примеры, решения, сложение и вычитание в столбик

Существует удобный метод нахождения разности двух натуральных чисел – вычитание в столбик, или вычитание столбиком. Этот способ берет свое название от метода записи уменьшаемого и разности друг под другом. Так можно провести и основные, и промежуточные вычисления в соответствии с нужными разрядами чисел.

Этим методом удобно пользоваться, поскольку это очень просто, быстро и наглядно. Все сложные на первый взгляд подсчеты можно свести к сложению и вычитанию простых чисел.

Ниже мы рассмотрим, как именно пользоваться этим методом. Наши рассуждения будут подкреплены примерами для большей наглядности.

Что нужно повторить перед изучением вычитания столбиком?

Метод основан на некоторых простых действиях, которые мы уже разбирали ранее. Необходимо повторить, как правильно вычитать с помощью таблицы сложения. Также желательно знать основное свойство вычитания равных натуральных чисел (в буквенном виде оно записывается как a−a=0). Нам понадобятся следующие из него равенства a−0=a и 0−0=0, где a – любое произвольно взятое натуральное число (если требуется, посмотрите основные свойства нахождения разности целых чисел).

Кроме того, важно знать, как определять разряд натуральных чисел.

Разбор метода вычитания столбиком

Главное на первом этапе – правильно записать исходные данные. Для начала записываем первое число, из которого будем вычитать. Под ним располагаем вычитаемое. Цифры должны быть расположены строго одна под другой с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Далее ставим минус с левой стороны от столбика и подводим черту под обоими числами. Под ней будет записываться конечный результат.

Пример 1

Покажем на примере, какая запись подсчета является правильной:

С помощью первой мы можем найти, сколько будет 56−9, с помощью второй – 3 004−1 670, третьей – 203 604 500−56 777.  

Как видно, с помощью этого метода можно производить вычисления разной сложности.

Далее рассмотрим сам процесс нахождения разности. Для этого выполняем поочередное  вычитание значений разрядов: сначала вычитаем единицы из единиц, потом десятки из десятков, потом сотни из сотен и т.д. Значения записываем под чертой, отделяющей исходные данные от результата. В итоге у нас должно получиться число, которое и будет верным ответом задачи, т.е. разностью исходных чисел.

Как именно выполняются подсчеты, можно увидеть на этой схеме:

С общей картиной записи и подсчета мы разобрались. Однако в методе есть и некоторые моменты, нуждающиеся в уточнении. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с простейших задач и будем постепенно наращивать сложность, пока наконец не разберем все нюансы.

Советуем внимательно прочитать все примеры, потому что каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все объяснения, то подсчет разности натуральных чисел в дальнейшем не будет вызывать у вас ни малейших затруднений.

Пример 2

Условие: найдем разность 74 805 — 24 003 с помощью вычитания столбиком.

Решение:

Запишем эти числа одно под другим, правильно расположив разряды друг под другом, и подчеркнем их:

Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5-3=2 (если нужно, повторите таблицы сложения натуральных чисел). Итог запишем под чертой там, где указаны единицы:

Вычитаем десятки. Оба значения в нашем столбике нулевые, а вычитание нуля из нуля всегда дает нуль (как вы помните, мы упоминали, что нам в дальнейшем потребуется это свойство вычитания). Результат записываем в нужное место:

Далее считаем значения разности сотен: : 8−0=8. Вписываем итог следующим числом в наш будущий результат:

Следующий шаг – нахождение значения разности тысяч: 4−4=0. Получившийся нуль записываем на положенное ему место и получаем в итоге:

Нам остается подсчитать только разность между цифрами, означающими десятки тысяч.

Пишем последнюю цифру под чертой и смотрим, что у нас вышло:

У нас получилось 50 802, которое и будет верным ответом для указанного выше примера. На этом вычисления завершены.

Ответ: 50 802. 

Возьмем другой пример:

Пример 3

Условие: подсчитаем, сколько будет 5 777 — 5 751 с помощью метода нахождения разности столбиком.

Решение: 

Шаги, которые нам нужно сделать, мы уже приводили выше. Выполняем их последовательно для новых чисел и получаем в итоге:

В начале результата стоит два нуля. Т.к. они стоят первыми, то можно смело их отбросить и получить в ответе 26. Это число и будет правильным ответом нашего примера.

Ответ: 26.

Если посмотреть на условия двух примеров, приведенных выше, легко заметить, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству знаков. Но метод столбика можно использовать и тогда, когда уменьшаемое включает в себя больше знаков, чем вычитаемое.

Пример 4

Условие: найдем разность 502 864 число 2 330.

Решение

Запишем числа друг под другом, соблюдая нужную соотнесенность разрядов. Это будет выглядеть так:

Теперь поочередно вычисляем значения:

– единиц: 4−0=4;

– десятков: 6−3=3;

– сотен: 8−3=5;

– тысяч: 2−2=0.

Запишем, что у нас получилось:

Вычитаемое имеет значения в месте десятков и сотен тысяч, а вот уменьшаемое нет. Что же делать? Вспомним, что пустота в математических примерах равнозначна нулю. Значит, нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает нуль, следовательно, все, что нам остается, – это переписать исходные значения разрядов в область ответа:

Наши подсчеты завершены. Мы получили итог: 502 864 — 2 330 = 500 534.

Ответ: 500 534. 

В наших примерах значения разрядов вычитаемого всегда оказывались меньше, чем значения уменьшаемого, поэтому никаких трудностей при подсчете это не вызывало. Что делать, если из значения верхней строки нельзя вычесть значение нижней, не уйдя при этом в минус? Тогда нам нужно «взять взаймы» значения более старших разрядов. Возьмем конкретный пример.

Пример 5

Условие: найдите разность 534-71.

Пишем уже привычный нам столбик и делаем первый шаг вычислений: 4-1=3. Получаем:

Далее нам надо перейти к подсчету десятков. Для этого нам надо из 3 вычесть 7. Это действие с натуральными числами выполнить нельзя, ведь оно имеет смысл только при таком уменьшаемом, которое больше вычитаемого. Поэтому в данном примере нам нужно «занять» единицу из старшего разряда и тем самым «разменять» его. То есть 100 мы как бы меняем на 10 десяток и берем одну из них. Чтобы не забыть об этом, отметим нужный разряд точкой, а в десятках запишем 10 другим цветом. У нас получилась запись следующего вида:

Далее нам надо добавить полученные 10 десяток к трем, что у нас уже есть: 3+10=13, а потом уже из 13 вычитаем 7:

13−7=6.

Получившийся результат пишем на нужном месте под чертой:

Нам осталось закончить подсчет, вычислив сотни. У нас стоит точка над числом 5: это значит, что мы отсюда брали десяток для предыдущего разряда. Тогда 5−1=4. От четверки же ничего отнимать не нужно, поскольку вычитаемое в разряде сотен значений не имеет. Записываем 4 на место и получаем ответ:

Ответ: 463.   

Зачастую выполнять действие «размена» в рамках одного примера приходится несколько раз. Разберем такую задачу.

Пример 6

Условие: сколько будет 1 632 — 947?

Решение

В первом же этапе подсчета надо вычесть двойку из семерки, так что сразу «занимаем» десятку для размена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10+2-7=5. Вот как выглядит наша запись с отметками:

Далее нам надо подсчитать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем в этом разряде число на единицу меньше: 3−1=2. Из двойки нам придется вычитать четверку, так что «размениваем» сотни.  У нас получается (10+2)−4=12−4=8.

Движемся дальше к подсчету сотен. Из шестерки мы уже занимали единицу, так что 6−1=5. Из пятерки вычитаем девятку, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и «размениваем» ее на 10 сотен. Таким образом, (10+5)−9=15−9=6. Теперь наша запись с примечаниями выглядит так:

Нам осталось сделать подсчеты в тысячном разряде. Одну единицу отсюда мы уже занимали, так что 1−1=0. Пишем результат под итоговую черту и смотрим, что получилось:

На этом вычисления закончены. Нуль в начале можно отбросить. Значит, 1 632−947=685.

Ответ:  685.

Возьмем еще более сложный пример.

Пример 7

Условие: вычтите 907 из 8 002.

Решение

В первом шаге, как и ранее, нам приходится вычитать двойку из семерки. Идем в десятки за «разменом». Но у нас их нет, как нет и сотен: на месте этих разрядов у уменьшаемого стоят нули. Поэтому идем сразу в тысячу. Это 10 сотен, так что:

После этого одну сотню представляем в виде 10 десяток:

Финальное действие в «размене» – один десяток на 10 единиц. Получим:

Только на этом этапе мы сможем наконец подсчитать сумму 10+2=12 и вычесть из нее число 7. В итоге у нас будет 5. Поместим результат на нужное место:

Теперь движемся к другим разрядам, отмеченным точками. Видим над десятками точку – считаем: 10−1=9. Прибавляем к нему значение разряда десятков уменьшаемого (0): 9+0=9. Из результата надо вычесть значения разряда десятков вычитаемого (0): 9−0=9. У нас вышло:

Далее над сотнями также видим точку. Считаем: 10−1=9. Прибавляем сотни числа 8 002 и от результата отнимаем сотни 907. Получаем: (9+0)−9=9−9=0. Теперь наша запись выглядит так:

У  нас остался последний шаг. Мы видим оставшееся число восемь с точкой, означающей, что ее надо уменьшить на единицу. Считаем число 8−1=7:

Ответ: 7095.

 

Это были все сложные моменты, которые мы хотели пояснить. Они пригодятся для быстрых вычислений на практике. Завершим статью еще одним примером, но без комментариев:

Пример 8

Вычислите:  51 038 628 — 999 531.

Решение

 

Ответ: 50039097

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Сложение столбиком. Сложение чисел столбиком. Математика сложение столбиком.

• Альфашкола
• Статьи
• Как складывать числа в столбик?

Когда вы хотите сложить два числа, вы можете сложить их столбиком.

Как правильно записать цифры в столбик?

Десятки цифр выстраиваются под десятками, сотни под сотнями и так далее. Затем складываем по столбцам, начиная со столбца справа. 

Пример 1. Сложите два числа: \(55 + 31\) в столбик.

Решение:

\(5+1=6\)

\(5+3=8\)

 

Ответ: \(86.\)

---

В этом случае мы складывали два двузначных числа. Давайте сложим двузначное с трехзначным, здесь надо обратить внимание на правильную запись: десятки под десятками и сотни под сотнями.

Пример 2. Сложите два числа: \(523 + 31\) в столбик.

Решение:

\(3+1=4\)

\(2+3=5\)

Ответ: \(554\).

---

Если при сложении образуется число больше 9: обычно это 10-18, то мы запоминаем десяток и прибавляем его к разряду выше, например если при сложении цифр 2 и 9 результат сложения равен 11, 1 мы записываем в сотни , а вторую еденицу прибавляем к тысячным.

 

Пример 3.  Сложите два числа: \(523 + 91\) в столбик.

Решение:

    \(3+1=4\)

     \(2+9=11\) записываем \(1\)

\(5+1=6\)

Ответ: \(614\).

И еще пару примеров для лучшего понимания.

Пример 4. Сложите два числа: \(523 + 98\) в столбик.

Решение:

\(3+8=11\)

\(2+9+1\)

\(5+1=6\)

Ответ: \(621.\)

Пример 5. Сложите два числа: \(224 + 98\) в столбик.

Решение:

\(4+8=12\) записываем \(2\)

\(2+9+1=12\) записываем \(2\)

\(2+1=3\)

 

Ответ: \(322.\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Алексей Владимирович Мухлаев

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Таганрогский радиотехнический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Денис Александрович Косвинцев

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Полина Андреевна Галямова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

ФГБОУ ВО

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

• Математика
• Физика
• Химия
• Русский язык
• Английский язык
• Обществознание
• История России
• Биология
• География
• Информатика

Специализации

• Подготовка к ОГЭ по математике
• Репетитор по алгебре
• Подготовка к ОГЭ по химии
• Подготовка к олимпиадам по физике
• Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
• Репетитор грамматики английского языка
• Репетитор по истории для подготовки к ОГЭ
• Репетитор для подготовки к ВПР по русскому языку
• Подготовка к ОГЭ по информатике
• Подготовка к ЕГЭ по информатике

Похожие статьи

• Умножение и деление дробей
• Одночлены
• Формулы суммы и разности тригонометрических функций
• Площадь поверхности треугольной пирамиды
• Как вычислить 5 процентов от числа?
• Множество целых чисел
• Финансовый Университет: Прикладная Математика и Информатика
• Топ-5 книг, которые помогут полюбить математику

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Наборы решений

Цели

1. Понять взаимосвязь между набором решений Ax=0 и набором решений Ax=b.
2. Поймите разницу между набором решений и диапазоном столбцов.
3. Рецепты: параметрическая векторная форма, запишите множество решений однородной системы в виде промежутка.
4. Картинки: набор решений однородной системы, набор решений неоднородной системы, отношения между ними.
5. Словарь: однородный / неоднородный , тривиальное решение .

В этом разделе мы изучим геометрию множества решений любого матричного уравнения Ax=b.

Уравнение Ax=b легче решить, когда b=0, поэтому начнем с этого случая.

Определение

Система линейных уравнений вида Ах=0 называется однородной .

Система линейных уравнений вида Ax=b при bB=0 называется неоднородный .

Однородная система — это просто система линейных уравнений, в которой все константы справа от знака равенства равны нулю.

Однородная система всегда имеет решение x=0. Это называется тривиальным решением . Любое ненулевое решение называется нетривиальным .

Пример (нет нетривиальных решений)

Когда однородное уравнение Ax=0 имеет нетривиальные решения, оказывается, что множество решений может быть удобно выражено как размах.

Параметрическая векторная форма (гомогенный случай)

Рассмотрим следующую матрицу в сокращенной эшелонированной форме строк:

А=С10-8-701430000D.

Матричное уравнение Ax=0 соответствует системе уравнений

Tx1-8×3-7×4=0x2+4×3+3×4=0.

Параметрическую форму можно записать следующим образом:

GMKMIx1=8×3+7x4x2=-4×3-3x4x3=x3x4=x4.

Мы написали избыточные уравнения x3=x3 и x4=x4, чтобы превратить приведенную выше систему в векторное уравнение :

x=EPNx1x2x3x4FQO=x3EPN8-410FQO+x4EPN7-301FQO.

Это векторное уравнение называется параметрической векторной формой набора решений. Поскольку x3 и x4 могут быть любыми, это говорит о том, что набор решений представляет собой набор всех линейных комбинаций EPN8-410FQO и EPN7-301FQO. Другими словами, набор решений равен

.

SpanGMKMIEPN8-410FQO,EPN7-301FQOHMLMJ.

Вот общая процедура.

Рецепт: Параметрическая векторная форма (однородный случай)

Пусть A — матрица размера m × n. Предположим, что свободными переменными в однородном уравнении Ax=0 являются, например, x3,x6 и x8.

1. Найдите сокращенную ступенчатую форму строки A.
2. Напишите параметрическую форму набора решений, включая избыточные уравнения x3=x3,x6=x6,x8=x8. Поставьте уравнения для всех xi по порядку.
3. Составьте одно векторное уравнение из этих уравнений, превратив коэффициенты x3,x6 и x8 в векторы v3,v6 и v8 соответственно.

Решения для Ax=0 тогда будут выражены в форме

х=x3v3+x6v6+x8v8

для некоторых векторов v3,v6,v8 в Rn и любых скаляров x3,x6,x8. Это называется параметрической векторной формой решения.

В этом случае набор решений можно записать как Span{v3,v6,v8}.

Особо подчеркнем следующий факт.

Множество решений однородного уравнения Ax=0 является пролетом.

Пример (набор решений представляет собой строку)

Поскольку в приведенном выше примере было две переменных, набор решений является подмножеством R2. Поскольку одна из переменных была свободна, набор решений представляет собой строк :

Чтобы на самом деле найти нетривиальное решение Ax=0 в приведенном выше примере, достаточно подставить любое ненулевое значение вместо свободной переменной x2. Например, взятие x2=1 дает нетривиальное решение x=1·A31B=A31B. Сравните с этим важным примечанием в Разделе 1.3.

Пример (множество решений представляет собой плоскость)

Поскольку в приведенном выше примере было три переменных, набор решений является подмножеством R3. Поскольку две переменных были свободны, множество решений представляет собой плоскость .

Здесь возникает естественный вопрос: можно ли написать решение однородного матричного уравнения, используя меньшее количество векторов, чем указано в приведенном выше рецепте? Мы увидим в примере в Разделе 2. 5, что ответ равен 9.0010 no : векторы из рецепта всегда линейно независимы, что означает, что нет возможности записать решение с меньшим количеством векторов.

Другой естественный вопрос: являются ли множества решений неоднородных уравнений также остовными? Как мы вскоре увидим, они никогда не являются интервалами, но они тесно связаны с интервалами.

Существует естественная связь между количеством свободных переменных и «размером» набора решений, как показано ниже.

Размер набора растворов

Приведенные выше примеры показывают нам следующую закономерность: когда в согласованном матричном уравнении есть одна свободная переменная, множество решений представляет собой прямую, а когда есть две свободные переменные, множество решений представляет собой плоскость и т. д. Количество свободных переменных называется измерением множества решений.

Мы разработаем строгое определение размерности в разделе 2.7, но сейчас размерность будет означать просто количество свободных переменных. Сравните с этим важным примечанием в Разделе 2.5.

Интуитивно понятно, что размерность набора решений — это количество параметров, необходимых для описания точки в наборе решений. Для линии нужен только один параметр, а для плоскости нужны два параметра. Это похоже на то, как расположение здания на Пичтри-стрит, похожее на линию, определяется одним числом, а угол улицы на Манхэттене, похожее на плоскость, определяется двумя числами.

Напомним, что матричное уравнение Ax=b называется неоднородным , когда bB=0.

Пример (набор решений представляет собой строку)

В приведенном выше примере множество решений состояло из всех векторов вида

х=Rx1x2S=x2R31S+R-30S

, где x2 — любой скаляр. Вектор p=A−30B также является решением Ax=b: возьмем x2=0. Мы называем p частным раствором .

В наборе решений x2 может быть любым, поэтому набор решений получается следующим образом: мы берем все скалярные числа, кратные A31B, и затем добавляем конкретное решение p=A−30B к каждому из этих скалярных множителей. Геометрически это достигается тем, что сначала рисуется отрезок A31B, который представляет собой линию, проходящую через начало координат (и, что не случайно, решение Ax=0), и мы переведите или протолкните эту строку вдоль p=A−30B. Переведенная строка содержит p и параллельна Span{A31B}: это перевод строки .

Ах=0Ах=бп

Пример (множество решений представляет собой плоскость)

В приведенном выше примере множество решений состояло из всех векторов вида

х=Cx1x2x3D=x2C110D+x3C−201D+C100D.

, где x2 и x3 — любые скаляры. В этом случае частным решением является p=C100D.

В предыдущем примере и примере перед ним параметрическая векторная форма набора решений Ax=b была точно такой же, как параметрическая векторная форма набора решений Ax=0 (из этого примера и этого примера соответственно) , плюс конкретное решение.

Ключевое замечание

Если Ax=b непротиворечиво, множество решений получается путем взятия одного частного решения p задачи Ax=b и сложения всех решений задачи Ax=0.

В частности, если Ax=b непротиворечиво, набор решений представляет собой преобразование диапазона .

Параметрическая векторная форма решений Ax=b — это просто параметрическая векторная форма решений Ax=0 плюс конкретное решение p.

Нетрудно понять, почему ключевое наблюдение верно. Если p — частное решение, то Ap=b, а если x — решение однородного уравнения Ax=0, то

А(х+р)=Ах+Ар=0+b=b,

, так что x+p является еще одним решением Ax=b. С другой стороны, если мы начнем с любого решения x для Ax=b, то x−p будет решением для Ax=0, поскольку

А(х-р)=Ах-Ар=b-b=0.

Пример (множество решений — точка)

См. интерактивные рисунки в следующем подразделе для визуализации ключевого наблюдения.

Размер набора растворов

Как и в этом важном примечании, когда в согласованном матричном уравнении есть одна свободная переменная, множество решений представляет собой линию — эта линия не проходит через начало координат, когда система неоднородна — когда есть две свободные переменные, множество решений является плоскостью (опять же не через начало координат, когда система неоднородна) и т. д.

Еще раз сравните с этим важным примечанием в Разделе 2.5.

Каждой матрице A размера m×n мы теперь связали два совершенно разных геометрических объекта, оба описываемых с помощью интервалов.

Не путайте эти две геометрические конструкции! В первом случае вопрос заключается в том, какие х работают для данного b, а во втором вопрос заключается в том, какие b работают для некоторого х.

Интерактивный: набор решений и диапазон столбцов (1)

Interactive: набор решений и диапазон столбцов (2)

Interactive: набор решений и диапазон столбцов (3)

Комментарии, исправления или предложения? (требуется бесплатная учетная запись GitHub)

Алгоритмы генерации столбцов — оптимизация

Авторы: Кедрик Дейли (весна 2015 г.) Фэнци Ю

Содержимое 1 Введение 2 Состав 3 примера 3.1 Проблема раскроя заготовки (CSP) 3.1.1 Традиционная формулировка IP 3. 1.2 Состав для создания колонки 3.2 Другие примеры 4 Преимущества и недостатки 5 Заключение 6 Каталожные номера

Алгоритмы генерации столбцов используются для задач MILP. Формулировка была первоначально предложена Фордом и Фулкерсоном в 1958 году [1]. Основное преимущество генерации столбцов состоит в том, что не нужно перечислять все возможности. Вместо этого проблема сначала формулируется как ограниченная главная задача (RMP). В этом РМП как можно меньше переменных, а новые переменные вносятся в базис по мере необходимости, аналогично симплекс-методу[2]. Подобно симплексному методу, это означает, что если можно найти столбец с отрицательной приведенной стоимостью, он добавляется в RMP, и этот процесс повторяется до тех пор, пока в RMP не будет добавлено больше столбцов.

Простая блок-схема генерации столбцов

Формулировка задачи генерации столбцов зависит от типа задачи. Одним из распространенных примеров является проблема раскроя запасов. Однако во всех случаях необходимо взять исходную задачу и сформулировать ПВР, а также подзадачу. Решение RMP определяет некоторые параметры в подзадаче, тогда как подзадача будет использоваться для определения того, есть ли какие-либо столбцы, которые могут войти в основу. Подзадача делает это, решая минимальную приведенную стоимость. Если приведенная стоимость отрицательна, решение может войти в базис как новый столбец. Если приведенная стоимость больше или равна нулю, то найдена нижняя граница оптимального решения, хотя это может быть и не целочисленное решение.

Проблема раскроя материала (CSP)

В задаче раскроя материала цель состоит в том, чтобы свести к минимуму отходы, получаемые при резке рулонов фиксированного размера (называемых «необработанными») при выполнении заказов клиентов.

Например, у нас могут быть стальные стержни длиной L = 17 м, при этом клиент может заказать двадцать пять стержней длиной 3 м, двадцать стержней длиной 5 м и пятнадцать стержней длиной 9 м.
Позвольте быть длиной, которую требует покупатель. Таким образом,

Пусть спрос на каждый кусок длины . Таким образом,

Традиционная формулировка IP

Традиционная формулировка целочисленного программирования для задач раскроя заготовки включает минимизацию количества рулонов, которые разрезаются, чтобы соответствовать ограничениям спроса, а также ограничениям общего размера.

Позвольте быть индексом доступных рулонов.
Пусть будет 1, если рулон разрезается, и 0 в противном случае.
Позвольте быть количеством раз, когда элемент разрезается на рулоне.
Формулировка IP тогда:

Однако эта формулировка неэффективна и ее трудно найти оптимальной для большого числа переменных[3]. Алгоритмы генерации столбцов могут помочь быстро решить эту проблему, ограничивая количество необходимых перечислений.

Формула для создания колонок

В рецептуре для создания колонок основное внимание уделяется различным схемам, на которые можно нарезать стержни[4].

Позвольте быть множеством всех рисунков, которые можно вырезать.
Позвольте быть числом частей длины, отрезанных в образце p.
Позвольте быть сколько раз вырезается рисунок. Тогда генерация столбца RMP и двойная:

Теперь необходимо выбрать начальный набор столбцов. Это можно сделать, просто выбрав «фальшивые» столбцы, в которых мы знаем, что они не попадут в решение, или замаскировав основу. В этом примере может быть выбрана единичная матрица. Первоначальная матрица, покрывающая базис, была бы лучше, потому что мы всегда можем вырезать по крайней мере такое количество баров из нашего сырья. Таким образом, наша исходная матрица:

Решение двойного RMP дает двойной множитель . Затем эти значения передаются в подзадачу, чтобы узнать, будут ли добавлены какие-либо столбцы в . Подзадача выглядит следующим образом:

Эта подзадача представляет собой задачу о рюкзаке, которая широко изучалась. Для решения этой задачи о рюкзаке можно использовать динамическое программирование (например, метод ветвей и границ) [5]. В конце этой подзадачи мы вычислим приведенную стоимость , чтобы определить, добавляем ли мы столбец решения в . Подобно симплексному алгоритму, если приведенная стоимость отрицательна, столбец добавляется в RMP, в противном случае мы завершаем добавление столбцов, и самое последнее основное решение даст нам решение нижней границы RMP. Подстановка двойственных переменных и других известных величин в подзадачу дает нам:

Решение которого дает , со сниженной стоимостью . Поскольку эта приведенная стоимость отрицательна, столбец добавляется в RMP и заменяет один из столбцов в базе. После добавления столбца

Решение двойного нового RMP дает двойной множитель . Опять же, эти значения передаются в подзадачу и становятся коэффициентами целевой функции. Решение второй итерации подзадачи дает снижение стоимости . Поскольку эта приведенная стоимость отрицательна, столбец добавляется, и алгоритм продолжается.

Новые двойные множители становятся , и после подстановки в подзадачу мы обнаруживаем, что приведенная стоимость столбца решения равна 0. Поскольку это не отрицательное приведенное значение, этот столбец не добавляется к , и генерация столбца прекращается. Затем можно найти оптимальное решение, используя самую последнюю версию и просто оптимизировав RMP. Результирующее решение для RMP: что дает объективное значение .

Результатом является нижняя граница целочисленного решения для CSP, и, как в этом случае, он часто не является целым числом. В случае CSP часто бывает достаточно простого округления, чтобы получить допустимое целочисленное решение, которое в данном случае будет 21 необработанным числом для выполнения заказов. 9[6] . Формулируется и решается RMP, при этом параметры отправляются в подзадачу. Затем подзадача решается, и если приведенная стоимость решения отрицательна, столбец добавляется к RMP, и цикл продолжается до тех пор, пока приведенная стоимость не станет неотрицательной. Формулировка каждой задачи различается в зависимости от различных параметров, но общий подход одинаков.

Алгоритмы генерации столбцов лучше всего использовать при наличии большого количества переменных, но небольшого количества ограничений для сравнения. Перебор всех возможностей при большом количестве переменных, часто из-за множества индексов, занимает много времени даже при использовании эффективных методов решения. Алгоритмы генерации столбцов решают эту проблему, ограничивая перечисляемое, вводя столбцы в основу только тогда, когда это необходимо. Когда столбцы вносятся в базу, также можно удалить любой столбец, который был заменен входным столбцом, что может помочь сэкономить память при перечислении решений. Экономия времени и памяти — это то, в чем блестят алгоритмы генерации столбцов, хотя они не лишены недостатков.

Одним из основных недостатков создания столбцов является то, что может быть трудно определить, можно ли сформулировать проблему так, чтобы создание столбцов было полезным. Обычно легче придумать стандартную модель MILP, чем эквивалент генерации столбцов, поскольку формулировки генерации столбцов не всегда очевидны. Однако, как только это начальное препятствие будет преодолено, генерация столбцов станет полезным инструментом для решения проблем MILP.

Алгоритмы генерации столбцов наиболее полезны при работе с большим количеством переменных. Они эффективны, потому что избегают перечисления всех возможных элементов традиционной формулировки MILP, а вместо этого оценивают переменные только по мере необходимости. Это достигается путем включения столбцов в RMP, когда приведенная стоимость отрицательна. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута неотрицательная приведенная стоимость, а затем может быть решена самая последняя простая задача, чтобы получить оценку для задачи MILP. Хотя первоначальную формулировку MILP с использованием алгоритмов генерации столбцов поначалу может быть трудно увидеть, если формулировка может быть получена, использование алгоритма генерации столбцов может потенциально сэкономить много времени.

[1] Л. Р. Форд-младший, Д. Р. Фулкерсон, (1958) Предлагаемое вычисление максимальных потоков в сети с несколькими товарами. Наука управления 5 (1): 97-101. http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.5.1.97

[2] Дерозье, Дж., и Люббекке, М. (2005). Учебник по созданию столбцов. В G. Desaulniers, J. Desrosiers & M. Solomon (Eds.), Column Generation (стр. 1-32): Springer US.

[3] (ноябрь 2012 г.) Лекция 8: Генерация столбцов [документ в формате PDF] Получено с http://ocw.nctu.edu.tw/upload/classbfs121109080773803.pdf

[4] Stein, C. (2007) Генерация столбцов: Cutting Stock – очень прикладной метод [PDF Document]. Получено с http://www.columbia.edu/~cs2035/courses/ieor4600.S07/columngeneration.pdf

[5] Генерация столбца [PDF-документ]. Получено с http://systemsbiology.ucsd.edu/sites/default/files/Attachments/Images/classes/convex_presentations/ColGen.pdf

[6] Ган, Х. (2008) Генерация столбцов [PDF-документ]. Получено с http://www.more.ms.unimelb.edu.