Решение примеров на деление в столбик: Онлайн калькулятор. Деление столбиком

Содержание

Гдз с решением в столбик. Деление

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья.

Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг

. Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (

), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером.

80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Столбиком? Как дома самостоятельно отработать навык деления в столбик, если в школе ребенок что-то не усвоил? Делить столбиком учат во 2-3 классе, для родителей, конечно, это пройденный этап, но при желании можно вспомнить правильную запись и объяснить доступно своему школьнику то, что понадобится ему в жизни.

xvatit.com

Что должен знать ребенок 2-3 класса, чтобы научиться делить в столбик?

Как правильно объяснить ребенку 2-3 класса деление столбиком, чтобы в дальнейшем у него не было проблем? Для начала, проверим, нет ли пробелов в знаниях. Убедитесь, что:

ребенок свободно выполняет операции сложения и вычитания;
знает разряды чисел;
знает назубок .

Как объяснить ребенку смысл действия «деление»?

Ребенку нужно объяснить все на наглядном примере.

Попросите разделить что-либо между членами семьи или друзьями. Например, конфеты, кусочки торта и т.п. Важно, чтобы ребенок понял суть — разделить нужно поровну, т.е. без остатка. Потренируйтесь на разных примерах.

Допустим, 2 группы спортсменов должны занять места в автобусе. Известно сколько спортсменов в каждой группе и сколько всего мест в автобусе. Нужно узнать, сколько билетов нужно купить одной и второй группе. Или 24 тетради нужно раздать 12 ученикам, сколько достанется каждому.

Когда ребенок усвоит суть принципа деления, покажите математическую запись этой операции, назовите компоненты.
Объясните, что деление – это операция противоположная умножению, умножение наизнанку.

Удобнопоказать взаимосвязь деления и умножения на примере таблицы.

Например, 3 умножить на 4 равно 12.
3 — это первый множитель;
4 — второй множитель;
12 — произведение (результат умножения).

Если 12 (произведение) разделить на 3 (первый множитель), получим 4 (второй множитель).

Компоненты при делении называются иначе:

12 — делимое;
3 — делитель;
4 — частное (результат деления).

Как объяснить ребенку деление двузначного числа на однозначное не в столбик?

Нам, взрослым, проще «по старинке» записать «уголком» — и дело с концом. НО! Дети еще не проходили деление в столбик, что делать? Как научить ребенка делить двузначное число на однозначное не используя запись столбиком?

Возьмем для примера 72:3.

Все просто! Раскладываем 72 на такие числа, которые легко устно разделить на 3:
72=30+30+12.

Все сразу стало наглядно: 30 мы можем разделить на 3, и 12 ребенок легко разделит на 3.
Останется только сложить результаты, т.е. 72:3=10 (получили, когда 30 разделили на 3) + 10 (30 разделили на 3) + 4 (12 разделили на 3).

72:3=24
Мы не использовали деление в столбик, но ребенку был понятен ход рассуждений, и он выполнил вычисления без труда.

После простых примеров можно переходить к изучению деления в столбик, учить ребенка правильно записывать примеры «уголком». Для начала используйте только примеры на деление без остатка.

Как объяснить ребенку деление в столбик: алгоритм решения

Большие числа сложно делить в уме, проще использовать запись деления столбиком. Чтобы научить ребенка правильно выполнять вычисления, действуйте по алгоритму:

Определить, где в примере делимое и делитель. Попросите ребенка назвать числа (что на что мы будем делить).

213:3
213 — делимое
3 — делитель

Записать делимое — «уголок» — делитель.

Определить, какую часть делимого мы можем использоваться, чтобы разделить на заданное число.

Рассуждаем так: 2 не делится на 3, значит — берем 21.

Определить, сколько раз делитель «помещается» в выбранной части.

21 разделить на 3 — берем по 7.

Умножить делитель на выбранное число, результат записать под «уголком».

7 умножить на 3 — получаем 21. Записываем.

Найти разницу (остаток).

На этом этапе рассуждений научите ребенка проверять себя. Важно, чтобы он понял, что результат вычитания ВСЕГДА должен быть меньше делителя. Если вышло не так, нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.

Повторить действия, пока в остатке не окажется 0.

Как правильно рассуждать, чтобы научить ребенка 2-3 класса делить столбиком

Как объяснить ребенку деление 204:12=?
1. Записываем столбиком.
204 — делимое, 12 — делитель.

2. 2 не делится на 12, значит, берем 20.
3. Чтобы разделить 20 на 12 берем по 1. Записываем 1 под «уголком».
4. 1 умножить на 12 получим 12. Записываем под 20.
5. 20 минус 12 получим 8.
Проверяем себя. 8 меньше 12 (делителя)? Ок, все верно, идем дальше.

6. Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84?
Сразу сложно сказать, попробуем действовать методом подбора.
Возьмем, например, по 8, но пока не записываем. Считаем устно: 8 умножить на 12 получится 96. А у нас 84! Не подходит.
Пробуем поменьше… Например, возьмем по 6. Проверяем себя устно: 6 умножить на 12 равно 72. 84-72=12. Мы получили такое же число, как наш делитель, а должно быть или ноль, или меньше 12. Значит, оптимальная цифра 7!

7. Записываем 7 под «уголок» и выполняем вычисления. 7 умножить на 12 получим 84.
8. Записываем результат в столбик: 84 минус 84 равно ноль. Ура! Мы решили правильно!

Итак, вы научили ребенка делить столбиком, осталось теперь отработать этот навык, довести его до автоматизма.

Почему детям сложно научиться делить в столбик?

Помните, что проблемы с математикой возникают от неумения быстро делать простые арифметические действия. В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.

Будьте терпеливы, не ленитесь лишний раз объяснить ребенку то, что он не усвоил на уроке, нудно, но дотошно разобраться в алгоритме рассуждений и проговорить каждую промежуточную операцию прежде, чем озвучить готовый ответ. Дайте дополнительные примеры на отработку навыков, поиграйте в математические игры — это даст свои плоды и вы увидите результаты и порадуетесь успехам чада очень скоро. Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.

Уважаемые читатели! Расскажите, как вы учите ваших детей делить в столбик, с какими сложностями приходилось сталкиваться и какими способами вы их преодолели.

Калькулятор в столбик для Андроид устройств станет замечательным помощником для современных школьников. Программа не только дает правильный ответ на математическое действие, но и наглядно демонстрирует его пошаговое решение. Если же вам нужны более сложные калькуляторы – можете посмотреть или же продвинутый инженерный калькулятор.

Особенности

Главной особенностью программы является уникальность расчета математических операций. Отображение процесса вычислений столбиком дает возможность школьникам более подробно с ним ознакомиться, понять алгоритм решения, а не просто получить готовый результат и переписать его в тетрадь. Эта особенность имеет огромное преимущество перед другими калькуляторами, т.к. достаточно часто в школе учителя требуют расписать промежуточные вычисления, чтобы удостовериться, что школьник производит их в уме и действительно понимает алгоритм решения задач. Кстати, у нас есть еще одна программа похожего рода – .

Чтобы начать пользоваться программой, необходимо скачать калькулятор в столбик на Андроид. Сделать это можно на нашем сайте абсолютно бесплатно без дополнительных регистраций и смс. После установки откроется главная страница в виде тетрадного листа в клетку, на котором, собственно, и будут отображаться результаты вычислений и их подробное решение. Внизу располагается панель с кнопками:

Цифры.
Знаки арифметических действий.
Удаление раннее введенных символов.

Ввод осуществляется по тому же принципу, что и на . Все отличие состоит только в интерфейсе приложения – все математические вычисления и их результат отображаются в виртуальной ученической тетради.

Приложение позволяет быстро и правильно выполнить стандартные для школьника математические вычисления столбиком:

умножение;
деление;
сложение;
вычитание.

Приятным дополнением в приложении является функция ежедневного напоминания о домашнем задании по математике. Хотите – делайте домашки. Для ее включения следует зайти в настройки (нажать кнопку в виде шестеренки) и установить галочку о напоминании.

Достоинства и недостатки

Помогает школьнику не просто быстро получить правильный результат математических вычислений, но и понять сам принцип расчета.
Очень простой, интуитивно понятный интерфейс для каждого пользователя.
Установить приложение можно даже на самое бюджетное Андроид устройство с операционной системой 2.2 и более поздней версией.
Калькулятор сохраняет историю проведенных математических вычислений, которую можно в любой момент очистить.

Калькулятор ограничен в математических операциях, поэтому применить его для сложных расчетов, с какими мог бы справиться инженерный калькулятор, не получится. Однако учитывая назначение самого приложения – наглядно продемонстрировать учащимся младшей школы принцип расчета в столбик, считать это недостатком не стоит.

Приложение также станет отличным помощником не только для школьников, но и для родителей, которые желают заинтересовать своего ребенка математикой и научить его правильно и последовательно производить вычисления. Если Вы уже пользовались приложением Калькулятор в столбик, оставьте свои впечатления ниже в комментариях.

Деление столбиком или, правильнее сказать, письменный прием деления уголком, школьники проходят уже в третьем классе начальной школы, но зачастую этой теме уделяется так мало внимания, что к 9-11 классу не все ученики могут им свободно пользоваться. Деление столбиком на двузначное число проходят в 4 классе, как и деление на трехзначное число, а далее этот прием используется только как вспомогательный при решении каких-либо уравнений или нахождении значения выражения.

Очевидно, что уделив делению столбиком больше внимания, чем заложено в школьной программе, ребенок облегчит себе выполнение заданий по математике вплоть до 11 класса. А для этого нужно немногое — понять тему и позаниматься, порешать, держа алгоритм в голове, довести навык вычисления до автоматизма.

Алгоритм деления столбиком на двузначное число

Как и при делении на однозначное число, будем последовательно переходить от деления более крупных счетных единиц к делению более мелких единиц.

1. Находим первое неполное делимое . Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. Это значит, что первое неполное делимое всегда больше делителя. При делении на двузначное число в первом неполном делимом минимум 2 знака.

Примеры 76 8:24. Первое неполное делимое 76
265 :53 26 меньше 53, значит не подходит. Нужно добавить следующую цифру (5). Первое неполное делимое 265.

2. Определяем количество цифр в частном . Для определения числа цифр в частном следует помнить, что неполному делимому соответствует одна цифра частного, а всем остальным цифрам делимого — еще по одной цифре частного.

Примеры 768:24. Первое неполное делимое 76. Ему соответствует 1 цифра частного. После первого неполного делителя есть еще одна цифра. Значит в частном будет всего 2 цифры.
265:53. Первое неполное делимое 265. Оно даст 1 цифру частного. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет всего 1 цифра.
15344:56. Первое неполное делимое 153, а после него еще 2 цифры. Значит в частном будет всего 3 цифры.

3. Находим цифры в каждом разряде частного . Сначала найдем первую цифру частного. Подбираем такое целое число, чтобы при умножении его на наш делитель получилось число, максимально приближенное к первому неполному делимому. Цифру частного записываем под уголок, а значение произведения вычитаем столбиком из неполного делителя. Записываем остаток. Проверяем, что он меньше делителя.

Затем находим вторую цифру частного. Переписываем в строку с остатком цифру, следующую за первым неполным делителем в делимом. Полученное неполное делимое снова делим на делитель и так находим каждое последующее число частного, пока не закончатся цифры делителя.

4. Находим остаток (если есть).

Если цифры частного закончились и получился остаток 0, то деление выполнено без остатка. В ином случае значение частного записывается с остатком.

Так же выполняется деление на любое многозначное число (трехзначное, четырехзначное и т. д.)

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

Найдем значение частного чисел 265 и 53.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

Найдем значение частного чисел 184 и 23.

В частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

Найдем значение частного чисел 768 и 24.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

Найдем значение частного чисел 15344 и 56.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое 414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Пример на деление с остатком

Чтобы провести аналогию, возьмем пример, похожий на пример выше, и отличающийся лишь последней цифрой

Найдем значение частного чисел 15345:56

Делим сначала точно так же, как в примере 15344:56, пока не дойдем до последнего неполного делимого 225. Разделим 225 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 225 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 5). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 225-224=1, деление выполнено с остатком.

Значение частного чисел 15345 и 56 равно 274 (остаток 1).

Деление с нулем в частном

Иногда в частном одним из чисел получается 0, и дети зачастую пропускают его, отсюда неправильное решение. Разберем, откуда может взяться 0 и как его не забыть.

Найдем значение частного чисел 2870:14

Первое неполное делимое — 28 сотен. Значит в частном будет 3 цифры. Ставим под уголок три точки. Это важный момент. Если ребенок потеряет ноль, останется лишняя точка, которая заставит задуматься, что где-то упущена цифра.

Определим первую цифру частного. Разделим 28 на 14. Подбором получается 2. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 14*2=28. Цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном. 28-28=0.

Получился нулевой остаток. Мы обозначили его розовым для наглядности, но записывать его не нужно. Переписываем в строку с остатком цифру 7 из делимого. Но 7 не делится на 14 с получением целого числа, поэтому записываем на месте десятков в частном 0.

Теперь переписываем в ту же строку последнюю цифру делимого (количество единиц).

70:14=5 Записываем вместо последней точки в частном цифру 5. 70-70=0. Остатка нет.

Значение частного чисел 2870 и 14 равно 205.

Деление нужно непременно проверить умножением.

Примеры на деление для самопроверки

Найдите первое неполное делимое и определите количество цифр в частном.

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

Усвоили тему, а теперь потренируйтесь решить несколько примеров столбиком самостоятельно.

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

Калькулятор деления столбиком с остатком

0
AC		+/-	÷
7	8	9	×
4	5	6	—
1	2	3	+
0	00	,	=

Данный калькулятор выполнит деление двух целых чисел с остатком и отобразит запись деления столбиком.

Введите целые неотрицательные числа

Как оформлять деление столбиком

Делимое располагается слева от вертикальной черты, под ним следует записать промежуточное решение, а в конце остаток.
Справа от вертикальной черты записывается делитель, под ним находится горизонтальная черта.
Под горизонтальной чертой записывается частное .

Как делить столбиком

Приведем правила деления в столбик с остатком на примере. Разделим 453 на 2.

Первое, что необходимо сделать – это определить неполное делимое. Неполное делимое должно быть меньше делителя. В нашем случае это число 4, выделим это число зеленым цвет

Теперь определим сколько раз число 2 содержится в числе 4. Число 2 содержится в числе 4 два раза. Следовательно, умножаем 2 на 2 и вычитаем результат произведения из неполного делимого 4 – 4 = 0. В результате вычитания у нас получился ноль, поэтому сносим следующую цифру 5 из числа 453 и выделим ее зеленым цветом. Запишем 2 под горизонтальной чертой и выделим синем цветом.

354_

Далее снова определяем сколько раз делитель – число 2 содержится теперь уже в числе 5. Число 2 содержится в числе 5 два раза. Запишем еще оду двойку под горизонтальной чертой и выделим ее синем цветом. Умножим 2 на 2, получим 4 и вычитаем из 5 число 4.

354_

50_

Сносим последнее число 3, в результате имеем число 13. В числе 13 число 2 содержится 6 раз. Запишем число 6 под горизонтальной чертой. Умножим 6 на 2, получим 12. Вычтем из 13 число 12. 13 – 12 = 1. Остаток от деления = 1.

354_

50_

31_

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление.

Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка.

Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона.

Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора.

Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

15 примеров на деление в столбик. Деление

Особенности

Цифры.
Знаки арифметических действий.
Удаление раннее введенных символов.

умножение;
деление;
сложение;
вычитание.

Достоинства и недостатки

Помогает школьнику не просто быстро получить правильный результат математических вычислений, но и понять сам принцип расчета.
Очень простой, интуитивно понятный интерфейс для каждого пользователя.
Установить приложение можно даже на самое бюджетное Андроид устройство с операционной системой 2. 2 и более поздней версией.
Калькулятор сохраняет историю проведенных математических вычислений, которую можно в любой момент очистить.

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Как вычитать столбиком

Вычитание многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом (уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу) так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Слева между числами ставится знак действия. Под вычитаемым проводят черту. Вычисление начинают с разряда единиц: из единиц вычитают единицы, затем из десятков — десятки и т. д. Результат вычитания записывают под чертой:

Рассмотрим пример, когда в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого:

От 2 мы не можем отнять 9, что нам делать в этом случае? В разряде единиц у нас нехватка, но в разряде десятков у уменьшаемого аж 7 десятков, поэтому мы можем один из этих десятков перекинуть в разряд единиц:

В разряде единиц у нас было 2, мы перекинули десяток, стало 12 единиц. Теперь мы легко можем от 12 отнять 9. Записываем под чертой в разряде единиц 3. В разряде десятков у нас было 7 единиц, одну из них мы перекинули в простые единицы, осталось 6 десятков. Записываем под чертой в разряде десятков 6. В результате мы получили число 63:

Вычитание столбиком обычно не записывают так подробно, вместо этого, над цифрой разряда, у которого будет занята единица, ставят точку, чтобы не запоминать, у какого разряда надо будет дополнительно вычесть единицу:

При этом говорят так: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем единицу, из 12 вычитаем 9 — получим 3, пишем 3, в разряде десятков у нас было 7 единиц, мы одну перекинули, осталось 6, пишем 6 .

Теперь рассмотрим вычитание столбиком из чисел, содержащих нули:

Начинаем вычитать. От 7 отнимаем 3, пишем 4. От нуля мы не можем отнять 5, поэтому мы вынуждены занять единицу в старшем разряде, но в старшем разряде у нас тоже 0, поэтому и для этого разряда мы вынуждены занять в более старшем разряде. Занимаем единицу из разряда тысяч, получаем 10 сотен:

Одну из единиц разряда сотен мы занимаем в младший разряд, получаем 10 десятков. Из 10 вычитаем 5, пишем 5:

В разряде сотен у нас осталось 9 единиц поэтому, от 9 отнимаем 6, пишем 3. В разряде тысяч у нас была единица, но мы её потратили на младшие разряды, поэтому здесь остаётся нуль (его записывать не надо). В результате мы получили число 354:

Такая подробная запись решения была приведена, чтобы было проще понять, как выполняется вычитание столбиком из чисел содержащих нули. Как уже упоминалось, на практике решение обычно записывается так:

А все упомянутые действия выполняются в уме. Чтобы было легче выполнять вычитание, запомните простое правило:

Если при вычитании столбиком над нулём стоит точка, нуль превращается в 9.

Калькулятор вычитания столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание чисел столбиком. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить.

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком :

Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
Найти первое неполное делимое
Определить число цифр в частном
Найти цифры в каждом разряде частного
Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

1428:42
2924:68
30296:56
136576:64
16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

«Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
Записать делимое. Справа от него — делитель.
Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
Записать результат от умножения этого числа на делитель.
Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
Снова подобрать число для ответа.
Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
После вычитания получается остаток 345.
К нему нужно снести цифру 2.
В числе 3452 четыре раза умещается 863.
Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
Снести к остатку 0.
Снова взять по 8.
Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
Теперь брать нужно 7.
Результат умножения — 224, остаток — 16.
Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти объем	сфера (5)	
2	Найти площадь	окружность (5)	
3	Найти площадь поверхности	сфера (5)	
4	Найти площадь	окружность (7)	
5	Найти площадь	окружность (2)	
6	Найти площадь	окружность (4)	
7	Найти площадь	окружность (6)	
8	Найти объем	сфера (4)	
9	Найти площадь	окружность (3)	
10	Вычислить	(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
11	Разложить на простые множители	741
12	Найти объем	сфера (3)	
13	Вычислить	3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14	Найти площадь	окружность (10)	
15	Найти площадь	окружность (8)	
16	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
17	Разложить на простые множители	1162
18	Найти площадь	окружность (1)	
19	Найти длину окружности	окружность (5)	
20	Найти объем	сфера (2)	
21	Найти объем	сфера (6)	
22	Найти площадь поверхности	сфера (4)	
23	Найти объем	сфера (7)	
24	Вычислить	квадратный корень из -121
25	Разложить на простые множители	513
26	Вычислить	квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)	
28	Найти длину окружности	окружность (6)	
29	Найти длину окружности	окружность (3)	
30	Найти площадь поверхности	сфера (2)	
31	Вычислить	2 1/2÷22000000
32	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
33	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)	
34	Найти длину окружности	окружность (4)	
35	Перевести в процентное соотношение	1. 2-4*-1+2
45	Разложить на простые множители	228
46	Вычислить	0+0
47	Найти площадь	окружность (9)	
48	Найти длину окружности	окружность (8)	
49	Найти длину окружности	окружность (7)	
50	Найти объем	сфера (10)	
51	Найти площадь поверхности	сфера (10)	
52	Найти площадь поверхности	сфера (7)	
53	Определить, простое число или составное	5
54	Перевести в процентное соотношение	3/9
55	Найти возможные множители	8
56	Вычислить	(-2)^3*(-2)^9
57	Вычислить	35÷0. 2
60	Преобразовать в упрощенную дробь	2 1/4
61	Найти площадь поверхности	сфера (12)	
62	Найти объем	сфера (1)	
63	Найти длину окружности	окружность (2)	
64	Найти объем	прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)	
65	Сложение	2+2=
66	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)	
67	Вычислить	корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7
68	Вычислить	7/40+17/50
69	Разложить на простые множители	1617
70	Вычислить	27-( квадратный корень из 89)/32
71	Вычислить	9÷4
72	Вычислить	2+ квадратный корень из 21
73	Вычислить	-2^2-9^2
74	Вычислить	1-(1-15/16)
75	Преобразовать в упрощенную дробь	8
76	Оценка	656-521
77	Вычислить	3 1/2
78	Вычислить	-5^-2
79	Вычислить	4-(6)/-5
80	Вычислить	3-3*6+2
81	Найти площадь поверхности	прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)	
82	Найти площадь поверхности	сфера (8)	
83	Найти площадь	окружность (14)	
84	Преобразовать в десятичную форму	11/5
85	Вычислить	3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6
86	Вычислить	(11/-7)^4
87	Вычислить	(4/3)^-2
88	Вычислить	1/239
89	Вычислить	12/4-17/-4
90	Вычислить	2/11+17/19
91	Вычислить	3/5+3/10
92	Вычислить	4/5*3/8
93	Вычислить	6/(2(2+1))
94	Упростить	квадратный корень из 144
95	Преобразовать в упрощенную дробь	725%
96	Преобразовать в упрощенную дробь	6 1/4
97	Вычислить	7/10-2/5
98	Вычислить	6÷3
99	Вычислить	5+4
100	Вычислить	квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Деление столбиком | это.

.. Что такое Деление столбиком?

Процесс деления столбиком (американо-британский вариант) числа 1 260 257 на число 37

Деление столбиком — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым, делится на другое, называемое делителем, производя результат, называемый частным. Этот способ позволяет выполнять деление произвольно больших чисел, разбивая процесс на серию последовательных простых шагов. ^[1]

Содержание

1 Обозначение в Америке и Великобритании
2 Обозначение в Германии
3 Обозначение в России, Казахстане, Франции, Бельгии, Испании, Украине, Беларуси, Молдове, Грузии
4 Примечания
5 Ссылки

Обозначение в Америке и Великобритании

При делении на бумаге не используются символы косой черты (/) или обелюса (÷). Вместо этого делимое, делитель и частное (в процессе нахождения) располагаются в таблице. Пример деления 500 на 4 (с результатом 125):

     125     (Пояснение)
   4|500
     4        (4 ×  1 = 4)
     10       (5 -  4 = 1)
      8       (4 ×  2 = 8)
      20     (10 -  8 = 2)
      20      (4 ×  5 = 20)
       0     (20 - 20 = 0)

Пример деления с остатком:

      31.75     
   4|127
     12         (12 - 12 = 0 который записан на следующей линии)                    
      07        (семь переносится из делимого 127) 
       4       
       3.0      (3 - это остаток, который разделён на 4 для получения 0.75)
       2 8       (7 × 4 = 28)
         20     (дополнительный ноль переносится)
         20     (5 × 4 = 20)
          0

Во-первых, обратите внимание на делимое (127), чтобы определить может ли делитель (4) вычитаться из него (в нашем случае не может, так как мы имеем единицу как первую цифру и мы не можем использовать отрицательные числа, поэтому нельзя написать −3)
Если первая цифра недостаточно велика, мы берём вместе с ней следующую цифру. Таким образом в нашем распоряжении как первое число теперь будет число 12.
Возьмите максимальное число четвёрок, которое может быть вычтено из первого числа. В нашем случае из 12 может быть вычтено 3 четвёрки
В частном (над второй цифрой делимого, так как это последняя цифра которая используется) напишите получившуюся тройку, а под делимым число 12
Вычтите 12, которую вы написали, из соответствующего числа выше него (результат будет, конечно, 0)
Повторите первый шаг
Так как 0 — неподходящее число для делимого, перенесите следующую цифру из делимого (7). В результате получится 07
Повторите шаги 3, 4 и 7
У вас будет число 31 в частном, 3 в качестве остатка и больше ни одного числа в делимом
Можно продолжить деления, получая в частном десятичную дробь: добавьте к частному справа точку, а к остатку (3) справа ноль и продолжайте деление, добавляя ноль всякий раз когда делимое меньше делителя (4)

Обозначение в Германии

В некоторых европейских странах применяется другое обозначение. Вычисление абсолютно такое же, но записывается иначе, как показано на примере:

     500 ÷ 4 =  125   (Пояснение) 
     4                (4 ×  1 = 4)
     10               (5 -  4 = 1)
      8               (4 ×  2 = 8)
      20             (10 -  8 = 2)
      20              (4 ×  5 = 20)
       0             (20 - 20 = 0)

     127 ÷ 4 = 31.75
     12         (12 - 12 = 0 который записан на следующей линии)                    
      07        (семь переносится из делимого 127) 
       4       
       3.0      (3 - это остаток, который разделён на 4 для получения 0.75)
       2 8      (7 × 4 = 28)
         20     (дополнительный ноль переносится)
         20     (5 × 4 = 20)
          0

Обозначение в России, Казахстане, Франции, Бельгии, Испании, Украине, Беларуси, Молдове, Грузии

В России делитель располагается справа от делимого, отделяемого от него вертикальной чертой. Деление также происходит в столбик, но частное (результат) записывается ниже делителя и отделяется от него горизонтальной чертой.

    127│4                   500│4    
   -12 │31,75              -4  │125
      7                     10
    - 4                    - 8
      30                     20
     -28                    -20
       20                     0
      -20
        0

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Long Division (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

Alternative Division Algorithms: Double Division, Partial Quotients & Column Division, Partial Quotients Movie
Умножение и деление столбиком онлайн

алгоритм, проверка и примеры решения для 5 класса

Математика

12.11.21

8 мин.

Деление с остатком в столбик является распространенной операцией, которая применяется не только в физике и математике, но и в программировании. Это следует знать, поскольку не всегда под рукой оказываются средства для выполнения вычислений (онлайн-калькулятор и компьютер). Математики рекомендуют изучить сначала теорию, а затем перейти к практике.

Оглавление:

Общие сведения

Признаки делимости

Алгоритм деления столбиком

Общие сведения

Практически любую арифметическую операцию возможно выполнить в столбик. Для каждой существуют определенные правила или методики. Деление осуществляется нацело и с остатком. Последнее применяется в различных языках программирования при конструировании условий.

Допустим, требуется разработать пагинацию (дробление страниц на части). Она применяется, когда на веб-странице предстоит разместить только часть информации для комфортного чтения, а другие данные перемещаются на следующую. Для примера следует разместить 101 товар по 10 на каждой странице.

Всего получается 10 страниц по 10 записей и одна, на которой расположен один товар. Последний является остатком, то есть 101/10=10 (+1).

В записи можно «плюс» не учитывать, но в высших учебных заведениях для удобства расчетов часто пишется знак положительный или отрицательный. Например, 99/10=10 (-1).

Остаток — результат операции деления, представленный в виде определенного значения и препятствующий целочисленному значению. В описанном примере 101/10=10 (+1) величина 1 препятствует делению 101 на 10, а вот 100/10=10. Чтобы делить с остатком, нужно знать таблицу умножения, признаки делимости и алгоритм для осуществления этой операции.

Признаки делимости

Для выполнения деления с остатком в столбик нужно знать о признаках делимости. Это правила, помогающие производить операцию без ошибок. К ним относятся (порядковый номер соответствует делителю):

Можно делить любое действительное число. Результат операции — первоначальное значение.
Четный разряд единиц.
Сумму разрядов можно поделить на тройку.
Две цифры, являющиеся последними, можно разделить на четверку.
Последний разряд заканчивается на 0 или 5.
Одновременное деление по второму и третьему пунктам.
Произведение всех разрядов, кроме первого, без удвоенной последней цифры делится на семерку, то есть для числа 123 формула записывается в таком виде: (1*2−2*3)/7=-8/7 (не делится).
Для последней группы, состоящей из трех разрядов, выполняются условия пунктов 2 и 4.
Деление суммы всех разрядов на 9.

После ознакомления с признаками деления двух чисел можно переходить к алгоритму. Знаний достаточно для его реализации и решения сложных примеров.

Алгоритм деления столбиком

Методика включает в себя деление с остатком и проверку результата посредством операции умножения. Для ее выполнения требуется указать делимое, а затем справа записать делитель, отделяя его от первого. Рекомендуется также отделять делитель от результата.

Допустим, число 793 нужно разделить на 3. Это рекомендуется делать по такому алгоритму:

Проверка делимости нацело: 7+9+3=19 (не делится).
Записать значения 793 и 3, разделив их чертой.
Отделить первое неполное делимое, подобрать близлежащее на числовой прямой целое: 7=2*3+1.
Величину 2 внести поле результата, а затем умножить его на делитель: 2*3=6.
Сравнить первый элемент и значение, полученное в четвертом пункте: 7>6 (условие выполняется).
Записать остаток 1 под 7.
Перенести второй элемент трехзначного числа: 19.
Выполнить подбор ближайшего целого для значения, полученного в седьмом пункте: 19=3*6+1.
Проверить истинность неравенства: 19>18 (истинно).
Осуществить запись второй цифры результата: 26.
Перемножить делитель на подобранное значение, записав его под 19: 3*6=18.
Выполнить операцию разности 19 и величины, полученной в десятом пункте: 19−18=1.
Осуществить перенос третьего разряда: 13.
Решить неравенство с учетом целочисленного результата: 13<3t. t<5.
Ближайшее целое — 4, поскольку 3*5=15>13 (ложное неравенство).
Записать величину 4 в поле результата: 264.
Произведение делителя на 4: 4*3=12<13 (подходит).
Записать 12 под 13, а затем получить остаток, вычитая в этом случае из второго первое значение: 13−12=1.
Окончательный результат: 264 (+1).
Проверка может делаться при помощи калькулятора или ручным способом в столбик. При этом остаток учитывать не нужно, а следует брать 264 и умножать его на 3: 264*3=792.

В последнем пункте алгоритма получилось значение 792, а с учетом остатка вышла искомая величина, то есть 792+1=793. Умножение в столбик осуществляется по такой методике:

Умножается разряд единиц на 3: 4*3=12.
Двойка остается, а 1 записывается над 6.
Перемножаются 6 и 3, затем прибавляется к полученному произведению величина во 2 пункте: 6*3+1=19 (9 остается, а 1 идет в сотни).
Умножение множителя 3 на разряд сотен с учетом 1 (3 пункт): 3*2+1=7.
Искомый результат: 792.

Обучение умножению в столбик осуществляется в начальных классах перед изучением операции деления. Проверку рекомендуется выполнять на начальных этапах изучения, затем ее можно не делать.

Таким образом, для выполнения деления с остатком в столбик необходимо знать признаки делимости чисел и описанный алгоритм с проверкой.

Не успеваете написать работу?

Заполните форму и узнайте стоимость

Вид работыПоиск информацииДипломнаяВКРМагистерскаяРефератОтчет по практикеВопросыКурсовая теорияКурсовая практикаДругоеКонтрольная работаРезюмеБизнес-планДиплом MBAЭссеЗащитная речьДиссертацияТестыЗадачиДиплом техническийПлан к дипломуКонцепция к дипломуПакет для защитыСтатьиЧасть дипломаМагистерская диссертацияКандидатская диссертация

Контактные данные — строго конфиденциальны!

Указывайте телефон без ошибок! — потребуется для входа в личный кабинет.

* Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Подтверждение

Ваша заявка принята.

Ей присвоен номер 0000.
Просьба при ответах не изменять тему письма и присвоенный заявке номер.
В ближайшее время мы свяжемся с Вами.

Ошибка оформления заказа

Кажется вы неправильно указали свой EMAIL, без которого мы не сможем ответить вам.
Пожалуйста проверте заполнение формы и при необходимости скорректируйте данные.

Деление многочленов | Колледж Алгебра

Результаты обучения

Используйте длинное деление для деления многочленов.
Использовать синтетическое деление для деления многочленов.

Внешний вид Мемориала Линкольна в Вашингтоне, округ Колумбия, представляет собой большое прямоугольное тело длиной 61,5 м (м), шириной 40 м и высотой 30 м. {2}+54х[/латекс] . Длина тела равна 3 х ; ширина определяется как [латекс]х — 2[/латекс]. Чтобы найти высоту тела, мы можем использовать полиномиальное деление, которому посвящен этот раздел.

Мемориал Линкольна, Вашингтон, округ Колумбия (кредит: Рон Когсуэлл, Flickr)

Полиномиальное длинное деление

Мы знакомы с алгоритмом длинного деления для обычной арифметики. Начнем с деления на цифры делимого, имеющие наибольшую разрядную стоимость. Мы делим, умножаем, вычитаем, включаем цифру в следующую разрядную позицию и повторяем. Например, давайте разделим 178 на 3 в длинное деление.

Другой способ взглянуть на решение как на сумму частей. Это должно выглядеть знакомо, так как это тот же метод, который используется для проверки деления в элементарной арифметике.

[латекс]\begin{массив}{l}\left(\text{делитель}\cdot \text{частное}\right)\text{ + остаток}\text{ = делимое}\hfill \\ \left( 3\cdot 59\right)+1 = 177+1 = 178\hfill \end{array}[/latex]

Мы называем это алгоритмом деления и обсудим его более формально после рассмотрения примера. 9{2}-7x+18\right)-31[/latex]

Мы можем идентифицировать делимое , делитель , частное и остаток .

Запись результата таким образом иллюстрирует алгоритм деления.

Общее примечание: Алгоритм деления

Алгоритм деления утверждает, что при заданном полиномиальном делимом [латекс]f\left(x\right)[/latex] и ненулевом полиномиальном делителе [латекс]d\left (x\right)[/latex], где степень [латекса]d\left(x\right)[/latex] меньше или равна степени [латекса]f\left(x\right)[/ латекс], существуют уникальные многочлены [латекс]q\left(x\right)[/latex] и [latex]r\left(x\right)[/latex] такие, что

[латекс]f\влево(х\вправо)=d\влево(х\вправо)q\влево(х\вправо)+r\влево(х\вправо)[/латекс]

[латекс]q\ left(x\right)[/latex] – частное, а [latex]r\left(x\right)[/latex] – остаток. Остаток либо равен нулю, либо имеет степень строго меньше, чем [latex]d\left(x\right)[/latex].

Если [латекс]r\влево(х\вправо)=0[/латекс], то [латекс]d\влево(х\вправо)[/латекс] равномерно делится на [латекс]f\влево(х\вправо) )[/латекс]. Это означает, что оба [латекс]d\left(x\right)[/latex] и [латекс]q\left(x\right)[/latex] являются множителями [латекс]f\left(x\right)[ /латекс].

Как сделать: Имея многочлен и двучлен, используйте деление в длину, чтобы разделить многочлен на двучлен

Задайте задачу деления.
Определите первый член частного, разделив старший член делимого на старший член делителя.
Умножьте ответ на делитель и запишите его под подобными членами делимого.
Вычтите нижний бином из членов над ним.

Уменьшите следующий член дивиденда. 9{2}+4x+5[/latex] на [latex]x+2[/latex] с использованием алгоритма длинного деления.

Окончательный вид процесса выглядел так:

В таблице много повторений. Если мы не будем записывать переменные, а вместо этого выстроим их коэффициенты в столбцы под знаком деления, а также исключим частичные произведения, мы уже получим более простую версию всей задачи.

Синтетическое деление несет в себе это упрощение еще на несколько шагов. Сверните таблицу, переместив каждую из строк вверх, чтобы заполнить все свободные места. Кроме того, вместо деления на 2, как при делении целых чисел, а затем умножения и вычитания среднего произведения, мы меняем знак «делителя» на -2, умножаем и складываем. Процесс начинается с уменьшения старшего коэффициента. 92} -7x+18[/latex], а остаток равен –31. Процесс будет более понятен в следующих примерах.

A Общее примечание: Синтетическое деление

Синтетическое деление — это сокращение, которое можно использовать, когда делитель представляет собой двучлен в форме x — k . В синтетическом делении в процессе деления используются только коэффициенты.

Как сделать: Имея два полинома, разделите их синтетическим делением

Напишите k для делителя.
Запишите коэффициенты делимого.
Уменьшить старший коэффициент.
Умножить старший коэффициент на k . Напишите произведение в следующем столбце.
Добавьте условия второго столбца.
Умножьте результат на k . Напишите произведение в следующем столбце.
Повторите шаги 5 и 6 для остальных столбцов.

Используйте нижние числа, чтобы записать частное. Число в последнем столбце является остатком и имеет степень 0, следующее число справа имеет степень 1, следующее число справа имеет степень 2 и так далее. 9{2}-23x+6[/латекс]. Ширина прямоугольника равна x + 6. Найдите выражение для длины прямоугольника.

Показать раствор

Ключевые уравнения

Алгоритм деления

[латекс]f\влево(х\вправо)=d\влево(х\вправо)q\влево(х\вправо)+r\влево(х\вправо)[/латекс], где [латекс]q\влево( х\справа)\ne 0[/латекс]

Ключевые понятия

Длинное деление полинома можно использовать для деления полинома на любой полином равной или меньшей степени.
Алгоритм деления говорит нам, что полиномиальное делимое может быть записано как произведение делителя и частного, прибавленного к остатку.
Синтетическое деление — это сокращение, которое можно использовать для деления многочлена на двучлен вида x – k .
Полиномиальное деление можно использовать для решения прикладных задач, включая площадь и объем.

Глоссарий

Алгоритм деления: с учетом полиномиального делимого [латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс] и ненулевого полиномиального делителя [латекс]d\влево(х\вправо)[/латекс], где степень [латекс]d \left(x\right)[/latex] меньше или равно степени [latex]f\left(x\right)[/latex], существуют уникальные полиномы [latex]q\left(x\right )[/latex] и [latex]r\left(x\right)[/latex] такие, что [latex]f\left(x\right)=d\left(x\right)q\left(x\right )+r\left(x\right)[/latex], где [latex]q\left(x\right)[/latex] – частное, а [latex]r\left(x\right)[/latex] – остаток. Остаток либо равен нулю, либо имеет степень строго меньше, чем [latex]d\left(x\right)[/latex].

синтетический отдел: сокращенный метод, который можно использовать для деления многочлена на двучлен вида x – k

Служба национальных парков. «Статистика здания Мемориала Линкольна». http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. По состоянию на 03.04.2014 ↵

5 Словесные задачки Fun Division | Практика нескольких способов решения

Математика | Основные математические операции | Базовая математика-дивизия

2 июля 2022 г. 2 июля 2022 г.

Проблемы со словами на деление

Готовы ли ваши дети победить деление? Эти интерактивные рабочие листы для решения задач на деление помогут детям решать задачи на деление пятью различными способами.

Проблемы отдела

Он делал это много раз. Разделить группу игрушек со своими братьями и сестрами или даже поделиться пакетом M&M’s. В таких ситуациях он инстинктивно знает, как решать задачи на деление.

Содержание

Когда мы столкнулись с задачей на деление в его учебнике по математике, он не был уверен, что делать.

Я хотел, чтобы мой маленький человечек мог связать деление с тем, что он делал снова и снова, создавая стратегии для решения проблем разделения.

Мы придумали текстовые задачи с пятью шагами. Эти простые рабочие листы для деления идеально подходят для задач на деление в 3-м классе.

Как решить задачи со словами на деление

Шаг 1: Решение задач на деление по группам

Первый шаг — это способ, которым мы обычно учим детей решать задачи на деление. Учащиеся берут необходимое количество предметов, которые нужно разделить, а затем размещают их в правильном количестве групп. Это очень практичный и наглядный способ для наших детей понять, что происходит, когда мы делимся.

Шаг 2. Решение задач на деление слов с помощью повторного вычитания

Чтобы решить задачу со словами с помощью повторного вычитания, учащиеся начинают с делимого числа или делимого. Теперь они снова и снова вычитают из делимого делитель или число, указывающее, сколько групп нужно, пока они не достигнут нуля. Количество раз, которое они вычитали, является ответом.

Шаг 3: Решение задач на деление слов с помощью массивов

Скорее всего, если вы обучали умножению на практике, вы учили его с помощью массивов. Вы можете создать массив, поместив объекты, изображения или числа в одинаковые столбцы и равные строки.

С умножением вы возьмете задачу типа 4 x 5 и сделаете 4 строки по 5 в каждом столбце. В итоге вы получите 20 объектов, что, конечно же, является ответом на задачу умножения.

Отдел немного другой. Если задача 18 ÷ 3, учащийся создает три ряда. Затем они продолжают размещать по одному объекту в каждом ряду, пока не используют 18 объектов.

Теперь у них есть массив 3 на 6. Ответ на задачу деления равен 6.

Хотите знать, как использовать массивы для деления, когда числа больше? Проверьте этот ПОСТ!

Шаг 4. Цифровая линейка для решения задач со словами на деление

Цифровая линейка стала важным инструментом, помогающим детям решать задачи. В начале этого видео Рами Мелхем четко показано, как делить с помощью числовой прямой, а прыжки маленькой лягушки – отличное наглядное приложение для наших малышей.

Шаг 5: Создайте уравнение

Последний шаг очень прост после всей вышеописанной работы. Учащиеся просто выясняют, какое число было разделено, и помещают его в первую ячейку.

Затем они смотрят, сколько групп они создали, и это число входит во второе поле. Наконец, они выясняют, сколько объектов было в каждой группе, и это ответ или частное.

Этот номер указан в последнем поле.

Раскрашивая эти листы фломастерами и ватными палочками, мой маленький мужчина развлекался, и я видел, как растет его понимание деления.

Мы перешли к этим вырезанным и вставленным оценкам подразделений, и его мышление стало еще более сложным. Благодаря всей этой практике он на пути к освоению простых задач на деление, и ваши дети тоже могут их освоить.

Получите эту оценку отдела вырезания и вставки в моем магазине TpT.

У вас есть это

Проблемы со словами на деление Версия для печати

Эти бесплатные математические задачи на деление помогут вашим ученикам научиться решать задачи на деление 5 различными способами. Вы можете скачать эту печатную форму, нажав на кнопку загрузки.

деление-слово-проблемы-1

Почтовые теги: #3 — 5 бесплатных печатных форм#деление#умножение и деление#числовые строки#словные задачи

2.2 Решение уравнений с использованием свойств деления и умножения равенства — Элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Решите уравнения, используя свойства деления и умножения равенства
Решите уравнения, требующие упрощения
Перевести в уравнение и решить
Перевод и решение приложений

Приготовься 2,5

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Упростить: −7(1−7).−7(1−7).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.68.

Приготовься 2,6

Вычислить 9x+29x+2, когда x=−3x=−3.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.57.

Решение уравнений с использованием свойств деления и умножения равенства

Возможно, вы заметили, что все уравнения, которые мы решали до сих пор, имели вид x+a=bx+a=b или x−a=bx−a= б. Мы смогли изолировать переменную, добавив или вычтя постоянный член на стороне уравнения с переменной. Теперь мы увидим, как решать уравнения, в которых переменная умножается на константу, и поэтому потребуется деление, чтобы изолировать переменную.

Давайте еще раз посмотрим на нашу головоломку с конвертами и фишками на рис. 2.5.

Рисунок 2,5 На иллюстрации показана модель уравнения с одной переменной, умноженной на константу. В левой части рабочей области находятся два экземпляра неизвестного (конверт), а в правой части рабочей области — шесть счетчиков.

На рисунке два одинаковых конверта с одинаковым количеством счетчиков. Помните, что левая сторона рабочего пространства должна равняться правой стороне, но счетчики с левой стороны «спрятаны» в конвертах. Итак, сколько фишек в каждом конверте?

Как определить число? Мы должны разделить жетоны с правой стороны на две группы одинакового размера, чтобы они соответствовали двум конвертам с левой стороны. 6 счетчиков, разделенных на 2 равные группы, дают по 3 счетчика в каждой группе (поскольку 6÷2=36÷2=3).

Какое уравнение моделирует ситуацию, показанную на рис. 2.6? Есть два конверта, и каждый содержит xx счетчиков. Вместе два конверта должны содержать в общей сложности 6 жетонов.

Рисунок 2,6 На иллюстрации показана модель уравнения 2x=62x=6.


Если мы разделим обе части уравнения на 2, как мы сделали с конвертами и счетчиками,
получаем:

Мы обнаружили, что каждый конверт содержит 3 счетчика. Это проверяет? Мы знаем, что 2·3=62·3=6, так что это работает! Три жетона в каждом из двух конвертов равняются шести!

Этот пример ведет к свойству разделения на равенство.

Раздел имущества равенства

Для любых чисел a , b , c , и c≠0c≠0,

Ifa=b,thenac=bcIfa=b,thenac=bc

При делении обеих частей уравнения любым ненулевым числом, у вас все еще есть равенство.

Манипулятивная математика

Выполнение задания по манипулятивной математике «Свойство равенства деления» поможет вам лучше понять, как решать уравнения с помощью свойства равенства деления.

Целью решения уравнения является «отмена» операции над переменной. В следующем примере переменная умножается на 5, поэтому мы разделим обе части на 5, чтобы «отменить» умножение.

Пример 2.13

Решите: 5x=-27,5x=-27.

Решение

Чтобы изолировать xx, «отмените» умножение на 5.
Разделить, чтобы «отменить» умножение.
Упрощение.
Чек:
Замените -275-275 на x.x.

		Поскольку это истинное утверждение, x=−275x=−275 является решением 5x=−275x=−27.

Попытайся 2,25

Решите: 3y=-41.3y=-41.

Попытайся 2,26

Решите: 4z=-55,4z=-55.

Рассмотрим уравнение x4=3×4=3. Мы хотим знать, какое число, деленное на 4, дает 3. Итак, чтобы «отменить» деление, нам нужно будет умножить на 4. Свойство равенства умножения позволит нам это сделать. Это свойство говорит о том, что если мы начнем с двух равных величин и умножим их на одно и то же число, результаты будут равны.

Свойство равенства умножения

Для любых чисел a , b и c ,

Ifa=b,thenac=bcIfa=b,thenac=bc

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, иметь равенство.

Пример 2.14

Решите: y-7=-14.y-7=-14.

Решение

Здесь yy делится на −7−7. Мы должны умножить на −7−7, чтобы выделить yy.


Умножьте обе части на −7−7.
Умножить.
Упрощение.
Проверить: y-7=-14y-7=-14
Замените у=98у=98.
Разделить.

Попытайся 2,27

Решите: a−7=−42.a−7=−42.

Попытайся 2,28

Решите: b−6=−24.b−6=−24.

Пример 2,15

Решить: −n=9.−n=9.

Решение


Помните, что -n-n эквивалентно -1n-1n.
Разделите обе части на −1−1.
Разделить.
Обратите внимание, что есть два других способа решить -n=9-n=9. Мы также можем решить это уравнение, умножив обе части на −1−1, а также взяв противоположное от обеих частей.
Чек:
Замените n=-9n=-9.
Упрощение.

Попытайся 2,29

Решить: −k=8.−k=8.

Попытайся 2.30

Решить: −g=3.−g=3.

Пример 2.16

Решите: 34x=12,34x=12.

Решение

Поскольку произведение числа и его обратного числа равно 1, наша стратегия будет состоять в том, чтобы изолировать xx путем умножения на обратное число 3434.


Умножьте на обратную величину 3434.
Обратные числа умножаются на 1.
Умножить.
Обратите внимание, что мы могли бы разделить обе части уравнения 34x=1234x=12 на 3434, чтобы выделить xx. Хотя это сработает, большинству людей будет проще умножить на обратное.
Чек:
Замените x=16x=16.

Попытайся 2,31

Решите: 25n=14,25n=14.

Попытайся 2,32

Решите: 56y=15,56y=15.

В следующем примере все переменные члены находятся в правой части уравнения. Как всегда, наша цель при решении уравнения состоит в том, чтобы изолировать переменную.

Пример 2.17

Решите: 815=-45x.815=-45x.

Решение


Умножьте на обратную величину −45−45.
Обратные числа умножаются на 1.
Умножить.
Чек:
Пусть x=−23x=−23.

Попытайся 2,33

Решите: 925=-45z.925=-45z.

Попытайся 2,34

Решите: 56=-83r.56=-83r.

Решение уравнений, требующих упрощения

Многие уравнения начинаются сложнее, чем те, с которыми мы работали.

При работе с этими более сложными уравнениями первым шагом является максимальное упрощение обеих частей уравнения. Обычно это включает в себя объединение подобных терминов или использование распределительного свойства.

Пример 2.18

Решите: 14−23=12y−4y−5y.14−23=12y−4y−5y.

Решение

Начните с упрощения каждой части уравнения.


Упростите каждую сторону.
Разделите обе стороны на 33.
Чек:
Замените y=−3y=−3.

Попытайся 2,35

Решите: 18−27=15c−9c−3c.18−27=15c−9c−3c.

Попытайся 2,36

Решите:18−22=12x−x−4x.18−22=12x−x−4x.

Пример 2.19

Решите: −4(a−3)−7=25.−4(a−3)−7=25.

Решение

Здесь мы упростим каждую часть уравнения, используя сначала свойство распределения.


Распределить.
Упрощение.
Упрощение.
Разделите обе части на −4−4, чтобы выделить aa.
Разделить.
Чек:
Замените a=−5a=−5.

Попытайся 2,37

Решите: −4(q−2)−8=24.−4(q−2)−8=24.

Попытайся 2,38

Решите: −6(r−2)−12=30.−6(r−2)−12=30.

Теперь мы рассмотрели все четыре свойства равенства — вычитание, сложение, деление и умножение. Мы перечислим их все вместе здесь для удобства.

Свойства равенства

Свойство равенства вычитания Сложение свойства равенства Для любых действительных чисел a, b и c, Для любых действительных чисел a, b и c, ifa=b,thena-c=b-c. ifa=b,thena+c=b+c. Свойство деления равенстваСвойство умножения равенстваДля любых чиселa,b,andc,andc≠0,Для любых чиселa,b,andc,ifa=b,thenac=bc.ifa=b,thenac=bc.Свойство вычитания равенстваСложение свойства равенстваДля любых чисел действительные числаa,b,andc,Для любых действительных чиселa,b,andc,ifa=b,thena-c=b-c.ifa=b,thena+c=b+c.Свойство деления равенстваСвойство умножения равенстваДля любых чиселa, b, и c, и c ≠ 0, для любых чисел a, b, и c, если а = b, тогда ac = bc. ifa = b, тогда ac = bc.

Когда вы складываете, вычитаете, умножаете или делите одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.

Перевести в уравнение и решить

В следующих нескольких примерах мы будем переводить предложения в уравнения, а затем решать уравнения. Возможно, вы захотите просмотреть таблицу перевода в предыдущей главе.

Пример 2.20

Переведите и решите: Число 143 есть произведение −11−11 и y .

Решение

Начните с перевода предложения в уравнение.

Перевести.
Разделить на −11−11.
Упрощение.
Проверить: 143=-11y143=?-11(-13)143=143✓143=-11y143=?-11(-13)143=143✓

Попытайся 2,39

Переведите и решите: Число 132 есть произведение −12 и и .

Попытайся 2,40

Переведите и решите: Число 117 есть произведение −13 и z .

Пример 2.21

Переведите и решите: nn разделить на 8 равно −32−32.

Решение

Начните с перевода предложения в уравнение.

Перевести.


Умножьте обе стороны на 8.
Упрощение.
Чек:	Является ли число nn, деленное на 8, равным −32?
Пусть n=−256n=−256.	-256-256 разделить на 88 равно -32-32?
Перевести.	−2568=?−32−2568=?−32
Упрощение.	−32=−32✓−32=−32✓

Попытайся 2,41

Переведите и решите: nn разделить на 7 равно −21−21.

Попытайся 2,42

Переведите и решите: nn разделить на 8 равно −56−56.

Пример 2,22

Переведите и решите: Частное yy и −4−4 равно 6868.

Решение

Начните с перевода предложения в уравнение.

Перевести.


Умножьте обе части на −4−4.
Упрощение.
Чек:	Является ли частное yy и −4−4 равным 6868?
Пусть y=−272y=−272.	Является ли частное −272−272 и −4−4 равным 6868?
Перевести.	−272−4=?68−272−4=?68
Упростить.	68=68✓68=68✓

Попытайся 2,43

Переведите и решите: Частное qq и −8−8 равно 72.

Попытайся 2,44

Переведите и решите: Частное pp и −9−9 равно 81.

Пример 2,23

Переведите и решите: Три четверти pp равно 18.

Решение

Начните с перевода предложения в уравнение. Помните, что «из» переводится как умножение.

Перевести.
Умножьте обе стороны на 43,43.
Упрощение.
Чек:	Три четверти p равны 18?
Пусть p=24.p=24.	Три четверти от 24 равны 18?
Перевести.	34·24=?1834·24=?18
Упрощение.	18=18✓18=18✓

Попытайся 2,45

Переведите и решите: Две пятых от ff равно 16.

Попытайся 2,46

Переведите и решите: Три четверти ff равно 21.

Пример 2,24

Переведите и решите: Сумма трех восьмых и xx равна половине.

Решение

Начните с перевода предложения в уравнение.

Перевести.
Вычтите 3838 с каждой стороны.
Упростите и перепишите дроби с общими знаменателями.
Упрощение.
Чек:		Является ли сумма трех восьмых и xx равной половине?
Пустьx=18.Letx=18.		Является ли сумма трех восьмых и одной восьмой равной половине?
Перевести.		38+18=?1238+18=?12
Упрощение.		48=?1248=?12
Упрощение.		12=12✓12=12✓

Попытайся 2,47

Переведите и решите: Сумма пяти восьмых и х равна одной четвертой.

Попытайся 2,48

Переведите и решите: Сумма трех четвертых и х равна пяти шестым.

Перевести и решить приложения

Чтобы решить приложения, использующие свойства равенства деления и умножения, мы будем следовать тем же шагам, что и в предыдущем разделе. Мы переформулируем задачу всего в одном предложении, назначим переменную, а затем переведем предложение в уравнение, которое нужно решить.

Пример 2,25

Дена купила 6 фунтов винограда за 10,74 доллара. Сколько стоил один фунт винограда?

Решение

Что вас просят найти?	Стоимость 1 фунта винограда
Назначить переменную.	Пусть cc = стоимость одного фунта.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	Стоимость 6 фунтов составляет 10,74 доллара США.
Преобразовать в уравнение.	6с=10,746с=10,74
Решить.	6с6=10,746с=1,796с6=10,746с=1,79
	Виноград стоит 1,79 доллара за фунт.
Проверить: если один фунт стоит 1,79 доллара, значит, 6 фунтов стоят 10,74 доллара? 6(1,79)=?10,7410,74=10,74✓6(1,79)=?10,7410,74=10,74✓

Стол 2.3

Попытайся 2,49

Переведи и реши:

Арианна купила упаковку из 24 бутылок с водой за 9,36 доллара. Сколько стоила одна бутылка воды?

Попытайся 2,50

Переведите и решите:

В боулинг-клубе JB на одной дорожке могут играть 6 человек за 34,98 доллара. Какова стоимость для каждого человека?

Пример 2,26

Андреас купил подержанную машину за 12 000 долларов. Поскольку машине было 4 года, ее цена была 3434 от первоначальной цены, когда машина была новой. Какова была первоначальная цена автомобиля?

Решение

Что вас просят найти?	Первоначальная цена автомобиля
Назначить переменную.	Пусть pp = первоначальная цена.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	12 000 долларов — это 3434 доллара от первоначальной цены.
Преобразовать в уравнение.	12 000=34 пенса12 000=34 пенса
Решить.	43(12 000)=43·34p16 000=p43(12 000)=43·34p16 000=p
	Первоначальная стоимость автомобиля составляла 16 000 долларов.
Проверка: равно ли 3434 из 16 000 долларов 12 000 долларов? 34·16 000=?12 00012 000=12 000✓34·16 000=?12 00012 000=12 000✓

Стол 2.4

Попытайся 2,51

Переведите и решите:

Годовой налог на недвижимость дома Мехты составляет 1800 долларов США, рассчитанный как 151 000151 000 оценочной стоимости дома. Какова оценочная стоимость дома Мехты?

Попытайся 2,52

Переведите и решите:

Стелла посадила 14 квартир цветов в 2323 своем саду. Сколько квартир цветов ей понадобится, чтобы заполнить весь сад?

Раздел 2.2 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с использованием свойств деления и умножения равенства

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойства равенства деления и умножения, и проверьте решение.

77.

8x=568x=56

78.

7р=637р=63

79.

−5c=55−5c=55

80.

−9x=−27−9x=−27

81.

−809=15 лет−809=15 лет

82.

−731=19 лет−731=19 лет

83.

−37p=−541−37p=−541

84.

−19m=−586−19m=−586

85.

0,25z=3,250,25z=3,25

86.

0,75а=11,250,75а=11,25

87.

−13x=0−13x=0

88.

24x=024x=0

89.

х4=35х4=35

90.

z2=54z2=54

91.

−20=q−5−20=q−5

92.

с-3=-12с-3=-12

93.

у9=-16у9=-16

94.

q6=-38q6=-38

95.

м-12=45м-12=45

96.

−24=p−20−24=p−20

97.

−y=6−y=6

98.

−u=15−u=15

99.

−v=−72−v=−72

100.

−x=−39−x=−39

101.

23у=4823у=48

102.

35р=7535р=75

103.

−58w=40−58w=40

104.

24=-34×24=-34x

105.

−25=110a−25=110a

106.

−13q=−56−13q=−56

107.

−710x=−143−710x=−143

108.

38y=-1438y=-14

109.

712=-34p712=-34p

110.

1118=-56q1118=-56q

111.

−518=−109u−518=−109u

112.

−720=−74v−720=−74v

Решение уравнений, требующих упрощения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, требующее упрощения.

113.

100−16=4p−10p−p100−16=4p−10p−p

114.

−18−7=5t−9t−6t−18−7=5t−9t−6t

115.

78n−34n=9+278n−34n=9+2

116.

512q+12q=25−3512q+12q=25−3

117.

0,25d+0,10d=6−0,750,25d+0,10d=6−0,75

118.

0,05р-0,01р=2+0,240,05р-0,01р=2+0,24

119.

−10(q−4)−57=93−10(q−4)−57=93

120.

−12(d−5)−29=43−12(d−5)−29=43

121.

−10(x+4)−19=85−10(x+4)−19=85

122.

−15(z+9)−11=75−15(z+9)−11=75

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

123.

910x=x=90

124.

512у=60512у=60

125.

у+46=55у+46=55

126.

х+33=41х+33=41

127.

w−2=99w−2=99

128.

с-3=-60 с-3=-60

129.

27=6а27=6а

130.

−а=7−а=7

131.

−x=2−x=2

132.

z−16=−59z−16=−59

133.

m−41=−14m−41=−14

134.

0,04r=52,600,04r=52,60

135.

63,90=0,03p63,90=0,03p

136.

−15x=−120−15x=−120

137.

84=-12z84=-12z

138.

19,36=х-0,2х19,36=х-0,2х

139.

с-0,3с=35,70с-0,3с=35,70

140.

−y=−9−y=−9

141.

−x=−8−x=−8

Преобразование в уравнение и решение

В следующих упражнениях переведите уравнение в уравнение, а затем решите его.

142.

187 является произведением −17−17 и м .

143.

133 является произведением −19−19 и n .

144.

−184−184 является произведением 23 и p .

145.

−152−152 является произведением 8 и q .

146.

u разделить на 7 равно −49−49.

147.

r разделить на 12 равно −48−48.

148.

ч разделить на -13-13 равно -65-65.

149.

j разделить на -20-20 равно -80-80.

150.

Частное cc и −19−19 равно 38.

151.

Частное bb и −6−6 равно 18.

152.

Частное hh и 26 равно −52−52.

153.

Частное kk и 22 равно −66−66.

154.

Пять шестых от y равно 15.

155.

Три десятых от x это 15.

156.

Четыре трети числа w равно 36.

157.

Пять половинок против равно 50.

158.

Сумма девяти десятых и г составляет две трети.

159.

Сумма двух пятых и f равна половине.

160.

Разница p и одной шестой составляет две трети.

161.

Разница q и одна восьмая это три четверти.

Перевод и решение приложений

В следующих упражнениях преобразуйте в уравнение и решите.

162.

Детский сад В детском саду Конни 24 ребенка. Она хочет, чтобы они разделились на 4 равные группы. Сколько детей она поместит в каждую группу?

163.

Воздушные шары Рамона купила 18 воздушных шаров для вечеринки. Она хочет сделать 3 одинаковых пучка. Сколько воздушных шаров она использовала в каждой связке?

164.

Билеты Молли заплатила 36,25 долларов за 5 билетов в кино. Сколько стоил каждый билет?

165.

Покупки Серена заплатила 12,96 долларов за упаковку из 12 пар спортивных носков. Сколько стоила пара спортивных носков?

166.

Шитье Нэнси использовала 14 ярдов ткани, чтобы сшить флаги для одной трети тренировочной бригады. Сколько ткани потребуется Нэнси, чтобы сшить флаги для всей команды?

167.

миль на галлон Внедорожник Джона расходует 18 миль на галлон (миль на галлон). Это вдвое меньше, чем у гибридной машины его жены. Сколько миль на галлон расходует гибридный автомобиль?

168.

Рост Рост Эйдена 27 дюймов. Он на 3838 выше своего отца. Какой рост у его отца?

169.

Недвижимость Беа заработала комиссию в размере 11 700 долларов за продажу дома, рассчитанную как 61006100 от продажной цены. Какова была цена продажи дома?

Математика на каждый день

170.

Комиссия Каждую неделю Перри получает 150 долларов плюс 12% от общей суммы продаж свыше 1250 долларов. Решите уравнение 840=150+0,12(a−1250)840=150+0,12(a−1250) для a , чтобы найти общую сумму, которую Перри должен продать, чтобы получить 840 долларов за неделю.

171.

Марки Трэвис купил на 9,45 долларов марок по 49 центов и 21 цент. Количество 21-центовых марок было на 5 меньше, чем количество 49.центовые марки. Решите уравнение 0,49s+0,21(s−5)=9,450,49s+0,21(s−5)=9,45 для s , чтобы найти количество 49-центовых марок, купленных Трэвисом.

Письменные упражнения

172.

Фрида начала решать уравнение −3x=36−3x=36, прибавив 3 к обеим частям. Объясните, почему метод Фриды не решит уравнение.

173.

Эмилиано считает, что x=40x=40 является решением уравнения 12x=8012x=80. Объясните, почему он не прав.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Как научить делению в столбик: пошаговый метод

В этой статье я объясню, как научить делению в несколько этапов. Вместо того, чтобы показывать студентам весь алгоритм сразу, мы действительно делайте это «шаг за шагом».

До ребенок готов к изучению деления в длинную, он должен знать:

таблица умножения (по крайней мере довольно хорошо)
базовая концепция деления, основанная на таблице умножения
(например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
основное деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

Одна из причин, почему деление в длинную затруднительно

Длинное деление — это алгоритм, который повторяет основные шаги
1) Разделять; 2) Умножить; 3) вычесть; 4) Опустите следующую цифру.

Из этих шагов №2 и №3 могут показаться учащимся трудными и запутанными, потому что похоже, они не связаны с делением — они связаны с нахождением остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в одно «умножить и вычесть». шаг.

Чтобы избежать путаницы, я рекомендую учить дробное деление в такой мода на то, чтобы дети сначала НЕ подвергались всем этим шагам. Вместо этого вы можете научить этому в несколько «шагов»:

Шаг 1: Деление четное во всех цифрах. Здесь студенты практикуют только разделительную часть.
Шаг 2: Остаток в единицах. В настоящее время, студенты практикуют часть «умножить и вычесть» и свяжите это с поиском остаток.
Шаг 3: Остаток в десятках. Ученики Теперь используйте весь алгоритм, в том числе «выпадение следующей цифры», используя 2-значный дивиденды.
Шаг 4: Остаток в любом месте ценности. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

Шаг 1: деление четное во всех цифрах

Мы делим числа, у которых каждая из цифр сотен, десятков и единиц делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ этого первого, простого шага состоит в том, чтобы студенты привыкли к двум вещам:

Привыкнуть к длинному делению «угол», чтобы сверху писалось частное.
Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель входит в различные цифры делимого.

Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Учащиеся должны проверить каждый деление умножением.

а.

)

8 4

б.

г.

)

6 6 0

с.

)

8 0 4 0

На этом этапе учащиеся также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не «уходит» в первую цифру:

		ч т о
		0
4	)	2 4 8

		ч т о
		0 6 2
4	)	2 4 8

4 не переходит в 2. Вы можете поставить ноль в частном в разряде сотен или опустить его. Но 4 входит в 24 шесть раз. Подставь 6 в частном.

Объяснение:

2 из 248 — это, конечно, 200 на самом деле. Если разделить 200 на 4, то результат будет меньше 100, поэтому частное не будет иметь любые целые сотни.

Но тогда вы комбинируете 2 сотни с 4 десятками. Получается 24 десятка, и вы МОЖЕТЕ разделить 24 десятка на 4. Результат 6 десятков входит в частное.

Проверьте окончательный ответ: 4 × 62 = 248,

Ниже приведены другие примеры проблем. Разделять. Проверьте свой ответ по умножение частного и делителя.

а.

)

1 2 3

б.

)

2 8 4

в.

г.

)

3 6 0

д.

)

2 4 8

Шаг 2: Остаток в единицах

Теперь в единицах (единицах) остался остаток. Тысячи, сотни, а также десятки цифр все равно делятся без остатка на делитель. Во-первых, студенты могут решите в уме остаток и просто напишите остаток сразу после частное:

		ч т о
		0 4 1 R1
4	)	1 6 5

4 делает не входить в 1 (сотню). Итак, объедините 1 сотню с 6 десятками (160).

4 переходит в 16 четыре раза.

4 шт. на 5 раз, оставив в остатке 1.

		й ч т о
		0 4 0 0 R7
8	г. )	3 2 0 7

8 делает не входить в 3 тысячи. Итак, объедините 3 тысячи с 2 сотни (3200).

8 подходит по 32 четыре раза (3200 ÷ 8 = 400)
8 превращается в 0 ноль раз (десятки).
8 переходит в 7 нулевых раз и оставляет остаток 7.

Далее студенты изучают к найти остаток с использованием процесса «умножить и вычесть» . Это очень важный шаг! Часть «умножить и вычесть» часто очень сбивает с толку студентов, поэтому здесь мы практикуем это в максимально простом место: в самом конце раздела, в колонке единиц (вместо в колонке десятков или сотен). Конечно, это предполагает, что учащиеся уже научились находить остаток в простых задачах на деление которые основаны на таблицах умножения (например, 45 ÷ 7 или 18 ÷ 5).

В проблемах раньше вы просто записали остальные. Обычно мы записываем вычитание, которое фактически находит остаток. Смотри внимательно:

		ч т о
		0 6 1
4	)	2 4 7
		− 4
		3

При делении единиц, 4 входит в 7 один раз. Умножьте 1 × 4 = 4, напишите, что четыре меньше 7, и вычесть. Это находит нам остаток от 3.

Проверка: 4 × 61 + 3 = 247

		й ч т о
		0 4 0 2
4	)	1 6 0 9
		− 8
		1

При делении единиц, 4 входит в 9 два раза. Умножьте 2 × 4 = 8, напишите, что восемь под 9и вычесть. Это находит нам остаток от 1.

Проверить: 4 × 402 + 1 = 1609

Вот несколько примеров проблем. Сейчас учащиеся проверяют ответ, умножая делитель на частное, а затем добавить остаток.

а.

)

1 2 8

б.

)

9 5

в.

)

4 2 6 7

д.

)

2 8 4 5

Шаг 3: Остаток в десятках

На этом этапе учащиеся впервые отрабатывают все основные шаги. алгоритма длинного деления: разделить, умножить и вычесть, выпадающий список следующая цифра. Мы используем двузначные числа для простоты. Умножить & вычитание связано с нахождением остатка, а после нахождения остаток, мы объединяем это со следующим блоком, который мы готовим разделить (опустить цифру вниз).

Пример:

1. Разделять.

2. Умножить и вычесть.

3. Опустите следующую цифру.

		т о
		2
2	)	5 8

Два идет на 5 два раз, или 5 десятков ÷ 2 = 2 целых десятка — но есть остаток!

		т о
		2
2	)	5 8
	—	4
		1

Чтобы найти, умножьте 2 × 2 = 4, напишите, что 4 меньше пяти, и вычтите, чтобы найти остаток от 1 десятка.

		т о
		2 9
2	)	5 8
	—	4 ↓
		1 8

Далее выпадающий список 8 принадлежащий следующие к оставшемуся 1 десятку. Вы объединяете остаток десять с 8 единицами, и получаем 18.

1. Разделять.

2. Умножить и вычесть.

3. Опустите следующую цифру.

		т о
		2 9
2	)	5 8
	—	4
		1 8

Разделите 2 на 18. Подложите 9 к частному.

		т о
		2 9
2	г. )	5 8
	—	4
		1 8
	—	1 8
		0

Умножить 9 × 2 = 18, напиши, что 18 под 18, и вычти.

		т о
		2 9
2	)	5 8
	—	4
		1 8
	—	1 8
		0

Деление окончено так как в делимом больше нет цифр. Частное равно 29.

Шаг 4: Остаток в любом разряде значений

После освоения предыдущего шага учащиеся долго практикуются. деление с трех- и четырехзначными номерами, куда они должны будут попасть через основные шаги несколько раз.

1. Разделять.

2. Умножить и вычесть.

3. Опустите следующую цифру.

		ч т о
		1
2	)	2 7 8

Два в одном 2 раз, или 2 сотни ÷ 2 = 1 сотня.

		ч т о
		1
2	г. )	2 7 8
	—	2
		0

Умножить 1 × 2 = 2, напишите, что 2 под двойкой, и вычтите, чтобы найти остаток от нуля.

		ч т о
		1 8
2	)	2 7 8
	—	2 ↓
		0 7

Далее выпадающий список 7 десятков рядом с нулем.

Разделить.

Умножить & вычесть.

Падение вниз на следующую цифру.

		ч т о
		1 3
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7

Раздели 2 на 7. Подставь 3 в частное.

		ч т о
		1 3
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7
	—	6
		1

Умножение 3 × 2 = 6, запишите, что 6 под 7, и вычтите, чтобы найти остаток от 1 десятка.

		ч т о
		1 3
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7
	—	6
		1 8

Далее выпадающий список 8 из тех, что рядом с 1 оставшейся десяткой.

1. Разделять.

2. Умножить и вычесть.

3. Опустите следующую цифру.

		ч т о
		1 3 9
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7
	—	6
		1 8

Разделите 2 на 18. Подложите 9 к частному.

		ч т о
		1 3 9
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7
	—	6
		1 8
		— 1 8
		0

Умножить 9 × 2 = 18, напишите, что 18 меньше 18, и вычтите, чтобы найти остаток от нуля.

		ч т о
		1 3 9
2	)	2 7 8
	—	2
		0 7
	—	6
		1 8
		— 1 8
		0

Больше нет цифры в раскрывающемся списке. Частное равно 139.

Эти идеи также объясняются в видео на YouTube ниже:

Почему работает длинное деление

Я чувствую, что алгоритм деления в длину И то, почему он работает, представляет собой довольно сложную вещь для изучения учащимися, поэтому в данном случае я не вижу проблемы в том, что учащиеся сначала изучают алгоритмические шаги («как»), а затем углубляются в «почему». Попытка сделать и то, и другое одновременно может оказаться для некоторых слишком сложным.

Однако, как только учащийся овладеет базовыми навыками , как выполнять деление в большую сторону, настало время также изучить, на чем оно основано. Чтобы узнать больше об этом, см.:

Длинное деление как повторное вычитание

Почему работает длинное деление (на основе многократного вычитания)

Рабочие листы

Рабочие листы с длинным делением
Создайте неограниченный запас рабочих листов для деления в большую сторону (4-6 классы), в том числе с двузначными и трехзначными делителями. Рабочие листы могут быть сделаны в формате html или PDF — оба варианта легко распечатать. Вы также можете настроить их с помощью генератора.

Как работает синтетическое деление многочленов?

Рабочие примерыНахождение нулейРазложение полиномов на множители

Purplemath

Что такое синтетическое деление?

Синтетическое деление — это сокращенный или сокращенный метод полиномиального деления в частном случае деления на линейный множитель — и в этом случае работает только . Однако синтетическое деление обычно используется не для деления множителей, а для нахождения нулей (или корней) многочленов. Подробнее об этом позже.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Как связаны нули полинома и множители?

Если вам дано, скажем, уравнение полинома y = x ² + 5x + 6, вы можете разложить полином как ). Затем вы можете найти нули и , установив каждый множитель равным нулю и решив. Вы обнаружите, что два нуля многочлена равны x = -2 и x = -3.

Однако вы также можете работать в обратном направлении от нулей, чтобы найти исходный многочлен. Например, если вам известно, что x = -2 и x = -3 являются нулями квадратного числа, то вы знаете, что x + 2 = 0, поэтому x + 2 является множителем, а x + 3 = 0, поэтому x + 3 – это множитель. Следовательно, вы знаете, что квадрат должен иметь форму y = a ( x + 3)( x + 2).

(Дополнительное число » a » в этом последнем предложении присутствует, потому что, когда вы работаете в обратном направлении от нулей, вы не знаете, к какому квадрату вы работаете. Для любого ненулевого значения » a «, ваш квадратик по-прежнему будет иметь те же нули. Но вопрос о значении « a » — это просто техническое соображение; пока вы видите взаимосвязь между нулями и множителями, это все, что вам действительно нужно. необходимо знать для этого урока.)

Во всяком случае, это многословный способ сказать, что если x − n является множителем, то x = n является нулем, а если x = n равно n ноль, тогда x − n является множителем. И это тот факт, который вы используете, когда делаете синтетическое деление.

Давайте снова посмотрим на квадрат сверху: y = x ² + 5 x + 6. Из теста рациональных корней мы знаем, что ± 1, 2, 3 и 6 являются возможными нулями квадратичного. (И из приведенного выше факторинга мы знаем, что нули на самом деле равны −3 и −2.) Как бы вы использовали синтетическое деление для проверки потенциальных нулей?

Ну, подумай, как долго работает полиномиальное деление. Если бы я предположил, что x = 1 является нулем, то это означало бы, что x — 1 является множителем квадратного числа. А если это фактор, то он будет делиться поровну; то есть, если мы разделим x ² + 5 x + 6 на x − 1, мы получим нулевой остаток. Проверим:

Как и ожидалось (поскольку мы знаем, что x − 1 не является множителем), мы получили ненулевой остаток. Как это выглядит в синтетическом делении?

Как вы делаете синтетическое деление?

Во-первых, возьмите многочлен (в нашем случае x ² + 5 x + 6) и напишите коэффициенты ТОЛЬКО внутри перевернутого символа деления:

Убедитесь, что внутри есть место , под строкой коэффициентов, чтобы позже написать еще одну строку чисел.

Поместите тестовый нуль, в нашем случае x = 1, слева, рядом с (верхним) рядом чисел:

Возьмите первое число внутри, число, представляющее старший коэффициент многочлена, и перенесите его без изменений под символ деления:

Умножьте это значение переноса на проверочный нуль слева и перенесите результат в следующую колонку внутри:

Добавьте вниз столбец:

Умножьте предыдущее значение переноса на проверочный ноль и перенесите новый результат вверх в последний столбец:

Добавьте вниз столбец:

Это последнее значение переноса является остатком.

Сравнив, можно увидеть, что мы получили тот же результат от синтетического деления, то же частное (а именно 1 х + 6) и тот же остаток в конце (а именно, 12), как и при делении в большую сторону:

Результаты форматируются по-разному, но следует признать, что каждый формат давал нам один и тот же результат, являясь частным x + 6 и остаток от 12.

Мы уже знаем (из приведенного выше факторинга), что x + 3 является множителем многочлена, и, следовательно, x = -3 является нулем .

Теперь давайте сравним результаты деления в длину и синтетического деления при использовании коэффициента 9.0021 x + 3 (для длинного деления) и ноль x = −3 (для синтетического деления):

Как вы можете видеть выше, хотя результаты форматируются по-разному, в остальном результаты одинаковы:

В длинном делении я разделил на коэффициент x + 3 и получил результат x + 2 с остатком, равным нулю. Это означает, что x + 3 является множителем, и что x + 2 остается после факторизации x + 3. Установив множители равными нулю, я получаю, что x = -3 и x = -2 являются нулями квадратного числа.

В синтетическом делении я разделил на x = -3 и получил тот же результат x + 2 с остатком, равным нулю. Поскольку остаток равен нулю, это означает, что x + 3 является множителем, а x = -3 является нулем. Кроме того, из-за нулевого остатка x + 2 — это оставшийся множитель после деления. Приравняв это значение к нулю, я получаю, что x = -2 является другим нулем квадратного числа.

Я буду возвращаться к этой связи между множителями и нулями в дальнейшем; эти две темы неразрывно связаны.

URL: https://www.purplemath.com/modules/synthdiv.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в синтетическом делении. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

Пожалуйста, примите «предпочтительные» файлы cookie, чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

Страница 2Страница 3Страница 4

Система линейных уравнений может привести к матричной форме. Каждый уравнение становится строкой, и каждый переменная становится столбцом. Ан добавлен дополнительный столбец для справа. Система показаны линейные уравнения и результирующая матрица.

Система линейных уравнений…

 3x + 2y - 4z = 3
2x + 3y + 3z = 15
5x - 3y + z = 14

становится расширенной матрицей…

х	и	г	правая сторона
3	2	-4	3
2	3	3	15
5	-3	1	14

Цель при решении системы уравнений состоит в том, чтобы по возможности привести расширенную матрицу к сокращенной ступенчато-строковой форме.

Существуют три элементарные операции со строками, которые можно использовать для размещения матрицы в редуцированная рядно-кулисная форма.

Каждое из требований редуцированной ступенчато-строковой матрицы может быть удовлетворено с помощью элементарной строки операции.

Если есть строка, состоящая только из нулей, то она находится внизу матрицы.
Поменяйте местами две строки матрицы, чтобы переместить строку со всеми нулями вниз.
Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
Умножить (разделить) строку на ненулевую константу, чтобы сделать первый ненулевой элемент в один.
Ведущий в любом ряду находится справа от ведущего в предыдущем ряду.
Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку. Суть этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы превратить числа в нули. Делая числа под ведущими в ноль, он заставляет первый ненулевой элемент любой строки быть справа от ведущего предыдущего ряда.
Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку. смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы сделать числа равными нулю. Разница здесь что вы очищаете (обнуляете) элементы над ведущим, а не чуть ниже ведущий.

Что такое поворот?

Цель поворота — сделать элемент выше или ниже ведущего в ноль.

«Опорный элемент» или «опорный элемент» — это элемент в левой части матрицы. что вы хотите элементы выше и ниже равны нулю.

Обычно этот элемент равен единице. Если вы можете найти книгу, в которой упоминается поворот, они, как правило, сказать вам, что вы должны развернуться на один. Если ограничиться тремя элементарными рядами операций, то это верное утверждение.

Однако, если вы хотите объединить вторую и третью элементарные операции над строками, вы придумать еще одну операцию над строками (не элементарную, но все же допустимую).

Вы можете умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к ненулевому кратному другой строку, заменяя эту строку.

И что? Если вам необходимо развернуться на одном, то вы должны иногда использовать второй элементарную операцию со строкой и разделить строку на ведущий элемент, чтобы сделать ее единицей. Деление приводит к дробям. Хотя дроби — ваши друзья, вы с меньшей вероятностью сделаете ошибку если вы их не используете.

В чем подвох? Если вы не будете ориентироваться на единицу, вы, вероятно, столкнетесь с большими числами. Самый люди готовы работать с большими числами, чтобы избежать дробей.

Сводной процесс

Поворот работает, потому что общее кратное (не обязательно наименьшее) общее кратное) двух чисел всегда можно найти путем умножения два числа вместе. Возьмем пример, который у нас был раньше, и очистить первую колонку.

х	и	г	правая сторона
3	2	-4	3
2	3	3	15
5	-3	1	14

Полезные советы

Хоть и не надо вертеться на один, но очень желательно. Поворот на единицу означает, что вы умножаете на 1 (что легко сделать).
Поворачиваться по главной диагонали приятно, но не обязательно. Некоторым людям нравится начинать с верхнего левого угла и двигаться вниз к Нижний правый.
Если вы поворачиваете только один раз для строки и столбца, столбцы, которые были очищены, останутся очищенными.
Поскольку целью поворота является очистка столбца свода, выбор столбец, в котором уже есть нули, экономит время, потому что у вас нет чтобы изменить строку, содержащую ноль.

Выбор оси

Выберите столбец с наибольшим количеством нулей.
Использовать строку или столбец только один раз
Развернуть на один, если возможно
Поворот по главной диагонали
Никогда не поворачивайте на ноль
Никогда не поворачивайте на правую сторону

Поскольку в первом ряду никого нет, у нас есть два варианта: Либо мы делим первую строку на три и работаем с дробями, или делаем поворот на три и получить большие числа. Это тот вариант, который я собираюсь использовать. я повернусь на тройке в R ₁ C ₁ . Идите вперед и обведите это как опорный элемент. В зависимости от вашего браузера вы могут видеть элементы поворота, обведенные красным или просто с * перед ним.

х	г	г	правая сторона
*3	2	-4	3
2	3	3	15
5	-3	1	14

Идея состоит в том, чтобы превратить числа в рамку (желтые) в ноль. Использование комбинированного операция строки (это не элементарная операция), это может сделать 3R ₂ — 2R ₁ → R ₂ и 3R ₃ — 5R ₁ → R ₃ .

Единственная неизменяемая строка — это строка, содержащая опорный элемент (элемент 3). Весь смысл процесса поворота состоит в том, чтобы сделать значения в прямоугольниках равными нулю. Перепишите сводную строку и очистите (обнулите) опорную колонку.

х	и	г	правая сторона
*3	2	-4	3
0
0

Чтобы заменить значения в строке 2, каждый новый элемент получается путем умножения элемент заменяется во второй строке на 3 и вычитается в 2 раза элемент в первом строку из того же столбца, что и заменяемый элемент.

Чтобы выполнить поворот, поместите один палец на шарнир (обведен кружком). номер), и один палец на заменяемом элементе. Перемножьте эти два числа вместе. Теперь поместите один палец на цифре в рамке в той же строке, что и элемент, который вы замена и другого пальца в поворотном ряду и то же самое столбец как номер, который вы заменяете. Умножьте эти два числа вместе. Возьмите изделие с осью и вычесть произведение без опоры.

х	и	г	правая сторона
*3	2	-4	3
2	3	3	15
5	-3	1	14

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₂ , вы должны взять 3(3) — 2(2) = 9 — 4 = 5.

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₃ , вы должны взять 3(3) — 2(-4) = 9 + 8 = 17.

Чтобы заменить 15 в R ₂ C ₄ , вы должны взять 3(15) — 2(3) = 45 — 6 = 39.

Чтобы заменить -3 в R ₃ C ₂ , вы должны взять 3(-3) — 5(2) = -9 — 10 = -19.

Для замены 1 в R ₃ C ₃ , вы должны взять 3(1) — 5(-4) = 3 + 20 = 23

Чтобы заменить 14 в R ₃ C ₄ , вы должны взять 3(14) — 5(3) = 42 — 15 = 27.

Вот как выглядит процесс.

х	и	г	правая сторона
поворотный ряд, копия 3	поворотный ряд, копия 2	поворотный ряд, копия -4	поворотный ряд, копия 3
поворотная стойка, прозрачная 0	3(3) — 2(2) 5	3(3) — 2(-4) 17	3(15) — 2(3) 39
поворотная стойка, прозрачная 0	3(-3) — 5(2) -19	3(1) — 5(-4) 23	3(14) — 5(3) 27

Или, если убрать комментарии, то матрица после первого пивота выглядит так.

х	и	г	правая сторона
3	2	-4	3
0	5	17	39
0	-19	23	27

Пришло время повторить весь процесс. Проходим и выбираем другое место для разворота. Мы хотел бы, чтобы это было на главной диагонали, единице или имело нули в столбце. К сожалению, у нас не может быть ни того, ни другого. Но так как мы должны умножить все другие числа по оси, мы хотим, чтобы она была маленькой, поэтому мы будем поворачиваться на 5 в Р ₂ C ₂ и удалите 2 и -19.

х	и	г	правая сторона
3	2	-4	3
0	*5	17	39
0	-19	23	27

Начните с копирования сводной строки (2-я строка) и очистки сводного столбца (2-я строка). столбец). Ранее очищенные столбцы останутся очищенными.

х	и	г	правая сторона
	0
0	*5	17	39
0	0

Вот расчеты для нахождения следующего взаимодействия. Будьте внимательны в 3-ю строку, где мы вычитаем -19 раз значение. Поскольку мы вычитаем минус, я пошел дальше и написал плюс 19.

х	и	г	правая сторона
5(3) — 2(0) 15	поворотная стойка, прозрачная 0	5(-4) — 2(17) -54	5(3) — 2(39) -63
поворотный ряд, копия 0	поворотный ряд, копия 5	сводная строка, копия 17	поворотный ряд, копия 39
ранее очищенный 0	поворотная стойка, прозрачная 0	5(23) + 19(17) 438	5(27) + 19(39) 876

И полученная матрица.

х	и	г	правая сторона
15	0	-54	-63
0	5	17	39
0	0	438	876

Обратите внимание, что все элементы в первой строке кратны 3, и все элементы в последней строке кратны 438. Мы разделим, чтобы уменьшить количество строк.

х	и	г	правая сторона
5	0	-18	-21
0	5	17	39
0	0	1	2

Это дало нам дополнительное преимущество: 1 именно там, где мы хотим, чтобы оно было вращаться. Итак, мы вернемся к 1 в R ₃ C ₃ и очистим -18 и 17. Обведите вашу ось и обведите остальные числа рамкой. этот столбец, чтобы очистить.

х	и	г	правая сторона
5	0	-18	-21
0	5	17	39
0	0	*1	2

Скопируйте вниз сводную строку и очистите сводную колонку. Ранее очищенные столбцы останется очищенным до тех пор, пока вы не выполните поворот в строке или столбце дважды.

х	и	г	правая сторона
	0	0
0		0
0	0	*1	2

Обратите внимание, что с каждым разом нужно выполнять меньше вычислений. Вот расчеты для этой опоры. Опять же, поскольку значение в сводном столбце в первая строка -18 и мы вычитаем, я написал это как + 18.

х	и	г	правая сторона
1(5) +18(0) 5	ранее очищено 0	поворотная стойка, прозрачная 0	1(-21) + 18(2) 15
ранее очищенный 0	1(5) — 17(0) 5	поворотная стойка, прозрачная 0	1(39) — 17(2) 5
поворотный ряд, копия 0	поворотный ряд, копия 0	поворотный ряд, копия 1	поворотный ряд, копия 2

И полученная матрица.

х	и	г	правая сторона
5	0	0	15
0	5	0	5
0	0	1	2

Обратите внимание, что первая и вторая строки кратны 5, поэтому мы можем уменьшить их. ряды.

х	и	г	правая сторона
1	0	0	3
0	1	0	1
0	0	1	2

И окончательный ответ: x = 3, y = 1 и z = 2. Вы также можете записать это как упорядоченная тройка {(3,1,2)}.

Надеюсь, вы заметили, что когда я работал над этим примером, я не следовал подсказкам Я дал. Это потому, что я хотел, чтобы вы увидели, что произойдет, если вы не развернетесь. на одном. Был один, на главной диагонали, в исходной матрице, и было бы лучше начать там.

Резюме

Тщательно выбирайте поворотный элемент.
Выбор столбца с нулями означает меньший поворот.
Выбор единицы в качестве опорной уменьшает числа, упрощает умножение и оставляет ненулевые элементы в очищенном столбце одинаковые (менее поворотные)
Поворот по главной диагонали означает, что вам не придется переключать ряды, чтобы поместить матрицу в редуцированная рядно-кулисная форма.
Не поворачиваться на ноль.
Не поворачиваться на правую сторону.
Использовать строку или столбец только один раз
Берем произведение с осью минус произведение без стержня

Особые случаи

Если вы получили строку со всеми нулями, кроме правой части, то система не имеет решения.