вычислительные навыки в начальной школе

Продолжаем тему  «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В предыдущей статье мы рассмотрели такие линии, как «нумерации» и «величины». Продолжим далее по списку, представленному в предыдущей статье, и рассмотрим освоение учениками начальной школы вычислительных навыков.

Сложение и вычитание

В первом классе начальной школы дети осваивают сложение и вычитание в пределах 10, а также в пределах 100 без перехода через десяток.

Во втором классе сложение и вычитание осваивается уже сначала в пределах 20 с переходом через десяток, затем в пределах 100, также с переходом через десяток. Также осваивается письменное вычисление двухзначных чисел «в столбик».

В третьем классе осваивается сложение с переходом через разряд в пределах 10000, а также вычитание с переходом через разряд в пределах 1000. Дети устно складывают и вычитают круглые числа в пределах 1000, письменно – трехзначные числа.

В четвертом классе осваивается сложение и вычитание многозначных чисел, уже в пределах 1000000. Устно складывают и вычитают круглые числа, такие как тысячи и миллионы, а письменно – многозначные числа в пределах миллиона.

На нашем сайте Вы можете посмотреть видеоуроки сложение и вычитание.

Умножение и деление

Освоение таких вычислительных навыков, как умножение и деление начинается со второго  класса, здесь осваивается таблица умножения, а также соответствующие случаи деления.

В третьем классе осваивается умножение трехзначных чисел на однозначное число, а также деление с остатком. Деление осуществляется трехзначных чисел на однозначное число, берутся простые случаи. Устно осуществляется внетабличное умножение двухзначных чисел на однозначные, умножение и деление на 10 и на 100, а также умножение и деление десятков на однозначное число. Письменно умножаются и делятся трехзначные числа на однозначные.

В четвертом классе осваивается умножение и деление многозначных чисел на двухзначные и трехзначные числа в пределах миллиона. Устно вычисляются круглые числа, а именно умножение и деление на двузначное число в пределах 100. Письменно умножаются и делятся многозначные числа на двузначные и трехзначные числа.

О том, что такое умножение и деление Вы можете прочитать на нашем сайте, а также здесь Вы можете найти информацию о том как выучить таблицу умножения.

На этом мы прервем наши исследования и продолжим их в следующей статье “найти значение выражения“.

Если вы хотите получать информацию о новых статьях и проектах нашего сайта, то подпишитесь на рассылку новостей сайта. Всего вам наилучшего и успехов. Спасибо.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Умножение в 4 классе

Форумы

Вход

21. 11.2018 14:41

Народ, ваши дети-4 клашки умножают в столбик 4-5 значные числа? Наша учительница постоянно дает задания на перемножение больших чисел. Не 5значное на однозначное, а 5значное на 4значное, или даже на 5значное… Не пойму, к чему это … Отработать навык умножения вполне можно на трехзначных числах. Или кто-то в ходе вычислений в средней школе будет такие числа считать не на калькуляторе?? Огромный столбик с кучей приписанных промежуточных цифр, дети путаются… Или сейчас везде такое??

Anonymous

21.11.2018 14:43

На уроках математики калькулятора нет никогда. Так что будут считать в столбик до выпуска. Молодец ваша учитель.

Anonymous

21.11.2018 14:48

Мой сын учится в 7 классе. Ни разу еще такие числа не понадобилось перемножать.. ни на математике/алгебре, ни на физике. .. Лицей, если что.

Anonymous

21.11.2018 14:49

регионы я так понимаю?

Светланацветик KF

21.11.2018 15:16

Москва.

Anonymous

21.11.2018 15:23

ах-ха, в столбик только в Маскве умножают, да, особенно если больше 3-значных

Anonymous

21.11.2018 15:14

Нужды в таком умножении может и нет (гляну в тетрадку ребенка, посмотрю), но вот научиться концентрироваться, не путаться, очень важно. Хотя в четвертом классе может быть это слишком жестко, не знаю. Наших четвероклашек больше учат устному счету на скорость. Умножать четырехзначные в столбик пока не заставляют.

Anonymous

21.11.2018 14:48

разницы нет умножать трёхзначные или 10 значные-правило одно и то же, а учитель молодец-заставляет детей руку набивать.

Светланацветик KF

21.11.2018 15:18

Скажите, вы в принципе рассуждаете, или у вас дети-школьники, которые так же постоянно решают такие примеры? В учебных программах примеры максимум 3 значные.

Anonymous

22.11.2018 13:11

у вас деточка считать не умеет, и поэтому вы беспокоитесь? учите считать. на огэ и егэ калькуляторов нет, а числа могут попасться любые

Anonymous

22.11.2018 13:30

Моя деточка считает на 4 и 5, не переживайте.

Anonymous

26.11.2018 12:30

так в чём тогда проблема? умножение больших чисел тренирует мозги, так же как и сложение нескольких чисел в уме. учит держать в уме не одно действие, а несколько. ну и внимательность тоже развивает

Anonymous

21. 11.2018 16:19

конечно умножали какая разница сколько разрядов, если приемом владеешь именно и важно научиться аккуратно расписывать большие столбики, этому и учат калькуляторы разрешены только на физике умножение — фигня, потом корни начнутся и не только простые квадратные и без калькулятора )))

Dezzi SD*

21.11.2018 15:22

Хотелось бы увидеть ответы мам 4 клашек) Потому что я тоже могу рассуждать о том, как это классно, перемножать миллиарды, учить 15 стихотворений каждую неделю, сдавать нормы ГТО на каждой физре, пересказывать 20страничные тексты итд)) Нуачё такоВа. Это ж полезные навыки!))) Хочу понять, в других классах это то же считают, или ограничиваются более простыми вариантами.

Anonymous

21.11.2018 15:29

У нас считали, а еще цифровые цепочки с определенной последовательность в 12-18 действий.

Это супер автоматизирует навыки счета и развивает внимательность. Сейчас, в 6 классе, огромное отличие от ученика , который только пришел в класс. Ему за моим в счете ( и в минимуме ошибок) никак не угнаться, хотя у меня абсолютно нематематический ребенок.

Katarinochka SD**

21.11.2018 15:35

Я мамам 4-клашки. Второй ребенок сейчас в 6-м классе. Миллиарды не перемножаем, по 15 стихотворений не учим, нормы ГТО не сдаем (но дополнительно футбол, пионербол и другие подвижные игры каждую неделю), большие тексты не пересказываем. Зачем утрировать? Пятизначные на пятизначные мои перемножают и перемножали. Считаю это нормальным.

Anonymous

21.11.2018 15:42

То есть у вас тоже на постоянной основе такие большие примеры? Не в целом, иногда взять и перемножить, а реально почти каждый день? Я полагаю, гораздо полезнее было бы тренировать перевод единиц, к примеру скорости из км/ч в м/с и так далее. Потому что вот это уж точно потом часто нужно будет на той же физике. И надо быстро ориентироваться… Или, опять же, часто требуется быстро считать проценты и доли, вот это тоже нужно тренировать…

Anonymous

21.11.2018 15:49

Что полезнее решает учитель 🙂 На проценты их в 5-6-м классе будут хорошо гонять. И перевод единиц там же.

Anonymous

21.11.2018 16:23

Вам до физики еще 2 года, если конечно класс не углубленный будет, сто раз еще все забудется)))

Anonymous

21.11.2018 15:46

Честно говоря, в этой четверти я ребенковые уроки отдала полностью под ее ответственность, не знаю что проходят по матике. В конце октября умножали и делили многозначные числа на однозначные. Ну или на 100 типа. У моей математика Моро, довольно просто все. Как умножить 54876 на 4978 мой ребенок не в курсе.

а ещё в очках! H*

21.11.2018 18:30

Моро очень простенький учебник,неолимпиалного уровня.

Katarinochka SD**

21.11.2018 19:59

Я в курсе)

а ещё в очках! H*

21.11.2018 16:26

у других мам дети уже уравнения высших степеней решают и с радикалами не к ночи Безу с Фалесами будь помянуты и это только кажется, что до них от 4 класса еще далеко на их фоне умножение хоть бы и 10значного — как веселый отдых в переменку кстати в столбик еще и делят и не только простые во всех смыслах числа, а целые уравнения так что не жалуйтесь на прыжки со скакалкой перед прыжками с парашютом тренировочная рутина не развлекательна, но необходима для следующего уровня

Dezzi SD*

22. 11.2018 11:15

Петерсон? Там такое делают…заглядываю и закрываю. Если ребёнок тянет, как мой, ну…пусть решает.

Anonymous

23.11.2018 14:01

У нас и умножают и деление сейчас началось. Есть кстати тренажер Узоровой/Нефедовой. У меня от старших остался. С большими числами. Мой практикуется еще и там

Anonymous

21.11.2018 15:42

конечно нормально. А что вас удивляет?

Šedevr H*

21.11.2018 15:45

Меня удивляет то, что в программе 4класса таких примеров не предусмотрено. Вроде, если это так нормально, то и в заданиях это должно быть, в рабочей те ради, в учебнике, нет? В мое время мы точно никогда 5значные на 5 значные не множили.да, я умела это делать. Но мы не решали эти примеры по полурока каждый день.

Anonymous

21.11.2018 15:50

Программы есть разные. В Вашей не предусмотрено, в других предусмотрено. Учитель молодец, что не зацикливается на одной программе, а дополняет уроки упражнениями из других программ.

Anonymous

21.11.2018 16:04

Ну а что вы страдаете? Неужели в вашей школе не найдётся класса с учителем-пофигистом и программой уровня «не бей лежачего»? А учитель молодец. Таких сейчас очень мало.

onbor SD

21.11.2018 16:08

Ваш учитель дает более сложные задания, это факт. Тем не менее они на материал, который в 4 классе знают. И это очень полезные задания. Что еще вам добавить? Считаете нужным заниматься чем-то другим? Подойдите к учителю с этим предложением. А, кстати, чем? что они не проходят, занимаясь этим?

Anonymous

21. 11.2018 16:10

да же не знаю что это за программа.. В обычном учебнике Моро, Гейдмана, и в той же Петерсон, такие примеры предусмотренны. Мымножили, причем и в 5 классе помню были. Длинные примерыв несколько действий.. ненавидела жуть.

Šedevr H*

21.11.2018 15:54

Мы считаем такое в 3 классе (умножение). Деление многозначных на двузначные. Раскрываем скобки и ты пы. Навык, я считаю, полезный.

onbor SD

21.11.2018 16:06

Вы в 3 классе решаете примеры по типу 12345*12345? Позвольте Вам не поверить))

Anonymous

21.11.2018 16:11

Если математика по Петерсон то очень может быть, мне кажется у сына чуть ли не со второго класса огромные примеры были с огромными числами.

Anonymous

21.11.2018 16:15

Нет такого в Петерсоне в 3м классе. Есть длинные примеры, но никаких умножений 6и значных чисел нет. И в 4м тоже.

Anonymous

21.11.2018 16:17

В Петерсоне может быть и нет, а в учебнике Петерсон было.

Anonymous

21.11.2018 16:20

Есть такие

Šedevr H*

21.11.2018 16:37

Это класс?

Anonymous

21.11.2018 16:40

3

Šedevr H*

21.11.2018 16:53

Вы задание то прочитайте.. Там дано произведение, через которое ответ находится. Тут нет умножения в столбик многозначных чисел. Это примеры на сложение и вычитание.

Anonymous

21.11.2018 17:12

Там ниже посмотрите:) и вот тут целая тема

Šedevr H*

21.11.2018 17:34

Посмотрела ниже. И там нет умножения многозначных на многозначные в столбик. А урок 21 — это ПОСЛЕДНИЙ урок З класса. 🙂

Anonymous

21.11.2018 17:46

Не все идут линейно по учебнику. У Петерсон очень скачут темы. Понятие многозначных чисел вводится примерно в октябре — это уроки 18-30 части 1. У нас решили продолжить эту тему, усложнить для закрепления принципа, а потом уже переходить к другим. И что вы уперлись… :mda

onbor SD

21.11.2018 18:11

что не мешает умножать столбиком двух и более значные числа уже раньше. И что последнию тему уже не надо делать? Хотя вы правы, учителя часто не успевают пройти учебники целиком.. и половина остается непройденной.

Šedevr H*

21.11.2018 18:28

У меня двое детей закончили началку по Петерсон. Это прекрасный учебник, я его хорошо знаю. Сейчас у меня есть третьеклассник, который учится по Ивановой. Они прошли умножение трехназначных чисел на трехзначные в столбик. Но пятизначные на пятизначные не умножают. И уж конечно не тратят по полурока на один такой пример. На это просто нет времени. И если учитель из стартового поста занимается такой ерундой, значит дети пропускают более важные темы.

21.11.2018 18:34

Нет, почему полурока на один пример. На уроке примера четыре таких решается, плюс пара задачек

Anonymous

21.11.2018 21:31

длинные примеры обычно идут в дз. Ну и произволительность труда:) у всех коннчно разная , однако мало кто из детей, идущих по петерсон , делает пример один полчаса.. такие дети подобные примеры в 5-6 классе решают, а не в 3 и 4. В среднем длинный пример загимает не более 5 минут. И все оавно у хорршего учителя это не классная работа.

Šedevr H*

21.11.2018 22:12

Вот лучше бы они длинными примерами занимались. Или уравенениями сложными с раскрытием скобок и всеми изученными арифметическими действиями. Задачами сложными….чем просто перемножать числа.

22.11.2018 10:35

А зачем оно в 3 классе то? Началка ка раз время отработки для более простых навыков

Anonymous

21.11.2018 16:29

наверняка есть, там умножение очень рано начинается и в конце второго — умножение трехзначных (смотрела учебник за 2 класс — впечатлилась) Гейдман помедленнее примерно на полгода

Dezzi SD*

21. 11.2018 17:23

Есть, решаем

♋Русалка К ✹ ✺ ✻ D*

21.11.2018 16:37

Ну и не верьте. Ваше право. У Петерсон это есть. Кроме того, похожие примеры встречаются в разного рода тренажерах.

onbor SD

21.11.2018 16:33

Я , наоборот, даю сыну такие примеры, хотя в учебнике их нет. Да, в 5-6 классах они понадобятся.

♋Русалка К ✹ ✺ ✻ D*

21.11.2018 17:31

+100. Добавлю ещё (ну у меня свой шкурный интерес), что практически на всех вступительных экзаменах в 5 класс более-менее сильных школ по математике такие примеры были, есть и, если верить демоверсиям и рекомендациям с сайтов школ, будут.

onbor SD

22. 11.2018 15:30

+ бывают в ВПР+ вообще полезно в уме многоходовые операции совершать.

♋Русалка К ✹ ✺ ✻ D*

22.11.2018 16:41

В Впр перемножение 5значных чисел??? Вы давно вариант Впр смотрели?)))

Flow SD*

23.11.2018 14:06

ВПР вообще неизвестно на кого рассчитаны. После Петерсон за полурока в прошлом году весь класс сделал

Anonymous

26.11.2018 18:39

Я про 5 класс, в прошлом году и во входной работе МЦКО было. Весь 4 класс- это 1 четверть 5, там важно все хорошо отработать.

♋Русалка К ✹ ✺ ✻ D*

21.11.2018 17:54

Ну а если бы вы только решали примеры и все? Максимум- простейшие задачи на скорость. . тогда вас тоже бы устраивали эти ежедневные тренировки «калькуляции»? Я реально не понимаю, в 4 классе ничего больше не надо? Считать, считать и считать?

Anonymous

21.11.2018 19:26

а что надо ?дифференцировать?

Šedevr H*

21.11.2018 19:42

Решать разные типы задач, не?

Anonymous

21.11.2018 19:46

а что одно другому мешает? Там я дала фото из учебника, посмотрите, там очень разнэ задания, естественно все учат щхитать. Потому я и люблю этот учебник:) Хотя конечно уже в 8 классе ох уж эти стобики примеров и примеров:))) правда уже не прсото умножениие и деление:)

Šedevr H*

21.11.2018 19:58

А я вам отвечаю, что у нас на уроках дети в основном ТОЛЬКО перемножают!!! Вот я и задаюсь вопросом. Зачем это в таких количествах. И так ли это и в других 4 классах

Anonymous

21.11.2018 21:15

Ну я то причем, вы выбрали школу. Можете дома заниматься, все в ваших руках. Ктото школу меняет.

Šedevr H*

21.11.2018 22:11

Ну менять школу за полгода до окончания началки бессмысленно… Когда выбирали, ожидали другого)))

Anonymous

22.11.2018 07:47

Откуда вы знаете, что на уроках в основном только перемножают? Вы были на нескольких уроках? Не надо говорить, что это говорит так ваш ребенок. Дети скажут то, что вам хочется услышать. Если ребенку лень перемножать, то можно маме сказать и мама будет негодовать о правильности преподавания. Главное, стрелки перевести на другого. Если знаете, что и как преподавать, идите в школу работать. У вас будет самое эффективное преподавание.

Anonymous

22.11.2018 08:59

Не надо так нервничать. Откуда я знаю? Потому что я вижу тетради с классными работами, я вижу постоянные самостоятельные и контролтные на эту тему. Где я писала о том, что моему ребенку лень умножать?

Anonymous

22.11.2018 09:36

3 месяца только перемножают? Значит уже должны были научиться)))

Anonymous

22.11.2018 09:39

О чем и речь))))

Anonymous

23.11.2018 14:12

Противоречие. В начале топа вы пишите, что дети путаются.

Anonymous

27.11.2018 12:25

неважно, сколькизначное число… я так понимаю, учитель доводит до автоматизма сам принцип перемножения. мне кажется, наоборот, это хорошо… мне бы понравилось. в 4 классе тоже умножала дочь, не помню, правда, какие цифры, но точно помню, что столбик присутствовал

МамаКатя KF**

27.11.2018 13:44

Ну вряд ли бы вам понравились сплошняком перемножение 5значных чисел на большинстве уроков)) А то, что в 4 классе умножают в «какой-то столбик»- это конечно хорошо, и никто и не спорит!

Anonymous

Открыть в форуме

Что такое множитель в математике? Определение, множимое, примеры

Множитель: введение

Множитель играет важную роль в основной арифметической операции умножения, как и множимое, как показано на рисунках ниже. Но что такое множитель? Как мы можем определить его вместе с множимым и использовать его для нахождения произведения? Чтобы узнать ответы на эти вопросы, читайте дальше!

Родственные игры

Множитель: Определение

Множитель — это коэффициент, который усиливает или увеличивает базовое значение чего-либо еще.

Например, в операторе умножения $3 \times 4 = 12$ множитель 3 увеличивает значение 4 до 12.

Но так может быть не всегда.

• Если множитель равен 1, значение множимого в произведении остается прежним. Например: $1 \times 4 = 4$.
• Если множитель равен 0, значение множимого уменьшается в произведении до нуля. Например: $0 \times 4 = 0$.

В случае вертикального умножения множителем является число сверху.

В случае горизонтального умножения множителем является крайнее левое число.

Связанные рабочие листы

Что такое множитель и множимое?

Умножение — одна из четырех основных арифметических операций. Это результат объединения групп одинакового размера. Умножение обычно обозначается крестиком (×).

Здесь в каждой группе по 6 конфет, а таких групп 3. Итак, всего 3 раза по 6 или 6 долларов + 6 + 6 долларов или 18 конфет.

Численно мы также можем записать 3 умножить на 6 как $3 \times 6 = 18$.

Количество объектов в каждой группе называется множителем. Количество таких равных групп называется множителем.

Наконец, результат умножения двух чисел называется произведением.

Как найти множитель

Чтобы понять эту концепцию, давайте рассмотрим несколько примеров:

В горизонтальном способе написания оператора умножения множитель — самое левое число.

В методе умножения с вертикальным столбцом множитель — это число сверху.

Когда мы изображаем умножение на числовой прямой, множитель — это количество прыжков, которое требуется, чтобы получить произведение.

Например: 3 доллара США умножить на 4 = 12 долларов США. Давайте разберем их на примере.

$5 \× 6 =$ ?

Здесь 5 — это множитель , и 6 — множимое.

В одну сторону : Сложение множимого в соответствии с числом множителя.

Другой способ : Простое умножение множителя на множимое.

Чтобы найти произведение таким образом, нам нужно иметь в виду таблицу умножения.

Интересные факты!

Когда мы умножаем два числа, порядок не имеет значения.

То есть:

$2 \times 3 = 3 \times 2$.

$2 \times 3 = 3 + 3 = 6$

$3 \times 2 = 2 + 2 + 2 = 6$

Таким образом, когда мы меняем порядок умножения чисел, множимое и множитель обменять.

Заключение

Множитель в математике — это число, на которое умножается множимое (другое число). Обычно это самое верхнее число в методе столбца и самое левое число в методе горизонтального умножения.

Множитель , наряду с множимым, помогает найти произведение путем многократного сложения или умножения. Оба используются для нахождения произведения целых чисел, дробей, десятичных дробей и многих других чисел.

Решенные примеры на множитель

1. Лиза должна решить $7 \times 9$ . Она хочет знать, что такое множитель и множимое в этом вопросе. Помогите ей, сказав ей ответ согласно горизонтальному методу умножения.

Решение: В $7 \times 9$, согласно горизонтальному методу умножения:

• 7 множитель (крайнее левое число)
• 9 это множимое

2. Найдите 25$ \умножить на 5$ .

Решение: Чтобы найти произведение, нам нужно умножить множитель на множимое.

25$\умножить на 5 = 125$.

3. Определить $6 \× 8$ с использованием повторного добавления.

Решение: Чтобы найти произведение повторным сложением, нужно прибавить множимое (8) к числу множителя (6).

8$ + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48$.

4. Используя метод умножения в столбик, Шей должен решить $15 \times 30$ .

Каким будет множитель и множитель в этом вопросе?

Решение: Согласно методу умножения столбцов, мы можем записать вопрос в следующем виде:

    $15 \times 30$

Здесь множитель (самое верхнее число) равен 15, а множимое равно 30.  

5. Найдите 90 012 $1 \умножить на 99$ . Увеличивает ли произведение значение множимого?

Решение: $1 \times 99 = 99$. Поскольку множитель равен 1, значение множимого не увеличивается и остается неизменным при нахождении произведения.

Практические задачи на множитель

1

Найдите произведение множителя множителя, где 10 — множитель, а множимое равно 35.

350

360

340

330

Правильный ответ: 350
$10 \times 35 = 350$.

2

Укажите верно или неверно. Согласно горизонтальному методу умножения, множитель в 159$\умножить на 250$ будет 250$.

Верно

Ложно

Правильный ответ: Ложно
Согласно горизонтальному методу умножения множителем является крайнее левое число. Итак, здесь
, множитель будет 159.

3

Выберите правильный вариант.

$51 \times 2 = 104$

$51 \times 2 = 112$

$51 \times 2 = 102$

$51 \times 2 = 92$

Правильный ответ: $51 \умножить на 2 = 102$
При умножении 51 на 2 получится 102, а не 92, 104 и 112.

4

Как изменится значение множимого при умножении 0 на 64?

Увеличить

Уменьшить

Оставить без изменений

Как увеличить, так и уменьшить

Правильный ответ: Уменьшить
$0 х 64 = 0$. Таким образом, значение множимого уменьшится.

5

Найдите неверный вариант.

6 $ + 6 + 6 + 6 = 24 $.

12$ + 12 = 24$.

8$ + 8 + 8 = 24$.

4$ + 4 + 4 + 4 + 4 = 24$.

Правильный ответ: 4$ + 4 + 4 + 4 + 4 = 24$.
Так как 6$\умножить на 4 = 24$
Итак, 6 умножить на 4 будет 24; не 5 раз 4.
4$ + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24$.

Часто задаваемые вопросы о множителе

Что является обратным умножению?

Умножение обратное делению.

Помогают ли множитель и множимое найти произведение дробей?

Да, множитель и множимое помогают найти произведение дробей.

Возьмем $\frac{4}{1} \times \frac{2}{3}$.

Чтобы найти произведение, нам нужно сложить множимое $(\frac{2}{3})$ четыре раза (число, обозначающее множитель).$\frac{2}{3} + \frac{2 {3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 83$

Можете ли вы представить умножение с любым другим знаком, кроме креста?

Умножение также может быть представлено знаком точки (2·3), круглыми скобками (2)(3) или просто записью переменных рядом друг с другом (ab).

умножение и деление дробей

Содержание

Умножение и деление в математике — две из четырех основных операций. Умножение — это не что иное, как повторяющееся сложение, которое означает добавление определенного количества раз. Точно так же деление представляет собой повторяющееся вычитание, что означает равное группирование или деление количества на определенное количество групп.

Возможно, вы знакомы с операциями умножения и деления и их правилами с целыми и целыми числами. Точно так же умножение и деление дробей имеют свой собственный процесс и правила. Давайте разберемся, как выполняются умножение и деление правильных и неправильных дробей. Процесс для смешанных дробей немного отличается от правильных и неправильных дробей.

Умножение дробей

Существенным условием при сложении и вычитании дробей является то, что знаменатели дробей должны быть одинаковыми или дроби должны быть подобны дробям.

Но умножение дробей не похоже на сложение или вычитание дробей Здесь вы можете умножать любые две дроби с разными знаменателями.

Единственное, что нужно иметь в виду, это то, что дроби не должны быть смешанными дробями, они должны быть либо правильными дробями, либо неправильными дробями. Давайте научимся умножать правильные и неправильные дроби.

Шаги для умножения дробей

Шаги, связанные с умножением правильных и неправильных дробей:

Шаг 1: Умножьте числители.

Шаг 2: Умножьте знаменатели.

Шаг 3: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: $\frac {3}{5} \times  \frac {7}{11}$ 

Умножить числители: $3 \times 7 = 21$

Умножить знаменатели: $5 \times 11 = 55$

Следовательно, $ \frac {3}{5} \times \frac {7}{11} = \frac {3 \times 7}{5 \times 11} = \frac {21}{55 }$

Пример 2: $\frac {2}{3} \times \frac {9}{14}$

Умножить числители: $2 \times 9 = 18$

Умножить знаменатели: $3 \times 14 = 42 $

Следовательно, $ \frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {2 \times 9}{3 \times 14} = \frac {18}{42}$

Примечание: $ \frac {18}{42}$ не находится в самой низкой или простой форме. ($18$ и $42$ имеют общие делители)

Теперь приведем $\frac {18}{42}$ к наименьшей форме

$ \frac {18}{42} = \frac {9}{21}$ (Деление числителя и знаменателя на $2$)

$ \frac {9}{21} = \frac {3}{7}$ (Деление числителя и знаменателя на $3$)

Поскольку, $\ frac {3}{7}$ находится в низшей форме, поэтому $ \frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {3}{7}$

Альтернативный метод

$\frac {2}{3} \times \frac {9}{14} = \frac {2 \times 9}{3 \times 14} = \frac {1 \times 9}{3 \times 7}  =   \frac {1 \times 3}{1 \times 7} = \frac {3}{7}$

Умножение дробей с использованием визуальных моделей

Теперь давайте посмотрим, как мы можем визуализировать умножение дробей, сначала взяв пример с двумя простыми дробями.

$ \frac {1}{2} \times \frac {1}{3}$

Для визуализации умножения $\frac {1}{2}$ и $\frac {1}{3}$ нарисуйте прямоугольник и разделите его длину на $2$ равных частей. Каждая часть (столбец) будет представлять $\frac {1}{2}$ всего прямоугольника. А затем разделить его ширину на $3$ равных частей. Каждая часть (строка) будет представлять $\frac {1}{3}$ всего прямоугольника.

Часть, заштрихованная синим, составляет $1$ часть (столбец) из $2$ частей (столбцов) прямоугольника. Часть, заштрихованная желтым цветом, составляет $1$ часть (строку) из $3$ частей (строк) прямоугольника

Теперь визуализируйте эти две фигуры вместе и наблюдайте общая часть $\frac {1}{2}$ и $\frac {1}{3}$ прямоугольника является произведением $\frac {1}{2}$ и $\frac {1} {3}$.

Общая часть (заштрихована зеленым цветом) составляет 1 часть (квадратная рамка) из 6 частей (квадратных ячеек) прямоугольника

Следовательно, $\frac {1}{2} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{2}$.

Рассмотрим еще один пример $\frac {2}{3}$ и $\frac {3}{4}$.

Часть, выделенная синим цветом, составляет $2$ частей (строк) из $3$ частей (строк) прямоугольника.

Часть, выделенная желтым цветом, составляет $3$ частей (столбцов) из $4$ частей (столбцов) прямоугольника.

Теперь, визуализируя эти две фигуры вместе и наблюдая, что общая часть $\frac {2}{3}$ и $\frac {3}{4}$  прямоугольника является произведением $\frac {2} {3}$  и $\frac {3}{4}$.

Общая часть (заштрихована зеленым цветом) составляет $1$ часть от $2$ частей прямоугольника.

(Всего $12$ квадратных коробок. Из этих $12$ квадратных коробок $6$ зеленого цвета, поэтому доля зеленого равна $\frac {6}{12} = \frac {1}{2} $)

Умножение дробей на целые числа

Для умножения дроби на целое число нужно записать целое число в виде дроби. В числителе дроби будет целое число, а в знаменателе дроби будет $1$.

$5 = \frac {5}{1}$, $7 = \frac {7}{1}$, $29 = \frac {29{1}$, …

Примечание: Каждое целое число можно представить в виде дроби, где

• числитель будет целым числом 
• знаменатель всегда равен $1$ (один)

Этапы умножения дробей на целые числа

Шаг 1: Запишите целое число в виде дроби  

Шаг 2: Умножьте числители.

Шаг 3: Умножьте знаменатели.

Шаг 4: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: $9 \times \frac {7}{11}$ 

Здесь $9$ — целое число, поэтому запишите его в виде дроби.

$9 = \frac {9}{1}$

$9 \times \frac {7}{11} = \frac {9}{1} \times \frac {7}{11} = \frac {9 \times 7}{1 \times 11} = \frac {63}{11}$

$9 \times \frac {7}{11} = \frac {63}{11}$

Пример 2: $ \frac {2}{3} \times 7$

$7 = \frac {7}{1}$

$ \frac {2}{3} \times 7 = \frac {2}{3} \times \frac {7}{1} = \frac {2 \times 7}{3 \times 1} = \frac {14}{3}$

$ \frac {2}{3} \times 7 = \frac {14}{3}$

Пример 3: $5 \times \frac {21}{4}$

$5 = \frac {5}{1}$

$5 \times \frac {21 {4} = \frac {5}{1} \times \frac {21}{4} = \frac {105}{4}$.

Примечание: 

$ \frac {105}{4}$ — неправильная дробь, которую можно преобразовать в смешанную дробь.

Визуальная модель умножения дробей на целые числа

Рассмотрим следующий пример: $5 \times \frac {2}{3}$.

Это означает, что $ \frac {2}{3}$ добавляется $5$ раз.

Представим этот пример с помощью визуальной модели. Пять раз по две трети представляются как:

$5 \times \frac {2}{3} = \frac {2}{3} + \frac {2}{3} +\frac {2}{3} + \ frac {2}{3} + \frac {2}{3} = \frac {2 + 2 + 2 + 2 + 2}{3} = \frac {10}{3}$.

Следовательно, $5 \times \frac {2}{3}  = \frac {10}{3}$.

Умножение дробей с десятичными числами

Возможно, вы знаете, что десятичные числа можно преобразовать в дроби со знаменателем в степени $10$. Первым шагом в умножении дроби на десятичное число является преобразование десятичного числа в дробь, а затем выполнение шагов умножения дробей.

Шаги для умножения дроби на десятичное число

Шаг 1: Преобразование десятичного числа в дробь

Шаг 2: Умножьте числители.

Шаг 3: Умножьте знаменатели.

Шаг 4: Сократите (при необходимости) полученную дробь до наименьшего или простейшего вида

Примеры

Пример 1: $2,3 \times \frac {4}{5}$

$2,3 = \frac {23}{10}$

$2,3 \times \frac {4}{5} = \frac {23}{10} \times \frac {4}{5} = \frac {23\times4}{10\ times5} = \frac {92}{50} = \frac {46}{25} = 1 \frac {21}{25}$

Пример 2: $ \frac {6}{11} \times 1,56$

$1,56 = \frac {156}{100} = \frac {78}{50} = \frac {39}{25} $

$\frac {6}{11} \times 1.56 = \frac {6}{11} \times \frac {39}{25} = \frac {6 \times 39}{11 \times 25} = \frac {234}{275}$

Общие правила умножения дробей

При умножении дробей необходимо помнить о следующих правилах:

Правило 1: Первое правило – преобразование смешанных дробей в неправильные дроби. если есть. Затем умножьте числители данных дробей.

Правило 2: Умножьте знаменатели отдельно.

Правило 3: При необходимости упростите полученное значение до наименьшего члена.

Деление дробей

Возможно, вы уже делили целые числа. Разделение означает разделение предмета поровну. Деление дробей очень похоже на умножение дробей с небольшим отличием. Для деления дробей мы умножаем первую дробь на обратную (мультипликативную обратную) второй дроби.

Рассмотрим две дроби $\frac {a}{b}$ и $\frac {c}{d}$ и выполните шаги, чтобы разделить $\frac {a}{b}$ на $\frac {c} {d}$, т. е. $\frac {a}{b} \div \frac {c}{d}$.

Шаги для деления дроби на дробь

Шаг 1: Напишите обратную величину второй дроби, т. е. обратную величину $\frac {c}{d}$, которая равна $\frac {d}{c }$

Шаг 2: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя указанные ниже шаги (они такие же, как и при умножении дробей)

Шаг 3: Умножьте числители.

Шаг 4: Умножьте знаменатели.

Шаг 5: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделить $\frac {6}{7}$ на $\frac {3}{4}$, т. е. $ \frac {6}{7} \div \frac {3 {4}$.

Обратная величина $\frac {3}{4}$ равна $\frac {4}{3}$

$ \frac {6}{7} \div \frac {3}{4} = \frac { 6}{7} \times \frac {4}{3} = \frac {6 \times 4}{7 \times 3} = \frac {24}{21}$

$\frac {6}{7} \div \frac {3}{4} = \frac {24}{21}$

Пример 2: Разделите $\frac {1}{2}$ на $\frac {1}{3}$, т. е. $\frac {1}{2} \div \frac {1}{3}$

Обратная величина $\frac {1}{3}$ равна $\ frac {3}{1}$

$ \frac {1}{2} \div \frac {1}{3} = \frac {1}{2} \times \frac {3}{1} = \ frac {1 \times 3}{2 \times 1} = \frac {3}{2}$

Деление дробей на целые числа

Для деления дробей на целые числа первым шагом является преобразование целое число в дробь, а затем выполните шаги деления дробей.

Шаги для деления дроби с целым числом

Шаг 1: Преобразование целого числа в дробь

Шаг 2: Запишите обратную величину второй дроби, т. {d}$, что равно $\frac {d}{c}$

Шаг 3: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя указанные шаги. ниже (То же самое, что и при умножении дробей)

Шаг 4: Умножьте числители.

Шаг 5: Умножьте знаменатели.

Шаг 6: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделить $\frac {2}{3}$ на $4$, т. е. $\frac {2}{3} \div 4$

$4$ в виде дроби равно $\ frac {4}{1}$

$ \frac {2}{3} \div 4 = \frac {2}{3} \div \frac {4}{1}$

Обратная величина $ \frac { 4}{1}$ равно $\frac {1}{4}$

$ \frac {2}{3} \div 4 = \frac {2}{3} \times \frac {1}{4} = \frac {2 \times 1}{3 \times 4} = \frac {2}{12} = \frac {1}{6}$

Следовательно, $\frac {2}{3} \div 4 = \frac {1}{6}$.

Пример 2: Разделить $5$ на $\frac {6}{11}$, т. е. $5 \div \frac {6}{11}$.

$5$ дробью равно $\frac {5}{1}$

$5 \div \frac {6}{11} = \frac {5}{1} \div \frac {6}{11}$

Обратная величина $ \frac {6}{11}$ равна $ \frac {11}{6}$

$ \frac {5}{1} \div \frac {6}{11} = \frac { 5}{1} \times \frac {11}{6} = \frac {5 \times 11}{1 \times 6} = \frac {55}{6}$

Деление дробей с десятичными числами

Возможно, вы знаете, что десятичные числа можно преобразовать в дроби со знаменателем в степени $10$. Первым шагом в делении дроби с десятичным числом является преобразование десятичного числа в дробь, а затем выполнение шагов деления дробей.

Шаги деления дроби с десятичным числом

Шаг 1: Преобразование десятичного числа в дробь

Шаг 2: Запишите обратную величину второй дроби, т.е. {d}$, что равно $\frac {d}{c}$

Шаг 3: Умножьте $\frac {a}{b}$ на $\frac {d}{c}$, используя описанные ниже шаги (они аналогичны умножению дробей)

Шаг 4 : Умножить числители.

Шаг 5: Умножьте знаменатели.

Шаг 6: Приведите (при необходимости) полученную дробь к наименьшему или простейшему виду.

Примеры

Пример 1: Разделите $2,5$ на $\frac {2}{3}$, т.е. $2,5 \div \frac {2}{3}$.

$2,5 = \frac {25}{10} = \frac {5}{2}$

$2,5 \div \frac {2}{3} = \frac {5}{2} \div \frac {2 }{3} = \frac {5}{2} \times \frac {3}{2} = \frac {5 \times 3}{2 \times 2} = \frac {15}{4} = 3 \ дробь {3}{4}$.

Пример 2: Разделите $\frac {8}{11}$ на $11,9$, т. е. $\frac {8}{11} \div 11,9$.

$11,9 = \frac {119}{10}$

$ \frac {8}{11} \div 11,9 = \frac {8}{11} \div \frac {119}{10}$

$ \frac {8}{11} \times \frac {10}{119} = \frac {8 \times 10}{11 \times 119} = \frac {80}{1309}$

Заключение

Мы можем умножать дробь на любую другую дробь и совсем не обязательно, чтобы дроби были похожи на дроби, как в случае сложения или вычитания дробей. Деление дробей очень похоже на умножение с той разницей, что величина, обратная второй дроби, умножается на первую дробь.

Практические задачи

1. Умножьте следующее
   1. $\frac{2}{5} \times \frac {1}{7}$
   2. $\frac{7}{8} \times \frac {4}{5}$
   3. $\frac{3}{11} \times \frac {6}{19}$
   4. $\frac { 1}{3} \times \frac {1}{7}$
   5. $\frac{3}{5} \times \frac {5}{9}$
   6. $\frac{7}{11} \ умножить на 2,6$
   7. $7,8 \times \frac {1}{5}$
   8. $\frac{4}{7} \times 3,82$
2. Разделить следующие
   1. $\frac{5}{8} \div \frac {2}{3}$
   2. $\frac{1}{9} \div \frac {5}{18}$
   3. $\frac{2}{15} \div \frac {4 {5}$
   4. $\frac {1}{2} \div \frac {1}{4}$
   5. $\frac{3}{7} \div \frac {5}{12}$
   6. $\frac{8} {13} \div 6,5$
   7. $2,8 \div {2}{5}$
   8. $\frac{3}{7} \div 1,02$

Рекомендуемое чтение

• Смешанные дроби — Определение и операции (с примерами)
• Сложение и вычитание дробей (с иллюстрациями)

Вам также может понравиться

Формула расстояния в координатной геометрии

Содержание Координатная геометрия Формула расстоянияРасстояние точки от начала координатПримеры

Подробнее

Координатная геометрия – значение, концепция и обзор

ординатыПримеры на

Подробнее

Лучшие ланчбоксы для студентов

Оглавление Критерии оценкиЛучшие ланчбоксы для студентов1.