраняет свою горизонтальную скорость. а) С какой вертикальной скоростью ему нужно подняться на 0,750 м над полом? (b) На каком расстоянии от корзины (по горизонтали) он должен начать свой прыжок, чтобы достичь максимальной высоты одновременно с достижением корзины?
23. Футболист толкает мяч под углом 45 градусов. Без воздействия ветра мяч пролетел бы 60,0 м по горизонтали. а) Какова начальная скорость мяча? (b) Когда мяч приближается к своей максимальной высоте, он испытывает короткий порыв ветра, который снижает его горизонтальную скорость на 1.{2} \ text {\ sin} {2 \ theta} _ {0}} {g} \\ [/ latex] для определения дальности полета снаряда на ровной поверхности путем нахождения времени t , при котором y становится ноль и подставив это значение t в выражение для x — x ₀, отметив, что R = x — x ₀.
26. Неоправданные результаты (a) Найдите максимальную дальность действия супер-пушки с начальной скоростью 4,0 км / с. б) Что неразумного в найденном вами диапазоне? (c) Является ли предпосылка необоснованной или имеющееся уравнение неприменимо? Поясните свой ответ.(d) Если такая начальная скорость может быть получена, обсудите влияние сопротивления воздуха, разрежения воздуха с высотой и кривизны Земли на дальность действия супер-пушки.
27. Постройте свою задачу Представьте мяч, брошенный через забор. Составьте задачу, в которой вы вычисляете необходимую начальную скорость мяча, чтобы просто преодолеть забор. Среди вещей, которые нужно определить: высота ограждения, расстояние до ограждения от точки выброса мяча и высота, на которой мяч выпущен.Вы также должны подумать, можно ли выбрать начальную скорость для мяча и просто рассчитать угол, под которым он брошен. Также изучите возможность нескольких решений с учетом выбранных вами расстояний и высоты.
Основы метода конечных элементов — Метод прямой жесткости Часть 1 | by Harsh Sharma
Термин FEM (метод конечных элементов) получил широкое распространение за последние несколько десятилетий, особенно в области разработки виртуальных продуктов, которая включает создание математических моделей реальной системы и использование численных методов для анализа ее отклика на множество реальных сценариев нагружения.Независимо от того, имеете ли вы опыт работы в области механической, авиационной, гражданской, экологической или ядерной инженерии и участвуете в моделировании и анализе соответствующих процессов и структур, вы, возможно, слышали о МКЭ как о математическом инструменте для получения приблизительного решения лежащей в основе определяющих дифференциальных уравнений, для которых иначе невозможно получить точное аналитическое решение.
Цель этой серии статей — дать читателю базовое понимание того, что такое МКЭ, и как его можно использовать для решения задач в области строительной механики, в частности.Если вы новичок в этой области и хотите начать изучать МКЭ, эта серия статей поможет вам взглянуть на различные базовые аспекты МКЭ и заложить прочную основу для них, что будет полезно, когда вы пройдете более продвинутые курсы, связанные с Конечные элементы в частности и строительная механика в целом. Но, если вы уже являетесь опытным пользователем FEM в своей работе или в академических исследованиях, эта серия статей может помочь вам соединить точки. Эти статьи будут охватывать некоторые аспекты, которые вы могли упустить ранее, или просто дадут обзор основных концепций и теорий, которые вы, возможно, уже усвоили во время учебы.В этой серии статей я использую материалы своего магистерского курса в Штутгартском университете — COMMAS.
Чтобы представить ситуацию в перспективе, я разбил первую статью на следующие подразделы:
Теория метода прямой жесткости (DSM)
Вывод 1D уравнения жесткости элемента фермы
Анализ 1D матрицы жесткости фермы
Расширение 1D матрица жесткости фермы в 2D и 3D матрицу жесткости фермы
Преобразование уравнений элемента из локальной в глобальную CS
Метод прямой жесткости на примере — более длинный подход
Метод прямой жесткости на примере — более короткий / прямой подход
Решение структурной жесткости Уравнение
Дополнительная мотивация
Итак, давайте сразу же углубимся в каждую из этих тем!
Метод теории прямой жесткости (DSM)
Если вы изучали или использовали МКЭ раньше, то, возможно, слышали о термине «метод прямой жесткости» (DSM).Концепция метода прямой жесткости используется для ознакомления с основами метода конечных элементов. Итак, сначала давайте попробуем разобраться, что такое метод прямой жесткости и каковы его преимущества в контексте метода конечных элементов (МКЭ) —
Метод прямой жесткости — наиболее примитивный способ понять основные концепции МКЭ в целом. и, в частности, конечные элементы, основанные на перемещениях, которые наиболее часто используются при решении задач, относящихся к области строительной механики.Другими словами, метод прямой жесткости является наиболее простой (или прямой) формой метода конечных элементов, который используется для решения дискретных задач и считается хорошей отправной точкой для понимания основной идеи метода конечных элементов. Метод прямой жесткости может использоваться для анализа конструкций, которые состоят из дискретных компонентов и где каждый структурный компонент сам может рассматриваться как «элемент» (по аналогии с «элементом» в методе конечных элементов).
Концепция «дискретизации», однако, тривиальна в методе прямой жесткости, поскольку предполагается, что конструкция уже дискретизирована, а основные свойства (например,грамм. матрица жесткости) каждого отдельного элемента предполагается заранее известной, причем в точном виде.
Следовательно, в прямом методе жесткости отсутствует дискретизация конструкции в реальном смысле, а также отсутствует аппроксимация свойств материала, лежащего в основе. Используя уже известные структурные свойства (матрицу жесткости), мы просто собираем каждый компонент, чтобы получить структурное свойство для всей конструкции, используя определенные правила совместимости перемещений и равновесия сил.Вы поймете эту идею более четко, когда мы пройдем все этапы метода прямой жесткости на примере, приведенном в следующих разделах этой статьи.
В методе прямой жесткости вся конструкция разбивается на подкомпоненты (подумайте о «элементах»), и для каждого компонента значения смещения на его двух концах (узлах) рассматриваются как первичная неизвестная переменная проблемы. Это также является причиной использования метода конечных элементов, основанного на смещении, где основной неизвестной проблемой являются значения смещения в узлах конечных элементов.Мы представляем свойства основного континуума каждого субкомпонента или элемента с помощью так называемой «матрицы жесткости». Матрица жесткости в основном представляет механические свойства основной конструкции. Он связывает узловые смещения с узловыми силами посредством линейного преобразования. Используя метод прямой жесткости, устанавливаются правила сборки глобальной / главной матрицы жесткости конструкции и векторов нагрузки, которые также могут использоваться в общем методе конечных элементов на основе смещения, применяемом к более сложным областям, как мы увидим в следующих статьях. из этой серии.
Рис. 1 Разложение механической конструкции на отдельные подкомпоненты или подобласти — конечный элемент
Но, прежде чем переходить к подробным этапам, связанным с прямым методом жесткости, нам сначала нужно установить основные строительные блоки, то есть матрицу жесткости и нагрузку. вектор для простого элемента «линия». В простейшем виде линейным элементом может быть линейная упругая пружина с жесткостью k, , которая может воспринимать нагрузки только в осевом направлении. В качестве альтернативы, простой линейный элемент может также быть простым элементом фермы / стержня в 1D, 2D и 3D с локальной системой координат, прикрепленной к самому линейному элементу.Такой простой элемент фермы также может воспринимать только осевые нагрузки, предполагается, что они имеют определенную длину (L), свойство поперечного сечения (площадь поперечного сечения, A) и свойство материала (E, модуль Юнга).
Другими словами, механические свойства такого элемента фермы также могут быть представлены его эквивалентным значением жесткости k. Этот термин жесткости объединяет геометрические свойства фермы и свойства материала в одном выражении. Из любого учебника по механике твердого тела вы можете найти, что этот термин жесткости k для непрерывной одномерной фермы может быть выражен как k = AE / L .Однако, если структура состоит из дискретных «пружин», то механические свойства нижележащего континуума могут быть непосредственно , представленными через дискретную жесткость пружины k .
Рис. 2 Иллюстрация простой пружины и эквивалентной простой фермы в виде конечного элемента.
Вывод уравнения жесткости одномерного элемента фермы
Рассматриваемый одномерный конечный элемент имеет только одну степень свободы смещения на узел, с одним узлом на каждом конце. Следовательно, всего 2 степени свободы на элемент.Элемент представляет собой одномерную ферму или дискретный пружинный элемент, который равен , предполагается, что имеет жесткость k. Если предполагается, что нижележащий континуум элемента фермы является линейно упругим, и если элемент претерпевает только небольшие деформации, то можно легко вывести, что жесткость k = AE / L. Каждый конец этого элемента называется «узлом», который испытывает нагрузку в осевом направлении, которое в данном случае также является направлением смещения в каждом узле.
Рис. 3 Кинематические и определяющие соотношения для простого одномерного элемента фермы Рис. 4 Формирование матрицы жесткости элементов с использованием уравнений равновесия узловых сил
Для вывода приведенных выше уравнений были выполнены два важных условия: равновесие сил в каждом узле и отклик материала (определяющее уравнение) 1D фермы. Равновесие сил утверждает, что результирующая сила в каждом узле должна быть равна нулю, то есть чистая внешняя сила = чистая внутренняя сила в каждом узле.Во-вторых, мы считаем, что определяющее соотношение для линейной упругой пружины или фермы, которое гласит, что внутренняя сила в элементе пропорциональна чистому удлинению элемента, где константа пропорциональности — это жесткость лежащего в основе континуума.
Рис. 5 Уравнение жесткости для дискретного элемента
После небольшой перестановки узловых уравнений равновесия их можно представить в виде матричных обозначений Ku = F . Здесь матрица элементарной жесткости может быть интерпретирована как матрица линейного преобразования, которая линейно преобразует вектор узлового смещения и элемента в соответствующий вектор узловой силы F .Следовательно, матрица жесткости элемента представляет его механические свойства и связывает узловые перемещения с узловыми силами. Матрица жесткости играет центральную роль в определении механического отклика конструкции.
Анализ одномерной матрицы жесткости фермы
Рис. 6 Анализ одноэлементной матрицы жесткости
Из матрицы жесткости отдельного элемента видно, что он симметричен по своей природе, то есть k _12 = k _21. Признак, что матрица жесткости является симметричной, исходит из взаимной теоремы Максвелла , в которой говорится, что для любого линейного упругого тела смещение, возникающее в любой точке A из-за определенной нагрузки, приложенной в точке B, должно быть равно смещению, производимому в точке B при одинаковой нагрузке. применяется в точке А.
Поскольку мы предположили, что элемент фермы является линейно упругим, здесь применима взаимная теорема Максвелла и, следовательно, матрица жесткости симметрична. Однако это не всегда так! Матрица жесткости имеет тенденцию становиться несимметричной, когда материал ведет себя неупруго или имеет локальную нестабильность, например, в проблемах, связанных с повреждениями и отказами.
В матрице жесткости элементов любой общий компонент жесткости k _ij можно рассматривать как член жесткости (или параметр материала), который связывает смещение в направлении степени свободы j с силой в направлении степени свободы i. .Другими словами, величина силы, требуемая в направлении d.o.f i для создания единичного смещения в направлении d.o.f j , представлена как k_ ij. Таким образом, согласно взаимной теореме Максвелла, k _ij = k _ji должно быть истинным для рассматриваемой одномерной линейной задачи упругой фермы.
Рис. 7 Условия прямого и косвенного связывания в матрице жесткости элементов
В более общем смысле термин жесткости k _ij из глобальной матрицы структурной жесткости K , также можно интерпретировать как термин «сцепление», который ‘соединяет’ глобальную глубину резкости i с глобальной глубиной резкости j .Здесь и i, и j варьируются от 1 до общего числа степеней свободы в элементе или во всей конструкции. Другими словами, если существует прямая передача нагрузки от DOF i к j или наоборот, то соответствующий член жесткости в матрице жесткости задается как k _ij или k_ ji. Однако, если степени свободы i и j независимы друг от друга и между ними нет прямой передачи нагрузки, то соответствующий член жесткости или сцепления также будет равен нулю.Эта концепция будет более ясной, когда глобальная матрица жесткости получена с использованием прямого метода жесткости.
Кроме того, можно также заметить, что суммирование всех строк и столбцов этой матрицы жесткости приводит к 0. Это должно быть правдой, потому что, если элемент испытывает движение твердого тела, то есть u1 = u2, тогда не должно быть любая сила, генерируемая внутри пружинного элемента и, следовательно, вектор узловой силы также будет нулевым, что приводит к условию, что сумма всех строк матрицы жесткости равна нулю.И поскольку матрица жесткости в этом случае симметрична, отсюда следует, что сумма всех элементов столбца также равна нулю.
Рис. 8 Движение твердого тела конечного элемента одномерной фермы
Расширение одномерной матрицы жесткости фермы до двухмерной и трехмерной матрицы жесткости фермы
До сих пор мы вывели матрицу жесткости элемента для одномерного элемента фермы с одной степенью свободы в каждом узле . Теперь матрица жесткости для одномерного стержня фермы с одной степенью свободы на узел может быть расширена на один шаг, чтобы также представить аналогичный одномерный стержень фермы, но с двумя степенями свободы на узел — одной продольной (в осевом направлении) и другим поперечным смещением. на каждом узле.Поскольку элемент фермы может воспринимать нагрузки только в продольном направлении и не имеет сопротивления поперечным нагрузкам, соответствующие члены жесткости также равны нулю.
Рис. 9 Расширение одномерной матрицы жесткости фермы до двухмерной матрицы жесткости фермы
Из приведенной выше матрицы жесткости можно также интерпретировать, что продольная сила в узле 1, т.е. f1 не связана с поперечным смещением в узле 1, а также в узле 2, и поперечная нагрузка в узле 1, т.е. f2 не связана с продольным смещением в узлах 1 и 2.По этой причине соответствующие члены жесткости / члены связи в матрице жесткости также равны нулю. Это означает, что никакая величина продольной силы f1 в узле 1 не может произвести ненулевое поперечное смещение u2 и u4 . Та же аналогия верна и для узла 2.
Рис. 10 Интерпретация двухмерной матрицы жесткости элементов фермы Рис. 11 Свойства двухмерной матрицы жесткости элемента фермы
Аналогичное выражение для уравнения жесткости элемента также может быть получено для линейного элемента фермы в 3D с тремя поступательными степенями свободы на узел.Следовательно, результирующая матрица жесткости будет квадратной матрицей размера 6, потому что теперь всего будет 6 степеней свободы.
Рис. 12 Расширение двухмерной матрицы жесткости фермы до трехмерной матрицы жесткости фермы
Преобразование уравнений элемента из локальной в глобальную CS
До сих пор мы видели уравнение жесткости элемента в системе координат местного элемента, которое было по существу параллельным в глобальную систему координат. В этой конфигурации линия действия или продольная ось была параллельна глобальной оси X.Но, следуя базовому преобразованию координат, можно также вывести уравнение жесткости элемента для элемента в произвольной ориентации в пространстве. Чтобы вывести правила преобразования координат, давайте рассмотрим линейный элемент фермы в 2D-пространстве, который ориентирован под углом theta относительно глобальной системы координат.
Рис. 13 2D Линейный элемент фермы под произвольным углом theta относительно глобальной системы координат
Как это было сделано ранее, здесь могут быть установлены условия совместимости перемещений и равновесия узловых сил, чтобы связать глобальные и локальные значения узловых перемещений и узловые силы.Во-первых, выражение глобальных узловых смещений в терминах их компонентов в локальной элементарной системе координат приводит нас к следующим соотношениям:
Рис.
Рис.15 Матрица преобразования Q в 2D
Аналогично, соотношение преобразования может быть записано для вектора узловой силы:
Рис.16 Преобразование вектора узловой силы из локального в глобальный CS
Объединение соотношений преобразования как для узловых смещений, так и для узловых сил вместе с уравнением жесткости элемента в локальной системе координат, уравнение жесткости элемента в глобальной системе координат может быть получено следующим образом:
Рис.17 Преобразование матрицы жесткости элемента и уравнения жесткости
После выполнения нескольких основных операций с матрицей уравнение глобальной жесткости элемента может быть выражено через косинусы и синусы угла ориентации элемента theta
Рис. 18 Матрица жесткости элемента в глобальной системе координат
Метод прямой жесткости на примере — более длительный подход
До сих пор мы установили основные концепции, необходимые для получения матрицы жесткости для простого конечного элемента i на основе смещения.е. Это 1D, 2D или 3D элемент фермы, теперь мы можем работать над установлением метода прямой жесткости, используя пример задачи, чтобы объяснить все необходимые шаги.
Рассмотрим структуру образца, показанную на рисунке ниже, где предполагается, что каждый его элемент изготовлен из одного и того же материала (следовательно, с одинаковой прочностью нижележащего континуума) и имеет аналогичные свойства поперечного сечения. Левая сторона конструкции ограничена (смещение или повороты не допускаются), и к правому верхнему углу конструкции прикладывается вертикальная точечная нагрузка.Цель состоит в том, чтобы найти деформированную конфигурацию конструкции и силы в каждом отдельном элементе конструкции. Я взял эту задачу из курса вычислительной механики конструкций, который профессор Бишофф читал осенью 2013 года во время курса COMMAS.
Рис. 19 Структура, которую необходимо разрешить для неизвестных сил стержня с использованием метода прямой жесткости
Теперь метод прямой жесткости включает следующие шаги для создания глобальной матрицы жесткости, которая будет описывать поведение всей системы, а не только отдельного элемента.
Шаг 1 : Первый шаг — разбивка всей конструкции на отдельные подкомпоненты или « конечных элементов ». Каждому элементу присваивается уникальный идентификатор. Затем идентифицируйте концы каждого конечного элемента как «узел», также с уникальным идентификатором узла. Поскольку первичной неизвестной переменной здесь является смещение, и поскольку мы используем конечный элемент на основе смещения, неизвестными степенями свободы здесь будут смещения в узлах в продольном и поперечном направлениях. Назначьте неизвестные глобальные узловые смещения для всей конструкции.Для облегчения вычислений начните степени свободы с левой стороны, где конструкция зафиксирована и где значения глобального смещения уже известны (= 0). Мы также рассматриваем внешние силы, действующие на конструкцию в узлах глобальной системы координат. Итак, всего для текущей задачи у нас задействовано 16 переменных, то есть 2 смещения и 2 силы на узел и всего 4 узла. Из этих 16 переменных 8 нам уже известны. Следовательно, общее количество неизвестных переменных, оставшихся в этой системе, равно 8.
Рис. 20 Разбивка проблемы на элементы, узлы и степени свободы
Шаг 2 : Затем создайте матрицу топологии, которая установит взаимосвязь между элементами и их соответствующими глобальными степенями свободы. Каждый столбец этой матрицы топологии представляет элемент, а каждая строка представляет глобальные степени свободы, связанные с этим элементом. В практических приложениях количество элементов намного больше, чем количество степеней свободы на элемент. Следовательно, матрица топологии имеет большое количество столбцов.Но то, что мы имеем здесь, является частным случаем, в котором количество элементов и количество степеней свободы для каждого элемента равны 4.
Рис. 21 Постановка задачи с матрицей топологии, вектором ориентации и вектором длины
Подобно матрице топологии, она также полезно создать вектор для ориентации элемента в глобальной CS с углами каждого элемента относительно глобальной CS и отдельный вектор для свойства жесткости отдельного элемента. Эти векторы полезны при компьютерной реализации прямой матрицы жесткости.
Шаг 3 : На этом шаге мы используем знания, которые мы приобрели в предыдущих разделах, чтобы написать уравнения жесткости для каждого элемента в локальной элементарной CS, а затем преобразовать их в глобальную CS, используя уникальную матрицу преобразования для каждого элемента как производного ранее. На рисунке ниже уравнения жесткости элемента для элемента №1 выведены в локальной CS. Поскольку локальный элемент CS совпадает с глобальным CS (т. Е. тета, = 0), преобразование для этого элемента не требуется.
Рис. 22 Соотношение жесткости элемента 1 в глобальной системе координат
Также можно выразить вышеуказанное матричное уравнение в «развернутой» форме с учетом глобальных степеней свободы всей конструкции и соответствующих им членов жесткости. На рисунке ниже уравнения жесткости для элемента № 1 выражены в терминах глобальных степеней свободы.
Рис. 23 Соотношение жесткости элемента 1 в глобальной системе координат — развернутая форма
Как вы можете заметить в приведенной выше развернутой форме, учитываются только вклады элемента №1 в глобальную матрицу жесткости конструкции.Все остальные термины в настоящее время равны нулю, поскольку мы рассматриваем здесь только элемент №1.
Используя аналогичный подход, можно установить уравнения жесткости для всех остальных элементов по отношению к глобальной CS. Кроме того, они также могут быть расширены до глобальной системы степеней свободы, чтобы выразить свой вклад в глобальную матрицу жесткости конструкции.
Рис. 24 Соотношение жесткости элемента 2 в глобальной системе координат Рис. 25 Отношение жесткости элемента 2 в глобальной системе координат — расширенная форма Рис.26 Соотношение жесткости элемента 3 в глобальной системе координат Рис. 27 Соотношение жесткости элемента 3 в глобальной системе координат — расширенная форма Рис. 28 Соотношение жесткости элемента 4 в глобальной системе координат Рис. 29 Соотношение жесткости элемента 4 в глобальной системе координат — расширенная форма
Итак, до сих пор мы установили уравнения жесткости отдельных элементов в глобальной системе координат. Мы даже установили расширенную версию уравнения жесткости, которое представляет вклад отдельного конечного элемента в глобальную структурную матрицу.
Шаг 4 (более длинный подход) : После создания уравнений отдельных элементов, теперь, на этом важном этапе, мы объединяем эти уравнения, чтобы создать глобальную матрицу жесткости конструкции. Поскольку вся конструкция , предполагается, что состоит из отдельных конечных элементов с их собственным уравнением жесткости, добавление уравнений жесткости для всех конечных элементов будет представлять реакцию всей конструкции.
Рис. 30 Декомпозиция глобальных структурных уравнений как комбинация уравнений отдельных элементов
Начнем с добавления векторов узловых сил.Поскольку вектор узловой силы для каждого элемента уже представлен в глобальной системе координат на предыдущих шагах, мы можем добавить векторы силы без необходимости выполнять какое-либо дальнейшее преобразование координат.
Рис. 31 Суммирование векторов глобальных узловых сил элементов
Вышеупомянутое сложение векторов сначала выглядит пугающим, но мы упростим его в дальнейшем, основываясь на определенных условиях. Во-первых, давайте рассмотрим наиболее фундаментальное условие равновесия в методе конечных элементов i.е. равновесие сил в каждом узле конечных элементов. В условии указано, что
Чистая сила на любом структурном узле будет равна нулю. Чистая сила включает в себя как внешние силы, так и внутренние силы в каждом элементе. Проще говоря, чистая внешняя сила должна быть в равновесии с чистой внутренней силой на любом узле конечных элементов.
Чтобы понять последствия вышеприведенного утверждения, давайте попробуем установить равновесие сил в каждом узле рассматриваемой проблемы.Как показано на рисунке ниже, в каждом узле устанавливается равновесие между внешними узловыми силами F и внутренними силами P в каждом конечном элементе. Что касается текущей проблемы, мы уже знаем, что внешние силы на узлах 1 и 2 являются силами реакции от ограничений, и они рассматриваются как неизвестные, которые необходимо решить. Кроме того, также известно, что в узле 3 не действует никакая внешняя сила, а в узле 4 действует только вертикальная нагрузка. Вся эта информация рассматривается для упрощения уравнений баланса узловых сил, показанных ниже.
Рис. 32 Уравнения равновесия глобальной узловой силы
После применения соотношений, установленных на рисунке выше, результирующий вектор глобальной узловой силы может быть представлен следующим образом.
Рис. 33 Получение вектора глобальной структурной узловой силы
Далее нам интересно получить система уравнений, которая описывает механическое поведение всей конструкции, т.е. мы хотим идентифицировать глобальную матрицу жесткости K , которая линейно преобразует глобальный вектор узлового смещения D в глобальный вектор узловой силы F следующим образом
{F} = [ K] {D}
Поскольку мы разбили всю структуру на несколько подкомпонентов или элементов, глобальное уравнение движения может быть записано как суммирование уравнений отдельных элементов.Левая часть уравнения, то есть вектор результирующей глобальной узловой силы, уже был получен в предыдущем разделе. Также можно добавить члены жесткости с правой стороны для всех отдельных элементов, как показано ниже.
Рис. 34 Суммирование уравнений элементарной жесткости в соответствии с соотношением на рис. 30
Теперь условие совместимости смещения используется для объединения всех элементов. глобальные векторы смещения в один главный глобальный вектор смещения для всей конструкции.Совместимость смещения утверждает, что
Два или более элемента, соединенных в общем узле, будут иметь общие степени свободы в этом узле. Другими словами, все элементы, подключенные к общему узлу, будут иметь одинаковое значение смещения в этом узле, или общий узел в элементе не будет раздвигаться.
Глобальные узловые степени свободы для всей конструкции можно выразить как
Рис.36 Соотношения совместимости узловых перемещений — II
Используя приведенные выше соотношения из условия совместимости, сложение уравнений жесткости элементов может быть преобразовано следующим образом.
Рис. 37 Краткая форма суммирования уравнений жесткости элементов
Теперь матрица жесткости отдельных элементов в глобальной координате Система, полученная ранее, может быть вставлена в приведенное выше уравнение суммирования для получения основной матрицы жесткости конструкции, которая связывает глобальные узловые силы с глобальными узловыми смещениями всей конструкции
Рис.38 Глобальная матрица жесткости конструкции
Наконец, глобальное структурное уравнение движения может быть записано, как показано ниже, которое, по сути, представляет собой линейную систему уравнений, которая решается либо линейным решателем, либо итерационным решателем, в зависимости от размера проблемы.
Рис. 39 Уравнение общей жесткости конструкции
Интересно отметить, что в основной матрице жесткости ненулевые члены жесткости присутствуют только в тех положениях, где соответствующие степени свободы напрямую связаны друг с другом, или, если есть прямая передача нагрузки между этими степенями свободы.Итак, условия k _13 = k _14 = 0, потому что степень свободы 1 никак не связана напрямую со степенями свободы 3 и 4, или, другими словами, нет прямой передачи нагрузки между узлами 1 и 2. Аналогичное наблюдение можно было бы также сделать для узлов 2 и 3.
Кроме того, можно также отметить, что узлы, в которых несколько элементов соединены вместе, получают вклады жесткости от всех связанных элементов в соответствующих степенях свободы. Например, в направлении глобальной степени свободы 7 вклады в жесткость поступают только от элементов 1 (k1) и 2 (k2 / 2).Следовательно, k _77 = k1 + k2 / 2. Точно так же глобальная степень свободы 8 получает вклады жесткости только от элементов 2 (k2 / 2) и 4 (k4), следовательно, k _88 = k2 / 2 + k4.
Метод прямой жесткости с использованием примера — более короткий подход
Как вы могли видеть, это был довольно утомительный процесс — сначала преобразовать каждое уравнение элементарной жесткости из локальной в глобальную CS, расширить их для включения других глобальных степеней свободы и, наконец, использовать совместимость смещение и равновесие узловых сил для получения эталонной матрицы жесткости.Конечным результатом была очень интуитивно понятная форма основной матрицы жесткости, которая имеет ненулевые члены жесткости только для тех степеней свободы, которые связаны, и нулевые для тех, которые не связаны.
На основе описанных выше шагов и полученных результатов могут быть получены следующие правила для прямой сборки основной матрицы жесткости:
Правило 1: Все диагональные члены, k _ii состоит из суммы прямой жесткости всех элементы, непосредственно влияющие на степень свободы i.
Правило 2: Все недиагональные члены, k _ij состоит из суммы косвенной жесткости всех элементов, соединяющих степени свободы i и j. Добавьте отрицательный знак к полученной косвенной жесткости.
Правило 3: Поставьте ноль для всех других степеней свободы, которые не взаимодействуют друг с другом или никак не связаны друг с другом.
Используя эти простые правила, можно собрать основную матрицу жесткости для конструкции любого уровня сложности.
Рис. 40 Глобальные матрицы жесткости для элементов 1 и 2 Рис. 41 Глобальные матрицы жесткости для элементов 3 и 4 Рис. 42 Глобальная матрица структурной жесткости, полученная с помощью правил сборки прямого метода жесткости
Глобальная структурная матрица, собранная выше для всей конструкции, такая же, как и полученная в предыдущем разделе с использованием более утомительного процесса выполнения условий совместимости смещения и силы. Таким образом, здесь доказано, что можно использовать правила сборки матрицы жесткости для получения глобальной матрицы жесткости конструкции в рамках прямого метода жесткости.
Решение уравнения жесткости конструкции
После того, как глобальная матрица жесткости конструкции собрана, полученная система уравнений может быть решена для системы неизвестных — узловых смещений и сил реакции. Однако, если кто-то попытается найти решение системы уравнений напрямую, он столкнется с проблемой, что не существует однозначных решений проблемы. Причина в том, что собранная глобальная матрица жесткости конструкции необратима или является сингулярной матрицей, поскольку ее детерминант равен нулю.
Рис. 43 Собранная система уравнений для всей конструкции с сингулярной матрицей жесткости
Чтобы найти единственное решение проблемы, мы применяем граничные условия, или, в частности, граничное условие Дирихле. Используя это граничное условие, задаются смещения в узлах, и система уравнений сводится к меньшей системе уравнений с обратимой матрицей жесткости.
Рис. 44 Применение граничного условия Дирихле и редукция системы уравнений
Редуцированная система уравнений дополнительно упрощена путем вставки выражений для отдельных членов жесткости
Рис.45 Упрощение редуцированной системы уравнений
Кроме того, система уравнений может быть решена с использованием прямых или итерационных решателей для линейной системы уравнений, чтобы получить неизвестные значения узлового смещения
Рис. 46 Неизвестные значения узлового смещения, полученные путем решения сокращенной системы уравнений
Полученные значения узлового смещения могут быть вставлены обратно в исходную систему уравнений для получения неизвестных сил реакции.
Рис. 47 Другая половина сокращенной системы уравнений для получения неизвестных узловых сил
Наконец, неизвестные силы реакции в узлах равны
Рис.48 Силы реакции в узлах
Таким образом, узловые смещения и силы реакции на конструкцию получаются следующим образом:
Рис. 49 Узловые смещения и силы реакции в глобальной системе координат
На следующих этапах, которые читатель может попробовать самостоятельно, этот глобальный вектор узлового смещения может использоваться для получения узлового смещения каждого элемента в локальной CS, и, таким образом, силы в каждом элементе могут быть получены с использованием определяющего соотношения для каждого элемента.
Резюме
В этой статье мы рассмотрели следующие темы —
Мотивация прямого метода жесткости
Вывод матрицы жесткости и уравнений для линейного элемента фермы 1D, 2D и 3D
Анализ матрицы жесткости элемента фермы
Преобразование уравнений из локальной системы координат в глобальную с использованием матрицы ортогонального преобразования Q
Объяснение метода прямой жесткости на примере — более длительный подход с использованием уравнений совместимости и равновесия
Установление правил из метода прямой жесткости и его применения к примерной задаче — укороченный метод
Применение граничных условий и решение линейной системы уравнений
Дополнительные темы
Целью этой статьи было познакомить новичков в области метода конечных элементов с областью метода прямой жесткости, который формирует основа для методы конечных элементов, основанные на перемещении.Мы рассмотрели процесс получения матрицы жесткости элементов фермы, комбинируя матрицу жесткости отдельных элементов с использованием определенных правил, чтобы получить матрицу жесткости для всей конструкции. Однако есть еще много вещей, которые необходимо обсудить более подробно, что касается метода прямой жесткости. В следующей статье я хотел бы остановиться на математической интерпретации элементарной и глобальной матрицы структурной жесткости, которая дает много полезных сведений о структурном поведении.Некоторые из этих аспектов:
Собственные векторы и собственные значения матрицы жесткости
Положительно определенная и положительная полуопределенность матрицы жесткости
Сингулярность матрицы жесткости — структурная устойчивость и нестабильность
Режимы жесткого тела и внутренние механизмы в конструкции
Я надеюсь, что читатели получили хорошее введение в тему или достойный обзор темы для тех, кто уже знаком с областью метода конечных элементов.Если у вас есть какие-либо комментарии, предложения, исправления относительно этой статьи или поля конечных элементов в целом, оставьте комментарий или отправьте мне сообщение. Я хотел бы получить ответ от вас, ребята!
Для более глубокого понимания метода прямой жесткости и математической интерпретации матриц жесткости элементов / конструкций не забудьте прочитать часть II этой серии статей!
Глобальная матрица жесткости — обзор
Формулировка конечных элементов
Глобальная матрица жесткости, [K] ^*, всей конструкции получается путем сборки матрицы жесткости элементов, [K] _i, для всех структурных члены, т.е.(M-элементы) и выражается как
(1) [K] * = ∑i = 1M [K] 1
где [K] _i — матрица жесткости типичного элемента фермы, i, в единицах глобальных осей. Уравнение деформации глобальной нагрузки в матричной форме может быть записано как
(2) [K] * {d} = {P}
, где {d} — вектор смещения, а {P} — приложенная глобальная нагрузка. вектор. Для передающей опоры вектор нагрузки {P} обычно является функцией нескольких случайных величин, например толщины льда t; скорость ветра, v; ветровой пролет, W _N; и диапазон веса, W _T, тогда как матрица жесткости, [K] ^*, обычно является функцией случайных величин, таких как модуль Юнга, E; площадь сечения, А; и геометрический размер L.
Поскольку матрица жесткости и вектор нагрузки являются функциями случайных величин, вектор смещения, {d}, также будет функцией этих случайных величин и может быть разделен на среднюю и переменную части как
(3) {d} = {d} — + δ {d}
где {d¯} — средний вектор смещения, а δ {d} — его изменение. Аналогичным образом, разделив [K] ^* и {P} на их средние и переменные компоненты, мы получим
(4a) [K] * = [K] * — + δ [K] *
и
(4b) {P} = {P} — + δ {P}
, где черта над величиной относится к ее среднему значению, а δ {.}, представляет собой вариант вектора {.}. Подставляя уравнения (3), (4a) и (4b) в уравнение (2), получаем.
(5) ([K¯] * + δ [K] *) ({d¯} + δ (d)) = {P¯} + δ {P}
Мы пренебрегаем членом, состоящим из произведения две небольшие величины, такие как δ [K] ^* δ {d}, и разделяя члены, содержащие детерминированную и случайную части, получаем
(6b) δ {d} = [J] — (δ {P} — δ [ K] * {d})
где {J¯} обозначает обратную матрицу неособой собранной средней жесткости, [K] ^*, для всей конструкции.
Свободное падение (физика): определение, формула, проблемы и решения (с примерами)
Обновлено 22 декабря 2020 г.
Кевин Бек
Свободное падение относится к ситуациям в физике, где действует единственная сила на объекте действует сила тяжести.
Простейшие примеры происходят, когда объекты падают с заданной высоты над поверхностью Земли прямо вниз — это одномерная проблема. Если объект подбрасывают вверх или с силой бросают прямо вниз, пример все еще одномерный, но с поворотом.
Снаряд — классическая категория задач свободного падения. На самом деле, конечно, эти события разворачиваются в трехмерном мире, но для вводных физических целей они рассматриваются на бумаге (или на вашем экране) как двумерные: x для правого и левого (с правым положительное значение) и y вверх и вниз (при положительном значении up).
Поэтому примеры свободного падения часто имеют отрицательные значения смещения по оси Y.
Возможно, нелогично, что некоторые задачи со свободным падением квалифицируются как таковые.
Имейте в виду, что единственным критерием является то, что единственная сила, действующая на объект, — это гравитация (обычно гравитация Земли). Даже если объект запускается в небо с колоссальной начальной силой, в момент выпуска объекта и после этого единственная сила, действующая на него, — это гравитация, и теперь это снаряд.
Часто в школьных и многих университетских задачах по физике сопротивление воздуха не учитывается, хотя в действительности это всегда имеет хотя бы небольшой эффект; исключение — событие, которое разворачивается в вакууме.Подробнее об этом будет сказано ниже.
Уникальное влияние силы тяжести
Уникальное и интересное свойство ускорения свободного падения состоит в том, что оно одинаково для всех масс.
Это было далеко не самоочевидным до времен Галилео Галилея (1564–1642). Это потому, что на самом деле гравитация — не единственная сила, действующая при падении объекта, а эффекты сопротивления воздуха, как правило, заставляют более легкие объекты ускоряться медленнее — это мы все заметили при сравнении скорости падения камня и пера.
Галилей провел хитроумные эксперименты на «падающей» Пизанской башне, доказав, сбрасывая массы разного веса с высокой вершины башни, что ускорение свободного падения не зависит от массы.
Решение проблем свободного падения
Обычно вам нужно определить начальную скорость (v _0y), конечную скорость (v _y) или насколько далеко что-то упало (y — y ₀). Хотя ускорение свободного падения Земли постоянно 9.8 м / с ², в другом месте (например, на Луне) постоянное ускорение, испытываемое объектом в свободном падении, имеет другое значение.
Для свободного падения в одном измерении (например, яблоко, падающее прямо с дерева), используйте кинематические уравнения из раздела Кинематические уравнения для свободно падающих объектов . Для задачи о движении снаряда в двух измерениях используйте кинематические уравнения из раздела «Движение снаряда и системы координат ».
Вы также можете использовать принцип сохранения энергии, который гласит, что потеря потенциальной энергии (PE) при падении равна приросту кинетической энергии (KE): –mg (y — y ₀) = (1/2) mv _y ².
Кинематические уравнения для свободно падающих объектов
Все вышеизложенное можно свести для настоящих целей к следующим трем уравнениям. Они предназначены для свободного падения, поэтому нижние индексы «y» можно опустить.2-2g (y-y_0)
Пример 1: Странное животное, похожее на птицу, парит в воздухе в 10 метрах прямо над вашей головой, заставляя вас ударить его гнилым помидором, который вы держите. С какой минимальной начальной скоростью v ₀ вам нужно было бы бросить помидор прямо вверх, чтобы гарантировать, что он достигнет своей кричащей цели?
Физически происходит то, что мяч останавливается под действием силы тяжести, когда достигает необходимой высоты, поэтому здесь v _y = v = 0.2 = 196 \\\ text {} \\ v_0 = 14 \ text {m / s}
Это примерно 31 миля в час.
Движение снаряда и системы координат
Движение снаряда включает движение объекта (обычно) в двух измерениях под действием силы тяжести. Поведение объекта в направлении x и в направлении y может быть описано отдельно при сборке более широкой картины движения частицы. Это означает, что «g» появляется в большинстве уравнений, необходимых для решения всех задач о движении снаряда, а не только тех, которые связаны со свободным падением.2-2g (y-y_0)
Пример 2: Сорвиголова решает попробовать проехать на своей «ракетной машине» через промежуток между крышами соседних зданий. Они разделены на 100 метров по горизонтали, а крыша «взлетного» здания на 30 м выше второго (это почти 100 футов, или, возможно, 8-10 «этажей», т. Е. Уровни).
Пренебрегая сопротивлением воздуха, как быстро ему нужно будет двигаться, когда он покинет первую крышу, чтобы быть уверенным, что достигнет второй крыши? Предположим, что его вертикальная скорость равна нулю в момент взлета автомобиля.
Опять же, перечислите известные вам величины: (x — x ₀) = 100 м, (y — y ₀) = –30 м, v _0y = 0, g = –9,8 м / с ².
Здесь вы можете воспользоваться тем фактом, что горизонтальное и вертикальное движение можно оценивать независимо. Сколько времени потребуется автомобилю для свободного падения (с точки зрения Y-движения) на 30 м? Ответ дает y — y ₀ = v _0y t — (1/2) gt ^2.
Заполнение известных величин и решение для t:
−30 = (0) t — (1/2) (9.2 \\ text {} \\ t = 2.47 \ text {s}
Теперь вставьте это значение в x = x ₀ + v _0x t:
100 = (v_ {0x}) (2.74) \ подразумевает v_ {0x} = 40,4 \ text {м / с}
v _0x = 40,4 м / с (около 90 миль в час).
Возможно, это возможно, в зависимости от размера крыши, но в целом не лучшая идея, кроме фильмов о героях боевиков.
Удар из парка … Далеко
Сопротивление воздуха играет важную, недооцененную роль в повседневных событиях, даже когда свободное падение — лишь часть физической жизни.2 \ sin {2 \ theta}} {g}
Исходя из этого, если бы Стентон ударил по мячу под теоретическим идеальным углом 45 градусов (где sin 2θ имеет максимальное значение 1), мяч полетел бы 978 футов! На самом деле домашние забеги почти никогда не достигают даже 500 футов. Частично, если это потому, что угол запуска в 45 градусов для бэттера не идеален, так как подача идет почти горизонтально. Но большая часть этой разницы связана с эффектом сопротивления воздуха, снижающим скорость.
Сопротивление воздуха: что угодно, только не «незначительное»
Задачи по физике свободного падения, предназначенные для менее продвинутых учеников, предполагают отсутствие сопротивления воздуха, потому что этот фактор привнесет другую силу, которая может замедлять или замедлять объекты и должна быть математически учтена для.Эту задачу лучше всего оставить для продвинутых курсов, но, тем не менее, здесь она обсуждается.
В реальном мире атмосфера Земли оказывает определенное сопротивление объекту при свободном падении. Частицы в воздухе сталкиваются с падающим объектом, в результате чего часть его кинетической энергии преобразуется в тепловую. Поскольку в целом энергия сохраняется, это приводит к «меньшему движению» или более медленному увеличению скорости нисходящего движения.
% PDF-1.5 % 1769 0 объект > эндобдж xref 1769 214 0000000016 00000 н. 0000006748 00000 н. 0000006931 00000 н. 0000006968 00000 н. 0000009306 00000 н. 0000009844 00000 н. 0000010351 00000 п. 0000010869 00000 п. 0000010986 00000 п. 0000011037 00000 п. 0000011087 00000 п. 0000011138 00000 п. 0000011189 00000 п. 0000011239 00000 п. 0000011289 00000 п. 0000011340 00000 п. 0000011390 00000 п. 0000011441 00000 п. 0000011491 00000 п. 0000011541 00000 п. 0000011591 00000 п. 0000011641 00000 п. 0000011691 00000 п. 0000011741 00000 п. 0000011791 00000 п. 0000011841 00000 п. 0000011890 00000 п. 0000011940 00000 п. 0000011990 00000 п. 0000012040 00000 п. 0000012090 00000 н. 0000012141 00000 п. 0000012191 00000 п. 0000012242 00000 п. 0000012291 00000 п. 0000012342 00000 п. 0000012393 00000 п. 0000012443 00000 п. 0000012493 00000 п. 0000012544 00000 п. 0000012594 00000 п. 0000012643 00000 п. 0000012693 00000 п. 0000012743 00000 п. 0000012793 00000 п. 0000012843 00000 п. 0000012893 00000 п. 0000012943 00000 п. 0000012993 00000 п. 0000013108 00000 п. 0000013193 00000 п. 0000013674 00000 п. 0000014259 00000 п. 0000014351 00000 п. 0000014769 00000 п. 0000022123 00000 п. 0000031289 00000 п. 0000040865 00000 п. 0000041254 00000 п. 0000041451 00000 п. 0000041840 00000 п. 0000042037 00000 п. 0000042233 00000 п. 0000042430 00000 н. 0000042627 00000 п. 0000042824 00000 п. 0000043213 00000 п. 0000043410 00000 п. 0000043606 00000 п. 0000043800 00000 п. 0000043997 00000 п. 0000044193 00000 п. 0000044389 00000 п. 0000053567 00000 п. 0000053764 00000 п. 0000053961 00000 п. 0000054350 00000 п. 0000054547 00000 п. 0000054744 00000 п. 0000054940 00000 п. 0000055137 00000 п. 0000055334 00000 п. 0000055531 00000 п. 0000055728 00000 п. 0000063345 00000 п. 0000063535 00000 п. 0000063721 00000 п. 0000063911 00000 п. 0000064100 00000 н. 0000064489 00000 н. 0000064679 00000 н. 0000064867 00000 п. 0000065057 00000 п. 0000065446 00000 п. 0000065485 00000 п. 0000065682 00000 п. 0000066071 00000 п. 0000066260 00000 п. 0000066649 00000 п. 0000066839 00000 п. 0000074675 00000 п. 0000075126 00000 п. 0000075634 00000 п. 0000076034 00000 п. 0000076119 00000 п. 0000083566 00000 п. 0000083735 00000 п. 0000083952 00000 п. 0000084826 00000 п. 0000085014 00000 п. 0000092584 00000 п. 0000092711 00000 п. 0000092817 00000 п. 0000092911 00000 п. 0000093069 00000 п. 0000093126 00000 п. 0000093280 00000 п. 0000093371 00000 п. 0000093531 00000 п. 0000093601 00000 п. 0000094004 00000 п. 0000094131 00000 п. 0000094304 00000 п. 0000094380 00000 п. 0000094705 00000 п. 0000095042 00000 п. 0000095235 00000 п. 0000095582 00000 п. 0000095884 00000 п. 0000096157 00000 п. 0000100433 00000 н. 0000105924 00000 н. 0000106215 00000 н. 0000110337 00000 н. 0000112988 00000 н. 0000113522 00000 н. 0000113894 00000 н. 0000114266 00000 н. 0000114528 00000 н. 0000114971 00000 н. 0000115342 00000 п. 0000115571 00000 н. 0000115927 00000 н. 0000116130 00000 н. 0000116239 00000 н. 0000116741 00000 н. 0000116853 00000 н. 0000117189 00000 н. 0000117618 00000 н. 0000117809 00000 н. 0000118209 00000 н. 0000118550 00000 н. 0000118729 00000 н. 0000119046 00000 н. 0000119346 00000 п. 0000126456 00000 н. 0000126497 00000 н. 0000126574 00000 н. 0000126893 00000 н. 0000128215 00000 н. 0000129189 00000 н. 0000130485 00000 н. 0000131507 00000 н. 0000132498 00000 н. 0000133257 00000 н. 0000135696 00000 п. 0000136536 00000 н. 0000138182 00000 н. 0000139779 00000 н. 0000140557 00000 н. 0000141117 00000 н. 0000142221 00000 н. 0000142710 00000 н. 0000143411 00000 н. 0000143843 00000 н. 0000144486 00000 н. 0000144754 00000 н. 0000145412 00000 н. 0000145846 00000 н. 0000146365 00000 н. 0000146894 00000 н. 0000147372 00000 н. 0000148356 00000 н. 0000149248 00000 н. 0000150123 00000 н. 0000152149 00000 н. 0000152408 00000 н. 0000153291 00000 н.

12	13	14	18	17	74
15	11	16	15	19	76
16	18	12	14	13	73
18	19	11	12	17	77
14	12	19	16	11	72
75	73	72	75	77	372

Этапы проведения урока	Форма организации УД	Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов		Продолжительность
Этапы проведения урока	Форма организации УД	Учебник	Рабочая тетрадь №1
1.Организационный этап				1 мин
2. Проверка домашнего задания				3 мин
3. Актуализация знаний	Ф	№1,2		3 мин
4. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся				2 мин
5. Изучение нового материала	Ф	Теоретический материал параграф 7 (свойства сложения)		7 мин
6. Физкультминутка				1 мин
7. Первичное закрепление знаний	Ф	№ 171, 175, 177(1-4),179	№ 69, 70, 71	21 мин
8. Итоги урока	П	Вопросы 4-9		2 мин
9. Рефлексия учебной деятельности на уроке		Продолжите высказывания об уроке: Теперь я умею… На уроке для меня было важно… На уроке мне было сложно…		3 мин
10. Информация о домашнем задании		параграф 7, вопросы 4-6, № 172, 176, 178(1-2)		2 мин

Деятельность учителя	Деятельность ученика	Примечание
Приветствие учащихся. Сообщение структуры урока. Проверка готовности к уроку	Приветствуют учителя, демонстрируют готовность к уроку	Слайд2

Деятельность учителя	Деятельность ученика	Примечание
Учитель комментирует домашнее задание	Обучающиеся записывают д/з в дневники	Слайд 13

средняя скорость	средняя скорость	мгновенная скорость
мгновенная скорость	скорость	скорость

12	13	14	18	17	74
15	11	16	15	19	76
16	18	12	14	13	73
18	19	11	12	17	77
14	12	19	16	11	72
75	73	72	75	77	372

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 35

Натуральные числа

Сложение натуральных чисел и его свойства — Урок 2 — СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Свойства сложения (5 класс) | План-конспект урока по математике (5 класс):

Конспект урока «Умножение. Переместительное свойство умножения».

Презентация по математике для 5 класса «Свойства сложения натуральных чисел»

Распределительные свойства умножения

Свойства сложения натуральных чисел

2.2 Скорость и скорость — физика

Задачи обучения разделу

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Раздел Ключевые термины

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Скорость

Teacher Support

Teacher Support

Рабочий пример

Расчет средней скорости

Стратегия

Практические задачи

Скорость

Советы для успеха

Watch Physics

Расчет средней скорости или скорости

Проверка захвата

Teacher Support

Teacher Support

Рабочий пример

Расчет средней скорости

Стратегия

Советы для успеха

Teacher Support

Teacher Support

Рабочий пример

Решение для смещения, когда известны средняя скорость и время

Стратегия

Советы для успеха

Рабочий пример

Решение для времени, когда известны смещение и средняя скорость

Стратегия

Практические задачи

Virtual Physics

The Walking Man

Проверка захвата

Teacher Support

Teacher Support

Проверьте свое понимание

Поддержка учителей

Поддержка учителей

простых гармонических движений | Формула, примеры и факты

Движение снаряда | Физика

Основы метода конечных элементов — Метод прямой жесткости Часть 1 | by Harsh Sharma

Вывод уравнения жесткости одномерного элемента фермы

Анализ одномерной матрицы жесткости фермы

Расширение одномерной матрицы жесткости фермы до двухмерной и трехмерной матрицы жесткости фермы

Метод прямой жесткости на примере — более длительный подход

Метод прямой жесткости с использованием примера — более короткий подход

Решение уравнения жесткости конструкции

Дополнительные темы

Глобальная матрица жесткости — обзор

Формулировка конечных элементов

Свободное падение (физика): определение, формула, проблемы и решения (с примерами)

Уникальное влияние силы тяжести

Решение проблем свободного падения

Кинематические уравнения для свободно падающих объектов

Движение снаряда и системы координат

Удар из парка … Далеко

Сопротивление воздуха: что угодно, только не «незначительное»

Добавить комментарий Отменить ответ

12	13	14	18	17	74
15	11	16	15	19	76
16	18	12	14	13	73
18	19	11	12	17	77
14	12	19	16	11	72
75	73	72	75	77	372