1. Найдите составную функцию ( f ∘ f ):

f (x) = -9x ² + 7x — 3

2. Выполнить функциональную композицию, f ∘ g ∘ h .

f (x) = 1 / (2x + 3), g (x) = √ (x + 2) / x и h (x) = x ³ — 3

3. Найдите композиционную функцию, если внутренняя функция — это функция извлечения квадратного корня, заданная как √ (-12x — 3), а внешняя функция — как 3x ² + 5.

Разложение чисел — Почему мы учим этому в детском саду — KindergartenWorks

Разложение чисел означает разбиение чисел на части. Common Core В стандарте учащиеся детского сада могут разложить числа двумя способами.

Первый — разложить числа на десятки и единицы (внимание к числам 11-19), а второй — показать, как любое число 1-10 может быть создано с помощью различных слагаемых.

Я хочу вместе с вами сосредоточиться на стандарте NBT.1 Common Core, который касается аспекта разрушения и создания чисел с десятками и единицами (или разрядными значениями).

Давайте посмотрим на:

1. как он развивается
2. как мы можем регулярно практиковаться
3. как мы расширяем его для наших продвинутых или ускоренных киндеров

Поскольку есть так много всего, что нужно покрыть — я разбил его на три части.Это часть 1 — зачем нам преподавать этот стандарт в детском саду и почему я вообще так много говорю об этом в этом блоге?

Понимание декомпозиции / составления чисел как учителей

Хорошо, учителя — давайте разберемся. Этот стандарт состоит из двух основных частей:

Когда я впервые столкнулся с этим стандартом, я был сбит с толку и почувствовал, что действительно не понимаю ценности его преподавания. Я мало знал, что найду, когда буду преподавать это ежедневно в рамках нашего календаря и уроков математики в небольших группах.

Почему мы ожидаем, что они будут разлагать и составлять числа?

{И почему я все время об этом пишу?}

Давайте посмотрим на долгосрочную перспективу. Простой ответ заключается в том, что есть у учащихся значение , которые могут видеть группировки, отношения и закономерности в числах. Мы закладываем основу для того, чтобы студенты могли в конечном итоге решить 53 + 12 и увидеть, что они могут манипулировать этим:

50 + 15

или 60 + 5

или 50 + 10 + 3 + 2

или любой другой множество способов увидеть количество, поскольку оно имеет для них смысл .

Теперь это более широкая картина, которая переносит нас к стандартам Common Core на более старом уровне класса … так что давайте вернемся к уровню нашего детского сада.

Мы работаем над пониманием того, что числа 11-19 имеют группу из десяти, а затем и единиц.

Если мы увидим чисел, разбитых на последовательность их групп десятков, а затем добавив несколько единиц , эти числа станут приятными и простыми .

Изучение того, как составлять и разлагать числа таким образом, дает им «визуальное» (особенно если вы представляете десятью кадрами) то, как 6, 16 или 67 действительно выглядят и есть.

Соединение визуального образа и числа

Замечательно то, что, обучая этому основанию того, как составлять и разлагать числа 11-19 (и далее) на их группы из десятков и единиц, они начинают понимать, почему 16 имеет один, затем шесть.

Когда это щелкает, они так взволнованы, что не могут дождаться, чтобы увидеть, применимо ли их новое понимание к «большим числам». И когда они начинают работать над числами до 99, происходит какое-то серьезное волшебство.

В принципе, этот стандарт огромен!

Он придает смысл числовой форме и полностью переносится во все другие математические концепции.Я не шучу. Я никогда не встречал стандарта (кроме счета 1: 1), который так сильно влиял бы на другие стандарты и являлся отправной точкой для того, чтобы увидеть, как дети стремительно растут в своих математических навыках!

Вот несколько планов уроков, о которых я написал, чтобы вы могли увидеть их в действии —

, но не забудьте прочитать следующий пост из этой серии, чтобы вы могли найти простые способы поработать над этим ключевым навыком!

Состав функций

«Функциональная композиция» применяет одну функцию к результатам другой:

Результат f () отправляется через g ()

Записано: (g º f) (x)

Что означает: g (f (x))

Пример:

«x» — это просто заполнитель .Во избежание путаницы назовем его просто «ввод»:

f (ввод) = 2 (ввод) +3

г (ввод) = (ввод) ²

Начнем:

(g º f) (x) = g (f (x))

Сначала мы применяем f, затем применяем g к этому результату:

(g º f) (x) = (2x + 3) ²

Что, если мы перевернем порядок f и g?

(f º g) (x) = f (g (x))

Сначала мы применяем g, затем применяем f к этому результату:

(f º g) (x) = 2x ² +3

Получаем другой результат!

Когда мы меняем порядок, результат редко бывает одинаковым.

Так что будьте осторожны, какая функция стоит первой.

Символ

Обозначение композиции — маленький кружок:

(г º f) (x)

Это , а не , а заполненная точка: (g · f) (x), так как это означает умножить на .

Состоит из самого себя

Мы даже можем составить функцию сама с собой!

Пример:

(f º f) (x) = f (f (x))

Сначала мы применяем f, затем применяем f к этому результату:

(f º f) (x) = 2 (2x + 3) +3 = 4x + 9

Мы могли бы обойтись без красивой диаграммы:

(f º f) (x) = f (f (x))

= е (2x + 3)

= 2 (2x + 3) +3

= 4x + 9

Домены

До сих пор это было легко, но теперь мы должны рассмотреть доменов функций.

Область — это набор всех значений, которые входят в функцию.

Функция должна работать для всех значений, которые мы ей даем, так что зависит от нас, , чтобы убедиться, что мы получили правильный домен!

Пример: домен для √x (квадратный корень из x)

У нас не может быть квадратного корня из отрицательного числа (если мы не используем мнимые числа, но это не так), поэтому мы должны исключить отрицательных чисел:

Область √x — все неотрицательные действительные числа

В числовой строке это выглядит так:

В нотации конструктора множеств записано:

{x | x ≥ 0}

Или, используя обозначение интервала, это:

[0, + ∞)

Важно правильно оформить домен, иначе мы получим плохие результаты!

Область составной функции

Мы должны получить для обоих Доменов правильно (составная функция и — первая использованная функция).

При выполнении, например, (g º f) (x) = g (f (x)):

• Убедитесь, что мы получили домен для f (x) правильно,
• Затем также убедитесь, что g (x) получает правильный домен

Пример:

Область f (x) = √x — все неотрицательные действительные числа

Область g (x) = x ² — это все действительные числа

Составная функция:

(g º f) (x) = g (f (x))

= (√x) ²

= х

Итак, «x» обычно имеет Домен всех действительных чисел…

… но поскольку это составная функция , мы должны также учитывать f (x) ,

Таким образом, домен состоит из неотрицательных вещественных чисел

Почему оба домена?

Ну, представьте, что функции — это машины … первая плавит отверстие пламенем (только для металла), вторая просверливает отверстие немного больше (работает с деревом или металлом):

Поэтому важно то, что происходит «внутри машины».

Функция разложения

Мы можем пойти другим путем и разбить функцию на набор других функций.

Пример:

Эту функцию можно выполнить с помощью этих двух функций:

f (х) = х + 1 / х

г (x) = x ²

И получаем:

(g º f) (x) = g (f (x))

= г (х + 1 / х)

= (x + 1 / x) ²

Это может быть полезно, если исходная функция слишком сложна для работы.

Сводка

• «Функциональная композиция» применяет одну функцию к результатам другой.
• (g º f) (x) = g (f (x)) , сначала примените f (), затем примените g ()
• Мы также должны уважать область определения первой функции
• Некоторые функции можно разделить на две (или более) более простые функции.

Композиция функций — ChiliMath

В этом уроке я рассмотрю восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процесс, участвующий в композиции функций.

Если нам даны две функции, можно создать или сгенерировать «новую» функцию, объединяя одну в другую. Этот шаг аналогичен, когда функция оценивается для заданного значения. Например, оцените функцию ниже для x = 3.

Очевидно, что мне нужно заменить каждый x заданным значением, а затем упростить.

Ключевая идея в композиции функций состоит в том, что входом функции является , а не числовое значение, вместо этого вход также другая функция .

Общее правило композиции функции

Предположим, что две заданные функции — это f и g, состав f \ circ g определяется

Кроме того, состав g \ circ f определяется

Несколько замечаний о символической «формуле» выше :

• Порядок в функциональной композиции имеет значение! Вы всегда составляете функции справа налево . Следовательно, для данной функции вход всегда находится справа от нее.Другими словами, правая функция входит в левую.

• Обратите внимание, что в f \ circ g = f \ left [{g \ left (x \ right)} \ right] вход или «внутренняя функция» — это функция g, потому что она находится справа от функции f, которая является основная или «внешняя функция».

• Что касается порядка композиции, видите ли вы тот же узор в g \ circ f = g \ left [{f \ left (x \ right)} \ right]? Верно! Функция f является внутренней функцией внешней функции g.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как работает композиция функций.Позже вы поймете, что это просто упражнение по алгебраической подстановке и упрощению.

Примеры создания функций

Пример 1 : Выполните указанную композицию функций:

Порядок композиции важен. Обратите внимание, что в f \ circ g мы хотим, чтобы функция g \ left (x \ right) была входом основной функции {f \ left (x \ right)}.

Это должно выглядеть так:

Я начинаю с записи основной или внешней функции f \ left (x \ right), и в каждом экземпляре x я заменяю полное значение g \ left (x \ right ).

Затем я сделаю все необходимое, чтобы упростить выражения, например возведение бинома в квадрат, применение свойства распределения и объединение подобных терминов. Кроме этого, на самом деле в этом нет ничего особенного.

Позвольте мне показать вам, что я имел в виду под этим.

Пример 2 : Выполните указанную композицию функций:

Мне нужно найти составную функцию g \ circ f, что означает, что функция f является входом функции g.

Пример 3 : Выполните указанную композицию функций:

Это пример композиции функций, где входными данными является функция квадратного корня .Посмотрим, как это работает.

Опять же, в f \ circ g мы хотим вставить функцию g в функцию f.

Пример 4 : Выполните указанную композицию функций:

Эта композиция функций весьма интересна. Я надеюсь, вы понимаете, что у нас будет ситуация, когда функция извлечения квадратного корня входит в другую функцию извлечения квадратного корня.

Ключом к правильному составлению этой функции является понимание того, что символ квадратного корня может быть выражен как экспоненциальное выражение с дробной экспонентой, равной {1 \ over 2} .{{1 \ over 2}}}.

Пример 5 : Выполните указанную композицию функций:

До сих пор в наших предыдущих примерах мы выполняли композиции функций, используя две различные функции. Однако также возможно составить функцию с самой собой.

Пример 6 : Выполните указанную композицию функций:

Давайте разработаем пример композиции функции, которая имеет дело с рациональными функциями. Используемая алгебра немного утомительна, однако с вами все будет в порядке, если вы будете осторожны в упрощении выражений на каждом этапе.

В этом примере вы примените процедуры сложения или вычитания рациональных выражений, а также умножения рациональных выражений.

Ну вот …

Это было неплохо, правда?

Пример 7 : Выполните указанную композицию функций:

Если вы думаете, что наш последний пример композиции рациональных функций был беспорядочным, подождите, пока вы не увидите следующий пример. Это может быть немного сложнее, но все же очень управляемо. Так что не волнуйтесь! Всегда имейте этот «лазерный» фокус в каждом процессе упрощения, чтобы успешно решить эту проблему.

Входная функция f будет подставлена ​​в каждый x основной функции g.

Это было легко, не правда ли? 😀

Для большей практики я предлагаю вам попробовать изменить порядок композиции функций на обратный. Другими словами, найдите f \ circ g.

У вас тоже получится?

Если это так, когда g \ circ f = f \ circ g = x, то мы заключаем, что функции g и f являются обратными друг другу. У меня есть отдельное руководство о том, как доказать или проверить, являются ли две функции обратными друг другу.

Пример 8 : Найдите составную функцию:

В этом примере мы собираемся составить три функции. Соблюдая обозначения искомой составной функции f \ circ g \ circ h, мы собираемся вычислить ее от справа налево .

Сначала мне нужно вставить функцию h в функцию g, а затем упростить, чтобы получить новую функцию.

Результат предыдущего шага будет подставлен в основную функцию f для получения окончательного ответа.2} + 1}}}} становится входом функции f

Составление и разложение чисел | Study.com

Составление числа

Давайте снова рассмотрим деньги, чтобы представить эту концепцию. Предположим, я даю вам 1 стодолларовую купюру, 3 купюры по 10 долларов, 8 однодолларовых купюр и 7 пенсов, а затем я спрашиваю вас, сколько денег у вас все вместе. Чтобы найти это, вы должны сложить разные суммы каждой деноминации, которую я вам дал.То есть у вас есть 1 стодолларовая купюра на 100 долларов, 3 десятидолларовых купюры на 30 долларов, 8 однодолларовых купюр на 8 долларов и 7 пенни на 0,07 доллара. Если сложить все это вместе, получится следующее.

100 долларов США + 30 долларов США + 8 долларов США + 0,07 доллара США = 138,07 доллара США

Таким образом, вы выясняете, что у вас всего 138,07 долларов США. Теперь давайте представим это в виде обычных чисел. Предположим, я спросил, какое число получится из 2 сотен, 5 десятков, 1 единицы и 7 десятых. Точно так же, как мы вычислили, сколько денег у нас было на основе различных номиналов, мы собираемся вычислить это число на основе заданных значений разряда.Две сотни стоят 200, 5 десятков — 50, 1 — 1, а 7 десятых — 7/10 или 0,7. Чтобы найти число, мы складываем все эти разрядные значения вместе.

200 + 50 + 1 + 0,7 = 251,7

Описанное число — 251,7. Складывание заданных значений разряда, как мы это делали, называется , составляя числа. Композицию можно определить как создание целого из частей. Например, музыкальный композитор сочиняет музыкальное произведение из нот. Музыкальное произведение — это цельное произведение, а музыкальные ноты — это составляющие его части.Определение compose позволяет легко запомнить, что составление числа — это просто сложение числа из его частей.

Декомпозиция числа

Теперь давайте посмотрим на обратную сторону компоновки. В последний раз давайте рассмотрим деньги. Предположим, я говорю вам, что у меня есть 38,19 доллара, а деньги состоят из купюр и монет, соответствующих номиналу каждой цифры. Например, тройка попадает в разряд десятков, поэтому у меня есть 3 десятидолларовых купюры. Точно так же восьмерка находится на одном месте, поэтому у меня есть 8 однодолларовых купюр.1 находится на отметке в десять центов, поэтому у меня 1 цент, а 9 — в месте в один цент, поэтому у меня 9 пенни. Таким образом, у меня есть 3 десятки на 30 долларов, 8 на 8 долларов, 1 цент на 0,10 доллара и 9 пенни на 0,09 доллара. Собирая все вместе, я вижу, что моя долларовая сумма в 38,19 доллара может быть разбита следующим образом.

38,19 $ = 30 $ + 8 $ + 0,10 $ + 0,09 $

А теперь подумайте о том, чтобы сделать это для обычного номера. То есть разбейте число на сумму его разрядов. Для этого рассмотрим число 4771.Имеем следующее.

• Четверка из тысяч имеет разрядную стоимость 4000.
• Число 7 в сотнях имеет значение 700.
• Семерка в разряде десятков имеет значение 70.
• 1 в одном месте имеет значение 1.

Таким образом, мы можем разбить число 4 771 следующим образом.

4,771 = 4,000 + 700 + 70 + 1

Разбиение числа на сумму его значений разряда называется разложением числа.Разложение можно определить как разрушение. Например, некоторые соединения разлагаются в присутствии света. То есть они химически распадаются на разные части. Это определение позволяет легко запомнить, что разложение числа — это его разбиение на сумму его разрядов.

Краткое содержание урока

Разрядное значение цифры в числе связано с тем, где цифра располагается по отношению к десятичной запятой. Мы можем разложить число, разбив его на сумму его разрядных значений, и мы можем составить число, сложив его разрядные значения вместе (или суммируя их).Знакомство с разрядами, разложением чисел и составлением чисел позволяет нам лучше понять систему счисления и то, как числа работают вместе.

1.4 Состав функций — Precalculus

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Комбинируйте функции, используя алгебраические операции.
• Создать новую функцию путем композиции функций.
• Оценивать составные функции.
• Найдите область определения составной функции.
• Разложите составную функцию на ее составные функции.

Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.

Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции.Функция C (T) C (T) дает стоимость CC отопления дома для данной средней дневной температуры в TT градусах Цельсия. Функция T (d) T (d) дает среднесуточную температуру в день dd года. Для любого дня Cost = C (T (d)) Cost = C (T (d)) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня в году. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре T (d) .T (d). Например, мы могли бы оценить T (5) T (5), чтобы определить среднесуточную температуру на 5-й день года.Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали C (T (5)). C (T (5)).

Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой и посвящен этот раздел.

Объединение функций с помощью алгебраических операций

Композиция функций — это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ — выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как выход нашей новой функции.

Предположим, нам нужно добавить два столбца чисел, которые представляют отдельные годовые доходы мужа и жены за период лет, в результате чего получится их общий семейный доход. Мы хотим делать это для каждого года, добавляя только доходы за этот год, а затем собирая все данные в новом столбце. Если w (y) w (y) — доход жены, а h (y) h (y) — доход мужа в год y, y, и мы хотим, чтобы TT представляло общий доход, то мы можем определить новую функцию.

Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать

Так же, как и для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одинаковые типы входов (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходов (которые должны быть числа, так что обычные операции алгебры могут применяться к ним, и которые также должны иметь те же единицы или не иметь единиц, когда мы складываем и вычитаем).Таким образом, мы можем думать о сложении, вычитании, умножении и делении функций.

Для двух функций f (x) f (x) и g (x) g (x) с выходами вещественных чисел мы определяем новые функции f + g, f − g, fg, f + g, f − g, fg, и fgfg соотношениями

Пример 1

Выполнение алгебраических операций над функциями

Найдите и упростите функции (g − f) (x) (g − f) (x) и (gf) (x), (gf) (x), если f (x) = x − 1f (x) = x − 1 и g (x) = x2−1.д (х) = х2−1. У них одна и та же функция?

Решение

Начните с написания общей формы, а затем замените заданные функции.

Нет, функции не совпадают.

Примечание. Для (gf) (x), (gf) (x) условие x ≠ 1x ≠ 1 необходимо, потому что, когда x = 1, x = 1, знаменатель равен 0, что делает функцию неопределенной.

Попробуй # 1

Найдите и упростите функции (fg) (x) (fg) (x) и (f − g) (x). (F − g) (x).

Они выполняют одну и ту же функцию?

Создание функции с помощью композиции функций

Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции, составляя функции. Когда мы хотели вычислить стоимость отопления для одного дня в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных.Процесс объединения функций таким образом, что выход одной функции становится входом другой, известен как композиция функций . Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:

Мы читаем левую часть как «f« f, составленную с gg в x , «X», а в правой части — «f« f of gg of x. »X.» Две части уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны.Символ открытого круга ∘∘ называется оператором композиции. Мы используем этот оператор в основном, когда хотим подчеркнуть взаимосвязь между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению. Композиция — это бинарная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы узнали выше, в большинстве случаев f (g (x)) ≠ f (x) g (x).f (g (x)) ≠ f (x) g (x).

Также важно понимать порядок операций при оценке составной функции. Мы следуем обычному соглашению с круглыми скобками, начиная сначала с самых внутренних скобок, а затем перейдя к внешним. В приведенном выше уравнении функция gg сначала принимает вход xx и дает выход g (x) .g (x). Затем функция ff принимает g (x) g (x) в качестве входа и дает выход f (g (x)). F (g (x)).

В общем, f∘gf∘g и g∘fg∘f — это разные функции.Другими словами, во многих случаях f (g (x)) ≠ g (f (x)) f (g (x)) ≠ g (f (x)) для всех x.x. Мы также увидим, что иногда две функции могут быть составлены только в одном определенном порядке.

Например, если f (x) = x2f (x) = x2 и g (x) = x + 2, g (x) = x + 2, то

но

Эти выражения не равны для всех значений x, x, поэтому две функции не равны.Неважно, что выражения совпадают для единственного входного значения x = −12.x = −12.

Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первая функция, которая должна быть оценена) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

Состав функций

Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любого входа xx и функций ff и g, g это действие определяет составную функцию, которую мы записываем как f∘gf∘g, такую, что

Область определения составной функции f∘gf∘g — это все xx такие, что xx находится в области определения gg, а g (x) g (x) находится в области определения f.f.

Важно понимать, что произведение функций fgfg не то же самое, что композиция функций f (g (x)), f (g (x)), потому что, как правило, f (x) g (x) ≠ f (g (x)). f (x) g (x) ≠ f (g (x)).

Пример 2

Определение, является ли композиция функций коммутативной

Используя указанные функции, найдите f (g (x)) f (g (x)) и g (f (x)).g (f (x)). Определите, является ли композиция функций коммутативной.

Решение

Начнем с замены g (x) g (x) в f (x) .f (x).

Теперь мы можем заменить f (x) f (x) на g (x) .g (x).

Мы находим, что g (f (x)) ≠ f (g (x)), g (f (x)) ≠ f (g (x)), поэтому операция композиции функций не коммутативна.

Пример 3

Интерпретация составных функций

Функция c (s) c (s) дает количество калорий, сожженных при выполнении приседаний ss, а s (t) s (t) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за tt минут. Интерпретируйте c (s (3)). C (s (3)).

Решение

Внутреннее выражение в композиции — s (3) .s (3). Поскольку входом для функции s является время, t = 3t = 3 представляет 3 минуты, а s (3) s (3) — количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

Использование s (3) s (3) в качестве входных данных для функции c (s) c (s) дает нам количество калорий, сожженных за количество приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество калорий, сожженных за 3 минуты (делая приседания).

Пример 4

Исследование порядка функциональной композиции

Предположим, что f (x) f (x) дает мили, которые можно проехать за xx часов, а g (y) g (y) дает галлоны бензина, использованные для движения yy миль. Какое из этих выражений имеет смысл: f (g (y)) f (g (y)) или g (f (x))? G (f (x))?

Решение

Функция y = f (x) y = f (x) — это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству пройденных часов.

Функция g (y) g (y) — это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:

Выражение g (y) g (y) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных. Функция f (x) f (x) требует ввода количества часов. Пытаться ввести количество галлонов не имеет смысла.Выражение f (g (y)) f (g (y)) не имеет смысла.

Выражение f (x) f (x) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция g (y) g (y) требует ввода количества миль. Использование f (x) f (x) (пройденные мили) в качестве входного значения для g (y), g (y), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение g (f (x)) g (f (x)) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, g, g, на проезд определенного количества миль, f (x), f (x) , через xx часов.

Вопросы и ответы

Существуют ли ситуации, когда f (g (y)) f (g (y)) и g (f (x)) g (f (x)) оба будут значимыми или полезными выражениями?

Да.Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они создают разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы, также могут давать композиции, значимые в любом порядке.

Попробуй # 2

Гравитационная сила на планете на расстоянии r от Солнца задается функцией G (r) .G (r). Ускорение планеты, подверженной действию любой силы FF, задается функцией a (F).а (F). Сформируйте осмысленную композицию из этих двух функций и объясните, что это означает.

Оценка составных функций

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене. Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.

Оценка составных функций с помощью таблиц

При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу. Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции как вход для внешней функции.

Пример 5

Использование таблицы для вычисления составной функции

Используя таблицу 1, оцените f (g (3)) f (g (3)) и g (f (3)). G (f (3)).

Таблица 1

Решение

Чтобы оценить f (g (3)), f (g (3)), мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы вычисляем внутреннее выражение g (3) g (3), используя таблицу, которая определяет функцию g: g: g (3) = 2.g (3) = 2. Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции f, f, поэтому g (3) g (3) заменяется на 2, и мы получаем f (2) .f (2). Затем, используя таблицу, определяющую функцию f, f, находим, что f (2) = 8. f (2) = 8.

Чтобы оценить g (f (3)), g ( f (3)), мы сначала вычисляем внутреннее выражение f (3) f (3), используя первую таблицу: f (3) = 3.f (3) = 3. Затем, используя таблицу для g, g, мы можем оценить

Таблица 2 показывает составные функции f∘gf∘g и g∘fg∘f в виде таблиц.

Таблица 2

Попробуй # 3

Используя таблицу 1, оцените f (g (1)) f (g (1)) и g (f (4)). G (f (4)).

Оценка составных функций с помощью графиков

Когда нам даются отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц.Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз по осям x-x и y-y графиков.

Как к

Для составной функции и графиков ее отдельных функций оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.

1. Найдите входные данные внутренней функции на оси x-x ее графика.
2. Считайте выходные данные внутренней функции по оси ординат ее графика.
3. Найдите выход внутренней функции на оси x-x графика внешней функции.
4. Считайте результат внешней функции по оси ординат ее графика. Это результат составной функции.

Пример 6

Использование графика для вычисления составной функции

Используя рисунок 1, оцените f (g (1)). F (g (1)).

Рисунок 1

Решение

Чтобы оценить f (g (1)), f (g (1)), мы начинаем с внутренней оценки. См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Мы оцениваем g (1) g (1), используя график g (x), g (x), находя вход 1 на оси x-x и находя выходное значение графика на этом входе.Здесь g (1) = 3.g (1) = 3. Мы используем это значение в качестве входных данных для функции f.f.

Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график f (x), f (x), найдя входное значение 3 на оси x-x и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь f (3) = 6, f (3) = 6, поэтому f (g (1)) = 6. f (g (1)) = 6.

Анализ

На рисунке 3 показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.

Рисунок 3

Попробовать # 4

Используя рисунок 1, оцените g (f (2)).g (f (2)).

Оценка составных функций с помощью формул

При оценке составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным. Входное значение внешней функции будет выходом внутренней функции, которое может быть числовым значением, именем переменной или более сложным выражением.

Хотя мы можем составлять функции для каждого отдельного входного значения, иногда бывает полезно найти единую формулу, которая будет вычислять результат композиции f (g (x)).f (g (x)). Для этого мы расширим наше представление об оценке функций. Напомним, что, когда мы оцениваем функцию типа f (t) = t2 − t, f (t) = t2 − t, мы подставляем значение внутри круглых скобок в формулу везде, где видим входную переменную.

Как к

Получив формулу для составной функции, вычислите функцию.

1. Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
2. Используйте полученный результат как вход для внешней функции.

Пример 7

Оценка композиции функций, выраженных в виде формул, с числовым вводом

Дано f (t) = t2 − tf (t) = t2 − t и h (x) = 3x + 2, h (x) = 3x + 2, вычислить f (h (1)). F (h (1 )).

Решение

Поскольку внутреннее выражение — это h (1), h (1), мы начинаем с вычисления h (x) h (x) как 1.

Тогда f (h (1)) = f (5), f (h (1)) = f (5), поэтому мы вычисляем f (t) f (t) на входе 5.

Анализ

Не имеет значения, какие входные переменные tt и xx были вызваны в этой задаче, потому что мы вычисляли конкретные числовые значения.

Попробуй # 5

Учитывая f (t) = t2 − tf (t) = t2 − t и h (x) = 3x + 2, h (x) = 3x + 2, оцените

1. ⓐ h (f (2)) h (f (2))
2. ⓑ ч (f (−2)) h (f (−2))

Нахождение области составной функции

Как мы обсуждали ранее, область определения составной функции, такой как f∘gf∘g, зависит от области определения gg и области определения f.f. Важно знать, когда мы можем применить составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения функции, такой как f∘g.f∘g. Предположим, что нам известны области определения функций ff и gg по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа xx как f (g (x)), f (g (x)), мы сразу увидим, что xx должен быть членом домена gg, чтобы выражение было имеет смысл, потому что в противном случае мы не сможем завершить оценку внутренней функции. Однако мы также видим, что g (x) g (x) должен быть членом области определения f, f, иначе вторая оценка функции в f (g (x)) f (g (x)) не может быть завершена, и выражение все еще не определено.Таким образом, область f∘gf∘g состоит только из тех входов в области gg, которые производят выходные данные из gg, принадлежащих области f.f. Обратите внимание, что область определения ff, составленная из gg, — это множество всех xx, таких что xx находится в области gg, а g (x) g (x) находится в области f.f.

Область составной функции

Область определения составной функции f (g (x)) f (g (x)) — это набор тех входов xx в области определения gg, для которых g (x) g (x) находится в области определения f.f.

Как к

По заданной композиции функций f (g (x)), f (g (x)) определите ее область определения.

1. Найдите домен g.g.
2. Найдите домен f.f.
3. Найдите те входы xx в области gg, для которых g (x) g (x) находится в области f.f. То есть исключить те входы xx из области gg, для которых g (x) g (x) не находится в области f.f. Результирующий набор является доменом f∘g.f∘g.

Пример 8

Нахождение области составной функции

Найдите домен

Решение

Область определения g (x) g (x) состоит из всех действительных чисел, кроме x = 23, x = 23, поскольку это входное значение заставит нас разделить на 0.Аналогично, область определения ff состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Таким образом, нам нужно исключить из области определения g (x) g (x) то значение xx, для которого g (x) = 1.g (x) = 1 .

Таким образом, домен f∘gf∘g — это набор всех действительных чисел, кроме 2323 и 2.2. Это означает, что

Мы можем записать это в обозначении интервала как

Пример 9

Нахождение области составной функции, включающей радикалы

Найдите домен

Решение

Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область определения gg равна (−∞, 3].(−∞, 3]. Теперь проверим область определения составной функции

Для (f∘g) (x) = 3 − x + 2,3 − x + 2 ≥0, (f∘g) (x) = 3 − x + 2,3 − x + 2≥0, так как подкоренное выражение квадратного корня должно быть положительным. Поскольку квадратные корни положительны, 3 − x≥0,3 − x≥0 или 3 − x≥0,3 − x≥0, что дает область определения (-∞, 3] (- ∞, 3].

Анализ

Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезно при поиске области определения составной функции.Это также показывает, что домен f∘gf∘g может содержать значения, которые не находятся в области определения f, f, хотя они должны быть в области g.g.

Попробуйте # 6

Найдите домен

Разложение составной функции на ее составные функции

В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию. Другими словами, мы можем записать его как композицию двух более простых функций.Может существовать более одного способа разложения составной функции, поэтому мы можем выбрать такое разложение, которое кажется наиболее целесообразным.

Пример 10

Разложение функции

Запишем f (x) = 5 − x2f (x) = 5 − x2 как композицию двух функций.

Решение

Мы ищем две функции, gg и h, h, поэтому f (x) = g (h (x)). F (x) = g (h (x)). Для этого мы ищем функцию внутри функции в формуле для f (x) .f (x). В качестве одной из возможностей мы могли бы заметить, что выражение 5 − x25 − x2 является внутренней частью квадратного корня.Затем мы могли бы разложить функцию как

Мы можем проверить наш ответ, перекомпоновав функции.

Попробуй # 7

Запишем f (x) = 43−4 + x2f (x) = 43−4 + x2 как композицию двух функций.

1,4 Упражнения по разделам

Устные

Как найти область частного отношения двух функций, fg? Fg?

Какова композиция двух функций, f∘g? F∘g?

Если при составлении двух функций порядок обратный, может ли результат быть таким же, как ответ в исходном порядке композиции? Если да, приведите пример. Если нет, объясните, почему нет.

Как найти область для композиции двух функций, f ,g? F∘g?

Алгебраические

Дано f (x) = x2 + 2xf (x) = x2 + 2x и g (x) = 6 − x2, g (x) = 6 − x2, найти f + g, f − g, fg, f + g , f − g, fg и fg.fg. Определите область для каждой функции в интервальной нотации.

Дано f (x) = — 3×2 + xf (x) = — 3×2 + x и g (x) = 5, g (x) = 5, найдите f + g, f − g, fg, f + g, f −g, fg и fg.fg. Определите область для каждой функции в интервальной нотации.

Дано f (x) = 2×2 + 4xf (x) = 2×2 + 4x и g (x) = 12x, g (x) = 12x, найдите f + g, f − g, fg, f + g, f − g. , fg и fg.fg. Определите область для каждой функции в интервальной нотации.

Дано f (x) = 1x − 4f (x) = 1x − 4 и g (x) = 16 − x, g (x) = 16 − x, найти f + g, f − g, fg, f + g , f − g, fg и fg.fg. Определите область для каждой функции в интервальной нотации.

Дано f (x) = 3x2f (x) = 3×2 и g (x) = x − 5, g (x) = x − 5, найти f + g, f − g, fg, f + g, f − g. , fg и fg.fg. Определите область для каждой функции в интервальной нотации.

Для заданных f (x) = xf (x) = x и g (x) = | x − 3 |, g (x) = | x − 3 | найдите gf.gf. Определите область определения функции в интервальной записи.

Дано f (x) = 2×2 + 1f (x) = 2×2 + 1 и g (x) = 3x − 5, g (x) = 3x − 5, найдите следующее:

1. ⓐ f (г (2)) f (г (2))
2. ⓑ f (g (x)) f (g (x))
3. ⓒ г (f (x)) g (f (x))
4. ⓓ (g∘g) (x) (g∘g) (x)
5. ⓔ (f∘f) (- 2) (f∘f) (- 2)

Для следующих упражнений используйте каждую пару функций, чтобы найти f (g (x)) f (g (x)) и g (f (x)).g (f (x)). Упростите свои ответы.

f (x) = x2 + 1, g (x) = x + 2f (x) = x2 + 1, g (x) = x + 2.

f (x) = x + 2, g (x) = x2 + 3 f (x) = x + 2, g (x) = x2 + 3.

f (x) = | x |, g (x) = 5x + 1f (x) = | x |, g (x) = 5x + 1.

f (x) = x3, g (x) = x + 1×3 f (x) = x3, g (x) = x + 1×3

f (x) = 1x − 6, g (x) = 7x + 6f (x) = 1x − 6, g (x) = 7x + 6.

f (x) = 1x − 4, g (x) = 2x + 4f (x) = 1x − 4, g (x) = 2x + 4.

В следующих упражнениях используйте каждый набор функций, чтобы найти f (g (h (x))). F (g (h (x))). Упростите свои ответы.

f (x) = x4 + 6, f (x) = x4 + 6, g (x) = x − 6, g (x) = x − 6 и h (x) = xh (x) = x

f (x) = x2 + 1, f (x) = x2 + 1, g (x) = 1x, g (x) = 1x и h (x) = x + 3h (x) = x + 3.

Дано f (x) = 1xf (x) = 1x и g (x) = x − 3, g (x) = x − 3, найдите следующее:

1. ⓐ (f∘g) (x) (f∘g) (x)
2. ⓑ область определения (f∘g) (x) (f∘g) (x) в обозначении интервала
3. ⓒ (g∘f) (x) (g∘f) (x)
4. ⓓ область (g∘f) (x) (g∘f) (x)
5. ⓔ (фг) x (фг) x

Дано f (x) = 2−4xf (x) = 2−4x и g (x) = — 3x, g (x) = — 3x, найдите следующее:

1. ⓐ (g∘f) (x) (g∘f) (x)
2. ⓑ область определения (g∘f) (x) (g∘f) (x) в обозначении интервала

Учитывая функции f (x) = 1 − xxandg (x) = 11 + x2, f (x) = 1 − xxandg (x) = 11 + x2, найти следующее:

1. ⓐ (g∘f) (x) (g∘f) (x)
2. ⓑ (g∘f) (2) (g∘f) (2)

Для заданных функций p (x) = 1xp (x) = 1x и m (x) = x2−4, m (x) = x2−4 укажите область определения каждой из следующих функций, используя интервальную нотацию:

1. ⓐ p (x) m (x) p (x) m (x)
2. ⓑ p (m (x)) p (m (x))
3. ⓒ м (p (x)) m (p (x))

Для заданных функций q (x) = 1xq (x) = 1x и h (x) = x2−9, h (x) = x2−9 укажите область определения каждой из следующих функций, используя интервальную нотацию.

1. ⓐ q (x) h (x) q (x) h (x)
2. ⓑ q (h (x)) q (h (x))
3. ⓒ ч (q (x)) h (q (x))

Для f (x) = 1xf (x) = 1x и g (x) = x − 1, g (x) = x − 1 запишите область определения (f∘g) (x) (f∘g) ( x) в интервальной записи.

Для следующих упражнений найдите функции f (x) f (x) и g (x) g (x), чтобы данная функция могла быть выражена как h (x) = f (g (x)). H (x) = f (g (x)).

h (x) = (x − 5) 3h (x) = (x − 5) 3.

h (x) = 12x − 33h (x) = 12x − 33

h (x) = 1 (3×2−4) −3h (x) = 1 (3×2−4) −3

h (x) = 3x − 2x + 54h (x) = 3x − 2x + 54

h (x) = (8 + x38 − x3) 4h (x) = (8 + x38 − x3) 4

h (x) = (5x − 1) 3h (x) = (5x − 1) 3

h (x) = 1 (x − 2) 3h (x) = 1 (x − 2) 3

h (x) = (12x − 3) 2h (x) = (12x − 3) 2

h (x) = 2x − 13x + 4h (x) = 2x − 13x + 4

Графический

Для следующих упражнений используйте графики f, f, показанные на рисунке 4, и g, g, показанные на рисунке 5, чтобы оценить выражения.

Рисунок 4

Рисунок 5

Для следующих упражнений используйте графики f (x), f (x), показанные на рисунке 6, g (x), g (x), показанные на рисунке 7, и h (x), h (x), показанный на рисунке 8, чтобы оценить выражения.

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

f (g (f (−2))) f (g (f (−2)))

Числовой

В следующих упражнениях используйте значения функций для f, gf и g, показанные в таблице 3, чтобы оценить каждое выражение.

9118

Таблица 3

В следующих упражнениях используйте значения функций для f, gf и g, показанные в таблице 4, чтобы оценить выражения.

Таблица 4

Для следующих упражнений используйте каждую пару функций, чтобы найти f (g (0)) f (g (0)) и g (f (0)).g (f (0)).

f (x) = 4x + 8, g (x) = 7 − x2f (x) = 4x + 8, g (x) = 7 − x2.

f (x) = 5x + 7, g (x) = 4−2x2f (x) = 5x + 7, g (x) = 4−2×2

f (x) = x + 4, g (x) = 12 − x3f (x) = x + 4, g (x) = 12 − x3.

f (x) = 1x + 2, g (x) = 4x + 3f (x) = 1x + 2, g (x) = 4x + 3.

Для следующих упражнений используйте функции f (x) = 2×2 + 1f (x) = 2×2 + 1 и g (x) = 3x + 5g (x) = 3x + 5. чтобы оценить или найти составную функцию, как указано.

Добавочные номера

Для следующих упражнений используйте f (x) = x3 + 1f (x) = x3 + 1 и g (x) = x − 13.г (х) = х-13.

Найдите (f∘g) (x) (f∘g) (x) и (g∘f) (x). (G∘f) (x). Сравните два ответа.

Найдите (f∘g) (2) (f∘g) (2) и (g∘f) (2). (G∘f) (2).

Какова область определения (g∘f) (x)? (G∘f) (x)?

Какова область определения (f∘g) (x)? (F∘g) (x)?

Пусть f (x) = 1x.f (x) = 1x.

1. ⓐ Найдите (f∘f) (x). (F∘f) (x).
2. ⓑ Является ли (f∘f) (x) (f∘f) (x) для любой функции тем же результатом, что и ответ на часть (a) для любой функции? Объяснять.

Для следующих упражнений пусть F (x) = (x + 1) 5, F (x) = (x + 1) 5, f (x) = x5, f (x) = x5 и g (x) = х + 1.g (х) = х + 1.

Верно или неверно: (g∘f) (x) = F (x). (G∘f) (x) = F (x).

Верно или неверно: (f∘g) (x) = F (x). (F∘g) (x) = F (x).

Для следующих упражнений найдите композицию, когда f (x) = x2 + 2f (x) = x2 + 2 для всех x≥0x≥0 и g (x) = x − 2.g (x) = x − 2. .

(f∘g) (6); (g∘f) (6) (f∘g) (6); (g∘f) (6)

(g∘f) (a); (f∘g) (a) (g∘f) (a); (f∘g) (a)

(f∘g) (11); (g∘f) (11) (f∘g) (11); (g∘f) (11)

Реальные приложения

Функция D (p) D (p) дает количество товаров, которые будут востребованы при цене п.п. Стоимость производства C (x) C (x) — это стоимость производства xx единиц продукции. Что бы вы сделали, чтобы определить стоимость производства при цене 6 долларов?

1. ⓐ Оцените D (C (6)). D (C (6)).
2. ⓑ Оцените C (D (6)). C (D (6)).
3. ⓒ Решить D (C (x)) = 6. D (C (x)) = 6.
4. ⓓ Решить C (D (p)) = 6.С (D (p)) = 6.

Функция A (d) A (d) дает уровень боли по шкале от 0 до 10, который испытывает пациентка с dd миллиграммами обезболивающего препарата в ее организме. Миллиграммы лекарства в организме пациента через tt минут моделируются с помощью m (t) .m (t). Что из следующего вы бы сделали, чтобы определить, когда у пациента будет уровень боли 4?

1. ⓐ Вычислить A (m (4)). A (m (4)).
2. ⓑ Оценить m (A (4)). M (A (4)).
3. ⓒ Решить A (m (t)) = 4.А (m (t)) = 4.
4. ⓓ Решить m (A (d)) = 4. m (A (d)) = 4.

Магазин предлагает покупателям скидку 30% от цены xx выбранных товаров. Затем магазин снимает на кассе дополнительные 15%. Напишите функцию цены P (x) P (x), которая вычисляет окончательную цену товара в единицах исходной цены x.x. (Подсказка: используйте композицию функций, чтобы найти свой ответ.)

Капля дождя, падающая на озеро, вызывает круговую рябь. Если радиус в дюймах увеличивается как функция времени в минутах согласно r (t) = 25t + 2, r (t) = 25t + 2, найдите площадь пульсации как функцию времени.Найдите площадь пульсации при t = 2, t = 2.

Лесной пожар оставляет после себя участок травы, выгоревший по расширяющейся круговой схеме. Если радиус круга горящей травы увеличивается со временем по формуле r (t) = 2t + 1, r (t) = 2t + 1, выразите площадь сожженной травы как функцию времени tt (минуты).

Воспользуйтесь функцией, которую вы нашли в предыдущем упражнении, чтобы определить общую площадь ожога через 5 минут.

Радиус r, r в дюймах сферического шара связан с объемом V, V соотношением r (V) = 3V4π3.г (В) = 3V4π3. Воздух закачивается в баллон, поэтому объем через tt секунд определяется как V (t) = 10 + 20t.